Capítulo 10. Rotações

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1 Capítulo 0 Rotações

2 Gaus de Lbedade Uma patícula: (x, y, z) Duas patículas: 3 gaus de (x lbedade, y, z, x, y, z ) 6 gaus de lbedade N patículas 3N gaus de lbedades Dependendo do alo de N o estudo dos momentos fca mpatcáel, mesmo com os melhoes computadoes VÍNCULOS dmnuem os gaus de lbedades do sstema EXEMPLO: Dstânca, a um ponto fxo, constante 3 gaus de lbedade gaus de lbedade

3 Copo ígdo tem dstânca fxa ente suas patículas. Tanslação de um copo ígdo: todos os pontos se moem paalelamente Momento do copo ígdo tanslação que lea um ponto A do copo de uma posção ncal a outa fnal + tanslação - 3 gaus de lbedade coodenadas de A + momentos em tono de A otação - 3 gaus de lbedade coodenadas de qualque outo ponto em elação ao A PORTANTO: Momento de ROTAÇÃO de um copo ígdo é aquele que dexa pelo menos UM PONTO fxo

4 Rotação em tono de um exo fxo Se em ez de um ponto fxo houe um exo fxo (nfntos pontos fxos) CONVENÇÃO: ega da mão deta û û R gau de lbedade ângulo de otação φ em tono do exo Qual o sentdo posto de otação φ em tono do exo φ > 0?? Pode-se consdea que em uma otação com APENAS um ponto fxo sempe haeá um EXO NSTANTÂNEO cuja deção aa com o tempo Um deslocamento angula nfntesmal, é defndo então po dφ e ut ˆ( ) ut ˆ( ) tal que ut ˆ( ) dφ = ud ˆ φ ut ˆ( )

5 Deslocamento angula nfntesmal é defndo po dφ e ut ˆ( ) Deslocamento angula é eto? Obedece álgeba etoal? Soma pela ega do paalelogamo? É comutato? θ + θ = θ + θ Vefcação: seja um deslocamento θ em tono de um exo n dado po R n ( θ) Aplquemos estes deslocamentos sobe o objeto O R z (π/) O = R x (π/) O = R x (π/) { R z (π/) } O = R z (π/) { R x (π/) } O = 4 4 Exos: x z Resultados dfeentes? y Deslocamentos angulaes não obedecem a álgeba etoal

6 Salo pelos nfntésmos Como enconta as gandezas análogas à, d etc., sem etoes? Os deslocamentos NFNTESMAS são etoas!!! dϕ senθ û ut ˆ( ) + d θ + d O û Copo ígdo com otação. Ponto fxo O. Ponto na posção d = senθ dϕ û se moe até = + d Exo nstantâneo ut ˆ( ) Sugee um poduto eloal ente e dϕ sendo d anthoáo sobe o cículo d = dϕ = dϕ uˆ( t) = + dϕ uˆ( t), u ˆ Dos deslocamentos consecutos: d uˆ ϕ, dϕ ˆ u d = + ˆ ϕ dϕu = + = + dϕ uˆ + dϕ uˆ este temo é depezíel se compaado com os outos ( dϕ uˆ dϕ uˆ ) + dϕ uˆ ( dϕ uˆ ) = + + COMUTAM!!!

7 Velocdade e acelaação angulaes Deslocamentos angulaes NFNTESMAS somam-se como etoes dϕ u ˆ dϕ u ˆ + dϕ uˆ dϕ uˆ = dϕuˆ dϕ dϕ u ˆ dϕ dϕ uˆ dϕ dϕ dϕ uˆ ˆ ˆ + u = u dϕ dϕ uˆ ω uˆ + ωuˆ = ωuˆ dϕ uˆ d Velocdades angulaes somam-se como etoes = dϕ d d = ϕ = ω = ω senθ Objeto plana: momento ccula = ω Aceleação angula: dω dω duˆ ω ω û α uˆ +ω duˆ = 0 α α = Se o exo de otação é fxo: dω

8 EXEMPLO Esfea de ao R sustentada po 6 esfeas menoes de aos R/4 C A z B y x 3 das esfeas menoes, A, B e C, possuem exos que pemtem mpm otações em tês deções otogonas ente s. Não há deslzamento ω = 0ad/s; ω = 60ad/s; ω = 480ad/s A B C Enconta o eto elocdade angula Ω da esfea mao. As esfeas pequenas tansmtem à gande elocdades tangencas guas às suas, mas de snas contáos ΩR = ( ω + ω + ω ) R /4 A Ω = (30ˆ 40 ˆj+ 0 kˆ )ad/s B C Ω = ( ω ˆ ˆ A + ωbj+ ωcˆ k)/4 Ω= Ω = ad/s=30ad/s DREÇÃO (e fgua) Ângulo ente Ω e o exo z: 0 cosθ= = 0,93 θ=,6 30 Ω kˆ = Ω cosθ

9 Tabalho no deslocamento angula - defnção de toque P d F Foça em P TRANSLAÇÃO ROTAÇÃO P se desloca de d Tabalho de F: dw Deslocamento tanslaconal dw = dϕ F= dϕ F Deslocamento otaconal POTÊNCA de F: F análogo de F TORQUE τ F = d F dw dϕ F P = = ω τ d dϕ d = dϕ ω = ω a d/ α d ω / F τ F p? a.le Newton? F = dp/ a.le Newton? F = m a m?? K = m

10 TORQUE τ F MÓDULO: τ = F senθ = ( Fsen θ ) = F ( sen θ ) F BRAÇO DE ALAVANCA Dstânca da ogem O à eta supote da foça F θ F O F θ O F SNAL do toque: entando no plano de escta o toque atua paa ga o copo no sentdo hoáo F T= F + F + F + F TORQUE RESULTANTE: nulo F 3 F F 4 Só somam-se os toques de FORÇAS EXTERNAS? E as ntenas? Foças ntenas apaecem aos paes, obedecendo a 3a. Le de Newton Soma dos toques de todas as foças ntenas = ZERO UM PAR: Fj+ j F j = Fj j Fj = ( j ) Fj = j F = 0 j O paalelos 4

11 4) τ EXEMPLO: m m E 3 4 m m l k j Sobe cada esfea atua uma foça F dada po: F = F F = F k F = ( ) 3 F j F 4 = F a) Calcule os toques de cada foça e o toque esultante sobe o copo, com elação ao seu ponto cental E. ) = F = l j F= lf k τ = F = l ( j ) ( F ) = lf j = lf k τ = F = l ( + ) F = lf j k j 3) τ = F = ) 0 Toque esultante T = τ + τ + τ + τ = lf k+ lf j E 3 4 b) Se houe uma elocdade angula ω, no sentdo ant-hoáo, em tono de um exo que passa po E, ao plano da fgua, qual é a potênca ealzada sobe o copo e quas são as foças que contbuem paa esta potênca. Potênca = poduto escala ente toque e elocdade angula ω= ω k: P lf lf lf E ω = T k= ω ω k+ j k= Paa este esultado só contbuíam as foças que atuam nas esfeas e 4, cujos toques possuem uma componente paalela a ω.

12 Dos teoemas muto útes: ) Se a soma total das foças extenas que atuam sobe um copo é nula, o toque esultante não depende da ogem em elação à qual é calculado. F O 4 F F3 3 F 4 T = F, ext F, ext 0 = Mudando a ogem paa O : ' = o F ' O o ' O F 3' ' 4 F 3 F 4 T ' = ' F ext, = ( o ) F, ext = F, ext o F, ext = T o F, ext T' = T

13 Dos teoemas muto útes: ) O toque total sobe um copo de massa M ealzado pelo seu peso pode se calculado supondo-se que todo o peso é aplcado no cento de massa do copo. Tg = τ = m g = m M M g O Tg= cm Mg Como se todo o peso estesse no cento de massa. Váldo também paa um copo contínuo. Basta usa a ntegal de dm no luga do somatóo. EXEMPLO: Escada de Foças : peso, nomal N, nomal N h e foça de N h compmento L. atto F a. Não há atto ente a escada e a paede. A escada não está em momento esultante das foças =0. Toque =? θ mg F a O N O peso da escada seá consdeado no seu cento de massa. Resultante das foças =0 N= mg, N = F h a Em elação ao ponto O: T= mgl senθ F Lcos a θ

14 Defnção de Momento angula d F = p d τ =? d d d = p p = d ( p) m τ = F= p ( ) Momento lnea a.le de Newton paa otações τ τ = d ( p) τ = d Momento angula p Toque de áas foças e momento angula de áas patículas: d = Τ = dl T τ L TRANSLAÇÃO d a d/ F p a.le Newton F = dp/ a.le Newton K ROTAÇÃO dϕ d = dϕ ω = ω α d ω / τ F p τ = d? F = m a m?? = m

15 EXEMPLO : Cao: massa = 000 kg, elocdade = 30 m/s. l em elação aos pontos A e B =? Se cao patícula : Ns 5m m 4,5 05 m s J s A = = B = 0 Um copo em momento etlíneo tem momento angula em elação a um ponto foa da tajetóa. EXEMPLO : Fo se desenola (tensão nula) e oldana sem massa e sem atto B T= mg L= m O R Aceleação = g T = Rmg L= Rm m mg ª.Le: dl d T = R mg = ( R m) g d = a

16 Exo fxo ATÉ AGORA CONSDEROU-SE ROTAÇÃO COM UM PONTO FXO (3 gaus de lbedade) Não haa um exo fxo AGORA CONSDERAR-SE-Á ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EXO FXO ( gau de lbedade) TRANSLAÇÃO d a d/ F a.le Newton F = dp/ a.le Newton K p F = m a ROTAÇÃO dϕ d = dϕ ω = ω α d ω / τ F? m? = m p τ = d? Senão o análogo de massa m teá que se uma matz 3x3

17 Exo fxo Momento angula de uma patícula em momento ccula unfome z θ O ϕ ρ l m y = zˆk + z =0 ρ ρ ρ(cos φ + jsen φ) ˆρ adal d dρ = = = ωρ( senωt+ jcos ωt) ˆϕ tangencal x ˆk ˆk ˆ ˆ (,, ) ρ ϕ tíade odenada pela ega da mão deta: ˆk ˆ ˆ ρ =ϕ ˆϕ ˆρ Momento angula: = m= (k zˆ + ρ) m = zkˆ mωρϕ+ ˆ ρρ ˆ mωρϕˆ = mzωρ ρ ˆ( t ) + mωρ ˆk Vaa no tempo Constante no tempo

18 Exo fxo Toque da foça centípeta exo balanceado Como O F τ F=0 Toque da foça Tea-Lua em elação à Tea = 0 ρ F m Toque sobe a patícula m F ρ F m τ z O F = ϕˆ zmω ρ = mzωρρ ˆ( t) + mωρ kˆ d τ = dˆ( t) = mzωρ ρ Toque da patícula sobe as baas e a base. Sentdo de cua a base paa foa. Rotação em exo não balanceado z O + 0 Τ F F = L = + = mωρ kˆ dl T = 0 Momento da patícula não tenta cua as baas. Rotação em exo balanceado

19 Exo fxo ω ρ 4 ρ z ρ 5 Momento angula de um copo ígdo Momento de néca ρ 3 ρ Vaa no tempo y = mzωρ() t + mωρ kˆ L = = ˆ( t) m z kˆ m ω ρ ρ + ω ρ Constante no tempo x Se nulo exo balanceado. Se não nulo o exo seá foçado adalmente paa foa. Se o exo supota os toques no plano xy a otação se dá em um exo fxo Só nteessa a componente L z Lz ( ) m ρ = ω Lz z = ω z m ρ z Momento de néca Compae com pz = mz z análogo a m Deando em t: Tz = z α Análogo a F=ma

20 Exo fxo T m z = z α z ρ TRANSLAÇÃO ROTAÇÃO Enega Cnétca d dϕ ω d = dϕ ρ ω 4 z ρ 3 = ω ρ ρ a d/ α d ω / 5 F τ F ρ y p p a.le Newton τ = d K = m F = dp/ x =ωρ a.le Newton T F = m a z = z α ( ) K = m ρ ω m m z ρ K = m K = z ω K = z ω

21 EXEMPLO: m m E 3 4 m m l k j Momento de néca do copo mostado na fgua, em elação ao exo pependcula ao plano de escta, no ponto E. Os aos que ão do exo às esfeas têm massa despezíel, e o ao das esfeas é muto meno que l. Cada esfea pode se tatada como uma patícula cuja dstânca ao exo é gual a l. = m ρ + m ρ + m ρ + m ρ E = (m+ m+ m+ m) l = 6ml E Se toque aplcado: T E = τ + τ + τ + τ = lf k+ lf j 3 4 Detemne a aceleação angula em tono do exo. Dee-se usa a componente do toque na deção z. Tz = z α Enconte a elocdade e o deslocamento angulaes em função do tempo. Suponha que ω(0) = 0. t ω = α ( t ) = 0 T α = z = z F t 6ml lf 6ml α = F 6ml t F θ = ω ( t ) = 0 ml t

22 EXEMPLO: = de um anel de ao R e massa M, em elação ao exo que passa pela seu cento, pependcula ao seu plano. R dm = R dm= MR EXEMPLO: = = dm dm EXEMPLO: de um dsco de ao R e massa M, em elação ao exo que passa pela seu cento, pependcula ao seu plano. dm = M R = 3 d R 0 M π R da M M = π d = π R R M R 3 MR = d = R 0 d de um dsco de ao R e massa M, em elação ao exo pependcula ao seu plano, que passa tangente à sua boda. = cm + Md Teoema dos exos paalelos: MR 3 = + MR = MR

23 de uma pota de lagua D e massa M, em elação ao exo que passa pelas dobadças. OU de uma baa de compmento D e massa M, em elação ao exo que passa po uma de suas extemdades. = x dm M M M Pota: dm = da = hdx = dx Dh Dh D Baa: dm= M dx M D D = xdx= MD D 0 3 Pota de lagua D=80cm e massa M=5Kg. EXEMPLO: Foça F=0N, pependcula à pota, na extemdade le. Aceleação angula α =? 0 dx D x τ = α 5Kg (0,8m) = MD = = 3, Kg m 3 3 τ = F D = 0N 0,8m = 6Nm 6Nm=3, Kg mα 6Nm ad α = = 5,0 3, Kg m s

24 Exemplo: Rolamento e Deslzamento de copos com smeta clíndca ou esféca DESLZAMENTO TRANSLACONAL MOVMENTO GERAL DESLZAMENTO ROTACONAL ω t = +ω b = ω ω = 0 =ω ROLAMENTO Não há deslzamento. Atto estátco 0 b = 0 t =ω =ω b = 0 Pode-se consdea um exo, que se moe, passando pelo ponto de contato com o chão. ROLAMENTO COM DESLZAMENTO TRANSLACONAL > ω ROLAMENTO COM DESLZAMENTO ROTACONAL < ω

25 EXEMPLO: Copo de massa m penduado em oldana de ao e momento de néca po coda sem massa. A oldana ga sem deslza. ACELERAÇÃO =? Método : a.le de Newton: Bloco (tanslação) mg T = ma Roldana (otação) T = α Mas a = α = m a mg a mg = ma a = + g m + T T mg a Método : Conseação de Enega: Quando o deslocamento do copo te sdo y (ogem no ponto ncal) : = = + m + ω = mgy E 0, Ef m ω mgy Deando em elação ao tempo: d d dy m ω a + ω = mg ma+ = mg + a = m g

26 EXEMPLO: Dos blocos suspensos po uma oldana com momento de néca. O alo de M é mao do que o de m, e o atto do fo com a oldana é sufcente paa que ela ge sem hae deslzamento do fo. Calcule a aceleação angula da oldana. Conseação de Enega: Após os copos se deslocaem de y, em sentdos opostos: U = mgy Mgy e K m M = + + ω ( m+ M) Rω+ ω K + U = 0 = ( M m) gy Após dea em elação ao tempo obtém-se: α = onde = ωr T y ( M m) gr ( M + mr ) + m mg R M Mg T y Les de Newton: Veja as foças em cada copo TORQUE: ( T T ) R= α Mg T = Mα R T mg = mα R ( ) ( M m) g R = T T + ( M + m) α R R ( M m) gr= ( M m) R + + α

27 Momentos Exteno e nteno de um copo Momento de um copo TRANSLAÇÃO (de um ponto O) + ROTAÇÃO (em tono dele) Então se O c.m. : TRANSLAÇÃO Mo. Exteno e ROTAÇÃO Mo. nteno 4 3 CM 4 3 CM O O K= M m cm + onde = cm + = cm + = cm + cm + K= m m = cm + cm m + m K = K + tanslação K nteno P total =M CM =0, no ef. do CM Se Mo. nteno ROTAÇÃO em tono de um exo: = ωρ K = m nteno ρ ω = ω

28 Momentos Exteno e nteno de um copo Momento de um copo TRANSLAÇÃO (de um ponto O) + ROTAÇÃO (em tono dele) Então se O c.m. : TRANSLAÇÃO Mo. Exteno e ROTAÇÃO Mo. nteno O 4 3 CM O 4 3 CM = cm + = cm + = m + m L= p cm L = ( m ) + m cm M cm L= M + m cm cm L = L + L = M + m tans nt cm cm E se o Mo. nteno é Rotação em tono de um exo: = ωρ L= L tans + ω

29 EXEMPLO: Moste que os momentos nteno e exteno de um copo olando sobe um supefíce, sem deslzamento, podem se consdeados como apenas uma otação em tono de um exo passando pelo ponto de contato ente o copo e a supefíce. K= M+ o ω o em elação a um exo passando pelo cento de massa sem deslzamento L= RM + o ω = ωr ω R K= MRω + o ω = o MR + ω ( ) o L= MRω + oω = + MR ω Mas MR o + é o momento de néca em elação a um exo passando pelo ponto de contato com a supefíce. K= ω L= ω

30 EXEMPLO: Copo de massa m, ao e momento de néca o, com elação a um exo passando pelo cento de massa (C.M.), desce sem deslza um plano nclnado de ângulo θ. A) ACELERAÇÃO DE TRANSLAÇÃO DO C.M.? F a N mg θ Método : a.le de Newton (exo passando pelo cento de massa) Toque : τ = F F = Veja as foças que atuam no copo Tansl. do CM Emboa haja tanslação do C.M., podemos consdea todo o momento como apenas ROTAÇÃO em tono do exo passando pelo ponto de apoo. mg senθ TORQUE : τ = mg senθ τ = α α = Mas = ω a= a = a a o α Fa = oa mg senθ = oa+ ma mg senθ Fa = ma mg senθ a a = o + m Método : a.le de Newton (exo passando pelo ponto de apoo) mg senθ g senθ a = Mas m m o g senθ = + m o g senθ a = + m = + o α

31 Método 3: Conseação de Enega Após deslocamento x (posto p/baxo) : K + U = 0 ω mgxsenθ = 0 F a N mg x θ Deando em elação ao tempo: a = mg senθ a = g senθ / m g senθ = + m o B) Foça de Atto necessáa paa não hae deslzamento? TRANSLAÇÃO DO CENTRO DE MASSA: mg sen F ma mg senθ θ a = = F + a = mg sen o m + o m C) Condções paa não hae deslzamento? θ mg sen Fa = + m θ o mg + sen m o θ < µ N = µ mg cosθ tan θ < µ ( + ) m o tanθ µ > + m o

32 EXEMPLO: Um oô tem massa M e momento de néca. O caetel onde se enola o fo tem ao R. Detemne a aceleação do cento de massa do oô e sua elocdade após te se deslocado de y. Conseação da enega mecânca: K= M + ω = M Mgy + R = =ωr Les de Newton: TORQUE: TRANSLAÇÃO: = gy + MR a TR = α = T = R Usando-se = ay Mg T = Ma FORÇAS: Mg, T a R obtém-se a elocdade. DERVADA: Mg= M+ a R a= Mg M + R a= Mg M + R y T R ω Mg

33 EXEMPLO: MOVMENTO COM DESLZAMENTO Copo de massa m, ao e elocdade angula ncal ω o é colocado sobe uma supefíce plana, com a qual tem um coefcente de atto cnétco µ. Rω o Detemne (t) e ω(t). FORÇAS: N Atto acelea o cento de massa: Atto desacelea a otação: t o =? Rω ( to) = ( to) Rω() t () t ω ο = Mg Fa = µ N = µ Mg Mg t o µ Mg = Ma α = µ MgR t o t α = MgR R N a =µ g µmgr µ Rω o to = µ gt o = µ g Rω o MR + ω(t) F a R =µ gt Rω ( to) = ( to) = o (t) ω = ω µmgr t Rω o MR + EXEMPLO: Refaça o poblema supondo ω o nula e o dfeente de zeo.

34 Conseação do Momento Angula d = L Τ T= 0 L= constante Tz = 0 Lz = constante Tx = 0 Lx = constante Ty = 0 Ly = constante EXEMPLO: Um clndo oco de ao nteno R desce estndo outo clndo de ao lgeamente meno, sem toca nele, até toca um pequeno essalto na base nfeo do clndo de baxo. Este últmo clndo ga sem atto em tono de um exo peso a uma platafoma fxa e sua elocdade angula ncal, antes do outo se abaxado, ea ω. Detemne a elocdade angula fnal do conjunto. Os momentos de néca são dados na fgua. O toque exteno sobe o sstema, na deção do exo de otação (z) é nulo L z, = L z, f ω = ( + ) ω f ω = ω f + M R R-ε ω

35 EXEMPLO: Balana ncalmente gando com elocdade angula ω o com os baços abetos e uma pena estcada (momento de néca o ) epentnamente os fecha (momento de néca f ). As foças da gadade e da nomal execem toque esultante nulo sobe o copo da patnadoa, potanto o seu momento angula só é afetado pela foça de atto, de toque muto pequeno. Despezando-se a foça de atto: oωo = ω f f ω = f o ω o f

36 EXEMPLO: Dstânca mínma ente um meteoo e a Tea Um meteoo em uma tajetóa póxma à Tea está a uma dstânca até o seu cento e elocdade, medda no efeencal da Tea. V R b 90 o Detemne a meno dstânca ente a tajetóa do meteoo e o cento da Tea. Momento angula ncal Lo = mb No ponto de apoxmação mínma, a elocdade do meteoo seá otogonal à lnha que a dele ao cento da Tea; senão, a dstânca ao cento da Tea estaa dmnundo ou aumentando, não sendo potanto um alo mínmo. Assm, L mvr R = mb= mvr V= b R Conseação da enega m GMm mv GMm = R naquele ponto o momento angula do meteoo seá Conseação do momento angula: Resolendo esse sstema: GM + GM + ( GM ) b R = G M