Introdução. Introdução. Introdução Objetivos. Introdução Corpo rígido. Introdução Notação

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1 Intodução Intodução à obótca Descção espacal e ansfomações (/2) of. Douglas G. Machaet douglas.machaet@dcc.ufmg.b Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 2 Intodução osções e Oentações ates feamenta e do pópo manpulado É necessáo adota uma convenção geal Sstema de coodenadas geal elação com os sstemas de coodenadas locas Intodução Objetvos Desceve copos ígdos no espaço 3D Fomulação matemátca consstente Sstema de coodenadas unvesal ansfomações ente os efeencas Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 3 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 4 Intodução opo ígdo Entdade físca Foma e dmensões (tamanho) não se alteam Dstâncas elatvas das patículas não se alteam De manea geal (na pátca) Movmentos e defomações ntínsecas são despezíves compaado ao movmento total Intodução Notação Vetoes e Matzes Leta Maúscula Escalaes Leta Mnúscula efeencas Sobescto e Subscto pecedentes Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 5 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 6

2 Descção de posção Descção de oentação Descção de sstema de efeênca Descção de posção Um veto localza um ponto no espaço 3D O veto deve conte nfomações sobe qual sstema de coodenadas ele está defndo p p pz Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 7 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 8 Descção de posção Um sstema de coodenadas é epetado po uma leta maúscula ente chaves e. {} Vetoes untáos que ndcam as pncpas deções do sstema de coodenadas usam a notação chapeu (^) Eos pncpas Descção de posção Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 9 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) Descção de oentação Desceve um copo ígdo utlzando um ponto pode não se muto epetatvo É mpotante epeta a oentação Descta a pat de um sstema de coodenadas afado no pópo copo em elação a outo sstema de coodenadas Descção de oentação I I Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 2 2

3 3 Matz de otação de {} em elação a {} : Veto untáo do eo do sstema {} descta no sstema {} Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 3 Descção de oentação osos deconas (detoes) Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 4 Descção de oentação olunas: vetoes untáos {} em {} O que epetam as lnhas? Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 5 Descção de oentação Isso sugee que o nveso de uma matz de otação é gual à sua tansposta Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 6 Descção de oentação Matz otogonal olunas (ou lnhas) são vetoes otonomas nvesa é gual a sua tansposta Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 7 Descção de oentação 3 I Sstema de coodenadas que além da oentação possu o veto posção da sua ogem em elação a outo fame osção: fame em que a matz de otação é a matz dentdade Oentação: fame com veto posção nulo Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 8 Descção de um efeencal (fame) } { } { OG

4 Descção de um efeencal (fame) Descção de um efeencal (fame) U OG OG U U { } { OG} U U { } { OG} { } { OG} Estem dvesos sstemas de efeêncas Sstema de coodenadas do mundo Sstema de coodenadas do obô Sstema de coodenadas de um so Sstema de coodenadas de um objeto U OG Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 9 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 2 Descção de um efeencal (fame) Mapeamentos omo desceve a posção de um ponto no efeencal {} dada a descção em {}? Mapeamento ente efeencas Utlzados paa detemna descções de um efeencal paa outo efeencal anslação e otação ase Wst ool Staton Goal Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 2 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 22 Mapeamentos anslação efeencas com a mesma oentação (sem otação elatva) poém ogens dfeentes OG O veto OG defne um mapeamento Localza a ogem de {} em elação a {} Mapeamentos anslação (Eemplo) Dados 2 efeencas {} e {} com mesma oentação poém a ogem de {} está deslocada 7 undades da ogem de {} ao longo do eo e 2 undades ao longo do eo. Dado o ponto defna e OG OG 7 2 OG Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 23 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 24 4

5 5 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 25 Mapeamentos anslação efeencas com a mesma ogem poém com oentações dfeentes olunas da matz de otação são vetoes untáos e mutuamente otogonas logo Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 26 Mapeamentos otação ojeções do veto sobe os eos (vetoes untáos) do seu efeencal Substtundo Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 27 Mapeamentos otação p p p z Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 28 Mapeamentos otação w z v z u z w v u w v u k k k j j j Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 29 Mapeamentos otação z Um efeencal {} está otaconado de em elação ao eo do efeencal {}. Dado o ponto defna e. Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 3 Mapeamentos otação (Eemplo) Ẑ

6 Mapeamentos otação Mapeamentos anslação+otação efeencas com ogens e oentações dfeentes. onsdea-se duas etapas: Desceve o ponto em elação a um efeencal ntemedáo com mesma oentação que {} mas ogem gual a {} Soma a dfeença ente as ogens otação anslação OG Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 3 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 32 Mapeamentos anslação+otação oodenadas homogêneas omposção de tanslação e otação se tona complea ao agupa váas opeações Matzes de tansfomações homogêneas Foma mas elegante de compo tansfomações otações anslações e Escala Qualque dmensão do espaço Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 33 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 34 ansfomação homogênea ansfomação homogênea OG OG otação espectva z Escala anslação Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 35 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 36 6

7 ansfomação homogênea (Eemplo) Seja {} um efeencal otaconado 3 em tono de Ẑ e tansladado undades ao longo de e 5 undades ao longo de. Dado o ponto defna e Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 37 ansfomações compostas O efeencal {} é conhecdo em elação a {} e o efeencal {} é conhecdo em elação a {}. omo obte a pat de? ) 2) ode-se então defn: Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 38 ansfomações compostas ansfomações compostas OG OG Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 39 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 4 Invetendo uma tansfomação Dado um efeencal {} conhecdo em elação a {} ou seja é conhecdo omo faze se qusemos o contáo? Descção de {} em elação a {} Deseja-se obte ode-se calcula a nvesa da matz 4 4 Não é o mas efcente computaconalmente Invetendo uma tansfomação omo se mas efcente? Estutua neente à tansfomação aa se obte deve-se calcula e a pat de e OG omo vsto anteomente OG Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 4 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 42 7

8 Invetendo uma tansfomação Invetendo uma tansfomação descção de OG em {} é dada po ( OG ) OG OG O lado esquedo da equação seá zeo OG OG OG OG Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 43 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 44 Invetendo uma tansfomação (Eemplo) Invetendo uma tansfomação (Eemplo) {} Seja {} um efeencal otaconado 3 em tono de Ẑ e tansladado 4 undades ao longo de e 3 undades ao longo de. Dado defna. {} OG Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 45 Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 46 Mapeamento O mapeamento não altea a posção do ponto ele apenas muda a descção de um ponto de um sstema de coodenadas paa outo! Intodução à obótca - Descção espacal e ansfomações (/2) 47 8