ESTUDO DOS EFEITOS DE LOCAÇÃO E DISPERSÃO EM EXPERIMENTOS FATORIAIS COMPLETOS NÃO REPLICADOS E COM POUCAS REPLICAÇÕES

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1 XXX ENONTRO NIONL E ENGENHRI E PROUÇÃO Matudade e desafos da Engenhaa de Podução: compettvdade das empesas condções de tabalho meo ambente. São alos SP asl a5 de outubo de 00. ESTUO OS EFEITOS E LOÇÃO E ISPERSÃO EM EXPERIMENTOS FTORIIS OMPLETOS NÃO REPLIOS E OM POUS REPLIÇÕES Macelo Hláo Fguea Gaca UNINOVE macelo.hlao@bluestaslcones.com José alos uvelo Santana UNINOVE jccuvelo@unnove.b O pesente atgo apesenta uma estatéga paa o cálculo de efetos de dspesão paa planejamentos fatoas não eplcados e com poucas eplcações. Tal estatéga é aplcada a um expemento que avala a esstênca de uma cepa de. volaceum a sas metálcos sendo empegado um planejamento fatoal completo cuja esposta estudada fo o cescmento de mcoogansmos em UF/mL atavés de letua de absobânca a 40nm após eatvação e ncubação dos mesmos. Os esultados obtdos paa os efetos de dspesão atestam a efcênca da metodoa poposta paa o caso estudado. Palavas-chaves: efetos de dspesão planejamento factoal modelagem

2 . Intodução edução da vaabldade e a melhoa da qualdade em pocesssos ndustas têm ecebdo muta atenção nas últmas décadas STEINERG e URSZTYN 998. No delneamento dos paâmetos a seem utlzados nestes pocessos o planejamento fatoal de expementos tem se destacado como uma feamenta capaz de fonece nfomações essencas sobe os fatoes de contole que devem se ajustados paa que a pefomance do pocesso seja obusta ERGMN e HYNÈN 997. abodagem clássca da técnca de planejamento expemental decona sua análse apenas paa o valo médo da esposta enfatzando a méda e o valo-alvo WIKLNER e HOLM 003. om o desenvolvmento da Engenhaa da Qualdade mplementado po Taguch vefcou-se que paa obte um pocesso obusto pocesso nsensível a qualque fonte de vaação é necessáo eduz a vaabldade ao edo do valo-alvo e não somente ajusta o valo médo ao mesmo. Paa este fm deve-se dentfca os fatoes que afetam a méda efetos de locação e os fatoes que afetam a vaabldade efetos de dspesão da esposta estudada NIR e PREGION 988. Um fato apesenta efeto de locação atvo quando o valo espeado da esposta fo dfeente nos níves estudados paa o mesmo. Já o efeto de dspesão atvo ocoe quando são obsevadas vaâncas dfeentes nas espostas obtdas paa os dfeentes níves de um fato. Um fato pode apesenta smultaneamente efeto de locação e de dspesão atvos assm como pode não apesenta nenhum dos dos tpos de efeto MTTOS et al Os efetos de locação e de dspesão são detectados mas faclmente em expementos com mutas eplcações onde em cada condção expemental podem se encontadas as médas assm como as vaâncas amostas. Nestes casos a dentfcação dos efetos de locação pode se feta atavés de técncas estatístcas fomas como o teste t de Student ou o teste F da análse de vaânca. Em expementos não eplcados ou com poucas eplcações é comum a utlzação de métodos gáfcos tas como o de Paeto e de Pobabldade Nomal pos não exste uma estmatva confável da vaânca do eo expemental que é essencal paa a aplcação de um teste estatístco. No entanto essas técncas supõem nomaldade e vaâncas constantes o que não ocoe na dstbução de vaâncas amostas MTTOS et al Nas ndústas químcas a obtenção de pocessos obustos é um fato essencal paa a manutenção da establdade dos podutos obtdos. Em eações de síntese po exemplo onde as caacteístcas da eação em questão são conhecdas e pevamente estudadas na maoa das vezes os fatoes que afetam a méda e conseqüentemente o valo-alvo são conhecdos e contolados o mesmo não acontecendo paa os fatoes que possuem efetos de dspesão. Nestes casos eduz a vaabldade é mas mpotante do que otmza o valo médo em elação ao valo-alvo da caacteístca estudada. Sendo assm a valozação dos expementos não eplcados ou com poucas eplcações tem cescdo nos últmos anos uma vez que os métodos exstentes paa expementos com mutas eplcações são compovadamente efcentes apenas se foem ealzadas mutas eplcatas azão pela qual se tonam dspendosos RENNEMN e NIR 00. Poém é mpotante essalta que emboa eduzam custos os expementos não eplcados são supefcas no estudo da vaabldade. Paa os mesmos a avalação da vaabldade é feta pelo eo esdual que abange efetos dos fatoes que não entam no modelo da méda e não pelo eo puo azão pela qual o desempenho dos métodos está detamente elaconado à qualdade do

3 modelo da méda MTTOS et al Uma vez que nas ndústas na maoa das vezes a ugênca das espostas e o elevado custo dos expementos mpedem a ealzação de mutas eplcações as seguntes questões tonamse fundamentas: - O que faze quando não fo possível ealza mutas ou nenhuma eplcação? - Qual é a efcênca dos métodos já popostos que utlzam vaâncas amostas paa estma efetos de dspesão quando não são usadas mutas ou nenhuma eplcação? Paa sup a defcênca apontada nas questões acma foam desenvolvdos métodos paa detecta efetos de dspesão em expementos não eplcados e com poucas eplcações sendo que os mas utlzados baseam-se em médas atmétcas ou médas geométcas ente esíduos quadátcos RENNEMN e NIR 00. O objetvo deste atgo é apesenta os métodos paa cálculo de efetos de dspesão em expementos não eplcados e com poucas eplcações e calcula os mesmos paa um planejamento fatoal do tpo em duplcata atavés da estatéga poposta po enneman e Na 00.. Metodoa Identfcação dos Efetos de spesão otmzação de um pocesso atavés da utlzação da técnca de planejamento fatoal é ealzada bascamente em duas etapas. Pmeamente são dentfcados os fatoes que possuem efetos de locação e de dspesão e em seguda os mesmos são ajustados de foma convenente - fatoes com efetos de locação atvos são afedos de foma a apoxma ao máxmo a esposta méda do valo-alvo e fatoes com efetos de dspesão atvos são afedos de foma a mnmza a vaabldade em tono desse valo-alvo. Fatoes sem efetos de locação nem de dspesão devem se afedos pelo nível mas econômco ERGMN e HYNÈN 997. É mpotante essalta que as técncas paa dentfca e analsa efetos de locação já foam amplamente dscutdas e apesentam uma teoa consagada o que não ocoe paa as técncas utlzadas no estudo de efetos de dspesão MTTOS et al dentfcação de fatoes com efetos de dspesão atvos não é uma taefa smples e apesa de váos métodos teem sdo popostos paa dentfca a causa da vaabldade em espostas de expementos anda hoje não exste uma teoa consagada aceca do assunto MTTOS et al Incalmente os métodos popostos paa dentfca efetos de dspesão foam desenvolvdos paa expementos eplcados em cada ponto expemental com a vaabldade sendo avalada po meo da vaânca amostal em cada um destes pontos. pesa de não dependeem do modelo da méda paa o cálculo dos efetos de dspesão a efcênca destes métodos é baxa paa expementos com poucas eplcações. ontudo o uso de mutas eplcações aumenta demasadamente o custo do pojeto expemental MTTOS et al e um modo geal os dados de um expemento fatoal podem se desctos e coelaconados de acodo com o segunte modelo lnea: y ' j x j ' j g onde: z 3

4 - = N é o númeo de pontos expementas; - j = J é o númeo de eplcações em cada ponto expemental; - y j é a esposta obtda paa o ponto na eplcação j; - x j e z são as lnhas da matz de planejamento expemental; - é a vaânca no ponto expemental ; - e θ são vetoes de paâmetos obtdos; - g é uma função de lgação paa a vaânca. equação é conhecda como modelo da méda ou de locação quando elaconada ao valo espeado e a equação é conhecda como modelo da vaânca. função g pode se a função dentdade modelo lnea mas é mas comum se a aítmca modelo -lnea. O cálculo de efetos de dspesão paa expementos não eplcados J = fo desenvolvdo atavés de métodos que se baseam na análse dos esíduos do modelo da méda ajustado ncalmente pelo método dos mínmos quadados odnáos MQO. esta foma a dentfcação dos efetos de dspesão apesenta o nconvenente de depende da qualdade do modelo da méda ajustado MTTOS et al Seja y o valo da esposta pedta pelo modelo no ponto expemental e y o valo obtdo expementalmente paa o mesmo = N. O esíduo em cada ponto expemental é calculado pela equação y 3 y segu são apesentados os métodos paa cálculo dos efetos de dspesão baseados nos esíduos e em seguda as consdeações aceca de cada um deles. Método de ox e Meye onsdeando um modelo -lnea paa a vaânca cada efeto é calculado pela azão ente médas atmétcas dos esíduos nos pontos expementas confome a equação 4 M 4 N onde: - M = efeto de dspesão do fato calculado pelo método de ox e Meye; - + e - = índces elatvos aos pontos expementas onde o fato apesenta-se no nível + e no nível - espectvamente; - = esíduo quadátco calculado de acodo com a equação 3. Método de Havey Também consdeando um modelo -lnea paa a vaânca cada efeto é calculado pela azão ente médas geométcas dos esíduos nos pontos expementas confome a equação 5 4

5 5 H N N 5 onde: - H = efeto de dspesão do fato calculado pelo método de Havey; - + e - = índces elatvos aos pontos expementas onde o fato apesenta-se no nível + e no nível - espectvamente; - = esíduo quadátco calculado de acodo com a equação 3. Método de egman e Hynèn Este método popõe uma modfcação do método de ox e Meye com o ntuto de mnmza o vés no cálculo dos efetos de dspesão calculando os esíduos sob um modelo expanddo da méda. e acodo com este modelo o cálculo do efeto de dspesão do fato é ealzado atavés de uma defnção de um novo conjunto de fatoes composto pelo pópo fato pelos efetos de locação atvos ajustados pelo modelo da méda obtda ncalmente po MQO e pela teação ente e estes fatoes ERGMN e HYNÈN 997. omo exemplo seja um planejamento fatoal completo 5 com um conjunto de efetos de locação atvos I L sendo I a méda geal. Paa o fato E o cálculo dos esíduos deve se feto a pat de um novo modelo de locação L E tal que E E E E E I L E. pat destes novos esíduos calcula-se o efeto de dspesão paa o fato E. O cálculo do efeto de dspesão do fato é dado po H N 6 onde: - H = efeto de dspesão do fato calculado pelo método de egman e Hynen; - + e - = índces elatvos aos pontos expementas onde o fato apesenta-se no nível + e no nível - espectvamente; - = esíduo quadátco calculado de acodo com o modelo expanddo da méda. Método de Havey Modfcado ssm como paa a metodoa de egman e Hynèn 997 descta acma este método utlza o modelo de méda expandda paa o cálculo dos esíduos vsando eduz o vés no cálculo dos efetos de dspesão enneman e Na 00. esta foma o cálculo do efeto de dspesão do fato é dado po HM N N 7 onde:

6 - HM = efeto de dspesão do fato calculado pelo método de Havey Modfcado; - + e - = índces elatvos aos pontos expementas onde o fato apesenta-se no nível + e no nível - espectvamente; - = esíduo quadátco calculado de acodo com o modelo expanddo da méda. dentfcação de efetos de dspesão atvos é feta atavés da análse do gáfco de pobabldade nomal dos mesmos. Fatoes e nteações sem efetos de dspesão atvos apesentam dstbução nomal enquanto que fatoes e nteações com efetos de dspesão atvos dstancam-se da eta fomada pelos demas fatoes MONTGOMERY 997. enneman e Na 00 ealzaam uma análse cítca dos métodos acma desctos baseando-se em análses teócas e smulações. e acodo com estes autoes todos os métodos dscutdos apesentam vés de estmação oundo da estmação dos efetos de locação e da utlzação dos esíduos. Este vés desapaece com o aumento do númeo de expementos. Os métodos M e H também apesentam vés estutual sob o modelo -lnea uma vez que não levam em conta a estutua do modelo de dspesão. Neste caso o vés é gande o sufcente paa não dmnu com o aumento do númeo de expementos RENNEMN e NIR 00. nda em elação a cada um dos métodos ctados foam fetas as seguntes consdeações: - O método de ox e Meye 986 apesenta vés estutual e vés de estmação quando exste mas do que um fato de dspesão. O vés de estmação pode se mnmzado com o aumento do númeo de pontos expementas poém esta coeção não funcona paa o vés estutual; - O método de Havey 976 apesenta vés que depende da estutua do efeto de dspesão atvo e da adequação do modelo ao mesmo e da mesma foma que paa o método de ox e Meye este vés dmnu com o aumento do númeo de pontos expementas. Se no entanto o conjunto dos fatoes com efeto de locação L fo fechado um conjunto fechado é aquele em que as nteações ente seus elementos também lhe petencem e apesenta um númeo de elementos meno do que N/ o cálculo dos efetos de dspesão não apesentaá vés paa os fatoes petencentes ao conjunto fechado -L sendo o conjunto dos fatoes com efeto de dspesão atvos; - O método de egman e Hynèn 997 pode apesenta vés estutual assm como o de ox e Meye e a estatístca poposta só apesentaá uma dstbução F caso a hpótese nula consdee todos os efetos de dspesão nulos e não somente o efeto do fato analsado; - O método de Havey Modfcado RENNEMN e NIR 00 coge pacalmente o vés atavés da utlzação do modelo expanddo da méda ao utlza paa o cálculo dos efetos de dspesão novos modelos de locação baseados no fato analsado e na teação do mesmo com os efetos de locação atvos calculados ncalmente po MQO. Poém paa fatoes que apesentem um modelo expanddo da méda dêntco ao modelo de locação ognal L E = L o conjunto de fatoes com efeto de dspesão atvo tona-se dêntco ao detemnado pelo método de Havey.e. HM = H RENNEMN e NIR 00. pat da análse cítca ealzada e enneman e Na 00 popuseam o segunte algotmo paa o cálculo de efetos de locação e dspesão paa expementos fatoas não eplcados: justa o modelo de locação pelo método dos mínmos quadados odnáos MQO detemnando assm o conjunto L dos efetos de locação atvos; 6

7 Se L contém um conjunto fechado L com N/ ou mas elementos deve-se aumenta o númeo de ensaos o que leva a uma alteação do pojeto expemental; 3 aso contáo calcula os efetos de dspesão pelo método de Havey Modfcado e dentfca os atvos po meo do gáfco de pobabldade nomal. Nesta etapa é dentfcado o conjunto de efetos de dspesão atvos 0 ; 4 Inclu o efeto no conjunto 0 mesmo que este fato não tenha sdo dentfcado como atvo poém que coesponda à nteação de dos outos efetos e dentfcados como atvos sto é = * onde * ndca o opeado de teação; 5 onstu uma equação paa a vaânca com os efetos de dspesão do novo conjunto 0 obtdo na etapa anteo usando o modelo -lnea confome a equação onde as estmatvas dos elementos de θ podem se obtdas po MQO aplcado aos esíduos quadátcos; 6 Refaze o modelo de locação usando mínmos quadados genealzados MQG onde paa cada obsevação é atbuído um peso fonecdo pelo nveso da vaânca pedta pelo modelo defndo no passo anteo; 7 alcula novos esíduos e novos efetos de dspesão a pat do novo modelo de locação obtdo. Efetos de dspesão não dentfcados como atvos podeão se elmnados e as estmatvas efetas; 8 Repet as etapas 5 6 e 7 até que o pocesso se establze. 3. Resultados e scussão O expemento utlzado fo ealzado com o ntuto de avala a esstênca da cepa de homobacteum volaceum a sas metálcos confome descto em Sumta et al 007. codfcação dos fatoes está apesentada na Tabela a segu: Sulfato de Znco Sulfato de lumíno Sulfato de obe Sulfato de Manganês g/ml 00 g/ml 00 g/ml 00 g/ml Tabela Níves das vaáves codfcadas paa o expemento ada condção expemental fo testada em duplcata sendo a matz expemental e os esultados obtdos mostados na Tabela a esposta analsada fo a absobânca a 40 nm após 4 hoas de eatvação segudas de 4h de ncubação a 37. Exp. Zn l u Mn epl. epl

8 Tem Tabela Matz expemental e esultados obtdos Gafcamente os fatoes com efetos de locação atvos podem se dentfcados atavés da análse dos gáfcos de Paeto e de Pobabldade Nomal paa os efetos padonzados confome mostado na Fgua. análse da vaânca NOV paa os fatoes com efetos sgnfcatvos ao nível de sgnfcânca de 5% é mostada na Tabela 3. Paa a análse em questão o valo de F cítco a um nível de 5% de pobabldade é F cít = 57 com ses gaus de lbedade paa o modelo de egessão e vnte e um gaus de lbedade paa o eo. Paeto hat of the Standadzed Effects esponse s 9 lpha = F acto Name Standadzed Effect 5 0 a 8

9 Pecent Nomal Pobablty Plot of the Standadzed Effects esponse s 9 lpha = Effect Type Not Sgnfcant Sgnfcant F acto Name Standadzed Effect Fgua Gáfcos de Paeto a e Pobabldade Nomal b paa os efetos padonzados b Fonte de Vaação F Seq SS dj SS dj MS F P Efetos Pncpas Int. ª Odem Eo Resdual juste Eo Puo Total Tabela 3 Resultados do teste F paa os fatoes de locação do modelo da méda e acodo com a análse ealzada o cojunto dos fatoes e suas nteações que possuem efeto de locação atvo é dado po L = {I } onde I é a méda das espostas. O modelo obtdo pela análse é dado po = * 00603* * +006* +005* 8 com R = Paa o cálculo dos efetos de dspesão pelo método de Havey Modfcado ncalmente são detemnados os conjuntos dos efetos de locação baseados no modelo expanddo da méda confome descto anteomente paa cada um dos fatoes e suas nteações foam desconsdeadas nteações de odem supeo a dos. Tabela 4 mosta o conjunto L E paa cada um dos efetos e suas espectvas nteações. Fato/Inteação omponentes do Modelo Expanddo da Méda I 9

10 I I I I I I I I I Tabela 4 Modelo expanddo da méda paa cada um dos fatoes e suas nteações. pobabldade nomal paa os efetos de dspesão calculados pela metodoa empegada está mostado na Fgua. Pela análse do mesmo os fatoes e e as nteações e apesentam efeto de dspesão atvo. Sendo assm de acodo com a etapa 4 do algotmo poposto o conjunto dos efetos de dspesão utlzados paa o cálculo do modelo paa a vaânca é 0 = {I }. pat deste conjunto a modelagem da vaânca fo obtda pela aplcação de MQO no atmo natual dos esíduos quadátcos obtendo-se o modelo: =exp *-035*-005*-069*+939*+76* 9 Pela equação acma pode-se estma a vaânca em cada um dos pontos expementas. O efnamento do modelo da méda é feto pela utlzação do método dos Mínmos Quadados Genealzados MGQ onde paa cada ponto expemental é atbuído um peso gual ao nveso da vaânca estmada e os novos esíduos são calculados a pat de um novo modelo baseado neste efnamento. om este novo modelo são calculados novamente os efetos de dspesão. O modelo da méda obtdo nesta pmea teação apesentou os mesmos fatoes com efetos de locação sgnfcatvos sto é L={ }. Uma vez que os mesmos efetos de locação atvos foam obtdos após a pmea teação o conjunto dos efetos paa o modelo expanddo da méda é o mesmo da tabela 4. pat deste modelo o cálculo dos efetos de dspesão confmou os mesmos efetos e nteações obtdos anteomente como atvos confome pode se vsto pela Fgua 3. ssm o novo conjunto de efetos de dspesão paa a estmação da vaânca e conseqüentemente do novo modelo de locação é dado po = {I }. segunda teação não alteou o conjunto dos efetos de locação e confmou o conjunto de efetos de dspesão = {I } como sendo dêntco ao anteo. Vefcase nclusve esta confmação pelo gáfco de pobabldade nomal Fgua 4 onde os mesmos efetos de dspesão apesentam-se como atvos. 0

11 Pecentual Pecentual pat do modelo de locação obtdo e pela utlzação do algotmo poposto paa o cálculo dos efetos de dspesão o expemento analsado apesentou os fatoes e e as nteações e com efetos de locação atvos e os fatoes e e as nteações e com efeto de dspesão atvo. Nomal Pobablty Plot of Standadzed Effects Effects Fgua Gáfco de Pobabldade Nomal paa os efetos de dspesão Nomal Pobalty Plot of Standadzed Effects Effects Fgua 3 Gáfco de Pobabldade Nomal paa a a teação

12 Pecentual Nomal Pobablty Plot of Standadzed Effects Effects Fgua 4 Gáfco de Pobabldade Nomal paa a a teação 4. onclusões dentfcação de efetos de dspesão não é uma taefa smples paa expementos não eplcados e com poucas eplcações e no pesente atgo fo utlzada paa este fm uma estatéga poposta po enneman e Na 00. tavés desta estatéga o efnamento do modelo de locação obtdo po MQG coge o vés geado pelo cálculo dos efetos de dspesão a pat dos esíduos quadátcos uma vez que estes últmos são detamente lgados ao modelo de locação ajustado. s teações consecutvas sevem paa confma não só os fatoes com efeto de locação atvos assm como os que possuem efetos de dspesão. Paa o expemento analsado a segunda teação fo sufcente paa confma todos os efetos de locação e dspesão atvos. Sendo assm pode-se conclu que a estatéga poposta fo efcente paa o planejamento fatoal estudado. nda de acodo com os autoes RENNEMN e NIR 00 a estatéga poposta também pode se aplcada a planejamentos fatoas faconados do tpo -p tomando-se o devdo cudado com os possíves confundmentos geados. Sendo assm uma vez que tanto os planejamentos fatoas completos quanto os faconados com pouca ou nenhuma eplcação apesentam-se como feamentas mpotantes paa o estudo ncal de pocessos de otmzação em escala ndustal tona-se cada vez mas mpotante a utlzação dos mesmos a fm de se estma e mnmza a vaabldade em pocessos onde a edução de custos e o ganho de tempo são fatoes fundamentas paa o sucesso das empesas. Refeêncas RROS NETO.; SRMINIO I.S.; RUNS R.E. Planejamento e otmzação de expementos. ed. ampnas: Edtoa Uncamp 995. RTLETT M.S.; KENLL.G. The Statstcal nalyss of Vaance-Heteogenety and the Logathmc Tansfomaton. Jounal of the Royal Statstcs Socety Se. 8 p ERGMN.; HYNÉN. speson effects fom uneplcated desgns n -p sees. Technometcs v.39 n. p

13 OX GE.P.; MEYER R.. speson Effects Fom Factonal esgn. Technometcs v.8 n p RENNEMN W..; NIR V.N. Methods fo dentfyng dspeson effects n uneplcated factoal expements: a ctcal analyss and poposed stateges. Technometcs v.43 n.4 p FERRER.J.; ROMERO R. smple method to study dspeson effects fom non necessaly eplcated data n ndustal contexts. Qualty Engneeng 74 p LIO.T.; IYER H.K. Optmal n-p factonal factoal desgn fo dspeson effects unde a locatondspeson model. ommuncatons n Statstcs Theoy and Methods 94 p MTTOS V.L..; RETT P..; SMOHYL R.W. Identfcação de efetos de dspesão em expementos fatoas do tpo e -p. Podução v.4 n. p MINIT. Veson Mntab Inc ROM MONTGOMERY.. esgn and nalyss of Expements. 4ed. US: John Wley&Sons 997. NIR V.N.; PREGION. nalysng speson Effects Fom Replcated Factoal Expements. Technometcs v.30 n.3 p STEINERG.M.; URSZTYN. Sceenng Expements fo speson Effects. Statstca Snca p SUMIT T..; PEREIR R.S.; SILV M..; ROS L..L.; UENO M. valação da nteação de Znco lumíno obe e Manganês em homobacteum volaceum. Revsta mbente & Água v. n.3 p VN E VEN P.M. On the equvalence of thee estmatos fo dspeson effects n uneplcated two-level factoal desgns. Jounal of Statstcal Plannng and Infeence v. 38 p WIKLNER K. compason of two estmatos of dspeson effects. ommuncatons n Statstcs - Theoy and Methods 74 p WIKLNER K.; HOLM S. speson effects n uneplcated factoal desgns. ppled Stochastc Models n usness and Industy v. 9 p