Física I. Aula 9 Rotação, momento inércia e torque

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1 Físca º Semeste de 01 nsttuto de Físca- Unvesdade de São Paulo Aula 9 Rotação, momento néca e toque Pofesso: Vald Gumaães E-mal: valdg@f.usp.b Fone:

2 Vaáves da otação Neste tópco, tataemos da otação em tono de um exo fxo no espaço, ou em tono de um exo que se move sem altea sua deção no espaço. Copo Rígdo Exo Fxo Exo de Rotação

3 Cnemátca Rotaconal Posção angula Seja um copo ígdo de massa, que ga em tono de um exo fxo. Cada ponto deste copo desceve um cículo, cujo ao é a dstânca ente o ponto e o exo de otação. A posção angula dessa eta é o ângulo que a eta de efeênca faz com a eta fxa. O ângulo é meddo em adanos. Deslocamento angula 1 É postvo no sentdo ant-hoáo. Quando o copo ga de um ângulo dθ, o ponto desceve um aco de compmento ds ds d

4 Cnemátca Rotaconal Velocdade angula A taxa de vaação do ângulo é a mesma paa todas as posções no copo e é chamada de velocdade angula ω. S ds Paa os valoes médos temos: velocdade angula nstantanea d med t d dt Dvdndo-se po t ds dt d dt d dt v v

5 aceleação angula Analogamente, a taxa de vaação da velocdade angula é a mesma paa todas as posções no copo e é chamada de aceleação angula α. d dt d dt Se α é constante: 0 t t t 0

6 Exemplo Um CD ga, do epouso até 500 pm, em 5,5 s. (a) Qual a aceleação angula suposta constante? (b) Quantas voltas o dsco dá em 5,5 s? (c) Qual a dstânca pecoda po um ponto a 6,0 cm do cento, nestes 5,5 s? (a) 500 t 500pm / 60 5, 6ad 0 5,6 0 5,5 9,5ad / s s (b) t t ,5(5,5) 14,7ad =,9 voltas (c) S 0,0614,7 8, 6m

7 Aceleações e velocdades angulaes Já vmos que: ds d v v Analogamente, paa a aceleação tangencal temos: a t dv dt t t d dt a t as, como o movmento é ccula, exste uma aceleação centípeta a c v t t ( t) t ac t

8 velocdade angula é uma gandeza vetoal

9 Enega Cnétca Rotaconal A enega cnétca de um copo ígdo que ga em tono de um exo fxo é a soma das enegas cnétcas das patículas ndvduas que consttuem o copo. Paa a esma patícula, de massa m e velocdade v, temos: K Somando sobe todas as pates, obtemos a enega cnétca do copo: K 1 m v 1 m m 1 1 m v momento de néca () m Enega Cnétca Rotaconal K 1

10 Exemplo Um copo consste de 4 patículas pontuas, com massas m, lgadas po hastes sem massa, como na fgua ao lado. O sstema ga com velocdade angula ω em tono do cento do copo. (a) Detemne o momento de néca do copo. (b) Detemne a enega cnétca do copo. m 4ma Enega Cnétca Rotaconal 1 K K ma Repet os cálculos paa a nova confguação ao lado. m a 8 m ma K 1 K 4ma

11 Cálculos do omento de néca Paa sstemas dscetos: Copos contínuos m Se subdvdmos o copo em pequenas poções, no lmte quando a massa de cada poção va a zeo, a somatóa acma se tansfoma na ntegal: dm Onde é a dstânca ao exo, de cada pacela dm do copo.

12 omento de néca de uma baa Calcule o momento de néca de uma baa fna de compmento e massa, em elação ao exo que passa po sua extemdade. dm Um pedaço dm da baa, stuado na posção x, ocupa uma extensão dx da baa. Consdeando a densdade lnea de massa λ. x dm dx dx x dx 0 0 x dx x 0

13 exo no cento da baa. dm / / / / dx x dx x 1 / / / / / x omento de néca de uma baa dx dx dm x

14 omento de néca de um anel Calcule o momento de néca de um anel ccula de ao R e massa, em elação ao exo que passa pependculamente po seu cento. dm Todos os pedaços dm do anel, estão stuados a uma mesma dstânca R do exo. R dm R dm R

15 omento de néca de um dsco Calcule o momento de néca de um dsco homogêneo de ao R e massa, em elação ao exo que passa pependculamente po seu cento. dm Podemos subdvd o dsco em uma sée de anés concentcos. Cada anel tem uma massa dm, ao e espessua d. R Consdeando a densdade supefcal de massa σ. R d R 0 R R 0 d dm da d R R 4 4 R 0 R R 4 4 R

16 omento de néca de um clndo momento de néca de um clndo macço homogêneo de ao R e massa, em elação ao seu exo. dm Podemos subdvd o clndo em uma sée de dscos paalelos. Como todos os dscos são equvalentes, podemos consdea o momento de néca do clndo como gual ao dos dscos. R

17 Alguns momentos de néca

18 Este teoema pemte que se calcule o momento de néca de um copo de massa em elação a um exo qualque, a pat do seu valo paa o cento de massa, sabendo-se a dstânca h ente os dos exos. dm cm h Teoema dos Exos Paalelos Exemplo: cm h h C 1 1

19 Demonstação do Teoema dos Exos Paalelos Vamos calcula a enega cnétca de otação paa o exo paalelo do copo de massa ao lado, quando gando com velocdade ω. K 1 A enega cnétca de otação um copo pode se escta como a enega cnétca de otação em elação ao C mas a enega de tanslação do C. K K otação K C tanslaçao C cm cm v cm as, e v cm h cm 1 cm 1 cm h 1 h

20 Teoema dos Exos Paalelos Vamos calcula o momento de néca do copo ao lado. as ncalmente, calculaemos o momento de néca de uma espa de massa m e ao R, atavés do exo que passa po seu cento de massa. m R dm dl m R Rd 4 / 0 ( Rcos ) m R Rd mr / 0 (cos ) d cm mr as, se esta espa estve com seu exo a uma dstânca l do exo pncpal, ela contbuá paa o momento de néca total, com dm dl dl R d dl l d dm R dml / / dl R dl l R 1

21 Exemplo Uma baa de compmento e massa, atculada em sua extemdade, é lagada do epouso, da posção hozontal. Detemne: (a) a sua velocdade angula, na posção vetcal, (b) a foça execda pelo pvô sobe a baa, neste nstante (c) a velocdade angula ncal necessáa paa a baa chega até uma posção vetcal supeo. Consdeando o sstema como sendo consttuído pela baa, pvô e a Tea, temos consevação da enega mecânca, então K U K f U f 1 1 g 0 g 0 gy cm 1 F 0 K g U gycm a K f c 0 0 U f F 0 g 1 g( g ) 0 5g g

22 Exemplo Um objeto de massa m está suspenso po um fo de massa m f que fo enolado na pola, que tem ao R e massa m. Suponha que toda a massa da pola esteja em sua boda e que no nstante ncal o copo esteja em epouso e o fo enolado. Detemne qual a velocdade do copo quando ele tve caído uma dstânca d. Consdeando o sstema como sendo consttuído pela copo, pola e a Tea, temos consevação da enega mecânca, então K U K f U f 0 1 m p 1 R m f v 1 mv mg( d) m * f g( d / ) v (m m ( m f f m m d) gd p ) m d * f m f

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24 Toque Já vmos a Segunda e de Newton, onde a esultante das foças extenas povoca a aceleação do cento de massa de sstemas. Poém, quando a lnha de ação das foças extenas não passa pelo cento de massa, temos um segundo efeto, que é a otação do sstema. Esta otação é aceleada. Assm, temos o equvalente à Segunda e de Newton, paa a otação. Consdee uma patícula de massa m, pesa a uma baa de compmento. Uma foça F é aplcada à patícula, como na fgua ao lado. Paa a componente tangencal da foça, temos: Ft ma t Onde, F t = FsnΦ Usando-se a t = α e multplcando a equação po, temos: F t m O poduto F t é o Toque em elação ao exo de otação A m

25 Toque Um copo ígdo que ga em tono de um exo fxo é uma coleção de patículas, com as mesmas velocdade e aceleação angulaes. m Somando sobe todas as patículas do copo, temos: m ( m ) extes Segunda e de Newton paa a otação Paa otações, o que nos nteessa são as componentes tangencas da foça F t F sn F sn Fl Onde, l é o baço de alavanca

26 Exemplo Consdee um copo extenso de massa, apoado pelo exo A e submetdo à foça gavtaconal. O toque sobe cada patícula consttunte seá: F m gx O toque total sobe o copo seá a soma dos toques sobe todas as patículas consttuntes ext es m gx ( m x ) g x cm g Px cm

27 Exemplo Uma bccleta egométca possu uma oda com gande massa (,4 kg) e ao R= 5 cm. Aplca-se uma foça de 18 N a uma dstânca de 7 cm do exo da oda. Após 5 s, qual é a velocdade angula da oda? 0 t t F ext es F F R F t 1ad R / s

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