Óptica não Linear Introdução

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1 Óptca não lnea 95 Óptca não Lnea 6 6. Intodução A óptca não lnea tata do estudo da nteação da luz com a matéa no egme em que suas popedades óptcas são modfcadas pela pesença da luz. Muto emboa as popedades não lneaes da constante delétca e da susceptbldade magnétca fossem conhecdas há muto tempo, os pocessos óptcos não lneaes só começaam a se obsevados expementalmente no níco da década de 6. Isto decoeu do fato de que tas pocessos necesstam de altas ntensdades de campo eletomagnétco paa se manfestaem, o que só é possível com o uso de fontes de adação lase. Temos, potanto, quase cnco décadas do sugmento da óptca não lnea. Desde então, ocoeam enomes avanços, não só no entendmento dos aspectos fundamentas que egem a nteação da adação com a matéa, como também no desenvolvmento de uma gande vaedade de aplcações tecnológcas. Paa fsa este últmo ponto, ctamos o nascmento da ndústa opto-eletônca, e também a coda paa se alcança o desenvolvmento de dspostvos nteamente fotôncos, ou seja, aqueles que funconam apenas atavés da luz e de sua nteação com matéa, dspensando assm a atual tecnologa eletônca, que é mas lenta e consome mas enega. Usando a óptca não lnea, podemos pensa que no futuo póxmo teemos chaves ápdas puamente ótcas, o que em muto benefcaá o campo das comuncações óptcas, e também memóas e computadoes óptcos. Atualmente tem-se conhecmento de um vasto númeo de pocessos óptcos não lneaes, como po exemplo, a geação de novas feqüêncas atavés de pocessos de geação de hamôncos, soma e S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

2 96 Óptca não lnea dfeença de feqüêncas, assm como auto-modulação de fase, mstua de ondas, conjugação de fase, e outos. 6. Modelo do osclado não hamônco Vmos no Cap. 9 que é possível calcula as popedades de efação e a absoção de um meo utlzando o modelo do osclado hamônco amotecdo, que bascamente desceve o movmento de um eléton lgado ao núcleo atômco. Com aquele modelo pudemos calcula o deslocamento do eléton face à aplcação de um campo eletomagnétco, que depos fo utlzado paa o cálculo da polazação nduzda no meo e posteomente da susceptbldade, que é a esponsável pelas popedades lneaes de efação e absoção. O esultado obtdo com o modelo do osclado hamônco amotecdo mosta que a susceptbldade não depende da ntensdade da luz. Matematcamente, como P ε χ ~ E, a polazação vaa lneamente com o campo aplcado. Poém, devemos te em mente que fenômenos óptcos não lneaes só ocoem quando a esposta do meo mateal depende da ntensdade do campo elétco aplcado, ou seja, quando P ε ~ χ(e) E. Assm, é necessáo estende este modelo com a nclusão de temos não hamôncos paa deduz a expessão clássca paa a suscetbldade não lnea. Paa sso adconamos um temo quadátco à foça estauadoa da mola, de foma que a eq. (9.) se tona: d x dx m + mb + Kx + max ee (6.) dt dt onde a é o temo que caacteza a não lneadade de segunda odem da esposta eletônca, sendo muto meno que K. Paa consdeamos o caso mas geal, vamos supo que o átomo está sujeto a duas ondas de feqüêncas dfeentes, da foma: E(t) E exp ( ωt) + E exp ( ωt) (6.) A eq. (6.) é dfícl de se esolvda pelo fato de se uma equação dfeencal não lnea. Paa faclta sua solução, vamos supo que o temo não hamônco é sufcentemente pequeno paa que seja tatado como uma S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

3 Óptca não lnea 97 petubação. Desta foma, as soluções paa a equação de movmento podem se esctas como uma soma de soluções patculaes, sucessvamente apoxmadas: () () () x x + x + x... (6.) onde x () é a já conhecda solução lnea (a), x () é a solução coespondente ao efeto não lnea de segunda odem e assm po dante. A solução de pmea odem é obtda despezando-se o temo não hamônco: () x () () x ( ω ) + x ( ω ) (6.4) Substtundo a eq. (6.4) na eq. (6.) com a obtemos: x () Ne/m ( ω ) E (6.5) ω ω ω b com ou. Paa as soluções de segunda odem apoxma-se ax po () a( x ) na equação de movmento. Este temo passa então a se um temo foçante, que devdo ao fato de esta elevado ao quadado, apesenta contbuções com dfeentes feqüêncas, da foma: x () x () ( ω + ω ) + x () ( ω ω ) + x () (ω ) + x () (ω ) + x () () (6.6) onde o temo em ω + ω é o esponsável pela geação da soma de feqüêncas, ω - ω pela dfeença de feqüêncas, ω e ω pela geação de hamôncos e pela etfcação óptca. Pela substtução na equação dfeencal podemos enconta cada um destes temos como: x () x () ( ω a(e/m) ± ω) E E ( ω ω ωb)( ω ω m ωb) (6.7) exp{ ( ω ± ω ) t} [ ω ( ω ± ω ) ( ω ± ω ) b] ( ω ω ω b) ( ω 4ω ω b) a(e/m) (ω ) E exp{ ω t} (6.8) S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

4 98 Óptca não lnea ( ) ( ) ( ) x () a(e/m) + (6.9) ω ω ω ωb ω ω ωb Atavés de sucessvas nteações é possível obtemos não lneadades de odens supeoes. Usando a expessão P -Nex ε χ ~ E, podemos enconta as susceptbldades não lneaes. 6. Apoxmação da vaação lenta da ampltude Nesta seção vamos deduz uma equação de ondas smplfcada, supondo que a ampltude do campo eletomagnétco vaa lentamente numa dstânca da odem do compmento de onda da luz. No Cap. vmos que a equação de ondas num meo delétco, não magnétco e sem cagas lves é descta como: ( εe + P) E μ D μ (6.) t t que pode se o e-escta como: E μ ε E μ t P t (6.) O lado esquedo coesponde à equação de ondas paa a popagação da luz no vácuo, enquanto que o temo no lado deto leva em conta a nteação do campo eletomagnétco com o meo. A polazação pode se t elaconada com o campo elétco de acodo com: P εχ( E) : E, onde dexamos explícto o caáte tensoal da susceptbldade de um meo ansotópco e o fato que a esposta do meo, dada pela susceptbldade, pode não se constante, dependendo do campo aplcado como vmos na seção anteo paa o modelo do osclado não hamônco. Entetanto, esta dependênca é muto faca em meos tanspaentes e mesmo paa altas ntensdades de campo elétco a polazação pode se expandda em sée de potêncas: t () t () t () P ε χ : E + ε χ : EE + ε χ : EEE... (6.) + S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

5 Óptca não lnea 99 onde novamente fo usada a notação de poduto tensoal. Uma manea mas explícta de escevemos estes temos é: P P () () P () () ε χj E j, (6.a) j () ε χjk E je k, (6.b) j,k () ε χjkle jeke (6.c) l j,k,l e assm po dante. Desta foma, vemos que a suscetbldade lnea χ () é uma matz x, possundo potanto 9 temos. Já as suscetbldades de segunda e tecea odens possuem espectvamente 7 e 8 temos. Entetanto, devdo à smeta dos meos cstalnos utlzados, váos destes temos são nulos ou estão lgados ente s po uma elação de popoconaldade. Em patcula, χ () paa meos com smeta de nvesão. É convenente escevemos a polazação dada na eq. (6.) de manea a sepaamos explctamente as contbuções lnea e não lnea: ( ) NL P(, t) P (, t) + P (, t). Desta foma, a equação de ondas se tona: NL t () E P E με( + χ ): μ (6.4) t t Nos pocessos não lneaes podem exst em geal váas ondas de mesma feqüênca (degeneadas) ou de feqüêncas dfeentes (não degeneadas) se popagando no meo. Podemos usa o pncípo da supeposção paa esceve o campo elétco de acodo com: E(, t) El (k l, ωl) εl (, t) exp{ ( k l. ωt) } (6.5) l l Da mesma foma, também podemos esceve as polazações lnea e não lnea em temos de suas componente de Foue como: () () t () P (, t) Pl (k l, ωl) ε χ ( ωl) : El(k l, ωl ) (6.6a) l l S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

6 Óptca não lnea P NL (n) (, t) P (, t) P n m NL (k m, ω m ) (6.6b) Paa um pocesso não lnea onde exstem n ondas não degeneadas, teemos n equações dfeencas acopladas, cada uma coespondendo a uma dada feqüênca. Consdeando ondas hamôncas teemos: ω t NL E + ε : E(k, ω) μω P (k m, ωm ω) (6.7) c t t () onde ε ( + χ ) é um tenso que leva em conta a ansotopa do meo e que dá ogem a popedades lneaes tas como índce de efação, befngênca, absoção e dcoísmo. Paa a solução desta equação é mpotante sabemos como toma o temo de polazação não lnea na feqüênca coeta. Como exemplo, vamos consdea o efeto não lnea de segunda odem chamado soma de feqüêncas, onde ω ω + ω. Temos, potanto, dos campos, E(k, ω) e E(k, ω), ncdentes no mateal e um teceo campo, E(k, ω ω + ω), geado. As equações não lneaes acopladas fcam: ω t NL + ε : E(k, ω) μω P ( ω ) c (6.8a) t () μ ε ω χ ( ω ω ω )E (k, ω )E(k, ω) ω t NL + ε : E(k, ω) μωp ( ω) c t () μ ε ω χ ( ω ω ω )E (k, ω )E(k, ω) ω t NL + ε : E(k, ω) μω P ( ω) c t () μ ε ω χ ( ω ω + ω )E (k, ω )E (k, ω ) (6.8b) (6.8c) S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

7 Óptca não lnea Este conjunto de equações dfeencas de segunda odem pode se smplfcado usando uma apoxmação que supõe que a ampltude vaa lentamente numa dstânca coespondente a um compmento de onda. A vaação ápda com a dstânca está contda no temo de fase, que seá colocado em evdênca como: E ( ω, z ) ( ω, z ) exp { ( kz ω t )}, onde (ω,z) é a ampltude da onda. Como a vaação desta ampltude é muto pequena paa dstâncas da odem de λ, podemos toma: << k. Substtundo z z E( ω,z) na eq. (6.8c) e usando a apoxmação de vaação lenta de ampltude chegamos a uma equação dfeencal lnea do tpo: μ ω NL P ( ω,z) exp{ ( kz t z k ω )} (6.9) Po se tata de uma equação dfeencal lnea, sua solução é bastante smples no caso em que não exste deplecção, sto é, quando as ampltudes dos campos ncdentes são constantes. Paa lusta este fato, vamos tata o caso em que a nteação não lnea gea a soma das feqüêncas ncdentes. 6.4 Geação de soma de feqüêncas Vamos consdea duas ondas planas de feqüêncas ω e ω nteagndo num meo não lnea. Os campos popagam paalelamente ao exo óptco, que tomaemos como sendo z, e suas ampltudes são apoxmadamente constantes no caso em que a não lneadade é pequena. Caso contáo, seá necessáa a solução de tês equações não lneaes acopladas, taefa que em geal é bastante dfícl. Vamos toma um meo sem-nfnto cuja nteface localza-se em z ; no caso de have uma segunda nteface, paalela à pmea, efetos de ntefeênca com os campos efletdos devem se consdeados, smlamente ao que fo feto paa o ntefeômeto de Faby-Péot. Como estamos nteessados num campo cuja feqüênca ω coesponde à soma dos campos ncdentes, ω ω + ω, podemos e-esceve a eq. (6.9) como: S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

8 Óptca não lnea μ ω NL P ( ω ω + ω, z) exp z k ω { ( k z t) } onde a componente da polazação não lnea é dada po: P (6.) NL () { ( kz ωt )} { ( kz ωt )} ( ω, z) ε χjk ( ω ω + ω)eje k e e (6.) j,k Paa smplfca, podemos esceve o temo da somatóa ente colchetes como P (ω ω + ω ), de foma que a eq. (6.) assume a foma: z μω k Δ ε P ( ω ) exp{ kz} (6.) onde a polazação P (ω ) e o campo geado ( ω) tem a mesma deção, de foma que apenas suas ampltudes foam consdeadas. O temo Δk k +k -k é conhecdo como desajuste de fases ou descasamento de fases. Como as ampltudes E e E são constantes, P (ω ) também o seá e a eq. (6.) é faclmente ntegada, esultado em: μω ( z) εp ( ω) [ exp{ Δkz} ] (6.) k Δk onde a condção ncal (z ) fo usada. A ntensdade do campo geado em ω é dada po: sen( kz/) I(z) cn P ( ) Δ ε ω z (6.4) Δkz/ que, de acodo com a eq. (6.), é popocona a I e I. O gáfco desta ntensdade como função de Δkz/ está mostado na Fg. 6.. O pmeo zeo ocoe em π e paa um detemnado Δk, o compmento que a luz deve pecoe paa atng esta condção é o chamado compmento de coeênca, dado po l c π/δk. Po exemplo, se l c cm, Δk π cm - e paa a luz vsível, Δk/k -4. A condção de máxma efcênca é atngda S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

9 Óptca não lnea quando Δk k k k, que é chamada de condção de casamento de fase, ou consevação de momentum. Como k ω n(ω )/c, paa atng esta condção devemos te: ω [n(ω ) - n(ω )] + ω [n(ω ) - n(ω )]. Em cstas cúbcos com dspesão nomal, n aumenta com ω, de foma que n(ω ) > n(ω ), n(ω ). Paa se contona este poblema é necessáo o uso de cstas ansotópcos. Num cstal unaxal negatvo, po exemplo, o índce de etação extaodnáo é meno que o odnáo e assm, escolhe-se uma deção de popagação e as polazações dos fexes de tal manea que a condção de casamento de fases seja satsfeta, como veemos adante. I π π π π Δkz/ Fg. 6. Intensdade do campo geado na soma de feqüêncas. Paa completa esta seção, vamos toma o caso patcula em que ω ω ω e ω ω, conhecdo como geação de segundo hamônco. Como vmos, o compmento de coeênca satsfaz a condção Δkl c [k(ω) k(ω)] π. Como k(ω ) ω n(ω )/c temos: [ω n(ω)/c ω n(ω)/c]l c k [n(ω) n(ω)]l c π (6.5) Como k ω/c π/λ, obtemos o compmento de coeênca como: l c λ (6.6) [n(ω) n( ω)] S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

10 4 Óptca não lnea Assm, se a dfeença de índces fo,5, po exemplo, o compmento de coeênca seá de apenas λ. Podemos entende o sgnfcado do compmento de coeênca analsando a popagação dos campos fundamental e de segundo hamônco. Dgamos que numa dada posção é geado um campo de segundo hamônco, que se popaga com velocdade dfeente da do fundamental. Ao pecoe uma dstanca l c, o campo em ω estaá 8 foa de fase com o campo em ω e o segundo hamônco geado nesta posção poduzá ntefeênca destutva com o campo geado anteomente, levando ao pmeo mínmo (em π) da Fg. 6.. Como vsto, o casamento de fases ocoe quando n(ω) n(ω). Vamos toma um cstal unaxal com o exo óptco na deção z e com o fexe fundamental polazado na deção x (exo odnáo), como mosta a Fg. 6.(a). Queemos calcula em que deção deve ocoe a popagação paa que haja o casamento de fases. De acodo com a Fg.6. (b), o índce de efação efetvo paa o campo em ω é dado pela expessão: [n θ cos θ + sen θ ω ω ω e ( )] [no ] [ne ] (6.7) que coesponde à elpse mao da fgua. Paa have casamento de fases devemos mpo que n o (ω) n(ω), ou seja, escolhe um ângulo θ m tal que: [n cos θ sen m m + ω ω ω ω e ( θm)] [no ] [ne ] [no ] Com sso obtemos o ângulo de casamento de fases como: ω n e ω o ω e θ ω o ω o ] (6.8) [n ] [n ] sen θ m (6.9) [n ] [n Paa o caso de um cstal de KDP (KH PO 4 ) temos.466, ω n o ω n o.487,.56 e.54, paa λ 694 Å, que é o compmento de onda de opeação de um lase de ub. Com estes valoes obtemos θm 5.4. ω n e S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

11 Óptca não lnea 5 O casamento de fases onde n(ω) n o (ω) é chamado do tpo I. Exste anda o tpo II, onde dos fexes fundamentas tem polazações otogonas tal que n(ω) / [n o (ω) + n e (ω)]. z (n e ) k k m n ω o ( θ) E ω ω n o ( θ) E ω x (n o ) y (n o ) ω n e ( θ) n ω e ( θ) (a) (b) Fg. 6. (a) Geometa de popagação na geação de segundo hamônco e (b) índces de efação em função de θ paa os fexes fundamental e de segundo hamônco. A dscussão ealzada nesta seção consdeou não have depleção do fexe fundamental. Entetanto, se o efeto não lnea fo gande, a ampltude do campo em ω dmnuá e assm, duas equações acopladas do tpo da equação (6.) devem se esolvdas, uma paa o fexe fundamental e outa paa o segundo hamônco. Não demonstaemos aqu, mas a solução paa estas equações é: onde: I (z) I () tanh ( Κ ()z) (6.) μ Κ χ ω jk (6.) ε n ( ω)n(ω) S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações

12 6 Óptca não lnea O gáfco desta função está mostado na Fg. 6.. I (L)/I () I () Fg. 6. Geação de segundo hamônco com depleção do fexe fundamental. Bblogafa 6.. J. R. Retz, F. J. Mlfod and R. W. Chsty, Fundamentos da Teoa Eletomagnétca, Edtoa Campus, RJ (98) 6.. G. R. Fowles, Intoducton to Moden Optcs, Holt, Rnehat and Wnston, NY (968). 6.. A. Yav, Quantum Electoncs, ª edção, John Wley and Sons, NY (989). Poblemas 6.. Usando o modelo do osclado não hamônco, obtenha o deslocamento do eléton na feqüênca ω +ω, dado pela eq. (6.7). 6.. Complete os passos que levam à eq. (6.9). S. C. Zlo Óptca Modena Fundamentos e Aplcações