DE CONDUÇÃO, CORRENTE DE DESLOCAMENTO, EQUAÇÕES DE MAXWELL

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1 EETROMAGNETIMO II CORRENTE DE CONDUÇÃO, CORRENTE DE DEOCAMENTO, EQUAÇÕE DE MAXWE Coente e Conução e Coente e Deslocamento A coente elétca é um fenômeno conheco po toos e o seu compotamento já fo analsao a pat e concetos e efnções o eletomagnetsmo no capítulo 6. Naquela ocasão, efnu-se a coente elétca como o movmento e patículas eletcamente caegaas, seno que esse movmento ocoe numa ceta oem, também caactezao pela toca e elétons em um conuto (coente e conução), ou pela mgação e cagas elétcas ente os temnas (coente e convecção). Tomano po base estas efnções, vamos analsa o compotamento a confguação lustaa na fgua 21.1, one uma tensão v(t) é aplcaa ente os temnas e uas placas conutoas paalelas e mesma áea, sepaaas po uma stanca muto meno o que as mensões lneaes que efnem a sua áea, teno o espaço ente elas peencho po um elétco pefeto, o que caacteza uma nteupção ao camnho a coente estabeleca po conução. 2 (t) 1 v (t) Fgua 21.1 Capacto submeto a uma feença e potencal v(t), pecoo po uma coente (t) abeno que váas supefíces poem se elmtaas pelo mesmo contono, vamos aqu efn uas supefíces, 1 e 2, elmtaas pelo mesmo camnho fechao (contono). A le e Ampèe aplcaa ao camnho elmtano a supefíce 1 fonece: ( 1) H (t), pos efetvamente neste caso exste um movmento efetvo e elétons ente os átomos o conuto que consttuem a coente (e conução) enlaçaa pelas lnhas o campo magnétco. Po outo lao, a le e Ampèe paa o mesmo contono só que agoa efnno ou elmtano a supefíce abeta 2, que contém o elétco, nfoma que: ( 2 ) H Este esultao não eve causa nagação alguma, pos como já é o nosso conhecmento, quano um campo elétco fo aplcao em um mateal elétco, ocoeá apenas um eslocamento vtual ente as cagas que compõem as moléculas o mateal solante. UNEP Naasson Peea e Alcantaa Juno Cláuo Vaa e Aquno

2 EETROMAGNETIMO II 196 Obvamente sto é um absuo. O ccuto apesentao na fgua 21.1 naa mas é o que um capacto submeto a uma tensão vaável no tempo e e acoo com a teoa e ccutos, há, sm, uma coente elétca cculano po ele, o que é nquestonável. Essa coente fluá pelo capacto, e eveá se a mesma magntue a coente que flu pelo conuto, paa não contaa o pncípo a contnuae e coente. Este smples exemplo exa clao que uma nova natueza e coente elétca eve se apesentaa neste ponto a scussão. A esta nova coente aemos o nome e coente e eslocamento, stnta a coente e conução já apesentaa em capítulo anteo. A coente e eslocamento não é o esultao o movmento e cagas elétcas e só exstá quano a tensão ente as placas fo vaável com o tempo. e a tensão aplcaa fo constante, ela exstá apenas em um nstante tanstóo, esapaeceno em segua No exemplo em questão o mesmo eveá ocoe com a coente e conução, paa satsfaze o pncípo a contnuae a coente. Fnalmente, antes e possegumos com a fomulação o poblema, poemos aanta aqu que a coente e eslocamento é futo o esultao a popagação a enega na foma e um campo eletomagnétco estabeleco ente as placas. eja agoa um capacto e um essto lgaos em paalelo, submetos a uma tensão V, confome a fgua R C V fgua 21.2 Ressto e capacto submetos a tensão V Da teoa e ccutos elétcos, sabemos que a coente e conução no essto é: Enquanto que a coente e eslocamento no capacto é: V R (21.1) R V C C (21.2) t Vamos agoa esceve essas elações baseaas em elações e campo, one os elementos essto e capacto são epesentaos na foma ntensva, confome mosta a fgua V E E Fgua 21.3 epesentação o capacto e o essto, baseaa em ganezas e campo Vamos amt ana que pela geometa apesentaa, a ntensae e campo elétco é a mesma, tanto no essto como no capacto, e poe se expessa como: V E (21.3) UNEP Naasson Peea e Alcantaa Juno Cláuo Vaa e Aquno

3 EETROMAGNETIMO II 197 Paa o essto poemos esceve: R V R E A (21.4) Conseano caa lnha e coente ou a sua ensae supefcal, poemos esceve que: O que tauz a le e Ohm, já vsta, na sua foma pontual. Daí: R JR E (21.5) A J R E (21.6) Paa o capacto, conseano-o como fomao po placas planas e paalelas, espezano os efetos e boa ou o espaamento as lnhas e campo elétco, a coente capactva fca: Paa o campo elétco unfome e espaçamento constante C V A V C t t (21.7) C V E (21.8) A E (21.9) t C A E D Jc (21.1) t t one: D J C (21.11) t J C é a ensae as lnhas e coente e eslocamento no capacto epesentaa po J, enquanto que é a ensae e lnhas e coente e conução no essto que seá epesentaa J R smplesmente po J. Vamos supo agoa um meo com as uas caacteístcas, ao nvés e uma esstênca pua em paalelo com uma capactânca pua, poeno se conseao um mal conuto ou um elétco com peas. Esta genealzação na le e Ampèe paa esse meo pemte esceve: H J D t (21.12) Aplcano o teoema e tokes ao pmeo membo a equação acma, temos pontualmente: D H J (21.13) t ou ana: UNEP Naasson Peea e Alcantaa Juno Cláuo Vaa e Aquno

4 EETROMAGNETIMO II 198 E HE t (21.14) O conceto e coente e eslocamento fo ntouzo po James Clek Maxwell, paa se leva em conta a possblae a popagação e onas eletomagnétcas no espaço. e o campo elétco vaa hamoncamente com o tempo, as coentes e eslocamento e e conução estão efasaas e 9 gaus e E E sen t (21.15) J E sen t (21.16) E cos t J (21.17) Exemplo 21.1 Um mateal com conutvae = 5, /m e pemssvae elatva = 1, é submeto a uma ntensae e campo elétco e 25 sen (1 1 t) V/m. Calcula as ensaes e coente e conução e e eslocamento. Em que fequênca elas teão a mesma ampltue? olução: J c 125sen t ( A / m ) 9 E J 1.25cos 1 t t 36 E J c J J 22,1cos Paa a mesma ampltue: t ( A / m ) Fgua 21.4 elétco com peas 1 J c E 5.25sen 1 t 5, , f 89, 5 GHz 2 a / s Exemplo 21.2 Um capacto coaxal com ao nteno 5 mm, ao exteno 6 mm e compmento 5 mm tem um elétco one = 6,7. e uma tensão e 25 sen (377t) V é aplcaa, etemne a coente e eslocamento e compae-a com a coente e conução. olução: I (t) V(t) c (t) Fgua 21.5 Capacto co-axal Neste exemplo, a coente ente as placas o capacto seá a e eslocamento e a coente no conuto aquela e conução. Não teno nfomações a conutvae, poemos supo o elétco pefeto, ou seja, sem peas. UNEP Naasson Peea e Alcantaa Juno Cláuo Vaa e Aquno

5 EETROMAGNETIMO II 199 Da teoa e ccutos sabemos que: V c C t One, confome já vsto e euzo 2 C ln 9 36 ln 6 5 e 2.6,7.1.,5 1,2 1 Então a coente e conução seá c C V t c 1, cos 377t cos377t A Da teoa eletomagnétca temos que o potencal ente as placas obeece à equação e aplace. Em cooenaas clíncas: 2 1 V V V Integano em elação a vem: V A V A Integano novamente em elação a : V A ln() B Das conções e contono vem que V = paa = 6 mm. Daí F 377t A ln.5 B 25sen (2) Resolveno (1) e (2) temos: B 25 sen 377t A ln(5 / 6) 25 sen 377t ln(5 / 6) 25 sen 377t V ln ln(5 / 6) No caso V = V (). ogo J J ln(.6) 25 sen 377t ln(5 / 6) 25 sen 377t E V E ln(6 / 5) 3,6. 1 s E 6,7.1 t 36 6 J 9 1 cos 377t,5 2 9,61.1 â 3, â cos 377 t ln cos (377t) A ln(.6) cos 377t â z â o que compova a contnuae a coente no ccuto mostano que a coente e eslocamento, ento o capacto, é gual à coente e conução, no conuto exteno. B A ln.6 (1) As Equações e Maxwell paa campos vaáves no tempo. No capítulo 17 estabelecemos as quato equações e Maxwell paa campos elétcos e magnétcos estátcos (nvaantes no tempo). Estas quato equações e Maxwell são enuncaas e moo geal conseano os campos vaano no tempo, fcano os casos estátcos como patculaaes. O conjunto e equações a segu, mostao tanto na foma ntegal como na feencal justfca matematcamente as pncpas les e pncípos báscos que egem a teoa a eletcae. A le ccutal e Ampèe pova a exstênca as coentes e conução e e eslocamento one: foma ntegal D H J t foma feencal D HJ t (21.18) A le e Faaay aplcaa a uma supefíce fxa, justfca a tensão nuza e moo vaaconal: UNEP Naasson Peea e Alcantaa Juno Cláuo Vaa e Aquno

6 EETROMAGNETIMO II 2 foma ntegal B E t foma feencal B E (21.19) t No níco os nossos estuos em eletomagnetsmo vmos que as lnhas e foça e um campo elétco emanam e uma fonte e caga postva ou se gem à fonte e caga, caso esta seja negatva. Em outas palavas, a exstênca as cagas elétcas é funamentaa na le e Gauss one: foma ntegal D v v foma feencal D (21.2) Po outo lao, o mesmo conceto mosta a nexstênca e monopolos magnétcos e foma que: foma ntegal foma feencal B B (21.21) Obseve que o teceo e quato conjunto e equações não muam em elação aos campos estátcos. Estas equações e fluxos em supefíces fechaas na foma ntegal ou e vegentes na foma feencal justfcam o campo elétco como consevatvo e o magnétco como solenoal Equações e Maxwell no espaço lve Quano Maxwell fomulou as suas equações, a sua mao peocupação ea emonsta a exstênca as onas eletomagnétcas e que elas se popagavam mesmo na ausênca e meo mateal, ou seja, no espaço lve. Como neste caso, não exste coente e conução ( J ), nem ensae e cagas elétcas lves ( = ), o conjunto as equações (21.18) a (21.21) é efomulao e foma smplfcaa esultano: foma ntegal foma feencal D H D t H (21.22) t B B E E (21.23) t t D D (21.24) B B (21.25) A pat as elações consttutvas em que temos: D E e B H e no espaço lve na foma feencal foma ntegal foma feencal E H E t H (21.26) t H H E E (21.27) t t E E (21.28) UNEP Naasson Peea e Alcantaa Juno Cláuo Vaa e Aquno

7 EETROMAGNETIMO II 21 H H (21.29) Este conjunto patcula e equações emonsta a popagação as onas eletomagnétcas e esclaece como os campos magnétcos são pouzos atavés os campos elétcos e estes atavés os magnétcos no ecoe o tempo Equações e Maxwell paa campos vaantes hamoncamente com o tempo Fnalmente apesentamos as fomulações as equações e Maxwell paa campos eletomagnétcos que vaam hamoncamente no tempo (não necessaamente no espaço lve). Conseano uma vaação o tpo a = A e jt com evaa tempoal ja e jt = j a, elas poem se esctas como: foma ntegal foma feencal H. j E H j E (21.3) s E. j H E jh (21.31) s D. V. D (21.32) s v B.. B (21.33) s l s UNEP Naasson Peea e Alcantaa Juno Cláuo Vaa e Aquno

8 EETROMAGNETIMO II 22 EXERCÍCIO 1)- eja a ensae e coente e conução num elétco sspatvo J c =,2 sen (1 9 t) (A/m 2 ), enconte a ensae e coente e eslocamento se = 1 3 /m e = 6,5. 1,15x1-6 cos (1-9 t) (A/m 2 ) 2)- Um conuto e seção eta ccula e 1,5 mm e ao supota uma coente c = 5,5 sen (4.1 1 t) (A). Quanto vale a ampltue a ensae e coente e eslocamento se a conutvae vale 35 M/m e a pemssvae elatva = 1? 7,86x1-3 A/m 2 3)- Descuba a feqüênca paa a qual as ensaes e coente e conução e e eslocamento são êntcas em: (a) água estlaa, one = 2,1-4 /m, = 81; (b) água salgaa, one = 4, /m e = 1. (a) 4,44 x 1 4 Hz; (b) 7,2 x 1 1 Hz 4)- Duas cascas esfécas conutoas concêntcas com aos 1 =,5 mm e 2 = 1 mm, acham-se sepaaas po um elétco e constante elétca = 8,5. Enconte a capactânca e calcule a coente e conução c aa uma tensão aplcaa v (t) = 15sen (5t) V. Calcule a coente e eslocamento D e compae-a com c. I C = D = 7, cos (5t) A 5)- Duas placas conutoas planas e paalelas e áea,5 m 2 acham-se sepaaas po 2 mm e um elétco com peas one = 8,3 e = 8,1-4 /m. Aplcaa uma tensão v = 1 sen 1 7 t (V), calcule o valo ms a coente total.,192 A ms 6)- Um capacto e placas paalelas, sepaaas po,6 mm e com um elétco e = 15,3 tem uma tensão aplcaa e 25 V ms na fequênca e 15 GHz. Calcule o ms a ensae e coente e eslocamento. Despeze o espaamento no campo elétco. 5,311 5 A/m2 UNEP Naasson Peea e Alcantaa Juno Cláuo Vaa e Aquno