MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO RÍGIDO

Transcrição

1 Depatamento de Físca da Faculdade de Cêncas da Unvesdade de Lsboa Mecânca A 008/09 1. Objectvo MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO RÍGIDO Estudo do movmento de otação de um copo ígdo. Detemnação do momento de néca de um copo em elação a um exo. Estudo da vaação do momento de néca de um copo com a dstânca ao exo de otação.. Intodução Momento angula de uma patícula Defne-se momento angula L de uma patícula em elação a um ponto O como o poduto vectoal do vecto posção da patícula, pelo vecto momento lnea mv, L = mv (1) Em geal, o momento angula de uma patícula vaa em módulo e decção duante o movmento. Se o movmento ocoe num plano que contém o ponto O, a decção do momento angula pemanece constante, ou seja, pependcula ao plano, vsto que e v estão contdos no plano. No caso especal do movmento ccula, quando o momento angula se calcula em elação ao cento do cículo, os vectoes e v são pependculaes e vefcam a elação v = ω, sendo ω a velocdade angula, donde: L = mv = mω () No movmento de uma patícula o sentdo de L concde com a decção de ω e podemos esceve a elação vectoal: L = m ω (3) Devando a elação (1) em odem ao tempo, vem: dl d( mv ) d dv dp = = mv + m = v mv + (4)

2 Momento de néca Em (4) a 1ª pacela é nula e a ª vem gual a F, pelo que a vaação no tempo do momento angula é gual ao momento da foça aplcada ou esultante das foças aplcadas e escevemos, dl = F = M (5) Momento angula e momento de néca de um copo ígdo Paa um sstema consttuído po mutas patículas o momento angula total é a soma dos momentos angulaes de todas as patículas, L = L Um copo ígdo é um caso especal de um sstema composto po mutas patículas. As patículas de um copo ígdo em otação em tono de um exo fxo descevem ccunfeêncas centadas no exo de otação com uma velocdade v = ω. A velocdade v da patícula é, assm, popoconal ao ao da ccunfeênca que desceve. v = ω senθ = ω R (7) Z (6) ω v R L L Z θ O m No movmento ccula é pependcula a v. A pojecção do momento angula de uma patícula segundo o exo de otação vem: L = L cos 90 θ = mv senθ = m v senθ = m v R = m ω R z ( ) (8) e a pojecção do momento angula total segundo o exo de otação é dada po: Lz = Lz = m R ω = Iω I epesenta o momento de néca do copo. Paa uma dstbução contnua de massa, (9) I = dm, (10) (6)

3 Momento de néca onde dm epesenta a massa de um elemento nfntesmal colocado à dstânca do exo de otação, sendo o ntegal estenddo a todo o copo. A pat desta equação pode-se compeende que o momento de néca de um copo em elação a um exo depende, não só, do exo em tono do qual ele ga, mas também, da foma do copo e da dstbução da massa. Num sstema de mutas patículas, o vecto momento angula não tem, em geal, a decção do exo de otação. Quando concdem dz-se que o exo de otação é um exo pncpal de néca e vem L = I ω (11) Os exos de smeta são exos pncpas de néca. Tal como o momento lnea caacteza a quantdade de movmento de tanslação, o momento angula caacteza a quantdade de movmento de otação. A gandeza esponsável pela alteação do estado de otação é o momento esultante das foças exteoes aplcadas M que se elacona com o momento angula do copo po: dl M ext = (1) Esta expessão é dêntca à obtda paa uma patícula (5). A elação (1) é fomalmente análoga à dp elação F = paa o movmento de tanslação. Como, paa um copo ígdo, o momento de néca I é constante, das elações (11) e (1) obtemos: d( Iω) dω M ext = = I = Iγ (13) Ou seja M I ext = γ (14) onde γ epesenta a aceleação angula do movmento. ext 3. Paa esolve antes da aula de ealzação do tabalho 1) Qual é o momento de néca de uma massa pontual de 100 g, elatvamente a um exo do qual dsta 10 cm. ) Qual é o momento angula da massa anteo quando oda em tono do exo efedo com uma velocdade angula de 6,0 ad/s. 3) Dos clndos de massa m 1, ao e altua h estão pesos sobe uma baa de compmento L b e massa m b que oda em tono de um exo pependcula à baa e que passa pelo seu cento (fg. 1). A dstânca do cento de massa de m 1 ao exo de otação é d. 3(6)

4 Momento de néca a) Esceva uma expessão paa o momento de néca do sstema em temos dos paâmetos acma efedos, ecoendo à nfomação que encontaá na últma págna deste documento. b) Calcule o momento de néca do sstema paa m 1 = 50 g, = 1,5 cm, h = 1,5 cm, L b = 60 cm, m b = 150 g e d = 5 cm. 4. Realzação expemental Neste tabalho estuda-se a vaação de momento angula de um sstema em função do seu momento de néca e do momento esultante aplcado. Mateal Baa clíndca, apoada no cento, onde se podem poscona duas massas guas a dfeentes dstâncas. Este sstema é colocado sobe um exo de teflon de foma a eduz o atto no movmento de otação. Massas de 100 g, 150 g e 00 g. Pato suspenso po um fo e oldana. Senso óptco lgado ao computado paa egsto de posções e velocdades. Cavea, balança. Paa nca o movmento de otação aplca-se um momento constante, suspendendo uma massa m num fo que se enconta peso, va uma oldana, no exo de otação com fta velco (supõese que as foças de atto mas mpotantes coespondem ao atto sóldo ente o sstema e o exo em que está apoado, o que coesponde a um momento das foças de atto também constante). O fo é enolado um númeo de voltas detemnado, confome se petende uma duação mao ou meno do tempo de aplcação do momento. Sugee-se que a confguação ncal da baa seja a coespondente às massas m 1 nas posções extemas (d 7.5 cm). 1. O sstema é pepaado suspendendo uma massa m de 00 g no extemo do fo, peso pela fta velco e enolado com 10 voltas. Mantendo o sstema móvel, nca-se no computado o egsto tempoal da velocdade angula do sstema (pogama DataStudo, opção senso óptco: pola ntelgente otatva, dstânca angula = 0º) e lbeta-se o sstema. a) Regste os esultados obtdos paa a velocdade angula em função do tempo e a pat deles: ) Caacteze os dfeentes tpos de movmento que o sstema apesenta. ) Obtenha a aceleação angula do movmento ncal. 4(6)

5 Momento de néca ) Estme a aceleação angula méda devda ao momento das foças de atto. v) Calcule a aceleação angula assocada ao momento da foça de tensão. v) Indque o tpo de movmento da massa m e a aceleação lnea coespondente. Calcule a tensão no fo enquanto a massa desce. v) Calcule o momento aplcado pela tensão do fo em que o peso está suspenso. v) Calcule o momento de néca do sstema. b) Repta a sua expeênca utlzando mas duas massas m (150 g e 100 g) paa vaa o momento aplcado.. O momento de néca do sstema vaa nesta expeênca? Quas são as duas quantdades fundamentas que vaam e qual a elação ente elas? Calcule o valo médo dos tês valoes que obteve paa o momento de néca do sstema na confguação utlzada e o mao desvo elatvamente à méda. Apesente o esultado sob a foma I ± I. m 1 Fg. 1: Paa desencadea o movmento de otação do vaão, ao qual se adaptam as massas m 1, enola-se um fo em tono do clndo de ao, coaxal com o exo de otação, aplca-se um momento de foça suspendendo do fo, que passa pela oldana, a massa m e lbeta-se em seguda o sstema. Um senso de posção pemte med tempos de passagem paa o movmento de otação. m 3. Paa uma dada foça de tensão aplcada (uma dada massa m, já utlzada nos ensaos anteoes), altee a posção das massas m 1 tês vezes (mantendo-as equdstantes do cento) e epta o estudo ealzado em 1 a) com o objectvo de detemna o momento de néca do sstema em cada uma destas condções. 4. Meça também o momento de néca do vaão (sem massas). 5. Repesente gafcamente os momentos de néca obtdos em 1) e 3) em função do quadado da dstânca das massas ao cento de otação. Explque o gáfco obtdo. Intepete os paâmetos da ecta ajustada e compae-os com os valoes espeados. 5(6)

6 Momento de néca MOMENTOS DE INÉRCIA CILINDRO m I z = ao, altua h, m massa m I x = I y = (3 + h ) 1 BARRA compmento L, secção nula, massa m ml I c = 1 Adaptado de TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS A elação ente o momento de néca de um sóldo em elação a um exo de otação que passa pelo seu cento de massa, I p, é dada po I CM, e o seu momento de néca em elação a outo exo paalelo ao pmeo, I p = ICM + md onde m é a massa do objecto e d é a dstânca ente os exos paalelos. 6(6)