Análise Multivariada

Transcrição

1 Análse Multvaada Aula 8: Análse de Coespondêna (AC) Pof. Adm Antono Betaell Juno Juz de Foa

2 AC Téna exploatóa que busa dentfa assoações ente vaáves ategóas (ao nvés de ontínuas). Repesentação geométa das oespondênas (smladades) exstentes em uma tabela de fequêna. Possu duas ou múltplas entadas, não negatvas. Reduz as dmensões ognas dos dados em otogonas. Dependendo do no. Vaáves, os esoes geados paa as dmensões podem se tatados omo va. ontínuas.

3 Quando usá-la? Quando a peoupação pnpal é a edução do númeo de dmensões ente as oespondênas das vaáves ategóas e que anda possa epesenta bem a estutua de dados ognas. Tem po pnpas objetvos: edução dos dados. tansfomações.

4 Tabela de ontngêna (fequêna) - N Y Total 1... J Z 1 n 11 n 1... n 1j n 1+ n 1 n... n j n + : : : : : : I n I1 n I... nij n I+ n n J j1 Total n +1 n +... n +J n ++ = 1 Z (vaável lnha) om I ategoas. Y (vaável oluna) om J ategoas. n j n I 1 n J I n j1 1

5 Matz de oespondêna P Y 1... J Total () 1 p 11 p 1... p 1j p 1+ Z p 1 p... p j p + : : : : : : I p 1 p... p p I+ Total () p +1 p +... p +J p ++ = 1 p n n

6 Tês onetos básos: 1. Fequênas elatvas magnas ou massas: Veto de massas de lnha: [,,..., I ] [ p1, p,..., p 1 I ] Veto de massas de oluna: [,,..., I ] [ p 1, p,..., p 1 J ]. Pefs: Pefl lnha: Pefl oluna: a / b p p p / p j

7 Tês onetos básos: 3. Centodes dos pefs: Lnha: p, p,..., p ], pos a ou A. [ 1 1 J 1 1 Se A e D dag 1/, então A D P, oodenadas pnpas das lnhas oundas da matz P. Coluna: p, p,..., p ], pos b j j ou B. [ 1 I 1 1 Se B e D dag 1/, então B D P, oodenadas pnpas das olunas da matz P. I 1 J j1

8 AC busa uma epesentação gáfa de lnhas e olunas de uma matz P em um espaço de meno dmensão. Po um poblema de mínmos quadados pondeados busa-se seleona P ˆ pˆ, uma matz de posto eduzdo que mnmza: I J 1 j1 p ˆ p j t 1/ ˆ 1/ 1/ ˆ 1/ D ( P P) D D ( P P) D 1/ 1/ tal que: D dag ; D dag ; 1 D 1/ ( P Pˆ ) D 1/ 1 p pˆ j

9 Pˆ é a melho apoxmação de posto 1 paa P pela deomposção de valo sngula genealzado. P ~ s s 1/ 1/ ( D u~ )( D ~ v ) 1 ~ ( D 1/ u~ )( D 1/ ~ v ) P s 1 ~ ( D 1/ u~ )( D 1/ ~ v ) T D 1/ 1/ PD ˆ UΛV Pˆ D UΛD V 1/ 1/ U U V V 1 Coodenadas pnpas Coodenadas pnpas

10 Na AC é usual plota as seguntes oodenadas pnpas: Coodenadas pnpas das lnhas: ~ 1 1/ 1/ R D ( D U) Λ D ~ UΛ tal que u Coodenadas pnpas das olunas: ~ 1 1/ 1/ D ( D V) Λ D VΛ tal que ~ j C v j j

11 Deve-se ded a esala das oodenadas (nomalzação): se que analsa os pefs lnha, pefs oluna ou ambos (oodenadas smétas). ~ ( ) u ( ) v (1 ) j ~ ( ) j j Se 1 (lnhas); 0 (olunas); 1/ (smeta).

12 A nea total pnpal da matz P é: mn( I 1, J 1) 1 n E 1 ( ) n n, j E ~ E é a fequêna espeada das obsevações na élula (,j), sob a hpótese os elementos das vaáves (Z,Y) sejam homogêneos. E n j n J j1 n n I 1 n n ( p j ) n, j Essa estatísta pode se ntepetada omo a dfeença dos pefs lnha (ou oluna) aos seus espetvos entodes. I d( a, ) n 1 1 a D a j

13 é possível omputa a popoção aumulada de d dmensões seleonadas po: d 1 mn( I 1, J 1) 1 ~ O mao autovalo e autovetoes assoados expessam a mao pate da vaabldade do sstema. Esolha em tono de 90% da néa total. Os autovaloes maoes que 0,0 devem se nluídos na análse. ~

14 As dstanas ente os pefs (e.g., de lnha): d( a, a a 1 ) 1 a a D a 1 1 Em suma, AC busa uma epesentação gáfa de lnhas e olunas de uma matz om entadas não negatvas em um espaço de meno dmensão de manea que as dstânas h-quadado ente os pefs lnha e ente pefs olunas são bem apoxmadas po uma dstâna euldana

15 Qualdade de apoxmação das ategoas (lnha e oluna). Se fo baxo, o númeo esolhdo de dmensões não epesenta bem a espetva lnha (ou oluna). Se, então. d J j t q 1 1 ) ( ~ d I j j t q 1 1 ) ( ~ ) ( ) ( 1 j q q 1) 1, mn( J I d

16 Contbução elatva (lnha e oluna). Quas as ategoas que mas ontbuem paa expessa a néa total po dmensões, ou as dmensões que mas ontbuem paa expessa a néa po ategoas. g ( ) ~ ~ ( ) j j ~ g j ~ I 1 ( ) g 1 g J j1 ( ) j

17 AC MÚLTIPLA E CONJUNTA (ACM) Uma extensão da vesão smples poém paa mas de vaáves ategóas. Exstem: Matz ndadoa; Matz But; Conjunta (modfação da matz But).

18 AC MÚLTIPLA E CONJUNTA (ACM) Matz Indadoa: X Obs. w1 w x1 x y1 y Total Se houve mutas obs, o metédo é nvável.

19 AC MÚLTIPLA E CONJUNTA (ACM) Matz But : B XX w1 w x1 x y1 y w w x x y y O total de obsevações nas ategoas w1 e w é 10, ou seja, w1+w=7+3=10 (=no. obs). Combnação ente as ategoas de uma vaável exbe valoes nulos. (vemelho)

20 AC MÚLTIPLA E CONJUNTA (ACM) Matz de oespondêna a pat a matz But: P p h b b Veto de massas de oluna: Pode-se alula a matz sméta: A deomposção de valo sngula: p h h [,,..., J ] [ b 1, b,..., b 1 J S P ] b J J 1 h1 J 1 b h h p h

21 AC MÚLTIPLA E CONJUNTA (ACM) A deomposção de valo sngula: S VΦV 1... As oodenadas pnpas das olunas: A D 1 V A néa pnpal (não-ajustada): A néa pnpal (ajustada): O total da néa pnpal: adj t t t adj q t q 1 t 1 q ( J q) t t 1 q q q

22 AC MÚLTIPLA E CONJUNTA (ACM) Os esultados em AMC são dêntos aos esultados paa as oodenadas de oluna na vesão smples da matz ndadoa. A ntepetação dos valoes das oodenadas, dos valoes de qualdade e outas estatístas são smlaes, poém se efendo à néa total assoada à matz B.

23 AC MÚLTIPLA E CONJUNTA (ACM) Coespondêna onjunta (ACJ). Uma vez que tanto a matz ndadoa quando à But nflam atfalmente as dstânas qu-quadado ente os pefs oluna e a néa total (GOWER, 006), a ACJ busa og esse poblema ao onsdea somente os elementos foa da dagonal da matz But. Tal téna basea-se em um método nteatvo de mínmos quadados, que na a pat de uma matz B0 B.

24 AC MÚLTIPLA E CONJUNTA (ACM) Tal algotmo exeuta m nteações, de manea que em ada uma delas os elementos foa da dagonal são substtuídos pelos elementos da matz de apoxmação. Essas nteações nteompem até que as matzes B m e B m-1 sejam nexpessvas (onvegêna de solução). A néa total da matz But modfada é defnda omo as somas das néas de elementos foa da dagonal pnpal. Cada elemento da matz de apoxmação em ada nteação m é detemnado omo: bˆ h b h 1 f t1 a t ht a t