INTRODUÇÃO À MECÂNICA CLÁSSICA. Transparências das aulas teóricas. Maria Inês Barbosa de Carvalho

Transcrição

1 INTRODUÇÃO À MECÂNICA CLÁSSICA Tanspaêncas das aulas teócas Maa Inês Babosa de Cavalho 00/00

2 REFERENCIAIS NÃO INERCIAIS

3 REFERENCIAL INERCIAL Nu efeencal necal ua patícula lve desloca-se e lnha ecta co velocdade constante. Nestes efeencas te-se F a, onde F das foças eas que actua sobe a patícula. é o soatóo Todos os efeencas que se desloque co ua velocdade constante e elação a u efeencal necal são tabé efeencas necas. Refeencas não necas são os que se desloca co aceleação não nula elatvaente aos efeencas necas. Nestes efeencas, paa que a ª le de Newton seja válda, teá que se adcona à esultante das foças eas u teo assocado co o ovento aceleado do efeencal. Este teo desgna-se foça fctíca.

4 REFERENCIAIS EM TRANSLAÇÃO z' P z O y R x' O' ' y' x Oxyz O'x'y'z' efeencal necal efeencal não necal Neste caso é sepe possível escolhe os exos de odo que ˆ ' ˆ ˆ' j ˆj kˆ' kˆ vecto posção e Oxyz: vecto posção e O x y z : xˆ + yj ˆ + zkˆ ' x' ˆ' + y' ˆ' j + z' kˆ' x' ˆ + y' ˆj + z' kˆ d v R + ' V + v' d a A + a'

5 Se A 0 te-se a a' F a a' ª le de Newton é válda no efeencal O x y z efeencal O x y z é necal Se A 0 te-se F a A + a' ou F A a' Defnndo F A a' F + F ª le de Newton no efeencal não necal F é a foça fctíca

6 EXEMPLO pêndulo e equlíbo nu veículo e ovento aceleado A θ REFERENCIAL INERCIAL REFERENCIAL NÃO INERCIAL T θ T θ A g g F A s a A a s ' 0 F s a F s + F a' T cosθ g 0 T snθ A T cosθ g 0 T snθ A 0 tanθ A g tanθ A g

7 REFERENCIAIS EM ROTAÇÃO z' z ω O O nˆ y' y x x' Oxyz O x y z efeencal fxo efeencal e otação O x y z oda co velocdade angula ω etonodeu exo de otação nˆ decção de nˆ : sentdo de nˆ : exodeotação egadaão deta vecto velocdade angula ω ω nˆ

8 z' z P O O y' y x x' vecto posção e Oxyz: vecto posção e O x y z : xˆ + yj ˆ + zkˆ ' x' ˆ' + y' ˆ' j + z' kˆ ' O O' ' d d ' d d ' ' + d ˆ' x' + d ˆ' j y' + d kˆ ' z'

9 B! vecto constante no efeencal O x y z B B ˆ' ˆ' j x ' + By' + B z' kˆ' constantes ω θ B (t) Bsn θ ω t B B( t + t) O B ( ω t)( B snθ ) db é pependcula a ω e a sentdo de db B db : ega da ão deta ω B db ω B

10 dˆ' dj ˆ' dkˆ' ω ˆ' ω ˆ' j ω kˆ' d d ' ' + ω ' v v' + ω ' d a dω a' + ' + ω v' + ω ω ( ') a aceleação no efeencal fxo a ' dω ' v ω ' ω ( ω ') aceleação no efeencal e otação aceleação tansvesal aceleação de Cools aceleação centípeta

11 ( ) ' ' ' ' v d a a F ω ω ω ω ( ) ' ' ' ' ' v d a a F ω ω ω ω CENTRÍFUA CORIOLIS L TRANSVERSA F F F F F ' ' d F L TRANSVERSA ω v' F CORIOLIS ω ( ) ' F CENTRÍFUA ω ω F

12 REFERENCIAIS EM MOVIMENTO z' P z O y R x' O' ' y' x R + ' v a V + v' + ω ' dω A + a' + ' + ω v' + ω ω ( ') F ' F + F TRANSVERSA L + F CORIOLIS + F CENTRÍFUA A F

13 EXEMPLO g g supefíce hozontal a θ g g a g tanθ a g z g θ ρ g ω ρω g z z 0 + ω ρ g

14 EFEITOS NÃO INERCIAIS DA ROTAÇÃO DA TERRA achataento da Tea (ao pola k eno do que o ao equatoal) ao eosão nua das agens dos os upwellng da água do a alteação do ovento das assas de a hesféo note B A

15 otação dateaetonodoseuexo T 4 hoas s 5 ω π T 6 R T ad / s ω R T / s! equado ω R T cosλ cosλ / s! lattude λ oventodateaetonodosol T ano s v ω / s v / s

16 O FIO DE PRUMO z' ω O g ω ( ω ) λ x' y' g e g ω ( ω ) ε " ângulo de desvo da vetcal g λ ω ( ω ) ε g e sn ε sn λ R T ω cos λ g e RTω ε snε sn λ g e ε R ω g T o MAX 0. e o λ 45

17 EFEITO DA ROTAÇÃO DA TERRA NO MOVIMENTO DE UM CORPO ω y' z' O' x' O λ û ρ a' g A ω v' ω ω ( ') A ω ρ uˆ' ρ ω R g A g e ω ω ' ( ) T cos λ uˆ ' ρ é uto pequeno! a' g ω v' e g e g ˆk' ω ω cos λ ˆ' j + ω sn λ kˆ' v ' v' x ˆ' + v' y ˆ' j + v' z kˆ'

18 a' x ω ( v' sn λ v' cos λ) y z a' y ω v' sn λ x a ' g + ω v' cos λ z x ( x' ' ) sn λ v' v', 0 ω x 0 y y ( x' ' ) cos λ v' v', 0 gt + ω x 0 z z despezando os teos co ω : ( v' sn λ v' cos λ) a' ω gt cos λ + ω 0, 0 x y, z v' x v' x, 0 ω gt cos λ + ω ( v' y,0 sn λ v' z, 0 cos λ)t x' 3 y' ωt v' sn λ + v' ( v' z,0 cos λ v' y,0 sn ) + v' x,0 t + x' 0 3 ωgt cos λ ωt λ x,0 y,0 t + y' 0 z' gt + ωt v' x,0 cos λ + v' z,0 t + z' 0

19 EXEMPLO - copo lagado de ua altua h aca do solo. x' y' 0 0 z ' 0 h 0 v' x 0 v' y,0 v' z, 0, 0 x ' 3 ωgt cos λ 3 y' 0 z ' gt + h deflexão do copo (paa leste): X ' 3 8h 9g ω cos λ Se: h 00 o λ 45 X '. 55 c

20 EXEMPLO - pojéctl lançado co velocdade v 0 paa leste. x' y' 0 z' 0 0 v' x v,0 0 v' y 0 v' z, 0, 0 0 y' ω v 0 t sn λ deflexão paa sul se λ > 0 (hesféo note)

21 O PÊNDULO DE FOUCAULT z' l x' T g y' a' g + T ω v' e T x' y' l z' T ˆ' ˆ' j + kˆ ' l l l a' a' x y T l T l x' ω ( v' cos λ v' sn λ) y' ω v' sn λ T a ' z g + + l x z ( l z' ) ω v' cos λ x y

22 pequenas osclações z' 0 v' z 0 a' z 0 T ' g g a ' x x' + v' l a ' y g l y y' v' x ω ω ω ω sn λ Se ω 0 y' y' x' x'

23 Se ω ω ω peíodo de pecessão " π π ω ω sn λ 4 hoas sn λ

24 SISTEMAS DE PARTÍCULAS

25 SISTEMAS DE PARTÍCULAS z 3 3 y x CENTRO DE MASSA CM M v CM d CM M d v M a CM dv CM dv M a M

26 QUANTIDADE DE MOVIMENTO paa ua patícula v p v paa u sstea de patículas p p v v CM v M p M v CM NOTA p& M a CM

27 DINÂMICA DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS F F j F j j F! esultante das foças exteoes que actua na patícula F j! foça nteo execda pela patícula j na patícula F j! foça nteo execda pela patícula na patícula j 3ª le de Newton F j F j ª le de Newton paa a patícula F n + j F j a

28 paa o sstea F + Fj a j M a CM p& esultante das foças exteoes: F F F j F F j 0 j j F p& M a CM F 0 p & 0 p é constante pncípo da consevação da quantdade de ovento

29 COLISÕES v v v f v f Se F 0 p é constante p! quantdade de ovento antes do choque p f! quantdade de ovento após o choque p p f v + v v f + v f

30 CONSERVAÇÃO DE ENERIA T Tf + Q T! enega cnétca antes da colsão T f! enega cnétca após a colsão Q! assocado a possíves ganhos ou pedas de enega cnétca Q 0 T T! COLISÃO ELÁSTICA f Q > 0 Q < 0 T > T! peda de enega f T < T! ganho de enega f COLISÕES NÃO ELÁSTICAS v + v v f + v f + Q

31 COLISÕES UNIDIMENSIONAIS x f f v v v v + + Q v v v v f f conhecdos Q, v e v ncógntas equações v v ˆ v v ˆ v v f f ˆ v v f f ˆ

32 COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO ε v v f v v f v v v vf v f v f velocdades elatvas ncal e fnal v ε f v Q + ( ε ) v colsão elástca Q 0 ε v f v colsão copletaente nelástca v 0 ε 0 f

33 f f v v v v + + ( ) f f v v v v ε ( ) ( ) v v v f ε ε ( ) ( ) v v v f ε ε ε f v v f v v f v v + f v v + se se e 0 v

34 COLISÕES BIDIMENSIONAIS v v v f v f p + p p f + p f p p p f f p Q conhecdos Q, v, v 4ncógntas 3 equações é necessáa nfoação adconal!

35 patícula ncalente e epouso v f ϕ v ϕ v f p p f + p f p f cosϕ p f cos p + 0 p ϕ f snϕ p f sn ϕ p p p f + f + Q

36 patículas co assa gual f f p p p + Q p p p f f + + ( ) ( ) f f f f f f f f p p p p p p p p p f f p p Q colsão elástca! 0 Q 0 f f p p π ϕ ϕ +

37 SISTEMAS DE PARTÍCULAS cento de assa Æ CM quantdade de ovento p Æ p v MvCM M F F j F j j ª le de Newton paa a patícula Æ F n + j F j a F j F j F p M a CM F 0 p 0 p é constante consevação da quantdade de ovento

38 MOMENTO ANULAR paa ua patícula v L p v paa u sstea de patículas L L ( v ) dl ( a ) a F + F j j (ª le de Newton) dl ( F ) + ( F ) j j

39 ( F j ) j envolve paes da foa ( F ) + ( F ) ( ) F F 0 j j j j j / j j se foças nteoes foe centas ( F ) M M M Æ oento da foça F (e elação à oge) M Æ oento esultante (e elação à oge) M dl Se M 0 L 0 L é constante! pncípo da consevação do oento angula

40 L ( v ) v v CM CM + ' + v' L CM M v CM + ( ' v' ) L ' L ' Æ oento angula elatvaente a CM M ' ' F Æ oento da foça F elatvaente a CM M ' M ' Æ oento esultante elatvaente a CM M dl CM F + dl' M ( F ) ( F ) + ( ' F ) CM M ' dl'

41 ENERIA CINÉTICA paa ua patícula T v paa u sstea de patículas T T v v v CM + v ' T M v CM + v' T CM T ' T ' T CM Æ enega cnétca assocada ao ovento do CM T ' Æ enega cnétca assocada ao ovento elatvaente ao CM

42 MASSA VARIÁVEL d u v +d v + dv nstante t nstante t+ dp p ( t + ) p( t) ª le de Newton: F dp F dv + d ( v u) F Æ esultante das foças exteoes

43 d u F v F dv + d ( v u) F ' v F ' d ( v)

44 EXERCÍCIO U foguetão de assa M, ove-se no espaço co ua velocdade v, ejectando cobustível a ua velocdade constante c (elatvaente ao foguetão). Sabendo que o foguetão pate do epouso, e que a assa ncal de cobustível é ε M, onde 0 < ε <, detene a velocdade do foguetão quando todo o cobustível tve sdo ejectado.

45 EXERCÍCIO U caxote de assa c deslza sobe ua supefíce puxando pela extedade de ua cadea aontoada e epouso. A assa po undade de copento da cadea é ρ l e a velocdade do caxote é v 0 quando s 0. s a) Detene a velocdade do caxote e função de s se a foça de atto ente o caxote e a supefíce fo popoconal ao quadado da velocdade. b) Moste que quando não exste atto o esultado anteo pode se obtdo patndo do pncípo da consevação da quantdade de ovento.

46 INTRODUÇÃO À MECÂNICA DO CORPO RÍIDO

47 CORPO RÍIDO dstânca ente quasque duas patículas do copo é nvaável MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO B B A A todos os pontos tê e cada nstante a esa velocdade basta estuda o ovento de u ponto MOVIMENTO DE ROTAÇÃO A B A B

48 TEOREMA DE CHASLES ovento as geal de u copo é coposto po ua tanslação e ua otação

49 CENTRO DE MASSA sstea de patículas z CM M 3 3 y x copo tdensonal z CM V ρ dv V ρ dv d V y x ρ! assa po undade de volue

50 copo bdensonal z CM σds S σ ds S d S y x σ! assa po undade de supefíce copo undensonal z CM L λ dl L λ dl d L y x λ! assa po undade de copento

51 EXEMPLO. Detene a posção do cento de assa de u se-dsco de ao R e assa M se a densdade supefcal de assa fo a) unfoe; b) popoconal à dstânca ao ponto O. M R O

52 ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO z ω R x ˆ + y ˆ j + zkˆ v ω x y ( x + y ) I ω T ω z R I z R! oento de néca do copo e elação ao exo dos z

53 CÁLCULO DE MOMENTOS DE INÉRCIA I d R ρ R dv R d V V V I I S L σ R λ R ds dl

54 O TEOREMA DOS EIXOS PERPENDICULARES y x y x z ( ) + + z y x y x I y x z I I I + I x I y

55 EXEMPLO. Calcule o oento de néca de u dsco ccula de ao a e assa M e elação ao exo pependcula que passa pelo seu cento quando a) a densdade supefcal de assa é unfoe; b) a densdade supefcal de assa é popoconal ao quadado da dstânca ao cento do dsco.. Calcule o oento de néca do dsco anteo elatvaente a u exo paalelo ao dsco que passe pelo seu cento.

56 O TEOREMA DE STEINER teoea dos exos paalelos z I z ( x y ) + CM x D y x y x y CM CM + x' + y' D x CM + y CM I z ICM + MD I CM ( x y' ) + '! oento de néca elatvaente ao exo paalelo a z que passa pelo CM

57 SISTEMAS DE COORDENADAS coodenadas catesanas y z dy dz dx x dv dxdy dz ds x dy dz ds y dx dz ds z dx dy coodenadas clíndcas dρ dv ρ dρ dφ dz φ ρ z dz ρdφ ds z ρ dρ dφ ds ρ ρ dφ dz ds dρ dz φ coodenadas esfécas snθdφ dθ d θ dv ds ds θ snθ d dθ dφ snθ dθ dφ snθ d dφ ds φ d dθ φ

58 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO B B A A todos os pontos tê e cada nstante a esa velocdade basta estuda o ovento de u ponto F dp M a CM F! foça esultante

59 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO z ω dl M L v v ω x y L L x ˆ + L ˆj + L y z kˆ L z R ω I z ω dl z I z ω& M z I z ω& M z! coponente de M segundo z

60 O PÊNDULO copo ígdo lve de oscla e tono de u exo hozontal z R CM CM g M z I z ω& θ M CM g CM g snθ uˆ z && CM g θ + sn θ I z 0 " equação de u pêndulo && g θ + sn θ l pêndulo sples! 0

61 MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍIDO patículas ove-se paalelaente a u dado plano fxo tanslação otação tanslação! F M a T CM TRANS, CM M v CM otação! M ' ω& e I CM T ROT, CM I CM ω M ' e! coponente segundo o exo de otação (e) do oento esultante elatvaente ao CM I CM! oento de néca elatvaente a exo paalelo a e que passa no CM T TRANS CM TROT, CM, +! enega cnétca do copo

62 EXERCÍCIO U pêndulo é consttuído po ua égua hoogénea uto fna de lagua b, copento a e assa, a qual pode oscla lveente e tono de ua das suas extedades. Detene a foçadeeacção R no ponto de apoo. z R θ CM CM g a b

63 EXERCÍCIO U copo é foado po duas pequenas bolas, de gual taanho e assa, as de ateas dfeentes, as quas estão lgadas po ua haste fna de copento d e assa despezável. Sabendo que o copo é lagado do epouso na posção hozontal, a ua altua h do solo, e que o coefcente de esttução ente o solo e cada ua das assas é, espectvaente, ε e ε, onde ε ε ε, detene a) a velocdade de cada bola edataente após o choque do copo co o solo; b) a velocdade angula de otação do copo nesse nstante; c) a velocdade do cento de assa tabé nesse nstante; d) as equações do ovento do copo. d h

64 EXERCÍCIO 3 Ua baa hoogénea fna de copento l e assa pode oscla e tono da sua extedade nfeo. A outa extedade está lgada a ua ola de assa despezável, constante de elastcdade k e copento natual l 0. Sabendo que a ola está sepe na hozontal, detene a) as equações do ovento da baa; b) a foça de eacção no ponto de apoo. k, l0 θ g

65 ENERIA POTENCIAL RAVÍTICA z g CM z CM z y x M E p 0 E p g z g constante E p M g z CM

66 O ROLAMENTO SEM DESLIZAMENTO ω B A O R φ O A B srφ v O s& Rφ& v O Rω ω O P P / O v P vo + ω P / O v O ω P / O ω R

67 tanslação otação não há deslzaento ponto de contacto te velocdade nula exo pependcula ao plano do ovento que passa pelo ponto de contacto é exo nstantâneo de otação.

68 EXEMPLO! olaento se deslzaento k, l 0 CM Detene o valo íno do coefcente de atto estátco, sabendo que o dsco é lagado do epouso quando a ola te u copento 3l 0. Exste dsspação de enega? Poquê?

69 E constante não há dsspação de enega atto não ealza tabalho ponto de aplcação de te velocdade nula F a

70 EXERCÍCIO U dsco hoogéneo de assa eao ola se deslza sobe ua supefíce clíndca θ R g Detene a) as equações do ovento do dsco; b) a foça que a supefíce exece sobe o dsco.

71 ROLAMENTO COM DESLIZAMENTO y g ω ICM CM F x tanslação && x ( F ) CM F a N g otação ω& F a se deslzaento & x CM ω& Fa µ en co deslzaento Fa µ cn && x F CM µ c & ω µ cg g

72 IMPULSOS EM CORPOS RÍIDOS TRANSLAÇÃO F dp F p v CM ˆ 3 v CM ˆ 3 F Æ pulso ROTAÇÃO dl M M L M dl e e Ie ω M e I ω e e ω / I e / e M e Æ pulso de otação

73 COLISÕES ENTRE DOIS CORPOS RÍIDOS ovento plano lve CM F F O CM F F M M F F F p p M M L L p p L L p é constante L é constante

74 EXEMPLO Ua baa fna hoogénea de copento l e assa, ncalente e epouso sobe ua supefíce hozontal, é atngda po ua pequena bola, tabé de assa, co velocdade v, nu ponto que dsta l / 4 do seu cento. Sabendo que após a colsão a bola fca encastada na baa, detene a) a posção do cento de assa do sstea eso após a colsão; b) o oento de néca do sstea elatvaente ao exo pependcula que passa no seu cento de assa; c) a velocdade do cento de assa do sstea nesse nstante; d) a velocdade angula de otação do sstea após a colsão; e) o pulso fonecdo à baa pela colsão; f) a enega dsspada duante a colsão. y v l/4 x

75 ovento plano constangdo apaecento de foças pulsonas não há consevação da quantdade de ovento! F F R

76 EXEMPLO Ua baa fna hoogénea de copento l e assa, ncalente e epouso sobe ua supefíce hozontal, pode oda e tono do exo pependcula que passa pelo seu cento A. A baa é atngda po ua pequena bola, tabé de assa, co velocdade v, nu ponto que dsta l / 4 do seu cento. Sabendo que após a colsão a bola fca encastada na baa, detene a) a velocdade angula de otação do sstea após a colsão; b) a quantdade de ovento do sstea antes e após a colsão; c) a enega dsspada duante a colsão; d) o pulso da foça de eacção no ponto A. y v l/4 A x

77 EXERCÍCIO Ua baa de assa e copento l possu nua das suas extedades u pequeno gancho de assa despezável. A baa desloca-se e lnha ecta co ua velocdade v, até passa po u pno O onde o seu gancho fca peso. Detene a) a velocdade angula da baa edataente após o gancho fca peso; b) a quantdade de ovento edataente antes e após o choque; c) a velocdade v necessáa paa que a baa após o choque possa efectua voltas copletas se que o seu gancho se despenda do pno. v O ω

78 MECÂNICA LARANEANA

79 COORDENADAS ENERALIZADAS a posção de ua patícula é defnda pelo seu ao vecto de posção v 3 coodenadas! a posção de u sstea de N patículas é defnda po N aos vectoes de posção 3N coodenadas! estções dnução do núeo de coodenadas necessáas

80 patícula que se ove ao longo de ua lnha coodenada θ patícula obgada a ove-se sobe supefíce basta paâetos posção de copo ígdo x' z' posção de u ponto oentação do copo 6 coodenadas x z y y'

81 sstea co s gaus de lbedade são necessáas s vaáves ndependentes coodenadas genealzadas q, q,..., q s quasque s vaáves que defna copletaente a posção de u sstea co s gaus de lbedade selecção das coodenadas genealzadas paaetzação

82 EXEMPLO A ola da fgua, colocada no nteo de ua calha, está suspensa pela sua extedade supeo. Na outa extedade enconta-se ua baa hoogénea uto fna que pode oscla e tono desse ponto. h k, l o g A θ l, Paaetzação ponto A ove-se na vetcal localzação da baa oentação no plano e posção de A coodenadas genealzadas: dstânca de A à platafoa h ângulo da baa co a vetcal θ

83 LARANEANA ecânca lagangeana cada sstea ecânco é caactezado po ua detenada função - a lagangeana ( q,q& t) L L, onde L T U T enega cnétca do sstea U enega potencal

84 EXEMPLO A h θ x y Lagangeana U T L v CM I CM θ & T + U g U e U + ( ) 0 cos 6 sn l h k l h g l h l h L θ θ θ θ & & & &

85 PRINCÍPIO DA ACÇÃO MÍNIMA evolução do sstea é tal que a acção S t t L ( q, q&, t) toa o íno valo possível EQUAÇÕES DE LARANE nzação da acção conduz a d L q& L q 0,,..., s equações dfeencas de ovento detenação de q ( t) eque s condções fontea

86 EXEMPLO & & & 6 L h lθ hsnθ + l θ + g h + cosθ k( h l ) 0 coodenadas genealzadas h e θ & l Equações de ovento d L L q& q 0 segundo h l l h&& && θ snθ + & θ cosθ + g k ( h l ) 0 segundo θ l 3 && l θ h& snθ gl snθ

87 EXERCÍCIO Ua patícula de assa ove-se sobe a supefíce de u cone de se-ângulo θ, tal coo é ostado na fgua, estando apenas sujeta à acção da gavdade. a) Esceva a lagangeana da patícula b) Obtenha as equações do ovento da patícula e oste que o oento angula desta e tono do exo de seta do cone se conseva. z θ ρ x ϕ y

88 EXERCÍCIO Ua calha, co a foa ndcada na fgua, oda e tono do exo vetcal co ua velocdade angula ω constante. No nteo da calha enconta-se ua pequena bola de assa. A θ R g B ω Sabendo que a bola ncalente está e epouso (e elação à calha) na posção A, e que chega a B co velocdade nula, detene a velocdade angula ω. Nota: Despeze o atto ente a bola e a calha.

89 EXERCÍCIO O esquea da fgua epesenta u dsco que oda e tono do exo vetcal co ua velocdade angula ω constante. Sobe o dsco está colocada ua apa, soldáa co ele, que possu ua anhua po onde é lve de deslza (se atto) ua patícula de assa. a) Esceva a lagangeana da patícula e oste que a equação do ovento desta se pode esceve na foa: 4&& l 3 ω l g, onde g é a aceleação da gavdade. b) Detene, e função de l, a velocdade da patícula. l 30 o ω

90 EXERCÍCIO Na fgua está epesentado u pêndulo sples e que a haste fo substtuída po ua ola de constante elástca k e copento natual l 0. Suponha que não há foças de atto aplcadas. Esceva a lagangeana deste pêndulo e obtenha as suas equações de ovento. O l

91 EXERCÍCIO Ua patícula de assa ove-se sobe ua esa hozontal se atto. Ua coda nextensível, que passa no ofíco abeto no cento da esa, lga a patícula a ua ola de constante elástca k. A ola está pesa ao solo de foa a não expeenta qualque alongaento quando a assa se enconta no ofíco. a) Esceva a lagangeana da patícula. b) Obtenha as equações do ovento da patícula. c) Moste que o oento angula da patícula se conseva. Coo ntepeta fscaente este esultado? k

92 EXERCÍCIO Ua patícula de assa pode desloca-se ao longo de ua calha que passa pelo cento de u dsco se assa. A assa está lgada po duas olas guas de copento lve R/ e constante de gdez k aocentododscoeauexteoda calha. O dsco, de ao R, está colocado hozontalente e pode oda e tono do exo vetcal que passa pelo seu cento. a) Detene as equações dfeencas do ovento. b) Aa agoa que o dsco oda co velocdade angula ω constante. Que valo deve te ω paa que o ovento da patícula ao longo da calha seja haónco sples? g

93 EXERCÍCIO 3 U se-dsco hoogéneo de assa eaor pode oda se deslza sobe a supefíce plana hozontal onde está colocado. a) 4R Moste que d. 3π b) Moste que o oento de néca do se-dsco e elação ao exo pependcula que passa pelo seu 6 cento de assa é dado po I CM R. 9π c) Detene as equações do ovento do se-dsco. CM O d R θ g

94 EXERCÍCIO 4 U pêndulo duplo é foado po duas assas, e, suspensas po fos de copento l e l, tal coo osta a fgua. d) Esceva a lagangeana deste sstea. e) Enconte as equações do ovento do pêndulo duplo. θ l ϕ l

95 EXERCÍCIO 5 Esceva a equação de ovento de u pêndulo que te o seu supote, de assa despezável, a desloca-se nu plano hozontal, confoe esqueatzado na fgua. x s (t) l x

96 INTRODUÇÃO À MECÂNICA CLÁSSICA Tanspaêncas das aulas teóco-pátcas Maa Inês Babosa de Cavalho 00/00

97 EXERCÍCIO Ua foga desloca-se co ua velocdade constante v' ao longo de u dâeto de u dsco hozontal que oda co ua velocdade angula constante ω e tono da vetcal. ω g v ' a) Detena todas as foças fctícas ou necas que a osca sente. b) Que dstânca é que a foga pode pecoe antes de coeça a escoega, sabendo que o coefcente de atto estátco ente a foga e o dsco é µ e?

98 EXERCÍCIO Ua calha, co a foa ndcada na fgua, oda e tono do exo vetcal co ua velocdade angula ω constante. No nteo da calha enconta-se ua pequena bola de assa. A θ R g B ω Sabendo que a bola ncalente está e epouso (e elação à calha) na posção A, e que chega a B co velocdade nula, detene a) a velocdade angula ω; b) as foças execdas pela calha sobe a bola. Nota: Despeze o atto ente a bola e a calha.

99 EXERCÍCIO Ua patícula de assa ua patícula de assa co velocdade v colde co, ncalente e epouso. 3 a) Supondo que a colsão é undensonal, e que ε 4, detene ) as velocdades das patículas após o choque; ) a enega dsspada no choque. b) Consdeando que a colsão é bdensonal e elástca, e que a patícula ncdente é deflectda segundo u ângulo ϕ, oste que ) tanϕ v snϕ f ; v v f cosϕ ) v f cosϕ ± 4cos ϕ 3 ; v 3 ) o valo áxo de ϕ é 30 o. c) Nas condções da alínea anteo, e paa ϕ 30 o, detene v f e v f.

100 EXERCÍCIO Consdee u dsco ccula de ao R e assa M consttuído po dos se-dscos de ateas dfeentes. R A M3 Sabendo que a assa de u dos se-dscos é o dobo da assa do outo, detene a) a posção do cento de assa do dsco; b) o oento de néca do dsco elatvaente ao exo pependcula que passa pelo seu cento; c) o oento de néca do dsco elatvaente ao exo pependcula que passa pelo seu cento de assa; d) a enega cnétca do dsco quando ele oda e tono do exo pependcula que passa pelo ponto A co ua velocdade angula ω. e) Moste que o esultado anteo pode se obtdo calculando a enega cnétca de tanslação e de otação elatvaente ao cento de assa.

101 EXERCÍCIO U caxote de assa sobe ua supefíce nclnada, puxado po u guncho. O coefcente de atto cnétco ente o caxote e a supefíce é µ C. O oento de néca da oldana e elação ao seuexoé I CM. Sabendo que o oto exece u oento M T na oldana, detene a aceleação do caxote. d α M T

102 EXERCÍCIO Ua oda de u coboo ola se escoega nu cal hozontal. A oda está sujeta a ua foça vetcal F V, aplcada no seu cento, e a ua foça hozontal F H, aplcada no ponto de contacto co a baa de lgação. A assa da oda é eoseu oento de néca elatvaente ao exo pependcula que passa no seu cento de assa é I CM. Sabendo que o CM da oda está a ua dstânca d do seu cento, coo osta a fgua, detene a aceleação angula da oda. F H y θ d CM F V d N x R ω g F a

103 EXERCÍCIO O esquea da fgua epesenta u dsco que oda e tono do exo vetcal co ua velocdade angula ω constante. Sobe o dsco está colocada ua apa, soldáa co ele, que possu ua anhua po onde é lve de deslza (se atto) ua patícula de assa. a) Esceva a lagangeana da patícula e oste que a equação do ovento desta se pode esceve na foa: 4&& l 3 ω l g, onde g é a aceleação da gavdade. b) Detene, e função de l, a velocdade da patícula. l 30 o ω

104 EXERCÍCIO Na fgua está epesentado u pêndulo sples e que a haste fo substtuída po ua ola de constante elástca k e copento natual l 0. Suponha que não há foças de atto aplcadas. Esceva a lagangeana deste pêndulo e obtenha as suas equações de ovento. O l