2 Teoria Geométrica da Difração - Teoria Uniforme da Difração.

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1 Teoa Geométca da fação - Teoa Unfome da fação. A análse do espalhamento e adação das ondas eletomagnétcas sobe os objetos utlzando soluções modas é estta a objetos cujas supefíces são desctas faclmente po coodenadas otogonas. A maoa das soluções exstente apesenta a foma de sées nfntas, as quas possuem baxa convegênca quando as dmensões do objeto são gandes se compaadas ao compmento de onda. Quando as dmensões do objeto não são muto maoes que o compmento de onda, pode-se utlza o método da equação ntegal (I). A vantagem deste método é que ele pode se usado paa objetos de qualque foma, poém necessta de gande esfoço computaconal paa seus cálculos. A solução do método da equação ntegal (I) é gealmente ealzada atavés do método dos momentos (MoM). Quando as dmensões dos objetos são muto maoes que o compmento de onda, os métodos assntótcos paa altas feqüêncas podem se utlzados paa a análse matemátca do espalhamento das ondas eletomagnétcas. A teoa geométca da dfação (GT) e sua extensão, a teoa unfome da dfação (UT), meecem especal atenção. A GT é uma extensão da ótca geométca clássca (GO), com seus aos detos, efletdos e efatados. la supea as lmtações da ótca geométca, ntoduzndo o conceto de dfação fomulada po Kelle []. A UT é uma extensão da GT, po cog a lmtação exstente nas egões de tansção dos aos deto e efletdo, desenvolvda po Kouyoumjan e Pathak []... Ótca Geométca A ótca geométca utlza o conceto de aos cado pela ótca clássca paa caacteza os aos detos, efletdos e efatados, consdeando nfomações de fase, polazação e ampltude dos campos eletomagnétcos. A popedade mas sgnfcatva dos campos de alta feqüênca da ótca geométca em meos

2 7 homogêneos e sem pedas é o compotamento de onda plana, localmente, em qualque ponto da popagação do ao. Paa a ótca clássca, os aos efletdos e efatados estão elaconados ao ao ncdente atavés das les de eflexão (Le de Snell) e efação. O pecuso descto po qualque ao segue o pncípo de Femat [3] que coesponde à cuva que mnmza o camnho ótco, expesso po: C. O = n( l) dl (.) C onde n(l) é o índce de efação do meo. m meos homogêneos, onde n é constante, os aos são fomados po lnhas etas. A deção de popagação de um ao é dada pelo seu veto deto, tangente à tajetóa em cada ponto e otogonal às supefíces equfáscas (ou fentes de onda). As fentes de onda podem se calculadas po ntemédo da equação de ekonal [3], expessa po: Ψn Ψn Ψn Ψn ( x, y, z) = + + = n () s (.) x y z A fgua. apesenta alguns exemplos de fentes de onda paa os casos de ondas planas, esfécas e paa um caso genéco, onde os aos de cuvatuas nos planos pncpas são dfeentes (fente de onda astgmátca). Fgua.: Supefíces ekonas: clíndcas, planas e astgmátcas (epoduzdas da efeênca [7]).

3 8 Na ótca geométca, o tanspote de enega ocoe no sentdo da tajetóa dos aos e não tansvesalmente, exceto paa ondas evanescentes. Paa entende o tanspote de enega e sua consevação, é mpotante o conceto de tubo de aos [3]. efne-se como tubo de aos [3] o conjunto de aos adjacentes (aos paaxas) ao ao pncpal que se deseja analsa (ao axal), confome lustado na fgua. abaxo: Fgua.: Tubo de aos (epoduzda da efeênca [8]). Quando os aos de cuvatua que fomam o tubo de aos são dfeentes, o tubo é chamado astgmátco, pos os aos não apesentam um únco foco, cuzando em pontos dfeentes. As lnhas ente os pontos de foco são chamadas cáustcas.... Relações de Ampltude, Polazação e Fase da Onda letomagnétca. Como dto na seção., a enega é tanspotada dento do tubo de aos, havendo sua consevação no tubo. Com sso, pode-se afma que a densdade de adação S no ponto de efeênca s está elaconada com a densdade de adação S no ponto de efeênca s po: S S ( s ) da ( s ) da = (.3) onde da, da, s e s estão epesentados na fgua..

4 9 Paa ondas eletomagnétcas na egão de campo dstante [4], o campo elétco (,θ,ϕ) está elaconado à densdade de adação (,θ,ϕ) S po: S (, θ, ϕ ) = (. θ, ϕ ) (.4) η onde η é a mpedânca ntínseca do meo. ntende-se po egão de campo dstante [4] ou egão de Faunhoffe aquela fomada po pontos de obsevação stuados a uma dstânca físca da antena tansmssoa coespondente a: d > (.5) λ onde é a mao dmensão da antena tansmssoa e λ o compmento de onda. Com sso, a ampltude do campo elétco ao longo do tubo de aos é defnda po: da = (.6) da Assm, paa uma onda epesentada po um tubo de aos astgmátco, a ampltude do campo elétco está elaconada po: da ρρ = = da ρ ( ρ + s)( + s) (.7) onde ρ e ρ são os aos de cuvatua pncpas da fente de onda assocados ao ao, apesentados na fgua. e s um ponto de obsevação. Paa ntoduz nfomações de fase e polazação na expessão do campo elétco esultante da ótca geométca, utlza-se a expansão paa altas feqüêncas de Lunebeg-Klne em sua pmea odem de apoxmação []. Com sso, a equação do campo elétco coespondente a um ao que se popaga em espaço lve pode se escta como:

5 () s = ( ) ρρ jβs e (.8) ( ρ + s)( ρ + s) onde: () s é o campo elétco no ponto desejado s; po λ = c em Hz. ( ) é o campo elétco no ponto de efeênca; π β = é o númeo de onda, sendo λ o compmento de onda, defndo λ f, sendo c a velocdade da luz no vácuo (3 x 8 m/s) e f a feqüênca... Campo da Onda eta e Campo da Onda Refletda A equação do campo elétco ( θ,ϕ ) dstânca s é dada po [4]: assocado a um ao deto a uma jβs e, [V/m] (.9) s ( s θ, ϕ ) = ( θ, ϕ ) onde ( θ, ϕ ) é o campo elétco com componentes e nas deções θ e θ ϕ ϕ, confome pode se vsto na fgua.3; A equação.9 pode se obtda a pat da equação.8 paa uma onda esféca, supondo que não há dstnção ente os aos de cuvatua pncpas. Logo, ρ = ρ = ρ, e o fato de dvegênca da expessão (.8) fca: ρ = ρ ( ρ s ) ρ + s + (.) Se o ponto de efeênca é tomado em ρ =, a equação.8 tona-se: () s = () exp ( jβs) s (.)

6 Fgua.3: Sstema de coodenadas esfécas assocado à antena tansmssoa (epoduzda da efeênca [8]). A eflexão é um dos mecansmos de popagação das ondas eletomagnétcas que ocoe quando os snas do tansmsso ncdem nas supefíces exstentes no ambente. stas supefíces podem se o pópo teeno ou paedes de edfcações, cujas dmensões são supeoes ao compmento de onda. ste mecansmo causa alteação na ampltude e fase do campo elétco e alteação no sentdo de popagação da onda eletomagnétca. A fgua.4 lusta os ângulos e apesenta um sstema de coodenadas fxo ao ao. Fgua.4: Reflexão e sstema de coodenadas fxo ao ao paa a eflexão (vsta do plano de ncdênca - epoduzda da efeênca [7]).

7 Na fgua.4, dentfca-se: nˆ : veto untáo nomal à supefíce efletoa no ponto de eflexão R. θ accos( ˆ.ˆ = n s ): ângulo de ncdênca defndo ente a deção de popagação da onda ncdente e o veto nomal. θ : ângulo de eflexão defndo ente a deção de popagação da onda efletda e o veto nomal. Plano de Incdênca: plano que contém o ao ncdente ( Plano de Reflexão: plano que contém o ao efletdo ( ŝ ŝ ) e a nomal. ) e a nomal. A deção da onda efletda segue a le de Snell, onde: θ = θ (.) Como se obseva na fgua, os dos planos são concdentes. Isto é, o ao ncdente, o ao efletdo e a nomal estão no mesmo plano. Os vetoes ˆ α, ˆ β, s e ˆ α ˆ, β ˆ, s ˆ defnem o sstema de coodenadas fxo aos aos ncdente e efletdo, espectvamente. Com sso, os campos elétcos ncdente e efletdo podem se esctos em função dos vetoes untáos αˆ e βˆ. As deções destes vetoes são defndas po: sˆ sˆ ( nˆ.ˆ s ) nˆ = α sˆ xnˆ e ˆ β = sˆ xα (.3) ˆ = ˆ ˆ α = sˆ xnˆ e ˆ β ˆ ˆ = sxα como: O campo elétco efletdo em um ponto de obsevação O pode se escto ( ) ˆ ˆ jβd O = α + β A e α β (.4)

8 3 ( O) é o campo elétco efletdo no ponto de obsevação O. O. A é o fato de dvegênca do tubo de aos efletdo. β defndo em (.8) d [m] é a dstânca ente o ponto de eflexão R e o ponto de obsevação As componentes de campo pependculaes ao plano de ncdênca e de eflexão são chamadas de componentes soft e as componentes de campo paalelas ao plano de ncdênca e de eflexão são chamadas de componentes had. A elação ente as componentes soft ( α ) e had ( ) efletdos e ncdentes é caactezada po: β dos aos α β Γs = Γ h α β (.5) onde Γ e Γ são os coefcentes de eflexão de Fesnel dados po []: s h onde: ( θ ) ε ef sen ( θ ) ( θ ) + ε sen ( θ ) cos Γ s ( θ ) = (.6) cos ef ef ( θ ) ε ef sen ( θ ) ( θ ) + ε sen ( θ ) ε ef cos Γ h( θ ) = (.7) ε cos θ é o ângulo de ncdênca, já defndo. ε σ ε j = ω é a pemssvdade elétca elatva ao meo. ef ε ε = 8,854x - [F/m] é a pemssvdade elétca no espaço lve. σ [Semens/m] é a condutvdade elétca no meo. ω = πf [ad/s] é a feqüênca angula com f em Hz. ef É de nteesse do tabalho utlza somente supefíces planas. Logo, os aos pncpas de cuvatua da onda efletda são guas ao da onda ncdente

9 4 ρ = ρ ) no ponto de eflexão R. Po sso, o fato de dvegênca A do campo ( efletdo dado pela equação (.4) é gual ao fato de dvegênca mostado em (.6): A = ( ρ + s)( ρ + s) ρ ρ (.8) A eflexão sobe uma supefíce plana não altea a foma da fente de onda ncdente, pos o fenômeno é equvalente ao esultante de uma fonte localzada na magem da fonte eal em elação à supefíce efletoa. A utlzação do coefcente de eflexão de Fesnel supõe que a supefíce efletoa seja suave (especula), o que não ocoe na pátca. Paa consdea o efeto da ugosdade da supefíce efletoa, tal coefcente deve se multplcado po um coefcente de espalhamento dado po [5]: ( / ) ( ξ / ) C e = exp ξ I (.9) onde: ( S λ) sen( θ ) ξ = 4π h é o paâmeto de Raylegh paa supefíces ugosas, sendo S h a ugosdade do teeno e θ o ângulo de ncdênca sobe um plano de efeênca no teeno. I (x) é a função de Bessel modfcada de odem zeo e agumento x.

10 5.. Teoa Geométca da fação A dfação é o mecansmo de popagação capaz de explca a pesença de campos eletomagnétcos em egões nas quas, pela ótca geométca clássca, os mesmos não exstam. A dfação ocoe quando as ondas tansmtdas encontam a boda de uma supefíce, a aesta fomada pela nteseção de duas supefíces, o vétce de um sóldo ou quando as ondas ncdem de foma asante sobe uma supefíce cuva. Tas obstáculos encontados pelos snas eletomagnétcos podem se natuas ou atfcas em ambente ubano, sububano e ual. A classe de aos dfatados complementa a ótca geométca, pos supe sua defcênca em não peve valoes de campo paa as egões de somba, fomadas pelo espalhamento das ondas eletomagnétcas quando encontam um obstáculo. e acodo com a teoa geométca da dfação e supondo uma geometa bdmensonal, pode-se dvd o espaço em 3 egões, como mosta a fgua.5 abaxo: Fgua.5: Rao ncdente sobe aesta de obstáculo, mostando a fomação da egão de somba e suas fontea ISB e RSB (epoduzda da efeênca [7]). A egão I coesponde à egão que possu vsbldade paa os aos efletdo e deto. Sua fontea é fomada pelo ao efletdo na aesta do obstáculo, sendo conhecda como RSB (lmte de somba paa a eflexão, em nglês eflecton shadow bounday). A egão II coesponde à egão onde só exste ao deto. Sua fontea é fomada pelo polongamento do ao ncdente sobe a aesta do obstáculo,

11 6 sendo conhecda como ISB (lmte de somba paa a ncdênca, em nglês ncdence shadow bounday). A egão III coesponde à egão de somba, onde, pela ótca geométca clássca, não há ao deto e nem aos efletdos. Inca-se após a fontea ISB. Os aos dfatados passam a completa esta ausênca de aos na egão de somba. A dfação, assm como os outos mecansmos de popagação, é um fenômeno local em altas feqüêncas. O valo do campo dfatado é popoconal ao valo do campo ncdente no ponto de dfação multplcado po um coefcente de dfação. Os coefcentes de dfação são detemnados po ntemédo de soluções assntótcas de poblemas canôncos, o que fo poposto po Kelle em 953 [], com a famosa teoa geométca da dfação (GT). Kelle [] genealzou o pncípo de Femat, estabelecendo uma analoga ente os fenômenos de dfação e os de eflexão e efação da ótca geométca. m patcula, os aos dfatados podem peneta tanto nas egões de somba como nas egões lumnadas. A GT falha nas egões póxmas às fonteas de somba po ncdênca (ISB) e eflexão (RSB), pos o coefcente de dfação apesenta snguladade nestas egões. O coefcente de dfação defndo pela GT é popoconal a []: s, h α m (.) π ϕ ϕ π ϕ + ϕ cos cos cos cos n n n n Onde φ é o ângulo fomado pelo ao ncdente com a face do obstáculo e φ é o ângulo fomado pelo ao ncdente com a face n do obstáculo, confome obseva-se na fgua.5. Com sso, paa valoes de ϕ = π + ϕ ou ϕ = π ϕ, os coefcentes de dfação soft (s) e had ( h ) (elatvos aos componentes de campo pependculaes ao plano de ncdênca e componentes de campo paalelos, espectvamente) são sngulaes.

12 7.3. Teoa Unfome da fação A Teoa Unfome da fação (UT) fo desenvolvda po Kouyoumjan e Pathak [] como extensão da Teoa Geométca da fação de Kelle [], cogndo-a quanto às snguladades apesentadas nas egões de tansção. Como nteesse deste tabalho, seá mostado o desenvolvmento da UT paa aestas etas fomadas pela nteseção de supefíces planas e ncdênca oblíqua de aos, como mosta a fgua.6 abaxo: Fgua.6: Geometa 3 do obstáculo paa o cálculo de dfação (epoduzda da efeênca [6]). A fgua acma mosta o sstema de coodenadas esfécas centado no ponto de dfação Q, conhecdo como sstema de coodenadas fxo ao ao. Consdeando-se a posção da fonte, o ao ncdente pode se defndo pelas coodenadas esfécas ( s, γ, ϕ ) ( γ,ϕ ) s como mostado na fgua.6.,, e o ponto de obsevação pelas coodenadas O plano contendo o ao ncdente e a aesta seá o plano de ncdênca e o plano contendo o ao dfatado e a aesta seá o plano de dfação. O veto

13 8 untáo ŝ está na deção do ao ncdente e o veto untáo ŝ está na deção do ao dfatado. Nota-se na fgua.7 abaxo que os vetoes untáos e ˆϕ são paalelo e pependcula, espectvamente, ao plano de ncdênca e que os vetoes untáos ˆ γ e ϕˆ são paalelo e pependcula, espectvamente, ao plano de dfação. γˆ Fgua.7: Sstema de coodenadas fxo ao ao (epoduzda da efeênca [6]). Os ângulos γ e γ são meddos a pat da aesta paa os aos ncdentes e dfatados, espectvamente, sendo os vetoes untáos γ e ˆ γ ˆ seus vetoes assocados. stes ângulos são menoes que Os ângulos ϕ π. e ϕ são meddos a pat da face do obstáculo ao plano de ncdênca e ao plano de dfação, espectvamente, sendo mpotante essalta que ambos devem se meddos a pat da mesma face. obtém-se: scevendo a expessão paa o campo dfatado sob a foma matcal, d jβs [ ] [ ][ ] A( s) e = (.)

14 9 d onde [ ] e [ ] são matzes coluna contendo as componentes escalaes dos campos dfatado e ncdente, espectvamente, [ ] é uma matz quadada contendo os coefcentes escalaes de dfação, s é a dstânca da aesta ao ponto de obsevação e A() s é o fato de espalhamento. Utlzando-se este sstema de coodenadas fxo ao ao, gaante-se a nexstênca de componente de campo dfatado na deção do tubo de aos dfatados, já que também não exste componente de campo na deção do tubo de aos ncdentes. ϕ [ ] Assm, só exstem duas possíves componentes de campo elétco, tanto paa o campo ncdente quanto paa o dfatado. Logo, fca clao que é uma matz quadada x com temos somente na dagonal pncpal. Com sso, as componentes do campo elétco dfatado no sstema fxo ao ao podem se esctas como: γ e d γ d ϕ () s () s = h s γ ϕ ( Q) ( Q) A s jβs () e (.) Assm como no caso da eflexão, as componentes de campo pependculaes ao plano de ncdênca e dfação são chamadas de componentes soft e as componentes de campo paalelas ao plano de ncdênca e dfação são chamadas de componentes had. m 967, Kouyoumjan e Pathak [] obtveam uma expessão paa a ± função usada paa o cálculo da dfação, defnda po ( L,ϕ ) v B, onde L é um paâmeto dependente da dstânca ente a aesta e o ponto de obsevação da Teoa Geométca da fação []. No tabalho apesentado pelos autoes ctados, o paâmeto de dstânca L ea dado po: L = ssen γ paa ondas planas L = ρ ρρ + ρ ρ = ssen( γ ) e ρ s sen( γ ) = paa ondas clíndcas (.3) ss sen γ L= s + s paa ondas esfécas

15 3 Com sso, o paâmeto L é função do tpo de onda ncdente e do ângulo de ncdênca γ. e acodo com [3], os coefcentes escalaes de dfação e são: s h j( π ) 4 e, = + m 3 n πβ senγ ( L ϕ, ϕ ) { } h, s + π + = cot ( ϕ ϕ ) + F[ βla ( ϕ ϕ )] n π ( ϕ ϕ ) = cot F[ βla ( ϕ ϕ )] 3 n π + = cot n ( ϕ ϕ ) F[ βla ( ϕ + ϕ )] ( ϕ ϕ ) + F[ βla ( ϕ + ϕ ] π = cot ) (.4) n 4 π Ψ com n = o fato de abetua do obstáculo e Ψ o ângulo nteo do π obstáculo. O agumento F coesponde à função ntegal de Fesnel, dada po []: F jx ( ) X = j X e e dτ (.5) X jτ A ntegal de Fesnel F(X) coesponde ao fato de coeção paa as egões de tansção, nas quas a GT falha. Obsevando a fgua.8 a segu, vefca-se que a função de tansção F( β La) possu magntude apoxmadamente gual a paa valoes de agumento mao que 3, o que coesponde às egões foa das áeas de tansção.

16 3 Fgua.8: Magntude e fase da função de tansção F( β La), onde a = a + ou a - (epoduzda da efeênca [6]). ± Paa detemna os valoes de a ( ϕ ± ϕ ), utlza-se a segunte expessão: ± nπn ( ) ( ϕ ± ϕ ) ϕ ± ϕ = cos ± a (.6) Na expessão (.6) acma, os valoes de mas póxmos que satsfazem as equações abaxo: ± N coespondem aos nteos ( ϕ ± ϕ ) π ( ϕ ± ϕ ) = π π nn + = (.7) πnn (.8) + Note-se que N e N apesentam valoes dstntos dado um obstáculo + paa cálculo de dfação. Paa dfação exteo, ou seja, < n, N pode assum os valoes ou, enquanto N pode assum -, ou. A fgua.9 a segu apesenta a vaação de ± N em função de β que coesponde a ϕ ± ϕ. As lnhas tacejadas coespondem à vaação no valo de ± N.

17 3 Fgua.9: Vaação de ± N em função de β (epoduzda da efeênca [7]). ± O fato ( ϕ ± ϕ ) a pode se ntepetado fscamente como a medda da sepaação angula ente o ponto de obsevação do campo e o lmte de somba e eflexão. O fato de espalhamento A ( s) é defndo po: A () s =, paa ondas planas, clíndcas e côncas (.9) s s A () s =, paa ondas esfécas (.3) s( s + s) O coefcente de dfação mostado em (.), deduzdo po [], consdea que as supefíces que fomam o obstáculo possuem condutvdade pefeta, ou seja, nfnta.

18 33 Como, em ambentes eas, supefíces com condutvdade pefeta não exstem, Luebbes [7] apesentou coefcentes de dfação paa supefíces ugosas e com condutvdade fnta. Luebbes ntoduzu heustcamente os coefcentes de eflexão de Fesnel aos coefcentes de dfação apesentados pela UT. Assm, os coefcentes s e h paa supefíces com condutvdade fnta são expessos po: h, s j( π ) 4 e, = + m Γ 3 + Γn n πβ sen γ ( L ϕ, ϕ ) { } 4 (.3) com os valoes de,, 3 e 4 defndos anteomente. Os valoes de Γ e Γ n coespondem aos coefcentes de eflexão de Fesnel epesentados pela equação (.6) paa polazação pependcula (soft) e em (.7) paa polazação paalela (had), multplcados pelo coefcente de espalhamento epesentado pela equação (.9) paa supefíces ugosas. Os índces e n coespondem às faces e n do obstáculo.