Abordagens interactivas para tratamento da incerteza em modelos de optimização multiobjectivo para apoio à decisão

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1 UNIVERSIDADE DE COIMBRA FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Depatamento de Engenhaa Electotécnca e de Computadoes Abodagens nteactvas paa tatamento da nceteza em modelos de optmzação multobjectvo paa apoo à decsão Ana Rosa Peea Boges Comba 2005

2 Capítulo X Conclusões e pstas de desenvolvmento Neste capítulo fazemos uma síntese das conclusões e pstas de desenvolvmento mas mpotantes (a genealdade das quas foam já apesentadas no fnal dos váos capítulos). As contbuções pncpas deste tabalho consstem nas popostas de novos algotmos nteactvos, que possbltem constu feamentas computaconas flexíves, paa apoo ao AD na análse da establdade e obustez das potencas soluções báscas efcentes, e na exploação da sua pópa estutua de pefeêncas, em modelos de optmzação lneaes com múltplos objectvos, contemplando a nceteza que lhes está assocada. Ente as contbuções e conclusões mas elevantes deste tabalho podemos destaca: Nos capítulos III e IV são estudadas as questões elatvas ao tatamento da nceteza em modelos de PLMO fazendo uso da aplcação dos concetos fundamentas da teoa de conjuntos dfusos no domíno dos métodos de decsão. Nestes capítulos são popostos dos métodos nteactvos onde as soluções efcentes obtdas possuem natueza dfusa. A abodagem exposta no capítulo III pemte ncopoa a dfusão na opeação de optmzação e nas elações matemátcas exstentes nas estções funconas do modelo, enquanto que a abodagem apesentada no capítulo IV consdea os paâmetos do modelo dfusos e caactezados po númeos eas dfusos tangulaes. As duas abodagens de tatamento da nceteza estudadas nos capítulos III e IV possbltam efectua análses dfeentes, mas complementaes.

3 UNIVERSIDADE DE COIMBRA FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Depatamento de Engenhaa Electotécnca e de Computadoes Abodagens nteactvas paa tatamento da nceteza em modelos de optmzação multobjectvo paa apoo à decsão Ana Rosa Peea Boges Dssetação submetda à Faculdade de Cêncas e Tecnologa da Unvesdade de Comba paa obtenção do gau de Douto em Engenhaa Electotécnca, especaldade de Infomátca. Comba 2005

5 Índce Índce... Agadecmentos...v Resumo...x Abstact...x Capítulo I Intodução... Capítulo II Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas... II. O poblema lnea com objectvos múltplos... 2 II.2 Solução efcente, solução não domnada e solução de compomsso satsfatóa 3 II.3 Tabela de óptmos ndvduas, solução deal e solução ant-deal II.4 Pocessos de cálculo de soluções efcentes II.4. Soma pondeada das funções objectvo II.4.. O poblema escalazante II.4..2 O quado smplex multobjectvo II.4..3 Decomposção do dagama paamétco (dos pesos) em egões de ndfeença 26 II.4.2 Abodagem de pontos de efeênca II.4.2. O poblema escalazante... 3 II.4.3 Soma pondeada das funções objectvo vesus abodagem de pontos de efeênca. 33 II.4.4 Optmzação de uma das funções objectvo mpondo lmtações nos valoes das estantes II.5 Odem de gandeza das funções objectvo II.6 Atculação da estutua de pefeêncas do AD Capítulo III Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens III. Beve ntodução à teoa de conjuntos dfusos... 4 III.. Algumas defnções báscas da teoa de conjuntos dfusos... 4 III..2 Opeações sobe conjuntos dfusos III..2. Opeações algébcas sobe conjuntos dfusos III..2.2 Opeações estutuas báscas sobe conjuntos dfusos... 45

6 III..3 O pncípo da extensão e algumas aplcações III..3. O pncípo da extensão III..3.2 A noção de função dfusa III..3.3 A noção de númeo eal dfuso A noção númeo eal dfuso tangula As noções de ntevalo dfuso e de ntevalo dfuso tapezodal Repesentação LR de um númeo eal dfuso III.2 Decsão em ambente dfuso III.2. O modelo de decsão em ambente dfuso de Bellman e Zadeh... 5 III.2.2 Opeadoes compensatóos e opeadoes não compensatóos... 5 III.2.3 Genealzação de Wenes da noção de solução efcente III.3 Pogamação lnea multobjectvo dfusa III.3. Algumas abodagens de pogamação lnea multobjectvo dfusa III.3.. O modelo smétco Modelo smétco com solução ígda abodagem de Zmmemann Modelo smétco com solução dfusa abodagem de Chanas III.3..2 Estutua do modelo dfusa com solução dfusa abodagem de Calsson e Kohonen III.3..3 A abodagem nteactva com solução ígda de Wenes... 6 III.4 Uma metodologa nteactva de PLMO onde as elações matemátcas ntevenentes são dfusas... 6 III.4. Alguns concetos ntodutóos III.4.2 O funconamento da abodagem nteactva poposta III.4.3 Exemplo lustatvo III.4.4 Consdeações fnas Capítulo IV Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos. 83 IV. O funconamento da abodagem nteactva poposta IV.. Coefcentes dfusos nas funções objectvo IV..2 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas IV..3 Intodução de nova vaável de decsão com coefcentes dfusos IV..3. Análse global à ntodução de uma nova vaável de decsão... 9 IV..3.2 Análse dnâmca das alteações ocodas numa solução selecconada 92 Alteação no valo de nível de petença c Alteação no valo de nível de petença a IV.2 Exemplo lustatvo IV.2. Coefcentes dfusos nas funções objectvo IV.2.2 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas... 0

7 IV.2.3 Intodução de nova vaável de decsão com coefcentes dfusos... IV.2.3. Análse global à ntodução de uma nova vaável de decsão... 2 IV Análse dnâmca das alteações ocodas numa solução selecconada 5 Alteação no valo de nível de petença c... 5 Alteação no valo de nível de petença a... 2 IV.3 Consdeações fnas Capítulo V Abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea V. A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) V.. Lmtes de toleânca paa as petubações dos lados detos das estções e paa os coefcentes da função objectvo V... O poblema V...2 Fomulação matemátca e ntepetação geométca V...3 Os esultados Lados detos das estções Coefcentes da função objectvo Comentáos... 4 V...4 Exemplo lustatvo... 4 V..2 Exstênca à po de nfomação elatva às gamas de vaação paa os coefcentes dos lados detos das estções e da função objectvo V..2. O poblema V..2.2 Fomulação matemátca e ntepetação geométca V..2.3 Os esultados Lados detos das estções Coefcentes da função objectvo Comentáos V..2.4 Exemplo lustatvo V.2 Genealzação da abodagem de toleânca de Wendell V.2. A abodagem expandda de Wondolowsk (99) e Wendell (992) V.2.. Intepetação geométca V.2..2 Exemplo lustatvo V.2.2 A abodagem baseada na egão de volume máxmo de Wang e Huang (993). 58 V.2.2. Intepetação geométca V.3 A abodagem de toleânca em poblemas de PLMO de Hansen et al. (989).. 6 V.3. O poblema... 6 V.3.2 Fomulação matemátca V.3.3 Os esultados V.3.4 Exemplo lustatvo V.4 Consdeações fnas... 69

8 Capítulo VI Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO... 7 VI. A geometa da abodagem de Hansen et al.(989) VI.. Inexstênca de nfomação adconal à po VI..2 Exstênca de nfomação à po elatva às gamas de vaação paa os pesos das funções objectvo VI.2 O funconamento da abodagem nteactva poposta (baseado na análse geométca do dagama paamétco) VI.2. Inexstênca de nfomação adconal à po VI.2.2 Exstênca de nfomação à po elatva às gamas de vaação paa os pesos das funções objectvo VI.3 Exemplo lustatvo VI.4 Consdeações fnas Capítulo VII Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas VII. O modelo de PLMO paa planeamento enegétco baseado na análse nput-output 208 VII.. Funções objectvo do modelo VII..2 Restções do modelo VII.2 Análse das soluções dfusas efcentes do modelo usando a abodagem nteactva de PLMO com paâmetos dfusos... 2 VII.2. Coefcentes dfusos nas funções objectvo VII.2.2 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas VII.3 Análse das soluções efcentes do modelo usando a metodologa nteactva de abodagem toleante em poblemas de PLMO VII.4 Consdeações fnas Capítulo VIII Abodagens baseadas em pontos de efeênca vesus análse dfusa no apoo à decsão em poblemas de PLMO VIII. Abodagem smétca dfusa de Zmmemann consdeando funções membo lneaes VIII.2 Metodologas baseadas em pontos de efeênca vesus abodagem smétca dfusa de Zmmemann VIII.3 Exemplo lustatvo VIII.3. O modelo de PLMO paa planeamento enegétco VIII.3.2 Alguns esultados VIII.4 Consdeações fnas v

9 Capítulo IX Abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de pogamação lnea multobjectvo IX. Concetos ntodutóos IX.. O poblema IX..2 Intepetação geométca IX.2 Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas PLMO IX.3 Exemplo lustatvo IX.4 Outos desenvolvmentos IX.5 Consdeações fnas Capítulo X Conclusões e pstas de desenvolvmento Refeêncas v

11 Agadecmentos A autoa deste tabalho deseja expessa o seu agadecmento po todo o supote e motvação ecebda duante a execução do mesmo, assm como duante a fase de escta da dssetação. Anda que agadecendo a todos, uma palava especal paa aqueles que sempe acedtaam na mnha detemnação, qualdade de tabalho, e que mas me encoajaam: Ao Pofesso Douto Calos Henggele Antunes, meu oentado centífco, pela ncondconal dsponbldade, encoajamento, cítcas e sugestões codalmente manfestadas ao longo de todo o tabalho, e pela não menos ndspensável e cudadosa evsão de todo o texto desta dssetação. Aos meus pas, mão e famlaes pelo seu ncessante apoo, canho, compeensão e pacênca à medda que decoeu este tabalho, bem como pelas númeas hoas de convívo que tve de pescnd paa pode completa o tabalho. A todos quantos no ISEC me pestaam a sua ajuda e deam ncentvo e apoo no sentdo de concetza este pojecto. Ao núcleo de Comba do INESC pela ajuda e condções de tabalho popoconadas. Po fm, aos meus amgos pelo estímulo e motvação que contnuamente expessaam. Mutos outos colaboaam, decta ou ndectamente de alguma foma, duante a possecução deste tabalho. Na mpossbldade de a todos mencona, fca contudo o econhecmento da sua contbução e a mnha gatdão. v

13 Resumo Este tabalho tem po objectvo pncpal o estudo de novas abodagens metodológcas nteactvas que pemtam lda, de foma explícta, com a nceteza e mpecsão neentes ao pocesso de tomada de decsão, em modelos de pogamação lnea multobjectvo, onde as múltplas funções objectvo consdeadas são gealmente confltuosas e não comensuáves. O tatamento das questões elaconadas com a nceteza é efectuado com base na aplcação da teoa de conjuntos dfusos no âmbto dos métodos de apoo à decsão e em estudos de análse de sensbldade, ou mas especfcamente de abodagem de toleânca em análse de sensbldade ( the toleance appoach to senstvty analyss ). No tocante à aplcação da teoa de conjuntos dfusos, são popostas duas abodagens nteactvas, as quas se fundamentam em pncípos metodológcos dstntos, onde o cálculo das soluções efcentes é efectuado pela optmzação da soma pondeada das dfeentes funções objectvo. Uma das popostas pemte ncopoa a dfusão na opeação de optmzação e nas elações matemátcas exstentes nas estções, enquanto que na outa poposta alguns dos paâmetos do modelo são consdeados númeos eas dfusos tangulaes. O conjunto de soluções dfusas efcentes obtdo não se lmta apenas a vétces efcentes do poledo admssível (não dfuso) ncal, a menos que paa todas as estções funconas as elações matemátcas ou os coefcentes pesentes sejam não dfusos. Depos de ealzado um estudo pomenozado sobe a abodagem de toleânca apesentada po Wendell no domíno da pogamação com um únco objectvo, assm como da espectva extensão ao domíno multobjectvo poposta po Hansen et al. (na qual o cálculo das soluções efcentes consste também na optmzação de uma soma pesada das funções objectvo), apesentamos uma va de natueza geométca paa a obtenção dos esultados popostos. Utlzando um estudo de geometa analítca no espaço paamétco (dos pesos) é poposta uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca que possblta analsa dnamcamente como uma detemnada solução básca efcente do modelo se compota peante petubações smultâneas e ndependentes nos coefcentes de pondeação das váas funções objectvo. Dado que as metodologas de pontos de efeênca são também utlzadas paa caacteza o conjunto das soluções efcentes em poblemas multobjectvo, ealzámos um estudo compaatvo das metodologas de pontos de efeênca (em modelos de pogamação lnea multobjectvo) com a abodagem smétca de pogamação lnea em ambente dfuso de Zmmemann. Po fm, é também sugedo um modo de ntelga a abodagem de toleânca em análse de sensbldade apesentada ncalmente po Wendell com as metodologas baseadas em pontos de efeênca. Os esultados apesentados neste tabalho foam obtdos a pat da mplementação computaconal dos algotmos mas sgnfcatvos, a qual consttuu uma base de expementação e de apefeçoamento das metodologas de apoo à decsão. x

14 Abstact The man contbuton of ths wok s the desgn and development of new nteactve methodologcal appoaches amed at tacklng, n an explct manne, the uncetanty and the mpecson, whch ae ntnsc to the decson makng pocess, n lnea pogammng multobjectve models. The applcaton of fuzzy set theoy concepts n the ealm of decson analyss suppot methods, as well as senstvty analyss studes, namely the toleance appoach, have been used to deal wth uncetanty. Two nteactve appoaches fo decson suppot n fuzzy envonment ae poposed, whch ae based on dffeent methodologcal concepts, fo multobjectve pogammng poblems whee effcent solutons ae computed by solvng a scala optmsaton poblem consstng of a non-negatve weghted sum of the objectve functons. In the fst appoach the mathematcal elatons nvolved ae consdeed fuzzy (fuzzy optmsng objectve functons and/o fuzzy constants elatons), whle n the othe one the paametes of the model ae defned as tangula fuzzy numbes. The set of fuzzy effcent solutons computed s not estcted to exteme effcent ponts of the csp ntal feasble polyhedon, unless all the constants ae pecsely known. A detaled study s pesented concenng the toleance appoach to senstvty analyss developed by Wendell fo sngle objectve lnea pogammng poblems, as well as the extenson poposed by Hansen et al. fo multple objectve poblems (fo whch effcent solutons ae also detemned by optmsng a weghted-sum scalasng functon). A novel geometc ntepetaton to compute these esults s then pesented. By usng a smla geometcal analyss n the paametc (weght) space, a vsual nteactve toleance appoach to senstvty analyss methodology s poposed, whch allows to analyse dynamcally the behavou of basc effcent solutons subject to smultaneous and ndependent changes of moe than one objectve functons weghts. Snce efeence pont methodologes povde an appealng famewok to ad the decson make to stve fo "satsfactoy" effcent solutons n multple objectve models, a compaatve study has been caed out between the efeence pont methodologes (n multple objectve lnea pogammng models) and the Zmmemann s symmetcal fuzzy lnea pogammng appoach. Fnally, we have also establshed bdges between the toleance appoach to senstvty analyss ntally poposed by Wendell wth the efeence pont-based appoaches. The esults pesented n ths wok have been obtaned fom the computatonal mplementaton of the algothms as the coe of a decson suppot system. Ths decson suppot softwae we have developed has been used as an expementaton famewok towads the mpovement of nteactve decson ad methodologes. x

15 Capítulo I Intodução Os modelos de pogamação matemátca clásscos têm-se mostado nsufcentes paa da conta do caácte complexo e mal estutuado da genealdade dos poblemas de optmzação em que é necessáo te em conta dvesos aspectos de avalação do méto das soluções. A natueza destes poblemas eque, po um lado, a consdeação de múltplos ctéos de avalação, gealmente confltuosos e ncomensuáves, os quas abangem aspectos dstntos num dado contexto (como, po exemplo, aspectos socas, económcos, polítcos, de engenhaa, etc.) (Steue, 986; Roy, 985, 990). Po outo lado, estes poblemas são caactezados pela pesença de váos tpos de nceteza e sco, subjacentes ao pocesso de decsão e povenente de dvesas fontes (como, po exemplo, a esultante da mpecsão e vaações assocadas aos dados de entada, das nevtáves mpecsões e smplfcações na fase de modelação, do caácte subjectvo e evolutvo da estutua de pefeêncas do agente de decsão (AD) duante o pocesso nteactvo de decsão, assm como da ocoênca mpevsta de acontecmentos elevantes) (Zadeh, 965; Zmmemann, 987, 996; Antunes, 99; Gal e Geenbeg, 997). A tentatva de nclusão numa únca função objectvo de váos aspectos de avalação no contexto dum detemnado poblema, aspectos estes po vezes dfíces de quantfca e/ou de dfeente natueza e odens de gandeza, mostou-se em temos pátcos pouco adequada. Esta motvação ealsta leva ao apaecmento da pogamação matemátca com ctéos múltplos, e ao posteo emeg de dfeentes técncas e abodagens quanttatvas de nvestgação opeaconal, novas metodologas nteactvas de apoo à decsão, assm como à mplementação computaconal de sstemas de apoo à decsão (SADs) com modenos (e atactvos) ntefaces funconando sobe hadwae cada vez melho e a peço mas acessível. Esta evolução tona-se possível devdo à snega de dfeentes amos do conhecmento, que benefcam com a

16 Capítulo I - Intodução nte dscplnadade, como as cêncas da gestão, a matemátca, a nfomátca, a pscologa cogntva, e os dfeentes amos da engenhaa (ente outos). Os poblemas de optmzação multctéo subdvdem-se nomalmente em dos gandes gupos, aos quas estão assocadas as espectvas abodagens metodológcas: os poblemas multatbuto e os poblemas multobjectvo. Na análse multatbuto as altenatvas admssíves são explctamente conhecdas e em númeo fnto. Cada altenatva tem assocados os espectvos índces de méto paa os váos ctéos consdeados. Neste contexto, podem dstngu-se as poblemátcas de selecção, odenação ou categozação (Roy, 990). Na pogamação multobjectvo, o conjunto das soluções admssíves foma um contínuo, sendo defndo mplctamente po um conjunto de estções. O conjunto das altenatvas admssíves, no espaço das vaáves de decsão, é mapeado no espaço das funções objectvo, de modo a que a cada altenatva está assocado um vecto cujas componentes são os valoes das funções objectvo coespondentes a essa altenatva (Steue 986; Cohon, 978). Nos poblemas multobjectvo não exste, em geal, uma altenatva que optmze smultaneamente todas as funções objectvo, ou seja, o paadgma da optmaldade, o qual postula a completa compaabldade ente paes de altenatvas admssíves e a tanstvdade dessas compaações, é posto em causa. A noção de solução óptma (em geal únca), que nos poblemas com um só objectvo coesponde à altenatva admssível com melho valo paa a função objectvo consdeada, cede luga à noção de solução não domnada (solução efcente). Uma solução não domnada caacteza-se po não exst outa solução admssível que melhoe smultaneamente todos os objectvos. A melhoa num dos objectvos só pode se alcançada pela degadação do valo de, pelo menos, um dos outos objectvos. Neste tabalho, vamos apenas estuda poblemas de pogamação lnea multobjectvo (PLMO). Sempe que, nesta dssetação, o temo ctéo apaeça tal petende sgnfca objectvo. Emboa a exstênca de mas do que uma solução não domnada possa se encaada como um nconvenente, elatvamente à uncdade da solução óptma encontada na genealdade dos poblemas monoctéo, a possbldade de escolha ente váas soluções não domnadas pode tona-se uma mas vala, no sentdo em que o AD dspõe de um mao unveso de escolha e pode seleccona a solução que melho satsfaça as suas pefeêncas. De facto, a exstênca de apenas uma solução óptma podeá se vsta como demasado lmtatva peante a complexdade dos poblemas eas. No entanto, o conhecmento de um númeo consdeável de soluções não domnadas, apesentando estas caacteístcas dstntas, podeá esulta numa enome quantdade de nfomação sem que sso se taduza num aumento de qualdade da nfomação fonecda ao AD. A menos que exstam meos que possbltem ao AD um estudo guado das soluções não domnadas apesentadas, as lmtadas capacdades cogntvas do Se Humano, podeam leva o AD a adopta uma solução que ntutvamente lhe paeça boa. A dstnção fomal ente estes dos concetos, solução não domnada/efcente, seá efectuada no capítulo II. 2

17 Capítulo I - Intodução A consdeação de múltplas funções objectvo, e a esultante exstênca de mas do que uma solução não domnada, conduz assm à necessdade de estabelece uma toca de nfomação (dálogo) ente a componente metodológca e o AD. De acodo com o nstante e o tpo de ntevenção que é equeda ao AD, podem dstngu-se tês categoas de métodos multobjectvo (Hwang e Masud, 979; Clímaco et al., 2003): os métodos geadoes, onde não exste atculação de pefeêncas do AD ou, como alguns autoes efeem, esta é feta a posteo ; os métodos em que é feta uma atculação a po das pefeêncas do AD; e os métodos nteactvos, onde exste uma atculação pogessva das pefeêncas do AD. Os métodos nteactvos petendem ultapassa as pncpas desvantagens dos métodos geadoes (onde se detemna todo ou pate do conjunto das soluções não domnadas que é depos apesentado ao AD), assm como dos métodos de atculação a po de pefeêncas (os quas pessupõem a exstênca duma função valo ou utldade 2 mplícta, com base na qual se esolve um poblema monoctéo), nomeadamente ao nível do esfoço computaconal envolvdo e da sobecaga cogntva de pocessamento de nfomação mposta ao AD. Os métodos nteactvos altenam fases de dálogo ente o AD e a componente metodológca (gealmente atavés de uma feamenta computaconal ntegada) com fases de cálculo de soluções não domnadas, até se atng uma condção de paagem do algotmo ou até que o AD fque satsfeto com as soluções que lhe são apesentadas duante as fases de cálculo. As pefeêncas (escolhas) do AD, manfestadas em cada fase de dálogo, são usadas nas fases de cálculo seguntes de modo a oenta a pesqusa das soluções não domnadas do poblema em estudo. A expessão das escolhas do AD assume patcula mpotânca nas metodologas nteactvas. O modo como é encaada a nteactvdade pode desde a pesunção de que há uma estutua de pefeêncas peexstente estável até às metodologas oentadas paa a adaptação e apendzagem na expessão das pefeêncas ao longo do pocesso de decsão. A apendzagem deve se entendda não apenas no sentdo de mao conhecmento dsponível mas também no sentdo de melhoamento das capacdades do AD, de modo a pode utlza convenentemente essa nfomação, assm como conhece melho o poblema e as coespondentes soluções. As abodagens que popomos nesta dssetação são de natueza nteactva, podendo as escolhas do AD evolu ao longo do pocesso nteactvo de dálogo com as feamentas computaconas de apoo à decsão. O AD estuda não apenas o poblema mas também o seu conhecmento e apende com a análse que efectua. Uma das maoes cítcas à pogamação matemátca é a de que as nfomações dsponíves na pátca são nexactas e ncetas, tonando dfícl que uma solução óptma/não domnada do modelo fomulado funcone como espeado. Tona-se então mpotante conhece como uma detemnada solução se compota na pesença de factoes ntínsecos ao pocesso de decsão, analsa outas potencas soluções consdeadas satsfatóas pelo AD, assm como valda o modelo matemátco do poblema eal em estudo. Além de possbltaem o cálculo de soluções não domnadas, os SADs podem também se utlzados paa ajuda na análse nteactva detalhada (em tempo útl e sem a 2 Emboa mutos autoes não dfeencem ente função valo e função utldade, podem dstngu-se consdeando que no últmo caso exstem pobabldades assocadas aos esultados da cada acção potencal. 3

18 Capítulo I - Intodução necessdade de efomula o modelo do poblema) das consequêncas que uma detemnada solução pode poduz, se a stuação eal estudada sofe alteações 3. Se bem que, na mao pate da lteatua centífca os temos nceteza e sco sujam com a mesma conotação, o seu sgnfcado nem sempe é usado de foma consstente po todos os autoes (Antunes, 99). Neste tabalho, seá usada a dstnção mas vulgamente encontada paa os temos nceteza e sco: A nceteza está elaconada com fenómenos que não podem se epetdos de todo, ou se epetem apenas ocasonalmente de tal modo que é dfícl eta alguma nfomação a pat de sucessvas obsevações 4. O temo sco está elaconado com fenómenos que podem se caactezados pela exstênca de alguma dstbução de pobabldade, conhecda e mensuável, mesmo se o tempo específco ou a sequênca espacal de ocoênca dos acontecmentos não pude se detemnada 5. O tatamento das questões elaconadas com a nceteza e o sco em modelos de pogamação matemátca pode se efectuado bascamente atavés de quato abodagens dfeentes, dependendo estas essencalmente do tpo de nfomação dsponível, da nfomação que o AD está nteessado em obte e do modo como o AD apeende a mpecsão neente ao modelo e aos dados: A aplcação da teoa de conjuntos dfusos no domíno dos métodos de decsão, ncalmente efectuada po Bellman e Zadeh (965), possbltava o enfaquecmento das elações matemátcas ntevenentes no modelo, ou seja, petenda tona menos ígdas as noções de estção e de optmzação das funções objectvo. Posteomente, o caácte dfuso estendeu-se também à solução fnal obtda, assm como aos paâmetos (coefcentes) ntevenentes no modelo matemátco. A análse de sensbldade (ou a teoa da establdade) em pogamação lnea monoctéo tem como pncpal objectvo a detemnação dos ntevalos de vaação dos paâmetos do modelo de tal modo que não haja alteação na solução (base) óptma ncalmente encontada. Em poblemas multobjectvo esta defnção tona-se dfícl e não é tatada de manea unfome na lteatua. No entanto, todas as abodagens têm como fnaldade a avalação do mpacto da vaação dos coefcentes ou do pópo modelo, na(s) solução(ões) de compomsso consdeada(s) satsfatóa(s) pelo AD, sem necessdade de efomulação do poblema desde o níco. 3 Emboa actualmente quase todo o softwae exstente paa pogamação lnea possua um módulo que pemte efectua um estudo de análse de sensbldade (ou seja, caso o utlzado quea pode sabe qual o ntevalo de vaação paa detemnado coefcente do modelo que conduz a uma solução ou base óptma calculada), poucas são as feamentas computaconas multobjectvo exstentes que facultam um estudo semelhante. 4 Ou, como ctado em (Tavaes et al., 996), casos onde não seá possível de assoca qualque medda de fequênca ou de cedbldade de ocoênca a cada elemento do seu domíno. 5 Tavaes et al. (996) afmam que Sempe que é possível assoca dstbuções de pobabldades aos dvesos cenáos que podem ocoe dz-se que se tata de um poblema de decsão com sco. 4

19 Capítulo I - Intodução A teoa das pobabldades eque a exstênca de dados estatístcos sufcentes que foneçam nfomação sobe as funções de dstbução das vaáves aleatóas do modelo matemátco (pogamação estocástca) ou o uso de pobabldades subjectvas, quando este tpo de nfomação não exsta. Esta abodagem é uma das apoxmações mas usadas paa o tatamento do sco (segundo a temnologa anteo). Na pogamação ntevala admte-se que os coefcentes pesentes nos modelos matemátcos não são especfcados com pecsão, mas defndos como ntevalos. Ao longo desta dssetação, são exploadas vas paa o tatamento da nceteza, sendo esta modelada utlzando como base a teoa de conjuntos dfusos e a análse de sensbldade, ou mas especfcamente a abodagem de toleânca 6. Expessões como mpecsão, nfomação nsufcente ou ncompleta, mpefeção ou smplfcação do modelo matemátco, subjectvdade ou ambgudade na attude do AD enquadam-se no âmbto da nceteza. Po ntemédo de um estudo de análse de sensbldade (tadconal) 7 aplcado a poblemas de pogamação lnea tona-se dfícl consdea petubações smultâneas e ndependentes nos coefcentes do modelo. A abodagem de toleânca possblta ao AD um modo de contona este poblema. Esta abodagem pemte calcula a mao pecentagem, chamada pecentagem máxma de toleânca, de tal modo que se alguns coefcentes selecconados não vaaem smultânea e ndependentemente mas do que a efeda pecentagem, uma solução (ou base) óptma/efcente calculada anteomente mantém-se óptma/efcente. O desenvolvmento de novas metodologas nteactvas e a mplementação de SADs que têm em conta a pesença de múltplos ctéos em ambente não completamente detemnístco, tem ataído a atenção dos nvestgadoes nas últmas décadas. Fo neste âmbto que decdmos desenvolve a nvestgação que deu ogem à pesente dssetação. As metodologas que seão apesentadas neste tabalho foam sendo consoldadas atavés da expeênca adquda, tendo sempe em mente fonece ao AD ajudas vsuas (apelatvas) de nteacção com os algotmos, ecoendo ao uso de ntefaces Se Humano/computado flexíves com utlzação de gáfcos, assm como modos de expessa nteactvamente as suas pefeêncas evolutvas, adoptando um potocolo de comuncação abeto. É fonecdo um ambente opeaconal, no qual o AD assume o papel de conduto no pocesso de decsão, que estmula a eflexão e o sug de novas pstas de 6 Ao longo deste tabalho á se usada a tadução abodagem de toleânca em análse de sensbldade ou abodagem toleante em análse de sensbldade paa a expessão nglesa the toleance appoach to senstvty analyss, uma vez que não fo encontada qualque tadução na lteatua em língua potuguesa sobe a temátca. No dconáo elaboado pela APDIO (DcIO) fgua o temo toleance, paa o qual o coespondente em potuguês é toleânca. No entanto, quando nos efemos à abodagem de toleânca em análse de sensbldade usaemos apenas a expessão abodagem de toleânca (ou abodagem toleante ), sempe que sso não compometa o go da exposção. 7 Sempe que nos efemos à análse de sensbldade, e se moste convenente, utlzaemos o qualfcatvo tadconal paa a dstngumos da abodagem de toleânca em análse de sensbldade. Em (Wendell, 985, 984, 992, 997, 2004; Wondolowsk, 99) os autoes empegam os temos tadconal senstvty analyss e odnay senstvty analyss. 5

20 Capítulo I - Intodução pesqusa, pemtndo ao AD uma exploação e apendzagem mas pofunda e selectva das caacteístcas do poblema em análse e das suas pecepções e escolhas, a cítca aos esultados que vão sendo obtdos, até que o AD fque satsfeto com a nfomação dsponblzada pelas metodologas. As soluções analsadas pelas técncas popostas não devem se encaadas com caácte nomatvo, mas sm como efeêncas paa enconta planos de acção bem fundamentados, em modelos multobjectvo contemplando explctamente o tatamento da nceteza. Assumemos ao longo deste tabalho que no pocesso de decsão ntevém um únco AD 8. Emboa econheçamos que na genealdade dos casos tal não acontece e as dfeenças de posção ente ADs elatvamente ao mesmo conjunto de soluções pode não se unânme (esultantes, po exemplo, de eventuas dfeenças de nteesses e/ou estutuas de pefeêncas, dfeentes pontos de patda no que concene à nfomação de base sobe os poblemas a esolve e coespondente caactezação, etc.) esse assunto enquada-se no âmbto da escolha em gupo (ou escolha socal) o qual não seá aqu tatado. Esta dssetação enconta-se dvdda em dez capítulos, coespondendo pate dos capítulos a tabalhos de natueza centífca já publcados em evstas ntenaconas e apesentados em confeêncas ntenaconas: Neste capítulo, Intodução, expomos as motvações que conduzam ao tabalho, o qual apaece consubstancado nesta dssetação. Paa temna, é feto um pequeno esumo de cada um dos capítulos da dssetação e são efedas as contbuções elevantes. No capítulo II, Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas, apesentam-se alguns concetos base de pogamação multobjectvo essencas paa a compeensão global deste tabalho. São defndos os concetos de solução efcente, solução não domnada e solução de compomsso satsfatóa, bem como esumdamente desctos dos pocessos de cálculo de soluções efcentes em poblemas de PLMO, que consstem na esolução de pogamas escalazantes (a soma pondeada das funções objectvo e a abodagem de pontos de efeênca). São também fetas algumas consdeações sobe a agegação da estutua de pefeêncas do AD nas abodagens de decsão multobjectvo. No capítulo III, Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens, começamos po eve alguns concetos e popedades essencas da teoa de conjuntos dfusos, assm como expo as deas fundamentas que pemtem a aplcação dos concetos da teoa de conjuntos dfusos no âmbto da PLMO. De seguda, são esumdamente expostas algumas técncas e algotmos de pogamação lnea no domíno dfuso, necessáas à compeensão dos capítulos subsequentes. Na secção 4 deste capítulo popomos uma abodagem nteactva de PLMO no domíno dfuso, a qual é lustada po um exemplo com tês funções objectvo. As técncas expostas 8 Sendo o AD uma pessoa que habtualmente não está famlazada com os modelos e técncas matemátcas, é nomal que no pocesso de apoo à decsão patcpe outa pessoa, denomnada de analsta, cuja fnaldade é a de faclta a comuncação de nfomação ente o AD e o sstema computaconal (nomeadamente paa auxla AD na análse da nfomação de pefeêncas a fonece ao sstema ou na ntepetação dos esultados obtdos). Ao longo deste tabalho, consdeaemos que o analsta exste mplctamente ente o sstema e o AD, mesmo que não lhe seja feta efeênca fomal. 6

21 Capítulo I - Intodução pemtem ncopoa a dfusão na opeação de optmzação e nas elações matemátcas pesentes nas estções, sendo a solução obtda também dfusa. Este capítulo é pacalmente baseado em (Boges, 995) e (Boges e Antunes, 2003a). No capítulo IV, Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos, é apesentada uma nova abodagem nteactva de PLMO, na qual alguns dos paâmetos do modelo são caactezados po númeos eas dfusos e a solução obtda é ela pópa dfusa. Esta metodologa é lustada na secção 2 deste capítulo po ntemédo do mesmo exemplo utlzado no capítulo anteo. As potencaldades da abodagem aqu apesentada seão exploadas no capítulo VII. O capítulo IV é pacalmente baseado em (Boges e Antunes, 2000), se bem que já se encontem aqu expostas (e lustadas com o exemplo analsado) algumas deas e sugestões apesentadas posteomente em (Boges e Antunes, 2003b). O capítulo V, A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea, possu um caz essencalmente teóco. Depos de tecdas algumas consdeações genécas sobe análse de sensbldade em modelos mono e multobjectvo, é feta uma descção pomenozada da abodagem de toleânca em análse de sensbldade apesentada po Wendell (985, 984, 997) no domíno da pogamação com um únco objectvo. São também esumdamente efedas as duas genealzações popostas espectvamente em (Wondolowsk, 99, Wendell, 992) e em (Wang e Huang, 993), as quas possbltam alaga os ntevalos de toleânca anteoes de (Wendell, 985). Po fm é detalhadamente descta a extensão ao domíno multobjectvo poposta em (Hansen et al., 989). Atavés de um estudo de geometa analítca no espaço dos pesos é exposto, no capítulo VI deste tabalho, Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO, o modo geométco de obtenção dos esultados apesentados po Hansen et al. em (989) (e anteomente efedos no capítulo V). Com base neste estudo é poposta uma abodagem nteactva, baseada na decomposção do dagama paamétco (dos pesos) que, fazendo uso de nspecção vsual, possblta compeende as consequêncas de uma detemnada decsão adoptada. Esta metodologa é lustada na secção 3 deste capítulo com o mesmo exemplo utlzado po Hansen et al. (989). Este capítulo é baseado em (Boges e Antunes, 2002a). No capítulo VII, Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas, é estudado um modelo de PLMO paa planeamento enegétco, baseado em análse nput output, o qual tem em conta as espectvas nteacções com toda a economa, assm como a quantfcação dos mpactos ambentas esultantes 9. 9 Tata-se de um poblema que se eveste de gande actualdade e envolve decsões de consdeável mpotânca nas socedades modenas, não podendo as questões elatvas ao tatamento da nceteza se omtdas. A elevada dependênca enegétca Potuguesa do exteo, a nteacção do sstema enegétco com toda a economa, o desempego, a lbealzação do mecado de enega na Unão Euopea (desde 996), o potocolo de Quoto (assnado em 997 po todos os estados membos da Unão Euopea, e que tem como objectvo a dmnução da emssão de gases que povocam o efeto de estufa a um mínmo de 5% elatvamente a 990 duante o peíodo 2008 a 202), são algumas das faces vsíves deste poblema. 7

22 Capítulo I - Intodução Este modelo é baseado nos tabalhos Olvea e Antunes (2002, 2004) e Antunes et al. (2002). No estudo apesentado na secção 2 é utlzada como supote nteactvo à tomada de decsão a abodagem dfusa poposta no capítulo IV. Na secção 3 é usada a metodologa nteactva de abodagem de toleânca apesentada no capítulo VI paa analsa dnamcamente como uma detemnada solução básca efcente do modelo se compota peante petubações smultâneas e ndependentes nos paâmetos de pondeação dos váos objectvos. Este capítulo é pacalmente baseado em (Boges e Antunes, 2003b). No capítulo VIII, Abodagens baseadas em pontos de efeênca vesus análse dfusa no apoo à decsão em poblemas de PLMO, é efectuado um estudo compaatvo ente a abodagem smétca de pogamação lnea em ambente dfuso apesentada po Zmmeman (978, 983a) e as metodologas baseadas em pontos de efeênca, ou mas especfcamente em níves de aspação e níves de eseva, consdeando modelos de PLMO (Wezbck, 982, 2000; Lewandowsk e Wezbck, 988, 989). O exemplo apesentado no capítulo anteo seá usado neste capítulo com pequenas alteações (po exemplo, consdeando mas uma função objectvo) paa melho lustação. Este capítulo é pacalmente baseado em (Antunes e Boges, 2002). No capítulo IX, Abodagem toleante aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO, são tecdas algumas consdeações, com caz essencalmente teóco, sobe a possbldade de ntegação da abodagem de toleânca (Wendell, 985) com as metodologas baseadas em pontos de efeênca (Wezbck, 982; Lewandowsk e Wezbck, 988, 989). Tando patdo da nceteza neente à especfcação dos valoes dos pontos de efeênca dos váos objectvos po pate do AD, é possível estuda o conjunto de soluções efcentes de poblemas de PLMO, ndependentemente destas soluções seem ou não pontos extemos da egão admssível do poblema, assm como analsa a establdade das bases efcentes. Este capítulo é pacalmente baseado em (Boges e Antunes, 2002b). Po fm, no capítulo X, Conclusões e pstas de desenvolvmento, pocuamos apesenta as pncpas conclusões da nvestgação efectuada, assm como aponta pstas de desenvolvmento futuo. Em síntese, podemos consdea como pncpas contbuções deste tabalho as seguntes: Concepção de um método nteactvo de PLMO paa tatamento de nceteza no domíno dfuso, o qual pemte ncopoa a dfusão na opeação de optmzação e nas elações matemátcas exstentes nas estções funconas do modelo, sendo as soluções efcentes obtdas atavés da optmzação da soma pesada das funções objectvo (capítulo III). Concepção de um método nteactvo de PLMO paa tatamento de nceteza no domíno dfuso, onde os paâmetos dfusos do modelo são consdeados númeos eas dfusos tangulaes, sendo as soluções efcentes obtdas atavés da optmzação da soma pesada das funções objectvo (capítulo IV). 8

23 Capítulo I - Intodução Intepetação geométca da extensão da abodagem de toleânca em análse de sensbldade paa poblemas de PLMO apesentada em (Hansen et al., 989), na qual o cálculo das soluções efcentes consste na esolução de um poblema escala cuja função objectvo é uma soma pondeada das múltplas funções objectvo do modelo (capítulo VI). Desenvolvmento de uma metodologa nteactva de abodagem toleante aos pesos das funções objectvo de um poblema de PLMO (capítulo VI). Implementação computaconal dos algotmos consdeados mas elevantes. Expementação e exploação das potencaldades das técncas nteactvas de PLMO popostas paa o estudo de um modelo multobjectvo de planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas (capítulo VII). Análse das analogas exstentes ente as metodologas de optmzação baseadas em pontos de efeênca e a abodagem smétca dfusa de PLMO poposta po Zmmemann (978, 983a) (capítulo VIII). Intelgação dos concetos base da abodagem de toleânca em análse de sensbldade (apesentada ncalmente po Wendell (985)) com as metodologas baseadas em pontos de efeênca (capítulo IX). A genealdade das fguas encontadas nos capítulos desta dssetação fo obtda a pat de cópas dos écans, apesentados ao utlzado pelas mplementações computaconas ealzadas 0, eventualmente com algum tatamento posteo a fm de as tona mas elucdatvas. 0 As abodagens apesentadas foam mplementadas na sequênca dos váos estudos efectuados, usando os compladoes de C/C++ da Boland em ambente Wndows 3. e Wndows 95/98, bem como o complado de C++ da Mcosoft Vsual Studo.NET 2003 em ambente Wndows 2000 e Wndows XP. 9

25 Capítulo II Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas Um poblema de pogamação matemátca multobjectvo pode assum váas fomas dependendo da natueza das funções objectvo ou estções funconas ntevenentes (lneaes, não lneaes), das vaáves de decsão (contínuas, dscetas), dos coefcentes (detemnístcos, estocástcos ou dfusos) e da egão admssível (convexa, não convexa). O objectvo deste capítulo é o de apesenta algumas noções báscas utlzadas no âmbto da optmzação multobjectvo onde as vaáves são contínuas e os coefcentes detemnístcos, com especal destaque paa o domíno da PLMO. Não é nossa ntenção esceve um texto ntegal do ponto de vsta fomal, mas apenas desceve detalhadamente alguns dos concetos, métodos e técncas mas sgnfcatvos nesta áea e que seão efeencados nos capítulos posteoes deste tabalho. Como efeêncas mas mpotantes na áea de optmzação lnea multobjectvo podemos destaca as obas de Steue (986), Cohon (978), Hwang e Masud (979), Zeleny (974, 982), Yu (985), Wezbck et al. (2000) e o ecente lvo em língua potuguesa de Clímaco et al. (2003). Este capítulo enconta-se oganzado da segunte foma: Na secção apesentamos a fomulação matemátca do modelo de optmzação lnea multobjectvo, a qual á se usada de modo consstente ao longo deste tabalho. Segudamente, são expostos alguns concetos fundamentas de pogamação multobjectvo, nomeadamente as noções de solução efcente, solução não domnada e Omtemos todos os concetos base de pogamação lnea com um só objectvo, os quas sugem nomalmente adaptados ao domíno multobjectvo.

26 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas solução de compomsso na secção 2, e as noções de tabela de óptmos ndvduas, solução deal e solução ant-deal na secção 3. Na secção 4 são esumdamente desctos dos pocessos de cálculo de soluções efcentes em poblemas de PLMO, que consstem na esolução de pogamas escalazantes: a soma pondeada das funções objectvo e a abodagem de pontos de efeênca. Nesta secção é também ealzada uma compaação ente estes dos pocessos de obtenção de soluções efcentes, assm como efedo outo modo de cálculo de soluções efcentes a pat da esolução de um poblema de pogamação lnea monobjectvo: a optmzação de uma das funções objectvo mpondo estções nos valoes das estantes funções objectvo. A exstênca de valoes com dstntas odens de gandeza nos váos coefcentes das dfeentes funções objectvo pode leva à necessdade péva de eduz à mesma escala os coespondentes valoes. Na secção 5 são esumdamente efedas tês abodagens vulgamente utlzadas paa esse efeto. Na secção 6 são tecdas algumas consdeações sobe a estutua de pefeêncas do AD nas abodagens de decsão multobjectvo. II. O poblema lnea com objectvos múltplos Um poblema de PLMO com n vaáves de decsão x = (x,..., x j,..., x n ) T 0 consste na optmzação de p funções objectvo lneaes z = (z,..., z,..., z p ) T sujetas a um conjunto de m estções funconas lneaes 2. Se assummos, sem peda de genealdade, que as funções objectvo são a maxmza e as estções funconas são do tpo 3, o poblema pode se matematcamente fomalzado do segunte modo: s.a max z (x) = C. x... max z (x) = C. x... max z p (x) = C p. x x X {x n R : A x b, x 0}; (II.) ou 2 Na notação utlzada ao longo desta dssetação consdea-se que as letas maúsculas desgnam matzes, as letas mnúsculas e a negto desgnam vectoes coluna, e as letas mnúsculas epesentam escalaes. Consdeando uma matz M, M j coesponde ao elemento na lnha e coluna j da matz M, e M. e M. j epesentam a lnha e a coluna j da matz M, espectvamente. 3 Paa as funções objectvo a mnmza e paa as estções do tpo e = deveão se fetas as convesões convenentes. 2

27 II. - O poblema lnea com objectvos múltplos max C x s.a A x b X, x 0 onde C é a matz dos coefcentes das funções objectvo (dmensão pxn), cujos vectoes lnha C. são os coefcentes da função objectvo z, A é a matz dos coefcentes tecnológcos (dmensão mxn e caacteístca m), e b é o vecto dos m temos ndependentes das estções funconas. Sendo X o conjunto de todas soluções admssíves no espaço das vaáves de decsão, podemos defn Z como sendo o conjunto de todas soluções admssíves no espaço das funções objectvo (fgua II.), Z = {z(x) p R : x X}. (II.2) Fgua II. Espaço das vaáves de decsão e espaço das funções objectvo. Cada solução admssível no espaço das vaáves de decsão, x X, tem assocado no espaços das funções objectvo um vecto, z Z, cujas componentes são os valoes de cada função objectvo paa esse ponto da egão admssível. Se o conjunto das soluções admssíves fo defndo po ntemédo de um númeo fnto de nequações lneaes, como acontece em poblemas de pogamação lnea, X e Z são polédcos e convexos. II.2 Solução efcente, solução não domnada e solução de compomsso satsfatóa A consdeação explícta de váas funções objectvo dstntas, nomalmente confltuosas e não comensuáves, não pemte, em geal, a exstênca de uma solução admssível que optmze smultaneamente todas as p funções objectvo. A noção de solução óptma (em geal únca) dá luga à de solução efcente (ou óptma de Paeto) e de solução não domnada (ou não nfeo). 3

28 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas Uma solução efcente caacteza-se po não exst uma outa solução admssível que melhoe o valo de uma função objectvo sem poa o valo de, pelo menos, uma outa função objectvo. Solução efcente: x ) X é uma solução efcente do poblema (II.) se e só se não exst outa solução x ( X tal que z ( x ( ) z ( x ) ), paa todo o =, 2,..., p e z ( x ( ) > z ( x ) ), paa pelo menos um =, 2,..., p. (II.3) Podemos defn a elação de domnânca da segunte manea (Steue, 986): z ( p ) ( R domna z z p R se e só se z ( x ( ) z ( x ) ), paa todo o =, 2,..., p e z ( x ( ) > z ( x ) ), paa pelo menos um =, 2,..., p. (II.4) Consdeando que a efcênca está elaconada com o espaço das vaáves de decsão e a domnânca está elaconada com o espaço dos objectvos, podemos afma que a magem de uma solução efcente é uma solução não domnada e defn solução não domnada do segunte modo: Solução não domnada: z ) Z é uma solução não domnada do poblema (II.) se e só se z ) = z ( x ) ), =, 2,..., p, paa x ) X efcente. O conjunto de todas as soluções efcentes no espaço das vaáves de decsão pode se defndo po: X ef = { x ) X / x ( X : z( x ( ) z( x ) )}, (II.5) onde z( x ( ) z( x ) ) se e só se z ( x ( ) z ( x ) ), paa =, 2,..., p, e z ( x ( ) > z ( x ) ), paa pelo menos um =, 2,..., p; e o conjunto dos vectoes não domnados no espaço das funções objectvo po: Z nd = {z( x ) ) p R : x ) X ef }. Uma solução domnada é menos atactva paa o AD, uma vez que seá sempe possível enconta outa solução tão boa como a pmea no tocante a todos os objectvos e melho em elação a algum(ns). Uma solução admssível paa um poblema multobjectvo dz-se facamente efcente se e só se não exst outa solução admssível que melhoe esttamente o valo de todas as funções objectvo. Solução facamente efcente: x ) X é uma solução facamente efcente do poblema (II.) se e só se não exst outa solução x ( X tal que z ( x ( ) z ( x ) ), paa todo o =, 2,..., p. O conjunto de todas as soluções facamente efcentes no espaço das vaáves de decsão pode se defndo po: X Fef = { x ) X / x ( X : z( x ( ) z( x ) )}; (II.8) (II.6) (II.7) 4

29 II.2 - Solução efcente, solução não domnada e solução de compomsso satsfatóa e o conjunto de todos os vectoes facamente não domnados no espaço das funções objectvo po: Z Fnd = {z( x ) ) p R : x ) X Fef }. As fguas II.2 e II.3 lustam os concetos de solução não domnada e facamente não domnada anteomente apesentados. (II.9) (a) Soluções não domnadas Fgua II.2 (b) Soluções facamente não domnadas Na fgua II.2 está epesentado um poblema de PLMO onde Z nd = [D, E] [E, F] e Z Fnd = Z nd [C, D[. (a) Soluções não domnadas Fgua II.3 (b) Soluções facamente não domnadas Paa o poblema não lnea 4 multobjectvo epesentado na fgua II.3 Z nd coesponde à fontea (a taço mas gosso) ente os pontos B e C e ente os pontos D e E nclundo os extemos, Z Fnd = Z nd [A, B[ ]E, F]. A pat dos exemplos anteoes conclu-se que uma solução efcente/não domnada é também facamente efcente/facamente não domnada, pelo que pode consdea-se esta últma como uma elaxação da pmea. 4 Se bem que este tabalho apenas se estnja aos modelos de pogamação lnea, este exemplo fo aqu consdeado dado que á se utlzado mas à fente (nesta secção) paa uma melho compeensão das noções de solução mpopamente efcente (a qual não exste paa poblemas lneaes) e ε-mpopamente efcente. 5

30 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas Um modo dfeente de defn solução efcente/não domnada e solução facamente efcente/facamente não domnada pode se consegudo se fo efectuado um estudo geométco (no espaço das vaáves de decsão ou das funções objectvo) onde é consdeada uma egão cónca geada pelos gadentes das p funções objectvo (Steue, 986; Wezbck et al., 2000) 5. A solução admssível coespondente ao vétce da egão cónca em estudo é não efcente/domnada (facamente não efcente/facamente domnada), se houve outa solução admssível dento dessa egão consdeando o nvóluco (não consdeando o nvóluco), que seja tão boa como a solução que coesponde ao vétce em elação a todos os objectvos e melho paa algum(ns). Seja D o cone postvo 6 no espaço das funções objectvo: D = {z p R : z (x) 0, =, 2,..., p}, (II.0) e D ~ o cone esttamente postvo, que se obtém de D não consdeando o seu vétce: D ~ = D \ {0} = {z p R : z (x) 0, =, 2,..., p; : z (x) > 0}. (II.) Se o nvóluco de D fo etado, obtemos o nteo de D: Int D = {z p R : z (x) > 0, =, 2,..., p}. (II.2) O conjunto das soluções não domnadas no espaço das funções objectvo apaece agoa defndo po: Z nd = { ẑ Z : ( ẑ +D ~ ) Z = }; (II.3) e o conjunto das soluções efcentes no espaço das vaáves de decsão defndo como: X ef = { x ) X : (z( x ) )+ D ~ ) z(x) = }. (II.4) A soma de ẑ /z( x ) ) a D ~ em (II.3)/(II.4) ocasona uma tanslação do vétce do cone da ogem dos exos paa qualque ponto no espaço das funções objectvo. Se substtumos em (II.3) e (II.4) D ~ po Int D podemos, de gual modo, defn o conjunto das soluções facamente não domnadas no espaço das funções objectvo po: Z Fnd = { ẑ Z : ( ẑ +Int D) Z = }; (II.5) e o conjunto das soluções facamente efcentes no espaço das vaáves de decsão como: X Fef = { x ) X : (z( x ) )+Int D) z(x) = }. (II.6) Estas defnções de efcênca/não domnânca concdem com as anteomente apesentadas. A equvalênca ente elas pode se lustada se compaamos as fguas II.2 com II.4 e II.3 com II.5 (onde os exemplos analsados são espectvamente os mesmos, mas ntepetados à luz das duas óptcas expostas). 5 6 Em (Clímaco et al., 2003) os autoes denomnam estes cones de cones de domnânca. Consdeando apenas funções objectvo a maxmza. 6

31 II.2 - Solução efcente, solução não domnada e solução de compomsso satsfatóa A pat das fguas II.4(a) e II.5(a) podem se geometcamente vsualzadas as soluções não domnadas como sendo as soluções admssíves ( ẑ ) tas que a ntesecção da egão admssível com os dfeentes cones D ~ com vétces em ẑ não possuem qualque ponto comum. Relatvamente às soluções facamente não domnadas, podem smlamente se vsualzadas nas fguas II.4(b) e II.5(b), como sendo aquelas que a ntesecção da egão admssível com os dfeentes nteoes dos cones com vétces em ẑ não possuem qualque ponto comum. (a) Soluções não domnadas (b) Soluções facamente não domnadas Fgua II.4 (a) Soluções não domnadas (b) Soluções facamente não domnadas Fgua II.5 Um conceto mas estto de efcênca é o de solução popamente efcente (ou efcente pópa), poposta po Geoffon (968). Solução popamente efcente: x ) X é uma solução popamente efcente se e só se fo efcente e exst um númeo fnto M > 0 tal que, paa cada função objectvo z (x), =, 2,..., p, e cada x ( X com z ( x ( ) > z ( x ) ), se vefca ( z ( x ) ) z ( x ) j - z - z ) ( x ) ( M, paa algum j em que z j ( x ( ) < z j ( x ) ). ( x ) j (II.7) 7

32 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas Ou seja, paa cada solução efcente pópa exste uma azão melhoa/degadação (ou ganho/peda) ente os valoes das funções objectvo ( tade-off coeffcents ), que é lmtada supeomente. Uma solução efcente que não seja solução popamente efcente denomna-se mpopamente efcente (ou efcente mpópa). As noções de solução popamente não domnada e de solução mpopamente não domnada decoem dectamente, po analoga com a elação ente solução efcente e solução não domnada. O conjunto de todas as soluções popamente efcentes no espaço das vaáves de decsão pode se defndo po: (II.8) X Pef = { x ) X ef M > 0, {, 2,..., p} com z ( x ( ) > z ( x ) ) x (, tal que ( ) z ( x ) - z ( x ) j {, 2,..., p}, j, com z j ( x ) ) > z j ( x ( ) tal que z j ) ( x ) - z ( M }. ( x ) O conjunto de todos os vectoes popamente não domnados no espaço das funções objectvo é defndo po: j Z Pnd = {z( x ) ) p R : x ) X Pef } (II.9) A noção de solução popamente não domnada pode se lustada po ntemédo do poblema epesentado na fgua II.6(a), onde as soluções B, C, D e E apesentam compomssos lmtados ente as funções objectvo, ou seja, são mpopamente não domnadas. No contexto da PLMO a noção de solução popamente efcente é desnecessáa, dado que, se Z fo polédco, o conjunto de soluções efcentes concde com o de soluções popamente efcente (Isemann, 974). (a) Soluções popamente não domnadas (b) Soluções ε-popamente não domnadas Fgua II.6 No entanto, esta noção pode se mpotante se se fxa a po 7 um valo paa os lmtes aos coefcentes de compomsso ( tade-off coeffcents ), M, de modo a elmna 7 Fxa antecpadamente o valo de M pode apesenta-se dfícl. 8

33 II.2 - Solução efcente, solução não domnada e solução de compomsso satsfatóa as soluções efcentes cuja azão melhoa/degadação (ou ganho/peda) ente os valoes das funções objectvo não seja sgnfcatva paa um AD as dstngu das soluções facamente efcentes, ou seja, que apesentem compomssos muto gandes ente objectvos. Po exemplo, no contexto da PLMO, se no poledo coespondente ao espaço dos objectvos em análse, pelo menos uma das hpefaces não domnadas fo quase paalela a um dos hpeplanos de nível das funções objectvo, então exstem soluções não domnadas tas que é possível melhoa sgnfcatvamente o(s) valo(es) de algum(ns) dos objectvos à custa de uma degadação nfntesmal de outo(s) objectvo(s), como acontece com os pontos em ]E, F] na fgua II.2 (agoa epoduzda em II.7, de foma a clafca os concetos apesentados), onde podemos consdea que o segmento de ecta [E, F] é patcamente vetcal. Fgua II.7 Soluções ε-popamente não domnadas. Estas soluções enquadam-se na defnção de solução ε popamente efcente de Lewandowsk e Wezbck (988, 989) em que ε epesenta um númeo postvo pequeno (tal que ε = /(M - )). Segundo estes autoes (Lewandowsk e Wezbck, 988), este conceto de efcênca é o mas esttvo e o mas pátco de todos os apesentados anteomente (nesta secção), mas também o mas dfícl de expessa teocamente. Uma solução ε popamente efcente é uma solução que satsfaz a condção de efcênca pópa, com M defndo pevamente. Lewandowsk e Wezbck (988, 989) expmem a defnção de conjunto de soluções ε popamente não domnadas, de modo análogo ao anteomente apesentado paa o conjunto das soluções facamente não domnadas, com base no nteo duma egão cónca levemente alagada em elação a D, Dε, de molde a ncopoa também os pontos na sua vznhança ε ( ε neghbohood em (Wezbck et al., 2000)). A solução admssível coespondente ao vétce dessa egão cónca, Dε, é ε popamente não efcente/domnada se houve outa solução efcente/não domnada dento dessa egão, não consdeando o nvóluco (ou seja, em Int Dε), tal que é possível melhoa sgnfcatvamente o valo de algum(ns) do(s) objectvo(s) à custa de uma degadação nfntesmal de outo(s) objectvo(s), em elação à solução que coesponde ao vétce. O que acabou de se dto pode se faclmente compeenddo pela análse das fguas II.6(b) e II.7. Na fgua II.6(b), as soluções sobe os acos que unem os pontos B e B, C e C, D e D, e E e E, exclundo as soluções B, C, D e E, são ε popamente domnadas. Po 9

34 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas exemplo, se a egão cónca tve como vétce o ponto B, então qualque ponto sobe o aco que une os pontos B e B petence ao nteo da egão cónca, o que sgnfca que o seu vétce é ε popamente domnado. O mesmo já não se vefca se a egão cónca tve como vétce o ponto B, ponto paa o qual uma tangente ao aco que une B a C possu uma nclnação gual ao nvóluco da egão cónca; nesta stuação não exste nenhum ponto petencente ao nteo da egão cónca que domne ε popamente o vétce B, o que sgnfca que B é ε popamente não domnado. De modo análogo, na fgua II.7 todas as soluções sobe a aesta ]E, F] são ε popamente domnadas. Paa qualque Dε com vétce num ponto de ]E, F], a solução E petence sempe a Int Dε, pelo que a solução E domna ε popamente todas as soluções de ]E, F]. São ε popamente não domnadas as soluções em [D, E]. Chamemos a Dε o cone postvo alagado 8 no espaço das funções objectvo, sto é, a egão cónca que nclu não só o cone postvo como também os pontos na sua vznhança (vznhança ε da egão cónca). Wezbck (2000) defne o seu nteo como: Int Dε = {z p R : dst(z, D) < ε z }, (II.20) onde z epesenta uma noma 9 de z e dst(z, D) a dstânca ente o ponto z e o conjunto p D em R, de modo a obte um conjunto abeto 0. Deste modo, Dε é defndo como: p Dε = {z R : mn z ( ) + ε p z ( x ) 0}. (II.2) x p = No espaço das funções objectvo da fgua II.8 enconta-se epesentado o cone postvo D (octante postvo) e o cone postvo alagado Dε, consdeando 3 funções objectvo a maxmza. Se substtumos em (II.5) e (II.6) Int D po Int Dε podemos smlamente defn o conjunto das soluções ε popamente não domnadas no espaço das funções objectvo po: Z εpnd = {ẑ Z : ( ẑ +Int Dε) Z = }; (II.22) 8 9 Consdeando apenas funções objectvo a maxmza. Uma noma é uma função que tansfoma um detemnado vecto c consdeamos a famíla de nomas Lp, a noma Lp de c é dada po: 20 n c p = c j= j p /p, com p {, 2, 3,...} { }. Po exemplo, as nomas L, L2 e L de c são espectvamente c = j = e c = max c. 0 j=,..., n j n R num escala c. Se n c j n, c 2 = = c j Com o ntuto de possblta as necessáas lmtações aos coefcentes de compomsso, Wezbck (2000) aconselha que sejam usadas as nomas L e L no cálculo da dstânca e L paa detemna a noma do lado deto da nequação em (II.20). 2 j

35 II.2 - Solução efcente, solução não domnada e solução de compomsso satsfatóa e o conjunto das soluções ε popamente efcentes no espaço das vaáves de decsão como: X εpef = {x ) X : (z( x ) )+Int Dε) z(x) = }. (II.23) Fgua II.8 D ε = octante postvo D e a vznhança ε do octante postvo D O conjunto de soluções popamente não domnadas e o conjunto de soluções popamente efcentes são caactezados com base no conjunto de soluções ε popamente não domnadas e no conjunto de soluções ε popamente efcentes, espectvamente, do segunte modo: Z Pnd = U ZεPnd (II.24) ε > 0 X Pef = U ε > 0 XεPef. (II.25) Que o conjunto de soluções admssíves seja convexo ou não, é possível estabelece a segunte elação (de nclusão) ente os váos conjuntos de soluções efcentes/não domnadas efedos: X εpef X Pef X ef X Fef ; Z εpef Z Pef Z ef Z Fef. (II.26) A longo deste tabalhos emos utlza ndstntamente os temos solução efcente e solução não domnada, sem especfca se a solução petence ao espaço das vaáves de decsão ou ao espaço dos objectvos, consoante se apesente mas convenente, sem no entanto compomete o go da exposção. Não exstndo uma solução admssível que optmze ao mesmo tempo todas as funções objectvo, a smples compaação ente soluções não domnadas não pemte a escolha de uma solução fnal a adopta. Dado que, tpcamente, o conjunto de soluções não domnadas contém mutos elementos, Wezbck et al. (2000) consdeam o conceto de solução efcente mas faco do que o conceto de solução óptma, no sentdo em que, neste caso sabemos especfcamente qual a decsão a escolhe e no pmeo apenas quas as decsões a evta. No entanto, se houve alguma foma nteactva de apoo à escolha de uma solução fnal em que paâmetos especfcados pelo AD pemtam contola este pocesso, a não uncdade do conjunto de soluções efcentes tona-se uma vantagem. 2

36 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas Em stuações pátcas, o conhecmento do conjunto de todas as soluções efcentes não é nomalmente necessáo. Tona-se mas mpotante conhece (apende) as caacteístcas fundamentas da egão não domnada e dos compomssos a faze paa pode dentfca uma solução satsfatóa acetável como solução fnal do pocesso de decsão. Convém efe o facto de não se encontada uma defnção unfome na lteatua paa os temos solução de compomsso, solução de compomsso óptma, solução satsfatóa, solução de compomsso satsfatóa, muto emboa todas elas tenham assocado um caácte de subjectvdade po contaste com a conotação de objectvdade de solução óptma. Vulgamente, uma solução de compomsso do poblema (II.) é aquela à qual está assocado um detemnado compomsso (ou equlíbo) ente os váos objectvos; uma solução de compomsso óptma pesume a exstênca de uma função valo que agega os dvesos objectvos e expessa analtcamente as pefeêncas do AD; uma solução satsfatóa é aquela que o AD está dsposto a aceta, uma vez que nela são alcançadas metas satsfatóas. Neste tabalho, a denomnação de solução de compomsso satsfatóa é usada paa taduz a dea de que se tata de uma solução efcente, à qual se enconta assocado um detemnado compomsso ente as funções objectvo, assumndo estas valoes satsfatóos paa o AD de tal foma que a solução é acetável como solução fnal do pocesso de decsão. II.3 Tabela de óptmos ndvduas, solução deal e solução ant-deal É vulga agupa numa matz, com p lnhas e p colunas como a apesentada na tabela II., os valoes das funções objectvo coespondentes às soluções não domnadas que optmzam sepaadamente cada uma das p funções objectvo na egão admssível X do poblema (onde v v z = C. x, z = C. x = z *, e z * epesenta o óptmo da função objectvo, z (x), na egão admssível X, =,..., p). Esta matz, denomnada tabela de óptmos ndvduas, ou mas vulgamente tabela de pay-off, é po vezes utlzada com o ntuto de possblta ao AD uma vsão da gama de valoes que as funções objectvo podem atng na egão efcente. Tabela II. Repesentação esquemátca da tabela de óptmos ndvduas (ou de pay-off ). x z z... 2 z... z p z = * z z... 2 z... z p 2 2 z z 2 = z *... 2 z z p x x z z = z *... z p p p z z... p 2 z... p z p = z * p p x 22

37 II.3 - Tabela de óptmos ndvduas, solução deal e solução ant-deal A tabela de óptmos ndvduas pode não se defnda de foma únca, caso exstam óptmos altenatvos efcentes paa alguma função objectvo. Desgna-se nomalmente po solução deal (ou ponto utopa) o ponto do espaço dos objectvos z* que optmzaa smultaneamente todas as funções objectvo, ou seja, cujas componentes são o óptmo de cada função objectvo na egão admssível. As componentes da solução deal podem se obtdas na dagonal da tabela de óptmos ndvduas, sto é, são os elementos z = z * na tabela II.. Em geal, a solução deal não petence à egão admssível, emboa cada z * seja ndvdualmente alcançável. Além dsso, pode não have solução x* cuja magem é o ponto deal z*. A solução ant-deal coesponde à solução no espaço dos objectvos cujas componentes são os poes valoes de cada função objectvo na egão efcente. Dado que paa poblemas com p 3 funções objectvo a detemnação desta solução pode não se apesenta computaconalmente azoável (Isemann e Steue, 988; Reeves e Red, 988), é vulga consdea-se como uma boa apoxmação da solução ant-deal o ponto Nad. Este ponto obtém-se selecconando, em cada coluna da tabela de óptmos ndvduas, o po valo que a coespondente função objectvo possa assum, consdeando-se neste caso apenas as soluções que optmzam ndvdualmente cada função objectvo. O ponto Nad é assm defndo po: ( z ) Nad = mn v =,..., p ; =,, p. v (II.27) Refa-se que cada um destes valoes (Nad ) petende epesenta o mínmo eal na egão efcente e são utlzados pela sua facldade de detemnação e po consttuíem uma boa apoxmação. Apenas paa poblemas com 2 funções objectvo o ponto Nad (obtdo a pat da tabela de óptmos ndvduas) concde necessaamente com a solução ant-deal. Paa poblemas com p funções objectvo, um ponto extemo não domnado pode te valoes paa as funções objectvos abaxo do mínmo obtdo na tabela de óptmos ndvduas paa apenas (p-2) funções objectvo. Fgua II.9 Solução deal e Nad (e ant-deal) paa um poblema com duas funções objectvo. A fgua II.9 epesenta no espaço dos objectvos a solução deal e Nad paa um poblema lnea com apenas dos objectvos. Quando há duas funções objectvo a solução ant-deal concde sempe com o ponto Nad dado que os mínmos obtdos na tabela de óptmos ndvduas concdem sempe com os mínmos de cada objectvo na egão efcente. 23

38 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas II.4 Pocessos de cálculo de soluções efcentes Na pesença de múltplas funções objectvo tona-se mpotante caacteza o conjunto das soluções efcentes, atavés de pocessos de cálculo destas soluções. Exstem váas metodologas de cálculo de soluções efcentes, as quas usam técncas dstntas e/ou equeem dfeentes gaus de envolvmento do AD no cálculo das soluções paa o poblema multobjectvo. O cálculo de soluções efcentes consste na esolução de um poblema escala substtuto cuja solução óptma é uma solução efcente (po vezes apenas facamente efcente) do poblema multobjectvo. A função objectvo do poblema escala, denomnada função escalazante, possblta agega numa únca dmensão as p funções objectvo ncas, assm como paâmetos adconas que podem conte nfomação sobe as pefeêncas do AD. Exstem dos tpos pncpas de pogamas escalazantes que possbltam calcula soluções efcentes em poblemas de pogamação lnea (Clímaco et al., 2003): a soma pondeada das funções objectvo (Steue, 986; Zeleny, 982) e a abodagem de pontos de efeênca (Wezbck, 982; Lewandowsk e Wezbck, 988, 989). Outa foma de cálculo de soluções efcentes consste na optmzação de uma das funções objectvo estngndo as outas (Steue, 986). II.4. Soma pondeada das funções objectvo Este pocesso de escalazação consste na optmzação de um poblema escala, cuja função objectvo é uma soma pesada das p funções do poblema multobjectvo ognas, no conjunto de soluções admssíves. II.4.. O poblema escalazante Consdeando p funções objectvo (z (x)= C. x; =,, p) a maxmza, o poblema escalazante que consste na optmzação de uma soma pondeada das funções objectvo pode se fomalzado po: s. a. p max λ (C. x) (II.28) = x X λ 0; =,, p. 24

39 II.4 - Pocessos de cálculo de soluções efcentes Sem peda de genealdade, consdeam-se, em geal, pesos nomalzados, ou seja, o vecto dos pesos é defndo num smplex com dmensão (p-) de um espaço Eucldano de dmensão p: Λ p = {λ: λ p p R, = λ =, λ 0, =, 2,..., p}, (II.29) sendo o seu nteo defndo po: Λ + p = {λ: λ p p R, = λ =, λ > 0, =, 2,..., p}. (II.30) O poblema (II.28) pode agoa se fomalzado como: s. a. p max λ (C. x) (II.3) = x X λ Λ p. Em poblemas lneaes, a esolução do poblema (II.28) consdeando apenas pesos esttamente postvos ( λ > 0, ou seja, λ Λ + p ) tem como solução óptma um vétce efcente paa o poblema (II.) (Steue, 986). Se algum dos pesos fo nulo, podem se obtdas soluções facamente efcentes de (II.), desde que exstam óptmos altenatvos esultantes da esolução do poblema (II.3) (onde λ Λ p ). II.4..2 O quado smplex multobjectvo Se as estções foem lneamente ndependentes, qualque solução básca não degeneada do poblema (II.3) é consttuída po m vaáves báscas dfeentes de zeo e pelas estantes (n) vaáves não báscas guas a zeo. Consdeemos K como o conjunto dos índces coespondentes às vaáves não báscas; K={k=, 2,, (n+m): k h ; paa =, 2,, m} onde h é o índce da -ésma vaável básca. Em elação a uma base B o quado smplex multobjectvo, que se obtém amplando o quado smplex monobjectvo atavés da ntodução de uma lnha paa cada uma das p funções objectvo, tem a foma: B - N B - B - b C B B - N - C N C B B - C B B - b sendo A = [B, N], C = [C B, C N ] e x = [x B, x N ] patções, tas que B e C B coespondem às vaáves báscas x B, e N e C N coespondem às vaáves não báscas x N. 25

40 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas A matz dos custos eduzdos elatva à base B, onde cada elemento W k epesenta a taxa de vaação magnal da função objectvo z (x) devda a uma vaação untáa da vaável não básca x k, é dada po W = C B B - N - C N. B é uma base efcente se e só se fo uma base óptma do poblema (II.28), paa algum conjunto de pesos λ Λ p, ou seja, B é uma base efcente se e só se o sstema {λ T W 0, λ Λ} fo coeente. A vaável não básca x j é efcente, em elação à base B, se e só se exst λ Λ tal que λ T W 0 e λ T W. j = 0, onde W. j epesenta a coluna da matz W coespondente a x j, sto é, tal que o custo eduzdo de x j pode se feto nulo. II.4..3 Decomposção do dagama paamétco (dos pesos) em egões de ndfeença Em elação a uma dada base efcente B, podemos defn uma egão de ndfeença paa os pesos das p funções objectvo como sendo a egão em Λ p, na qual os pesos podem vaa de tal foma que essa base contnua a se óptma paa o poblema escala soma pondeada. Estas egões de ndfeença são polítopos num smplex com dmensão (p-) de um espaço Eucldano de dmensão p e podem se detemnadas pela ntesecção com Λ p das #K estções, coespondentes às vaáves não báscas, obtdas a pat da matz dos custos eduzdos do quado smplex multobjectvo óptmo calculado paa um detemnado conjunto de pesos : p = λ W 0; k K k (II.32a) λ Λ p. (II.32b) Dado que estas egões de ndfeença dependem dos coefcentes das funções objectvo e da geometa da egão admssível, o seu estudo pode se utlzado como uma feamenta que nos possblte adqu um mao conhecmento sobe a geometa da egão admssível não domnada e os "tade-offs" a estabelece ente as funções objectvo. A epesentação gáfca destas egões de ndfeença em Λ p desgna-se nomalmente po dagama paamétco (dos pesos) (Steue, 986). Em patcula, paa poblemas b-objectvo/t-objectvo o dagama paamétco, assm como a coespondente decomposção em egões de ndfeença, pode se vsualzado gafcamente numa ecta/plano. Hansen et al. (989) denomnam a egão defnda pela ntesecção das #K estções (II.32a) de egão cítca paa os pesos das funções objectvo, assocada a uma solução efcente consdeada. 26

41 II.4 - Pocessos de cálculo de soluções efcentes Nas fguas II.0 e II. exemplfca-se como epesenta uma egão de ndfeença no dagama paamétco paa poblemas com duas e tês funções objectvo, espectvamente. Se houve duas funções objectvo (fgua II.0) as egões de ndfeença paa os pesos das funções objectvo stuam-se em Λ 2 2, sto é, sobe a pate da ecta λ +λ 2 = stuada no º quadante (estções (II.32b)), e são defndas pela ntesecção das #K estções obtdas a pat da matz dos custos eduzdos do quado smplex multobjectvo óptmo calculado paa um detemnado conjunto de pesos (estções (II.32a)). Repae-se que o dagama paamétco pode se vsualzado gafcamente como um segmento de ecta, coespondente à efeda pate da ecta λ +λ 2 = stuada no º quadante. Po uma questão de melho legbldade, o segmento de ecta apaece nomalmente epesentado po um ectângulo, como mostado na fgua II.0. Nesta fgua está epesentada a sombeado uma egão de ndfeença obtda pela ntesecção em Λ 2 de 2 semplanos defndos pelas estções (II.32a) (onde Πk epesenta a ecta obtda a pat da estção k em (II.32a) substtundo a desgualdade po =, e πk epesenta o ponto de ntesecção com Λ 2, k =, 2). Fgua II.0 Decomposção do dagama paamétco (dos pesos) paa poblemas com duas funções objectvo. Smlamente, paa o caso de exstem tês funções objectvo, as egões de ndfeença paa os pesos das funções objectvo stuam-se em Λ 3 3, sto é, sobe a pate do plano λ +λ 2 +λ 3 = stuada no º octante (estções (II.32b)), e são defndas pela ntesecção das #K estções obtdas a pat da matz dos custos eduzdos do quado smplex multobjectvo óptmo calculado paa um detemnado conjunto de pesos (estções (II.32a)). Neste caso, o dagama paamétco pode se vsualzado gafcamente como um tângulo equláteo, defndo pelos pontos (0, 0, ), (, 0, 0) e (0,, 0), e coespondente à efeda pate do plano λ +λ 2 +λ 3 = stuada no º octante. Nas fguas II.(a) e II.(b) está epesentada a sombeado uma egão de ndfeença (onde se stua o ponto P) obtda pela ntesecção da pate do plano λ +λ 2 +λ 3 = localzada ao º octante com 4 semespaços defndos pelas estções (II.32a) (onde Πk epesenta o plano obtdo a pat da estção k em (II.32a) substtundo a desgualdade po =, e πk epesenta a ecta de ntesecção do plano com Λ 3 ) Λ 2 = {λ : λ R, = λ =, λ 0, =, 2}. 3 3 Λ 3 = {λ : λ R, = λ =, λ 0, =, 2, 3}. 27

42 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas λ 3 π 2 π 4 (0,0,) Π 4 λ 2 (0,,0) P π π 3 π (0,,0) λ 2 π 4 P Π Π 2 Π 3 λ (,0,0) π 3 (0,0,) λ 3 π 2 (,0,0) λ (a) (b) Fgua II. Decomposção do dagama paamétco (dos pesos) paa poblemas com tês funções objectvo. Po uma questão de smplfcação de notação, emos usa ao longo deste tabalho a notação Λ paa epesenta o dagama paamétco (dos pesos) Λ p. O índce p depeende-se do númeo de funções objectvo do modelo em estudo. Paa poblemas com duas ou tês funções objectvo, o uso de feamentas gáfcas nteactvas baseadas na decomposção do dagama paamétco mosta-se patculamente adequado à toca de nfomações com o AD, dado que o ajuda a dentfca os vétce, aestas e faces não domnados. No método nteactvo TRIMAP (Clímaco e Antunes, 987, 989) é feta uma pesqusa pogessva e selectva do conjunto de soluções báscas não domnadas tando patdo da decomposção do dagama paamétco em egões de ndfeença. A decomposção do dagama paamétco em egões de ndfeença tem um papel fundamental no potocolo de nteacção deste método, uma vez que se pode escolhe po smples nspecção vsual uma zona anda não ocupada com egões de ndfeença onde pesqusa novas soluções (báscas) não domnadas. Além dsso, a pat da nspecção vsual do dagama paamétco é possível chega a algumas conclusões que se mostam elevantes num método nteactvo: Uma fontea comum a duas egões de ndfeença em Λ, como acontece, po exemplo, com as egões de ndfeença assocadas às soluções não domnadas 3 e 4 ou as assocadas às soluções não domnadas 2 e 9 na fgua II.2(a), sgnfca que os espectvos vétces não domnados se encontam lgados po uma aesta não domnada, coespondente à ntodução na base de uma vaável não básca efcente (fgua II.2(b)). Se um ponto λ Λ petence a váas egões de ndfeença, como acontece, po exemplo, com o ponto que é comum às egões de ndfeença assocadas às soluções não domnadas 3, 4 e 7 ou as assocadas às soluções não domnadas 4, 5, 6 e 7 na fgua II.2(a), sgnfca que os vétces não domnados coespondentes petencem à mesma face não domnada. Como nenhuma nova egão de ndfeença pode v a possu um ponto comum com 28

43 II.4 - Pocessos de cálculo de soluções efcentes as egões de ndfeença assocadas às soluções não domnadas 4, 5, 6 e 7 esta face não domnada enconta-se completamente defnda na fgua II.2(b). As mesmas conclusões podem se obtdas a pat da obsevação da pojecção f-f2 no espaço dos objectvos apesentada na fgua II.2(b). (a) Dagama paamétco (dos pesos) Λ Fgua II.2 Um exemplo com tês funções objectvo. (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Po vezes, o dagama paamétco é apesentado nas suas pojecções (sobe um λ =0) da pate do plano λ +λ 2 +λ 3 = stuada no º octante. Na fgua II.3 são mostadas espectvamente as pojecções λ -λ 2, λ -λ 3 e λ 2 -λ 3 coespondentes ao exemplo da fgua II.2. (a) Pojecção λ -λ 2 (b) Pojecção λ -λ 3 (c) Pojecção λ 2 -λ 3 Fgua II.3 Pojecções do dagama paamétco (dos pesos) Λ paa poblemas com tês funções objectvo. A áea ocupada po uma egão de ndfeença (assocada a uma solução extema não domnada) no dagama paamétco conjuntamente com a foma geométca da efeda egão podem se, de algum modo, utlzados paa nfe sobe a obustez da coespondente solução básca não domnada peante a vaação do valo dos pesos. Contudo, uma vez que a egão de ndfeença depende da nomalzação assocada às váas funções objectvo (que efeemos na secção segunte deste capítulo), a ntepetação do valo da efeda áea deve se encaada com algum cudado (Clímaco e Antunes, 987, 989; Clímaco et al., 2003). 29

44 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas A análse compaatva do dagama paamétco e do espaço dos objectvos (ou espectvas pojecções), assm como o conhecmento dos valoes numécos assocados às soluções báscas não domnadas já pesqusadas, pemte ao AD estma os valoes atngdos pelos objectvos em vétces não domnados anda não conhecdos que coespondam a egões vznhas no dagama paamétco de outos vétces já calculados. A pat desta nfomação, o AD pode seleccona as zonas que lhe nteessa ou não pesqusa de foma pogessva e selectva (Clímaco e Antunes, 987, 989). Gealmente, não se petende calcula todos os vétces não domnados do poblema em análse mas apenas detemna um conjunto soluções dspesas e sufcentemente dstntas, de modo a que o AD consga apeende as caacteístcas essencas da fontea não domnada do poblema. Em poblemas complexos, uma pesqusa exaustva, além de mplca um esfoço computaconal elevado, podeá também ogna soluções com caacteístcas bastante semelhantes, com a consequente sobecaga do esfoço cogntvo do AD. II.4.2 Abodagem de pontos de efeênca Outo dos pocessos de obtenção de soluções efcentes fequentemente utlzado consste na consdeação de níves paa as funções objectvo, sejam eles níves de eseva (valoes que se petende que sejam ultapassados sempe que possível), níves de aspação (valoes que se deseja alcança ou ultapassa, mas que não são necessaamente alcançáves), ou apenas níves de efeênca que podem se ntepetados como níves de aspação. As metodologas de optmzação multobjectvo baseadas em pontos de efeênca começaam a se desenvolvdas em 980 po um gupo de centstas do IIASA (Intenatonal Insttute fo Appled Systems Analyss) (Wezbck, 982; Kallo et al., 980; Lewandowsk e Wezbck, 988, 989). No pocesso de cálculo das soluções efcentes são usadas funções escalazantes de ealzação ( scalazng achevement functon ) que pojectam os pontos de efeênca no conjunto das soluções não domnadas. As metodologas baseadas em pontos de efeênca podem se consdeadas como uma genealzação da pogamação po metas ( goal pogammng ) poposta po Chanes e Coope (977), ntepetando a meta como ponto de efeênca (Wezbck et al., 2000): Patndo do pessuposto que o ponto de efeênca consdeado é não alcançável, a solução admssível que se enconta mas póxma (em detemnado sentdo) do ponto de efeênca, coesponde àquela que mnmza a dstânca (segundo detemnada métca) do ponto de efeênca ao conjunto de soluções não domnadas. No entanto, se a meta estabelecda fo alcançável e domnada, a solução obtda po ntemédo da pogamação po metas coesponde à pópa meta, enquanto que a solução obtda po uma abodagem de pontos de efeênca coesponde ao ponto da fontea não domnada que se enconta mas póxmo (segundo detemnada métca) do ponto de efeênca. Como Wezbck 30

45 II.4 - Pocessos de cálculo de soluções efcentes (983, 2000) salenta, esta dscepânca pende-se com o facto de a função mnmzação de uma dstânca se matematcamente nconsstente como o conceto de optmzação ou de efcênca, ou seja, quando se atavessa a fontea efcente esta função é não monótona. Se a meta estabelecda fo alcançável e não domnada, caímos no caso lmte das duas stuações anteoes. A solução obtda coespondeá sempe à pópa meta. Enquanto que na pmea e tecea stuações efedas a solução concde com a obtda pela pogamação po metas, na segunda o sgnfcado de chega peto ( comng close ) do ponto de efeênca é mas abangente, podendo se ntepetado como chega peto ou ultapassa ( comng close o bette ) (Wezbck, 998; Wezbck et al., 2000). Ou seja, se o ponto de efeênca fo domnado, no quado das metodologas de pontos de efeênca, os níves de efeênca devem não só se alcançados como ultapassados (devem se melhoados). Se utlzamos a temnologa de Wezbck (982; Wezbck et al., 2000) podemos afma que a solução obtda coesponde a uma solução quase-satsfatóa ( quas-satsfcng ) 4. A abodagem de pontos de efeênca pocua peseva as maoes vantagens da pogamação po metas, com especal destaque paa o facto de se ntutvamente apelatva, e ultapassa as desvantagens de base, ou seja, o cálculo de soluções não efcentes quando as metas são atngíves e domnadas. II.4.2. O poblema escalazante Nesta secção é feto um esumo das questões mas mpotantes elatvas à metodologa de optmzação po pontos de efeênca em poblemas lneaes. Uma descção mas detalhada, consdeando modelos lneaes e outo tpo de modelos, pode se encontada em (Wezbck, 998; Lewandowsk e Wezbck, 988, 989; Wezbck et al., 2000). p Seja q = ( q,..., q,..., qp ) R um ponto de efeênca no espaço dos objectvos, que epesenta as aspações do AD (valoes que o AD gostaa de obte em 4 De acodo com as deas de Smon (957, 959), os ADs desenvolvem pogessvamente, atavés de um pocesso de apendzagem, níves de aspação (e eventualmente de eseva) elatvamente aos esultados captas nas suas decsões. Ou seja, o estudo do compotamento humano face a stuações socas complexas ndca que a expeênca leva os ADs a acede a detemnadas egas evolutvas de caácte étco, que aconselham a paagem de pocua do óptmo quando se alcançam soluções satsfatóas. Estas deas estão elaconadas com a noção de decsão satsfatóa ( satsfcng decson ), utlzada paa desceve o modo como o Se Humano gealmente toma decsões. Po outo lado, a noção de decsão quase-satsfatóa ( quas-satsfcng decson ) poposta po Wezbck (Wezbck, 998; Lewandowsk e Wezbck, 988, 989; Wezbck et al., 2000), segundo o qual a solução obtda é sempe efcente mesmo quando o ponto de efeênca escolhdo pelo AD é atngível e domnado, petende desceve o modo como um SAD (computaconal) deve ajuda o AD (humano) na tomada da decsão. Ou seja, os ADs tentam gealmente atng os seus níves de efeênca, mas se estes foem alcançáves e domnados devem contnua a optmza até encontaem soluções não domnadas (pos não exstem motvos paa o AD se satsfaze com esultados que são domnados). 3

46 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas cada função objectvo). Este ponto pode ou não se admssível. Uma função escalazante, σ(z, q ), pojecta o ponto de efeênca, q, sobe o conjunto de soluções não domnadas. Consdeemos, sem peda de genealdade, a segunte vesão smplfcada de função escalazante 5 : σ(z, q ) = mn p ( z - ) + ε ( z - q ) q p = (II.33) Esta função dfee das utlzadas na pogamação po metas ou em pojecções baseadas em nomas, po se consstente na odem ( ode-consstent achevement functon ). Uma função consstente na odem mantém-se monótona mesmo quando o ponto de efeênca atavessa a fontea não domnada de um poblema. O paâmeto ε é um valo postvo pequeno. Se o valo de ε fo nulo, a função dexa de apoxma uma odem paa passa a epesentá-la, ou seja, coe-se o sco de obte soluções facamente não domnadas 6. Se se maxmza a função σ(z, q ) sujeta à egão admssível do poblema ognal, esolve-se o segunte poblema max-mn : max {σ( z, q ) : z Z}, (II.34) obtendo-se como esultado um ponto não domnado. A solução deste poblema pode se obtda esolvendo um pogama lnea auxla 7 : max { α + ε ( z - q ) p = s. a. α z - q ; =,, p x X α R. } (II.35) p Paa um dado ponto de efeênca q R, a solução óptma do poblema (II.35) é uma solução efcente paa o poblema multobjectvo ncal (II.). Consdeando 5 O temo ( z - q ) ( z, q ) pode se consdeado como um exemplo smplsta de funções mas genécas σ da vaável z e do nível de efeênca (ou aspação) são chamadas funções escalazante de ealzação pacas e devem possu popedades específcas de monotoncdade (sendo nomalmente defndas como funções lneaes po pates). q, =,.., p. As funções σ ( z, q ) 6 As funções consstentes na odem podem dvd-se em funções que epesentam uma odem e em funções que a apoxmam. Dstnguem-se ente s po as pmeas podeem ogna soluções facamente não domnadas e as segundas gaantem soluções não domnadas. 7 A função objectvo do poblema (II.35) pode se escta como { α + ε = Sendo o temo { ε p = q p } uma constante paa um dado q R, pode se despezado. p z ( x ) - ε q }. = p 32

47 II.4 - Pocessos de cálculo de soluções efcentes p dfeentes q R (e eventualmente, vaando alguns paâmetos exstentes na função de ealzação), é possível detemna todas as soluções efcentes paa o poblema (II.), consdeando ε sufcentemente pequeno (Wezbck, 982; Lewandowsk e Wezbck, 989; Wezbck et al., 2000). Substtundo o temo ( - ) z q em (II.33) po σ (z, q, função de ealzação consstente na odem, mas genéca (Wezbck, 982): σ(z, q ) = mn σ (z p, q, p q) + ε σ( z, q, q ) ( + pε) = q ) obtemos a segunte ; (II.36) p onde q = ( q,..., q,..., qp ) e q = ( q,...,q,..., q ) R epesentam os níves de p aspação e os níves de eseva do AD, espectvamente. Poblemas equvalentes a (II.34) e (II.35) podem também se obtdos com esta função de ealzação. II.4.3 Soma pondeada das funções objectvo vesus abodagem de pontos de efeênca Se bem que, em elação aos pogamas escalazantes baseados na soma pondeada das funções objectvo, a abodagem de pontos de efeênca seja mas genéca, no sentdo em que gaante a obtenção de soluções não domnadas num mao númeo de modelos de pogamação matemátca (nomeadamente no caso de as funções seem não lneaes ou as vaáves seem nteas), e paa o caso de funções lneaes possblte atng soluções efcentes que não sejam pontos extemos da egão admssível ncal 8, matematcamente apesentam-se mas complcados do que os pmeos. Em (Costa e Clímaco, 999) é efectuada uma compaação ente as metodologas de PLMO baseadas em somas pesadas das funções objectvo e as baseadas em pojecções de pontos de efeênca. Os autoes mostam que os valoes das vaáves duas assocadas às estções auxlaes (elatvas às funções objectvo) do poblema escalazante usado na abodagem de pontos de efeênca são guas aos valoes dos pesos a seem usados no cálculo das mesmas soluções efcentes po ntemédo da optmzação de somas pesadas das funções objectvo. Assm sendo, tona-se possível numa mesma metodologa nteactva ntega as duas abodagens de cálculo de soluções efcentes, de modo a faze uso nas dfeentes nteacções da nfomação esultante das nteacções anteoes. Como efedo pelos autoes, os esultados obtdos pela utlzação de um dos métodos numa nteacção podem se usados como nfomação de entada paa o outo método na nteacção subsequente. 8 Segundo Lewandowsk e Wezbck (988), as tês caacteístcas mas mpotantes que qualque método deve possu são o de se completo, a smplcdade/pouco esfoço computaconal e a contolabldade. Dado que as metodologas baseadas na soma pondeada das funções objectvo apenas possbltam detemna soluções efcentes que sejam vétces da egão admssível, estas metodologas não são completas usando a temnologa de Lewandowsk e Wezbck. 33

48 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas II.4.4 Optmzação de uma das funções objectvo mpondo lmtações nos valoes das estantes Optmzando uma das funções objectvo do poblema (II.) (gealmente o objectvo ao qual o AD atbu mas mpotânca) e tansfomando as estantes (p-) funções objectvo em estções (as quas coespondem a especfca os lmtes nfeoes, l, que o AD aceta paa os valoes dessas funções objectvo), de modo que a egão admssível eduzda fque não vaza, obtemos o segunte poblema monobjectvo: max z e (x) = C e. x, paa algum e =,, p (II.37) s. a. x X z (x) l ; =,, e-, e+,, p; Se a solução óptma de (II.37) fo únca, então é uma solução efcente do poblema multobjectvo ncal (II.). Possundo a solução obtda óptmos altenatvos podem se detemnadas soluções facamente efcentes (Steue, 986). Resolvendo o poblema (II.37) paa dfeentes valoes das lmtações l, é possível obte todo o conjunto de soluções efcentes. Desta foma, é possível atng soluções efcentes que não são vétces da egão admssível ncal. II.5 Odem de gandeza das funções objectvo Se a odem de gandeza elatva dos váos coefcentes das funções objectvo (e dos coespondentes valoes paa os objectvos) fo muto díspa, é aconselhável eduz-los a uma mesma odem de gandeza, paa evta esse efeto na agegação numa função escala com vsta à obtenção das soluções efcentes. Uma das tês abodagens seguntes pode se utlzada paa esse efeto: A nomalzação dos coefcentes das funções objectvo atavés da noma L p 9. Multplca os coefcentes de cada função objectvo po uma potênca de 0 apopada, tal que todos os coefcentes das funções objectvo fquem com uma odem de gandeza apoxmadamente gual. Multplca cada função objectvo po um facto de unfomzação do seu ntevalo de vaação. Uma descção mas detalhada sobe cada uma destas abodagens pode se encontada em (Steu, 986). 9 As nomalzações mas fequentes são as efectuadas usando a noma de Tchebycheff (L ) e a noma Eucldeana (L2). 34

49 II.6 - Atculação da estutua de pefeêncas do AD II.6 Atculação da estutua de pefeêncas do AD Caso o poblema possua apenas uma função objectvo a solução óptma é neente ao modelo, cabendo ao método utlzado a mssão de a detemna. Se houve mas do que um objectvo, além de meos técncos de cálculo de soluções não domnadas (gealmente em númeo nfnto), assume patcula elevânca a estutua de pefeêncas do AD que pemte dscmna essas soluções. Tendo po base o momento de ntevenção do AD (eventualmente auxlado po um analsta) no pocesso de tomada de decsão, alguns autoes (Hwang e Masud, 979; Steue, 986; Antunes, 99; Clímaco et al., 2003) subdvdem estas metodologas em tês gupos: Os métodos geadoes, também desgnados como métodos em que não exste atculação de pefeêncas ou em que a atculação de pefeêncas é feta "a posteo". Estes métodos possbltam caacteza todo o conjunto de soluções não domnadas, sendo o compomsso ente os váos objectvos feto no fnal das váas fases do pocesso de cálculo, quando o AD escolhe uma das soluções geadas. Do ponto de vsta computaconal estas metodologas podem mosta-se demasado pesadas, especalmente paa poblemas de dmensão elevada: pode se necessáo esolve poblemas auxlaes paa detemna se cada vétce é efcente ou não e/ou detemna quas as vaáves não báscas efcentes; além dsso, a pesqusa de novos vétces pode mosta-se ncompotável. Com um método desta natueza, chega-se nomalmente a um númeo elevado de soluções não domnadas, a menos que sejam consdeadas técncas de fltagem de soluções, de modo a apenas seem apesentadas ao AD as soluções consdeadas mas epesentatvas no conjunto. A sobecaga cogntva do AD suge assm como potencal desvantagem, uma vez que este pode sent-se desconfotável ao te que escolhe apenas uma solução ente mutas (que, po vezes, apesentam caacteístcas sensvelmente semelhantes). Os métodos de atculação "a po" de pefeêncas, nos quas o AD ncalmente conjuga as váas funções objectvo explctamente contempladas no modelo numa únca (função valo), a se optmzada. A solução obtda pode então se consdeada a melho solução de compomsso. Emboa estes métodos não se apesentem nomalmente muto pesados em temos computaconas, métodos onde é tudo escolhdo à patda pelo AD podem tona-se pouco desejáves pos, além de seem bastante lmtatvos e despovdos de flexbldade, podem exg ncalmente do AD um gande esfoço cogntvo na modelação da função valo que eflcta as suas pefeêncas (dependendo da função valo usada). Estes métodos têm sofdo algumas cítcas: a valdade da função valo que se supõe uma epesentação analítca das pefeêncas do AD, assm como a pópa exstênca dessa função valo, pode se questonável (em patcula no caso em que a função valo consdeada não é uma mea feamenta técnca 35

50 Capítulo II - Pogamação lnea multobjectvo: concetos fundamentas que possblte apenas calcula soluções) (Slownsk e Teghem, 990); estudos empícos evelam que os ADs não são sempe coeentes com as funções valo, actuando nomalmente mas em confomdade com a sua manea pecula de ve o poblema (Bell e Faquha, 986). Os métodos nteactvos, onde há uma patcpação do AD ao longo de todo o pocesso de decsão. Estes métodos esultaam da necessdade de enconta abodagens mas flexíves, que possbltassem exploa váas decções de pesqusa no conjunto das soluções não domnadas, de modo a obte uma solução de compomsso acetável, sem que o esfoço computaconal e o esfoço cogntvo exgdo ao AD fossem elevados. Estas metodologas evtam o ecuso à nfomação péva das pefeêncas paa foma a função valo e pemtem ncopoa apendzagem e adaptação na expessão das pefeêncas. Nomalmente, são optmzadas uma ou váas funções monobjectvo, constuídas a pat do (sucessvo) dálogo ente as metodologas e o AD, até se atngda uma condção de paagem que depende de método paa método. Podemos dze que há uma atculação pogessva de pefeêncas pos, em cada teação, há uma fase de cálculo de soluções efcentes e uma fase de dálogo, na qual é pessuposto que o AD eaja à poposta de solução apesentada pela fase de cálculo anteo, manfestando as suas pefeêncas de modo a conduz o pocesso nteactvo de pesqusa de novas soluções. Como exemplos de métodos nteactvos (Clímaco et al., 2003; Steue, 986), podemos efe os métodos: STEM (Benayoun et al., 97), método de edução da egão admssível; de Zonts-Wallenus (Zonts e Wallenus, 976, 983), método de edução do espaço dos pesos; TRIMAP (Clímaco e Antunes, 987, 989), método de edução do espaço dos pesos e do espaço das funções objectvo; "Paeto Race" (Kohonen e Wallenus, 988), método de pesqusa decconal; e "Inteval Cteon Weghts" (Steue, 977, 986), método de contacção do cone dos ctéos. Em cada um dos métodos anteoes, a nfomação fonecda pelo AD pode consst em pesos, taxas magnas de substtução, níves de aspação e de efeênca, compaação ente paes de altenatvas ou julgamentos de "tade-offs". Actualmente, quase todos os autoes são peemptóos ao consdea a abodagem nteactva como a mas adequada e efcaz paa o estudo de poblemas de decsão eas. Nestas metodologas, é desejável que o pocesso de cálculo não seja muto exgente e a fase de dálogo seja consttuída po peguntas sufcentemente smples, paa que não se tone quase labíntca paa o AD. A toca de nfomação ente o AD e a metodologa nteactva pemte-lhe compeende melho o poblema, bem como a sua pópa estutua de pefeêncas. O AD pode obte um conhecmento mas pofundo sobe o conjunto das acções potencas e os compomssos ( tade-offs ) ente os dfeentes objectvos. A essênca da abodagem nteactva consste em pemt ao AD faze coecções ntemédas duante o pocesso de pesqusa, utlzando a ntevenção do AD paa eduz a gama de soluções a pesqusa, mnmzando deste modo que o esfoço computaconal, que a sobecaga cogntva de pocessamento de nfomação exgdo ao AD. 36

51 II.6 - Atculação da estutua de pefeêncas do AD As metodologas nteactvas sugem po vezes agupadas em dos gande gupos, de acodo com a manea como a nteactvdade é encaada (Antunes, 99): Nas metodologas oentadas paa a pocua duma solução de compomsso satsfatóa, a estutua de pefeêncas do AD é gealmente consdeada pé estabelecda e estável. As decsões ntemédas não são evogáves e a descobeta da função valo (utldade) mplícta de cada ndvíduo é um esultado do pocesso. O objectvo da nteacção consste na busca da melho solução de compomsso peante a estutua de pefeêncas exstente, sendo a convegênca gaantda e contolada pelo método. Nas metodologas oentadas paa a apendzagem no pocesso nteactvo, as pefeêncas do AD podem se nstáves e contadtóas e admte-se que o AD exploa não só o poblema, mas também a sua pópa estutua de pefeêncas face ao conhecmento entetanto eundo. O objectvo da nteacção consste não só na busca da melho solução de compomsso satsfatóa, mas também na apendzagem, sendo possível a evolução da estutua de pefeêncas em cada nteacção. A convegênca paa uma solução de compomsso satsfatóa não é gaantda, sendo contolada pelo AD: o pocesso nteactvo temna quando o AD assum que, peante a nfomação dsponível, já conhece o sufcente do poblema em análse e/ou não paece possível a emegênca de novas nfomações elevantes sobe o poblema. 37

53 Capítulo III Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens O aumento da complexdade dos poblemas eas de decsão tem levado os ADs a seem confontados com a exstênca de uma multplcdade de ctéos, gealmente confltuosos e ncomensuáves, assm como com a pesença ntínseca de factoes que nfluencam o pocesso de tomada de decsão, como a nceteza. Sea útl que todos estes aspectos da ealdade, complexa e mal estutuada, pudessem se explctamente contemplados quando da fomulação dos poblemas, da constução dos modelos matemátcos, e da ntepetação e análse das soluções obtdas com o auxílo de um SAD. A aplcação da teoa de conjuntos dfusos no âmbto dos métodos de apoo à decsão tem pogeddo gandemente desde que Bellman e Zadeh (970) sugeam um pmeo modelo de decsão em ambente dfuso, nspados no modelo clássco de optmzação. Uma gande dvesdade de possíves modfcações no modelo de pogamação lnea (II.), assm como dstntas metodologas de esolução das coespondentes fomulações (em ambente dfuso) podem se encontados na lteatua centífca (Zmmemann, 987, 996; La e Hwang, 994, 992c). O modelo smétco, ncalmente poposto po Bellman e Zadeh (970), possbltava o enfaquecmento das elações matemátcas ntevenentes, ou seja, petenda tona menos ígdas as noções de estção e de optmzação das funções objectvo. Posteomente, o caácte dfuso expandu-se também aos paâmetos (coefcentes) pesentes no modelo, assm como à pópa solução do poblema. Na pmea secção deste capítulo começamos po faze uma beve ntodução à noção de conjunto dfuso, assm como a alguns concetos e popedades mpotantes na áea de apoo à decsão.

54 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Na secção 2 seá exposto o conceto de decsão em ambente dfuso, ou seja, seão dscutdas as questões essencas lgadas à aplcação dos concetos da teoa de conjuntos dfusos no âmbto dos métodos de apoo à decsão. Na secção 3 deste capítulo seão desctos os aspectos fundamentas de algumas das abodagens mas sgnfcatvas de pogamação lnea dfusa exstentes na lteatua. Um estudo mas pomenozado e exaustvo dos concetos e das abodagens efedas (bem como de outas abodagens) pode se encontado em (Boges, 995) ou nas efeêncas aí ncluídas, em patcula os tabalhos de Zmmemann (987, 996), que pela claeza das exposções, que pelo seu caácte ddáctco. Na secção 4 seá detalhadamente apesentada uma abodagem nteactva paa poblemas de PLMO no domíno dfuso (Boges, 995, Boges e Antunes, 2003a), a qual fo mplementada computaconalmente como extensão ao método TRIMAP (Clímaco e Antunes, 987, 989), onde o cálculo das soluções efcentes é efectuado po ntemédo da optmzação de somas pondeadas das funções objectvo. O funconamento da abodagem poposta, assm como as suas potencaldades, seão aqu lustados po meo de um exemplo escolhdo com a peocupação de mosta patcamente todas as stuações elevantes. No capítulo IV desta dssetação seá apesentada e detalhadamente descta uma outa abodagem nteactva paa tatamento da nceteza em poblemas de PLMO (Boges e Antunes, 2000), de alguma foma sngula em elação a outos SADs nteactvos congénees, a qual também faz uso dos concetos da teoa de conjuntos dfusos. Anda que em temos metodológcos as popostas utlzem abodagens dstntas, ambas são baseadas na exploação do dagama paamétco, possundo as soluções efcentes obtdas caácte dfuso. O pncpal objectvo das duas abodagens consste em auxla o AD a eun o mao conhecmento possível sobe um detemnado poblema dfuso, efoçando ou enfaquecendo as suas pópas convcções e pefeêncas, de modo a se possível toma uma decsão bem nfomada. Altenando fases de cálculo com fases de decsão, onde o AD pode expm os seus julgamentos e exploa as suas pefeêncas, é possível pesqusa zonas da egão efcente em ambente dfuso onde se localzam as soluções que melho coespondem ao sstema de pefeêncas evolutvo do AD. A poposta apesentada neste capítulo (Boges, 995; Boges e Antunes, 2003a) pemte ncopoa a dfusão na opeação de optmzação e nas elações matemátcas exstentes nas estções, enquanto que na poposta descta no capítulo IV (Boges e Antunes, 2000) os paâmetos pesentes no modelo são consdeados númeos eas dfusos tangulaes. A decomposção do dagama paamétco Λ em egões de ndfeença, o espaço dos objectvos (ou espectvas pojecções no caso de mas de duas funções objectvo), assm como tabelas de dupla entada com nfomação elevante são extensamente utlzados como foma de apesenta ou equee nfomação de modo que faclte a nteacção com o AD. Atendendo a que a epesentação gáfca do dagama paamétco A mplementação computaconal ealzada teve po objectvo a constução de uma feamenta flexível, capaz de consttu uma base de expementação das abodagens popostas. O pogama fo desenvolvdo utlzando o complado C/C++ da Boland, vesão 3., em ambente Wndows. O núcleo do pogama, assm como o nteface gáfco, fo constuído em C++ fazendo uso das classes OWL deste complado. 40

55 III. - Beve ntodução à teoa de conjuntos dfusos só se mosta vável paa poblemas com duas ou tês funções objectvo, apesentando-se o caso t-objectvo mas elucdatvo que o b-objectvo, as abodagens popostas são mas adequadas paa poblemas com tês ou duas funções objectvo (de modo a possblta faze uso de meos gáfcos bastante útes no dálogo com o AD). III. Beve ntodução à teoa de conjuntos dfusos A fnaldade desta secção é a de expo alguns concetos e popedades fundamentas da teoa de conjuntos dfusos, ntoduzda po Zadeh (965) e esultante da extensão da elação de petença defnda na teoa clássca de conjuntos. III.. Algumas defnções báscas da teoa de conjuntos dfusos Na teoa clássca de conjuntos a elação de petença de um objecto em elação a um detemnado conjunto (ígdo) assume uma natueza bnáa: um objecto ou petence ou não petence a um conjunto. Esta noção clássca de conjunto é genealzada na noção de conjunto dfuso, em elação ao qual um elemento pode petence apenas pacalmente, exstndo um nível de petença do objecto em elação ao conjunto. Zmmemann (987, 996) apesenta a defnção de conjunto dfuso, apoando-se na defnção de Zadeh (965), do segunte modo: Se X = {x} é uma colecção de objectos, denomnados genecamente po x, então o subconjunto dfuso A ~, de X, é um conjunto de paes odenados A ~ = {(x, µ ~ A (x)) : x X} onde µ ~ A (x) é desgnada função membo do conjunto dfuso A ~ petença ou o nível de compatbldade do elemento x a A ~. µ ~ A (x) toma valoes não negatvos e fntos. (III.) e taduz o gau de Se sup (µ ~ A (x)) = o conjunto dfuso A ~ n dz-se nomalzado e µ ~ A (x): R [0, ]. x Nesta stuação, a função membo toma o valo se o elemento petence na totaldade ao conjunto, o valo 0 se não petence, e um valo ente 0 e se petence apenas pacalmente. Po exemplo, se X = conjunto de objectos colodos e A ~ = conjunto dos objectos que apesentam co vemelha, µ A ~ (x) taduz o nível de coloação vemelha de x. Um objecto laanja tem um detemnado gau de petença elatvamente a A ~ consoante a quantdade de vemelho (não amaelo!) exstente na co do objecto. ~ Usualmente, desgna-se po P(X) o conjunto dos subconjuntos dfusos em X. 4

56 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Mutas vezes, pode mosta-se convenente sabe quas os elementos que possuem gau de petença não nulo, ou seja, conhece o supote de um conjunto dfuso A ~ P ~ (X), S( A ~ ): O supote de A ~ é um subconjunto ígdo em X, tal que µ A ~ (x) > 0, ou seja: S( A ~ ) = {x X: µ A ~ (x) > 0} (III.2) Uma noção mas genéca e fequentemente encontada na pátca é a de cote de nível α (Zadeh, 965; Zmmemann, 987, 996): O subconjunto ígdo de elementos de X que possuem um gau de petença, em elação ao conjunto dfuso A ~ P ~ (X), pelo menos gual a α (α [0, ]) é denomnado cote de nível α ou conjunto de nível α de A ~ : Aα = {x X: µ A ~ (x) α} (III.3) Substtundo a desgualdade em sentdo lato pela desgualdade estta, esulta o cote fote de nível α: A'α = {x X: µ A ~ (x) > α} (III.4) Se bem que a foma de epesenta um conjunto dfuso usada anteomente seja a mas vulga na lteatua, outas nomenclatuas podem se encontadas. Segundo Zadeh (965): A ~ = µ A ~ (x) + x µ A ~ (x x 2 2 ) µ A ~ (x x n n ) n = = µ A ~ (x x ) (III.5) se X é um conjunto fnto, ou A ~ = x se X fo não fnto. µ A ~ x (x) (III.6) Outos autoes apenas ndcam a coespondente função membo. Na defnção de conjunto dfuso (III.) assume-se que a função membo do conjunto dfuso é conhecda com pecsão. Patndo do pessuposto de que, na pátca, é pouco povável ao Se Humano defn funções membo ígdas, Zadeh (973) popõe a noção de conjunto dfuso paa o qual os gaus de petença dos objectos em elação ao conjunto também são dfusos. Se desgnamos po conjunto dfuso do tpo aquele que é nomalmente denomnado po conjunto dfuso, podemos desgna po conjunto dfuso do tpo 2 aquele cujos valoes das funções membo são conjuntos dfusos do tpo e, genealzando esta defnção, desgna po conjunto dfuso do tpo m aquele cujos valoes das funções membo são conjuntos dfusos do tpo (m-), m>. 42

57 III. - Beve ntodução à teoa de conjuntos dfusos Dfeentes autoes tentaam nclu a nceteza na especfcação dos gaus de petença dos objectos em elação a um conjunto. Dependendo da manea como os gaus de petença e/ou o conjunto dfuso são encaados, sugem os concetos de conjunto pobablístco 2 (Hota, 98), de "ough set" 3 (Pawlak,985), de "ntutonstc fuzzy set" 4 (Atanassov, 986), de conjunto L-dfuso 5 (Zmmemann, 996), e de modelo dfuso estocástco 6 (Nowch e Tuksen,984). A noção de convexdade de um conjunto dfuso está dectamente elaconada com a de função membo desse conjunto. Seja X um espaço Eucldano n-dmensonal. O conjunto dfuso A ~, em X, dz-se convexo se e só se quasque que sejam x, x 2 X e qualque que seja λ [0,], se vefca: µ A ~ (λ x + (- λ) x 2 ) mn [µ A ~ (x ), µ A ~ (x 2 )]. (III.7) Altenatvamente, a convexdade do conjunto dfuso A ~ em X pode se gaantda, se todos os seus cotes de nível α, Aα, foem convexos. As noções de gualdade e de nclusão ente conjuntos dfusos podem também se defndas à custa dos valoes das funções membo desses conjuntos. Dos conjuntos dfusos A ~ e B ~ ~ P(X) são guas ( A ~ = B ~ ) se e só se: µ A ~ (x) = µ B ~ (x), paa todo o x em X. (III.8) Sejam A ~ e B ~ ~ P(X) : A ~ B ~ se e só se µ ~ (x) µ ~ (x), paa todo o x em X (nclusão em sentdo lato); A B A ~ B ~ se e só se µ ~ (x) < µ ~ (x), paa todo o x em X (nclusão em sentdo estto). A B (III.9) (III.0) 2 No conjunto pobablístco os gaus de petença dos objectos em elação ao conjunto são vaáves aleatóas. 3 No "ough set" os valoes dos gaus de petença são detemnados usando a noção de apoxmação. 4 No "ntutonstc fuzzy set" cada objecto é caactezado não só pelo gau de petença, µ A ~ (x), mas também pelo gau de não petença, ν A ~ (x), em elação ao conjunto dfuso A ~ de X, sendo 0 µ A ~ (x) + ν A ~ (x). 5 A função membo de um conjunto L-dfuso tansfoma X num conjunto pacalmente odenado, L. Dado que o ntevalo [0, ] é um conjunto pacalmente odenado, um conjunto dfuso é um caso patcula de um conjunto L-dfuso. 6 O modelo dfuso estocástco consdea o conjunto dfuso como uma famíla de vaáves aleatóas sendo as funções densdade estmadas estocastcamente a pat destas. 43

58 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens III..2 Opeações sobe conjuntos dfusos Do ponto de vsta computaconal é extemamente dfícl lda com conjuntos dfusos cujos valoes do nível de petença não sejam ígdos, pelo que emos apenas efe os opeadoes consdeando conjuntos dfusos do tpo. Comecemos po defn o conceto de opeação de agegação ente conjuntos dfusos: Sejam A ~, A ~ 2,..., A ~ n conjuntos dfusos em X. A agegação de A ~, A ~ 2,..., A ~ n é um conjunto dfuso A ~ que, de algum modo, epesenta a confluênca dos conjuntos agegados. III..2. Opeações algébcas sobe conjuntos dfusos Os opeadoes algébcos exstentes no domíno ígdo podem alaga-se paa conjuntos dfusos, à custa das coespondentes funções membo, uma vez que estas consttuem as componentes fundamentas destes conjuntos. O poduto catesano em ambente dfuso é defndo po: Sejam A ~, A ~ 2,..., A ~ n conjuntos dfusos em X, X 2,..., X n, espectvamente. O poduto catesano de A ~, A ~ 2,..., A ~ n, epesentado po A ~ x A ~ 2 x... x A ~ n, é o conjunto dfuso do espaço poduto X x X 2 x... x X n, cuja função membo é defnda po: µ ~ A x A ~ 2 x... x (x) = mn A~ n =, 2,..., n [µ ~ A (x )], (III.) paa todo o x=(x, x 2,..., x n) em X x X 2 x... x X n. po: A potênca de gau m de A ~ é um conjunto dfuso cuja função membo é defnda µ A ~ m (x) = [µ A ~ (x)] m, paa todo o x em X. (III.2) Outas opeações algébcas adconas podem se defndas como se segue: A soma algébca (ou pobablístca) de A ~ e B ~, C ~ = A ~ + B ~ é defnda po: C ~ = {( x, µ ~ A + ~ (x)), x X}, B onde µ ~ A + ~ (x)= µ ~ (x) + µ ~ (x) - µ ~ (x) B A B A. µ ~ (x), paa todo o x em X, e A ~, B ~ ~ P(X). B (III.3) A soma lmtada de A ~ e B ~, C ~ = A ~ B ~ é defnda po: C ~ = {( x, µ ~ A ~ (x)), x X}, B onde µ ~ A ~ (x) = mn (, µ ~ (x) + µ ~ (x)), paa todo o x em X, e A ~, B ~ ~ P(X). B A B (III.4) 44

59 III. - Beve ntodução à teoa de conjuntos dfusos A dfeença lmtada de A ~ e B ~, C ~ = A ~ Θ B ~ é defnda po: C ~ = {( x, µ A~ Θ ~ (x)), x X}, B onde µ A~ Θ ~ (x) = max ( 0, µ ~ (x) + µ ~ (x) - ), paa todo o x em X, e A ~, B ~ ~ P(X). B A B (III.5) O poduto algébco de A ~ e B ~, C ~ = A ~. B ~ é defndo po: C ~ = {( x, µ A ~. B ~ (x)), x X}, (III.6) onde µ ~ A. ~ (x) = µ ~ (x) B A. µ ~ (x), paa todo o x em X, e A ~, B ~ P ~ (X). B III..2.2 Opeações estutuas báscas sobe conjuntos dfusos As opeações clásscas de ntesecção, de eunão e do complementa exstentes ente conjuntos ígdos podem também genealza-se no domíno dos conjuntos dfusos à custa das coespondentes funções membo. No entanto, a sua ntepetação não se apesenta unívoca, uma vez que dvesos autoes têm poposto dfeentes opeadoes paa modela estas opeações em conjuntos dfusos. Zadeh (965) sugeu os opeadoes max-mn, paa os quas o valo da função membo da eunão coesponde ao máxmo dos valoes das funções membo ntevenentes, o valo da função membo da ntesecção coesponde ao mínmo dos valoes das funções membo ntevenentes e a função membo do complementa de um conjunto dfuso coesponde a -valo da função membo coespondente. Os opeadoes max-mn não são as fomas de agegação mas adequadas na maoa das stuações pátcas, nomeadamente quando se petende agega as pecepções e os julgamentos subjectvos dos Sees Humanos. Estes opeadoes são apenas fomas elatvamente smples e bastante patculaes de agegação, evelando-se de aplcação lmtada em stuações eas. Zmmemann (983b) efee que se tona necessáa a exstênca de um opeado onde a compensação nos gaus de petença dos conjuntos dfusos agegados seja apenas pacal. Fomas mas geas e complexas paa epesenta as efedas opeações de agegação podem se encontadas na lteatua. Estas sugestões dfeencam-se não só pela foma e gau como são apesentadas as coespondentes justfcações (agumentação ntutva, justfcação empíca ou axomátca), como também pelo seu caácte de genealdade e adaptação (famílas paametzadas de opeadoes, classes peenchendo detemnadas popedades). Paa modela a ntesecção de conjuntos dfusos foam também sugedos o opeado poduto algébco (Zadeh, 965) e a dfeença lmtada (Zmmemann, 987, 996). Paa a eunão, foam popostos o opeado soma pobablístca (Zadeh, 965) e a soma lmtada (Zmmemann, 987, 996), ente outos opeadoes mas complexos 7. 7 Po exemplo, os opeadoes eunão e ntesecção de Hamache (Zmmemann, 987, 996), os opeadoes tangulaes de Yage (980), os opeadoes eunão e ntesecção popostos po Dubos e Pade (982) ou po Domb (982), ou outos opeadoes mas sofstcados como o opeado γ compensatóo (onde γ expme o gau de compensação) (Zmmemann, 987, 996). 45

60 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens III..3 O pncípo da extensão e algumas aplcações O pncípo da extensão é um dos concetos baslaes da teoa de conjuntos dfusos que pemte a genealzação das estutuas matemátcas clásscas no âmbto da teoa de conjuntos dfusos. Tendo sdo ncalmente poposto po Zadeh (965), sofeu ao longo dos tempos algumas modfcações (Zadeh, 973; Zadeh et al., 975; Dubos e Pade, 980). III..3. O pncípo da extensão Zmmemann (996) apesenta a defnção mas clássca do pncípo da extensão do segunte modo: Sejam X um poduto catesano de unvesos, X = X x X 2 x... x X n, e Ã, Ã 2,..., Ã n conjuntos dfusos em X, X 2,..., X n, espectvamente. Seja anda f uma aplcação de X no unveso Y, y = f(x, x 2,..., x n). O pncípo da extensão pemte-nos defn um conjunto dfuso B ~ em Y: B ~ = {(y, µ B ~ (y)): y = f(x, x2,..., xn) e (x, x2,..., xn) X}, com µ B ~ (y) = ( sup x, x2,..., xn ) f ( y) 0 mn (µ A ~ onde f - (y) = {(x, x 2,..., x n) : y = f(x, x 2,..., x n )}. ( x ),..., µ A ~ n ( xn )), se f (III.7) ( y), caso contáo III..3.2 A noção de função dfusa A genealzação da noção da matemátca clássca de função pode se alagada 8 ao domíno dfuso pela utlzação do pncípo da extensão. Deste modo, a aplcação do pncípo da extensão a uma função, dado um domíno dfuso, pemte obte uma função dfusa no sentdo da segunte defnção (Dubos e Pade 980): Dz-se que o domíno dfuso B ~ em Y é o tansfomado do domíno dfuso A ~ em X pela função f: X->Y se µ B ~ (f(x)) µ A ~ (x), paa todo o x em X. (III.8) 8 Esta noção de função dfusa não é únca (Zmmemann, 996). 46

61 III. - Beve ntodução à teoa de conjuntos dfusos III..3.3 A noção de númeo eal dfuso Um tpo patcula de conjunto dfuso, que pemte genealza a noção clássca de númeo eal é o númeo eal dfuso: Um númeo eal dfuso, ~ n, é um subconjunto dfuso da ecta eal, cuja função membo, µ (x), é caactezada do segunte modo: ~ n µ : R [0, ] é uma aplcação contínua; ~ n exste um e um só n R tal que µ ~ é constante em ]-,n n ], ou seja, ~ n µ é esttamente cescente em [n, n]; ~ n µ é constante em [n 2, + [, ou seja, ~ n µ ~ (x) = ; n µ = 0 paa todo o x ]-,n ]; µ ~ = 0 paa todo o x [n n 2, + [; µ ~ é esttamente decescente em [n, n n 2 ]. Todo o númeo eal dfuso, ~ n, é um conjunto dfuso em R, nomalzado, convexo e de supote fnto ]n, n 2 [, se n e n 2 foem fntos. n dz-se o valo modal de ~ n. A fgua III. epesenta a função membo de um númeo eal dfuso ~ n. µ ~ n n n n 2 x Fgua III. Númeo eal dfuso. O conjunto dfuso ~ n epesenta um conjunto de númeos eas "apoxmadamente guas a n" e µ ~ dá-nos o gau de poxmdade dos coespondentes valoes em elação ao n valo n. Se n = n 2 = n, então ~ n epesenta um númeo eal ígdo. Um númeo eal dfuso, ~ n, dz-se postvo (negatvo) se a sua função membo é tal que µ (x)= 0 paa todo o x negatvo (postvo). ~ n A noção de númeo eal dfuso tangula Um tpo especal de númeo eal dfuso é o númeo eal dfuso tangula: Um númeo eal dfuso a ~ = {(x, µ ~ a (x) = 0 α x sendo α e c constantes eas e c > 0. c, caso contáo µ ~ (x)), x R } dz-se tangula se: a,se α c x α + c (III.9) 47

62 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens µ ~ a α Fgua III.2 Númeo eal dfuso tangula. ~ a epesenta uma quantdade dfusa "apoxmadamente gual a α" ("com cento em α e lagua c" 9 (Tanaka e Asa, 984a, 984b)), é descto po uma função membo como a apesentada na fgua III.2 e suge nomalmente denotado po ~ a = {α, c}. Tanaka e Asa (984a, 984b) efeem que toda a função lnea em x, x 2,..., x n com coefcentes ~ a, ~ a 2,..., ~ a n (a ~ = {α, c }, =, 2,..., n) é anda um númeo eal dfuso tangula. A função ~ y = ~ a x = ~ a x + ~ a 2 x ~ a n x n, é caactezada pela segunte função membo: c x µ(y ~ ) = y αx, se x 0 e y αx c x (III.20) c x 0, se x 0 e y αx > c x 0, se x = 0 e y 0, se x = 0 e y = 0 com x = (x, x 2,, x n ) e x = ( x, x 2,, x n ). Um conceto mas alagado de númeo eal dfuso tangula é aquele paa o qual as laguas à deta e à esqueda do valo modal são dfeentes 0. As noções de ntevalo dfuso e de ntevalo dfuso tapezodal Po uma questão de efcênca computaconal e de facldade na aqusção de dados, as noções de númeo eal dfuso e de númeo eal dfuso tangula apaecem genealzadas nas de ntevalo dfuso (fgua III.3(a)) e ntevalo dfuso tapezodal (fgua III.3(b)), espectvamente. As funções membo coespondentes tomam o valo paa todos os valoes ente n ' e n 2 ', e 0 paa valoes abaxo de n e acma de n 2. 9 Dado que o valo cental está assocado ao mao valo da função membo coespondente, alguns autoes chamam a α o valo modal do númeo eal dfuso tangula. 0 No Capítulo IV desta dssetação os paâmetos do modelo ão se consdeados númeos eas dfusos tangulaes deste tpo. Note-se que um númeo eal dfuso tangula paa o qual as laguas à deta e à esqueda do valo modal são dfeentes, não é mas do que um ntevalo dfuso tapezodal em elação ao qual n '=n 2 '. 48

63 III. - Beve ntodução à teoa de conjuntos dfusos µ ~ n µ ~ n n (a) Intevalo dfuso x n ' n 2 ' n n 2 ' ' n n 2 n 2 (b) Intevalo dfuso tapezodal Fgua III.3 x Repesentação LR de um númeo eal dfuso A epesentação LR de um númeo eal dfuso, sugeda po Dubos e Pade (979) é defnda do segunte modo: Um númeo eal dfuso, ~ n, dz-se do tpo LR se exstem funções de efeênca L (à esqueda) e R (à deta) e escalaes α > 0 e β > 0 de tal modo que a função membo, µ (x), é caactezada po: ~ n µ ~ (x) = n n x L α n x R β,se,se x n x n (III.2) As funções de efeênca L, R: [0, + [ [0, ] são decescentes, paes, contínuas e tas que L(0) = R(0) =. O númeo eal dfuso ~ n é vulgamente denotado po (n, α, β), onde n é o valo modal do númeo eal dfuso e α e β os lmtes esquedo e deto, espectvamente 2. ~ n é tanto mas dfuso quanto maoes foem os valoes de α e β. Dubos e Pade (979) deduzam fómulas de cálculo bastante efcentes paa efectua as opeações algébcas fundamentas sobe númeos dfusos, com base na defnção anteomente apesentada. 2 Segundo esta convenção, qualque númeo ígdo pode se epesentado po (n, 0, 0). Po analoga com esta epesentação, no Capítulo IV denotamos o númeo eal dfuso tangula c ~ po c ~ = (c L, c M, c R ), sendo c M o valo modal de c ~, c M -c L a lagua do lado esquedo e c R -c M à lagua do lado deto da função membo µ c ~ coespondente ao númeo c ~. 49

64 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens III.2 Decsão em ambente dfuso Contaamente à optmzação clássca, o modelo de optmzação dfuso não apesenta uma fomulação únca, mas pemte bastantes vaações semântcas, dependendo das suposções e das caacteístcas da stuação eal a modela. Dvesos modos de ncopoa a dfusão em poblemas monobjectvo e/ou multobjectvo, coespondendo cada um deles (nomalmente) a abodagens dfeentes de cálculo da solução óptma e/ou não domnadas em ambente dfuso, têm sdo encontados na lteatua 3. A estutua do modelo, ou seja, os coefcentes pesentes no vecto dos temos ndependentes das estções funconas ( b ~ ), e/ou na matz dos coefcentes tecnológcos (A ~ ), e/ou na matz dos coefcentes das funções objectvo ( C ~ ) podem te um caácte dfuso (Tanaka e Asa, 984a, 984b; Calsson e Kohonen, 986; Sakawa e Yano, 990, La e Hwang 994), que pelo facto de seem dfusos po natueza, que pelo facto da sua pecepção se dfusa. As elações matemátcas envolvdas no modelo podem também te caácte dfuso (estções funconas e/ou funções objectvo dfusas) (Zmmemann, 978, 983a; Chanas, 983; Wenes, 987a, 987b). O snal das estções funconas pode te caácte dfuso (, ou = ) no ~ ~ ~ sentdo em que são pemtdas (pequenas) volações nas elações matemátcas. O AD pemte que as elações matemátcas sejam elaxadas e o conjunto de soluções passa a possu não só os vectoes que vefcam efectvamente a estção mas também alguns daqueles que a volam em ambente ígdo. A opeação de optmzação pode se dfusa ( ~ ~ m ax ou m n ) no sentdo em que o AD pode não petende obte o valo máxmo (ou mínmo) paa uma (ou váas) função(ões) objectvo, mas antes atng um detemnado nível de aspação, z 4 0. Anda, a solução de um poblema lnea dfuso pode se ígda (Zmmemann, 978, 983a; Tanaka e Asa, 984a, 984b; Wenes, 987a, 987b, Sakawa e Yano, 990) ou dfusa (Chanas, 983; Vedegay, 984; Zhao, Govnd e Fan, 992; Calsson e Kohonen, 986). Neste últmo caso, é apesentado ao AD um conjunto de soluções dfusas dependendo deste a escolha da decsão a toma, de acodo com as suas pefeêncas. Pes et al. (996) popõem uma metodologa baseada num algotmo de Smulated Annealng, a qual possblta tata todos os tpos de dfusão efedos. 3 O modelo dfuso não apesenta uma modelação uncamente estabelecda, tal como sucede na pogamação lnea clássca (ou seja, em ambente ígdo). Incalmente, alguns autoes (Negota, 98) econheceam duas gandes subdvsões na pogamação lnea dfusa: a pogamação flexível ( soft ), onde o caácte dfuso se manfestava na opeação de optmzação e nas estções funconas do poblema, apaecendo as elações matemátcas ntevenentes enfaquecdas; e a pogamação obusta, onde o caácte dfuso se manfestava na estutua do modelo, ou seja, os coefcentes de A, b e C não são conhecdos com exactdão. Esta vsão enconta-se patcamente esbatda na actualdade. 4 z 0 é um nível de aspação estabelecdo pelo AD (de foma pecsa ou não). Se, no poblema em causa, o objectvo a optmza epesenta a maxmzação de um luco dexamos de obte um luco máxmo paa obte um luco consdeavelmente elevado e que pode não se atngdo. 50

65 III.2 - Decsão em ambente dfuso III.2. O modelo de decsão em ambente dfuso de Bellman e Zadeh Mutas vezes, em stuações eas, que as estções funconas, que as funções objectvo não são pefetamente conhecdas nem faclmente fomalzáves. Inspados no modelo clássco convenconal, Bellman e Zadeh (970) apesentaam um modelo de decsão smétco, no qual os objectvos e as estções não são conhecdos com pecsão e desempenham papés semelhantes. Os objectvos e as estções são dfusos no sentdo em que são caactezados pelas espectvas funções membo ( µ ( x ) e µ ( x) ), as quas ndcam o gau de compatbldade do elemento x G ~ C ~ em elação ao objectvo dfuso G ~ ou à estção dfusa C ~. Segundo Bellman e Zadeh, a agegação de objectvos e estções, possundo gual mpotânca, coesponde ao "e" lógco, sendo este taduzdo pela ntesecção de conjuntos dfusos. O conjunto de decsões dfusas, D ~, pode se defndo po: ou seja: D ~ = G ~ G ~ 2 G ~ p C ~ C ~ 2 C ~ m (III.24) D ~ = p = G ~ m = C ~ (III.25) Se a ntesecção de conjuntos dfusos fo defnda à custa do opeado mn (sugedo po Zadeh (970)) e as funções membo assocadas aos conjuntos dfusos foem conhecdas, então teemos: µ ( ) D ~ x = mn p ( ) m ( ) mn µ ( ), µ ( ) G ~ x mn C ~ x, paa todo o x em X = = p+ m = mn ( µ ( x) ) k = k, paa todo o x em X. (III.26) Se a melho solução de compomsso fo aquela que apesenta mao gau de petença elatvamente à decsão dfusa, ou seja a decsão maxmzante, teemos: x ( µ ( x )) max = ( ) D ~ p+ m max mn µ ( ) k x, paa todo o x em X. (III.27) k = x III.2.2 Opeadoes compensatóos e opeadoes não compensatóos Como Bellman e Zadeh (970) efeam Decson = confluence of goals and constants. 5

66 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens O opeado mn usado anteomente paa modela a ntesecção (ou, mas genecamente, a "confluênca") de conjuntos dfusos não admte qualque compensação ente os gaus de petença dos conjuntos envolvdos, pelo que podeá sofe algumas modfcações consoante o contexto em que se nsee a decsão. Além dsso, a complexdade do poblema em estudo depende gandemente do tpo de função de agegação usada (assm como do tpo de funções membos consdeadas). Daí que váos autoes se tenham peocupado com a escolha do melho opeado paa efectua a agegação de conjuntos dfusos. O uso de uma foma de agegação (ou de uma função membo) mas complexa podeá tona o modelo mas pecso, mas aumentaá, em geal, o esfoço computaconal. Se Φ epesenta uma foma de agegação apopada genéca, então: µ ( x ) = ( µ ( x )), paa todo o x em X (III.28) D ~ p m Φ + k = e a decsão pontual maxmzante seá: x ( µ ( x )) D ~ k p+ m max Φ µ k ( x), paa todo o x em X. (III.29) k = x max = ( ) III.2.3 Genealzação de Wenes da noção de solução efcente Nos poblemas de decsão em ambente ígdo, as estções subdvdem o conjunto das soluções em dos: as que são admssíves e as que são não admssíves; as funções objectvo possbltam detemna quas das soluções admssíves são não domnadas e quas são domnadas. No modelo dfuso temos soluções não admssíves e admssíves sendo estas últmas dstngudas não apenas pelos valoes das funções objectvo que se mantêm ígdas (tal como em ambente ígdo) mas também pelo seu gau de admssbldade em elação aos conjuntos dfusos envolvdos (coespondentes às estções e aos objectvos dfusos). Esta defnção possblta que uma solução dfusa paa a qual todos os valoes das funções objectvo que se mantêm ígdas sejam poes do que os de outa que é efcente, também possa se efcente desde que pelo menos um dos valoes das funções membo pesentes seja mao. Po outo lado, pemte que pontos não petencentes à egão admssível paa o caso ígdo se tonem efcentes em ambente dfuso. A noção de solução efcente (em ambente ígdo), anteomente apesentada no capítulo II, pode se genealzada paa poblemas de decsão em ambente dfuso. Wenes (987a, 987b) popõe a genealzação desta defnção paa o caso em que as p funções objectvo z (=, 2,..., p) são defndas com pecsão e as m estções funconas são dfusas: 52

67 Solução efcente em ambente dfuso (estções dfusas): III.2 - Decsão em ambente dfuso Sejam µ ( x ) : X [0, ] (=, 2,..., m) as funções membo assocadas às m C ~ estções dfusas. x ) X é uma solução efcente em ambente dfuso se e só se não exst outa solução x ( X tal que: z ( x ( ) z ( x ) ), paa todo o =, 2,..., p (III.30) e µ ( ) µ ( ), paa todo o =, 2,..., m C ~ x( C ~ x) e [ z ( x ( ) > z ( x ) ), paa pelo menos um =, 2,..., p ou µ ( ) > µ ( ), paa pelo menos um =, 2,..., m]. C ~ x( C ~ x) O conjunto de todas as soluções dfusas efcentes de um poblema de optmzação dfuso consttu a solução dfusa efcente (completa) (Wenes 987a, 987b). Compaando as defnções de solução efcente em ambente ígdo (II.3) e em ambente dfuso (III.30), podemos conclu que nesta últma uma solução efcente caacteza-se po não exst uma outa solução admssível que melhoe o valo efectvo de uma função objectvo ou do nível de petença assocado a uma das estções funconas dfusas sem poa o valo de, pelo menos, outa função objectvo ou do nível de petença assocado a outa estção funconal dfusa. O exemplo segunte lusta esta genealzação. Consdeemos o poblema, já estudado po Zmmemann (983a): max z(x) = max [f(x), f2(x)] T x = max + 2x2 2x + x2 s.a. -x + 3x 2 2 (c ~ ) x + 3x 2 ~ 27 (c 2 ) 4x + 3x 2 45 (c 3 ) 3x + x 2 30 (c 4 ) x 0; x 2 0; onde as elações matemátcas pesentes na pmea e segunda estções ((c ) e (c 2 )) são defndas de modo dfuso. Dado que se tata de um poblema com duas dmensões, podemos epesenta gafcamente as soluções efcentes (no espaço das vaáves de decsão) e as soluções não domnadas (no espaço dos objectvos). Se todas as estções e objectvos do exemplo fossem ígdos (poblema de optmzação clássco), as soluções efcentes stua-se-am apenas nas aestas que unem x A -x B -x C -x D (fgua III.4(a)), ou seja: X ef = [(0,7), (3,8)] [(3,8), (6,7)] [(6,7), (9,3)]. e, de modo análogo, as coespondentes soluções não domnadas seam apenas os pontos contdos nos segmentos de ecta [PA, PB], [PB, PC] e [PC, PD] (fgua III.4(b)). PA e PD 53

68 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens coespondem aos óptmos ndvduas de f(x) e f2(x), espectvamente. x A =(0, 7) é o óptmo da pmea função objectvo com z(x A )=(4, 7), e x D =(9, 3) é o óptmo da segunda função objectvo com z(x D )=(-3, 2). (a) Espaço das vaáves de decsão. (b) Espaço das funções objectvo. Fgua III.4 Soluções efcentes/não domnadas em ambente ígdo. x'=(3.4, 0.2) é a solução paa a qual z(x')=(-3, 7), ou seja, aquela que coesponde aos valoes mas baxos de z (x)= f(x) e z 2 (x)= f2(x), no conjunto das soluções não domnadas. Na fgua III.5 enconta-se epesentada a egão admssível dfusa, no espaço das funções objectvo, coespondente ao exemplo anteo. As sub-egões onde as funções membo, assocadas à pmea ( µ ) e à segunda ( µ 2 ) estções dfusas, tomam um ~ c valo ente 0 e encontam-se peenchdas espectvamente com um tacejado hozontal e vetcal. ~ c 54 Fgua III.5 Soluções não domnadas em ambente dfuso (2 das estções funconas são dfusas). Consdeando as estções (c ) e (c 2 ) dfusas, o conjunto de soluções não domnadas em ambente dfuso nclu não apenas todos os pontos petencentes aos

69 III.2 - Decsão em ambente dfuso segmentos de ecta [PA, PB], [PB, PC] e [PC, PD], como também todos os pontos da egão admssível dfusa petencentes à zona peenchda a tacejado na fgua III.5, nclundo a fontea, ou seja, todos os pontos que podem se obtdos po combnação lnea convexa dos pontos {PA, PN, PM, PL, PI} e dos pontos {PC, PM, PL, PJ}. Repae-se que todas as soluções paa as quas 0 µ ~ c < e 0 µ ~ c 2 < na fgua III.5, emboa não sejam admssíves em ambente ígdo, são não domnadas em ambente dfuso, ou seja, a defnção (III.30) conduz a soluções dfusas não domnadas que podem se não admssíves em ambente ígdo. Pode também acontece que uma solução em que todos os valoes dos objectvos sejam poes do que os de outa solução, seja efcente em ambente dfuso, bastando paa tal que pelo menos um dos valoes das funções membo assocadas às estções dfusas seja mao. Tal acontece com o ponto PA no exemplo consdeado. O ponto PI não é admssível em ambente ígdo mas é admssível e não domnado em ambente dfuso; em elação a PA, PI tem melho valo paa ambos os objectvos mas po valo no tocante à função membo assocada à pmea estção (dfusa). Ambos os pontos petencem à solução dfusa efcente (completa) do poblema. III.3 Pogamação lnea multobjectvo dfusa Como menconado anteomente em II.6, alguns autoes categozam os métodos de apoo à decsão multobjectvo em tês gupos, baseando-se no nstante em que no pocesso de decsão é equeda a ntevenção do AD. Esta subdvsão pode se genealzada aos poblemas de decsão em ambente dfuso (Wenes, 987b), ou seja: Quando as funções membo são calculadas mplctamente pelo método, podemos afma que não há ntevenção do AD, a não se na escolha da melho solução de compomsso. Neste caso, podeá não have efectvamente patcpação do AD, se a solução obtda fo ígda como acontece na abodagem apesentada ncalmente po Zmmemann (978, 983a, 987, 996; Wedey e Zmmemann, 978), ou have uma patcpação "a posteo", se a solução geada fo dfusa como acontece na abodagem apesentada ncalmente po Chanas (983). Quando o AD tem de defn à patda as funções membo ou quando ele aceta explctamente as sugedas pelo método, então há uma atculação "a po" de pefeêncas, tal como acontece em métodos baseados na abodagem de Zmmemann (978, 983a, 987, 996; Wedey e Zmmemann, 978), quando o AD tem de defn as váas funções membo coespondentes aos conjuntos dfusos pesentes no modelo, na abodagem de Tanaka e Asa (984a, 984b) e na abodagem das duas fases de Lee e L (993). Se a solução obtda fo dfusa, como acontece nas abodagens popostas po Zhao, Govnd e Fan (992) e Calsson e Kohonen (986), pode se peddo ao AD que escolha posteomente a solução de compomsso. Nos métodos nteactvos há uma toca de nfomações ente o AD, que manfesta as suas pefeêncas, e o método, o qual nfoma o AD sobe as possíves soluções exstentes, como acontece nas abodagens popostas po 55

70 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Wenes (987a, 987b), La e Hwang (992a, 993), Rommelfange (989), e Tapa e Mutagh (99), ente outos. Actualmente, os métodos nteactvos tendem a se consdeados como a abodagem mas adequada paa o estudo de poblemas de pogamação multobjectvo dfusa, uma vez que estas abodagens não se esumem ao cálculo de soluções efcentes mas baseam-se numa colaboação ente o AD e o método. III.3. Algumas abodagens de pogamação lnea multobjectvo dfusa Depos de expostas as deas essencas da aplcação dos concetos da teoa de conjuntos dfusos em poblemas PLMO, emos desceve esumdamente algumas técncas e algotmos popostos na lteatua centífca, que fonecem algumas bases conceptuas paa o desenvolvmento da nova abodagem exposta na secção 4 deste capítulo (Boges, 995; Boges e Antunes, 2003a). No capítulo VIII desta dssetação seá feta uma descção mas detalhada da abodagem smétca com solução ígda poposta po Zmmemann, consdeando as funções membo lneaes, que seá aí alvo de um estudo compaatvo com as metodologas baseadas em pontos de efeênca (Antunes e Boges, 2002b). III.3.. O modelo smétco Consdeemos a stuação onde a estutua do modelo é conhecda com pecsão; onde as p funções objectvo são dfusas, no sentdo em que se petende atng um detemnado nível de aspação estabelecdo (com detemnada mpecsão) pelo AD; e as m estções também são dfusas 5. Neste caso, as p funções objectvo são tatadas como metas a atng, sendo Z 0 um vecto coluna consttuído pelos lmtes nfeoes. O poblema consdeado: m ~ ax C x (III.3) s. a. Ax ~ b x X é equvalente a: C x ~ Z 0 Ax ~ b x X (III.32) onde Z 0 p R. 5 Neste caso, X é consttuído apenas pelas estções de não negatvdade, se bem que seja possível a pesença de outas estções ígdas no modelo em estudo. 56

71 III.3 - Pogamação lnea multobjectvo dfusa O modelo é smétco, uma vez que as funções objectvo e as estções têm a mesma estutua fomal. A smeta do poblema obtdo tona-se mas evdente se C Z fzemos A' = A e b' = 0. Isto é : b A'x ~ b' (III.33) onde A' x X (m + p) x n R e b' m+p R. Cada uma das (m+p) lnhas de (III.33) pode se epesentada po um conjunto dfuso, cuja função membo é µ (x). O poblema consste em detemna o mao valo paa a medda de satsfação do conjunto de objectvos e estções dfusas, de modo a que essa medda de satsfação seja meno ou gual do que os valoes dos váos gaus de petença em elação aos conjuntos dfusos envolvdos, e satsfaça as estções ígdas ncas. Se consdeamos o modelo de decsão exposto po Bellman e Zadeh (970), o poblema toma a foma: m+ p µ ~ D (x) = mn µ (x), paa todo o x em X (III.34) = ou, se o AD estve apenas nteessado numa decsão pontual: m+ p max µ ~ D (x) = max { mn µ (x)}, paa todo o x em X. (III.35) = Nomalmente µ (x) é uma função (de pefeênca lnea) que toma o valo 0 se as estções (nclundo as funções objectvo) são fotemente voladas, se elas são totalmente satsfetas (sto é, satsfetas no sentdo ígdo) e que decesce de foma monótona de paa 0 nos ntevalos de toleânca ]b',b' +p [ ou cesce de foma monótona de 0 paa nos ntevalos de toleânca ]b' -p,b' [ 6. Po exemplo, paa estções do tpo (A'x) ~ b' : µ (x) ] 0,[ = 0, se (A'x) > b' + p (III.36), se b' < (A'x) b' + p =, se (A'x) b', paa todo o x em X e =,..., m+p. Se µ (x) fo lnea teá uma epesentação smla à mostada na fgua III.0 (a). Váos autoes têm apesentado dfeentes popostas paa esolve os poblemas (III.34) e (III.35). Poucos modelos têm sdo apesentados paa esolve o poblema consdeando opeadoes de agegação dfeentes dos opeadoes max-mn. 6 p é uma constante não negatva e epesenta o nível máxmo de toleânca, paa o coespondente nível de satsfação b, da -ésma estção. 57

72 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Modelo smétco com solução ígda - abodagem de Zmmemann Na abodagem poposta po Zmmemann (978, 983a) e Wedey e Zmmemann (978) o poblema multobjectvo, com p funções objectvo e m estções funconas dfusas, é convetdo num poblema monobjectvo com mas uma vaável de decsão, λ, e p estções, tendo po base o segunte teoema: x é óptmo de (III.35) se e só se ( x, λ ), com λ = mn m + p o pogama max λ s. a. λ µ (x) x X, λ [0, ] e =, 2,..., m+p. = µ (x), é solução óptma paa (III.37) m+ p Sendo λ = max { mn µ (x)}, então λ pode se ntepetado como uma medda x X = de satsfação ou gau de petença da decsão óptma x em elação aos conjuntos (funções objectvo e estções) dfusos defndos em (III.33). Zmmemann (978) povou que a esolução do poblema monobjectvo (III.37) conduz sempe a uma solução não domnada do poblema multobjectvo ognal. Se µ ~ D (x) tem solução únca, µ ~ D (x 0 ) = max µ ~ D (x), então x 0, que é um elemento do conjunto completo de soluções dfusas, é dectamente detemnado pela esolução do poblema monobjectvo efedo. Caso exstam soluções óptmas altenatvas, Lebelng (98) demonsta que pelo menos uma delas é solução não domnada do poblema ncal. Wenes (987b) efee que esta solução pode se detemnada com o uso de uma vesão modfcada do algotmo lexcogáfco max-mn. Este algotmo enconta-se detalhadamente explcado po Behnge (98). Zmmemann (978, 983a) sugee que, na defnção das funções membo assocadas aos objectvos dfusos, sejam consdeadas funções lneaes 7 e sejam usados os valoes das componentes do ponto deal (óptmos ndvduas de cada uma das funções objectvo) assm como do ponto Nad. Consdeemos novamente o exemplo usado em III.2.3, etado de (Zmmemann, 983a). Se defnmos as funções membo assocadas aos objectvos dfusos como sugedo po Zmmemann, a solução pocuada coesponde ao ponto PF na fgua III.6(b). λ = é o valo do nível máxmo de satsfação do conjunto de funções objectvo dfusas (ou seja, o gau de petença em elação aos conjuntos dfusos defndos) e coesponde à solução x=(5.03; 7.32) T com z(x)=(9.6, 7.38) T. Se as funções membo, assocadas aos objectvos dfusos usados, foem defndas de modo dfeente obtemos soluções óptmas dstntas. 7 O uso de alguns tpos patculaes de funções membo não lneaes, assm como a apoxmação de funções membo não lneaes po funções lneaes po pates, pode também se encontado na lteatua com vsta à esolução do poblema (III.37). 58

73 III.3 - Pogamação lnea multobjectvo dfusa (a) Espaço das vaáves de decsão. (b) Espaço das funções objectvo. Fgua III.6 Soluções não domnadas em ambente dfuso (só as funções objectvo são dfusas), P =(-3, 2). Po exemplo, se assummos que não estamos nteessados em soluções com valo negatvo em elação ao pmeo objectvo f(x), podemos consdea as mesmas funções lneaes anteoes mas alteando o valo lmte nfeo da função membo assocada ao pmeo objectvo de -3 paa 0 (como apaece na fgua III.7). A solução detemnada x = (4.80; 7.40) T e z(x) = (0.00, 7.00) T, ponto PH na fgua III.7, coesponde ao nível máxmo de satsfação λ = Fgua III.7 Soluções não domnadas em ambente dfuso (só as funções objectvo são dfusas), P =(0, 2). Note-se que a solução óptma obtda pela abodagem poposta po Zmmemann petence sempe ao conjunto de soluções dfusas efcentes do poblema, ndependentemente das funções membo lneaes que caactezam as elações dfusas pesentes. Se foem consdeadas as funções membo lneaes sugedas po Zmmemann, a solução óptma detemnada coesponde àquela a que está assocado o mao valo paa o nível máxmo de satsfação das funções objectvo e estções dfusas pesentes no modelo. 59

74 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Modelo smétco com solução dfusa - abodagem de Chanas Chanas (983) mostou como, aplcando a técnca de pogamação paamétca a um poblema de pogamação lnea dfusa, é possível dentfca a decsão dfusa efcente (completa) do poblema. Ou seja, estabelece uma coespondênca ente a pogamação paamétca com ecusos paametzados e a pogamação dfusa com ecusos dfusos. Em vez de se calcula µd(x) detemna-se µd(θ), onde θ é ntepetado como o nível de volação das estções dfusas. A aplcação de pogamação paamétca a um poblema de pogamação lnea no domíno dfuso evela-se nteessante, uma vez que a solução dfusa obtda deste modo possblta ao AD faze uma análse mas pofunda do poblema da escolha da melho solução de compomsso na pesença de váos objectvos confltuosos. O esfoço computaconal necessáo paa calcula a melho decsão dfusa é mao que o usado anteomente paa detemna a melho decsão ígda pela abodagem de Zmmemann. Este facto pode tona-se um nconvenente paa poblemas eas (com alguma dmensão) tal como efeem La e Hwang (992a, 992b). Um método mas genéco, que tem como caso patcula o anteomente apesentado pelo mesmo auto, apaece poposto em (Chanas, 989). Utlzando a abodagem de Zmmemann, os métodos clásscos de pogamação lnea (método smplex e de pogamação paamétca) e consdeando funções membo coespondentes aos objectvos dfusos não lneaes, Chanas (989) obtém uma solução dfusa do poblema que é um subconjunto dfuso das soluções facamente efcentes do poblema ognal. Esta solução dfusa nclu aquela que tem mao gau de petença no poblema ognal, e paa modelos lneaes multobjectvo a solução com mao valo paa µ D ~ (x) (usando a fomulação de Bellman e Zadeh (970)) concde com a obtda na abodagem de Zmmemann (978, 983a). III.3..2 Estutua do modelo dfusa com solução dfusa - abodagem de Calsson e Kohonen A abodagem paamétca de esolução de poblemas de PLMO no domíno dfuso apesentada po Calsson e Kohonen (986) aplca-se a modelos nos quas os coefcentes são total ou pacalmente dfusos, ou seja, onde os coefcentes pesentes no vecto dos temos ndependentes das estções funconas ( b ~ ) e/ou na matz dos coefcentes tecnológcos ( A ~ ) e/ou na matz dos custos das funções objectvo ( C ~ ) podem te um caácte dfuso. O AD deve se capaz de especfca ntevalos paa os possíves valoes desses paâmetos. Emboa os autoes efam que efectuam pogamação paamétca, em temos pátcos aqulo que fazem consste na esolução do poblema paa dfeentes concetzações do valo do nível de satsfação (paa 0.0; 0.; 0.2;...; 0.9; ). 60

75 III.3 - Pogamação lnea multobjectvo dfusa III.3..3 A abodagem nteactva com solução ígda de Wenes Na abodagem nteactva de esolução de poblemas de PLMO dfusos apesentada po Wenes (987a, 987b), as funções objectvo assm como as estções são dfusas. No entanto, o AD não estabelece a po as funções membo assocadas aos conjuntos dfusos. O método consste em duas etapas: Na pmea fase é fomulado o poblema e é apesentada ao AD uma tabela de vétces efcentes, no sentdo de lhe fonece nfomação global sobe o poblema, nomeadamente a gama de vaação dos valoes das funções objectvo. Esta tabela pode se consdeada como duas tabelas de "pay-off": a supeo obtda pela optmzação de cada função objectvo soladamente com α = 0, e a nfeo com α =. Com base nesta nfomação, o AD deve fomula funções membo coespondentes aos objectvos dfusos exstentes. Na fase nteactva o objectvo é calcula uma solução de compomsso acetável pelo AD, caso ela exsta, utlzando um acocíno smla ao de Zmmemann (978, 983a). É possível, a qualque momento, ecomeça o pocesso nteactvo com uma das soluções encontadas em teações anteoes ou efomula o modelo ncalmente consdeado (egesso à etapa ), de acodo com a nfomação entetanto eunda (exstndo, potanto, um pocesso de apendzagem). O objectvo pncpal do SAD nteactvo poposto consste em enconta uma solução de compomsso consdeada satsfatóa pelo AD ou conclu que não exste nenhuma solução de compomsso que satsfaça os equstos exgdos. III.4 Uma metodologa nteactva de PLMO onde as elações matemátcas ntevenentes são dfusas A abodagem nteactva apesentada segudamente basea-se na decomposção do dagama paamétco (dos pesos) Λ em egões de ndfeença. Uma análse compaatva das egões de ndfeença, assocadas às bases das dvesas soluções dfusas efcentes pesentes nos váos dagamas paamétcos Λ (que vaam em função da gama de valoes do nível de satsfação dos objectvos e das estções dfusas), pemte pecebe a establdade e evolução das dfeentes bases efcentes que coespondem às soluções efcentes detemnadas, peante a vaação de alguns paâmetos do modelo. O AD tem a possbldade de modfca nteactvamente as funções membo assocadas aos objectvos e às estções pesentes no modelo. Estas modfcações possbltam avala o mpacto da alteação de alguns paâmetos no modelo e estuda dfeentes stuações sem necessdade de efomula o poblema desde o níco. As técncas expostas pemtem ncopoa a dfusão na opeação de optmzação e nas elações matemátcas pesentes nas estções ou, segundo a óptca de alguns autoes 6

76 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens (Calsson e Kohonen, 986, La e Hwang, 992a), nos coefcentes dos temos ndependentes das estções. A solução obtda é dfusa, cabendo ao AD a taefa de escolhe uma solução de compomsso satsfatóa segundo as suas pefeêncas. O AD assume um papel actvo, o que pemte a apendzagem do poblema e possblta a evolução (e adaptação) dos seus julgamentos e pefeêncas, à medda que a nfomação que lhe é apesentada pelo método ogna novas pstas de pesqusa. Ou seja, a nteactvdade é encaada como um pocesso constutvo fazendo apelo à convegênca pscológca do AD (que Vncke contapõe à convegênca matemátca do método). A metodologa poposta tem como fnaldade auxla o AD a adqu o mao conhecmento possível sobe o conjunto de soluções dfusas de um poblema de PLMO e a exploa as suas convcções e pefeêncas, de foma a pode toma uma decsão bem fundamentada (fazendo o uso adequado do conhecmento adqudo). Não exstem decsões evogáves, uma vez que, a qualque momento, o AD pode eve as opções já tomadas com base nas nfomações entetanto fonecdas pelo método. III.4. Alguns concetos ntodutóos Na secção III.2.3 explcamos detalhadamente a poposta de genealzação da defnção de solução efcente (II.3) (em ambente ígdo) apesentada po Wenes (987a, 987b), paa o caso em que as p funções objectvo z (=, 2,..., p) são defndas com pecsão e as m estções são dfusas (III.30). Esta defnção pode também se alagada à stuação em que algumas das p funções objectvo são dfusas (Boges, 995; Boges e Antunes, 2003a). É com base nessa genealzação que, na abodagem apesentada, se faz o estudo do conjunto de todas as soluções dfusas efcentes. Consdeemos o exemplo já estudado anteomente em III.2.3 e em III.3.., etado de (Zmmemann, 983a). Fgua III.8 Soluções não domnadas em ambente dfuso (as funções objectvo e as estções funconas são dfusas). 62

77 III.4 - Uma metodologa nteactva de PLMO onde elações matemátcas ntevenentes são dfusas Sejam ambas as funções objectvo (z (x) = f(x) e z 2 (x) = f2(x)) dfusas e sejam as elações matemátcas pesentes na pmea e segunda estções ((c ) e (c 2 )) também dfusas, e tas que a egão admssível dfusa coesponda à zona a ponteado na fgua III.8 8. O conjunto de soluções não domnadas no domíno dfuso concde com esta egão, e é consttuído po todos os pontos que são combnação lnea convexa de PA, PI, PL, PM, PG e P. Estas soluções são tas que paa cada uma delas não é possível melhoa o valo do seu gau de petença em elação a um dos conjuntos dfusos envolvdos sem poa pelo menos um dos outos gaus de petença. Se apenas estvemos nteessados na solução efcente que possu mao valo paa o nível de satsfação de todos os conjuntos dfusos ntevenentes λ, de modo a que esse nível de satsfação seja meno ou gual do que os valoes dos váos gaus de petença dos conjuntos dfusos envolvdos ( max-mn ) e satsfaça as estções ígdas ncas, somos conduzdos ao ponto PP na fgua III.8 com λ = Segundo uma lnha de acocíno semelhante à de Wenes (987a, 987b), quando efectua a genealzação da noção de solução efcente em ambente ígdo (II.3) paa poblemas com estções dfusas (III.30), podemos defn solução efcente paa o caso em que tanto as funções objectvo como as estções são dfusas: Solução efcente em ambente dfuso (estções e objectvos dfusos): Sejam µ ( x ) : X [0, ], =, 2,..., p, as funções membo epesentatvas das p G ~ funções objectvo dfusas e µ ( x ) : X [0, ], =, 2,..., m, as funções membo C ~ epesentatvas das m estções dfusas. x X é solução efcente em ambente dfuso se e só se não exst outa solução xˆ X tal que: µ (ˆ) x µ ( x), paa todo o =,..., p (III.38) G ~ G ~ e µ (ˆ x ) µ ( x), paa todo o =,..., m C ~ C ~ e [ µ (ˆ x ) > µ ( x), paa pelo menos um =, 2,..., p G ~ G ~ ou µ (ˆ x ) > µ ( x), paa pelo menos um =, 2,..., m]. C ~ C ~ Tal como efedo po Wenes (987a, 987b), podemos também aqu denomna o conjunto de todas as soluções dfusas efcentes (em ambente dfuso) como solução dfusa efcente (completa). Segundo a óptca de alguns autoes (Chanas, 983; Vedegay, 984; Zhao, Govnd e Fan, 992; Calsson e Kohonen, 986), segundo a qual a solução de um poblema dfuso também deve se dfusa, afgua-se-nos convenente da ao AD a possbldade de conhece não apenas uma solução de compomsso ígda mas todas aquelas que ele tve nteesse em analsa de ente as petencentes à solução dfusa efcente do poblema. 8 Note-se que as funções membo assocadas aos objectvos e estções dfusas são as mesmas dos exemplos apesentados na fgua III.7 (em III.3..) e na fgua III.5 (em III.2.3), espectvamente. 63

78 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Fgua III.9 Abodagem nteactva de PLMO dfusa onde as elações matemátcas ntevenentes são dfusas. 64

79 III.4 - Uma metodologa nteactva de PLMO onde elações matemátcas ntevenentes são dfusas III.4.2 O funconamento da abodagem nteactva poposta Na fgua III.9 está epesentado um fluxogama o qual, conjuntamente com a fgua III.8 e com a descção detalhada apesentada nesta secção, ajuda a compeende o funconamento do algotmo. Todas as funções membo utlzadas no modelo possuem uma estutua lnea como mostado na fgua III.0 ((a) a (c)). Paa cada estção dfusa (-ésma estção), o AD deve defn as coespondentes funções membo da segunte manea: Paa estções do tpo ~ (sub-matz A de A) são especfcados dos valoes, b e b. Dado que não é pemtdo ultapassa b em caso algum e a estção é completamente satsfeta paa valoes abaxo de b, a função membo toma o valo de 0 paa valoes acma de b, paa valoes abaxo de b, e é lnea ente estes dos lmtes (fgua III.0(a)). Paa estções do tpo ~ (sub-matz A2 de A) são também especfcados dos valoes, b 2 e valoes acma de 2 b. Como a estção é completamente satsfeta paa 2 b e valoes abaxo de 2 b nunca são pemtdos, a função 2 membo toma o valo de paa valoes acma de b, 0 paa valoes abaxo 2 de b, e é lnea ente estes dos lmtes (fgua III.0(b)). Se as estções são do tpo ~ = (sub-matz A3 de A), a função membo é detemnada po tês valoes, 3 3 b, b e b. Paa o valo b 3 a estção é completamente satsfeta, e apenas são pemtdos desvos nfeoes e supeoes até aos valoes de 3 3 b e b, espectvamente. A função membo toma o valo 0 paa valoes acma de lnea ente os lmtes 3 b e 3 b e ente 3 b e 3 3 b ou abaxo de b 3, em 3 b (fgua III.0(c)). 3 b, e é Devdo à fomulação do modelo a condção b v b v b v (v=, 2, 3) é sempe satsfeta. µ ( x ) µ ( x) µ ( x) 0 b b (a) Restções do tpo ~ ( A x ) 0 b 2 b 2 (b) Restções do tpo ~ ( A 2 x) 0 b 3 b 3 (c) Restções do tpo ~ = b 3 ( A 3x) Fgua III.0 Funções membo utlzadas no modelo. 65

80 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens A pncpal dfeença ente as estções ígdas e as dfusas consste no segunte: no caso de uma estção ígda o AD consegue dstngu esttamente as soluções admssíves das não admssíves, enquanto que paa uma estção dfusa o AD necessta v v consdea gaus de petença (admssbldade) no ntevalo [ b, b ]. As funções objectvo dfusas paa as quas o AD consegu estabelece os níves de aspação e os níves máxmos de toleânca coespondentes (ou seja, os valoes b e b ) são tatadas como estções dfusas no modelo. O modelo consste em p funções objectvo e m estções lneaes, as quas podem se ígdas e/ou dfusas, como apesentado segudamente: onde v b, v b e s.a. m ~ ax z(x) = C x (p funções objectvo) (III.39) A x ~ b, A 2 x ~ 2 b, A 3 x ~ = 3 b, na defnção das funções membo) b 2 b 3 b, 3 b (m estções) (m2 estções) (m3 estções) D x d D 2 2 x d = X D 3 3 x = d x 0 b v são os vectoes coluna assocados aos valoes (especfcados pelo AD v b, v v b e b (v=, 2, 3), espectvamente. Uma vez fomulado o poblema enta-se numa fase não nteactva, cuja fnaldade é fonece ao AD nfomação sobe a gama de valoes que os objectvos podem assum na egão efcente. Pela optmzação de cada função objectvo soladamente, com α = 0 e α =, no domíno: b + α ( b ) (m estções de ~ ) (III.40) A x b - A x b + α ( b - b ) (m2 estções de ~ ) A 3 3 x b + α ( b b ) (m3 estções de ~ = ) A 3 3 x b + α ( b 3-3 b ) (m3 estções de ~ = ) x X é obtda a tabela III.. α pode se ntepetado como o nível de satsfação (nível de petença) dos objectvos e estções dfusas agegadas. As egões consdeadas na esolução do poblema (III.40) coespondem, espectvamente, à egão admssível do poblema ígdo ncal (α=) e à egão obtda a pat da do poblema ncal mas consdeando as estções dfusas com um nível de dfusão máxmo (α=0). 66

81 III.4 - Uma metodologa nteactva de PLMO onde elações matemátcas ntevenentes são dfusas Na tabela III., as soluções -, =, 2,..., p, coespondem às soluções extemas efcentes obtdas com α =, e as soluções 0-, =, 2,..., p, às soluções extemas efcentes obtdas com α = 0. A tabela III. é uma dupla tabela de "pay-off", a pate supeo consdeando as estções ígdas ncas (α = ) e a pate nfeo obtda consdeando as estções dfusas com um nível de dfusão máxmo (α = 0). Se ncalmente o modelo só possu estções ígdas, estaá apenas a pate supeo da tabela. Tabela III. Soluções extemas efcentes. Solução - (x ) j C. x C 2. x... C p. x C j x j j C 2 j x j Solução -p (x p ) Solução 0- (x 0 ) j j C j x p j j C j x j j C 2 j x p j... C 2 j x j Solução 0-p (x 0p ) j C j x p j j C 2 j x p j... j j j j C C C C p j x j p j x p j p j x j p j x p j No caso de alguma das soluções extemas efcentes não pode se calculada, po não exst solução admssível fnta, deve sug essa nfomação na lnha coespondente da tabela III.. Com base nesta nfomação, o sstema sugee as funções membo coespondentes aos objectvos dfusos anda exstentes. Na dagonal da pate nfeo da tabela encontam se os melhoes valoes (valoes de c, =, 2,..., p) atngdos po cada uma das funções objectvo 9. Nas coespondentes colunas devem se pocuados os poes valoes 20 (valoes de c, =, 2,..., p). O pocesso nteactvo começa neste ponto. O AD pode efomula as funções membo assocadas aos objectvos e estções dfusas ou aceta as sugestões do método. Emboa apenas algumas modfcações nos valoes das funções membo tenham nteesse, todas elas são pemtdas. Petende-se desta foma, à medda que va aumentando o conhecmento sobe o poblema em cada nteacção, pô à dsposção do AD os meos e a nfomação que lhe pemtam eflect sobe as opções manfestadas anteomente, ctcando contnuamente as suas pefeêncas (que assumem um caácte evolutvo), e lhe possbltem volta atás se 9 Se o modelo só tve estções ígdas os melhoes valoes encontam-se na dagonal da tabela. 20 Não necessaamente os poes valoes na egão não domnada, mas apenas os poes na gama de valoes da tabela de óptmos ndvduas, que são, contudo, convenentes pela facldade na sua detemnação, como já efedo no capítulo II. 67

82 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens detecta ncoeêncas ente as pefeêncas manfestadas em dfeentes nteacções, ou smplesmente muda de deas ao petende exploa dfeentes stuações. Segudamente, faz-se uso da técnca de pogamação paamétca, com a fnaldade de detemna p soluções dfusas de compomsso, analtcamente dependentes de α (nível de satsfação dos objectvos e estções dfusas pesentes no modelo), em elação a cada objectvo sepaadamente, na segunte egão Cx c + α (c - c ) (p funções objectvo) (III.4) A x b + α ( b - b ) (m estções de ~ ) A x b + α ( b - b ) (m2 estções de ~ ) A 3 3 x b + α ( b b ) (m3 estções de ~ = ) A 3 3 x b + α ( b 3 - x X, α [0, ]. 3 b ) (m3 estções de ~ = ) Os valoes lmte do paâmeto α nos ntevalos anteomente obtdos (que conduzem à mesma base óptma nos poblemas de pogamação paamétca estudados) são odenados po odem cescente. À egão defnda em (III.4) petencem todas as soluções paa as quas pelo menos um dos valoes do nível de satsfação dos objectvos e estções dfusas ntevenentes (coespondentes aos váos conjuntos dfusos agegados) é não nulo, podendo, na stuação lmte, seem todos conjuntamente nulos. Neste ponto, o AD pode temna o pocesso se acha que eunu nfomação sufcente paa toma uma decsão bem fundamentada, epet esta pmea fase nteactva com outas funções membo, ou enta numa segunda fase nteactva do estudo. Na segunda fase do pocesso nteactvo é optmzada uma soma pondeada dos p objectvos na egão admssível (III.4), paa cada um dos dfeentes αs (anteomente obtdos): p max [ ( λ ( x ) ] (III.42) = s.t. z Cx c + α (c - c ) (p funções objectvo) A x b + α ( b - b ) (m estções de ~ ) A x b + α ( b - b ) (m2 estções de ~ ) A 3 3 x b + α ( b b ) (m3 estções de ~ = ) A 3 3 x b + α ( b 3-3 b ) (m3 estções de ~ = ) x X; Σλ = e λ 0, paa =, 2,..., p. Utlzando o método TRIMAP (Clímaco e Antunes, 987, 989), o AD pode efectua uma pesqusa pogessva e selectva das soluções dfusas efcentes, tendo 68

83 III.4 - Uma metodologa nteactva de PLMO onde elações matemátcas ntevenentes são dfusas pesente a nfomação gáfca das egões de ndfeença no dagama paamétco, paa a gama de establdade de α em análse. Paa cada α, o método TRIMAP detemna automatcamente as p soluções extemas efcentes coespondentes ao óptmo de cada uma das funções objectvo na egão (III.4). A segu, o AD pode nteactvamente seleccona dfeentes vectoes de pesos, coespondentes a zonas do dagama paamétco dos pesos anda não peenchdas com egões de ndfeença, e detemna novas soluções extemas dfusas efcentes, evtando assm um estudo exaustvo, o qual podea tona-se computaconalmente ncompotável. Em cada nteacção desta segunda fase nteactva, são apesentados ao AD os valoes numécos coespondentes a cada solução extema dfusa efcente, conjuntamente com dos gáfcos: a decomposção do dagama paamétco Λ em egões de ndfeença e o espaço dos objectvos (ou espectvas pojecções no caso de mas de duas funções objectvo), com as dfeentes soluções extemas dfusas efcentes entetanto detemnadas paa o valo de α em estudo. Uma atenção especal deve se pestada à análse compaatva destes dos gáfcos, assm como aos valoes numécos assocados às soluções báscas efcentes já pesqusadas, em cada nteacção. O conhecmento dos valoes dos objectvos paa as soluções extemas efcentes já pesqusadas pemte ao AD nfe possíves valoes atngdos pelos objectvos em pontos extemos efcentes anda não conhecdos, que coespondam a egões de ndfeença vznhas no dagama paamétco de outos já conhecdos. Esta nfomação possblta ao AD seleccona as zonas que lhe nteessa ou não pesqusa, havendo assm uma edução do esfoço computaconal e coespondentemente evtando-se uma sobecaga do esfoço cogntvo do AD. Vaando o valo do nível de petença dos objectvos e estções dfusas agegadas (α) e os valoes dos pesos assocados a cada objectvo (λ 0, paa =, 2,..., p), é possível obseva como as váas soluções extemas dfusas efcentes vaam paa as funções membo consdeadas. O estudo compaatvo da decomposção dos dagamas paamétcos obtdos, paa os dfeentes valoes de α, pemte obseva a evolução das váas egões de ndfeença coespondentes a soluções efcentes (vétces) já conhecdas até esse momento; em patcula, a junção e sepaação destas paa todos os valoes dos níves de satsfação estudados, pemtndo pecebe a foma da egão dfusa efcente. Como a egão admssível consdeada paa cada um dos α é dfeente (quando α aumenta a egão admssível dmnu), somos conduzdos a pontos extemos dfeentes. Na pátca, todos os pontos petencentes à solução dfusa efcente do poblema de optmzação dfuso (ou seja, todas as soluções dfusas efcentes do poblema) podem se encontados se alteamos as funções membo ntevenentes. Uma vez que o valo do nível α consdeado é sucessvamente mao (desde 0 até αmax) e a coespondente egão (III.4) meno, com α = αmax a solução detemnada é únca. Na metodologa utlzada é gaantda a possbldade de o AD, a qualque momento, evoga uma decsão já tomada. Há, pos, um pocesso de apendzagem onde o AD pode constundo ou modfcando o seu sstema de pefeêncas, de acodo com a nfomação entetanto eunda. 69

84 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens O pocesso acaba quando o AD consdea que eunu nfomação sufcente sobe a solução (dfusa) do poblema em estudo de modo a pode basea uma decsão mas fundamentada, ou eventualmente eve o modelo e efectua uma análse smla. III.4.3 Exemplo Ilustatvo Com a fnaldade de lusta o funconamento da metodologa apesentada vamos consdea o segunte poblema lnea 2, com tês funções objectvo a maxmza e tês estções: s.a m ~ ax f f f 2 3 = m 2 ~ ax 3 3 x + x2 + 2 x x x2 + 2 x x + 5 x2 + x x + 4 x + 2x 2 x + x + 4 x + 3 x 60 (c) ~ 3 x + 4 x + x + 2 x 60 (c2) ~ x + 2 x + 3 x + 4 x 50 (c3) ~ x 0, x 2 0, x 3 0, x A tabela III.2 é ncalmente obtda, atavés do cálculo das soluções báscas efcentes que optmzam ndvdualmente cada função objectvo. Tabela III.2 Soluções extemas efcentes. Maxmza f Maxmza f 2 Maxmza f 3 Solução Solução Solução Numa fase ncal, o AD possu gealmente eduzda nfomação sobe o poblema. Suponhamos que o AD aceta toleâncas numecamente guas a 30 em elação aos melhoes valoes atngdos po cada um dos objectvos nas soluções efcentes detemnadas anteomente (valoes na dagonal da tabela de "pay-off" mostada na tabela III.2), e admte toleâncas de 0%, 40% e 20% nos lados detos da pmea, segunda e tecea estções ((c), (c2) e (c3)), espectvamente. Os lmtes utlzados na defnção das funções membo assocadas aos objectvos e às estções dfusas encontam-se na tabela III.3. 2 Este poblema lustatvo, o qual seá também usado no capítulo segunte, já fo estudado pomenozadamente em (Antunes, 99), utlzando técncas nteactvas de análse de sensbldade. 70

85 III.4 - Uma metodologa nteactva de PLMO onde elações matemátcas ntevenentes são dfusas Tabela III.3 Lmtes utlzados na defnção das funções membo ntevenentes. Funções objectvo Restções funconas f f 2 f 3 c c2 c3 [ 36, 66 ] [ 20, 50 ] [ 45, 75 ] [ 60, 66 ] [ 60, 84 ] [ 50, 60 ] Aplcando a técnca de pogamação paamétca, a cada uma das funções objectvo soladamente, na egão delmtada pelas estções de não negatvdade (das vaáves de decsão) e pelo conjunto de estções: 3x + x 2 + 2x 3 + x α x x 2 + 2x 3 + 4x α -x + 5x 2 + x 3 + 2x α 2x + x 2 + 4x 3 + 3x α 3x + 4x 2 + x 3 + 2x α x + 2x 2 + 3x 3 + 4x α α [0, ] são calculadas tês soluções dfusas de compomsso, analtcamente dependentes do nível de satsfação α. Os valoes de α lmtes dos ntevalos anteomente consdeados (ntevalos paa os quas as bases óptmas coespondentes se mantêm) são odenados. As caacteístcas destas soluções dfusas de compomsso encontam-se desctas na tabela III.4-a, III.4-b e III.4-c, onde s_fk (k=, 2, 3) e s_c (=, 2, 3) são as vaáves folga assocadas espectvamente à k-ésma função objectvo, e à -ésma estção. Tabela III.4-a Solução de compomsso : Funções objectvo Restções funconas f f 2 f 3 c c2 c3 x = α α α α 66-6α 84-24α α x 2 = α x 3 = α [6.88, 58.03] [20, 23.09] [45, 48.09] [66, 65.38] [84, 8.53] [56.59,, 58.97] x 4 = α s_f= α s_c3= α 0 α x = α α α α α α α x 2 = α x 3 = α [52.56, 43.95] [24.98, 27.95] [49.98, 52.95] [59.79, 5.0] [80.0, 77.64] [58.34, 57.35] x 4 = α s_f= α s_c= α α

86 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Tabela III.4-b Solução de compomsso 2: Funções objectvo Restções funconas f f 2 f 3 c c2 c3 x = α α α α α α 60-0α x 2 = α x 4 = α [36, 43.8] [4.43, 30.6] [45, 52.8] [50.04, 49.63] [64.85, 78.25] [60, 57.6] s_f2= α s_c= α s_c2= α 0 α x = α α α α α α α x 2 = α x 3 = α [43.88, 43.95] [28.6, 27.95] [52.88, 52.95] [50.88, 5.0] [77.70, 77.64] [57.37, 57.35] x 4 = α s_f2= α s_c= α α Tabela III.4-c Solução de compomsso 3: Funções objectvo Restções funconas f f 2 f 3 c c2 c3 x = α α α α α α 60-0α x 2 = α x 4 = α [36, 37.99] [20, 2.99] [75.52, 70.22] [44.85, 45.98] [83.03, 82.4] [60, 59.34] s_f3= α s_c= α s_c2= α 0 α x = α α α α α α α x 2 = α x 3 = α [39.48, 43.95] [23.48, 27.95] [65.90, 52.95] [47.24, 5.0] [8.2, 77.64] [58.84, 57.35] x 4 = α s_f3= α s_c= α α Nestas tabelas estão contdos, paa cada uma das gamas admssíves paa α (ntevalos nos quas as bases óptmas coespondentes se mantêm), os valoes da solução dfusa de compomsso (em função de α), os valoes atngdos pelos objectvos e pelas estções nessa solução (em função de α), e os valoes atngdos pelos objectvos e pelas estções nos coespondentes lmtes das gamas admssíves de α. 72

87 III.4 - Uma metodologa nteactva de PLMO onde elações matemátcas ntevenentes são dfusas Se o AD não estve anda satsfeto com as soluções de compomsso obtdas, pode altea as funções membo e detemna novas soluções dfusas de compomsso ou, paa cada um dos valoes lmte do nível de satsfação α pevamente calculados, pode efectua um estudo pogessvo e selectvo do compotamento de váas soluções dfusas efcentes no dagama paamétco Λ (e/ou no espaço dos objectvos). Suponhamos que o AD, paa cada um dos valoes lmte de α pevamente detemnados, deseja atbu pondeações dfeentes aos objectvos e pesqusa os dagamas paamétcos, de modo a obte um melho conhecmento da egão efcente em ambente dfuso (tabelas III.5 a III.9, e fguas III. a III.5). A cada egão de ndfeença nos dagamas paamétcos epesentados nas fguas III.(a) a III.5(a) está assocada uma solução extema efcente, detemnada optmzando uma soma pondeada das funções objectvo na egão admssível consdeada paa cálculo das soluções dfusas de compomsso anteoes. Com α = 0.0 foam encontadas as sete soluções extemas efcentes epesentadas na fgua III., cujas caacteístcas se descevem na tabela III.5. Tabela III.5 Soluções A. α = Solução f f 2 f 3 x B L A x =2.7, x 2 =9.68, x 3 =7.54, x 4 =0.6, s_f=25.88, s_c3= A x =6.5, x 2 =6.9, x 4 =0.28, s_f2=2.43, s_c=5.96, s_c2= A x =5.2, x 2 =3.33, x 4 =7.03, s_f3=30.52, s_c=2.5, s_c2= A x =.79, x 2 =8.7, x 4 =7.97, s_f=5.52, s_f2=5.48, s_c= A x =2, x 2 =9, x 3 =6, x 4 =3, s_f=24, s_f2= A x =0.25, x 2 =0.75, x 3 =7.75, x 4 =.25, s_f=22.25, s_f3= A x =5.6, x 2 =3.33, x 4 =6.93, s_f=.07, fs_f3=29.93, s_c= (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos 22 Fgua III. α = 0 (soluções A). 22 As etquetas pesentes nas pojecções f -f 2 no espaço dos objectvos coespondem à dentfcação da solução/valo de f 3. 73

88 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Paa α = foam encontadas as ses soluções extemas efcentes da fgua III.2, desctas na tabela III.6. Tabela III.6 Soluções B. α = Solução f f 2 f 3 x B L B x =.26, x 2 =9.6, x 3 =7.28, x 4 =.45, s_f=2.4, s_c3= B x =7.5, x 2 =7.0, x 4 =9.54, s_f2=6.3, s_c=5.67, s_c2= B x =6.5, x 2 =2.45, x 3 =0, x 4 =7.07, s_f3=23.23, s_c= B x =0.96, x 2 =8.44, x 4 =7.87, s_f=.22, s_f2=2.02, s_c= B x =.20, x 2 =9.37, x 3 =6.74, x 4 =2.30, s_f=20.74, s_f2= B x =0.57, x 2 =9.99, x 3 =7.36, x 4 =.67, s_f=20.2, s_f3= (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua III.2 α = (soluções B). Compaando os dagamas paamétcos Λ das fguas III.(a) e III.2(a) pode conclu-se que as egões de ndfeença coespondentes às soluções efcentes A3 e A7 ão junta-se e da ogem à egão de ndfeença assocada à solução efcente B3, ou seja, o conjunto de pesos que com α = 0.0 ognava as soluções dfusas efcentes A3 e A7, com α = apenas gea a solução efcente B3, solução esta que é degeneada, uma vez que x 3 = 0, mas estável em elação à vaação dos pesos do que as soluções A3 e A7 e possu um meno valo paa a dstânca de Tchebycheff à solução deal. As cnco soluções extemas efcentes encontadas com α = estão epesentadas na fgua III.3 e desctas na tabela III.7. Compaando os dagamas paamétcos Λ das fguas III.2(a) e III.3(a) obtêm se também algumas conclusões nteessantes. A egão de ndfeença coespondente à solução dfusa efcente B3, que como efemos anteomente é degeneada, apaece agoa dvdda em duas: a coespondente à solução efcente C3 e a coespondente à solução efcente C5. Emboa estas duas soluções sejam menos estáves em elação à vaação dos pesos, apesentam uma meno dstânca de Tchebycheff. Po outo lado, as egões de ndfeença coespondentes às soluções efcentes B, B5 e B6 vão junta-se, ognando a egão de ndfeença coespondente à solução efcente C, solução esta que é degeneada. A solução extema efcente C é mas estável em elação à vaação dos pesos e tem meno dstânca de Tchebytcheff do que B, B5 e B6. 74

89 III.4 - Uma metodologa nteactva de PLMO onde elações matemátcas ntevenentes são dfusas Tabela III.7 Soluções C. α = Solução f f 2 f 3 x B L C x =0.75, x 2 =9.58, x 3 =7.5, x 4 =.9, s_f=8.94, s_c= C x =7.50, x 2 =7.46, x 4 =9.4, s_f2=3.49, s_c=5.5, s_c2= C x =6.60, x 2 =.89, x 3 =0.22, x 4 =6.99, s_f3=8.94, s_c= C x =0.5, x 2 =8.59, x 4 =7.82, s_f=8.84, s_f2=0.0, s_c= C x =6.72, x 2 =.75, x 4 =7.9, s_f2=0.63, s_f3=8.3, s_c= (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua III.3 α = (soluções C). Tabela III.8 Soluções D. α = Solução f f 2 f 3 x B L D x =8.88, x 2 =9.44, x 3 =2., x 4 =5.88, s_f=2.98, s_c= D x =8.80, x 2 =9.5, x 3 =0, x 4 =7.63, s_f2=2.98, s_c= D x =8.22, x 2 =9.80, x 3 =.02, x 4 =6.68, s_f3=2.98, s_c= (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua III.4 α = (soluções D). 75

90 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Quando α = (fgua III.4 e tabela III.8) as egões de ndfeença coespondentes às soluções efcentes C2, C4 e C5 vão junta-se na egão de ndfeença assocada à solução extema efcente D2, como pode deduz-se pela nspecção vsual dos dagamas paamétcos Λ das fguas III.3(a) e III.4(a). A solução efcente D2 é mas estável em elação à vaação dos pesos do que as soluções efcentes C2, C4 e C5. Fnalmente, paa α = fo encontada apenas uma solução extema efcente (degeneada, s_f=0), E, epesentada na fgua III.5 e descta na tabela III.9. A egão de ndfeença assocada à solução efcente E coesponde à junção das anteoes egões de ndfeença assocadas às soluções efcentes D, D2 e D3 (dagamas paamétcos Λ das fguas III.4(a) e III.5(a)) e, como ea de espea, possu dstânca de Tchebycheff nula (uma vez que é a solução deal nesta stuação). A solução efcente E é mas estável em elação à vaação dos pesos do que as soluções efcentes Tabela III.9 Solução E. α = Solução f f 2 f 3 x B L E x =8.53, x 2 =9.4, x 3 =.7, x 4 =6.62, s_f=0, s_c= (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua III.5 α = (solução E). Paa as funções membo consdeadas, todas as soluções calculadas encontam-se foa da egão admssível ígda ognal do poblema. Além dsso, quanto mao o valo do nível de satsfação α dos objectvos e estções dfusas agegadas, mas póxmas da egão admssível ígda ognal do poblema se encontam as soluções obtdas e menoes são as dstâncas de Tchebycheff à solução deal. A análse anteomente ealzada pemte-nos estuda a "tajectóa" e a establdade das soluções e das bases efcente obtdas em função da vaação de α. Suponhamos que, neste momento, o AD está nteessado em mante a dfusão defnda anteomente paa as estções, mas deseja que as toleâncas coespondentes a todos os objectvos sejam dmnuídas paa 20. As tês soluções dfusas de compomsso, analtcamente dependentes do nível de satsfação α e desctas nas tabelas III.0(a) a III.0(c), foam obtdas aplcando a técnca 76

91 III.4 - Uma metodologa nteactva de PLMO onde elações matemátcas ntevenentes são dfusas de pogamação paamétca a cada um dos objectvos soladamente, na egão delmtada pelas estções de não negatvdade e po: 3x + x 2 + 2x 3 + x α x x 2 + 2x 3 + 4x α -x + 5x 2 + x 3 + 2x α 2x + x 2 + 4x 3 + 3x α 3x + 4x 2 + x 3 + 2x α x + 2x 2 + 3x 3 + 4x α α [0, ] Tabela III.0-a Solução de compomsso : Funções objectvo Restções funconas f f 2 f 3 c c2 c3 x = α 47-67α α α α 84-24α 60-0α x 2 = α x 3 = α [47, 46.44] [30, 30.7] [55, 55.7] [52.59, 52.03] [84, 83.79] [60,, 59.92] x 4 = α s_f= α s_c= α 0 α x = α α α α α α α x 2 = α x 4 = α [46.25, 46.20] [30.20, 30.2] [55.20, 55.2] [5.93, 5.92] [83.58, 83.53] [59.90, 59.89] s_f= α s_c= α s_c2= α α Tabela III.0-b Solução de compomsso 2: Funções objectvo Restções funconas f f 2 f 3 c c2 c3 x = α α α α α α 60-0α x 2 = α x 4 = α [46, 46.2] [30.57, 30.2] [55, 55.2] [5.96, 5.92] [83.5, 83.53] [60, 59.90] s_f2= α s_c= α s_c2= α 0 α

92 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Tabela III.0-c Solução de compomsso 3: Funções objectvo Restções funconas f f 2 f 3 c c2 c3 x = α α α α α α 60-0α x 2 = 0-0α x 4 = α [46, 46.2] [30, 30.2] [55.82, 55.20] [5.8, 5.92] [83.64, 83.53] [60, 57.6] s_f3= α s_c= 4.8-6α s_c2= α 0 α Os valoes de α lmtes dos ntevalos agoa obtdos (ntevalos paa os quas as bases óptmas coespondentes se mantêm) são odenados po odem cescente. Se o AD petende anda possegu a pesqusa, pode altea as funções membo e detemna novas soluções dfusas de compomsso ou pode faze uma pesqusa nos dagamas paamétcos, paa cada um dos valoes lmte das gamas de establdade de α. Tabela III. Soluções A. α = Solução f f 2 f 3 x B L A x =9.73, x 2 =9.93, x 3 =0.22, x 4 =7.44, s_f=.0, s_c= A x =9.49, x 2 =9.8, x 4 =7.72, s_f2=0.57, s_c=4.04, s_c2= A x =9.46, x 2 =0.0, x 4 =7.64, s_f3=0.82, s_c=4.8, s_c2= A x =9.72, x 2 =9.90, x 4 =7.62, s_f=0.69, s_f2=0.3, s_c= A x =9.6, x 2 =0.0, x 4 =7.6, s_f=0.4, fs_f3=0.6, s_c= (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua III.6 α = 0 (soluções A). Paa α = 0.0 foam encontadas as cnco soluções extemas efcentes epesentadas na fgua III.6 e desctas na tabela III.. Quando α = obtemos as tês soluções extemas efcentes epesentadas na fgua III.7 e desctas na 78

93 III.4 - Uma metodologa nteactva de PLMO onde elações matemátcas ntevenentes são dfusas tabela III.2. Paa α = é calculada a solução extema efcente da fgua III.8 descta na tabela III.3. Tabela III.2 Soluções B. α = Solução f f 2 f 3 x B L B x =9.64, x 2 =9.92, x 4 =7.6, s_f=0.27, s_c=3.92, s_c2=0 0.5 B x =9.54, x 2 =9.88, x 4 =7.65, s_f2=0. 0, s_c=4.02, s_c2= B x =9.54, x 2 =9.92, x 4 =7.64, s_f3=0. 5, s_c=4.05, s_c2= (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua III.7 α = (soluções B). Compaando os dagamas paamétcos Λ das fguas III.6(a) e III.7(a) constatamos que as egões de ndfeença assocadas às soluções efcentes A, A4 e A5 vão junta-se ognando a egão de ndfeença assocada à solução efcente B. Tabela III.3 Solução C. α = Solução f f 2 f 3 x B L C x =9.56, x 2 =9.90, x 4 =7.64, s_f=0, s_c=4.02, s_c2= (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua III.8 α = (solução C). 79

94 Capítulo III - Pogamação lnea multobjectvo dfusa: algumas abodagens Uma conclusão smla é obtda se compaamos os dagamas paamétcos Λ das fguas III.7(a) e III.8(a). As egões de ndfeença assocadas às soluções efcentes B, B2 e B3 vão junta-se ognando a egão de ndfeença assocada à únca solução efcente detemnada com α = (solução C). III.4.4 Consdeações fnas Nesta secção fo detalhadamente exposta uma abodagem nteactva de PLMO no domíno dfuso, a qual fo computaconalmente mplementada como pate cental de um SAD. O objectvo pncpal do sstema consste em possblta ao AD uma feamenta flexível, po ntemédo da qual seja possível adqu, de um modo pogessvo e selectvo, nfomação elevante sobe o conjunto de soluções dfusas efcentes, ctca os esultados que vão sendo obtdos e cudadosamente consdea dstntas stuações, assumndo as suas pefeêncas um papel actvo no pocesso de decsão, de foma a que possa se tomada uma decsão bem fundamentada. A análse é baseada na decomposção do dagama paamétco (dos pesos) em egões de ndfeença assocadas às soluções dfusas efcentes, usando utensílos gáfcos nteactvos bastante útes no dálogo com o AD. A análse nteactva popoconada ao AD pela feamenta gáfca constuída apesenta-se bastante ntutva e pouco exgente no que dz espeto às nfomações peddas ao AD. O estudo compaatvo dos dfeentes dagamas paamétcos obtdos, os quas vaam em função das gamas admssíves paa α, pemte analsa como as dfeentes soluções efcentes (e as coespondentes bases) evoluem, de modo a se possível conhece a foma da egão dfusa efcente, assm como estuda os compomssos que devem se fetos ente os váos objectvos e estções dfusas ntevenentes. De salenta que, nos estudos efectuados, a pesqusa de soluções efcentes não está lmtada a vétce efcentes do poledo admssível ncal, a menos que todas as estções sejam não dfusas. Dada a dmensão do poblema lustatvo estudado, a pesqusa exaustva dos váos dagamas paamétcos não mplcou um esfoço computaconal elevado. No entanto, em poblemas eas não se justfca, em geal, o completo peenchmento do dagama paamétco, pos podem exst egões neste que o AD não manfeste nteesse em pesqusa, que po coespondeem a soluções muto semelhantes às assocadas a egões de ndfeença vznhas já conhecdas, que po coespondeem a soluções que apesentam caacteístcas poes, de acodo com a estutua de pefeêncas do AD, em elação a outas já pesqusadas. O cálculo de todos os vétces não domnados exga um esfoço computaconal consdeável e obgaa a uma sobecaga do esfoço cogntvo po pate do AD, a menos que a confguação da egão não domnada seja tal que possua poucos pontos extemos. A vesão actual está vocaconada paa poblemas com duas ou tês funções objectvo, o que possblta, do ponto de vsta cogntvo, ta patdo de feamentas gáfcas bastante útes no dálogo com o AD. Se o númeo de funções objectvo fo supeo a tês, a nfomação apesentada é essencalmente numéca o que tona a sua 80

95 III.4 - Uma metodologa nteactva de PLMO onde elações matemátcas ntevenentes são dfusas análse mas dfícl e aumenta o esfoço cogntvo exgdo ao AD. O dálogo com o AD também se tona menos ntutvo. 8

97 Capítulo IV Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos Este capítulo desceve o desenvolvmento de técncas nteactvas de tatamento de nceteza em poblemas de pogamação lnea multobjectvo (Boges e Antunes, 2000). No estudo efectuado, os coefcentes das funções objectvo e dos lados detos das estções funconas do modelo ognal, assm como os coefcentes das funções objectvo e da matz tecnológca assocados a uma nova vaável de decsão a consdea, são defndos po númeos eas dfusos tangulaes, paa os quas pode se dfeente a lagua (ou ampltude - spead ) à deta e à esqueda do valo cental c M (fgua IV.). Estes númeos dfusos são denotados po c ~ = (c L, c M, c R ), e as coespondentes funções membo caactezadas como apesentado segudamente: µ c ~ (x) = 0,se x c (IV.) ( x -cl ) ( c -c ) M ( cr - x) ( c -c ) R 0 L M,se,se c c L M L,se x = c,se x c < x < c M < x < c O valo cental c M enconta-se assocado ao nível de petença (ou de satsfação) máxmo,, e denomna-se valo modal de c ~ ; c M -c L coesponde à lagua do lado R M R

98 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos esquedo e c R -c M à lagua do lado deto da função membo. c ~ seá tanto mas dfuso quanto maoes foem os valoes de c M -c L e c R -c M. µ c ~ 0 c L c M c R Fgua IV. Função membo do númeo eal dfuso tangula c ~ = (c L, c M, c R ). Como os valoes com mao nível de petença são os que têm mas possbldade de ocoe, os valoes modas (c M ) dos númeos eas dfusos tangulaes são consdeados como aos paâmetos ígdos (ncas) do modelo. As técncas nvestgadas foam mplementadas como pate cental de um SAD, que tem po base o método TRIMAP (Clímaco e Antunes, 987, 989) no cálculo das soluções efcentes do poblema. O objectvo pncpal consste em possblta ao AD uma vsualzação dnâmca das alteações ocodas nas váas soluções báscas não domnadas pesqusadas duante o estudo nteactvo, com a vaação contínua dos níves de petença assocados às funções membo dos paâmetos dfusos. O AD pode também sabe quas das soluções báscas não domnadas calculadas é possível alcança (ou seja, se stuam na fontea efcente em ambente dfuso), se o nível de petença das funções membo consdeadas fo de pelo menos α 2. O estudo pode se tão exaustvo quanto o AD deseje. Duante a análse nteactva o AD pode eve as suas pefeêncas ncas e exploa novas decções, modfcando as funções membo consdeadas po ntemédo da alteação de alguns dos valoes de c L e/ou c R dos coefcentes dfusos (e também dos valoes de c M da nova vaável de decsão a consdea). O estudo temna quando o AD acha que conhece o sufcente sobe o conjunto de soluções dfusas do poblema em análse, de modo a pode toma uma decsão bem nfomada. A abodagem apesentada basea-se na análse da decomposção do dagama paamétco dos pesos (Λ) em egões de ndfeença coespondentes a soluções báscas não domnadas, possbltando um estudo compaatvo das alteações, em foma e x Tal como menconado anteomente, com a mplementação computaconal ealzada petendeu-se consttu uma base de expementação das váas metodologas estudadas, tendo sempe em mente fonece ao AD capacdades vsuas apelatvas de nteacção com os algotmos. É fonecdo um ambente opeaconal, no qual o AD (em geal auxlado po um analsta) assume o papel de conduto no pocesso de decsão, que ncta à eflexão, à exploação, ao sug de novas pstas e pecepções, pemtndo ao AD uma compeensão mas pofunda e selectva das caacteístcas do poblema em análse, a cítca aos esultados que vão sendo obtdos e a consdeação cudadosa de detemnadas stuações, de modo a possblta a evolução da sua estutua de pefeêncas. Este pogama fo constuído utlzando o complado C/C++ da Boland vesão 5.0 em ambente Wndows 95/98, tendo sdo apovetados alguns módulos de cálculo da mplementação descta no capítulo anteo (secção III.4). Com a fnaldade de ultapassa as lmtações de memóa exstentes anteomente, fo ealzada a coespondente actualzação num complado mas ecente, Mcosoft Vsual Studo.NET 2003 em ambente WINDOWS XP. 2 O estudo das soluções báscas não domnadas que se stuam na fontea efcente em ambente dfuso, se o nível de petença das funções membo analsadas fo de pelo menos α, não fo consdeado em (Boges e Antunes, 2000). 84

99 IV. - O funconamento da abodagem nteactva poposta tamanho, vefcadas nas egões de ndfeença assocadas que às soluções báscas ncalmente calculadas que às novas soluções báscas que entetanto foam pesqusadas em ambente dfuso. As novas soluções báscas não domnadas em ambente dfuso são obtdas usando o método smplex ou dual-smplex, a pat de um quado smplex multobjectvo assocado a uma solução básca não domnada pevamente calculada em ambente ígdo, e selecconando um conjunto de pesos petencente a zonas de Λ não peenchdas em ambente dfuso com egões de ndfeença, no dagama paamétco em análse (Boges e Antunes, 2000). Na secção segunte deste capítulo é feta uma descção metodológca da abodagem nteactva de PLMO em ambente dfuso poposta. Seão expostas sepaadamente as stuações em que são dfusos os coefcentes das funções objectvo, dos lados detos das estções, e os coefcentes assocados a uma nova vaável de decsão a consdea. Na secção 2 seá usado um exemplo paa lusta mas detalhadamente o funconamento da metodologa exposta. Emboa o exemplo aqu estudado possua apenas 3 estções funconas, 4 vaáves de decsão e 3 funções objectvo, é sufcentemente co que paa compeende o funconamento da abodagem poposta, que paa possblta uma análse compaatva das alteações vefcadas nas váas egões de ndfeença, coespondentes às soluções báscas não domnadas, do dagama paamétco Λ. Este exemplo fo sumaamente analsado em (Boges e Antunes, 2000); po lmtações de espaço mpostas pela publcação, apenas fo aí bevemente lustada a análse com coefcentes das funções objectvo dfusos. Um estudo mas exaustvo desta stuação, assm como a análse dos lados detos das estções funconas dfusos e da ntodução duma nova vaável de decsão com coefcentes dfusos seá apesentado nas secções 2., 2.2 e 2.3 deste capítulo, espectvamente. Na secção 3 deste capítulo seá feta uma análse cítca à metodologa poposta, assm como efedas algumas afndades possíves ente esta abodagem e a exposta na secção 4 do capítulo anteo. IV. O funconamento da abodagem nteactva poposta A fgua IV.2 mosta, em temos genécos, o funconamento da abodagem nteactva de PLMO dfusa poposta. Nesta abodagem começa-se po efectua um estudo do conjunto de soluções não domnadas paa o poblema em ambente ígdo atavés do método TRIMAP. Em geal, não é necessáo calcula no níco todos os vétces não domnados em ambente ígdo paa o poblema em análse, mas apenas detemna um conjunto de soluções báscas dspesas e sufcentemente dstntas, de modo a que o AD consga pecebe as caacteístcas essencas da fontea não domnada do poblema em ambente ígdo. Caso se moste necessáo, é sempe possível duante a análse do poblema em ambente dfuso calcula novas soluções báscas não domnadas paa o poblema ígdo ncal. 85

100 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos Fgua IV.2 Abodagem nteactva paa PLMO, onde os paâmetos são defndos po númeos eas dfusos. 86

101 IV. - O funconamento da abodagem nteactva poposta De seguda, é possível efectua um estudo nteactvo, tão exaustvo quanto o AD deseje, das alteações ocodas no conjunto de soluções báscas efcentes em ambente dfuso, consdeando os coefcentes das funções objectvo, os lados detos das estções funconas, ou os coefcentes assocados a uma nova vaável de decsão a ntoduz no modelo, defndos po númeos eas dfusos tangulaes. O estudo ta patdo da análse compaatva dos váos gáfcos (especalmente das decomposções dos dagamas paamétcos Λ em egões de ndfeença assocadas às soluções báscas efcentes detemnadas) e dos valoes numécos apesentados ao AD, paa dfeentes valoes dos níves de petença das funções membo e/ou paa dfeentes funções membo assocadas aos paâmetos dfusos. Quando o AD consdea que eunu a nfomação sufcente sobe o conjunto de soluções dfusas do poblema, de acodo com as suas convcções e pefeêncas evolutvas, de modo a pode toma uma decsão bem fundamentada, o pocesso nteactvo temna. IV.. Coefcentes dfusos nas funções objectvo Consdeemos que o valo modal (c M ) dos númeos eas dfusos tangulaes assocados aos váos coefcentes das funções objectvo coespondem aos paâmetos ígdos (ncas) do modelo, e que o valo do nível de petença das funções membo assocadas a esses coefcentes, y, é comum a todas as funções objectvo. Dado que, paa dfeentes valoes de y, apenas os coefcentes da matz das funções objectvo C ~ vaam, então a egão admssível mantém-se nalteada, ou seja, a condção de admssbldade das soluções báscas efcentes ncalmente calculadas nunca é posta em causa. No entanto, a matz dos custos eduzdos, W= C ~ B B - N- C ~ N, sofe alteações com a vaação do valo de y e, consequentemente, a egão efcente pode também sofe alteações. Se o valo do nível de petença das funções membo assocadas aos coefcentes fo contnuamente alteado, as egões de ndfeença, nos dfeentes dagamas paamétcos Λ obtdos, assocadas às váas soluções báscas efcentes do poblema ão vaa contnuamente em tamanho e foma, podendo mesmo acontece que zonas anteomente peenchdas com egões de ndfeença dexem de o esta e vce-vesa. Selecconando conjuntos de pesos em zonas não peenchdas com egões de ndfeença no dagama paamétco Λ coespondente a um detemnado valo de y, novas soluções báscas efcentes podem se calculadas. Estas novas soluções são obtdas usando o método smplex a pat de uma solução efcente selecconada pelo AD de ente as ncalmente calculadas consdeando os coefcentes ígdos (valoes de c M nas funções objectvo). As egões de ndfeença assocadas a uma dada solução básca efcente calculada podem mesmo desapaece, sgnfcando neste caso que essa solução básca se tonou não efcente. 87

102 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos IV..2 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas Tal como anteomente, os coefcentes dos lados detos das estções são defndos po númeos eas dfusos tangulaes, coespondendo o valo c M aos paâmetos ígdos do modelo, e o valo do nível de petença das funções membo assocadas a esses coefcentes, t, é comum a todas as estções. Alteando os valoes de t o vecto b ~ sofe alteações e, consequentemente, a egão admssível pode se alteada. Se paa uma solução básca efcente, x B =B - b ~, alguma(s) das vaáves de decsão toma(em) valo(es) negatvo(s), então essa solução básca tona-se não admssível. Não sendo os coefcentes das funções objectvo alteados com esta vaação, então, paa uma dada base efcente, a matz dos custos eduzdos, W=C B B - N-C N, nunca é alteada com a vaação do valo de t e, como tal, a condção de optmaldade (condção de admssbldade do poblema dual) nunca é posta em causa. Se o valo do nível de petença das funções membo assocadas aos coefcentes dos temos ndependentes fo contnuamente alteado, então as egões de ndfeença nos dfeentes Λ obtdos, assocadas às váas soluções báscas efcentes do poblema não ão vaa de manea contínua (em tamanho e foma), como aconteca anteomente paa os coefcentes das funções objectvo, mas vaaão buscamente, apaecendo e desapaecendo, confome as soluções báscas assocadas aos pontos extemos efcentes se tonam admssíves e não admssíves, espectvamente, devdo a alteações em x B =B - b ~. Selecconando conjuntos de pesos em zonas não peenchdas com egões de ndfeença no dagama paamétco Λ, coespondente a um detemnado valo de t, novas bases efcentes podem se calculadas usando o método dual smplex a pat da solução efcente ncalmente calculada paa aquele conjunto de pesos consdeando os coefcentes ígdos (valoes de c M paa os coefcentes dos lados detos das estções). Se o conjunto de pesos selecconado coesponde a uma zona do dagama paamétco anda não peenchda em ambente ígdo com egões de ndfeença, é sugedo ao AD o cálculo pévo dessa solução básca efcente, consdeando os paâmetos ígdos (ncas) do modelo. IV..3 Intodução de nova vaável de decsão com coefcentes dfusos Consdeemos que se petende ntoduz no modelo uma nova vaável de decsão, x nova. Sejam A ~. nova e C ~. nova os vectoes dos coefcentes na matz tecnológca e na matz das funções objectvo coespondentes à nova vaável, espectvamente. Cada um dos coefcentes destes vectoes é defndo po um númeo eal dfuso tangula. A ntodução de uma nova vaável de decsão num poblema de pogamação lnea multobjectvo sgnfca a cação de uma nova dmensão no espaço das vaáves 88

103 IV. - O funconamento da abodagem nteactva poposta de decsão. O poblema de pogamação lnea multobjectvo (II.) toma agoa a segunte foma: max [C C ~. nova ] [x x nova ] T (IV.2) s.a [A A ~. nova x 0, x nova 0 ] [x x nova ] T b Seja W. nova = C B B - A ~. nova - C ~. nova o vecto dos custos eduzdos coespondente à nova vaável de decsão; uma base efcente B pemanece efcente em elação ao poblema aumentado (IV.2) se e só se o sstema λ T W 0 (IV.3a) λ Λ λ T W. nova 0 (IV.3b) fo coeente (Antunes e Clímaco, 992), ou seja, a base B pemanece efcente se houve pelo menos um ponto no dagama paamétco que satsfaça (IV.3a) e (IV.3b). A nova vaável de decsão pode se classfcada, em elação a uma dada solução efcente anteomente calculada, do segunte modo: x nova é não básca não efcente. A ntodução da nova vaável no modelo não á afecta a solução efcente anteomente selecconada, poque a nova estção (IV.3b) adconada não é actva elatvamente à egão de ndfeença, defnda po (IV.3a), no dagama paamétco Λ. x nova é não básca efcente. Paa uma solução efcente selecconada, a nova estção (IV.3b) ntesecta a egão de ndfeença defnda po (IV.3a), no dagama paamétco Λ. Ou seja, a egão defnda po (IV.3a) é pacalmente cotada po (IV.3b). Isto sgnfca que esta solução contnuou efcente, emboa menos estável no tocante à vaação dos pesos (uma vez que a coespondente áea da egão de ndfeença em Λ dmnuu), mas algumas das aestas e faces às quas esta solução petenca dexaam de se efcentes paa o poblema aumentado (dado que apenas pate da anteo egão de ndfeença em Λ se n+ mantém peenchda po esta solução efcente em R ). A nova dmensão, no espaço das vaáves de decsão, levou ao apaecmento de novas aestas efcentes que unem a solução efcente selecconada a novas soluções báscas efcentes (do poblema aumentado), assm como, possvelmente, novas faces efcentes. Pode se mpotante conhece as novas soluções báscas efcentes que foam cadas devdo à nova dmensão, bem como as novas aestas e faces efcentes às quas a solução efcente n+ anteomente calculada passou a petence e/ou dexou de petence em R. As novas soluções báscas efcentes, que ão ocupa no dagama paamétco Λ a zona da egão de ndfeença anteomente peenchda pela solução selecconada do poblema ognal e agoa não peenchda no poblema aumentado, teão como vaável básca x nova (dado que nenhuma das soluções 89

104 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos n extemas não efcentes em R se pode tona efcente em R ). Pode se nteessante efectua uma pesqusa pogessva e selectva na zona da egão de ndfeença de Λ agoa não peenchda (e na zona ccundante se esta também não estve peenchda) e calcula as novas soluções báscas efcentes. x nova deve se tonada básca. Em elação à solução efcente selecconada, a nova estção (IV.3b) foma juntamente com as estções defndas po (IV.3a), um sstema não coeente. Isto sgnfca que esta solução efcente, assm como as aestas que a ela unam e as faces às quas petenca, dexaam de se efcentes paa o poblema aumentado. As novas soluções báscas efcentes que ão ocupa no dagama paamétco Λ a zona da egão de ndfeença coespondente à solução efcente anteomente calculada teão como vaável básca x nova. Uma pesqusa pogessva e selectva desta zona de Λ (e da zona ccundante se esta também não estve peenchda), possbltaá calcula novas soluções báscas efcentes do poblema aumentado. Dado que os coefcentes na matz tecnológca e na matz das funções objectvo da nova vaável são númeos eas dfusos, a condção (IV.3b) á depende analtcamente dos valoes das funções membo assocadas aos númeos dfusos, ou seja dos níves de petença coespondentes. Consdeemos dos níves de petença dstntos (paa as funções membo coespondentes aos paâmetos dfusos): um nível de petença das funções membo assocadas aos coefcentes de C ~, c, comum a todas as funções objectvo;. nova um nível de petença das funções membo assocadas aos coefcentes de A ~, a, comum a todas as estções.. nova Paa um detemnado valo de a e de c, é sempe possível sabe como a nova vaável de decsão pode se classfcada, em elação a cada uma das soluções efcentes ncalmente calculadas. Paa cada uma das soluções efcentes ncas, basta ntesecta a nova estção (IV.3b) com a coespondente egão defnda po (IV.3a) e vefca no dagama paamétco Λ como a egão de ndfeença fo afectada: pode não te sofdo qualque alteação ou te sdo total ou apenas pacalmente cotada. Ou seja, as egões de ndfeença assocadas às soluções efcentes ncas do poblema podem se pogessvamente cotadas ou aumentadas (confome a nova estção (IV.3b) se fo deslocando), podendo mesmo, no caso lmte, desapaece ou mante a foma ncal, consoante x nova é não básca efcente, deva se tonada básca ou é não básca não efcente em elação às soluções efcentes ncas, espectvamente. O AD pode vaa dnamcamente os valoes dos níves de petença a e c e obseva no dagama paamétco Λ as alteações ocodas nas váas egões de ndfeença assocadas às soluções báscas efcentes pesqusadas. Se esses valoes foem contnuamente vaados, então as egões de ndfeença em Λ assocadas às váas soluções báscas efcentes do poblema podem se pogessvamente alteadas (devdo às alteações em W. nova = C B B - A ~. nova - C ~. nova, ou também em W=C B B - A se uma nova base com x nova vaável básca estve a se consdeada) ou podem apaece e desapaece n+ 90

105 IV. - O funconamento da abodagem nteactva poposta buscamente (quando as coespondentes soluções assocadas às bases efcentes se tonam admssíves ou não, espectvamente). Selecconando conjuntos de pesos em zonas de Λ não peenchdas com egões de ndfeença, paa o poblema aumentado com a nova vaável de decsão, novas soluções báscas efcentes podem se calculadas, usando o método smplex, a pat do quado smplex multobjectvo coespondente à solução efcente selecconada pelo AD de ente as ncalmente calculadas. Paa o caso da ntodução duma nova vaável de decsão com coefcentes dfusos foam efectuados dos tpos de estudo: uma análse exaustva paa detemnados valoes de a e c (ou seja, o estudo pomenozado de uma stuação específca) ou uma análse compaatva das alteações ocodas numa solução efcente ncal selecconada 3 (e na espectva fontea efcente ccundante), com a vaação contínua dos valoes dos níves de petença a ou c (ou seja, o estudo dnâmco de dfeentes stuações). IV..3. Análse global à ntodução de uma nova vaável de decsão Neste tpo de análse fxam-se valoes paa ambos os níves de petença das funções membo, a e c, e faz-se um pesqusa, tão exaustva quanto o AD deseje, em detemnadas zonas do dagama paamétco Λ (ou mesmo em todo o Λ, se o poblema não possu mutas soluções báscas efcentes e/ou o AD assm o deseja). Depos de nvestga o que acontece a cada uma das soluções efcentes ncalmente calculadas, o AD pode eve as soluções em elação às quas a nova vaável é não básca efcente, ou seleccona conjuntos de pesos em zonas do dagama paamétco Λ não peenchdas com egões de ndfeença e detemna novas soluções báscas efcentes. Este tpo de estudo pode se povetoso tanto numa fase ncal, de modo a se possível adqu um conhecmento mas genéco das consequêncas decoentes da ntodução da nova vaável no modelo, como depos de já se te efectuado o estudo compaatvo dnâmco das alteações ocodas numa solução selecconada paa dfeentes valoes de a e c, e se deseja efectua um estudo mas pomenozado paa valoes específcos dos níves de petença. O AD pode começa po faze uma análse deste tpo paa os valoes de a= e c=, ou seja, pode começa po ve como a ntodução da nova vaável de decsão afectaa as soluções efcentes ncalmente calculadas, se os coefcentes afectos a essa nova vaável fossem aqueles que apesentam mao nível de petença paa todas as funções membo pesentes (valoes modas c M ). 3 Duante esta análse, podem se estudadas váas soluções efcentes ncalmente calculadas se o AD deseja (com o aumento de complexdade na análse), bastando paa tal efectua o estudo compaatvo smultâneo das coespondente alteações ocodas no novo dagama paamétco Λ, com a vaação contínua dos valoes dos níves de petença a e c. Se o AD petende estuda mutas soluções ao mesmo tempo (e se estas não foem adjacentes), é de peve que a análse se tone um pouco mas complexa, dada a quantdade de soluções báscas a compaa, em especal na stuação em que o valo do nível de petença a vaa (quando a vaa, as egões de ndfeença no dagama paamétco podem não só vaa contnuamente, em foma e tamanho, mas também apaece e desapaece buscamente, devdo à espectva admssbldade). 9

106 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos IV..3.2 Análse dnâmca das alteações ocodas numa solução selecconada Se o AD se mosta nteessado nas caacteístcas de uma solução efcente específca obtda ncalmente, pode vaa contnuamente os valoes de a ou c e obseva dnamcamente as alteações ocodas no dagama paamétco Λ. A análse efectuada nesta stuação é paecda com o estudo anteomente ealzado paa o caso em que os coefcentes das funções objectvo ou dos temos ndependentes das estções eam dfusos. O AD pode não só detemna quas as gamas de vaação paa a ou c em que x nova deve se tonada básca, é não básca efcente ou é não básca não efcente em elação a cada uma das solução efcente ncalmente calculadas, como também pesqusa as novas soluções báscas efcentes paa as quas as espectvas egões de ndfeença no dagama paamétco Λ, paa o poblema aumentado, se sobepõem à egão de ndfeença ncal coespondente a uma solução básca efcente patcula selecconada de ente as soluções báscas efcentes calculadas em ambente ígdo. Se as zonas ccundantes da egão de ndfeença assocada à solução efcente selecconada paa o poblema ognal, ou das novas egões de ndfeença entetanto pesqusadas paa o poblema aumentado, no dagama paamétco Λ em análse, também se encontaem po peenche, podeá have nteesse em efectua uma pesqusa localzada (nessas zonas) de modo a detemna as novas aestas e faces efcentes às quas a solução básca efcente selecconada ou as novas soluções báscas efcentes dfusas em análse passaam a petence ou dexaam de petence. A alteação contínua dos valoes de a ou c possblta obseva dnamcamente a evolução das váas soluções báscas efcentes em estudo, assm como das váas aestas e faces efcentes atavés de um estudo compaatvo dos dfeentes dagamas paamétcos Λ obtdos. Alteação no valo de nível de petença c Na stuação em que apenas é modfcado o valo do nível de petença assocado aos coefcentes do vecto C ~. nova, c, (tomando a um valo constante) só estão a se modfcados os coefcentes coespondentes à nova vaável de decsão nas funções n+ objectvo, ou seja, em R a fontea da egão admssível assm como os espectvos pontos extemos não sofem alteações, muto emboa a egão efcente possa se alteada. Com a alteação contínua do valo do nível de petença c, as egões de ndfeença no dagama paamétco dos pesos, Λ, assocadas às soluções báscas efcentes em estudo ão altea-se contnuamente, em foma e tamanho, como aconteca no caso em que os coefcentes das funções objectvo (das vaáves de decsão ncas do modelo) eam dfusos. Alteação no valo de nível de petença a Nesta stuação, o valo do nível de petença assocado ao vecto dos coefcentes na matz tecnológca da nova vaável de decsão A ~, a, á vaa dnamcamente. nova 92

107 IV.2 - Exemplo Ilustatvo (tomando c um valo constante). Assm sendo, a fontea da egão admssível (assm n+ como os espectvos pontos extemos) em R podeá se alteada. Com a alteação contínua do valo do nível de petença a, as egões de ndfeença no dagama paamétco Λ, assocadas às soluções báscas efcentes em estudo ão não só altea-se contnuamente, em foma e tamanho, como podeão apaece e desapaece buscamente, confome as soluções báscas assocadas aos pontos extemos efcentes se tonam admssíves e não admssíves, espectvamente. IV.2 Exemplo lustatvo Paa lusta o funconamento da abodagem poposta, vamos estuda o segunte poblema de pogamação lnea multobjectvo: s.a ~ f ~ max f ~ f 2 3 (, 3, 5) x + (0,, 9) x2 + (, 2, 6) x3 + ( 2,, 5) x4 = max (0,, 4) x + ( 5,,3) x2 + (, 2, 6) x3 + (, 4, 5) x4 ( 3,, 0) x + (, 5, 8) x2 + (0,, 4) x3 + (0, 2, 4) x 2 x + x2 + 4 x3 + 3 x4 (20, 60, 80) (c) 3 x + 4 x2 + x3 + 2 x4 (45, 60, 75) (c2) x + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 (25, 50,00) (c3) x, x 2, x 3, x 4 0 Note-se que, se consdeamos apenas os valo modas c M dos númeos eas dfusos tangulaes, este poblema tansfoma-se no anteomente estudado no capítulo III. Este exemplo também já fo alvo de um estudo de análse de sensbldade em (Antunes, 99). A dea essencal da abodagem dfusa poposta não é a de efectua um estudo exaustvo, paa todo o conjunto de soluções báscas efcentes (com o coespondente peenchmento total dos váos dagamas paamétcos Λ com egões de ndfeença) e paa todos os valoes dos níves de petença. Pelo contáo, petende-se, em geal, pemt uma análse compaatva, nos váos dagamas paamétcos estudados, da evolução das soluções báscas efcentes que o AD deseje. Contudo, a análse exaustva seá efectuada ao longo de patcamente todo o exemplo, não só po questões lustatvas, mas também pelo facto de a abodagem não se te mostado computaconalmente pesada. No entanto, se po algum motvo o AD não estve nteessado em efectua um estudo exaustvo, pode dexa zonas de Λ po pesqusa ou estuda apenas alguns dos valoes dos níves de petença (po exemplo, valoes acma de um detemnado nível α). Consdeemos paa coefcentes ncas do poblema os valoes assocados ao nível de petença máxmo dos númeos eas dfusos tangulaes, ou seja, paa paâmetos ígdos do modelo os valoes modas c M. A pesqusa pogessva e selectva das otos soluções báscas não domnadas epesentadas na fgua IV.3 levou ao peenchmento total do dagama paamétco com egões de ndfeença. As 4 93

108 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos caacteístcas destas soluções extemas encontam-se desctas na tabela IV., onde sl_c, sl_c2 e sl_c3 são as vaáves folga ( slacks ) coespondentes às estções (c), (c2) e (c3), espectvamente. (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua IV.3 Soluções báscas efcentes ncas (em ambente ígdo) 4. Tabela IV. Soluções báscas efcentes ncas (em ambente ígdo). Solução f f 2 f 3 Áea (%) x B x =8.0; x 3 =6.0; sl_c3= x =4.0; x 4 =9.0; sl_c= x 2 =5.0; sl_c=45.0; sl_c3= x 4 =2.5; sl_c=22.5; sl_c2= x 2 =.667; x 4 =6.667; sl_c= x 2 =3.0; x 3 =8.0; sl_c= x =4.5; x 3 =2.5; x 4 = x =7.5; x 2 =7.0; x 3 =9.5 IV.2. Coefcentes dfusos nas funções objectvo Suponhamos que o AD se mostou patculamente nteessado nas caacteístcas da solução 8, e deseja estuda o que acontece às soluções ncalmente calculadas se os 4 A etqueta pesente nas pojecções f -f 2 no espaço dos objectvos apesentadas coesponde à: dentfcação da solução/valo de f 3. 94

109 IV.2 - Exemplo Ilustatvo coefcentes das funções objectvo pesentes foem dfusos (defndos pelos númeos dfusos tangulaes anteoes). Se o valo do nível de petença das funções membo assocadas a esses coefcentes, y, fo contínua e nteactvamente alteado 5 é possível vsualza dnamcamente as alteações, em foma e tamanho, das váas egões de ndfeença no dagama paamétco Λ. Algumas das soluções podem dexa de te assocada uma egão de ndfeença, o que sgnfca que se tonaam domnadas, e novas soluções báscas efcentes podem se pesqusadas, consdeando conjuntos de pesos em zonas de Λ não peenchdas com egões de ndfeença paa o valo do nível de petença consdeado. Tabela IV.2 Coefcentes dfusos nas funções objectvo (y= L ). Solução (y= L ) f f 2 f 3 Áea (%) Númeo de teações x B Dfuso x =8.0; x 3 =6.0; sl_c3=4.0 2 Dfuso x =4.0; x 4 =9.0; sl_c = Dfuso x 2 =5.0; sl_c=45.0; sl_c3= Dfuso x 4 =2.5; sl_c=22.5; sl_c2 = Dfuso x 2 =.667; x 4 =6.667; sl_c= Dfuso x 2 =3.0; x 3 =8.0; sl_c=5.0 7 Dfuso x =4.5; x 3 =2.5; x 4 =7.0 8 Dfuso x =7.5; x 2 =7.0; x 3 =9.5 A B Rígdo Domnada Dfuso Rígdo Domnada Dfuso x 3 =2.867; x 4 =2.857; sl_c2=4.429 x 2 =4.0; x 3 =4.0; sl_c2=30.0 Rígdo Domnada C Dfuso x 3 =5.0; sl_c2=45.0; sl_c3=5.0 Po exemplo, consdeando y= L obtemos os valoes da tabela IV.2 e os gáfcos da fgua IV.4. As áeas das egões de ndfeença, assm como os valoes das funções objectvo assocados às soluções não domnadas pevamente obtdas encontamse alteadas 6. Nesta stuação, é possível calcula 3 novas soluções extemas não domnadas, A, B e C, cujas caacteístcas se encontam também desctas na tabela IV.2. Todas estas novas soluções possuem zonas, nas espectvas egões de ndfeença no dagama paamétco dos pesos Λ, que ncalmente se encontavam peenchdas pela egão de ndfeença coespondente à solução 8. 5 Na mplementação computaconal utlzada, fo usado um ncemento de /300= paa a vaação dos valoes numécos dos níves de petença das funções membo. 6 Os valoes das vaáves de decsão coespondentes às soluções efcentes ncas apesentados nas tabelas IV.2, IV.3 e IV.4 são guas aos apesentados na tabela IV., pos a egão admssível não é alteada nesta stuação. 95

110 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua IV.4 Coefcentes dfusos nas funções objectvo (y= L ). Paa y= L obtemos os gáfcos da fgua IV.5. As soluções báscas 2, 4, 5, 7 e 8 tonam-se domnadas, uma vez que as espectvas egões de ndfeença fcam com áea nula. No tocante às soluções báscas, 3 e 6, assm como às 3 novas soluções não domnadas A, B e C (pevamente obtdas com y= L ), emboa se mantenham não domnadas, as espectvas egões de ndfeença no dagama paamétco Λ sofem vaações, em foma e tamanho, e os valoes numécos das funções objectvo assocados alteam-se (como pode se vsto na tabela IV.3). Tabela IV.3 Coefcentes dfusos nas funções objectvo (y= L ). Solução (y= L ) f f 2 f 3 Áea (%) Númeo de teações x B Dfuso x =8.0; x 3 =6.0; sl_c3=4.0 3 Dfuso x 2 =5.0; sl_c=45.0; sl_c3= Dfuso x 2 =3.0; x 3 =8.0; sl_c=5.0 A Rígdo Domnada x 3 =2.867; x 4 =2.857; sl_c2=4.429 Dfuso B Rígdo Domnada x 2 =4.0; x 3 =4.0; sl_c2=30.0 Dfuso C Rígdo Domnada x 3 =5.0; sl_c2=45.0; sl_c3=5.0 Dfuso Paa y= R (fgua IV.6 e tabela IV.4) apenas as soluções báscas 6 e 8 ncalmente obtdas em ambente ígdo se mantêm não domnadas, tendo as espectvas egões de ndfeença no dagama paamétco Λ sofdo alteações, em foma e tamanho, assm como os valoes numécos das coespondentes funções objectvo. 96

111 IV.2 - Exemplo Ilustatvo (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua IV.5 Coefcentes dfusos nas funções objectvo (y= L ). Tabela IV.4 Coefcentes dfusos nas funções objectvo (y= R ). Solução (y= R ) f f 2 f 3 Áea (%) x B 6 Dfuso x 2 =3.0; x 3 =8.0; sl_c=5.0 8 Dfuso x =7.5; x 2 =7.0; x 3 =9.5 (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua IV.6 Coefcentes dfusos nas funções objectvo (y= R ). Se alteamos contnuamente o valo do nível de satsfação y desde L até R, obtêm-se os esultados apesentados na tabela IV.5 e na fgua IV.7 ((a) a (n)). 97

112 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos (a) (y= L ) (b) (y= L ) (c) (y= L ) (d) (y=0.067 L ) (e) (y= L ) (f) (y= L ) Fgua IV.7 Análse com coefcentes das funções objectvo dfusos (contnua). 98

113 IV.2 - Exemplo Ilustatvo (g) (y= L ) (h) (y= L ) () (y= R ) (j) (y= R ) (k) (y= R ) (l) (y= R ) Fgua IV.7 Análse com coefcentes das funções objectvo dfusos (contnua). 99

114 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos (m) (y= R ) (n) (y= R ) Fgua IV.7 Análse com coefcentes das funções objectvo dfusos. Tabela IV.5 Análse com coefcentes das funções objectvo dfusos. y Soluções efcentes ncas Novas soluções efcentes () [ L ; L [, 3, 6 A, B, C () [ L ; L [, 3, 6, 8 A, B, C () [ L ; L [, 3, 6, 8, 4 A, B, C (v) [ L ; L [, 3, 6, 8, 4, 5 A, B, C (v) [ L ; L [, 3, 6, 8, 4, 5, 7 A, B, C (v) [ L ; L [, 3, 6, 8, 4, 5, 7, 2 A, B, C (v) [ L ; L [, 3, 6, 8, 4, 5, 7, 2 A, B (v) [ L ; L [, 3, 6, 8, 4, 5, 7, 2 A (x) [ L ; R [, 3, 6, 8, 4, 5, 7, 2 (x) [ R ; R [, 6, 8, 4, 5, 7, 2 (x) [ R ; R [, 6, 8, 5, 7, 2 (x) [ R ; R [, 6, 8, 7 (x) [ R ; R [ 6, 8, 7 (xv) [ R ; R ] 6, 8 Na fgua IV.8(a) e IV.8(b) encontam-se apesentados os dagamas paamétcos coespondentes espectvamente aos lmtes nfeo e supeo de y, paa os quas as novas egões de ndfeença agoa ocupadas pela solução básca 8 (em análse) dexaam de ntesecta a egão ncalmente ocupada po esta solução. De facto, estes valoes não são mas do que os lmtes mínmos e máxmos da gama admssível paa o paâmeto escala, obtdos po ntemédo de análse de sensbldade em pogamação lnea multobjectvo (Antunes e Clímaco, 992), tal que paa uma dada solução efcente selecconada pelo AD a ntesecção das egões de ndfeença do poblema petubado e não petubado é não vaza. Estes valoes podem 00

115 IV.2 - Exemplo Ilustatvo se faclmente detemnados po ntemédo de um cálculo smla ao explcado em (Antunes e Clímaco, 992). (a) (y=0.800 L ) - lmte mínmo (b) (y= R ) - lmte máxmo Fgua IV.8 Lmtes da gama admssível paa o paâmeto escala y, obtdos po análse de sensbldade em PLMO. Note-se que, os espectvos dagamas paamétcos podem não exst, sgnfcando com sso que paa um valo do nível de petença y desde L até.0000 ou desde.0000 até R espectvamente, as coespondentes egões de ndfeença em Λ nunca dexam de ntesecta a egão de ndfeença ncal assocada à solução em análse. Os esultados apesentados na fgua IV.7 e na tabela IV.5 podem se ntepetados de modo dfeente se tvemos em atenção a noção de cote de nível α de um conjunto dfuso (Zadeh, 965; Zmmemann, 987, 996). Po vezes, podeá te nteesse em sabe-se quas as soluções báscas efcentes calculadas petencem à fontea efcente do poblema dfuso, se o valo do nível de petença das funções membo consdeadas (assocadas aos coefcentes das funções objectvo), y, fo de pelo menos α. Po exemplo, consdeando um nível de petença das funções membo y de pelo menos , apenas é possível alcança as soluções báscas efcentes ncas a 8 (gamas (x) e (x) da tabela IV.5). Paa um nível de petença de pelo menos já é possível alcança também as soluções báscas efcentes A e B (gamas (v) a (x) da tabela IV.5). Mas se o nível de petença das funções membo y fo de pelo menos já é possível alcança todas as soluções detemnadas duante a análse (aos coefcentes das funções objectvo dfusos), ou seja, as soluções a 8 e A a C (gamas (v) a (x) da tabela IV.5). Uma análse equvalente pode se efectuada se algumas das funções membo assocadas aos coefcentes das funções objectvo foem alteadas, atavés da modfcação de alguns dos valoes de c L e/ou c R coespondentes. IV.2.2 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas Consdeemos que o AD também deseja analsa o compotamento das soluções báscas efcentes obtdas ncalmente em ambente ígdo, se alguns dos coefcentes dos 0

116 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos lados detos das estções funconas foem defndos pelos númeos eas dfusos tangulaes apesentados anteomente. Nesta stuação, as váas egões de ndfeença (assocadas às bases efcentes) no dagama paamétco Λ, apenas ão sofe alteações em tamanho com a vaação do nível de petença das funções membo assocadas a esses coefcentes, t. Se o valo do nível de petença das funções membo assocadas aos coefcentes dos lados detos das estções funconas, t, fo contínua e nteactvamente alteado, as váas egões de ndfeença no dagama paamétco Λ ão apaece ou desapaece buscamente, sgnfcando com sso que as soluções báscas que lhe estão assocadas se tonam, espectvamente, admssíves e não admssíves paa as funções membo consdeadas. Escolhendo conjuntos de pesos em zonas de Λ não peenchdas com egões de ndfeença paa o valo do nível de petença t consdeado, novas soluções báscas efcentes podem se pesqusadas em ambente dfuso. Se, paa as funções membo consdeadas, alteamos contnuamente o nível de petença t desde L até R obtemos os esultados apesentados nas tabelas IV.6 e IV.7 e nas fguas IV.9 a IV.7. Tabela IV.6 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00). t Bases efcentes ncas Novas bases efcentes () [ L ; L [ 3, 4, 5, 6, 8 A, B, C, D () [ L ; L [, 3, 4, 5, 6, 8 C, D, E () [ L ; R [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (v) [ R ; R [, 2, 3, 4, 5, 7 F, G (v) [ R ; R ], 3, 4, 5 F, G, C, D, E Tabela IV.7 Novas bases efcentes obtdas duante a análse com coefcentes dos lados detos das estções ~ ~ ~ funconas dfusos, consdeando b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00). Bases Áea (%) x B A (x ; x 2 ; sl_c3) B (x ; sl_c2; sl_c3) C (x ; x 2 ; x 4 ) D (x ; x 4 ; sl_c2) E (x ; x 4 ; sl_c3) F.884 (x 2 ; x 3 ; x 4 ) G (x 2 ; x 3 ; sl_c3) Nas fguas IV.0, IV.2, IV.5 e IV.7 encontam-se epesentadas as pojecções em f-f2 (espaço dos objectvos), coespondentes aos valoes de t que são extemos dos ntevalos assocados aos dagamas paamétcos Λ, espectvamente apesentados nos gáfcos das fguas IV.9 (gama () na tabela IV.6), IV. (gama () na tabela IV.6), IV.4 02

117 IV.2 - Exemplo Ilustatvo (gama (v) na tabela IV.6) e IV.6 (gama (v) na tabela IV.6). A fgua IV.3 epesenta as pojecções em f-f2, coespondentes aos valoes de t que são extemos do ntevalo onde apenas as soluções báscas efcentes (assocadas às bases) ncalmente calculadas em ambente ígdo podem se alcançadas, sto é, se mantêm admssíves (gama () na tabela IV.6 e gáfco do espaço paamétco Λ apesentado na fgua IV.3(a)). Fgua IV.9 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00) ; bases efcentes paa t [ L ; L [. (a) t= L (b) t= L Fgua IV 0 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00) ; pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos. Analsando os gáfcos das fguas IV.0, IV.2, IV.4, IV.5 e a IV.7, podemos conclu que os valoes numécos, coespondentes às soluções báscas efcentes epesentadas (assocadas às bases efcentes ncas e às novas bases efcentes apesentadas na tabela IV.7), ão vaa contnuamente com a vaação de t. Compaando as fguas IV.9 com IV. e IV.0(b) com IV.2(a), vefcamos que paa um valo de t (a aumenta) ente L e L as soluções báscas efcentes A e B se tonam não admssíves, ndo da luga às soluções báscas efcentes e E, as quas eam anteomente não admssíves. 03

118 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos Fgua IV. Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00) ; bases efcentes paa t [ L ; L [. (a) t= L (b) t= L Fgua IV.2 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00) ; pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos. Uma conclusão semelhante pode se etada, paa as soluções C, D e E e 2 e 7, da compaação das fguas IV. com IV.3(a) e IV.2(b) com IV.3(a) e da análse dos valoes das tabelas IV.8 e IV.9. Como pode se vefcado na tabela IV.8, paa t= L, as soluções báscas C, D e E tonam-se degeneadas, ndo ogna as soluções báscas 2 e 7, as quas também são degeneadas paa esse valo de t 7. A pat da tabela IV.9 podemos constata que as soluções báscas efcentes (assocadas às bases) 2 e 7 têm, espectvamente, um valo de sl_c e de x 3 quase nulo paa t= L. Além dsso, todas estas soluções (C, D e E na tabela IV.8 e 2 e 7 tabela IV.9) têm conjuntamente na base as vaáves x e x 4. 7 Se o ncemento nos valoes numécos dos níves de petença das funções membo utlzado na mplementação computaconal fosse mas pequeno (t nfeo ao valo /300 usado) ea de espea que as soluções A e B (na fgua IV.0(b)), e E (na fgua IV.2(a)), C, D e E (na fgua IV.2(b)), 2 e 7 (na fgua IV.3(a)), 6 e 8 (na fgua IV.3(b)), F e G (na fgua IV.5(a)), 2 e 7 (na fgua IV.5(b)), assm como C, D e E (na fgua IV.7(a)), se tonassem efectvamente degeneadas paa um detemnado valo do nível t. 04

119 IV.2 - Exemplo Ilustatvo Tabela IV.8 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas (t= L ). Base (t= L ) f f 2 f 3 Áea (%) Solução de patda Númeo de teações x =7.5; x 3 =3.75; sl_c3= x 2 =4.063; sl_c=35.938; sl_c3= x 4 =0.094; sl_c=7.88; sl_c2= x 2 =.458; x 4 =5.208; sl_c= x 2 =2.5; x 3 =56.25; sl_c= x =6.25; x 2 =7.5; x 3 =7.5 C x =3.75; x 2 =0.0; x 4 =7.5 D x =3.75; x 4 =7.5; sl_c2=0.0 E x =3.75; x 4 =7.5; sl_c3=0.0 x B Tabela IV.9 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas.(t= L ). Base (t= L ) f f 2 f 3 Áea (%) x B x =7.506; x 3 =3.777; sl_c3= x =3.753; x 4 =7.58; sl_c = x 2 =4.074; sl_c=36.046; sl_c3= x 4 =0.956; sl_c=7.25; sl_c2= x 2 =.46; x 4 =5.226; sl_c= x 2 =2.506; x 3 =6.27; sl_c= x =3.759; x 3 =0.030; x 4 = x =6.265; x 2 =7.494; x 3 =7.524 (a) t= L (b) t= R Fgua IV.3 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00) ; pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos. 05

120 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos Fgua IV.4 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00) ; bases efcentes paa t [ R ; R [. (a) t= R (b) t= R Fgua IV.5 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00) ; pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos. Fgua IV.6 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00) ; bases efcentes paa t [ R ; R ]. 06

121 IV.2 - Exemplo Ilustatvo A análse das fguas IV.3(a) e IV.4 juntamente com as fguas IV.3(b) e IV.5(a), assm como das fguas IV.4 e IV.6 juntamente com as fguas IV.5(b) e IV.7(a), possblta chega a conclusões smlaes: paa um valo de t ente R e R as soluções báscas efcentes 6 e 8 tonam-se não admssíves e concomtantemente vão da ogem às soluções báscas efcentes F e G o mesmo acontecendo às soluções báscas efcentes 2 e 7 e C, D e E paa um valo de t ente R e R. (a) t= R (b) t= R Fgua IV.7 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = (45, 60, 75) e b 3 = (25, 50, 00) ; pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos. Tabela IV.0 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas (t= R ). Base (t= R ) f f 2 f 3 Áea (%) Solução de patda Númeo de teações x =22.0; x 3 =9.0; sl_c3= x 2 =8.75; sl_c=6.25; sl_c3= x 4 =25.0; sl_c=5.0; sl_c2= x 2 =8.333; x 4 =20.833; sl_c=9.67 C x =5.5; x 2 =3.75; x 4 =2.75 D x =4.0; x 4 =24.0; sl_c2=5.0 E x =3.0; x 4 =8.0; sl_c3=5.0 F x 2 =9.25; x 3 =5.5; x 4 =6.25 G x 2 =4.667; x 3 =6.333; sl_c3=2.667 Paa t= R obtemos os gáfcos das fguas IV.6 e IV.7(b) e os valoes numécos apesentados na tabela IV.0. As soluções báscas efcentes 2, 6, 7 e 8 tonamse não admssíves e é possível obte 5 novas soluções báscas efcentes C, D, E, F e G. As egões de ndfeença no espaço paamétco Λ ncalmente peenchdas pelas soluções báscas 2 e 7 passam a se ocupadas pelas novas soluções báscas C, D e E; as ncalmente peenchdas pelas soluções báscas 6 e 8 passam a se ocupadas pelas novas x B 07

122 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos soluções báscas F e G. Os valoes numécos das vaáves báscas e das funções objectvo assocadas às soluções ncalmente obtdas sofem alteações como mostado na tabela IV.0. Emboa no estudo pevamente efectuado (consdeando os coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos), o AD não tenha selecconado uma solução efcente patcula, de ente as ncalmente calculadas, vamos consdea que, tal com anteomente, ele se mostou nteessado nas caacteístcas da solução 8. Se o AD estve nteessado em conhece os lmtes nfeo e supeo do paâmeto t, paa os quas a egão de ndfeença assocada à solução básca efcente 8 passa a te áea nula, ou seja, paa os quas se tona não admssível, pode sabê-lo de medato a pat da tabela IV.6 ou pela obsevação dos dagamas paamétcos anteoes. Paa um valo do nível de satsfação t a vaa desde L até.0000 a solução básca efcente 8 manteve-se admssível, não exstndo consequentemente lmte nfeo. Paa um valo de t a vaa desde.0000 até R, a solução em análse tonou-se não admssível a pat do nível de satsfação t = R. Repae-se que, tal como anteomente, estes valoes não são mas do que os lmtes mínmo e máxmo da gama admssível paa o paâmeto escala, obtdos po ntemédo de análse de sensbldade em pogamação lnea multobjectvo (Antunes e Clímaco, 992), tal que paa uma dada solução efcente selecconada pelo AD as egões de ndfeença do poblema petubado e não petubado dexam de se guas. Tal como aconteca paa o caso em que os coefcentes das funções objectvo eam dfusos, também aqu podemos ntepeta os esultados apesentados na tabela IV.6 (e nas fguas IV.9 a IV.7) a pat da noção de cote de nível α de um conjunto dfuso (Zadeh, 965; Zmmemann, 987, 996). O AD pode esta nteessado em sabe quas das soluções báscas efcentes calculadas se mantêm admssíves, se o valo do nível de petença das funções membo consdeadas t (assocadas aos coefcentes dos lados detos das estções funconas), fo de pelo menos α. Po exemplo, consdeando um nível de petença das funções membo t de pelo menos , apenas são admssíves e efcentes as soluções báscas efcentes ncas a 8 (gama () da tabela IV.6). Paa um nível de petença de pelo menos , já é possível alcança também as soluções báscas efcentes C, D e E (gamas () e () da tabela IV.6). Paa um nível de petença das funções membo t de pelo menos , é possível alcança todas as soluções báscas efcentes detemnadas duante a análse aos coefcentes dos lados detos das estções, ou seja, a 8 e A a G (gamas () a (v) da tabela IV.6). Depos de efectuado este pmeo estudo (consdeando os coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos), podemos possegu analsando como se compotam as dfeentes soluções báscas efcentes detemnadas, peante a alteação de algumas das funções membo assocadas aos coefcentes dos lados detos das estções funconas: não só as soluções obtdas ncalmente em ambente ígdo, como também as obtdas duante análse efectuada pevamente. Consdeemos que o AD deseja analsa o que acontece se fo alteada a função membo do temo ndependente da segunda estção, mas especfcamente se o lado deto da estção (c2) dexa de se o númeo eal dfuso tangula b ~ 2 = (45, 60, 75) e passa a se defndo com pecsão e com o valo modal do númeo dfuso (b 2 =60). 08

123 IV.2 - Exemplo Ilustatvo Se, paa estas novas funções membo, alteamos contnuamente o nível de petença t desde L até R obtemos os esultados apesentados nas tabelas IV. e IV.2 e nas fguas IV.8 e IV.9. Tabela IV. Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ b = (20, 60, 80), b 60 e b 3 = (25, 50, 00). 2 = t Bases efcentes ncas Novas bases efcentes () [ L ; L [ 4 B, D, I, J () [ L ; L [ 4, 8 A, B, C, D, H, I () [ L ; L [ 3, 4, 5, 6, 8 A, B, C, D (v) [ L ; L [, 3, 4, 5, 6, 8 C, D, E (v) [ L ; R [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (v) [ R ; R ], 2, 3, 4, 5, 7 F, G Tabela IV.2 Novas bases efcentes obtdas duante a análse com coefcentes dos lados detos das estções ~ ~ funconas dfusos, consdeando b = (20, 60, 80), b 60 e b 3 = (25, 50, 00). 2 = Bases Áea (%) x B H (x ; x 2 ; sl_c) I (x 2 ; sl_c; sl_c2) J (x ; x 2 ; sl_c2) Na fgua IV.8 ((a) a (f)) estão epesentados os váos dagamas paamétcos Λ, obtdos paa os dfeentes valoes de t. Paa t [ L ; R [, apenas as soluções báscas efcentes ncalmente calculadas em ambente ígdo podem se alcançadas, sto é, mantêm-se admssíves (gama (v) na tabela IV. e gáfco de Λ apesentado na fgua IV.3(a) = fgua IV.8(e)). Se compaamos as tabelas IV.6 com IV., podemos nota que elas apesentam algumas smladades: as soluções báscas efcentes alcançadas na gama () da tabela IV.6 (obtda com t [ L ; L [) são as mesmas pesentes na gama () da tabela IV. (obtda com t [ L ; L [), o mesmo acontecendo espectvamente às soluções báscas efcentes pesentes na gama () da tabela IV.6 (obtda com t [ L ; L [) e na gama (v) na tabela IV. (obtda com t [ L ; L [). O mesmo se vefca em elação às soluções báscas efcentes pesentes na gama () da tabela IV.6 (obtda com t [ L ; R [) e na gama (v) na tabela IV. (obtda com t [ L ; R [), e às soluções báscas efcentes da gama (v) da tabela IV.6 (obtda com t [ R ; R [) e da gama (v) na tabela IV. (obtda com t [ R ; R ]). Além dsso, quando nos deslocamos de baxo paa cma na tabela IV. constatamos que as soluções báscas que se mantêm efcentes possuem a folga sl_c2 (coespondente à estção (c2), paa a qual o lado deto da estção funconal é pecso) como vaável básca. Todas as soluções báscas efcentes alcançadas na gama () da tabela IV. (obtda com t [ L ; L [), 4, B, D, I e J, possuem sl_c2 na base. 09

124 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos (a) bases efcentes paa t [ L ; L [ (b) bases efcentes paa t [ L ; L [ (c) bases efcentes paa t [ L ; L [ (d) bases efcentes paa t [ L ; L [ (e) bases efcentes paa t [ L ; R [ (f) bases efcentes paa t [ R ; R ] Fgua IV.8 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos, consdeando ~ ~ b = (20, 60, 80), b 60 e b 3 = (25, 50, 00). 2 = 0

125 IV.2 - Exemplo Ilustatvo No tocante às soluções báscas 8, A, C e H, pesentes na gama () da tabela IV. (obtda com t [ L ; L [), emboa não possuam a folga sl_c2 como vaável básca, são as que esultam da (ou vão da ogem à) solução básca efcente J depos de as coespondentes soluções efcentes se tonaem não admssíves (compaem-se as fguas IV.8(a) e IV.8(b)). Na fgua IV.9(a) e IV.9(b) encontam-se epesentadas as pojecções f -f 2 no espaço dos objectvos, coespondentes aos valoes de t= L e t= R, espectvamente. (a) t = L (b) t = R Fgua IV 9 Análse dfusa aos coefcentes dos lados detos das estções funconas consdeando ~ ~ b = (20, 60, 80), b 2 = 60 e b 3 = (25, 50, 00) ; pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos. Paa t= R, fguas IV.8(f) e IV.9(b), apenas as soluções báscas efcentes 6 e 8 ncalmente obtdas se tonaam não admssíves e é possível obte 2 novas soluções efcentes, F e G. Como anteomente, podeíamos ntepeta os esultados apesentados na tabela IV. à luz da noção de cote de nível α de um conjunto dfuso. IV.2.3 Intodução de nova vaável de decsão com coefcentes dfusos Consdeemos agoa que o AD está nteessado em sabe quas as mplcações na solução não domnada 8 ncalmente calculada, decoentes da ntodução no modelo de uma nova vaável, x nova, paa a qual os coefcentes na matz das funções objectvo e na matz tecnológca são espectvamente: C ~ (0, 4, 5). nova = (2, 4, 5) (2, 6, 8) e A ~ (2, 3, 4). nova = (3, 4, 4.5). (, 5, 9)

126 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos IV.2.3. Análse global à ntodução de uma nova vaável de decsão Como os valoes com mao nível de petença são os que têm mas possbldade de ocoe, vamos supo que o AD optou po ealza ncalmente uma análse pomenozada da stuação coespondente a c=.0000 e a=.0000 (tabelas IV.3 e IV.4 e fgua IV.20). Com a fnaldade de tona as fguas mas elucdatvas, no dagama paamétco Λ apesentado na fgua IV.22(a) (e nos seguntes) foam esconddos os padões efeentes às egões de ndfeença do poblema ognal, muto emboa se tenham mantdo os espectvos contonos assm como as espectvas etquetas. A nfomação da segunda coluna da tabela IV.3 evela que a ntodução de x nova no modelo, com os coefcentes que apesentam mao nível de petença em elação a todas as funções membo pesentes (valoes modas c M ), á tona não efcentes no poblema aumentado as soluções báscas 3, 5, 6 e 8 (ncalmente calculadas). Muto emboa as soluções, 2, 4 e 7 ncalmente calculadas contnuem efcentes no poblema modfcado (agoa enomeadas paa E, F, H e G, espectvamente), algumas das faces e aestas às quas elas ncalmente petencam tonaam-se não efcentes. Neste momento, podemos não só vefca como fcaam as egões de ndfeença coespondentes às soluções ncas que anda se mantêm efcentes, como também faze uma pesqusa pogessva e selectva de novas soluções efcentes, selecconando conjuntos de pesos sobe zonas do dagama paamétco que fcaam po peenche em elação ao poblema aumentado. Tabela IV.3 Análse global à ntodução da nova vaável de decsão (x nova ); soluções báscas efcentes ncas. Solução (c=.0000 e a=.0000) x nova Áea (%) E Não básca efcente F Não básca efcente Deve se tonada básca - 4 H Não básca efcente Deve se tonada básca - 6 Deve se tonada básca - 7 G Não básca efcente Deve se tonada básca - Tabela IV.4 Análse global à ntodução da nova vaável de decsão (x nova ); novas soluções báscas efcentes. Solução (c=.0000 e a=.0000) f f 2 f 3 Áea (%) Númeo de teações x B A x =2.647; x 3 =5.588; x nova =4.8 B x =9.09; x nova =8.82; sl_c=7.273 C x nova =0.0; sl_c=30.0; sl_c2=20.0 D x 2 =8.333; x nova =6.667; sl_c=

127 IV.2 - Exemplo Ilustatvo Ao longo do estudo efectuado fo consdeada sempe a solução ncal 8, se bem que pudessem te sdo escolhdas outas soluções de patda no cálculo das novas soluções efcentes. Na fgua IV.20 encontam-se epesentadas as alteações sofdas pelas soluções efcentes, 2, 4 e 7 ncas ( E, 2 F, 4 H e 7 G), e na últma coluna da tabela IV.3 os valoes das áeas das novas egões de ndfeença assocadas a estas soluções báscas efcentes. Se obsevamos a fgua IV.20(a) (ou se compaamos as fguas IV.3(b) e IV.20(b)) vefcamos que nenhuma das faces efcentes ncas se manteve efcente no poblema modfcado. Em elação às aestas, apenas as aestas que unem as soluções 2 ( F) e 4 ( H) e que unem as soluções 2 ( F) e 7 ( G) se mantêm efcentes, um vez que apenas estas egões de ndfeença no novo dagama paamétco Λ se mantêm adjacentes. (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos Fgua IV.20 Análse global à ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) paa c=.0000 e a= Duante a análse global à ntodução da nova vaável de decsão fo possível detemna 4 novas soluções efcentes paa o poblema aumentado, A a D, cujas caacteístcas se encontam desctas na tabela IV.4. Sugem 3 novas faces efcentes e 8 novas aestas efcentes, como pode se vsualzado na fgua IV.20. Neste momento, é possível: efectua um estudo smla pomenozado paa uma stuação específca dfeente (ou seja, paa dfeentes valoes de a e c); seleccona uma das soluções efcentes ncas e faze uma análse dnâmca das alteações ocodas na solução selecconada; faze uma análse consdeando não só dfeentes funções membo assocadas aos coefcentes dfusos da nova vaável (modfcando alguns dos valoes de c L e/ou c R coespondentes), como também alteando os pópos númeos tangulaes dfusos assocados aos coefcentes da nova vaável (modfcando também alguns dos valoes de c M coespondentes). Se o AD petende sabe o que acontece paa c= L e a= R, basta que ealze uma análse detalhada do géneo da anteomente efectuada. Nesta stuação, são obtdos os gáfcos da fgua IV.2 e os valoes das tabelas IV.5 e IV.6. 3

128 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos Tabela IV.5 Análse global à ntodução da nova vaável de decsão (x nova ); soluções báscas efcentes ncas. Solução (c= L e a= R ) x nova Áea (%) A Não básca efcente B Não básca não efcente = 3 C Não básca efcente D Não básca não efcente = 5 E Não básca efcente F Não básca efcente G Não básca efcente H Não básca efcente Tabela IV.6 Análse global à ntodução da nova vaável de decsão (x nova ); novas soluções báscas efcentes. Solução (c= L e a= R ) f f 2 f 3 Áea (%) Númeo de teações I x =4.723; x 3 =5.40; x nova =2.383 J x 2 =.237; x nova =3.44; sl_c=35.86 x B (a) Regões de ndfeença em Λ (b) Pojecção f -f 2 no espaço dos objectvos. Fgua IV.2 Análse global à ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) paa c= L e a= R. A estção desenhada a vemelho na fgua IV.2(a) (assm como nas fguas seguntes) epesenta a nova condção (IV.3b) obtda a pat do quado smplex multobjectvo coespondente à solução efcente 8 calculada ncalmente 8. Todas as soluções efcentes ncas se mantveam efcente no poblema modfcado e as egões de ndfeença assocadas às soluções 2 e 4 (agoa B e D, 8 Na fgua IV.20(a), a estção coespondente não apaeca desenhada uma vez que não ntesectava o dagama paamétco. 4

129 IV.2 - Exemplo Ilustatvo espectvamente) no novo dagama paamétco não sofeam qualque alteação. As áeas das novas egões de ndfeença assocadas às soluções efcentes ncas, 3, 5, 6, 7 e 8 (agoa A, C, E, F, G e H espectvamente) são as apesentadas na últma coluna da tabela IV.5. A aesta que una as soluções ncas e 8, assm como a face efcente à qual ela petenca, tonaam-se domnadas (dado que, no novo dagama paamétco Λ da fgua IV.2(a), as egões de ndfeença assocadas às soluções efcentes A e H dexaam de se adjacentes e as egões de ndfeença assocadas às soluções efcentes A, G e H dexaam de te ponto comum). Patndo do quado smplex multobjectvo assocado à solução efcente ncal 8, fo necessáa teação paa detemna a nova solução básca efcente I (paa o poblema aumentado). A nova solução efcente I á ogna 3 novas aestas efcente (unndo I às soluções efcentes A, 7 G e 8 H espectvamente) e 2 novas faces efcentes (cujos vétces são, espectvamente, as soluções A, 7 G e I e as soluções 7 G, 8 H e I). Patndo do quado smplex multobjectvo assocado à solução efcente ncal 8, foam necessáas 4 teações paa detemna a nova solução básca efcente J. A nova solução efcente J á ogna 3 novas aestas efcente (unndo J às soluções efcentes ncas 3 C, 5 E e 6 F, espectvamente) e 2 novas faces efcentes (cujos vétces são, espectvamente, as soluções 5 E, 6 F e J e as soluções 3 C, 6 F e J). Obsevando as tabelas IV.4 e IV.6, podemos constata que as novas soluções báscas efcentes I e J são, espectvamente, as soluções efcentes A e D obtdas anteomente paa c=.0000 e a= IV Análse dnâmca das alteações ocodas numa solução selecconada Suponhamos que o AD deseja efectua uma análse dnâmca compaatva das mplcações na (fontea efcente ccundante à) solução efcente 8 ncalmente calculada 9, decoentes da ntodução no modelo da nova vaável de decsão, x nova (cujos coefcentes são defndos pelos númeos dfusos tangulaes anteomente efedos). Alteação no valo de nível de petença c Se o valo do nível de petença das funções membo assocadas aos coefcentes das funções objectvo da nova vaável, c, fo contínua e nteactvamente alteado (mantendo-se o valo do nível de petença a constante) é possível vsualza dnamcamente as alteações ocodas no dagama paamétco Λ. Tal como aconteca paa o caso em que os coefcentes das funções objectvo (das vaáves de decsão ncas do modelo) eam dfusos, as egões de ndfeença no dagama paamétco Λ, assocadas às soluções báscas efcentes em estudo, altea-se-ão contnuamente, em foma e tamanho. Se vaamos contnuamente o nível de satsfação c desde L até R, consdeando um valo de a=.0000, obtemos os esultados apesentados nas tabelas IV.7 e IV.8 e na fgua IV.22 ((a) a (l)). 9 Como efedo atás, duante esta análse podeam se smultaneamente estudadas váas soluções efcentes ncalmente calculadas caso o AD o desejasse, com o coespondente aumento em complexdade na análse a efectua, assm como do esfoço computaconal necessáo. 5

130 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos (a) c= L (b) c= L (c) c= L (d) c= L (e) c= L (f) c= L Fgua IV.22 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 E peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) paa a=.0000 e (contnua). 6

131 IV.2 - Exemplo Ilustatvo (g) c= L (h) c= L () c= L (j) c= R (k) c= R (l) c= R Fgua IV.22 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 E peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) paa a=.0000 e 7

132 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos Tabela IV.7 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 E peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ). a=.0000 e c Em elação à solução efcente ncal, x nova é Não básca não efcente () [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Não básca efcente Deve se tonada básca () [ L ; L [ 2, 3, 4, 5, 6,, 7, 8 A () [ L ; L [ 3, 4,, 2, 5, 6, 7, 8 A, B (v) [ L ; L [ 3,, 2, 4, 5, 6, 7, 8 (v) [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (v) [ L ; L [, 2, 3, 4, 6, 7, 8 5, (v) [ L ; L [, 2, 3, 4, 7 5, 6, 8 A, B (v) [ L ; L [, 2, 4, 7 3, 5, 6, 8 (x) [ L ; R [, 2, 4, 7 3, 5, 6, 8 B (x) [ R ; R [ 2, 4, 7, 3, 5, 6, 8 (x) [ R ; R [ 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8 (x) [ R ; R ] 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8 B, C Novas soluções efcentes As novas soluções efcentes A a D (tabela IV.7) são as mesmas obtdas atás paa c=.0000 e a= Repae-se que a stuação analsada anteomente coesponde a uma nstânca da gama (x) da tabela IV.7, ou seja, coesponde a um estudo detalhado de uma stuação específca que suge ente os dagamas paamétcos apesentados na fgua IV.22() e IV.22(j). Na últma coluna da tabela IV.7 apenas fguam as novas soluções efcentes calculadas duante a análse dnâmca das alteações ocodas na solução 8 E, paa as quas as suas egões de ndfeença nos novos dagamas paamétcos paa o poblema aumentado se sobepõem à egão de ndfeença ncal coespondente à solução efcente 8. A solução D, que á faze pate de uma face efcente à qual a solução efcente 8 E petence, não apaece efeda nesta tabela, dado que as suas egões de ndfeença nos váos dagamas paamétcos obtdos com a=.0000, nunca se sobepõem à egão de ndfeença ncal da solução efcente 8. Uma análse compaatva dos váos gáfcos e tabelas apesentados ao AD, possblta apeende as alteações ocodas na fontea efcente ccundante à solução 8 do poblema ncal, peante a ntodução da nova vaável de decsão. Tabela IV.8 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 E peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) com a=.0000; novas soluções báscas efcentes. Solução Númeo de teações x B A x =2.647; x 3 =5.588; x nova =4.8; B 2 x =9.09; x nova =8.82; sl_c=7.273 C 3 x nova =0.0; sl_c=30.0; sl_c2=20.0 D 3 x 2 =8.333; x nova =6.667; sl_c= E - - 8

133 IV.2 - Exemplo Ilustatvo Po exemplo, paa c [ L ; L [ (e a=.0000), gama () na tabela IV.7, não se vefca qualque alteação na egão efcente, pos x nova é não básca não efcente em elação a todas as soluções ncas. Quando c= L (e a=.0000), fgua IV.22(b), a face que tem como vétces as soluções efcentes ncas, 7 e 8 tona-se não efcente. Suge um novo vétce efcente, A; 3 novas aestas, que unem os vétces A e, A e 7 e A e 8 E, espectvamente; e 3 novas faces, fomadas pelos vétces, 7 e A,, 8 E e A, e 7, 8 E e A, espectvamente. A pat de c= L (e com a=.0000), fgua IV.22(c), a aesta que une as soluções báscas efcentes e 8 E tona-se não efcente, o mesmo acontecendo com a face cujos vétces são as soluções, A e 8 E. Quando c= L (e a=.0000), fgua IV.22(d), sugem as novas soluções efcentes B e D, assm como novas aestas e novas faces efcentes. Se bem que nenhuma das novas aestas efcentes lgue dectamente a 8 E no poblema aumentado, esta solução básca efcente va petence a uma das novas faces efcentes, a qual tem como vétces as soluções A, B, D, 6 e 8 E. Com c= L (e a=.0000), fgua IV.22(e) e tabelas IV.9 e IV.20, suge a solução básca efcente C que, emboa no poblema aumentado não esteja unda dectamente po uma aesta à solução em análse, 8 E, ou petença a uma mesma face efcente, posteomente va se uma das novas soluções efcentes a peenche no dagama paamétco Λ pate da egão de ndfeença ncal coespondente à solução efcente 8 (paa c [ R ; R ] e a=.0000). Tabela IV.9 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 E peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) com a=.0000 e c= L ; soluções báscas efcentes ncas. Solução (a=.0000 e c= L ) Áea (%) = E.485 Tabela IV.20 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 E peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) com a=.0000 e c= L ; novas soluções báscas efcentes. Solução (a=.0000 e c= L ) f f 2 f 3 Áea (%) A B C D

134 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos Se bem que paa c= L (e a=.0000), fgua IV.22(f), também não exsta nenhuma alteação na egão efcente vznha à solução em análse, a nova vaável tona-se não básca efcente em elação à solução efcente 3. A pat de c= L (e com a=.0000), fgua IV.22(g), a solução 5 ncal va dexa de se efcente, assm como as aestas que unem as soluções báscas 5 e D e as soluções báscas 5 e 4, e a face cujos vétces são as soluções 5, D, C e 4. Paa c= L (e a=.0000), fgua IV.22(h), a solução básca efcente em análse (8 E) tona-se não efcente, assm como a face e as 2 aestas efcentes à qual ela petenca. Concdentemente, a solução básca efcente ncal 6 também se tona não efcente a pat de c= L, o mesmo acontecendo à solução básca efcente ncal 3 a pat de c= L (e com a=.0000). A pat de c= L (e com a=.0000), fgua IV.22(), a egão de ndfeença coespondente à solução básca efcente A no dagama paamétco Λ dexa de se sobepo à egão de ndfeença ncal da solução 8 (em estudo). Com o conjunto de pesos que ncalmente nos conduzam à solução efcente 8, apenas podemos detemna a nova solução básca efcente B no poblema aumentado, com (a=.0000 e) c [ L ; R [, gamas (x) a (x) na tabela IV.7. Dento das soluções efcentes ncalmente calculadas, as soluções 2 e 4 são as úncas que anda se mantêm efcentes paa c= R (e a=.0000), emboa as suas egões de ndfeença possuam uma áea extemamente pequena. As estções desenhadas a vede na fgua IV.22(l) epesentam as novas condções (IV.3b) obtdas a pat dos quados smplex multobectvo coespondentes às soluções efcentes 2 e 4 calculadas ncalmente. À semelhança do que aconteca quando os coefcentes das funções objectvo ou dos lados detos das estções funconas eam dfusos, podemos também tenta ntepeta estes esultados à luz da noção de cote de nível α de um conjunto dfuso (Zadeh, 965; Zmmemann, 987, 996). No entanto, é pecso te em atenção que na análse efectuada se estudou uma solução específca (ou um pequeno gupo de soluções) e se manteve constante um dos 2 níves de petença consdeados. Podeá te nteesse sabe-se quas as soluções báscas efcentes, calculadas duante a análse dnâmca à solução efcente ncal 8, que petencem à fontea efcente do poblema dfuso, se o valo do nível de petença assocado às funções membo dos coefcentes nas estções funconas da nova vaável, a, toma o valo constante.0000 e o valo do nível de petença assocado às funções membo dos coefcentes nas funções objectvo da nova vaável, c, fo de pelo menos α. Po exemplo, consdeando um nível de petença das funções membo assocadas aos coefcentes nas funções objectvo da nova vaável de decsão, c, de pelo menos (e a=.0000) é possível alcança as soluções báscas efcentes ncas, 2, 3, 4 e 7 e as novas soluções báscas efcentes A, B, C e D (gamas (v) a (x) da tabela IV.7). Com o conjunto de pesos que ncalmente nos conduzam à solução efcente 8, apenas consegumos alcança as novas soluções A e B. Paa um valo do nível de petença c de pelo menos (e a=.0000) já é possível alcança todas as soluções ncas e todas as detemnadas duante a análse dnâmca à ntodução da nova vaável de decsão, ou seja, as soluções a 8 e A a D (gamas () a (x) da tabela IV.7). No poblema aumentado nunca é possível alcança a nova solução básca efcente D, com os conjuntos de pesos que ncalmente nos conduzam à solução 8. 20

135 Alteação no valo de nível de petença a IV.2 - Exemplo Ilustatvo Se o valo do nível de petença das funções membo assocadas aos coefcentes na matz tecnológca da nova vaável de decsão, a, fo contínua e nteactvamente alteado (mantendo-se o valo do nível de petença c constante) é também possível vsualza dnamcamente as alteações ocodas no dagama paamétco Λ. Dado que, quando o valo do nível de petença das funções membo a vaa contnuamente, a fontea da egão admssível (assm como os espectvos pontos extemos) no poblema aumentado podeá se alteada, as egões de ndfeença no dagama paamétco Λ, assocadas às soluções báscas efcentes em estudo, ão não só altea-se contnuamente, em foma e tamanho, como podeão apaece ou desapaece buscamente (de acodo com a admssbldade ou não dos pontos extemos efcentes). Vamos agoa vaa o valo do nível de satsfação a, com c= L, e efectua uma análse compaatva dnâmca das mplcações na solução efcente 8 ncalmente calculada, decoentes das alteações ntoduzdas. Se alteamos contnuamente o nível de satsfação a desde L até R, consdeando um valo de c= L, obtêm-se os esultados apesentados nas tabelas IV.2 e IV.22 e na fgua IV.23 ((a) a (l)). À semelhança do que aconteca na tabela IV.7, na últma coluna da tabela IV.2 apenas fguam as novas soluções báscas efcentes calculadas duante a análse compaatva à solução 8 que se está a efectua, paa as quas as egões de ndfeença em Λ das espectvas soluções báscas efcentes do poblema aumentado se sobepõem à egão de ndfeença ncal coespondente à solução efcente 8. As bases assocadas às novas soluções efcentes A a D são, espectvamente, as mesmas das soluções efcentes A a D obtdas duante o estudo coespondente à ntodução da nova vaável de decsão anteomente efectuado. Tabela IV.2 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 G peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ). c= L e a Em elação à solução efcente ncal, x nova é Não básca não efcente Não básca efcente Deve se tonada básca Novas bases efcentes () [ L ; L [ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 F () [ L ; L [ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E () [ L ; L [ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 C, B (v) [ L ; L [, 2, 4 3, 5, 6, 7, 8 (v) [ L ; L [, 2, 4, 7 3, 5, 6, 8 (v) [ L ; L [, 2, 4, 7 3, 5, 6, 8 B (v) [ L ;.0000 [, 2, 4, 7 3, 5, 6, 8 (v) [.0000 ; R [, 2, 3, 4, 7 5, 6, 8 B, A (x) [ R ; R [, 2, 3, 4, 6, 7, 8 5, B, A (x) [ R ; R [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (x) [ R ; R [ 4,, 2, 3, 5, 6, 7, 8 (x) [ R ; R [ 2, 4,, 3, 5, 6, 7, 8 (x) [ R ; R ] 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A 2

136 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos (a) a= L (b) a= L (c) a= L (d) a= L (e) a= L (f) a= L Fgua IV.23 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 G peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) paa c= L e (contnua). 22

137 IV.2 - Exemplo Ilustatvo (g) a= L (h) a= L () a= R (j) a= R (k) a= R (l) a= R Fgua IV.23 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 G peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) paa c= L e 23

138 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos As soluções báscas efcentes H, I e J, calculadas duante a análse efectuada à solução 8 (fgua IV.23), não foam ncalmente consdeadas no estudo compaatvo dos dagamas paamétcos, dado que as mesmas não possuem uma elação pvlegada com a solução 8 em análse. Apaecem apenas aqu acescentadas, quando se evelem convenentes, paa melho compeensão da metodologa poposta. Como veemos segudamente, paa um dado valo do nível de satsfação a, as coespondentes soluções báscas efcentes ão tona-se não admssíves (assm como eventualmente outas soluções báscas efcentes), e as egões de ndfeença que lhe estão assocadas no dagama paamétco Λ em estudo ão desapaece buscamente. Novas soluções báscas efcentes sugão, apaecendo também buscamente no dagama paamétco Λ as egões de ndfeença que lhe estão assocadas. Tabela IV.22 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 G peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) com c= L ; novas soluções báscas efcentes. Bases Númeo de teações x B A (x ; x 3 ; x nova ) B 2 (x ; x nova ; sl_c) C 3 (x nova ; sl_c; sl_c2) D 2 (x 2 ; x nova ; sl_c) E 2 (x 3 ; x nova ; sl_c) F 3 (x 3 ; x nova ; sl_c3) 8 G - (x ; x 2 ; x 3 ) H 3 (x 4 ; x nova ; sl_c) I 4 (x nova ; sl_c; sl_c3) J 2 (x 3 ; x 4 ; x nova ) A vaação dnâmca do valo do nível de satsfação a desde L a L, desde L a L, e desde L a R (e consdeando c= L ), apenas á faze altea contnuamente, em foma e tamanho, as egões de ndfeença assocadas às soluções báscas efcentes pesentes nos váos dagamas paamétcos Λ (soluções efcentes F, H, I e J; A, E, H e I; e A, B, C, D e 8 G, espectvamente). Com os conjuntos de pesos que ncalmente nos conduzam à solução 8, apenas consegumos alcança as novas soluções báscas efcentes F (fguas IV.23(a)-(b)) e E (fguas IV.23(c)-(d)), paa a [ L ; L [ e a [ L ; L [, espectvamente, e c= L (uma vez que as coespondentes egões de ndfeença nos dfeentes dagamas paamétcos se sobepõe totalmente à egão de ndfeença ncal da solução 8). Consdeando apenas as soluções báscas efcentes pesqusadas, não fo encontada nenhuma face efcente do poblema aumentado paa a [ L ; L [ (c= L ), emboa exstam 3 novas aestas efcentes paa a [ L ; L [, as quas unem as soluções báscas efcentes F e I, F e J, e J e H, e 3 novas aestas efcentes paa a [ L ; L [, as quas unem as soluções báscas efcentes E e A, E e I, e E e H. 24

139 IV.2 - Exemplo Ilustatvo Paa um valo do nível de satsfação a ente L e L (c= L ), fguas IV.23(b)-(c), as soluções báscas efcentes F e J tona-se-ão não admssíves dando luga às soluções báscas efcentes E e A (que anteomente eam não admssíves) 0. O mesmo sucedeá às soluções báscas efcentes E, H e I, e B, C e D: paa um valo do nível de satsfação a ente L e L (c= L ), as soluções báscas efcentes E, H e I tona-se-ão não admssíves sugndo tês novas soluções efcentes B, C e D. Nas tabelas IV.23 e IV.24 encontam-se apesentadas as caacteístcas das soluções báscas efcentes pesentes nos dagamas paamétcos das fguas IV.23(d) e IV.23(e), espectvamente. Tabela IV.23 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 G peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) com c= L e a= L ; novas soluções báscas efcentes. Solução (c= L e a= L ) f f 2 f 3 Áea (%) x B A x =8.066; x 3 =5.588; x nova =8.899 E x 3 =0.009; x nova =7.272; sl_c=7.245 H x 4 =0.008; x nova =7.269; sl_c=7.262 I sl_c3=0.09; x nova =7.275; sl_c=2.275 Tabela IV.24 Análse dnâmca à solução efcente ncal 8 G peante a ntodução da nova vaável de decsão (x nova ) com c= L e a= L ; novas soluções báscas efcentes. Solução (c= L e a= L ) f f 2 f 3 Áea (%) x B A x =8.26; x 3 =5.588; x nova =8.638 B x =0.08; x nova =7.65; sl_c=7.273 C sl_c2=0.94; x nova =7.202; sl_c=7.397 D x 2 =0.2; x nova =7.9; sl_c=7.482 Paa a [ L ; L [ (c= L ), fgua IV.23(e)-(g), apenas as egões de ndfeença assocadas às soluções báscas efcentes B e C se sobepõem à egão de ndfeença ncal da solução 8. Na fgua IV.23(f), obtda com a= L (c= L ), enconta-se epesentada a stuação a pat da qual a solução básca ncal 7 se tona efcente. Se consdeamos apenas as soluções báscas efcentes pesqusadas, suge uma nova face efcente, a qual tem como vétces as soluções báscas efcentes B, C e D, assm como 4 novas aestas efcentes, as quas unem as soluções báscas efcentes A e B, B e C, B e D, e C e D. Paa a [ L ; L ] (c= L ), fgua IV.23(g), apenas a egão de ndfeença assocada à nova solução básca efcente B se sobepõe à egão de ndfeença ncal da solução 8. A pat de a= L (c= L ), fgua IV.23(h), a 0 Refa-se que a egão de ndfeença assocada à solução básca efcente A no dagama paamétco (do poblema aumentado) apenas se á sobepo à egão de ndfeença ncal da solução efcente 8 paa um valo do nível de satsfação a [ L ; R [ (e com c= L ), como pode se concluído a pat da obsevação da fgua IV

140 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos egão de ndfeença assocadas à nova solução efcente A á também sobepo-se à egão de ndfeença ncal da solução 8. A pat de a= R (c= L ), fgua IV.23(), as soluções báscas ncas 6 e 8 G tonam-se também efcentes, assm como a aesta que une 6 a 8 G (e as aestas que unem 6 a D, e A a 8 G) e a face cujos vétce são A, B, D, 6 e 8 G. Com os conjuntos de pesos que ncalmente nos conduzam à solução 8, consegumos alcança não só essa solução efcente, mas também as novas soluções báscas efcentes A e B, consdeando a [ R ; R ] (e com c= L ), fgua IV.23() a IV.23(k). A pat de a= R (c= L ), fgua IV.23(l), a solução básca efcente 8 G passa a petence a 2 faces efcentes: aquela cujos vétces são as soluções 8 G, 7 e A, e a face cujos vétces são as soluções 8 G, 7, 2, 4, 5 e 6 (uma das faces efcentes ncas). Repae-se que a stuação estudada anteomente em pomeno paa c= L e a= R, e apesentada na fgua IV.2(a), coesponde a uma nstânca da gama (x) da tabela IV.2, ou seja, coesponde a um estudo mnucoso de uma stuação específca nteméda ente os dagamas paamétcos das fguas IV.23(k) e IV.23(l). As soluções báscas efcentes I e J obtdas atás (na tabela IV.6) são as novas soluções efcentes A e D (das tabelas IV.2 a IV.24), espectvamente. Também neste caso podemos ntepeta os esultados apesentados na tabela IV.2 a pat da noção de cote de nível α de um conjunto dfuso (Zadeh, 965; Zmmemann, 987, 996). No entanto, é pecso te em atenção que na análse efectuada se estudou uma solução específca (ou um pequeno gupo de soluções) e se manteve constante um dos 2 níves de petença consdeados, tal como aconteca anteomente quando alteávamos contnuamente o nível de satsfação c mantendo um valo de a constante. Podeá te nteesse sabe-se quas as soluções báscas efcentes, calculadas duante a análse dfusa à solução efcente ncal 8, que petencem à fontea efcente do poblema dfuso, se o valo do nível de petença assocado às funções membo dos coefcentes nas funções objectvo da nova vaável, c, toma o valo constante L e o valo do nível de petença assocado às funções membo dos coefcentes na matz tecnológca da nova vaável, a, fo de pelo menos α. Po exemplo, consdeando um nível de petença das funções membo assocadas aos coefcentes nas estções funconas da nova vaável de decsão, a, de pelo menos (e um nível de petença assocado às funções membo dos coefcentes nas funções objectvo da nova vaável c= L ), é possível alcança todas as soluções báscas efcentes ncas a 8, assm como as novas soluções báscas efcentes A, B, C e D (gamas (v) a (x) da tabela IV.2). Com os conjuntos de pesos que ncalmente conduzam à solução efcente 8, apenas é possível agoa alcançaa solução efcente 8, assm como as novas soluções efcentes A e B. Paa um valo do nível de petença a de pelo menos apenas é possível alcança as soluções efcentes ncas, 2, 3, 4 e 7, assm como as novas soluções báscas efcentes A, B, C e D (gamas (v) e (v) da tabela IV.2). Com os conjuntos de pesos que ncalmente conduzam à solução efcente 8, apenas é agoa possível alcança as novas soluções efcentes A e B. 26

141 IV.3 - Consdeações fnas IV.3 Consdeações fnas Neste capítulo apesentámos uma nova abodagem nteactva paa tatamento da nceteza em poblemas de PLMO, onde os paâmetos dfusos do modelo são consdeados númeos eas dfusos tangulaes. Esta abodagem não é muto exgente em elação à nfomação equeda ao AD em cada nteacção, nem os cálculos envolvdos se apesentaam gealmente pesados em temos pátcos (anda que tal dependa da dmensão do poblema e da geometa da egão efcente). Se bem que tanto a abodagem apesentada na secção 4 do capítulo anteo como a abodagem aqu exposta sejam baseadas na decomposção do dagama paamétco em egões de ndfeença (coespondentes às soluções báscas efcentes), é dfícl efectua uma compaação ente as duas análse ealzadas ou ente as soluções efcentes obtdas (anda que ambas tenham caácte dfuso), pos os pncípos metodológcos subjacentes são dfeentes. No entanto, ambas as abodagens têm como objectvo ajuda o AD a apeende as caacteístcas da egão dfusa efcente, assm como conhece melho o seu sstema de pefeêncas. A epesentação gáfca da decomposção do dagama paamétco em egões de ndfeença consttu um meo ntegado de apesentação e ecolha de nfomação ente o AD e o método. Não sendo este o objecto cental da nossa nvestgação, apesentámos uma poposta de potocolo nteactvo bastante flexível que, na nossa opnão, pemte um melho apoo à apendzagem do poblema e da pópa estutua de pefeêncas evolutva do AD. Atendendo a que as egões de ndfeença podem se epesentadas gafcamente paa poblemas com duas ou tês funções objectvo, sendo o caso de tês funções objectvo o mas elucdatvo, as metodologas apesentadas encontam-se vocaconadas paa este tpo de poblemas. De efe que, a pat da metodologa apesentada neste capítulo, é possível vefca alguns dos valoes calculados pela abodagem nteactva de análse de sensbldade em PLMO poposta po Antunes e Clímaco (992). Os valoes dos lmtes mínmos e máxmos das gamas admssíves paa os paâmetos escalaes, tal que paa uma dada solução efcente selecconada pelo AD a ntesecção das egões de ndfeença do poblema petubado e não petubado é não vaza, podem se dectamente obtdos, desde que os coespondentes valoes se stuem dento das gamas do nível de satsfação L até.0000 e.0000 até R. Emboa a dea base da abodagem em ambente dfuso poposta seja a de efectua uma análse compaatva, nos váos dagamas paamétcos estudados, da evolução de algumas soluções báscas efcentes que o AD va pogessvamente selecconando, no exemplo apesentado fo efectuado um estudo exaustvo paa todo o conjunto de soluções efcentes (com o coespondente peenchmento total dos váos dagamas paamétcos com egões de ndfeença). Como fo efedo ao longo do exemplo, o AD pode também só efectua o estudo paa alguns dos valoes do nível de petença das funções membo consdeadas; po exemplo, pode esta apenas nteessado em analsa que soluções efcentes é possível 27

142 Capítulo IV - Uma metodologa nteactva paa PLMO, com paâmetos dfusos alcança (ou seja, se stuam na fontea efcente em ambente dfuso) paa valoes do nível de petença acma de um detemnado nível α. Na secção 2 do capítulo VII seão exploadas as potencaldades desta abodagem, atavés do estudo de um caso mas complexo. A metodologa apesentada neste capítulo seá aí utlzada paa analsa um modelo multobjectvo paa o estudo das nteacções economa-enega-ambente. Todos os modelos estudados com as metodologas popostas possuíam solução admssível em ambente ígdo. Outa abodagem possível paa ta patdo da nceteza assocada aos modelos, sea consdea poblemas sem solução admssível em ambente ígdo e consdea o poblema dfuso de modo a enconta solução efcente dfusa, como acontece em Pes et al. (996), onde é poposta uma metodologa utlzando o algotmo Smulated Annealng. Esta técnca é atactva paa tata todos os tpos de dfusão em poblemas de optmzação complexos paa os quas as funções objectvo e as estções podem se não lneaes (Pes et al., 996; Rbeo e Pes, 999; Rbeo e Vaela, 2003; Vaela e Rbeo, 2003). Funções membo lneaes, ou mas especfcamente paâmetos caactezados po númeos eas dfusos tangulaes, consttuem apenas uma apoxmação à stuação eal de mpecsão, uma vez que, na genealdade das stuações pátcas, a taxa de vaação do nível de satsfação não é constante. Do ponto de vsta técnco, afgua-se fácl a utlzação desta abodagem mesmo paa funções membo não lneaes, desde que seja possível faze uma tansfomação adequada da coespondente função membo, po exemplo, paa uma função membo lnea po pates. 28

143 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea O estudo da obustez das soluções efcentes (ou das soluções de compomsso consdeadas satsfatóas pelo AD), face à nceteza neente ao pocesso de decsão, nomeadamente esultante da mpecsão e vaações assocadas aos dados de entada, às nevtáves mpecsões na fase de modelação, assm como ao caácte evolutvo da estutua de pefeêncas do AD duante o pocesso nteactvo de decsão, é uma questão de pmodal nteesse. Este estudo deve se consdeado um componente ndspensável de qualque feamenta computaconal nteactva de apoo à tomada de decsões, de modo a possblta não apenas avala o mpacto da vaação de alguns paâmetos ou do pópo modelo, sem necessdade de efomula o poblema desde o níco, como também ajuda o AD a compeende o poblema em estudo e a sua pópa estutua de pefeêncas, a qual pode evolu face à nfomação entetanto adquda (Antunes, 99). Em pogamação lnea monobjectvo, a análse de sensbldade 2, mutas vezes também desgnada po análse pós-optmal ou análse de establdade, possblta detemna as gamas de vaação de paâmetos específcos do modelo, tal que a solução (ou base) óptma do poblema ognal pemaneça óptma paa o poblema petubado. Tendo em vsta a mplementação na pátca da solução óptma do modelo, a análse de sensbldade pemte também conhece melho as caacteístcas de establdade dessa Como já efedo anteomente (Capítulo I), utlzaemos a expessão smplfcada abodagem de toleânca (ou abodagem toleante ) em substtução de abodagem de toleânca em análse de sensbldade (ou abodagem toleante em análse de sensbldade ), a menos que tal se apesente convenente. 2 Assocada à noção da análse de sensbldade suge nomalmente a de análse paamétca na qual se petende dentfca a sequênca de soluções (ou bases) óptmas paa um detemnado ntevalo de vaação de um paâmeto do modelo.

144 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea solução óptma face à vaação de coefcentes do modelo, avala o nteesse da ntodução de uma nova actvdade ou de uma nova estção, ou mesmo aconselha alteações tecnológcas ao sstema modelado. No entanto, as gamas calculadas paa os paâmetos de petubação são gealmente váldas quando vaa um únco coefcente. Po exemplo, os ntevalos obtdos po ntemédo da análse de sensbldade paa os coefcentes da função objectvo podem apenas se consdeados como coespondendo efectvamente a vaações smultâneas e ndependentes nos váos coefcentes, caso os coefcentes de petubação consdeados estejam assocados a vaáves não báscas; de modo análogo, os ntevalos obtdos paa os lados detos das estções podem apenas se consdeados como coespondendo efectvamente a vaações smultâneas e ndependentes nos váos coefcentes, caso as estções assocadas coespondentes tenham a espectva vaável folga ( slack ou suplus ) como vaável básca na solução óptma. No contexto multobjectvo, o poblema de análse de sensbldade não tem uma defnção unfome na lteatua, sendo encaado de foma dvesa consoante a apoxmação utlzada, anda que o objectvo seja nomalmente o de pemt um conhecmento mas apofundado das soluções em elação à vaação de paâmetos. Podemos efe, como exemplo, a abodagem nteactva de análse de sensbldade paa poblemas PLMO poposta po Antunes (99) e Antunes e Clímaco (992), a qual possblta estuda alteações da matz dos coefcentes da função objectvo e dos lados detos das estções funconas (paametzações lneaes de C e de b), assm como analsa o mpacto da ntodução de novas vaáves de decsão e de novas estções lneaes no modelo. Esta abodagem é baseada na exploação do dagama paamétco (dos pesos), o que possblta analsa de foma nteactva as alteações ocodas nas egões de ndfeença peante a ntodução de dfeentes modfcações no modelo em estudo. Especfcamente, detemnam-se os lmtes do ntevalo paa um paâmeto de petubação, de tal modo que, paa uma solução efcente consdeada, a ntesecção das egões de ndfeença petubada e não petubada é não vaza. Também no contexto multobjectvo, os esultados encontados (com base no estudo de alteações nos paâmetos) pelas dfeentes abodagens de análse de sensbldade só são nomalmente váldos quando exste uma vaação solada nos paâmetos (Gal e Lebelng, 98; Gal e Geenbeg, 997). Uma das extensões da análse de sensbldade (tadconal) em poblemas monobjectvo, a ega dos 00% (Badley et al., 977), possblta vaações smultâneas em mas do que uma componente de um vecto, mas não pemte a vaação ndependente das componentes. Esta abodagem mosta-se atactva pos faz uso dos lmtes dos ntevalos de vaação paa cada coefcente obtdos po análse de sensbldade (tadconal), os quas são hoje em da fonecdos pela genealdade do softwae exstente. No entanto, a sua utlzação em temos pátcos pode se dfícl, pos a compeensão dos concetos base apesenta-se algo complexa paa o AD. Po exemplo, esta ega eque que o AD especfque à patda o sentdo de cescmento ou decéscmo de cada coefcente, havendo nesse caso gaanta que uma solução se mantém óptma desde que a soma das facções, coespondentes a uma pecentagem da vaação máxma paa cada dmensão (em elação aos valoes obtdos po análse de sensbldade), se mantenha meno ou gual à undade (os 00%). Paa além do elevado númeo de combnações possíves de acéscmo ou decéscmo dos coefcentes, o AD tem 30

145 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea nomalmente dfculdade em pensa em temos de (soma das) facções adtvas de vaações. Contaamente à análse de sensbldade (tadconal) aplcada a poblemas de pogamação lnea, a abodagem de toleânca possblta ao AD um modo de consdea smultânea e ndependentemente petubações em mas do que um coefcente. Esta abodagem pemte calcula a mao pecentagem, chamada pecentagem máxma de toleânca, de tal modo que se alguns paâmetos selecconados não vaaem mas do que a efeda pecentagem, em elação aos valoes estmados, a solução óptma calculada anteomente mantém-se óptma. Esta pecentagem possblta caacteza uma egão de toleânca paa a vaação, smultânea e ndependente, dos paâmetos de petubação selecconados, dento da sua egão cítca, paa a solução óptma. Um pmeo estudo neste âmbto fo efectuado po Wendell (985), onde mosta como detemna a pecentagem máxma de toleânca consdeando paâmetos de petubação assocados a alguns coefcentes dos temos ndependentes das estções ou/e da função objectvo em poblemas de pogamação lnea monobjectvo. Se o AD consegu especfca a po alguma nfomação que possblte delmta ntevalos onde os valoes dos paâmetos assocados a alguns coefcentes dos temos ndependentes das estções ou/e da função objectvo podem vaa, Wendell (984) mosta como é possível obte maoes valoes paa as pecentagens máxmas de toleânca calculadas anteomente em (Wendell, 985). A teoa e metodologa paa a stuação em que alguns dos coefcentes de uma lnha ou de uma coluna da matz tecnológca podem vaa, smultânea e ndependentemente, sem que haja alteação do conjunto de vaáves báscas assocadas a uma solução óptma, enconta-se desenvolvda em (Rav e Wendell, 989). Dado que o cálculo exacto da pecentagem máxma de toleânca quando se consdeam petubações em mas do que uma lnha ou coluna da matz tecnológca ao mesmo tempo se pode tona demasado complexo, os mesmos autoes popõem o conceto de toleânca apoxmada (Rav e Wendell, 985), esultando assm um poblema mas fácl de esolve. Uma das lmtações da abodagem toleante ncalmente poposta (Wendell, 985) esde no facto da pecentagem máxma de toleânca depende exclusvamente do paâmeto que apesenta mao susceptbldade de vaação em elação aos valoes estmados, o que vulgamente ocasona a obtenção de valoes pequenos (Wang e Huang, 993), ou mesmo nulos (Wondolowsk, 99; Wendell, 992), paa a pecentagem máxma de toleânca, anda que consdeando modelos de dmensão modeada. Deste modo, os ntevalos obtdos paa a vaação dos paâmetos podem não se tão amplos como, em temos pátcos, de facto o são. Com o desígno de ultapassa este poblema, são apesentados em (Wondolowsk, 99; Wendell, 992) e em (Wang e Huang, 993) dos modos dstntos de tenta expand a egão de toleânca paa a vaação dos paâmetos de petubação selecconados. Estas duas abodagens dfeem no modo como se ealza o alagamento da egão de toleânca: Wondolowsk (99) e Wendell (992) tentam faze cesce a egão de toleânca de (Wendell, 985) nas decções em que a mesma não se apesenta lmtada pela fontea da egão cítca dos paâmetos consdeada, obtendo uma nova egão (hpe-paalelepípedo) ectangula; Wang e Huang (993) pocuam detemna uma egão, também (hpe-paalelepípedo) ectangula e com centóde nos valoes 3

146 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea estmados paa os paâmetos, a qual possu volume máxmo dento da egão cítca consdeada, atavés da esolução dum poblema de pogamação dnâmca. Em (Hansen et al., 989) os autoes popõem uma extensão da abodagem toleante em análse de sensbldade apesentada po Wendell (985, 984) aplcada a poblemas de PLMO, onde o cálculo das soluções efcentes consste na optmzação da soma pesada das váas funções objectvo. Esta abodagem possblta calcula a pecentagem máxma de toleânca paa os váos pesos das funções objectvo, de tal modo que estes podem vaa smultânea e ndependentemente, em elação aos seus valoes estmados, sem que uma solução efcente anteomente calculada paa esses pesos se altee. É anda consdeada a possbldade de conhece a po as gamas de vaação paa alguns pesos. Patndo do pessuposto que, po vezes, o AD não consegue especfca de modo pecso o valo dos pesos ou mesmo estabelece ntevalos de vaação paa estes, mas tem mas facldade em especfca algumas elações lneaes que estes devem vefca, Mamol e Pueto (997) apesentam um estudo de abodagem toleante no contexto lnea multobjectvo, o qual nclu os ntevalos estudados po Hansen et al. (989) como caso patcula. Este capítulo está oganzado da segunte foma: Na secção é detalhadamente exposta a abodagem de toleânca em análse de sensbldade poposta po Wendell (985, 984), no contexto da pogamação lnea monobjectvo. Atavés de uma análse essencalmente geométca, são sumaamente apesentados na secção 2 os dos modos dstntos de tenta expand a egão de toleânca de Wendell (985), paa a vaação dos paâmetos selecconados, como sugedo em (Wondolowsk, 99; Wendell, 992) e em (Wang e Huang, 993) em poblemas de pogamação lnea monobjectvo. Na secção 3 é pomenozadamente descta a abodagem apesentada po Hansen et al. (989) no domíno lnea multobjectvo, onde é usada a soma pesada das váas funções objectvo como função escalazante paa detemna as soluções efcentes. Fnalmente, são tecdas na secção 4 algumas consdeações sobe a abodagem de toleânca em análse de sensbldade. V. A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) A abodagem de toleânca em análse de sensbldade poposta po Wendell (985, 984), paa poblemas de pogamação lnea monobjectvo, possblta ao AD um modo de consdea ndependentemente petubações em mas do que um paâmeto ao mesmo tempo. Esta abodagem apesenta-se bastante ntutva em temos geométcos. Essencalmente, consste em caacteza uma egão de toleânca paa a vaação, smultânea e ndependente, dos paâmetos selecconados. 32

147 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) V.. Lmtes de toleânca paa as petubações dos lados detos das estções e paa os coefcentes da função objectvo Em (Wendell, 985) é efectuado um estudo compaatvo ente a análse de sensbldade tadconal, a abodagem de toleânca e outas abodagens (como, po exemplo, a ega dos 00%) em poblemas de pogamação lnea monobjectvo. O auto mosta como detemna: a pecentagem máxma de toleânca paa os coefcentes da função objectvo, de tal modo que estes podem vaa smultânea e ndependentemente mantendo-se óptma a solução anteomente calculada; a pecentagem máxma de toleânca paa os coefcentes dos temos ndependentes das estções funconas, de tal modo que estes podem vaa smultânea e ndependentemente sem que uma base óptma anteomente calculada se altee. V... O poblema Se foem consdeados paâmetos de petubação assocados aos coefcentes dos temos ndependentes das estções e da função objectvo em poblemas de pogamação lnea, a abodagem toleante apesentada po Wendell (985) estuda o segunte poblema: s. a. max n j= n ( cˆ j + γ j c j ) x j (V.) j= A ˆ j x j = b + b δ ; paa =,2,...,m x j 0 ; paa j =, 2,..., n, onde bˆ e ĉ j epesentam valoes estmados paa b e c j espectvamente, b e c j têm valoes especfcados pelo AD e δ e γ j são paâmetos multplcatvos de b e c j, espectvamente. Po uma questão de coeênca de notação com Wendell (985), consdeemos bˆ, b b ˆ b δ... e δ, e ĉ j, c j e γ j como componentes dos vectoes coluna bˆ = bˆ, b = b e δ= δ, ˆ bm bm δ m e dos vectoes lnha ĉ =[ cˆ... cˆ j... cˆ n ], c =[ c... c j... c n ] e 33

148 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea γ=[ γ... γ... γ ] j n, espectvamente 3. Consdeemos também γ B e ĉ B, espectvamente, os subvectoes de γ e ĉ elatvos às vaáves báscas assocados à base B (vaáves K 4 ), sto é, γ B = γ h γ hm... e ĉ B = c h... c hm, onde h é o índce da -ésma vaável básca em elação à base consdeada. Emboa façam um estudo teóco genéco paa quasque valoes de b e c j, os autoes consdeam b = bˆ e c j = ĉ j dado que, neste caso, os factoes δ e γ j podem se ntepetados como pecentagens de eo em elação aos espectvos valoes estmados 5. Se algum dos valoes de bˆ e ĉ j fo conhecdo com pecsão 6, então os coespondentes b e c j são consdeados nulos, uma vez que não é necessáo consdea petubações nestes valoes. Se fo possível enconta um valo não negatvo, ρ, de tal modo que uma base óptma de (V.) se mantenha óptma se os valoes absolutos de cada δ não excedeem ρ (sto é, ρ δ ρ; paa =, 2,.., m), então ρ é um valo possível paa a toleânca dos coefcentes dos temos ndependentes das estções. 3 Esta nomenclatua matcal coesponde à utlzada po Wendell em (985, 984). No entanto, paa se matematcamente gooso, b e c devem se epesentados po matzes (dagonas) cujos elementos da dagonal são os espectvos valoes nos vectoes (como Wendell ndectamente efee em (2004)). 34 Nestas ccunstâncas, γc =[ γ... γ... γ ] b o somado a ĉ ) e b δ =... o o 4 o... o... o... o b o... o... o... o c o... o o o... o... o j n... o c o... j é um vecto lnha (a se o... o... o o o... o c n o δ o δ é um vecto coluna (a se somado a bˆ ). o... b δ m m K enconta-se defndo no Capítulo II, como o conjunto dos índces coespondentes às vaáves não báscas paa a base consdeada. Em (Wendell, 985, 984, 992) e em (Hansen et al., 989) os autoes já consdeam que nas n vaáves de decsão do poblema estão ncluídas as folgas (necessáas à tansfomação das estções funconas em gualdade, como acontece no poblema (V.)). Po analoga com estes autoes, sempe que ao longo deste capítulo (e do segunte) estveem a se desctas as metodologas popostas, seá consdeado o conjunto K = {k=, 2,, n: k h ; paa =, 2,, m}, onde h é o índce da -ésma vaável básca. 5 Se, po exemplo, vaações adtvas paa bˆ e 6 b = e c j = então δ e γ j podeam se ntepetados como epesentando ĉ j, espectvamente. Wang e Huang (993) denomnam estes paâmetos po nonfocal paametes pos, nesta stuação, não há nteesse em consdea estes coefcentes duante o estudo efectuado.

149 Pode então defn-se: ρ* como toleânca máxma se e só se ρ<ρ*; ρ*x00% como a pecentagem máxma de toleânca; V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) R ρ* = {δ: ρ* δ ρ*; =, 2,,m} como a egão de toleânca 7. Assm sendo, uma base B mante-se-á óptma paa todos os δ R ρ*. Uma ntepetação mpotante paa ρ* suge quando b = bˆ paa cada onde b 0. Neste caso, uma dada base óptma de (V.) mante-se-á óptma se os valoes dos temos ndependentes das estções não vaaem mas do que ρ*x00% dos seus valoes estmados bˆ, sendo ρ* o mao valo que vefca esta popedade. Dada uma base B, chama-se egão cítca paa os coefcentes dos temos ndependentes das estções ao conjunto no qual os efedos coefcentes podem vaa smultânea e ndependentemente, mantendo-se óptma a base B consdeada. Ou seja, é a egão caactezada pelo conjunto R b ={b: B - b 0} (ou, se fo consdeado o poblema petubado R δ ={δ: B - b 0; b ˆ = b + b δ ; =, 2,..., m }). De efe que em poblemas lneaes esta egão é sempe um polítopo, e a egão de toleânca máxma está sempe contda nesta egão cítca. De modo análogo, se fo possível detemna um valo não negatvo, τ, de tal modo que uma solução óptma de (V.) se mantenha óptma se os valoes absolutos de cada coefcente de petubação γ j não excedeem τ (sto é, τ γ j τ; paa j=, 2,.., n), então τ é um valo possível paa a toleânca das petubações nos coefcentes da função objectvo. Pode também defn-se: τ* como toleânca máxma se e só se τ<τ*; τ*x00% como a pecentagem máxma de toleânca; R τ* = {γ: τ* γ j τ*; j=, 2,,n} como a egão de toleânca 8. Assm sendo, uma solução óptma mante-se-á óptma paa todos os γ R τ*. Tal como anteomente, quando c j = ĉ j uma dada solução óptma de (V.) mante-se-á óptma se os valoes dos coefcentes da função objectvo, paa os quas c j 0, não vaaem mas do que τ*x00% dos seus valoes estmados ĉ j, sendo τ* o mao valo que vefca esta popedade. 7 A egão de toleânca paa os coefcentes dos temos ndependentes das estções pode também se defnda no espaço dos b (Wendell, 992), ou seja: R b = { b: ρ* b b ρ* b ; =, 2,,m}, onde b =0 quando b =0. Repae-se que, neste caso, b = δ b. 8 A egão de toleânca paa os coefcentes da função objectvo pode também se defnda no espaço dos c (Wendell, 992), ou seja: R c = { c: τ* c j c j τ* c j ; j=, 2,,n }, onde c j =0 quando c j =0. Tal como anteomente, neste caso, c j = γ j c j. 35

150 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea A egão cítca paa os coefcentes da função objectvo, a qual, tal como anteomente, em poblemas lneaes é sempe um polítopo, pode se defnda como a egão onde os efedos coefcentes podem vaa smultânea e ndependentemente mantendo-se a solução óptma. Ou seja, é a egão caactezada pelo conjunto R c ={c: c B B - N - c N 0} (ou, se fo consdeado o poblema petubado R γ ={γ: c B B - N - c N 0; c j = c ˆ j + γ j c j ; j=, 2,.., n}). A egão de toleânca máxma está sempe contda nesta egão cítca. V...2 Fomulação matemátca e ntepetação geométca Um valo não negatvo, ρ, é uma possível toleânca paa os coefcentes dos lados detos das estções funconas se e só se ρ δ ρ; =, 2,,m B é uma base óptma de (V.). (V.2) De modo análogo, um valo não negatvo, τ, é uma possível toleânca paa os coefcentes da função objectvo se e só se τ γ τ; j=, 2,,n B é uma base óptma de (V.). j (V.3) ' bˆ + δb... Sendo B - ' bˆ + δ b... ' ˆ bm + δ mbm pode se escta como 9 : = B bˆ ρ δ ρ; =, 2,,m + [ b B.... B. ] B -. bˆ m b m δ, a mplcação (V.2) k + [ Bk b... Bkm bm ] δ 0 (V.4.k) ; paa cada k {,,m}. A toleânca máxma, ρ*, é defnda como sendo o mao de todos os valoes possíves paa a toleânca ρ, ou seja, ρ*=sup{ρ: ρ satsfaz (V.4.k)}. Como ρ=0 é um valo admssível paa a toleânca, então exste ρ não negatvo (podendo se nfnto). Dado que o conjunto dos ρ que satsfazem (V.4.k) é fechado, o valo ρ* quando fnto é um possível valo paa a toleânca. Como os valoes dos custos eduzdos coespondentes às vaáves não báscas de uma dada solução óptma devem se não negatvos paa mante a optmaldade da solução, a mplcação (V.3) pode se escta como: ch B. A. k τ γ j τ; j=, 2,,n cˆ + + γ k γ kck cˆ BB A. k B... 0 (V.5.k) c h B m m. A. k ; paa cada k K. 9 M. e M. j epesentam espectvamente a lnha e a coluna j da matz M. 36

151 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) Tal como anteomente, a toleânca máxma, τ*, é defnda como sendo a mao de todas as toleâncas possíves τ, ou seja, τ*=sup{τ: τ satsfaz (V.5.k)} e é um valo não negatvo (podendo se nfnto). Se τ* fo fnto é um possível valo paa a toleânca. Vejamos agoa como o poblema do cálculo da toleânca máxma ρ* pode se ntepetado geometcamente. Sem peda de genealdade, consdeemos m=2. Na fgua V. estão epesentados 2 semplanos coespondentes a H k (b ) ={δ= δ δ 2 conjuntos R ρ ={ δ, δ 2 : k + [ B b B b ] : B -. bˆ k k 2 2 δ 0}, k=, 2; assm como, as fonteas dos ρ δ ρ ; =, 2} paa os valoes de ρ=ρ, ρ=ρ, ρ=ρ e ρ=ρ, onde ρ <ρ <ρ <ρ. Note-se que, paa o caso de m=2, estes conjuntos, R ρ, coespondem a quadados, paa m=3 a cubos, e paa m>3 são hpecubos 0. Detemna ρ* coesponde a enconta o mao valo de ρ paa o qual o coespondente quadado é um subconjunto de todos os semplanos exstentes. Paa sso, podemos consdea cada semplano sepaadamente e detemna qual o mao valo de ρ paa o qual o coespondente quadado petence ao semplano em estudo. Seja esse valo ρ k. ρ* seá o meno destes valoes, uma vez que nenhum dos outos quadados é um subconjunto de todos os semplanos exstentes. Na stuação da fgua V. ρ =ρ e ρ 2 =ρ sendo ρ*=ρ. Fgua V. A egão de toleânca, R ρ* = {δ: ρ* δ ρ*; =, 2,,m} ( = R ). Este acocíno pode se genealzado paa o caso de m>2. Teemos então que detemna o mao valo de ρ paa o qual o coespondente hpecubo é um subconjunto dos k sem-hpeespaços H k (b ) = {δ: B - k. bˆ + [ Bk b... Bkm bm ] δ 0} exstentes; k=,, m. O poblema do cálculo da toleânca ρ k, pode também se ntepetado geometcamente como consstndo em enconta a dstânca mínma, utlzando a noma m 0 A egões de toleânca paa os coefcentes dos temos ndependentes das estções no espaço dos b, R b, são ectângulos paa m=2, paalelepípedos ectângulos paa m=3, e hpe-paalelepípedos ectângulos paa m>3. 37

152 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea de Tchebycheff (max{ δ,, δ m }), desde a ogem ( δ =0,, δ m =0) até ao = hpeplano H k (b ) ={δ: B - k. bˆ + [ Bk b... Bkm bm ] δ = 0}; k=,, m. Na fgua V. (m=2), esta dstânca mínma coesponde à meno das dstâncas ente: a dstânca que va desde a ogem das coodenadas até ao ponto A (paa k=) e a dstânca que va desde a ogem das coodenadas até ao ponto B (paa k=2). Como tanto o ponto A como B são vétces dos quadados epesentados na fgua V., podem se caactezados po s ρ k, onde s s 2ρ e s 2 podem toma os valoes ou -. k = Além dsso, tanto A como B petencem espectvamente às ectas H k (b ) ={δ= δ : δ 2 B - k.bˆ + [ ] s ρ k B k b Bk 2 b2 s ρ = 0}, com k=, 2. 2 k Resolvendo cada equação em odem a ρ k temos: ρ k = s B k B b + s k. bˆ 2 B k 2. b 2 Sendo ρ k a dstânca mínma até à ecta espectva, mplca que s =sgn ( B k b ) s 2 =sgn ( B b ), ou seja: k 2 2 ρ k = B k B b k. bˆ + B k 2 b 2. Tal como anteomente, este acocíno pode se faclmente genealzado paa o caso em que m>2 (Teoema 3 em (Wendell, 985) apesentado na secção segunte). Uma ntepetação análoga pode se obtda elatvamente à toleânca máxma τ* paa as petubações nos coefcentes das funções objectvo. e V...3 Os esultados Em (Wendell, 985) o auto demosta como calcula as efedas toleâncas máxmas (Teoema ). Segudamente seão apesentados 2 os teoemas e lemas usados na detemnação de ρ* e τ*. Lados detos das estções Sejam os sem-hpeespaços H k (b ) ; k=,, m, defndos po: H k (b ) ={δ: k +[ B b... B b ] B -. bˆ k δ 0} (V.6.k) km m Consdeando α um escala, defne-se sgn(α) como tomando os valoes +, 0 e - paa α>0, α=0 e α<0, espectvamente. 2 A demonstação pode se encontada em (Wendell, 985). 38

153 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) < = e sejam H k (b ) os coespondentes sem-hpeespaços e H k (b ) os coespondentes hpeplanos (tendo a desgualdade sdo substtuída pela desgualdade < e pela gualdade, espectvamente). Podemos defn ρ k ; k=,, m, do segunte modo: ρ k sup ρ s.a. δ ρ δ H k ( b ), (V.7.k) onde. epesenta o valo da noma de Tchebycheff (ou seja, δ Max,..., m δ = ). O valo ρ* (possvelmente nfnto) é dado po (Teoema 2 em (Wendell, 985)): ρ* = Mn ρ k. k =,..., m Vamos segudamente ve como calcula o valo de ρ k ; k=,, m. O valo ρ k seá fnto se e só se {, 2,..., m} paa o qual B k b 0 (Lema em (Wendell, 985)). Se ρ k fo fnto então exste pelo menos uma solução admssível (ρ, δ ) paa o = poblema (V.7.k) onde ρ =ρ k, δ =ρ k e δ H k (b ) (Lema 2 em (Wendell, 985)). (V.8) Se ρ k fo fnto então ρ k = (Wendell, 985)): δ * onde δ * é uma solução óptma de (Lema 3 em δ * Mn δ s.a. δ H = (b ) k. (V.9.k) O valo ρ k (fnto ou nfnto) é dado po (Teoema 3 em (Wendell, 985)): Bk. ρ k = m v = B bˆ kv b v, (V.0.k) onde um denomnado nulo paa algum k sgnfca que o coespondente valo é +. Se ρ k fo fnto então uma solução óptma paa (V.9.k) seá: δ * = ( B. bˆ ) k m v = sgn(b B kv k b v b ). (V..k) A toleânca máxma paa as petubações dos lados detos das estções em (V.) é dada po (ª pate do Teoema em (Wendell, 985)): ρ* = Mn k =,..., m ˆ Bk. b m v = B kv b v, (V.2) onde um denomnado nulo paa algum k sgnfca que o coespondente valo é +. 39

154 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea Coefcentes da função objectvo 40 Sejam os sem-hpeespaços H k (c ) ; k K, defndos po: ch B. A. k H k (c ) ={γ: cˆ k + γ kc k cˆ BB A. k γ B... 0 } (V.3.k) B. A. chm m k > = e sejam H k (c ) os coespondentes sem-hpeespaços, e H k (c ) os coespondentes hpeplanos (tendo a desgualdade sdo substtuída pela desgualdade > e pela gualdade, espectvamente). onde Podemos defn τ k ; k K, do segunte modo: τ k sup τ s.a. γ ρ γ H k ( c ), (V.4.k). epesenta o valo da noma de Tchebycheff (ou seja, γ Max j n γ =,..., j ). O valo τ* (possvelmente nfnto) é dado po (Teoema 4 em (Wendell, 985)): τ* = Mn τ k,se K' Ø k K ' (V.5) +,se K' = Ø Vamos segudamente ve como calcula o valo de τ k, paa cada k K. O valo τ k seá fnto se e só se ou c k 0 ou {, 2,..., m} paa o qual c B. A. 0 ; paa k K (Lema 4 em (Wendell, 985)). h k Se τ k fo fnto então exste pelo menos uma solução admssível (τ, γ ) paa o = poblema (V.4.k) onde τ =τ k, γ =τ k e γ H k (c ) (Lema 5 em (Wendell, 985)). Se τ k fo fnto então τ k = γ * onde γ * é uma solução óptma de (Lema 6 em (Wendell, 985)): γ * Mn γ s.a. γ H = (c ) k. (V.6.k) O valo τ k paa k K (fnto ou nfnto) é dado po (Teoema 5 em (Wendell, 985)): τ k = c k cˆ B B A. k - m = c h + B. cˆ k A. k, (V.7.k) onde um denomnado nulo paa algum k sgnfca que o coespondente valo é +. Se τ k fo fnto então uma solução óptma paa (V.6.k) seá: γ * = j ( cˆ B ck ( cˆ k 0 B + - cˆ B c k A. k m c = h B + - cˆ ) sgn( c ) A. ) sgn( c k B. k m = c h A. B k k h. B. A. k A. k ), paa, paa j= k j= h, outos casos (V.8.k) ; onde =,...,m

155 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) Se K Ø (K Ø se n>m) a toleânca máxma paa as petubações nos coefcentes da função objectvo em (V.) é dada po (2ª pate do Teoema em (Wendell, 985)) 3 : τ* = Mn k K' cˆ B B A. k - cˆ k m ck + = c h B. A. k, (V.9) onde um denomnado nulo paa algum dos #K valoes de (V.9) sgnfca que o coespondente valo é +. Comentáos Se K =Ø então a efeda toleânca máxma é +. Toda a nfomação necessáa ao cálculo de (V.2) e (V.9) pode se obtda a pat dos quados smplex ncal e óptmo. Po exemplo, o numeado de (V.2) é x * h ; o k numeado de (V.9) é o custo eduzdo assocado a x k ; B. A. k é o elemento da lnha e coluna k do quado óptmo. A pat de (V.2) e (V.9), pode conclu-se que se algum dos valoes de bˆ e ĉ j foem conhecdos com pecsão, os valoes obtdos paa ρ* e τ* seão consequentemente maoes, dado que os coespondentes b e c j são consdeados nulos. Apesa de os autoes teem estudado soladamente as petubações nos temos ndependentes das estções e nos coefcentes das funções objectvo de (V.), os esultados obtdos mostam que estas podem se consdeadas smultaneamente, uma vez que (V.2) e (V.9) não dependem de γ j e δ, espectvamente. Assm, consdeando smultaneamente paâmetos de petubação assocados aos coefcentes dos temos ndependentes das estções e aos da função objectvo a mesma base mante-se-á óptma desde que δ R ρ* e γ R τ*. V...4 Exemplo lustatvo O segunte poblema lnea monobjectvo com quato vaáves de decsão e duas estções, estudado po Wendell (985, 984, 992), possblta uma melho compeensão da abodagem exposta. max 2 x + 20 x x x 4 s.a. 4 x + 9 x x x x + x x x x, x 2, x 3, x A matz B coespondente à base óptma do poblema (V.) pode se escta na foma de colunas como [ A. h A. h2 A. h m ] onde A. h epesenta a coluna h da matz A (assocada à -ésma vaável básca). 4

156 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea Se x 5 e x 6 foem as vaáves folga assocadas a cada uma das estções, o quado smplex óptmo é o apesentado na tabela V.: Tabela V. Quado smplex multobjectvo óptmo (exemplo lustatvo) x B c B x c x 2 x 2 20 x 3 8 x 4 40 x 5 0 x 6 0 b x 2 7/3 5/3 0 4/5 -/5 4000/3 x /30 /30 -/50 2/75 200/3 c B B - N - c N 0 20/3 0/3 0 44/5 4/ /3 Consdeando soladamente cada um dos coefcentes dos temos ndependentes das estções funconas, pode conclu-se, po ntemédo de um estudo de análse de sensbldade (tadconal), que: O temo ndependente da pmea estção pode vaa no ntevalo mn max [ b, b ] = [000, 6000] (-5000 b 0000) sem que a base óptma se altee; O temo ndependente da segunda estção pode vaa no ntevalo mn max [ b 2, b 2 ] = [500, 24000] (-2500 b ) sem que a base óptma se altee. A pat da fgua V.2(a) pode obseva-se que estes ntevalos coespondem à ntesecção de ambos os semplanos B - b 0 (defndoes da egão cítca paa os coefcentes dos temos ndependentes das estções) com a ecta hozontal ˆb 2 = 4000 e com a ecta vetcal ˆb = 6000, espectvamente. (a) Lados detos das estções (b) Petubações nos lados detos das estções Fgua V.2 A egão cítca e a egão de toleânca paa o exemplo lustatvo ( = R ). m 42

157 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) Utlzando a análse de toleânca, pode conclu-se que a base óptma obtda mante-se-á óptma desde que os coefcentes dos temos ndependentes das duas estções não vaem, smultânea e ndependentemente, mas do que 45.45% em elação aos seus valoes estmados; ou seja, a base óptma não se altea desde que o temo ndependente da pmea estção vae no ntevalo [3272.(72), 8727.(27)] 4 e, smultaneamente o temo ndependente da segunda estção vae no ntevalo [28.(8), 588.(8)] (-2727.(27) b 2727,(27) e -88.(8) b 2 88,(8)). O valo da pecentagem máxma de toleânca é detemnado po ρ*=mn{5/7; 5/}=5/. Estes esultados podem se faclmente obtdos a pat da análse das fguas V.2(a) e V.2(b). Suponhamos agoa que o AD conhece com pecsão o lado deto da segunda estção. Neste caso b 2 = 0, ou seja, 6000 b = e a pecentagem máxma de toleânca 0 ρ* = mn{5/6; 5/3} = 5/6. A base óptma mante-se-á óptma desde que o temo ndependente da pmea estção não vae mas do que 83.33% do seu valo estmado; ou seja, se stue no ntevalo [000, 000] (-5000 b 5000 e b 2 = 4000). De modo análogo, se o AD conhece com pecsão o lado deto da pmea estção então 0 b = e ρ* = mn{5; 5/8} = 5/8. A base óptma mante-se-á óptma 4000 desde que o temo ndependente da segunda estção não vae mas do que 62.5% em elação ao seu valo estmado; ou seja, se stue no ntevalo [500, 6500] (b = 6000 e b ). Compaando os ntevalos obtdos paa os coefcentes po ntemédo de um estudo de análse de sensbldade (tadconal) e atavés da análse de toleânca, pode conclu-se que os segundos estão sempe contdos nos pmeos, sto é, mn max bˆ ρ * b, bˆ + ρ * b b, b. Vefca-se também que, se todas as componentes [ ] [ ] de b excepto a componente foem nulas e b 0 então ou max b ˆ + ρ * b = b. b ˆ ρ * b = b ou Um estudo smla pode se efectuado paa os coefcentes da função objectvo. Po exemplo, se não conhecemos nfomação adconal sobe os coefcentes da função objectvo temos c = (2, 20, 8, 40, 0, 0), K = {2, 3, 5, 6} e τ* = mn{5/37; 5/59; /3; /7} = 5/ A análse de toleânca pemte-nos conclu que a solução obtda se mantém óptma desde que todos os coefcentes da função objectvo não vaem, smultânea e ndependentemente, mas do que 8.47% em elação aos seus valoes estmados; ou seja, a solução óptma obtda pemaneceá óptma desde que o coefcente de x a x 4 vaem, espectvamente, nos ntevalo [0.98, 3.02], [8.3, 2.69], [6.47, 9.53] e [36.6, 43.39], smultânea e ndependentemente. Estes ntevalos estão ncluídos nos obtdos atavés de um estudo de análse de sensbldade (tadconal) aplcado aos coefcentes das funções objectvo. Nesse caso mn 4 Fo utlzada a nomenclatua 3272.(72) paa epesenta uma dízma nfnta peódca, ou seja, o valo 3272.(72)=3272,

158 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea sabemos que os coefcentes de x a x 4 podem vaa espectvamente nos ntevalo [0, 6], [-, 26.67], [-, 2.33] e [30, 240], mantendo-se óptma a solução calculada. Suponhamos agoa que o AD conhece com pecsão o coefcente de x na função objectvo, ĉ = 2. Neste caso temos c = (0, 20, 8, 40, 0, 0), K = {2, 3, 5, 6} e τ* = mn{5/6; 5/29; ; /4} = 5/ A solução óptma mante-se-á óptma desde que os coefcentes da função objectvo coespondentes às vaáves x 2, x 3, e x 4 não vaem, smultânea e ndependentemente, mas do que 7.24% em elação aos seus valoes estmados. Maoes valoes podem se obtdos paa a toleânca máxma dos coefcentes da função objectvo se fo possível conhece com pecsão outos coefcentes. V..2 Exstênca a po de nfomação elatva a gamas de vaação paa os coefcentes dos lados detos das estções e da função objectvo Wendell (984) mosta como ntega no estudo anteo a exstênca a po de nfomação elatva a gamas de vaação de alguns coefcentes de modo a obte maoes valoes paa as pecentagens máxmas de toleânca a detemna. Dado que o acocíno usado é dêntco ao anteo, mutos dos esultados (teoemas, cooláos e lemas) apesentados nas póxmas secções estão nte-elaconados com os apesentados anteomente. V..2. O poblema Wendell (984) denomna e Γ como os conjuntos, defndos a po pelo AD, nos quas os coefcentes δ e γ ão vaa, espectvamente. Defnndo as egões de toleânca R ρ* e R τ* como anteomente em V..., pode afma-se que uma base óptma de (V.) mante-se-á óptma paa todos os δ R ρ* e uma solução óptma de (V.) mante-se-á óptma paa todos os γ R τ* Γ. Consdeando o caso geal em que os conjuntos e Γ são polítopos, o auto mosta como se pode calcula o valo da toleânca máxma po ntemédo dos esultados obtdos com o método smplex. Wendell (984) efectua um estudo mas apofundado paa o caso patcula em que estes conjuntos têm a foma (l, µ)={δ: l δ µ ; =,, m} e Γ(l, µ)={γ: l j γ j µ j ; =,, n} 5, sendo (l e µ ) e (l j e µ j ) os lmtes nfeoes e supeoes dos ntevalos onde δ e γ j podem vaa, espectvamente; com - l 0 µ + e - l j 0 µ j +. Neste caso, os paâmetos δ e γ j ão vaa nos ntevalos [l, µ ] e [l j, µ j ], espectvamente. 5 l l =... µ e µ =..., com v=m em (l, µ) ou v=n (=#K ) em Γ(l, µ). l v µ v 44

159 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) Se, paa algum (j), l (l j )=- e µ (µ j )=+, então sgnfca que não exste a po nfomação que possblte delmta o ntevalo assocado ao espectvo δ (γ j ). Se, paa algum (j), l (l j )=0 e µ (µ j )=0, temos um modo altenatvo, mas menos convenente, de especfca que o coespondente paâmeto é conhecdo com pecsão. Paa o caso patcula em que estes conjuntos têm a foma (l, µ) ou Γ(l, µ), é apesentada em (Wendell, 984) uma abodagem teatva paa o cálculo da toleânca máxma ( elaxaton pocedue ) a qual consste num tatamento mas pemssvo da abodagem apesentada em (Wendell, 985), uma vez que, paa cada um dos k semhpeespaços ( H k (b ) ou H k (c ) ), o auto começa po estuda o poblema gnoando todos os lmtes fntos paa l e µ ou l j e µ j (stuação estudada em (Wendell, 985); = R m ou Γ= R n ), sendo estes consdeados de foma gadual mas tade, caso se moste necessáo, pemtndo assm obte maoes valoes paa as toleâncas calculadas. V..2.2 Fomulação matemátca e ntepetação geométca Um valo não negatvo ρ é uma possível toleânca paa os coefcentes dos lados detos das estções funconas se e só se onde δ δ ρ B -. bˆ k + [ Bk b... Bkm bm ]. epesenta o valo da noma de Tchebycheff 6. δ 0 (V.20.k) ; paa cada k {,,m}, A toleânca máxma ρ* é defnda como sendo o mao de todos os valoes possíves paa a toleânca ρ, ou seja, ρ*=sup{ρ: ρ satsfaz (V.20.k)}. Como em V...2, sendo ρ=0 um valo admssível paa a toleânca, então exste ρ não negatvo (podendo se nfnto). Dado que o conjunto dos ρ que satsfazem (V.20.k) é fechado, o valo ρ* quando fnto é um possível valo paa a toleânca. De modo análogo, um valo não negatvo τ é uma possível toleânca paa os coefcentes da função objectvo se e só se 7 : γ Γ γ τ c B. A. h k cˆ c ˆ k γ k k + cbb A. k + γ B... 0 (V.2.k) c Bm. A. k hm ; paa cada k K. Tal como anteomente, a toleânca máxma τ* é defnda como sendo a mao de todas as toleâncas possíves τ, ou seja, τ*=sup{τ: τ satsfaz (V.2.k)} e é um valo não negatvo (podendo se nfnto). Se τ* fo fnto é um possível valo paa a toleânca. 6 7 A expessão de baxo no lado esquedo da mplcação (V.20.k) coesponde a ρ δ ρ; =,, m. A expessão de baxo no lado esquedo da mplcação (V.2.k) coesponde a τ γ τ; j=,, n. j 45

160 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea Vejamos agoa como o poblema do cálculo da toleânca máxma ρ* pode se ntepetado geometcamente. Sem peda de genealdade, consdeemos m=2. Na fgua V.3 estão epesentados 2 semplanos coespondentes a H k (b ) ={δ= δ : B bˆ δ 2 -. δ 0}, k=, 2; o conjunto (l, µ)={δ= δ : δ 2 l δ µ } 8 ; assm como, as fonteas dos conjuntos { δ, δ 2 : -ρ δ ρ; =, 2}, paa os valoes de ρ=ρ a, ρ=ρ c, ρ=ρ b e ρ=ρ d onde ρ a <ρ c <ρ b <ρ d. k + [ Bk b Bk 2 b2 ] Detemna ρ* coesponde a enconta o mao valo de ρ paa o qual a ntesecção de com o coespondente quadado (fgua V.3) é um subconjunto de todos os semplanos exstentes. Paa sso, podemos consdea cada semplano sepaadamente e detemna qual o mao valo de ρ paa o qual a ntesecção de com o coespondente quadado petence ao semplano em estudo. Seja esse valo ρ k. ρ* seá o meno destes valoes. Na stuação da fgua V.3, ρ =ρ c e ρ 2 =ρ d sendo ρ*= ρ c. Fgua V.3 A egão de toleânca, R ρ* = {δ: ρ* δ ρ*; =, 2,,m} ( R ). Este acocíno pode se genealzado paa o caso de m>2. Teemos então que detemna o mao valo de ρ paa o qual a ntesecção de com o coespondente hpecubo é um subconjunto dos k sem-hpeespaços H k (b ) = {δ: B - k.bˆ + [ Bk b... Bkm bm ] δ 0} exstentes; k=,,m. Uma ntepetação análoga pode se obtda no tocante à toleânca máxma τ*. m V..2.3 Os esultados Segudamente seão apesentados 9 alguns teoemas, lemas e cooláos usados na detemnação dos valoes das toleânca máxmas ρ* e τ*. 8 9 O paâmeto δ á vaa no ntevalo [l, µ ]. A demonstação pode se encontada em (Wendell, 984). 46

161 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) Lados detos das estções < Sejam H k (b ), H k (b ) = e H k (b ) ; k=,, m, defndos como em V...3. Podemos defn ρ k ; k=,, m do segunte modo: ρ k sup ρ s.a. δ δ ρ δ H k ( b ). (V.22.k) O valo ρ* (possvelmente nfnto) é dado po (Teoema em (Wendell, 984)) 20 : ρ* = Mn k =,..., m ρ k. (V.23) Vamos segudamente ve como calcula o valo de ρ k ; k=,, m. O valo ρ k seá nfnto se e só se m nf Bk b δ s.a. δ (V.24.k) = fo mao ou gual a B. bˆ (Teoema 2 em (Wendell, 984)). k Sendo o poblema (V.24.k) um poblema lnea, a sua solução pode se faclmente detemnada. Se = (l, µ) então ρ k seá fnto se e só se δ ˆ H < k ( b ) onde (Cooláo 2. em (Wendell, 984)) ˆ δ = l µ ( abtáo), se, se, se B B B k k k b > 0 b < 0 b = 0 A pat deste cooláo pode-se obte o segunte esultado que é equvalente ao Lema em (Wendell, 985): Se = R m então ρ k seá fnto se e só se {, 2,..., m} paa o qual B k b 0 (Cooláo 2.2 em (Wendell, 984)). Se ρ k fo fnto então exste pelo menos uma solução admssível (ρ, δ ) paa o = poblema (V.22.k) onde ρ =ρ k, δ =ρ k e δ H k (b ) (Lema em (Wendell, 984)) 2. Se ρ k fo fnto então ρ k = (Wendell, 984)) 22 : δ * onde δ * é uma solução óptma de (Teoema 3 em = δ * Mn δ s.a. δ H (b ) k. (V.25.k) Equvalente ao Teoema 2 em (Wendell, 985). Coespondente ao Lema 2 em (Wendell, 985). Coespondente ao Lema 3 em (Wendell, 985). 47

162 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea Antes de aplca o teoema anteo (Teoema 3 em (Wendell, 984)) é necessáo gaant que ρ k é fnto. Assm sendo, detemna ρ k envolve (na po das stuações) a esolução de dos poblemas de pogamação lnea, (V.24.k) e (V.25.k). Na pátca, é aconselhável esolve ncalmente (V.25.k) pos, dependendo da solução deste, podemos não pecsa de esolve (V.24.k): se a solução de (V.25.k) fo não admssível então ρ k =+ (e não é necessáo esolve (V.24.k)). No entanto, quando a solução de (V.25.k) é admssível ρ k =+ se e só se qualque solução óptma de (V.25.k) é também óptma de (V.24.k). O poblema (V.25.k) pode se efomulado como um poblema de pogamação lnea. Quando = R, obtém-se o teoema 3 em (Wendell, 985): O valo ρ k (fnto ou nfnto) é dado po (Cooláo 3. em (Wendell, 984)): Bk. bˆ ρ k =, (V.26.k) m = B v kv b v onde um denomnado nulo paa algum k sgnfca que o coespondente valo é +. Se ρ k fo fnto então uma solução óptma paa (V.25.k) seá: 48 * m ( Bk. bˆ ) δ = m m v = sgn(b B kv k b v b ). (V.27.k) Se R, mas = (l, µ), é poposta a abodagem teatva (Wendell, 984) paa o cálculo do valo ρ k, que consste no segunte: depos de vefca que ρ k é fnto, começa-se po esolve o poblema consdeando = R m (denomnado completely elaxed poblem em (Wendell, 984)) 0 se os valoes obtdos paa δ satsfzeem os lmtes mpostos a po pelo 0 AD (ou seja, se δ (l, µ)) então a solução obtda é óptma; t se não, epet o segunte acocíno até que, paa uma teação t, δ (l, µ): atbu às componentes de δ t t ( δ ) que não espetam os lmtes mpostos pelo AD (l ou µ ) os valoes dos espectvos lmtes volados, mantendo-os constantes a pat desta teação; ecalcula as estantes componentes, a pat = da equação do hpeplano H k (b ) coespondente. Pocedmento teatvo ( elaxaton pocedue em (Wendell, 984)) (V.28.k) Passo : Vefca se ρ k é fnto ou não po ntemédo do Cooláo 2. (Wendell, 984). Se fo fnto contnua paa o passo 2. Passo 2: Consdea I 0 ={: B 0 }, t=0 e ( Bk. bˆ ) δ = 0 m v = sgn(b B kv k b k b t v b ) ; paa =,, m. Passo 3: Seja I t+ ={: l δ µ ; paa I t }. Se I t+ =I t então a solução óptma de (V.25.k) quando = (l, µ) é t t δ tal que ρ k = δ. Caso contáo contnua no passo 4.

163 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) Passo 4: Paa cada, consdea t δ µ l t+ δ = ˆ t Bk. b + Bkv bv δ t + v I Bkv bv t + v I Incementa t e volta ao passo 3. + sgn(b k b ), paa I, paa I, paa I, outos casos t t t com δ > µ t com δ < l t O segunte cooláo gaante que o algotmo anteo tem convegênca fnta. Se = (l, µ) e se no passo do pocedmento teatvo (V.28.k) se vefca se ρ k fnto, então o algotmo calcula uma solução óptma paa o poblema (V.25.k) no máxmo em m teações (Cooláo 3.2 em (Wendell, 984)) 23. Coefcentes da função objectvo > = Sejam H k (c ), H k (c ), e H k (c ) (paa cada k K ) defndos como em V...3. Podemos defn τ k, paa k K, do segunte modo: γ Γ τ k sup τ s.a. H ( c ) τ γ k. (V.29.k) γ Se K Ø então τ*=+. Caso contáo, o valo τ* (possvelmente nfnto) é dado po (Teoema 4 em (Wendell, 984)) 24 : τ* = Mn τ k. k K' Vamos segudamente ve como calcula o valo de τ k, paa cada k K. O valo τ k seá nfnto se e só se sup γ c fo meno ou gual a cˆ k k m = B B (V.30) c B. γ s.a. γ Γ (V.3.k) h A. A. k k cˆ k h (Teoema 5 em (Wendell, 984)). O poblema (V.3.k) é um poblema lnea cuja solução pode se faclmente detemnada. Se Γ=Γ(l, µ) então τ k é fnto se e só se γ ˆ H > k ( c ) onde (Cooláo 5. em (Wendell, 984)): ˆ γ k lk = µ k ( abtáo), se, se, se ck < 0 ck > 0 c = 0 k A demonstação pode se encontada em (Wendell, 984). Equvalente ao Teoema 4 em (Wendell, 985). 49

164 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea e lh, se c B. A. < 0 h k ˆ γ h = µ h, se ch B. A. k > 0. ( abtáo), se ch B. A. k = 0 A pat deste cooláo pode-se obte o segunte esultado que é equvalente ao Lema 4 em (Wendell, 985): h Se Γ= R n então τ k seá fnto se e só se c 0 ou {, 2,..., m} paa o qual c B. A. 0, paa k K (Cooláo 5.2 em (Wendell, 984)). k Se τ k fo fnto, então exste pelo menos uma solução admssível (τ, γ ) paa o = poblema (V.29.k) onde τ =τ k, γ =τ k e γ Γ H k (c ) (Lema 2 em (Wendell, 984)) 25. Se τ k fo fnto então τ k = (Wendell, 984)) 26 : k γ * onde γ * é uma solução óptma de (Teoema 6 em = γ * Mn γ s.a. γ Γ H (c ) k. (V.32.k) Tal como paa ρ k, antes de aplca o teoema anteo (Teoema 6 em (Wendell, 984)) é necessáo gaant que τ k é fnto. Na pátca, é aconselhável esolve ncalmente (V.32.k) e só se a solução deste fo admssível é que é necessáo vefca se τ k é fnto ou não. O poblema (V.32.k) pode se efomulado como um poblema de pogamação lnea. Quando Γ= R n obtém-se o teoema 5 em (Wendell, 985) - (Cooláo 6. em (Wendell, 984)) O valo τ k paa k K (fnto ou nfnto) é dado po: τ k = c k cˆ B B A. k m = c h + - cˆ k B. A. k, (V.33.k) onde um denomnado nulo paa algum k sgnfca que o coespondente valo é +. Se τ k fo fnto então uma solução óptma paa (V.32.k) seá: γ * = j ( cˆ B ck ( cˆ k 0 B + A. k k m c = h B B k - cˆ c k + - cˆ ) sgn( c ) = B. A. ) sgn( c m c h A. k k h B. B. A. k A. k ), paa, paa j = k j = h, outos casos (V.34.k) ; onde =,...,m Coespondente ao Lema 5 em (Wendell, 985). Coespondente ao Lema 6 em (Wendell, 985). 50

165 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) 5 Se Γ n R, mas Γ=Γ(l, µ), Wendell (984) popõe uma abodagem teatva paa o cálculo do valo τ k, semelhante à apesentada anteomente paa o cálculo de ρ k : depos de vefca que τ k é fnto esolve-se o poblema consdeando Γ= n R, e só então se têm em atenção os lmtes que são volados pelos valoes t j γ obtdos na teação t. Pocedmento teatvo ( elaxaton pocedue em (Wendell, 984)) (V.35.k) Passo : Vefca se τ k é fnto ou não po ntemédo do Cooláo 5. (Wendell, 984). Se fo fnto contnua paa o passo 2. Passo 2: Consdea J 0 ={k, h ; paa =,..., m: 0 k c, 0 A.. B k h c }, t=0 e = = + = + = = = outos casos, 0,...,m onde ; paa, A. B. ) A.. B sgn( ) A. B ˆ - (ˆ paa, A. B. ) sgn( ) ˆ - A. B (ˆ B B 0 h j c c c c c k j c c c c c m k h k k h k k m k h k k k k j γ Passo 3: Seja J t+ ={j: l j t j δ µ j ; paa j J t }. Se J t+ =J t então a solução óptma de (V.32.k) quando Γ=Γ(l, µ) é t γ tal que τ k = t γ. Caso contáo contnua no passo 4. Passo 4: Paa cada j, caso k J t+ consdea: = = + = + + < > = + = = + = = m,..., paa algum com J paa, A. B. ) A.. B sgn( ) A. B. ( A. B ˆ - ˆ paa, A. B. ) sgn( ) A. B. ( ˆ - A. B ˆ com J paa, com J paa, J paa, J, J, B J, J, t h B h j j c c c c c c k j c c c c c c l j l j j t m h k h k k h m h k h t h k k m h k h k k m h k h k k j t j t j j t j t j t t j t j t t t t γ γ γ µ γ µ γ γ

166 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea caso k J t+ consdea: γ t+ j t γ j µ j l j = cˆ k - cˆ B B A. k + γ t+ k ck Incementa t e volta ao passo 3. =, t+ h J m m ( γ c h =, t+ h J, paa j J t+ h c h t + B., paa A. B., paa k com j = h, paa j J j J com γ > µ j J com γ j < l j A. k ) sgn( ch B. A. k ) t t t j paa algum =,..., m O algotmo anteo tem convegênca fnta a qual é gaantda pelo segunte cooláo. Se Γ=Γ(l, µ) e se no passo do pocedmento teatvo (V.35.k) se vefca se τ k fnto, então o algotmo calcula uma solução óptma paa o poblema (V.32.k) no máxmo em m+ teações (Cooláo 6.2 em (Wendell, 984)) 27. Comentáos Toda a nfomação usada neste algotmo pode se obtda a pat dos quados smplex ncal e óptmo. Pode se feto um estudo smultâneo consdeando petubações nos temos ndependentes das estções e nos coefcentes das funções objectvo de (V.), mantendo- -se a mesma base óptma desde que δ R ρ* e γ R τ* Γ. Uma vez que o valo de ρ k (assm como o de τ k ) não pode dmnu quando é ntoduzda nfomação adconal elatva a gamas de vaação paa os coefcentes em (assm como em Γ), o algotmo poposto po Wendell (984) paa o cálculo do valo de ρ* (e de τ*) como o meno dos valoes de ρ k (e de τ k ) fntos, detemnados po ntemédo do pocedmento teatvo (V.28.k) (e po (V.35.k)) paa os dfeentes k, não nos paece o mas efcente. Assm sendo, sugemos 28 que, po exemplo, no cálculo do valo de ρ* se detemnem ncalmente todos os valoes fntos de ρ k consdeando = R m (e eventualmente os coefcentes conhecdos com pecsão). Posteomente, deve detemnase o índce h(=k), onde o meno valo de ρ k fo obtdo, ρ h. Enta-se-a depos numa fase teatva onde se testa se os coespondentes valoes dos paâmetos estão ncluídos em. t t j 27 A demonstação pode se encontada em (Wendell, 984). 28 Um algotmo smla a este seá utlzado na abodagem nteactva poposta no capítulo VI paa detemna a pecentagem máxma de toleânca paa os pesos das dfeentes funções objectvo. 52

167 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) Se sm, então o valo da toleânca máxma ρ*=ρ h ; se não, o pocedmento teatvo (V.28.k) deve se utlzado paa ecalcula o valo de ρ h. Consdeem-se todos os índces onde os valoes actuas de ρ k são esttamente nfeoes ao valo ρ h. Se não exst qualque índce, então fo encontado o valo da toleânca máxma ρ* = ρ h ; caso exstam índces, epete-se esta fase teatva consdeando apenas esses novos índces h(=k). Um estudo análogo deve se efectuado paa obte o valo de τ* quando Γ R. p V..2.4 Exemplo lustatvo Paa lusta a abodagem exposta, consdeemos o mesmo poblema lnea monobjectvo que anteomente em V...4. Suponhamos que o AD consegue especfca o ntevalo [3600, 4400] paa a vaação do coefcente coespondente ao lado deto da segunda estção, ou seja, (l,µ)={δ= δ δ 2 : 0 δ 2 0 }. (a) Lados detos das estções (b) petubações nos lados detos das estções Fgua V.4 A egão cítca e a egão de toleânca paa o exemplo lustatvo ( R ). Aplcando o pocedmento teatvo (V.28.k) temos: k= Passo : Po ntemédo do cooláo 2. (Wendell, 984) podemos vefca que ρ é fnto, uma vez que ˆ δ =-, ˆ δ 2 =/0, e ˆ B b δ + B b ˆ δ =-. 2 Passo 2: I ={, 2}, t=0, δ =-5/7, e δ 2 =5/ m 53

168 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea Passo 3: I ={}. Passo 4: δ 2 =/0, δ =-49/60, e t=. Passo 3: I 2 ={}; sendo I = I 2, temos ρ = δ =49/60. Este valo paa a toleânca coesponde aos pontos A e A δ, epesentados nas fguas V.4(a) e V.4(b), espectvamente. k=2 Passo : Po ntemédo do cooláo 2. (Wendell, 984) podemos vefca que ρ 2 é fnto, uma vez que ˆ δ =+, ˆ δ 2 =-/0, e ˆ B b δ + B b ˆ δ = Passo 2: I ={, 2}, t=0, δ =0/22, e δ 2 =-0/22. Passo 3: I ={}. Passo 4: δ 2 =-/0, δ =7/5, e t=. Passo 3: I 2 ={}; sendo I = I 2, temos ρ 2 = δ =7/ Este valo paa a toleânca coesponde aos pontos B e B δ, epesentados nas fguas V.4(a) e V.4(b), espectvamente. Logo, ρ*=mn{49/60; 7/5}=49/60 (ve fguas V.4(a) e V.4(b)). Nesta stuação, a base óptma obtda mante-se-á óptma desde que os coefcentes dos temos ndependentes das duas estções não vaem smultânea e ndependentemente mas do que 8.67% em elação aos seus valoes estmados. Se compaamos este valo com o anteomente obtdo quando não possuíamos qualque nfomação a po, vefcamos que a toleânca máxma paa os coefcentes dos temos ndependentes das estções aumentou de 45.45% paa 8.67%. Podemos também compaa este valo com o obtdo anteomente quando o coefcente do lado deto da segunda estção ea conhecdo com pecsão. Neste caso, a toleânca máxma dmnuu de 5/ % paa 8.67%. Se consdeamos que conhece com pecsão um coefcente coesponde a especfca paa o mesmo um ntevalo de ampltude nula, e não possu qualque nfomação coesponde a especfca um ntevalo com lmtes nfntos, os valoes obtdos são coeentes. Consdeemos que o AD especfca o ntevalo [.5, 2.5] paa a gama de vaação do coefcente de x na função objectvo. Efectuando um estudo análogo ao anteo, agoa paa os coefcentes da função objectvo, atavés do pocedmento teatvo (V.35.k), chegamos a um valo de 2.93% paa a toleânca máxma. Esta análse pemte-nos conclu que a solução obtda se mantém óptma desde que os coefcentes da função objectvo não vaem smultânea e ndependentemente mas do que 2.93% em elação aos seus valoes estmados. Como ea de espea, vefcamos que a toleânca máxma paa os coefcentes da função objectvo aumentou de 8.47% (quando não possuíamos qualque nfomação a po ) paa 2.93%, assm como dmnuu de 7.24% (quando esse coefcente ea pecso) paa 2.93%. 54

169 V. - A abodagem de toleânca de Wendell (985, 984) Se o AD, além de especfca o ntevalo [.5, 2.5] paa a gama de vaação do coefcente de x na função objectvo, especfca também o ntevalo [7, 9] paa a gama de vaação do coefcente de x 3 na função objectvo obtém-se um valo mao do que o anteo paa a toleânca máxma, 2.88%. V.2 Genealzação da abodagem de toleânca de Wendell Com o ntuto de ultapassa o poblema encontado na pátca paa a abodagem toleante ncalmente poposta (Wendell, 985), de obtenção de valoes pequenos ou mesmo nulos paa a pecentagem máxma de toleânca, bem como paa o facto dos ntevalos detemnados paa a vaação dos paâmetos não seem tão amplos como podeam se, alguns autoes popuseam genealzações paa poblemas lneaes monobjectvo (Wondolowsk, 99; Wendell, 992; Wang e Huang, 993). Geometcamente, o que estes autoes fazem consste em substtu a egão de toleânca de Wendell (985), a qual é um hpecubo no espaço das petubações paa os paâmetos, po uma nova egão de toleânca hpe-paalelepípedo ectangula (que eventualmente podeá se gual à de Wendell (985)), petencente à egão cítca consdeada. Nas subsecções seguntes desta secção vamos explca esumdamente as deas essencas destes autoes, sevndo-nos da coespondente ntepetação gáfca devdamente lustada com exemplos, usadas na detemnação da egão de toleânca expandda. Seão omtdos os fomalsmos teócos do poblema e da estutua da solução, assm como a exposção dos teoemas, lemas e cooláos espectvos, que podem se encontados em (Wondolowsk, 99; Wendell, 992; Wang e Huang, 993). V.2. A abodagem expandda de Wondolowsk (99) e Wendell (992) Consdeando o facto de na abodagem anteo (Wendell, 985, 984), os valoes obtdos paa as pecentagens máxmas de toleânca podeem se nulos caso haja soluções degeneadas ou óptmos altenatvos (o que é vulga acontece em poblemas eas, mesmo com dmensão méda), Wondolowsk (99) popõe a abodagem ITR ( Indvdual Toleance Range method ), a qual petende se uma genealzação da abodagem de Wendell (985), possbltando obte maoes egões de toleânca (ou pelo menos egões guas) com um pequeno aumento da complexdade. Não apesentando qualque efeênca a (Wondolowsk, 99), Wendell publca na mesma evsta no ano segunte, o atgo (Wendell, 992), onde expõe deas que na essênca são smlaes às de Wondolowsk, emboa dfam nalgumas consdeações, nomeadamente no que se efee ao valo da pecentagem máxma de toleânca paa o caso em que esta não é possível se detemnada (onde Wendell consdea como sendo nfnta e Wondolowsk como sendo nula). De efe que em (Wendell, 985) e (Wendell, 984), o auto já alude que se enconta em pepaação um tabalho onde á alaga os ntevalos de toleânca, e no qual a abodagem toleante pode se vsta como uma genealzação da análse de sensbldade (tadconal). 55

170 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea V.2.. Intepetação geométca Em temos geométcos, a dea essencal desta abodagem consste em consdea a egão de toleânca ncal de Wendell (985) e de seguda aumenta essa egão, nas váas decções (e sentdos) possíves, até que os vétces dessa egão atnjam os hpeplanos que lmtam a egão cítca coespondente à solução óptma consdeada. Sem peda de genealdade, consdeemos m=2. Na fgua V.5, semelhante à fgua V. já anteomente analsada geometcamente, estão epesentadas, no espaço das petubações paa os paâmetos (lados detos das estções, neste caso), a egão de toleânca ncal (quadado com vétce A, (Wendell, 985)), a egão de toleânca expandda (ectângulo que tem como vétces opostos A e B), assm como as fonteas dos conjuntos R ρ ={ δ, δ 2 : ρ δ ρ ; =, 2}, paa k=, 2 (quadados com vétces A e B, espectvamente). Fgua V.5 A egão de toleânca expandda ( = R ). Podemos detemna a egão de toleânca expandda patndo da egão de toleânca de Wendell (985), a qual está assocada ao meno valo de ρ k (k=), do segunte modo: seleccona o vétce oposto a A, ou seja, aquele que na egão toleânca em estudo (quadado de vétce A) tem um luga equvalente ao que petence à ecta defndoa do sem-plano paa o quadado elaconado com o valo segunte em temos de (odem cescente de) gandeza paa ρ k (k=2, vétce B); faze alaga a egão de toleânca em estudo até que o vétce selecconado enconte a ecta defndoa do semplano paa esse k. Se a dmensão do espaço das petubações paa os paâmetos fo supeo a 2 (m>2), este pocedmento pode se epetdo até temos alagado a egão ncal (no máxmo) nas m- outas dmensões. Este acocíno pode se genealzado paa o caso de m>2 (ou #K >2). A egão de toleânca de Wendell (985), a qual é um hpecubo no espaço das petubações paa os paâmetos, pode sendo sucessvamente alagada, nas decções e sentdos em que a mesma não se enconta lmtada pela fontea da egão cítca dos paâmetos consdeada, de tal modo que os váos vétces do hpe-paalelepípedo ectangula coespondente à nova egão de toleânca passem a petence a dfeentes hpeplanos defndoes dos m 56

171 B -. bˆ V.2 - Genealzação da abodagem de toleânca de Wendell k +[ B b... B b ] sem-hpeespaços H k (b ) ={δ: k km m δ 0}; k=,,m (ou ch B. A. k H k (c ) ={γ: cˆ + γ k γ k c k cˆ BB A. k B... 0 }; k K ). ch Bm. A. k m Neste estudo não é tdo apenas em consdeação o valo da toleânca máxma, ou seja, o meno dos valoes de ρ k ou de τ k detemnados, mas são sucessvamente consdeados váos valoes. Daí que Wondolowsk (99) tenha apeldado esta abodagem de Indvdual Toleance Range method. Se consdeamos a egão cítca (R b ou R c ) e as duas egões de toleânca menconadas (R b ou R c, e E b ou E c ), as condções: E b R b R b (V.36) e E c R c R c (V.37) vefcam-se sempe. De efe que Wendell (992) mosta, com um conta-exemplo, a não possbldade de ntega neste estudo o conhecmento a po de nfomação no tocante às gamas de vaação paa alguns dos paâmetos. V.2..2 Exemplo lustatvo Wondolowsk (99) efectua um estudo compaatvo ente os esultados obtdos pela análse de sensbldade (tadconal), pela metodologa de abodagem toleante em análse de sensbldade ncalmente poposta po Wendell (985) e pela abodagem expandda poposta (ITR Indvdual Toleance Range method ), utlzando paa o efeto o mesmo poblema lnea monobjectvo estudado po Wendell (985, 984, 992), que também temos vndo a estuda ao longo dos exemplos deste capítulo. Dado que o estudo efectuado po Wondolowsk (99) nos paeceu nteessante, apesentamos segudamente nas tabelas V.2 e V.3 os esultados coespondentes. Os esultados sumaados na tabela V.2 podem se faclmente obtdos a pat da análse gáfca das fguas V.2 e V.6. Na tabela V.3 são apesentados esultados smlaes no que se efee às gamas de vaação dos coefcentes da função objectvo. Tabela V.2 Gamas de vaação paa os lados detos das estções funconas (exemplo lustatvo). Lmtes nfeoes Lmtes supeoes Análse de Sensbldade Wondolowsk Wendell b Wendell Wondolowsk Análse de Sensbldade b b Os valoes apesentados nas colunas das tabelas V.2 e V.3, coespondentes aos lmtes (nfeoes e supeoes) dos ntevalos de vaação dos coefcentes calculados po 57

172 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea um estudo de análse de sensbldade (tadconal) e atavés da análse de toleânca ncalmente poposta po Wendell (985), concdem com os já anteomente detemnados em V...4. (a) Lados detos das estções (b) Petubações nos lados detos das estções Fgua V.6 A egão cítca e a egão de toleânca expandda paa o exemplo lustatvo ( = R ). m Tabela V.3 Gamas de vaação paa os coefcentes de função objectvo (exemplo lustatvo). Lmtes nfeoes Lmtes supeoes Análse de Sensbldade Wondolowsk Wendell c j Wendell Wondolowsk Análse de Sensbldade c c c c Compaando os ntevalos obtdos paa os coefcentes po ntemédo de um estudo de análse de sensbldade (tadconal), atavés da abodagem expandda poposta po Wondolowsk (99) e Wendell (992), e da análse de toleânca ncalmente poposta po Wendell (985), pode conclu-se que os últmos estão sempe contdos nos segundos estando estes também sempe contdos nos pmeos. V.2.2 A abodagem baseada na egão de volume máxmo de Wang e Huang (993) Na abodagem toleante poposta po Wendell (985), os ntevalos obtdos paa a vaação (nas petubações) dos paâmetos estmados podem não se tão lagos como na pátca o são (podendo mesmo se ognados ntevalos com ampltude nula). Isto decoe 58

173 V.2 - Genealzação da abodagem de toleânca de Wendell do facto da pecentagem máxma de toleânca depende exclusvamente do paâmeto que se manfesta mas seveo nas vaações em elação aos valoes estmados, não havendo, potanto, nenhuma compensação no que dz espeto aos outos paâmetos menos sensíves a vaações. Wang e Huang (993) popõem a abodagem MVR ( Maxmum Volume Regon ), na qual detemnam a egão de toleânca paa a vaação nas petubações dos paâmetos estmados, atavés da esolução de um poblema de pogamação dnâmca, como aquela que possu volume máxmo dento da egão cítca consdeada. Estes autoes consdeam petubações nos valoes estmados paa os paâmetos mas genécas que as anteomente analsadas. Em vez de estudaem apenas os casos patculaes em que b = bˆ + b, com b = δ b, e c j = ĉ j + c j, com c j = γ j c j, consdeam H vaações paamétcas do tpo b = ht H h= b h e c j = mx h= c jht h onde b h e c jh nx possuem valoes especfcados pelo AD e t=[t,..., t h,..., t H ] T é um vecto com H paâmetos. V.2.2. Intepetação geométca Tal como anteomente (Wondolowsk, 99, Wendell, 992), a egão de toleânca de volume máxmo, detemnada pela abodagem MVR (Wang e Huang, 993), enconta-se lmtada po uma fontea hpe-paalelepípeda ectangula smétca em elação aos valoes estmados paa os paâmetos. (a) A egão cítca (S) (b) As egões de toleânca (B) Fgua V.7 As egões de toleânca de Wendell (985), B w, da abodagem MVR (Wang e Huang, 993), B s, e a espectva egão expandda, B ~ s, paa a egão cítca S consdeada. (em (Wang e Huang, 993)) Po exemplo, se a egão cítca paa os paâmetos de petubação consdeada fo a egão S apesentada na fgua V.7(a), então a egão de toleânca ognada pela abodagem de Wendell (985) coesponde à egão B w epesentada na fgua V.7(b). Paa essa egão, B w, a vaação na petubação do paâmeto t apesenta um ntevalo elatvamente esteto quando compaado com o ntevalo paa a vaação na petubação do paâmeto t 2. Alás, o paâmeto t nem se apesentava lmtado supeomente na egão cítca S. Neste caso, Wang e Huang (993) afmam que o paâmeto t 2 é mas sensível a vaações do que t. 59

174 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea Dento da egão cítca S exstem outas egões hpe-paalelepípedas ectangulaes (ectângulos neste caso) smétcas em elação aos valoes estmados paa os paâmetos, e que possuem um mao volume (neste caso seá apenas uma áea) assocado às vaações nas petubações dos paâmetos. A egão de volume máxmo calculada pela abodagem MVR coesponde à egão B s epesentada na fgua V.7(b). Nalgumas stuações, a egão cítca paa a vaação nas petubações dos paâmetos estmados detemnada pela abodagem MVR coesponde à egão de toleânca da abodagem de Wendell (985), como no exemplo da fgua V.8. Dado que nenhum outo ectângulo petencente à egão cítca tem áea supeo a B w, então B w =B s. Fgua V.8 A egão de toleânca de volume máxmo, B s, e a espectva egão expandda. (em (Wang e Huang, 993)) Segundo os autoes, se a egão cítca do poblema (S) fo não lmtada (supeo ou nfeomente), como acontece nos exemplos das fguas V.7 e V.8, então a egão de toleânca detemnada pela abodagem MVR não pemte caacteza completamente a egão cítca consdeada. Wang e Huang (993) apesentam, assm, uma extensão à pópa abodagem, a abodagem EMVR ( Extended Maxmum Volume Regon ), na qual têm em atenção se a egão cítca consdeada é ou não lmtada nalguma(s) das decções possíves, sendo neste últmo caso consdeada uma nova egão de toleânca também lmtada. Emboa possamos se levados a pensa que, nesta stuação, a egão de toleânca não é únca, dado que paa todas elas o volume é não fnto, os autoes gaantem essa uncdade pos apenas elaxam a egão Bs ncal de modo a obte B ~ s, ou seja: Bs B ~ s S. (V.38) Mas, se não foem consdeados valoes pecsos paa nenhum dos coefcentes, Wang e Huang (993) povam que: Volume(B w) Volume(Bs) Volume( B ~ s). (V.39) Se bem que exsta algum caácte ntutvo na maxmzação do volume assocado às vaações nos paâmetos de petubação paa os valoes estmados, não exste qualque justfcação aconal paa a pefeênca, po pate do AD, desta abodagem em detmento das outas. Na pátca, o uso da abodagem de volume máxmo na detemnação da egão de toleânca pode apesenta ao AD gamas de vaação paa alguns paâmetos bastante mas estetas ou dlatadas que o necessáo. 60

175 V.3 - A abodagem de toleânca em poblemas de PLMO de Hansen et al. (989) V.3 A abodagem de toleânca em poblemas de PLMO de Hansen et al. (989) Quando há mas do que uma função objectvo, um dos pocessos de cálculo de soluções efcentes consste na esolução de um poblema escala cuja função objectvo é uma soma pondeada das p funções objectvo, como defndo em (II.28). A análse de sensbldade das soluções efcentes do poblema (II.28) em elação à vaação dos pesos é um assunto de gande mpotânca. No entanto, tona-se dfícl paa o AD lda com paâmetos de petubação em mas do que um coefcente ao mesmo tempo. A abodagem toleante poposta po Wendell (985, 984) pode se alagada de modo a pemt estuda quanto os váos pesos podem vaa, smultânea e ndependentemente, em elação aos seus valoes estmados mantendo-se efcente uma solução básca anteomente calculada paa esses pesos (Hansen et al., 989). Neste tabalho, é também ntegada a possbldade de o AD conhece a po nfomação adconal sobe a gama de vaação de alguns pesos, obtendo-se deste modo maoes valoes paa a toleânca máxma calculada. V.3. O poblema Consdeando paâmetos de petubação assocados aos pesos das p funções objectvo, a extensão da abodagem toleante apesentada po Hansen et al. (989) estuda o segunte poblema petubado 29 : s. a. p max ( ˆ λ + φ λ )(C. x) (V.40) = A x = b x = (x,..., x j,..., x n ) T 0, onde λ 0 e λˆ epesenta o valo estmado paa λ, =,, p. Se bem que façam um estudo teóco genéco paa quasque valoes de λ, os autoes consdeam mas detalhadamente a stuação em que os paâmetos φ epesentam pecentagens de vaação (ou eo) em elação ao valoes estmados λˆ, ou seja, λ = ˆ λ Com a fnaldade de evta o uso do mesmo símbolo com sgnfcados dfeentes, a nomenclatua aqu utlzada não coesponde exactamente àquela que os autoes utlzaam em (Hansen et al., 989). Po exemplo, γ que é usado em (Hansen et al., 989) paa epesenta o paâmeto multplcatvo de λ suge aqu como φ, dado que, γ j coesponde em (Wendell, 985, 984) ao paâmeto multplcatvo de c j ; o mesmo acontecendo a Γ e τ que foam substtuídos po Φ e ν espectvamente. 30 Tal com anteomente, se λ = então os valoes φ podem se ntepetados como epesentando vaações adtvas paa λˆ ; =,, p. 6

176 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea Se algum dos valoes de λˆ fo conhecdo com pecsão, então o coespondente λ é consdeado nulo. Mutas vezes o AD pode não se capaz de especfca com pecsão os valoes dos pesos assocados aos objectvos, mas apenas consegu defn uma egão na qual se supõe que ão vaa. Genecamente, podemos consdea Φ como a egão onde o vecto φ = (φ,, φ p ) á vaa. seja, quando No caso patcula em o AD especfca paa cada peso um ntevalo [ λ ] λ λˆ ntevalo [ φ φ ] temos:,, ou λ + φ λ λ, cada valo de petubação φ á também vaa num, e Φ( φ, φ ) 3 seá um hpe-paalelepípedo ectângulo. Paa cada λ >0 λ ˆ λ φ = λ e λ ˆ λ φ =. λ Paa gaant que os valoes λ =0 32 ˆ λ, ou seja, φ = λ. λ ˆ + φ λ são não negatvos, podemos escolhe V.3.2 Fomulação matemátca Se x k (k K ) é uma vaável não básca paa uma dada base efcente de (V.40), p então o seu custo eduzdo é dado po ( λˆ + φ λ )( Z k - C k ), sendo ( Z k - C k ) =W k o custo eduzdo de x k (coespondente à função objectvo ) e Z condções vefca-se sempe a elação: p = p = - k CB.(B A) k =. Nestas ˆ λ ( Zk - Ck ) + φλ ( Zk - Ck ) 0; paa cada k K. (V.4.k) = φ 3 φ =l=... φ e φ =µ=.... φ p φ p Usando um agumento smla ao de Wendell (985, 984), se paa algum =,, p, φ = - e φ = +, sgnfca que não exste nfomação a po que possblte delmta um ntevalo onde os valoes de λ ão vaa; se φ = φ = 0, temos um modo altenatvo de expessa que λ é conhecdo com pecsão. 32 Paa elmna a possbldade de obte soluções facamente não domnadas, λ deve se postvo. 62

177 V.3 - A abodagem de toleânca em poblemas de PLMO de Hansen et al. (989) Um valo não negatvo ν é um valo possível paa a toleânca nos pesos das funções objectvo, se e só se uma solução óptma de (V.40) se mantve óptma desde que φ Φ e ν φ = max, =,..., p epesenta a noma de Tchebycheff φ, onde { } de φ (o valo absoluto de cada coefcente de petubação φ não excede ν). φ p Seja C(ν) = {φ R : e ao ν. φ ν} o hpecubo de cento no valo dos pesos estmados Sejam os sem-hpeespaços H (λ ), k K, defndos po: p k H k (λ ) = {φ: ˆ φ λ (Ck - Zk ) + λ (Ck - Zk ) 0 }, (V.42.k) = e sejam H > k (λ ) os coespondentes sem-hpeespaços e H = k (λ ) os coespondentes hpeplanos (tendo a desgualdade sdo substtuída po > e pela gualdade, espectvamente). Então, a egão cítca paa os pesos das funções objectvo (po analoga com as defnções popostas po Wendell (985, 984) e apesentadas anteomente), assocada com uma dada solução efcente do poblema petubado (V.40), pode se defnda po H = I K' H ( ) k k λ e é o hpe-poledo consttuído pelos pontos φ que satsfazem (V.4.k), paa todos os k K. O númeo não negatvo ν é um valo possível paa a toleânca dos pesos das funções objectvo se e só se, paa cada k K, p = C( ν) I Φ ( λ ), (V.43.k) H k ou seja, C( ν) I Φ H. (V.44) A toleânca máxma ν* é defnda como sendo a mao de todas as toleâncas possíves ν, ou seja, ν*=sup{ν: ν satsfaz (V.44)} e é um valo não negatvo (podendo se nfnto). Se ν* fo fnto é um possível valo paa a toleânca. V.3.3 Os esultados Segudamente seá apesentado um esumo dos teoemas e cooláos usados na detemnação do valo da toleânca máxma ν* quando Φ é um poledo genéco: com Φ= R p, e com Φ=Φ( φ, φ ). Note-se que estes casos consttuem uma extensão dos anteomente apesentados po Wendell (985, 984). Paa cada k K, podemos defn a toleânca ν k po: ν k = sup{ν: ν satsfaz (V.43.k)}. 63

178 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea Sendo o conjunto dos ν que satsfazem (V.43.k) fechado, então ν k é fnto, podendo o mesmo se calculado. O valo ν* (possvelmente nfnto) é dado po (Teoema em (Hansen et al., 989)): ν* = Mn ν k. k K' (V.45) Vamos segudamente ve como calcula o valo de ν k, paa cada k K. Comecemos po ve se o valo de ν k é fnto ou não. O valo ν k seá nfnto se e só se p sup φ λ (Ck - Zk ) s.a. φ Φ (V.46.k) = p fo meno ou gual a ˆλ (Zk - C k ) (Teoema 2 em (Hansen et al., 989)). = O poblema (V.46.k) é um poblema lnea cuja solução pode se faclmente detemnada. Se Φ=Φ( φ, φ ) então ν k =+ se e só se φ ˆ H k ( λ ) onde (Cooláo 2. em (Hansen et al., 989)) ˆ φ = φ φ ( abtáo), se λ (Ck - Z, se λ (Ck - Z, outos casos k k ) > 0 ) < 0 A pat deste cooláo pode obte-se o segunte esultado. p Se Φ= R então ν k =+ se e só se (Cooláo 2.2 em (Hansen et al., 989)). λ (C Z ) = 0, paa cada =,..., p k - k Se ν k fo fnto então ν k = (Hansen et al., 989)): φ * onde φ * é uma solução óptma de (Teoema 3 em = φ * Mn φ s.a. φ Φ H (λ ) k. (V.47.k) lnea. O poblema (V.47.k) pode se efomulado como um poblema de pogamação p Quando Φ= R obtém-se o cooláo 3. em (Hansen et al., 989): O valo ν k paa k K (fnto ou nfnto) é dado po: ν k = p = p = ˆ λ (Z λ C k k - C - Z k k ), (V.48.k) onde um denomnado nulo paa algum k sgnfca que o coespondente valo é +. Se ν k fo fnto, então uma solução óptma paa (V.47.k) seá: φ * = ν k sgn[ λ (C Z )]. (V.49.k) k - k 64

179 V.3 - A abodagem de toleânca em poblemas de PLMO de Hansen et al. (989) Se Φ=Φ( φ, φ ), o valo de ν k pode se obtdo po ntemédo de um pocedmento teatvo, muto semelhante ao apesentado em (Wendell, 984) que, po uma azão smla à já efeda em elação aos pocedmentos (V.28.k) e (V.35.k), não nos paece o mas efcente 33. Depos de vefca que ν k é fnto esolve-se ncalmente o poblema com Φ= R p, e só então se consdeam gadualmente os váos lmtes que são volados pelos t valoes φ obtdos na teação t. Pocedmento teatvo ( elaxaton pocedue em (Hansen et al., 989)) (V.50.k) Passo : Vefca se ν k é fnto ou não, po ntemédo do Cooláo 2. (Hansen et al., 989). Se fo fnto contnua paa o passo 2. Passo 2: Consdea J 0 ={=,..., p: λ (C Z ) 0}, t=0 e [ λ (C - Z )] = k - k p ˆ λ = (Zk - C k ) 0 φ = sgn k k. p λ C - Z Passo 3: Seja J t+ ={: φ φ φ ; paa J t }. t Se J t+ =J t então a solução óptma de (V.47.k) quando Φ( φ, φ ) é Caso contáo contnua no passo 4; Passo 4: Paa cada =, p faze: φ t+ = t φ φ φ sgn [ λ (C - Z )] k k Incementa t e volta ao passo 3. p ˆ λ = p k (Z λ C =, t + J k k k - C k - Z ) + k t φ tal que ν k = J J t com φ < φ t t, paa J com φ > φ t+ φ λ (Zk - Ck ), t + p = J, paa t, paa t t φ. t+ Em (Hansen et al., 989), emboa a fómula coespondente ao cálculo de φ pesente no passo 4 do pocedmento teatvo (V.50.k) esteja coecta, todos os cálculos 33 Em VI..2 seá detalhadamente explcada uma poposta de modfcação ao pocedmento poposto po Hansen et al. (989) paa detemna o valo de toleânca máxma ν*, o qual coesponde a um pocedmento muto análogo ao já sugedo esumdamente paa o cálculo do valo de ρ* (e de τ*), em V

180 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea obtdos a pat dela, paa J t t com φ > φ, apesentam um eo. A soma exstente no numeado da facção fo substtuída po uma subtacção duante os cálculos. Este eo fo detectado quando obtvemos os pmeos esultados a pat da mplementação computaconal efectuada, e confmado posteomente po nspecção gáfca das egões de toleânca e de ndfeença obtdas nos dagamas paamétcos paa a metodologa poposta na secção 3 do capítulo VI. Este algotmo também tem convegênca fnta a qual é gaantda pelo segunte cooláo. Se Φ=Φ( φ, φ ) e se no passo do pocedmento teatvo (V.50.k) se vefca se ν k fnto, então o algotmo calcula uma solução óptma paa o poblema (V.47.k) no máxmo em p+ teações (Cooláo 3.2 em (Hansen et al., 989)). Duante a análse geométca das egões cítcas e de toleânca paa os pesos das funções objectvo (que seá apesentada na secção do capítulo segunte), vefcámos que a convegênca é gaantda não ao fm de p+ teações, como efedo no cooláo anteo pesente em (Hansen et al., 989), mas sm ao fm de p- teações (Boges e Antunes, 2002a) 34. V.3.4 Exemplo lustatvo Paa lusta a aplcação da abodagem anteomente exposta a poblemas lneaes multobjectvo, consdeemos o segunte poblema 35, com quato vaáves de decsão, tês funções objectvo a maxmza e duas estções: Max 0 x x 4 Max 0 x x x 4 Max 0 x + 0 x x x 4 s.a. 4 x + 9 x x x x + x x x x, x 2, x 3, x 4 0 Tabela V.4 Quado smplex multobjectvo óptmo (exemplo multobjectvo lustatvo). x B C B x C x (0, 0, 0) x 2 (0, 0, 0) x 3 (0, 0, 0) x 4 (80, 20, 0) x 5 (0, 0, 0) x 6 (0, 0, 0) b x (0, 0, 0) 7/3 5/3 0 4/5 -/5 4000/3 x 4 (80, 20, 0) 0 -/30 /30 -/50 2/75 200/3 Z k -C k 0-38/3 8/3 0-8/5 32/5 6000/3 Z 2k -C 2k 0-32/3-28/3 0-2/5 8/5 4000/3 Z 3k -C 3k /5-2/ Ou, se consdeamos t=0 como teação (a qual se lmta essencalmente ao passo 2 e coesponde a estuda o poblema (V.47.k) gnoando todos os lmtes fntos, Φ= R p ), ao fm de p teações. 35 Este exemplo é o estudado po Hansen et al. (989) e possu as mesmas estções que o poblema estudado anteomente em V

181 V.3 - A abodagem de toleânca em poblemas de PLMO de Hansen et al. (989) Sejam x 5 e x 6 as vaáves folga assocadas a cada estção espectvamente. O quado smplex multobjectvo óptmo, consdeando λˆ =(0.; 0.3; 0.6), enconta-se na tabela V.4. Se o AD não consegu especfca a po qualque nfomação adconal paa a vaação dos valoes dos pesos estmados paa os objectvos (Φ= R 3 ), podemos calcula a toleânca máxma ν* do segunte modo: K= { 2, 3, 5, 6}; ν 2 =25/92; ν 3 =25/09; ν 5 =55/62; ν 6 =5/23 Sendo ν*=mn{ν k ; k K}=5/ A abodagem toleante pemte-nos conclu que esta solução mante-se-á efcente desde que cada uma das componentes de λˆ não vae smultânea e ndependentemente mas do que 2.74% em elação aos seus valoes estmados, ou seja, desde que smultaneamente se vefque ˆ λ 0. 27, ˆ λ e ˆ λ Consdeemos que o valo do peso ˆ λ =0. é conhecdo com pecsão. Fazendo λ = 0 temos: ν 2 =0/33; ν 3 =5/2; ν 5 =/2; ν 6 =/3 e ν*= 5/ Esta solução mante-se-á efcente desde que os valoes de ˆλ 2 e 3 ˆλ não vaem smultânea e ndependentemente mas do que 23.8% em elação aos seus valoes estmados (tendo ˆλ o valo 0.), ou seja, desde que smultaneamente se vefque λ ˆ e λ ˆ O facto de ˆλ se pecso possblta obte maoes valoes paa ν*. Consdeemos que o AD, além de conhece com pecsão o valo do peso ˆ λ = 0., especfca que o peso 3 ˆλ á vaa no ntevalo [0.5; 0.7]. Neste caso Φ( φ, φ )={φ : 0 φ 0; - φ 2 + ; -/6 φ 3 /6} Paa calcula ν* é necessáo aplca o algotmo (V.50.k) exposto com k=2, 3, 5 e 6. Com k=2 obtemos: Passo : Vamos vefca se ν 2 é fnto: ˆ φ =0; ˆ φ 2 =+ ; ˆ φ 3 =-/6 e φˆ H 2 ( λ ) sendo ν 2 fnto. Passo 2: J 0 0 ={2, 3}, t=0, φ =0, Passo 3: J ={2}. Passo 4: φ =0, φ 2 =6/96, 3 = 0 φ 2 =0/33, e φ 3 =-/6, e t=. 3 + ˆ 2 - Z2 ) φ λ (C2 - Z2 ) = ˆ λ (C =+ 0 φ 3 =-0/33. 67

182 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea Passo 3: J 2 ={2}; sendo J = J 2 temos ν 2 = φ =6/ Com k=3 obtemos: Passo : Tal como anteomente vefca-se que ν 3 é fnto: ˆ φ =0; ˆ φ 2 =+ ; ˆ φ 3 =-/6 e 3 = ˆ λ (C φ ˆ H 3 ( λ ). Passo 2: J ={2, 3}, t=0, φ =0, φ 2 =5/2, e φ 3 =-5/2. Passo 3: J ={2}. Passo 4: φ =0, φ 2 =29/84, φ 3 =-/6, e t=. Passo 3: J 2 ={2}; sendo J = J 2 temos ν 3 = φ =29/ ˆ 3 - Z3 ) φ λ (C3 - Z3 ) = Com k=5 obtemos: Passo : Tal como anteomente vefca-se que ν 5 é fnto: ˆ φ =0; ˆ φ 2 =+ ; ˆ φ 3 =-/6 e 3 = ˆ λ (C φ ˆ H 5 ( λ ). Passo 2: J ={2, 3}, t=0, φ =0, φ 2 =/2, e φ 3 =-/2. Passo 3: J ={2}. Passo 4: φ =0, φ 2 =8/6, φ 3 =-/6, e t=. Passo 3: J 2 ={2}; sendo J = J 2 temos ν 5 = φ =8/ ˆ ˆ 5 - Z5 ) φ λ (C5 - Z5 ) = Com k=6 obtemos: Passo : Tal como anteomente vefca-se que ν 6 é fnto: ˆ φ =0; ˆ φ 2 =- ; ˆ φ 3 =/6 e 3 = ˆ λ (C φ ˆ H 6 ( λ ). Passo 2: J ={2, 3}, t=0, φ =0, φ 2 =-/3, e φ 3 =+/3. Passo 3: J ={2}. Passo 4: φ =0, φ 2 =-7/2, φ 3 =/6, e t=. Passo 3: J 2 ={2}; sendo J = J 2 temos ν 6 = φ =7/2 39. Sendo ν*=mn{ν k ; k K}=29/ ˆ 6 - Z6 ) φ λ (C6 - Z6 ) = =+ =+ = Em (Hansen et al., 989) ν 2 =39/92, em vez do valo coecto de 6/96. Em (Hansen et al., 989) ν 3 =7/84, em vez do valo coecto de 29/84. Em (Hansen et al., 989) ν 5 =252/6, em vez do valo coecto de 8/6. Em (Hansen et al., 989) ν 6 =3/2, em vez do valo coecto de 7/2. 40 Em (Hansen et al., 989) ν*=7/84, em vez do valo coecto de 29/84. Po acaso, este valo mínmo fo obtdo paa o mesmo k K (k =3).

183 V.4 - Consdeações fnas Esta solução mante-se-á efcente desde que os valoes de ˆλ 2 e 3 ˆλ não vaem smultânea e ndependentemente mas do que 34.52% em elação aos seus valoes estmados (tendo ˆλ o valo 0.). Dado que a gama de vaação especfcada a po pelo AD paa 3 ˆλ é mas esteta que [0.6(-29/84), 0.6(+29/84)] = [0.3929, 0.807], esta solução mante-se-á efcente desde que λ ˆ e 0.5 λ ˆ , possundo ˆλ o valo 0.. V.4 Consdeações fnas A metodologa de abodagem toleante em análse de sensbldade fo ncalmente poposta po Wendell (985) com o ntuto de possblta ao AD um modo smples de estuda os efetos da vaação, smultânea e ndependente, de alguns paâmetos selecconados em modelos de optmzação lneaes com uma únca função objectvo. Neste estudo, é ntegada a possbldade de o AD conhece a po nfomação adconal sobe a gama de vaação de alguns paâmetos do modelo (Wendell, 984). Essencalmente, esta abodagem consste na detemnação duma pecentagem máxma de toleânca, tal que se alguns paâmetos selecconados não vaaem, smultânea e ndependentemente, mas do que a efeda pecentagem, então a solução óptma calculada anteomente mantém-se óptma. Geometcamente, esta abodagem pode se ntepetada como a detemnação duma egão de toleânca (mao hpecubo no espaço das petubações nos paâmetos ou mao hpe-paalelepípedo ectângulo no espaço dos paâmetos) paa a vaação, smultânea e ndependente, dos paâmetos selecconados, dento da egão cítca assocada à solução óptma paa o poblema. Além de possblta vaações smultâneas e ndependentes nos paâmetos, a abodagem de toleânca apesenta também como gandes vantagens o facto de se geometcamente apelatva, os esultados apesentaem-se fáces de entende pelo AD, e os cálculos necessáos à detemnação da pecentagem máxma de toleânca seem mínmos (a pat dos valoes obtdos do quado smplex óptmo). As gandes desvantagens encontam-se na possbldade de obtenção de valoes pequenos, ou mesmo nulos, paa a pecentagem máxma de toleânca, o que ocoe com fequênca em modelos de optmzação eas com dmensão modeada, e no facto da pecentagem máxma de toleânca depende exclusvamente do paâmeto que apesenta mao sensbldade peante a vaação dos valoes estmados. No entanto, as popostas de genealzação da abodagem toleante ncalmente apesentada (Wendell, 985) em poblemas lneaes monojectvo, abodadas na secção 2 deste capítulo, também não esolvem estes nconvenentes. Os esultados obtdos pela abodagem expandda de Wondolowsk (99) e Wendell (992) não se apesentam váldos quando exste nfomação a po paa as gamas de vaação de alguns dos paâmetos, como o mosta Wendell (992) atavés de um conta-exemplo. O uso da abodagem baseada na egão de volume máxmo (Wang e Huang, 993) na detemnação 69

184 Capítulo V A abodagem de toleânca em poblemas de pogamação lnea da egão de toleânca pode, na pátca, apesenta ao AD gamas de vaação paa alguns paâmetos bastante mas amplas ou apetadas que o desejável (Wendell, 2004). No contexto multobjectvo, Hansen et al. (989) popõem uma extensão à abodagem toleante em análse de sensbldade apesentada po Wendell (985, 984), calculando as soluções efcentes atavés da optmzação da soma pesada das funções objectvo, consdeando a possbldade de conhece a po as gamas de vaação paa alguns pesos. Nos exemplos lustatvos apesentados nas secções anteoes, o AD fo sucessvamente acescentando nfomação adconal, que paa os coefcentes pecsos, que elatvamente às gamas de vaação dos dfeentes paâmetos no modelo. Quanto mas estetas foem as gamas de vaação dos paâmetos especfcados pelo AD e mao fo a quantdade de nfomação conhecda a po, maoes seão os valoes encontados paa a pecentagem máxma de toleânca (havendo, no entanto, a gaanta de que seão pelo menos guas aos encontados na stuação em que não é especfcada nenhuma nfomação adconal pelo AD). A pat dos exemplos apesentados podemos conclu que, na pátca, é aconselhável que a especfcação de nfomação adconal, elatvamente aos coefcentes mpecsos, seja feta nteactvamente e com possbldade de a nfomação não coesponde a uma estutua de pefeêncas estável, de modo a se possível avala o mpacto esultante das coespondentes vaações nos valoes da toleânca máxma. Mutas vezes o AD pode esta nteessado em estuda o mpacto numa solução óptma/efcente, anteomente calculada, de dfeentes conjuntos de nfomação dsponíves a po paa um detemnado conjunto de paâmetos estmados ou estuda como uma solução óptma/efcente se compota paa dfeentes conjuntos de paâmetos estmados, consdeando o mesmo conjunto de nfomação dsponível a po (dado que esta mesma solução óptma/efcente pode se obtda a pat de dfeentes conjuntos de paâmetos estmados) ou dfeentes conjuntos de nfomação. Ou seja, estes algotmos podeão te uma aplcação pátca bastante útl se pudeem se utlzados teatvamente, ntegados, po exemplo, num SAD nteactvo, de modo a possblta exploa como uma solução óptma/efcente se compota peante dfeentes stuações altenatvas (que em elação aos paâmetos estmados, que à nfomação dsponível a po ). No capítulo segunte (capítulo VI) seá poposta uma metodologa nteactva de abodagem toleante paa poblemas de PLMO, onde o cálculo das soluções efcentes consste na esolução de um poblema escala soma pondeada das funções objectvo ncas, consdeando o vecto dos pesos nomalzado. As deas essencas desta metodologa fundamentam-se num estudo de geometa analítca, no dagama paamétco, das egões de ndfeença e de toleânca paa os valoes dos pesos. 70

185 Capítulo VI Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO No estudo apesentado em (Hansen et al., 989), descto na secção 3 do capítulo anteo, é poposta uma extensão da abodagem de toleânca em análse de sensbldade paa poblemas de PLMO, onde o cálculo das soluções efcentes consste na esolução de um poblema escala cuja função objectvo é uma soma pondeada das múltplas funções objectvo. Os autoes mostam como detemna quanto os váos pesos podem vaa smultânea e ndependentemente em elação aos valoes estmados mantendo-se efcente uma solução básca anteomente calculada com esses pesos. Os esultados apesentados em (Hansen et al., 989) podem se ntepetados po ntemédo da análse geométca das egões cítcas e de toleânca paa os pesos das funções objectvo no espaço dos pesos, como descto na secção deste capítulo (Boges e Antunes, 2002a). Neste estudo seá também ntegada a possbldade de o AD conhece a po nfomação adconal sobe a gama de vaação de alguns pesos. Segundo uma óptca smla, mas consdeando o vecto dos p pesos nomalzado (ou seja, consdeando o vecto dos pesos defndo num smplex com dmensão (p-) de um espaço Eucldano de dmensão p), é poposta na secção 2 uma metodologa nteactva de abodagem toleante aos pesos das funções objectvo de um poblema de PLMO, baseada na decomposção do dagama paamétco (dos pesos) e apopada ao estudo de poblemas com tês funções objectvo (Boges e Antunes, 2002a). O exemplo estudado na secção 3 do capítulo anteo é também usado na secção 3 deste capítulo paa lusta a metodologa exposta na secção 2. A sobeposção da egão de ndfeença, coespondente a uma detemnada solução básca efcente, com as egões de toleânca obtdas paa dfeentes conjuntos de pesos estmados consttu um modo apelatvo e dnâmco de o AD analsa as consequêncas de uma escolha po

186 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO smples nspecção vsual. Neste exemplo, o AD pode também especfca nteactvamente nfomação adconal elatva a alteações pemtdas nos valoes dos váos paâmetos de pondeação (pesos) estmados das funções objectvo (ndcando gamas de vaação paa os dfeentes pesos ou quas os valoes dos pesos devem se consdeados pecsos), de modo a examna como as pecentagens máxmas de toleânca se alteam peante as modfcações mpostas. De efe que na metodologa apesentada não é necessáo have consstênca na nfomação fonecda pelo AD ao longo das váas nteacções; ou seja, a estutua de pefeêncas do AD pode evolu duante o estudo. Em elação a uma solução efcente, é possível a qualque momento escolhe um conjunto de pesos estmados dstnto, assm como esteta ou alaga os ntevalos das gamas de vaação paa os dfeentes pesos (ou mesmo escolhe outa solução efcente e efectua um estudo análogo). Na secção 4 são expessas algumas consdeações sobe a metodologa nteactva poposta. VI. A geometa da abodagem de Hansen et al. (989) Na abodagem apesentada po Hansen et al. (989) petende-se calcula o valo paa a toleânca máxma nos pesos das funções objectvo, ν*, paa o qual o coespondente hpe-paalelepípedo ( hpe-box ), C(ν*), seja um subconjunto da egão cítca H = I K' H ( ) k k λ (defnda pela ntesecção das k estções (V.42.k), como explcado no capítulo V) obtda com um detemnado conjunto de pesos estmados ˆ λ = ( λˆ,..., ˆ,..., ˆ λ λ p ). Ou, caso haja estções adconas mpostas pelo AD que defnam uma egão paa a vaação dos valoes dos pesos estmados (Φ), paa o qual a ntesecção de Φ com o coespondente hpe-paalelepípedo, C(ν*), seja um subconjunto da espectva egão cítca H (sto é, C( ν) I Φ H como defndo po (V.44)). Se Φ= R, o hpe-paalelepípedo C(ν*), coespondente à egão de toleânca máxma paa os pesos, teá como centóde o ponto coespondente aos pesos estmados ˆ λ = ( λˆ,..., ˆ,..., ˆ λ λ p ) e um dos seus vétces petenceá a um dos k hpeplanos (k K ) que se obtém a pat das estções defndas po (V.42.k), substtundo a desgualdade pela gualdade. Esta stuação coesponde ao vétce A no ectângulo das fguas VI.(a) e VI.(b) paa p=2 e #K = (se p=2 os hpe-paalelepípedos são ectângulos). 72 p Caso o AD consga especfca a po estções adconas em elação à gama de vaação dos valoes estmados paa alguns dos pesos, Φ R p, o vétce que se stua sobe um dos hpeplanos (que se obtém a pat da espectva estção k) coesponde a um dos vétces da fgua obtda a pat da ntesecção destas estções adconas com o hpe-paalelepípedo, C(ν*) Φ. Esta stuação coesponde ao vétce B no ectângulo da fgua VI.(a) paa p=2 e #K =. Na fgua VI.(b) temos a stuação em que a exstênca a po de nfomação adconal sobe a gama de vaação dos valoes estmados paa os pesos não afecta o esultados obtdo com Φ= R p (a gama de vaação estabelecda a po é mao que a obtda consdeando a pecentagem máxma de toleânca).

187 VI. - A geometa da abodagem de Hansen et al. (989) (a) Φ C( ν ) e C(ν*) Φ Η (b) C ( ν ) Φ (c) Φ H Fgua VI. Análse geométca das egões cítcas e de toleânca paa os pesos das funções objectvo. Na fgua VI.(c) temos a stuação em que o valo da pecentagem máxma de toleânca nos pesos das funções objectvo não é fnto, ν*=+, pos qualque alteação aos pesos estmados dento de Φ vefca sempe todas as condções que defnem a egão cítca H coespondente àquele conjunto de pesos estmados. VI.. Inexstênca de nfomação adconal a po Comecemos po estuda a stuação em que não exstem estções adconas mpostas pelo AD em elação às gamas de vaação dos valoes estmados paa os pesos, Φ= R p. Neste caso, há que detemna paa cada uma das #K estções de (V.42.k) o mao hpe-paalelepípedo com centóde no ponto ˆ λ = ( λˆ,..., ˆ,..., ˆ λ λ p ) e que se stua no sem hpeespaço coespondente. Na fgua VI.2 estão epesentadas 2 estções esultantes da matz dos custos eduzdos (sejam k=, 2) paa p=2; com k= o mao hpe-paalelepípedo obtdo coesponde ao ectângulo com o vétce A; com k=2 coesponde ao ectângulo com o vétce B. Fgua VI.2 A pecentagem máxma de toleânca está elaconada com o meno ectângulo petencente à egão cítca. Os vétces de cada um dos #K hpe-paalelepípedos assm obtdos teão como coodenadas os pontos λ ˆ ( ± ) φ λ,..., λˆ ( ± ) φ λ,..., λˆ ( ± ) φ λ ), onde φ epesenta o ( p p p coefcente de petubação paa o peso estmado λˆ ; =,, p. O vétce que em cada hpe-paalelepípedo (k=,, #K ) petence ao hpeplano que se obtém da estção de (V.42.k) que se está a consdea, substtundo a desgualdade po =, coesponde ao Estes hpeplanos contêm a ogem. 73

188 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO ponto Q= ( λ ˆ,..., ˆ,..., ˆ sφ λ λ sφ λ λp s pφ p λ p ), sendo s =sgn[ λ (Zk - C k ) ]; =,, p (ve vétces A e B na fgua VI.2). O hpe-paalelepípedo a escolhe seá aquele que vefca todas as condções que defnem a egão cítca H coespondente àquele conjunto de pesos estmados no espaço dos pesos, ou seja, seá o meno dos #K hpe-paalelepípedo obtdos anteomente. Na fgua VI.2, o meno hpe-paalelepípedo coesponde ao ectângulo com o vétce A. Vamos começa po vefca geometcamente quando é que um hpepaalelepípedo não exste, ou seja, quando Hansen et al. (989) consdeam que o valo ν k (k=, 2,, #K ) não é fnto. O hpe-paalelepípedo não exstá se não fo possível enconta um vétce que petença ao hpeplano que se obtém da estção que se está a consdea (substtundo a desgualdade po = ). Esta stuação acontece se a efeda estção não pemt defn um hpeplano, ou seja, quando os coefcentes foem todos nulos. Salente-se que sto é váldo paa qualque dmensão do espaço, p. Wondolowsk (99) efee que estas stuações coespondem a degeneescênca do dual e, po consegunte, o valo de ν k deve se consdeado nulo em vez de nfnto. Se algum(ns) dos valoes dos pesos estmados fo(em) pecso(s), pode também acontece que mesmo exstndo hpeplano não seja possível defn um hpepaalelepípedo (valo de ν k não fnto). Isto sucede se os coefcentes da estção consdeada que foem não nulos coespondeem aos pesos estmados λˆ que o AD conhece com pecsão (neste caso λ =0), ou seja, se o hpeplano que se obtém consdeando os valoes dos pesos pecsos fo paalelo ao hpeplano que se obtém da estção que se está a consdea. Repae-se que estas stuações encontam-se em confomdade com o cooláo 2.2 apesentado em (Hansen et al., 989): se Φ= R p então ν k =+ se e só se λ (C Z ) = 0; paa cada =,..., p. k - k Uma vez que, paa cada uma das #K estções esultantes da matz dos custos eduzdos, se conhecem os pesos estmados λˆ e o vétce do hpe-paalelepípedo que petence ao hpeplano em estudo, é fácl calcula as dstâncas ente estes 2 pontos. Ou seja, paa cada uma das #K estções esultantes da matz dos custos eduzdos podem- -se calcula as dstâncas do ponto ˆ λ = ( λˆ,..., λˆ,..., ˆ λ ) ao hpeplano coespondente, p segundo a decção do vecto V = ( s φ λ,..., sφ λ,..., s pφ p λ p ). Os valoes de ν k (k=,, #K ) podem se obtdos a pat destas dstâncas (e vaam popoconalmente com elas). Dado que um valo não negatvo ν é um valo possível paa a toleânca dos pesos das funções objectvo se e só se uma solução óptma de (V.40) se mantve óptma desde que φ Φ (Φ= R p, neste caso) e φ ν, onde φ = { max φ, =,..., p} epesenta a noma de Tchebycheff de φ (o valo absoluto de cada coefcente de petubação φ não excede ν) podemos defn ν k ; k=,, #K, como 2 ν k sup ν s.a. φ ν φ H (λ ) (VI..k) k 2 O sem-hpeespaço H (λ ) ; k K, enconta-se anteomente defndo po (V.42.k) em V.3.2. k 74

189 VI. - A geometa da abodagem de Hansen et al. (989) O hpe-paalelepípedo a escolhe é o meno dos #K hpe-paalelepípedos obtdos. Assm, o valo de ν* (toleânca máxma dos pesos das funções objectvo) coespondeá ao meno dos valoes ν k calculados; k=,, #K. Segudamente, vamos mosta como calcula as dstâncas efedas, e os coespondentes valoes de ν k, quando o númeo de funções objectvo p=3, sendo a genealzação paa qualque dmensão medata. No espaço dos pesos da fgua VI.3 consdeemos o ponto P= ˆ λ = ( λˆ, ˆ, ˆ λ2 λ3 ) coespondente aos valoes estmados paa os pesos. Π k é um dos planos obtdos a pat da matz dos custos eduzdos do quado smplex multobjectvo óptmo coespondente à solução básca efcente obtda com os pesos estmados P e é defndo po 3 λ ˆ (Z C ) = 0 (este plano contém a ogem). PX coesponde à dstânca de P ao = k - k plano Π k segundo uma pependcula a Π k, podendo se calculada po: PX = 3 = λˆ (Z p = (Z k k - C - C k k ) ) 2. (VI.2.k) Fgua VI.3 Espaço dos pesos das funções objectvo paa p=3. PQ 3 coesponde à dstânca de P ao plano Π k segundo a decção de V 3 = ( sν k λ, s2ν k λ2, s3ν k λ 3 ), ou seja, é a dstânca que nos nteessa consdea, onde = ( λˆ s ν λ, λˆ s ν λ, λˆ s ν ). Q3 k 2 2 k k λ3 3 Repae se que PQ 3 = V 3 = ν k = λ. Se ω é o ângulo ente [P, X] e [P, Q 3 ], então PQ 3 = PX /cos(ω). 2 75

190 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO Sendo [P, X] pependcula a Π k, seá paalelo a qualque vecto pependcula a Π k, nomeadamente a ((C - Z ), (C - Z ), (C Z )) N k k 2k 2k 3k - 3k =, e cos(ω) pode se obtdo a pat do poduto escala de V 3 po N, ou seja: cos(ω) = V3. N V 3 N = ν 3 k = PQ 3 ( s 3 = λ )(C (C k k - Z - Z k k ) 2 ). (VI.3.k) Sendo PQ 3 = PX /cos(ω) podemos obte o valo de ν k coespondente a pat de PQ 3 = 3 = 3 λˆ = (Z (Z k k - C - C k k ) ) 2 ν PQ 3 3 k = 3 = ( s (C λ )(C k - Z k k ) - Z 2 k ) (VI.4.k) ν k = = 3 λˆ = 3 ( s (Z λ )(C k - C k k ) - Z k ; k=,, #K. (VI.5.k) ) Uma vez que se deseja calcula a meno das dstâncas do ponto ao plano, e coespondentemente o meno ν k, temos s = sgn(z C ) ; =, 2, 3, ou seja, 76 ν k = 3 = 3 = λˆ (Z λ C k k - C - Z k k ) k - k ; k=,, #K, (VI.6.k) onde um denomnado nulo paa algum k coesponde a ν k =+. Se ν k fo fnto então, paa cada k=,, #K, os valoes de φ * podem se obtdos po: φ * = ν k (-sgn[ λ C ) ]) = ν k sgn[ λ Z ) ]; =,, p. (VI.7.k) (Zk - k (Ck - k Se o númeo de funções objectvo fo p>3, o acocíno anteo pode se genealzado obtendo-se um esultado gual ao cooláo 3. poposto em (Hansen et al., 989). p Se Φ= R, então o valo ν k ; paa k=,, #K, (fnto ou nfnto) é dado po: ν k = p = p = λˆ (Z λ C k k - C - Z k k ), (VI.8.k) onde um denomnado nulo paa algum k sgnfca que o coespondente valo de ν k é +.

191 VI. - A geometa da abodagem de Hansen et al. (989) Se ν k fo fnto, então uma solução óptma paa (V.47.k) seá: φ * = ν k sgn[ λ (C Z )]; =, 2,, p. (VI.9.k) k - k Se algum(ns) dos valoes dos pesos das funções objectvo fo(em) conhecdo(s) com pecsão todo o acocíno se mantém. No entanto, como λ =0, a(s) componente(s) coespondente(s) em V tona(m) se nula(s) e em Q fcam com o valo λˆ, ou seja: e p 2 k λ = pecsos PQ = ν = ν k = p = p ( s = pecsos λˆ (Z λ )(C k p = - C k λˆ (Z p = k ) - Z (Z k k k -C -C k k ) ) 2 ν k ν p 2 λ pecsos = p ( s k pecsos = = λ )(C p (C k k -Z - Z k k ) ) 2 (VI.0.k) ; k=,, #K. (VI..k) ) Como λ =0 quando o coespondente peso fo conhecdo com exactdão, obtemos paa o calculo de ν k o cooláo 3. (Hansen et al., 989). VI..2 Exstênca de nfomação a po elatva às gamas de vaação paa os pesos das funções objectvo Gealmente, o AD não conhece com exactdão os valoes dos pesos das funções objectvo mas pode se capaz de especfca ntevalos [ λ, λ ] de vaação paa algum(ns) (ou todos) dos valoes dos pesos ( λ λˆ + φ λ λ ; =,, p), sendo neste caso Φ=Φ( φ, φ ). A pat destes ntevalos de vaação paa os valoes dos pesos estmados, é φ, φ. possível sabe os ntevalos de vaação paa os coefcentes de petubação φ [ ] Consdeando λ >0 3 temos: λ ˆ λ φ = λ e λ ˆ λ φ =. λ 3 Paa gaant que os valoes λ ˆ +φ λ são não negatvos podemos escolhe λ =0, ou seja, λ φ = ˆ (ou λ λ = um valo postvo pequeno, de modo a elmna a possbldade de obtenção de soluções facamente não domnadas). 77

192 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO p Se Φ R, mas Φ=Φ( φ, φ ), Hansen et al. (989) popõem uma abodagem teatva paa o cálculo do valo ν k. Depos de vefca que ν k é fnto, esolve-se ncalmente o poblema consdeando Φ= R p (teação t=0), ou seja, calculam-se os coefcentes de petubação p ˆ λ = (Zk - C k ) 0 paa t=0 po ntemédo de: φ = sgn[ λ (Ck - Zk )] ; =,, p. p λ C - Z Segudamente enta-se num pocesso teatvo onde, se todos valoes obtdos na t t teação t paa φ satsfzeem os lmtes mpostos a po pelo AD (ou seja, se φ Φ( φ, φ )), a solução obtda é óptma e o pocesso temna; se não, fxam-se as t componentes de φ que falham com os valoes dos lmtes que são volados e ecalculam- -se as estantes componentes, depos de substtu na equação do hpeplano em estudo t (obtda a pat de (V.42.k)) os valoes de todas as componentes de φ que foam fxos até à teação t. Em cada teação t>0, aqulo que Hansen et al. (989) fazem não é mas do que detemna o mao hpe paalelepípedo que ntesectado com os sem hpeespaços λ ˆ λ e λ ˆ λ, paa alguns =,, p, em elação aos quas as espectvas componentes em φ t t ( φ ) já volaam um dos lmtes estabelecdos ( φ ou φ ) numa teação anteo, dá ogem a uma fgua (que também é um hpe paalelepípedo) que se stua no sem hpeespaço coespondente à estção k que se está a analsa. Seja Φ t defnda pela ntesecção dos sem hpeespaços λ ˆ λ e λ ˆ λ, defndos em Φ, paa os quas as espectvas componentes em φ t t ( φ ) não satsfazem t λ λˆ + φ λ λ até à teação t, paa alguns =,, p. A pat de agoa, denomnaemos po Ξ t a fgua do espaço defnda pela ntesecção de Φ t com o hpe paalelepípedo obtdo na teação t, paa o qual os vétces são caactezados po ˆ t,..., ˆ t λ ± φ λ λ ± φ φ λ ). ( p p p p Nas fguas VI.4(a) e VI.4(b) estão epesentadas 2 estções esultantes da matz dos custos eduzdos (sejam k=, 2) paa p=2. Dos conjuntos dfeentes de estções adconas, Φ, (mpostas pelo AD em elação à gama de vaação dos valoes estmados paa os pesos) são também consdeados em VI.4(a) e VI.4(b). Em ambas as fguas, com k= o mao hpe paalelepípedo coesponde ao ectângulo (de fontea a tacejado) que passa no ponto C e o ectângulo de padão quadculado com o vétce C coesponde ao Ξ t (t=). C é o vétce que se stua sobe a ecta coespondente (hpeplano que se obtém a pat da estção de (V.42.k) paa k=). Com k=2, Ξ t (t=) coesponde ao ectângulo de padão vetcal com vétce em D (no qual o ectângulo de padão quadculado se sobepõe), sendo este o vétce que se stua sobe a ecta coespondente. Repae-se que Ξ t é sempe a fgua obtda pela ntesecção do ectângulo coespondente com λˆ λ e λ ˆ λ. No caso da fgua VI.4(b) não se consdeam as estções λˆ 2 λ 2 e λ ˆ 2 λ 2 uma vez que = k k t φ 2 nunca vola os lmtes φ e φ

193 VI. - A geometa da abodagem de Hansen et al. (989) Como o mao Ξ t que satsfaz ambas as estções é o meno dos ectângulos, a pecentagem máxma de toleânca paa os pesos das funções objectvo está assocada ao ectângulo a quadculado com o vétce C, obtdo paa k= e com t=. (a) Os lmtes φ e φ são volados. (b) Os lmtes Fgua VI.4 Ξ paa k=, 2; λˆ - λ ˆ = λ - λ. φ e φ nunca são volados. 2 2 Se as ampltudes λ ˆ - λ e λ - λˆ não foem guas, Ξ t podeá não te o ponto ˆ λ = ( λˆ,..., ˆ,..., ˆ λ λ p ) como centóde, como acontece nos exemplos das fguas VI.5(a) e VI.5(b). (a) Os lmtes φ e φ são volados. (b) Apenas o lmte Fgua VI.5 Ξ paa k=, 2; λˆ - λ ˆ λ - λ. φ é volado. Nas fguas VI.5(a) e VI.5(b) estão epesentadas as mesmas estções esultantes da matz dos custos eduzdos mas consdeando uma egão Φ dfeente. Com k= o mao hpe paalelepípedo coesponde ao mesmo ectângulo (de fontea a tacejado) que passa no ponto C e o ectângulo de padão quadculado com o vétce C coesponde ao Ξ t (t=). C é o vétce que se stua sobe a ecta coespondente (hpeplano que se obtém a pat da estção de (V.42.k) paa k=) em ambas as fguas. No entanto, com k=2 temos esultados dfeentes. No exemplo da fgua VI.5(a), Ξ t (t=) coesponde ao ectângulo de padão vetcal com vétce em E (no qual o ectângulo de padão quadculado se sobepõe), sendo este o vétce que se stua sobe a ecta coespondente. No exemplo da fgua VI.5(b), Ξ t (t=) coesponde ao ectângulo de padão vetcal com vétce em B (no qual o ectângulo de padão quadculado se sobepõe), sendo este o vétce que se stua sobe a ecta coespondente. 79

194 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO Tal como anteomente, sendo o mao Ξ t que satsfaz ambas as estções o meno dos ectângulos, a pecentagem máxma de toleânca paa os pesos das funções objectvo está assocada ao ectângulo a quadculado com o vétce C das fguas VI.5(a) e VI.5(b), obtdo paa k= e com t=. No exemplo apesentado na fgua VI.5(b), apenas a estção λˆ λ fo volada paa 0 k=2. Com k=2, o valo do lmte φ é supeo a φ nos quato exemplos (das fguas VI.4(a), 0 VI.4(b), VI.5(a) e VI.5(b)), mas apenas em VI.5(b) o valo do lmte φ é supeo a φ. Em cada teação t>0, o vétce de Ξ t que petence ao hpeplano que se obtém da estção de (V.42.k) que se está a consdea teá como coodenadas os valoes constantes t λ ˆ + φ λ, nas componentes paa as quas φ t já volou pelo menos um dos lmtes estabelecdos a po ( φ ou φ ) numa teação anteo. Po exemplo, se as componentes v e d de φ t já volaam os lmtes estabelecdos a po numa teação anteo, o vétce petencente ao hpeplano pode se caactezado po: ˆ ˆ t,..., ˆ,..., ˆ t = ( λ s φ λ,..., λ + φ λ λ s φ λ λ + φ λ,..., λˆ s φ λ ), Q v v v d d d p p p p onde φ epesenta o coefcente de petubação paa o peso estmado s =sgn[ λ C ) ]; =,, p, v e d. (Zk - k λˆ e t+ Quando se vefca que nenhum dos φ, =, 2,, p, calculados na teação t vola os lmtes estabelecdos ( φ ou φ ), o pocesso teatvo temna e o coespondente t+ valo de ν k, k=,, #K, pode se obtdo (mao valo absoluto de φ ; =,, p). O hpe paalelepípedo a escolhe seá aquele paa o qual o Ξ t vefca todas as condções que defnem a egão cítca coespondente ao conjunto de pesos estmados; ou seja, seá o meno dos #K obtdos anteomente paa cada k=,, #K. O valo de ν* (toleânca máxma paa os valoes dos pesos das funções objectvo) coespondeá ao meno dos ν k calculados, k=,, #K. Dado que o valo de ν k não pode dmnu quando nfomação adconal é ntoduzda, o valo de ν * pode se detemnado po ntemédo do segunte algotmo, mas efcente que o poposto em (Hansen et al., 989) e anteomente apesentado em V.3.3: (VI.2) ) Paa os índces k onde o valo de ν k é fnto, detemna ncalmente este valo consdeando Φ= R p (teação t=0) (tal como poposto em (Hansen et al., 989)). 2) Paa o índce h, no qual o valo mínmo (ν h ) é obtdo, testa se as petubações nos pesos dos objectvos estão ncluídas em Φ, ou seja, se os valoes dos pesos satsfazem as estções adconas (os sem-hpeespaços λ ˆ λ e λ ˆ λ, paa =, 2,..., p). Se são satsfetas, então o valo da toleânca máxma ν* = ν h. Se não, o pocedmento teatvo explcado em V.3.3 ( elaxaton pocedue em (Hansen et al., 989)) deve se utlzado paa ecalcula o valo de ν h. 80

195 VI. - A geometa da abodagem de Hansen et al. (989) 3) Consdeem-se todos os índces onde os valoes actuas de ν k são esttamente nfeoes ao valo ν h. Se não exst nenhum índce, então fo encontado o valo da toleânca máxma ν* = ν h ; caso exstam índces, epetem-se as fases 2) e 3) consdeando apenas esses índces. Vamos começa po vefca geometcamente quando é que o valo ν k ; k=,, #K não é fnto. Se obsevamos a fgua VI.6 (p=2) vefcamos que se a egão defnda po Φ 4 estve completamente contda no semplano que se está a estuda, nclundo a ecta que se obtém substtundo a desgualdade pela gualdade, podemos consdea qualque valo paa o coefcente de petubação φ do peso estmado λˆ, =, 2, nomeadamente +, ou seja, neste caso ν k =+. A genealzação paa qualque dmensão p>2 é medata; se a egão defnda po Φ estve completamente contda no sem hpeespaço k que se está a estuda, podemos consdea qualque valo paa o coefcente de petubação φ do peso estmado λˆ, =,, p, ou seja, ν k =+. Pecsamos agoa ve quando é que a egão defnda po Φ está completamente contda no sem hpeespaço k que se está a consdea. Fgua VI.6 ν =+ ; ν 2 =+. A pat da fgua VI.6 (p=2) podemos conclu que, se o vétce da egão Φ que se stua mas póxmo da ecta que se obtém do semplano que se está a estuda (substtundo a desgualdade pela gualdade) petence ao semplano, então toda a egão Φ também petenceá. Este vétce tem como coodenadas os valoes λ ˆ +φ λ se (C k - Zk ) > 0 e λ ˆ +φ λ se (C k - Zk ) < 0, paa =, 2. Se (C k - Zk ) = 0 a coodenada coespondente é abtáa. A genealzação paa qualque dmensão p>2 é medata; se o vétce da egão defnda po Φ que tem como coodenadas λ ˆ +φ λ se (C k - Zk ) > 0 e λ ˆ +φ λ se (C k - Zk ) < 0, paa =,, p, estve stuado no sem hpeespaço k que se está a estuda, toda a egão defnda po Φ estaá nele contda sendo, potanto, ν k =+. 4 Se paa algum =,, p não exst nfomação a po que pemta delmta o ntevalo onde os valoes de λˆ ão vaa, consdea-se φ =- e φ =+ ; se λˆ é conhecdo com pecsão consdea-se φ = φ =0 (Wendell, 984). 8

196 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO Este esultado é equvalente ao cooláo 2. apesentado em (Hansen et al., 989): Se Φ=Φ( φ, φ ) então ν k =+ se e só se φ ˆ H ( λ ) onde ˆ φ = φ φ ( abtáo), se λ (C, se λ (C k k - Z - Z, outos casos k k k ) > 0 ) < 0 Suponhamos que o AD especfca a po estções adconas em elação à gama de vaação dos valoes estmados paa todos os pesos, λ ˆ λ e λ ˆ λ, paa =, 2,..., p. Geometcamente podemos obseva que se o valo de ν k fo fnto, então exste pelo menos uma dmensão (=, 2,..., p) em elação à qual estas estções não são voladas. Se todas as estções adconas são voladas, então nenhum dos hpeplanos que se obtêm das estções de (V.42.k) ntesectaá Ξ t, e o coespondente valo de ν k não pode se fnto. Assm sendo, o valo de ν k, quando fnto, pode se detemnado pelo algotmo poposto em (Hansen et al., 989) ao fm de no máxmo p- teações (em luga das p+ teações efedas pelos autoes), como menconado no capítulo anteo. Em cada teação t>0, conhecemos os pesos estmados λˆ e o vétce de Ξ t que petence ao hpeplano em estudo. Tal como anteomente, a dstânca ente estes 2 pontos pode se faclmente calculada como a dstânca do ponto λˆ até ao hpeplano em estudo segundo a decção de um vecto V que aponta de λˆ paa o vétce de Ξ t que t+ petence a esse hpeplano. Os coespondentes valoes de φ, =,, p (calculados na teação t), podem se obtdos a pat destas dstâncas. Segudamente, vamos mosta como calcula as dstâncas efedas, e os t+ coespondentes valoes de φ, =,, p (calculados na teação t), quando o númeo de funções objectvo p=3, sendo medata a genealzação paa qualque dmensão. Como efedo atás, em cada teação t>0, o vétce de Ξ t que petence ao hpeplano que se obtém da estção que se está a consdea teá como coodenadas os t valoes constantes λ ˆ t + φ λ, nas componentes paa as quas φ já volou pelo menos um dos lmtes estabelecdos a po ( φ e/ou φ ) numa teação anteo. Consdeemos t=0 e que a segunda componente de φ t volou os lmtes estabelecdos a po. Então J t+ t+ ={, 3} e φ 2 ={ φ 2 ou φ 2, consoante o lmte volado}; o vétce petencente ao hpeplano consdeado seá o ponto ˆ ˆ t + Q (,, ˆ 3 = λ sυ λ λ2 + φ2 λ2 λ3 s3υλ3 ), onde υ epesenta um possível valo paa as toleâncas dos pesos das funções objectvo, e s =sgn[ λ C ) ], =, 3. (Zk - k P Q 3 coesponde à dstânca de P ao plano Π k segundo a decção de V 3 t + = ( sυ λ, φ2 λ2, s3υ λ 3 ), ou seja, é a dstânca que nos nteessa consdea sendo P Q 3 = t+ 2 2 t+ V (= λ + ( φ λ ) = υ λ + φ 2 λ2 υ ). = t + J = t+ J 3 = 2 82

197 VI. - A geometa da abodagem de Hansen et al. (989) Se ω é o ângulo ente [P, X] e [P, Q 3 ], então P Q 3 = PX /cos(ω) e cos(ω) = V 3. N V 3 N = υ 3 = t+ J ( s λ )(C k PQ onde ((C - Z ), (C - Z ), (C Z )) N k k 2k 2k 3k - 3k =. 3 - Z k 3 = ) + (C 3 ( φ = t+ J k - Z t+ k ) λ )(C 2 k - Z k ), (VI.3.k) Sendo P Q 3 = PX /cos(ω) temos P Q 3 = 3 = 3 λˆ = (Z (Z k k - C - C k k ) ) 2 υ 3 = J t+ ( s PQ λ )(C 3 k 3 = - Z k (C k ) + - Z 3 k ( φ = J t+ ) 2 t+ λ )(C k - Z k ), (VI.4.k) υ = 3 = λˆ (Z k - C 3 k = J t+ ) + ( s 3 ( φ = J t+ λ )(C t+ k λ )(Z - Z k ) k - C k ). (VI.5.k) Uma vez que se deseja calcula a meno das dstâncas do ponto ao plano, e coespondentemente o meno υ, temos s = sgn(z C ), =, 3, ou seja, υ = 3 = λˆ (Z k - C k ) + 3 = J t+ 3 = J t+ λ C k ( φ k - t+ - Z λ )(Z k k - C t+ Como υ é fnto, então os valoes de φ podem se obtdos po: t+ k k ). (VI.6.k) φ = (-sgn[ λ C ) ])υ = sgn[ λ Z ) ]υ, ou seja, (Zk - k (Ck - k t+ φ = sgn[ λ Z ) ] (Ck - k 3 = λˆ (Z k - C k 3 ) + = t+ J 3 = t+ J λ C k ( φ t+ - Z λ )(Z k k - C k ). (VI.7.k) 83

198 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO Se o númeo de funções objectvo fo p, o acocíno anteo pode se genealzado obtendo se agoa um esultado dêntco ao apesentado no passo 4 do pocedmento teatvo poposto em (Hansen et al., 989) quando J t+. t+ φ = sgn[ λ Z ) ] (Ck - k p = λˆ (Z k - C k p ) + = t+ J p = t+ J λ C k ( φ t+ - Z λ )(Z k k - C k ). (VI.8.k) Se algum(ns) dos valoes dos pesos das funções objectvo fo(em) conhecdo(s) com pecsão todo o acocíno se mantém, consdeando se λ =0 quando o coespondente peso fo pecso. VI.2 O funconamento da abodagem nteactva poposta (baseado na análse geométca do dagama paamétco) Efectuando um estudo geométco no dagama paamétco, Λ, smla ao apesentado anteomente em VI. elatvo à abodagem apesentada po Hansen et al. (989), mas tendo em atenção que as egões de ndfeença estão stuadas sobe o plano λ +λ 2 +λ 3 = e os pesos espetam as condções de não negatvdade λ 0 (=, 2, 3), podemos calcula o valo da pecentagem máxma de toleânca paa os pesos das funções objectvo, de tal modo que estes podem vaa smultânea e ndependentemente em elação aos seus valoes estmados, mantendo-se efcente uma solução básca anteomente calculada com esse conjunto de pesos estmados. No cálculo das dstâncas é necessáo te em conta as dstoções ognadas pela pesença da condção de nomalzação dos pesos (e esultantes do facto do vecto dos pesos se stua sobe o plano λ +λ 2 +λ 3 =). Detalhes mas pomenozados sobe este assunto podem se encontados em (Evans, 984) e (Schnelle e Sphcas, 985). Analsando as fguas VI.7 ((a) a (d)) vefcamos que as egões de toleânca paa os valoes dos pesos são polígonos convexos no plano λ +λ 2 +λ 3 =, C(ν) Λ. λ 2 λ 2 λ 2 λ 2 (0,,0) (0,,0) (0,,0) (0,,0) P P P P (0,0,) (,0,0) (0,0,) (,0,0) (0,0,) (,0,0) (0,0,) (,0,0) λ 3 λ λ 3 λ λ 3 λ λ 3 λ (a) (b) (c) (d) Fgua VI.7 As egões C(ν) Λ são polígonos convexos. Se Φ 3 R, então C(ν) Λ Φ teão um aspecto semelhante aos polígonos apesentados nas fguas VI.8(a) e (b). 84

199 VI.2 - O funconamento da abodagem nteactva poposta (baseado na análse geométca do dagama paamétco) λ 2 (0,,0) λ 2 (0,,0) P P λ 2 > constant λ 2 > constant (0,0,) (,0,0) (0,0,) (,0,0) λ 3 λ λ 3 λ (a) (b) Fgua VI.8 As egões C(ν) Λ Φ são polígonos convexos. Na nossa abodagem desejamos detemna a toleânca máxma paa os valoes dos pesos das funções objectvo, ν*, paa a qual o ntesecção de Λ com o coespondente C(ν*) é um subconjunto da egão cítca H = I K H ( ) k k λ 5 obtda com um detemnado conjunto de pesos estmados P= λˆ = ( λ ˆ, ˆ, ˆ λ2 λ3 ). Ou, caso exstam estções adconas mpostas pelo AD que defnam uma egão paa a vaação nos valoes dos pesos (Φ R 3 ), ν* paa a qual a ntesecção de Φ com o coespondente C(ν*) Λ é um subconjunto da espectva egão cítca H, ou seja, C(ν ) Λ Φ H (em confomdade com (V.44)). Seja π k, k K, a ecta obtda a pat da ntesecção do plano λ +λ 2 +λ 3 = com o plano Π k que se obtém a pat da coespondente estção k defndoa do sem-plano em (V.42.k), substtundo a desgualdade pela gualdade, assocada a uma detemnada solução efcente (veja dagama paamétco apesentado na fgua VI.4). Quando Φ= R 3, um dos vétces do polígono convexo defndo po C(ν) Λ petenceá a uma das ectas π k, (como acontece nos exemplos apesentados nas fguas VI.9 e VI.0(b) - vétce F) ou seá um dos pontos esultantes da ntesecção da coespondente ecta π k com uma das condções de não negatvdade paa os pesos λ 0, =, 2, 3 (como acontece com o vétce B no exemplo apesentado na fguas VI.0(a)). λ 2 k=3 k=4 k=2 P k= λ 3 λ Fgua VI.9 Regões de toleânca paa os pesos em Λ. 5 As egões cítcas paa os pesos dos objectvos, assocadas a uma solução efcente do poblema petubado (V.40) (defndas pela ntesecção das k estções (V.42.k), como descto no capítulo V), estão elaconadas com as egões de ndfeença no dagama paamétco Λ. 85

200 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO Como Mamol e Pueto (997) salentam, mesmo não exstndo nfomação sobe as gamas de vaação paa os valoes dos pesos, estes devem sempe se consdeados não negatvos no cálculo das soluções efcentes. Concodamos com eles, mas também concodamos conceptualmente com Schnelle e Sphcas (985) os quas afmam que o AD apenas se enconta nteessado na possbldade de paa uma dada solução efcente esta não v a tona-se não efcente, e que sso nunca se vefca se o vecto dos pesos toma apenas valoes em Λ. Segundo a nossa opnão, as deas destes autoes não são totalmente contadtóas; de facto, ambos os autoes pestam atenção à ccunstânca de os valoes negatvos paa os pesos não possuíem sgnfcado. No contexto opeaconal da nossa abodagem nteactva, é apenas dada ao AD a possbldade de seleccona valoes paa λˆ em Λ. As consdeações efedas foam tdas em conta, no sentdo em que podem ocoe stuações paa as quas C(ν*) não esteja completamente ncluído em Λ. No entanto, C(ν ) Λ petenceá obgatoamente à egão cítca H obtda com um detemnado conjunto de pesos estmados. (a) [π k λ 3 =0] Λ (k=) (b) [π k λ =0] Λ; [π k λ 3 =0] Λ (k=) Fgua VI.0 (O pmeo C(ν) obtdo [ Φ]) Λ. Tendo apenas em atenção valoes postvos paa os pesos, é gaantda pela metodologa poposta a possbldade de obtenção de maoes valoes paa as pecentagens máxmas de toleânca dos váos pesos das p funções objectvo, ν*(x00%), nestas stuações. Se o vétce do polígono convexo C(ν) (petencente à ecta π k em estudo) não petence a C(ν) Λ (algumas componentes do vétce são negatvas), deve se detemnado um novo C(ν), paa o qual um dos vétces de C(ν) Λ seja um ponto que esulte da ntesecção da ecta π k em estudo com um dos planos λ y =0, y=, 2, 3 (y assocado aos índces das componentes com valo negatvo no vétce do pmeo C(ν) obtdo), como o ponto B no exemplo apesentado na fgua VI.0(a). Se não fo possível enconta nenhum ponto (de ntesecção da ecta π k em estudo com um dos planos λ y =0 a analsa) dento de Λ, então o coespondente ν k não deve se tdo em conta no cálculo de ν*, como é o caso dos pontos D e E no exemplo apesentado na fgua VI.0(b). 86

201 VI.2 - O funconamento da abodagem nteactva poposta (baseado na análse geométca do dagama paamétco) Analsemos mas detalhadamente os exemplos lustatvos apesentados nas fguas VI.0(a) e VI.0(b), paa os quas #K=2 (k=, 2). Paa estes exemplos, C(ν) são losangos defndos pela ntesecção dos planos λ λˆ ν k λ, λ λˆ + ν k λ, λ3 λˆ 3 ν k λ3 e λ3 λˆ 3 + ν k λ3. Paa o exemplo da fgua VI.0(a), o mao valo paa a pecentagem de toleânca paa os pesos dos objectvos, ν*x00%, obtém-se paa k= (com k=2 o espectvo C(ν) Λ não petence à egão cítca H). Na fgua encontam-se epesentados: () o losango paa o qual o vétce A (petencente a π ) não petence a C(ν) Λ (pos λ 3 <0); () o losango paa o qual C(τ) Λ tem como vétce o ponto B, que esulta da ntesecção de π com o plano λ 3 =0, assm como a coespondente fontea de C(ν) Λ. Na fgua VI.0(b) lustamos a stuação onde o valo de ν não deve se consdeado no cálculo de ν*, poque com k= os pontos esultantes da ntesecção de π com o plano λ =0 (D) e com o plano λ 3 =0 (E) encontam-se foa do dagama paamétco Λ. O mao valo paa a pecentagem de toleânca dos pesos nos objectvos, ν*x00%, obtém-se paa k=2. Na fgua encontam-se epesentados: () o losango paa o qual o vétce C (petencente a π ) não petence a C(ν) Λ (λ 3 <0); (v) o losango paa o qual C(ν) Λ tem como vétce o ponto F, que petence a π 2 e está dento da egão cítca H. Se Φ R 3, então o vétce petencente a π k, seá vétce do polígono convexo C(ν) Φ. Se este ponto não petence a C(ν) Φ Λ então, po analoga com o acocíno anteo, um dos vétces de C(ν) Φ Λ seá um ponto que esulta da ntesecção da ecta π k em estudo com um dos planos a analsa λ y =0 (y=, 2, 3 e y assocado aos índces das componentes de valo negatvo no vétce do pmeo C(ν) Φ obtdo). Tal como anteomente, se este ponto não petence a Λ, então o coespondente ν k não deve se consdeado no cálculo de ν*. VI.2. Inexstênca de nfomação adconal a po Comecemos po estuda a stuação em que não exstem estções adconas mpostas a po pelo AD que possbltem defn uma egão onde os valoes estmados paa os pesos ão vaa, ou seja, Φ= R 3. Sejam as egões de ndfeença paa os pesos dos objectvos apenas defndas a pat das estções da egão cítca H (obtda com um detemnado conjunto de pesos estmados), ou seja, a egão defnda pela ntesecção de H com o plano λ +λ 2 +λ 3 = está 87

202 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO 88 completamente ncluída em Λ (podendo eventualmente have estções de H que não defnam a egão cítca po seem edundantes) 6. Fgua VI. Regões de toleânca paa os pesos em Λ. Qualque um dos 2 pontos extemos epesentados na fgua VI. é canddato a vétce dum polígono convexo C(τ) em Λ, anda que não possam se todos smultaneamente vétces efectvos da fontea no mesmo polígono. Os vétces epesentados têm como coodenadas os pontos ) ) ( ˆ, ) ( ˆ, ) ( ˆ ( λ λ λ λ λ λ ± ± ± φ φ φ, onde φ epesenta o coefcente de petubação paa o peso estmado λˆ, =, 2, 3, e vefcam a condção ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ = ± + ± + ± λ λ λ λ λ λ φ φ φ. O vétce que em cada C(ν) petence à ecta π k podeá se caactezado po: a) T 3a) = ( ) ˆ ˆ, ˆ, ˆ λ s λ λ s λ λ s λ λ s λ + + φ φ φ φ pontos A, B, C e D na fgua VI.; b) T 3b) = ( ) ˆ, ˆ ˆ, ˆ λ s λ λ s λ λ s λ λ s λ + + φ φ φ φ pontos E, F, G e H na fgua VI.; c) T 3c) = ( ) ˆ, ˆ, ˆ ˆ λ s λ λ s λ λ s λ λ s λ + + φ φ φ φ pontos I, J, L e M na fgua VI.. O valo de s dependeá do vétce em estudo e da nclnação da ecta π k que se está a consdea. Vamos estuda sepaadamente as stuações em que o vétce dos polígonos convexos, C(ν), petencente à ecta π k consdeada é um dos pontos efedos em a), em b) ou em c). Em cada uma das stuações efedas, petende-se obte o mao polígono convexo, C(ν ke ) (e=a), e=b) e e=c)), que possua um dos vétces sobe uma das ectas π k obtdas (em Λ). O meno dos tês polígonos convexos C(ν ke ) encontados coesponde àquele que 6 Se bem que as condções de não negatvdade paa o valo dos pesos pudessem se tatadas como as estções defndoas da egão cítca, tal não fo feto. Na abodagem poposta, elas seão consdeadas quando o vétce do polígono convexo C(ν) (petencente à ecta π k em estudo) não petence a C(ν) Λ, e seão ntegadas duante o estudo apenas se necessáo (como explcado mas à fente).

203 VI.2 - O funconamento da abodagem nteactva poposta (baseado na análse geométca do dagama paamétco) ntesectado com Λ é um subconjunto da egão de ndfeença paa os pesos (obtda com um detemnado vecto de pesos estmados). O valo da toleânca máxma paa os pesos das funções objectvo, ν*, é o meno dos tês valoes ν ke encontados. Paa obte o mao polígono convexo, C(ν ke ), (nas stuações e=a), e=b) ou e=c)) temos de analsa cada uma das #K estções defndoas da egão cítca. Ou seja, paa cada uma das #K estções defndoas da egão cítca deve se detemnado o mao polígono convexo com centóde no ponto λˆ e que ntesectado com Λ se stua no semplano coespondente, e escolhe ente estes o meno dos obtdos. O meno polígono convexo dos C(ν ke ) obtdos (paa k=,..., #K) seá o mao que espeta todas as estções que defnem a egão de ndfeença paa um detemnado vecto de pesos estmados na stuação e, e teá assocado o meno dos valoes ν ke obtdos. Pode have casos (e=a), e=b) ou e=c)) em que não exsta o polígono convexo C(ν ke ). Po exemplo, se o ponto extemo que é canddato a vétce de C(ν ke ) não fo efectvamente um ponto extemo na fontea de C(ν ke ), então o coespondente valo de ν ke (detemnado na stuação e paa a estção k) não deve se consdeado (como acontece com o ponto A na fgua VI.2(c)). Se em elação a algumas das #K estções, o vétce em π k do polígono convexo C(ν ke ) encontado na stuação e não petence a C(ν ke ) Λ, sgnfca que algumas das componentes deste vétce são negatvas. Paa cada um dos índces (y=, 2, 3) assocado a uma componente negatva podeá se necessáo pocua um novo polígono convexo C(ν key ) paa o qual o vétce em estudo espete as condções de não negatvdade dos pesos λ y 0. Ou seja, paa cada y (apenas os coespondentes aos y que falham), podeemos te então que pocua o mao polígono convexo C(ν key ) tal que o vétce de C(ν key ) Λ em estudo seja o ponto que esulta da ntesecção de π k com a condção de não negatvdade λ y 0 espectva. O meno dos C(ν key ) assm obtdos seá o escolhdo, e o coespondente valo de ν seá o valo a atbu a ν ke. Se não exst nenhum polígono nestas condções, este valo de ν ke deve se despezado no cálculo de ν*. λ 2 λ 2 λ 2 λ 2 k=3 k=4 k=3 k=4 k=3 k=4 k=3 k=4 k=2 P k=2 k= P k= k=2 A P k= k=2 P k= λ 3 λ λ 3 λ λ 3 λ λ 3 λ (a) k= e e=a) (b) k=3 e e=a) (c) k=2 e e=a) (d) k=2 e e=b) Fgua VI.2 Detemnação do mao polígono convexo C(ν ke ) em Λ. Uma vez que, paa estes novos polígonos convexos, os valoes de ν key seão seguamente pelo menos guas ao valo ν ke detemnado paa o pmeo polígono convexo (cujo vétce não espetava as condções de não negatvdade dos pesos), este 89

204 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO pocedmento só pecsaá de se efectuado se o valo ν ke coespondente ao pmeo polígono convexo fo o meno dos calculados até então 7. Po questões de efcênca sugemos que se detemnem ncalmente todos os valoes de ν ke, e apenas se vefque se o vétce do pmeo polígono convexo espeta as condções de não negatvdade dos pesos paa o índce h (=k), onde o meno valo de ν ke fo obtdo, ν h e, tal como é poposto no segunte algotmo: (VI.9) ) Se o meno valo dos ν ke obtdos, ν h e, coesponde à ccunstânca em que o vétce em π h do polígono convexo C(ν h e ) encontado está ncluído em Λ, então ν*=ν h e. 2) Caso contáo, necesstaemos de efectua o pocedmento explcado pevamente paa esse h (=k) de modo a ecalcula o novo valo de ν h e, com base nos valoes de ν h ey, e analsa de seguda todos os índce k paa os quas os valoes coentes de ν ke sejam esttamente menoes que o novo valo de ν h e. 3) Se não exstem índces nestas condções, temos ν ke =ν h e. 4) No caso de exstem, estes índces devem se estudados po ntemédo dum algotmo smla ao (VI.2) anteomente sugedo em VI..2. Paece-nos que se tonaá mas aconal e coeente consdea a ntegação das estções de não negatvdade da foma descta, a tatá-las de foma dêntca às estantes estções defndoas de H, muto emboa a questão da efcênca vá depende gandemente do poblema (e das coespondentes estções da egão cítca H). Nas fguas VI.2 ((a) a (d)) está epesentada uma egão de ndfeença no dagama paamétco assocada a um conjunto pesos estmado P. Se consdeamos a stuação em que o vétce do polígono convexo, C(ν ke ) petencente à ecta π k consdeada, é um dos vétces efedos em a) encontamos, paa k=, C(ν a) ) na fgua VI.2(a) e, paa k=3, C(ν 3a) ) na fgua VI.2(b) sendo o meno (e consequentemente o escolhdo) o epesentado em VI.2(b). Paa k=2, fgua VI.2(c), e k=4, os vétces que foam encontados não são efectvamente vétces da fontea dos C(ν) obtdos sendo, potanto, despezados. Resultados semelhantes podeam se obtdos paa os vétces efedos em b) e em c). O mao C(ν), tal que a ntesecção de Λ com o coespondente C(ν) é um subconjunto da egão de ndfeença calculada paa o conjunto de pesos P, seá C(ν*)=C(ν 2b) ) (fgua VI.2(d)). Geometcamente, pode conclu se que o C(ν ke ) coespondente a cada uma das #K estções defndoas da egão cítca H exste, sendo o coespondente ν ke fnto, desde que seja possível enconta um vétce que petença à ecta π k em estudo, mesmo que o vétce do C(ν ke ) encontado não petença a Λ. Ou seja, paa Φ= R 3 o valo de ν ke 7 Seá meno dos calculados até então e não meno dos calculados até então na stuação e, paa e=a), e=b) e e=c), pos estamos sucessvamente a escolhe o meno (sso tona-se-á evdente mas à fente quando colgmos os esultados). Emboa, po questões elucdatvas, estejamos a consdea sepaadamente as váas stuações (e=a), e=b) e e=c)), em temos computaconas sso não se tona obgatóo, pocua-se o meno dos valoes ν ke calculados até ao momento naquela nteacção, consdeando-se em temos de cálculo a fómula adequada paa a stuação e. 90

205 VI.2 - O funconamento da abodagem nteactva poposta (baseado na análse geométca do dagama paamétco) não seá fnto se 2 dos pesos estmados foem pecsos (o teceo depende deles, uma vez que λ +λ 2 +λ 3 =), ou se a efeda estção não pemt defn um semplano (todos os coefcentes (Ck - Zk ) são nulos, paa =, 2, 3). Em (Hansen et al., 989) os hpeplanos que se obtnham a pat de cada uma das #K estções defndoas da egão cítca H (substtundo a desgualdade pela gualdade) passavam na ogem. Contudo, nada se pode afma elatvamente às ectas obtdas pela ntesecção do plano λ +λ 2 +λ 3 = com cada um dos #K planos que se obtêm a pat dos semespaços defndoes da egão cítca H. Sabemos, no entanto, que qualque ponto petencente a uma ecta contnuaá a petence à pojecção da ecta sobe um plano, nomeadamente sobe os planos λ =0, =, 2, 3. Estudemos a stuação em que o vétce de C(ν ke ) que petence à ecta π k em estudo é um dos vétces efedos em a) (vétce A, B, C ou D). A C λ 2 A C D B D B λ (a) Pojecção λ -λ 2 -λ 3 (a) Pojecção λ -λ 2 Fgua VI.3 e=a). A pat das fguas VI.3(a) e (b) podemos conclu que: Se o vétce fo A ou B, apenas nteessaá estuda as ectas paa as quas sgn ( λ ((Zk - Ck ) (Z3k - C3k ))) =-sgn ( λ2 ((Z2k - C 2k ) (Z3k - C3k ))), sendo os espectvos coefcentes de petubação paa os pesos estmados φ =-φ 2 ; Se o vétce fo C ou D, apenas nteessaá estuda as ectas paa as quas sgn ( λ ((Zk - Ck ) (Z3k - C3k ))) =sgn ( λ2 ((Z2k - C 2k ) (Z3k - C3k ))), sendo os espectvos coefcentes de petubação paa os pesos estmados φ =φ 2. Paa estes vétces, o valo de s =sgn ( λ ((Zk - C k ) (Z3k - C3k ))) ; =, 2 e k K. Neste momento, em elação a cada uma das #K condções que defnem a egão cítca H, coespondente a um conjunto de pesos estmados, conhecemos os pesos estmados λˆ e o vétce de C(ν ke ) petencente à ecta π k em estudo (paa o caso deste se um dos vétces efedos em a)), sendo fácl calcula as dstâncas ente estes 2 pontos e os valoes coespondentes paa ν ka) ; k=,, #K (os quas vaam popoconalmente com estas dstâncas). As dstâncas efedas podem se calculadas como em VI.. (o facto de estamos a tabalha sobe o plano λ +λ 2 +λ 3 = não afecta o acocíno). No dagama paamétco da fgua VI.4, o ponto P= ˆ λ = ( λˆ, ˆ, ˆ λ2 λ3 ) coesponde aos valoes estmados paa os pesos. Π k é um dos planos obtdos a pat da matz dos 9

206 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO custos eduzdos do quado smplex multobjectvo óptmo coespondente a P (ou seja, uma das estções defndoas da egão cítca H) e π k epesenta a ecta de ntesecção deste plano com o plano λ +λ 2 +λ 3 =. PX coesponde à dstânca de P ao plano Π k segundo uma pependcula a Π k podendo se calculada po (VI.2.k). PT 3a) coesponde à dstânca de P ao plano Π k segundo a decção de = ( s ν λ, s ν λ, s ν λ + s ν ), ou seja, é a dstânca que nos nteessa K 3a) ka ) 2 ka) 2 ka) 2 ka) λ2 consdea, onde = ( λˆ s ν λ, λˆ s ν λ,- λˆ + s ν λ λˆ + s ν ) e PT 3a) = K 3a). T3a) ka ) 2 2 ka) 2 ka) 2 2 ka) λ2 Fgua VI.4 Dagama paamétco (dos pesos das funções objectvo) Λ, paa p=3. Sendo PT 3a) = PX /cos(ϕ) podemos obte o valo de ν ka) coespondente: ν ka) = 3 = 3 ( s λ ) 3 = λˆ (Z - C ((C - Z ) (C - Z )) k k k k ) 3k 3k ; k=,, #K. (VI.20.k) Uma vez que se deseja calcula a meno das dstâncas do ponto ao plano, e coespondentemente o meno ν ka), temos s = sgn( (Zk - Ck ) (Z3k - C3k )) ; =, 2, ou seja, ν ka) = 3 = 3 3 = λ (C k λˆ (Z - Z k k - C k ) (C 3k ) ; k=,, #K. (VI.2.k) - Z 3k ) 92

207 VI.2 - O funconamento da abodagem nteactva poposta (baseado na análse geométca do dagama paamétco) Se ν ka) fo fnto então, paa cada k=,, #K, os valoes de φ * a) podem se obtdos po: φ * a) = ν ka) sgn[ λ ((Ck - Zk ) (C3k - Z3k )) ]; =, 2. (VI.22.k) Um estudo análogo pode se feto se o vétce de C(ν ke ) petencente à ecta π k consdeada fo um dos vétces efedos em b) ou c), obtendo-se, nestes casos, os esultados abaxo desctos. Quando o vétce de C(ν ke ) que petence à ecta π k é um dos vétces efedos em b) 8, o mao valo paa a pecentagem de toleânca dos váos pesos dos objectvo pode se calculado po: ν kb) = 3 = 2 3 = λ (C k λˆ (Z - Z k k - C k ) (C ) 2k - Z 2k ) ; k=,, #K. (VI.23.k) Se ν kb) fo fnto então, paa cada k=,, #K, os valoes de φ * b) podem se obtdos po: φ * b) = ν kb) sgn[ λ ((Ck - Zk ) (C 2k - Z2k )) ]; =, 3. (VI.24.k) Quando o vétce de C(ν ke ) que petence à ecta π k é um dos vétces efedos em c) 9, o mao valo paa a pecentagem de toleânca dos váos pesos dos objectvo pode se calculado po: ν kc) = 3 = 3 = λ (C k λˆ (Z - Z k k - C k ) (C ) k - Z k ) ; k=,, #K. (VI.25.k) Se ν kc) fo fnto então, paa cada k=,, #K, os valoes de φ * c) podem se obtdos po: φ * c) = ν kc) sgn[ λ ((Ck - Zk ) (Ck - Zk )) ]; =2, 3. (VI.26.k) 8 Se o vétce fo E ou F na fgua VI., apenas nteessaá estuda as ectas paa as quas: sgn ( λ ((Zk - Ck ) (Z2k - C2k ))) =-sgn ( λ3 ((Z3k - C3k ) (Z2k - C2k ))) ; se fo G ou H, apenas nteessaá estuda as ectas paa as quas: sgn ( λ ((Zk - Ck ) (Z2k - C2k ))) =sgn ( λ3 ((Z3k - C3k ) (Z2k - C 2k ))). 9 Se o vétce fo I ou J da fgua VI., apenas nteessaá estuda as ectas paa as quas: sgn ( λ2 ((Z2k - C2k ) (Zk - Ck ))) =-sgn ( λ3 ((Z3k - C3k ) (Zk - Ck ))) ; se fo L ou M, apenas nteessaá estuda as ectas paa as quas: sgn ( λ2 ((Z2k - C2k ) (Zk - Ck ))) =sgn ( λ3 ((Z3k - C3k ) (Zk - Ck ))). 93

208 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO Se consdeamos um índce, q, que toma o valo 3 quando o vétce de C(ν ke ) é um dos efedos em a), o valo 2 paa os efedos em b) e paa os efedos em c), podemos sntetza as equações (VI.2.k) a (VI.26.k) anteoes: O valo da toleânca paa pesos das funções objectvo, ν ke, k=,, #K, e=a) q=3, e=b) q=2, e=c) q=, pode se calculado po: 94 ν ke = 3 = q 3 λ (C k λˆ = (Z - Z k k - C k ) (C qk ) - Z qk. (VI.27.k) ) Se ν ke (e=a) q=3, e=b) q=2 e e=c) q=) fo fnto então, paa cada k=,, #K, os valoes de φ * e podem se obtdos po: φ * e = ν ke sgn[ λ ( - Z ) (C Z )) ]; =, 2, 3; q (VI.28.k) (Ck k qk - qk O valo da pecentagem máxma de toleânca paa os pesos das funções objectvo, ν* (possvelmente nfnto), é dado po: ν* = Mn Mn ν ke ] (VI.29) [ e = a), b), c) k K Como efedo atás, se o vétce do polígono convexo C(ν ke ) petencente à ecta π k não petence a Λ, então algumas das suas componentes têm valoes negatvos (não espetam algumas das condções λ 0; =, 2, 3). Paa cada índce y (y=, 2, 3), assocado a uma componente negatva no vétce do pmeo C(ν ke ) detemnado, pode se necessáo detemna um novo polígono convexo C(ν key ) tal que C(ν key ) Λ possua como um dos seus vétces o ponto esultante da ntesecção da ecta π k em estudo com a coespondente condção de não negatvdade dos pesos λ y 0, se ele exst. Se não fo possível enconta qualque ponto de ntesecção da ecta π k em estudo com o plano λ y =0 a analsa em Λ, então o coespondente ν key não deve se tdo em conta no cálculo de ν ke. Os espectvos valoes de ν key e φ * ey, k=,, #K, e=a) q=3, e=b) q=2, e=c) q=, y=, 2, 3 e y q, podem se faclmente calculados po: ν key = onde φ y =-00%. 3 λˆ = (Z k - C k 3 λ (Z ; = q y ) + φ λ y k y { [ (Z - C ) (Z - C )]} - C k yk ) (Z qk yk - C qk ) qk qk, (VI.30.k) Se tve sdo estudada mas do que uma equação de não negatvdade dos pesos paa a ecta π k em estudo, atbu-se a ν ke o meno dos valoes ente os consdeados ν key. Se ν ke (e=a), b), c)) fo fnto então os valoes de φ * e, paa k=,, #K, são calculados (como anteomente) po (VI.28.k).

209 VI.2 - O funconamento da abodagem nteactva poposta (baseado na análse geométca do dagama paamétco) Se algum(ns) dos valoes dos pesos das funções objectvo fo(em) conhecdo(s) com pecsão todo o acocíno anteomente apesentado se mantém, mas as coespondentes componentes em K 3e tonam-se nulas e em T 3e gualam o valo do peso estmado λˆ ( λ =0 paa os pesos pecsos). VI.2.2 Exstênca de nfomação a po elatva a gamas de vaação paa os pesos das funções objectvo Se Φ R 3 e Φ=Φ( φ, φ ), podemos efectua uma adequação do estudo geométco exposto na secção anteo, à análse geométca anteomente poposta em VI..2 em elação ao pocedmento teatvo de (Hansen et al., 989). O objectvo consste em detemna o mao valo paa a pecentagem de toleânca paa os valoes dos pesos das funções objectvo, em elação ao qual a ntesecção de Φ com o coespondente C(ν*) Λ é um subconjunto da egão cítca H obtda com um detemnado conjunto de pesos estmados P= λˆ = λ ˆ, λˆ, ˆ ). ( 2 λ3 Tal como na secção anteo, o valo da toleânca máxma paa os pesos das funções objectvo, ν*, é o meno dos tês valoes ν ke encontados (e=a), e=b) e e=c)), sendo cada um destes também o meno dos valoes obtdos ao analsa cada uma das #K estções defndoas da egão cítca. Geometcamente, podemos nfe que se a egão Φ estve totalmente ncluída na egão de ndfeença coespondente a um detemnado conjunto de pesos estmados, então o valo de ν* não é fnto. O mesmo pode se concluído em elação aos valoes de ν ke obtdos a pat do estudo de cada ecta π k (k K), assocada a uma detemnada solução efcente: se a egão Φ estve totalmente ncluída no semplano esultante da ntesecção do plano λ +λ 2 +λ 3 = com o semespaço defndo pela estção k em (V.42.k), então o valo de ν ke não é fnto. Como a condção λ +λ 2 +λ 3 = se vefca, o pocedmento segudamente descto pode se utlzado paa detemna os dfeentes valoes de ν ke. Pocedmento teatvo (VI.3.k) Passo : Paa os índces em elação aos quas ν ke é fnto (ν ke ), detemna ncalmente o seu valo consdeando Φ= R 3 po ntemédo de (VI.27.k) (epetda abaxo): ν ke = 3 = q 3 λ (C λˆ = k (Z - Z k k - C k ) (C qk ) - Z qk, ) k=,, #K, e=a) q=3, e=b) q=2, e=c) q=. 95

210 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO Passo 2: Paa o índce h onde o meno valo (ν keh ) fo calculado, detemna os 0 valoes φ eh po: 0 φ eh = sgn λ ((C Z ) (C Z )) k - k qk - qk ν keh, =, 2, 3, e=a) q=3, e=b) q=2, e=c) q=, q. Passo 3: Seja t=0. Examna se os valoes de φ t eh satsfazem as estções t φ φ φ, paa =, 2, 3. Se sm, o pocedmento temna sendo o valo da toleânca máxma ν ke =ν keh. Caso contáo, se um dos lmtes não fo satsfeto (paa a estção =y), os t+ valoes de φ eh coespondentes devem se ecalculados po: 0 φ φ t+ φ eh= sgn[ λ ((Ck - Zk ) (Cqk - Zqk ))] x 3 ˆ t λ (Zk - Ck ) + φ y eh λ y (Z yk - C yk ) (Zqk - Cqk ) =, nos outos casos 3 = q; y λ (C k ( - Z k ) (C t+ O valo de ν keh coesponde ao meno dos φ qk - Z qk ) ), se λ (Z t, se φ < φ t, se φ > φ Passo 4: Os índces paa os quas os valoes coentes de ν ke são esttamente menoes do que o valo obtdo paa ν keh devem se posteomente analsados. Se não exstem índces nestas condções, obteve-se o valo da toleânca máxma ν ke =ν keh e o pocedmento temna. No caso de exstem, apenas estes índces devem se consdeados e etona-se ao passo 2. Consdeando que valoes negatvos paa os pesos não possuem sgnfcado, se o vétce do polígono convexo assocado a ν ke não petence a C(ν) Φ Λ, pode se necessáo ealza uma análse análoga à explcada anteomente em VI.2. (algotmo (VI.9)). O pocedmento teatvo apesentado funcona do segunte modo. Paa os dfeentes k, se ν k fo fnto, esolve-se o poblema consdeando que as novas estções adconas mpostas pelo AD não exstem (Φ= R 3, teação t=0). Pode então se necessáo enta num pocesso teatvo onde, em elação a cada um dos menoes valoes de ν keh calculados, se vão ajustando (ou deslocando) as posções dos sucessvos vétces eh. k -C k ) = 0 96

211 VI.2 - O funconamento da abodagem nteactva poposta (baseado na análse geométca do dagama paamétco) (stuados sobe a estção k) dos polígonos convexos C(ν keh ) Λ Φ t obtdos, enquanto os valoes de φ, φ ; =, 2,, p. t φ (obtdos na teação t) volaem os lmtes do ntevalo [ ] Na stuação da nossa abodagem temos p=3, e o valo do novo ν keh detemnado no passo 3 de (VI.3.k) á se obtdo ao fm de, no máxmo, (p-2)= teação. Na teação t=2 pode-se-a chega à conclusão que naquela stuação a ntesecção do C(ν ke ) Λ obtdo com Φ não ntesecta a estção k, ou seja, que ν ke é não fnto o que gaantmos à patda no passo. t+ Os valoes de φ calculados no passo 3 de (VI.3.k) foam detemnados paa a teação t= (eunndo os acocínos utlzados em VI..2 e em VI.2.), a pat do cálculo das dstâncas do ponto coespondente aos pesos estmados a um ponto petencente à ecta que se obtém da estção k que se está a estuda, segundo a decção t de um vecto K 3e cujas componentes se vão teatvamente alteando do segunte modo. t+ Se algum(ns) dos valoes de φ obtdo(s) na teação t falha(m) as condções t φ φ + φ, =, 2,, p, as novas dstâncas calculadas efectuam-se segundo a decção de um vecto K t 3 + e cujas componentes coespondentes aos valoes que falham tomam agoa o valo de φ ou φ λ confome o lmte do ntevalo que não fo λ t satsfeto, mantendo-se os valoes das estantes componentes de K 3e. O algotmo (VI.3.k) apesentado pode, no entanto, se faclmente estenddo paa o caso geal de exstem mas do que 3 funções objectvo. Contudo, as facldades gáfcas apesentadas pelas feamentas nteactvas vsuas mplementadas, as quas seão lustadas na secção segunte deste capítulo, dexaão de pode se utlzadas, tonando-se a taefa do AD mas exgente e o dálogo ente o AD e o sstema computaconal mas complcado. VI.3 Exemplo lustatvo Com a fnaldade de lusta a metodologa poposta, consdeemos o poblema lnea com tês funções objectvo estudado po Hansen et al. (989) e já anteomente consdeado em V.3.4: max z = 0 x x 4 max z 2 = 0 x x x 4 max z 3 = 0 x + 0 x x x 4 s.a. 4 x + 9 x x x (c ) x + x x x (c 2 ) x, x 2, x 3, x 4 0. Sejam x 5 e x 6 as vaáves folga assocadas a cada estção c e c 2, espectvamente. No caso de todas as soluções báscas efcentes seem conhecdas, obtemos os gáfcos apesentados nas fguas VI.5(a) e VI.5(b). Em VI.5(a) enconta-se 97

212 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO epesentada a decomposção do dagama paamétco (dos pesos) Λ em egões de ndfeença e em VI.5(b) a pojecção z -z 2 no espaço dos objectvos. As caacteístcas destas soluções báscas efcentes encontam-se desctas na tabela VI.. (a) Dagama paamétco dos pesos (b) Pojecção z -z 2 no espaço dos objectvos Fgua VI.5 Soluções báscas efcentes coespondentes ao exemplo lustatvo. Tabela VI. Soluções báscas efcentes coespondentes ao exemplo lustatvo. Solução z z 2 z 3 Aea (%) x B x 2 =57.43; x 4 = x 3 =800.0; x 4 = x =500.0; x 6 = x =333.33; x 4 =66.67 A solução efcente 4 coesponde à solução estudada em (Hansen et al., 989) e pode se detemnada consdeando o vecto de pesos estmados λˆ =(0.; 0.3; 0.6) 0. Comecemos po consdea os pesos estmados λˆ =(0.; 0.3; 0.6) (que conduzem à solução 4). Não exstndo nfomação a po sobe a gama de vaação paa os pesos estmados (Φ= R 3 ) obtemos ν*=0.25, estando o vétce do polígono convexo, C(ν) Λ, que deu ogem a este valo sobe a aesta comum às egões de ndfeença coespondentes às soluções 3 e 4. Este esultado pode se confmado pela nspecção gáfca do dagama paamétco apesentado na fgua VI.6. 0 Recodemos que, paa estes pesos estmados, foam obtdas as seguntes toleâncas máxmas em (Hansen et al., 989): Consdeando Φ= R 3, ν*= Se o valo de ˆ λ =0. fo consdeado pecso, este valo aumenta paa ν*= Consdeando ˆ λ = 0. pecso e 3 ˆλ [0.5; 0.7], este valo aumenta paa ν*= A ntepetação destes esultados no dagama paamétco dos pesos não tem nteesse uma vez 3 que estamos a efectua a análse no plano λ +λ 2 +λ 3 = e não em 98 R.

213 VI.2 - O funconamento da abodagem nteactva poposta (baseado na análse geométca do dagama paamétco) Isto sgnfca que a solução básca efcente 4 pemaneceá efcente desde que os valoes dos pesos não vaem smultânea e ndependentemente mas do que 25% em elação aos seus valoes estmados; ou seja, desde que ˆλ vae no ntevalo [0.075, 0.25], ˆλ 2 vae no ntevalo [0.225, 0.375], e smultaneamente ˆλ 3 vae no ntevalo [0.45, 0.75]. Fgua VI.6 λˆ =(0.; 0.3; 0.6). Fgua VI.7 λˆ =(0.; 0.3; 0.6) e ˆλ =0.. O valo obtdo paa ν* é supeo ao encontado po Hansen et al. (989) (ν*=0.274) como ea de espea. Esta dfeença deva da condção de nomalzação dos 3 pesos = λ =, a qual, no entanto, não tem nfluênca no cálculo das soluções efcentes. Se o peso do pmeo objectvo fo conhecdo com pecsão ( ˆλ =0.) os esultados obtdos encontam-se na fgua VI.7, sendo a pecentagem máxma de toleânca %. Neste caso, o vétce do polígono convexo, C(ν) Λ Φ, que deu ogem a este valo enconta-se sobe a aesta comum às egões de ndfeença coespondentes às soluções 2 e 4. A solução básca efcente 4 pemaneceá efcente desde que os valoes dos pesos ˆλ 2 e ˆλ 3 não vaem smultânea e ndependentemente mas do que % em elação aos seus valoes estmados com ˆλ =0.. Como ea de espea, este valo é supeo aos 25% detemnados pevamente (sem ˆλ pecso), assm como é também supeo ao valo de % obtdo numa stuação equvalente po Hansen et al. (989). Se, adconalmente, o AD especfca paa o peso ˆλ 3 o ntevalo [0.5; 0.7] o valo de ν* tona-se nfnto. Este esultado pode se compovado no dagama paamétco da fgua VI.8, onde se vefca que a ntesecção de Φ com ˆλ =0. está totalmente dento da egão de ndfeença coespondente à solução 4. Paa ˆλ =0. e ˆλ 3 a vaa em [0.5; 0.7], ˆλ pode toma qualque valo em Λ mantendo-se sempe efcente a solução 4. 2 Smlamente, este valo é supeo aos 25% e aos % detemnados pevamente (sem ˆλ pecso e com ˆλ =0.), assm como é também supeo ao valo de % obtdo numa stuação equvalente po Hansen et al. (989). Estes esultados confmam as conclusões de Wendell (985,984): a exstênca a po de nfomação elatva a gamas de vaação de alguns coefcentes pemte obte maoes valoes paa as 99

214 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO pecentagens máxmas de toleânca. Além dsso, quanto mao fo a quantdade de nfomação (dstnta) fonecda pelo AD (e mas estetas foem as gamas de vaação coespondentes) maoes valoes podem também se obtdos paa essas pecentagens máxmas de toleânca. Fgua VI.8 λˆ =(0.; 0.3; 0.6), ˆλ =0. e ˆλ [0.5; 0.7]. Fgua VI.9 λˆ =(0.; 0.3; 0.6) e ˆλ [0.5; 0.65]. 3 Suponhamos agoa que o AD decde eta a condção de conhece com pecsão o valo estmados de ˆλ, anda que contnue a especfca o ntevalo de vaação [0.5; 0.7] paa ˆλ 3. Quando se eta nfomação adconal (ou se alagam os ntevalos de vaação paa o valo dos pesos), o coespondente valo da pecentagem máxma de toleânca dmnu, sem nunca tona-se nfeo ao valo detemnado se não fo conhecda qualque nfomação adconal. O valo obtdo paa a pecentagem máxma de toleânca nesta stuação guala o ncalmente encontado de 25%. Se, paa o polígono convexo C(ν*) Λ epesentado na fgua VI.6, calculamos as coodenadas do vétce assnalado e do seu oposto, vefcamos se este o valo aguadado. Nestes pontos ((0.075, 0.225, 0.7) e (0.25, 0.375, 0.5)), assm como em todo o nteo do polígono C(ν*) Λ, ˆλ e ˆλ Emboa conheçamos mas nfomação que ncalmente (Φ= R 3 ) elatva aos ntevalos de vaação paa o valo dos pesos ( ˆλ 3 [0.5; 0.7]), o valo da pecentagem máxma de toleânca obtdo gualou o ncal, dado que os lmtes nfeoes e supeoes do conjunto Φ não foam volados, ou seja, C(ν*) Λ Φ. No dagama paamétco da fgua VI.9 temos a stuação em que se esteta supeomente o ntevalo de vaação paa o peso ˆλ 3, ou seja, o AD especfca um novo ntevalo paa a vaação de ˆλ 3, [0.5; 0.65], aumentando assm o valo da pecentagem máxma de toleânca paa %. Como pode se obsevado no dagama paamétco, o vétce do polígono convexo, C(ν) Λ Φ, que deu ogem a este valo enconta-se sobe a aesta comum às egões de ndfeença coespondentes às soluções 2 e 4. A solução básca efcente 4 pemaneceá efcente desde que os valoes dos pesos ˆλ e ˆλ 2 não vaem smultânea e ndependentemente mas do que % em elação aos seus valoes estmados com ˆλ 3 [0.5; 0.65]

215 VI.3 - Exemplo lustatvo A fgua VI.20 coesponde à stuação em que se conhece com pecsão o valo de ˆλ =0. e ˆ3 λ 0. 55, sendo 47.69% o valo da pecentagem máxma. Se ˆ λ e ˆ3 λ 0. 55, obtemos um meno valo, %, paa a toleânca máxma, dado que o valo de ˆλ dexou de se pecso (fgua VI.2). Fgua VI.20 λˆ =(0.; 0.3; 0.6), ˆλ =0. e ˆλ Fgua VI.2 λˆ =(0.; 0.3; 0.6), ˆλ e ˆλ Um estudo análogo pode se ealzado consdeando dstntos conjuntos de pesos. Consdeemos como valoes paa os pesos estmados o conjunto de pesos coespondente ao centóde da egão de ndfeença da solução 4, λˆ =(0.2207; 0.720; ). Com Φ= R 3 obtemos o dagama paamétco da fgua VI.22, onde a pecentagem máxma de toleânca é %. Com 3 ˆλ [0.5; 0.7] obtemos o da fgua VI.23 com um mao valo paa a pecentagem máxma de toleânca 66.03%. Ambos os valoes são supeoes aos 25% encontados anteomente sob condções smlaes com λˆ =(0.; 0.3; 0.6). 3 Fgua VI.22 λˆ =(0.2207; 0.720; ). Fgua VI.23 λˆ =(0.2207; 0.720; ) e 3 ˆλ [0.5; 0.7]. Na fgua VI.24 temos o poblema ncal (Φ= 3 R ) consdeando paa pesos estmados o vecto λˆ =(0.2607; ; ), os quas também conduzem à solução básca efcente 4. Repae-se que o valo obtdo paa a pecentagem máxma de toleânca, ν*=46.408%, é supeo elatvamente aos valoes obtdos em dêntcas condções nas 20

216 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO fguas VI.6 (ν*=25%) e VI.22 (ν*= %). Isto sgnfca que o últmo conjunto de pesos analsado se apesenta menos sensível, em elação à vaação smultânea e ndependente dos pesos, que os estudados atás. Fgua VI.24 λˆ =(0.2607; ; ). Emboa vulgamente se assoce ao conjunto de pesos coespondente ao centóde da egão de ndfeença a dea de estes coespondeem aos valoes mas obustos em elação à vaação dos valoes dos pesos, depos de ealzadas algumas expeêncas computaconas vefcámos que este acocíno esulta de uma faláca. Mesmo consdeando paâmetos de petubação de tpo dfeente dos anteomente estudados (b = bˆ + b δ, com b = bˆ e c j = ĉ j + γ j c, com j c = j ĉ j ) essa conclusão afgua-se-nos não válda. As fguas seguntes (obtdas po cópas dectas de écans) esultam de um estudo pelmna, que consttu uma das pstas de desenvolvmento desta dssetação, sobe a utlzação da métca L 2 paa avalação da obustez do vecto dos pesos no quado da abodagem de toleânca. Na fgua (a) epesenta-se o mao cículo (no plano λ +λ 2 +λ 3 =) com cento no valo dos pesos coespondentes ao centóde da egão de ndfeença, em (b) o mao cículo (no plano λ +λ 2 +λ 3 =) dento da egão de ndfeença, e na fgua (c) o mao cículo (no plano λ +λ 2 +λ 3 =) de cento em Λ e que ntesectado com Λ petence à egão de ndfeença. (a) (b) (c) 202

217 VI.3 - Exemplo lustatvo Suponhamos que o AD está agoa nteessado em analsa como a solução efcente 2 se compota em elação a vaações nos valoes dos pesos. Comecemos po consdea paa pesos estmados o vecto coespondente ao centóde da egão de ndfeença, λˆ =(0.0667; ; ). Não exstndo nfomação a po sobe a gama de vaação paa os pesos estmados (Φ= R 3 ), obtemos os esultados apesentados na fgua VI.25, os quas coespondem a uma toleânca máxma de 8.464%. O vétce do polígono convexo, C(ν) Λ, que deu ogem a esta toleânca máxma está sobe a aesta comum às egões de ndfeença assocadas às soluções efcentes 2 e 4 no dagama paamétco apesentado. Isto sgnfca que a solução básca efcente 2 pemaneceá efcente desde que os valoes dos pesos não vaem smultânea e ndependentemente mas do que 8.464% em elação aos valoes do centóde da egão de ndfeença. Fgua VI.25 λˆ =(0.0667; ; ). Fgua VI.26 λˆ =(0.055; 0.84; 0.05). Se o AD especfca que ˆλ [0; 0.075], obtemos um mao valo paa a toleânca máxma, % (fgua VI.27). Tal como no dagama paamétco apesentado na fgua VI.25, o vétce do polígono convexo, C(ν) Λ Φ, que deu ogem a esta toleânca máxma está sobe a aesta comum às egões de ndfeença assocadas às soluções efcentes 2 e 4. Fgua VI.27 λˆ =(0.0667; ; ) e ˆλ [0; 0.075]. Fgua VI.28 λˆ =(0.055; 0.84; 0.05) e ˆλ [0; 0.075]. 203

218 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO Suponhamos que o AD está agoa nteessado em estuda estas duas stuações, Φ= R 3 e ˆλ [0; 0.075], mas paa o vecto de pesos estmados λˆ =(0.055; 0.84; 0.05). Não exstndo nfomação a po sobe a gama de vaação paa os pesos estmados (Φ= R 3 ), obtemos os esultados apesentados na fgua VI.26, os quas coespondem a uma pecentagem máxma de toleânca de 32.08%. Tendo em atenção que valoes negatvos paa os pesos não possuem sgnfcado, a metodologa usada gaante, nesta stuação, a obtenção de maoes egões de toleânca paa os valoes dos pesos, assm como maoes valoes paa a toleânca máxma, do que sea, à patda, de espea se não fosse tomado em conta esse facto. O vétce do polígono convexo C(ν) Λ apesentado no dagama paamétco da fgua VI.26 coesponde ao ponto que esulta da ntesecção duma das ectas π k com o plano λ 3 =0. Salente-se que C(ν) Λ está contdo na egão de ndfeença e coesponde à mao egão de toleânca, paa os pesos estmados consdeados, dento dessa egão de ndfeença. Se, paa estes pesos estmados, consdeamos a nfomação adconal ˆλ [0; 0.075], obtemos o valo de 39.74% paa a pecentagem máxma de toleânca (fgua VI.28). Nesta stuação benefcamos gandemente do ntevalo de vaação mposto paa o valo do pmeo peso, assm como do coespondente valo estmado. Tal como nos dagamas paamétcos apesentados nas fguas VI.25 e VI.27, o vétce do polígono convexo, C(ν) Λ Φ, que deu ogem a esta toleânca máxma está sobe a aesta comum às egões de ndfeença assocadas às soluções efcentes 2 e 4. Fgua VI.29 λˆ =(0.055; 0.84; 0.05) e ˆλ 2 [0; 0.85]. Fgua VI.30 λˆ =(0.055; 0.84; 0.05), ˆλ 2 [0; 0.85] e 3 ˆλ 0.0. O dagama paamétco da fgua VI.29 coesponde à stuação em que se consdeam os pesos estmados λˆ =(0.055; 0.84; 0.05) e em que o AD especfca que ˆλ [0; 0.85]. 2 Em elação à fgua VI.26, podemos constata que a egão de toleânca paa os pesos aí apesentada apaece agoa sensvelmente alagada (emboa o polígono convexo C(ν) Λ Φ apaeça estto pela nova condção ˆλ ). A pecentagem máxma de toleânca obtda é agoa de %, conta o valo de 32.08% obtdo na stuação em que Φ= R

219 VI.4 - Consdeações fnas Se, adconalmente, o AD especfca que ˆ3 λ 0. 0 (fgua VI.30), então a egão de toleânca paa os pesos pode se novamente alagada devdo à pesença desta nova estção sobe a qual se stuaá o vétce de C(ν) Λ Φ, que deu ogem ao valo de % paa a pecentagem máxma de toleânca. Se o ntevalo de vaação paa o segundo peso estmado se tona mas esteto, po exemplo se 2 ˆλ [0.8; 0.85], então a ntesecção de Φ com Λ fcaá completamente contda na egão de ndfeença em análse (fgua VI.3) e o coespondente valo da toleânca máxma tona-se-á nfnta. Fgua VI.3 - λˆ =(0.055; 0.84; 0.05), ˆλ [0.8; 0.85] e ˆλ Dada a dmensão do exemplo lustatvo analsado, a pesqusa exaustva de todas as soluções báscas efcentes do poblema no dagama paamétco não mplcou um esfoço computaconal elevado. Como efedo em capítulos anteoes, na genealdade das stuações eas não se petende calcula todas as soluções efcentes (com o coespondente peenchmento de Λ na sua totaldade com egões de ndfeença), mas apenas aquelas que o AD se moste nteessado em pesqusa po consttuíem boas soluções de compomsso. Seá sobe algumas destas soluções báscas efcentes que o AD teá possbldade de estuda a coespondente establdade a vaações nos valoes dos pesos dos váos objectvos de acodo com as metodologas desctas neste capítulo. VI.4 Consdeações fnas Neste capítulo fo poposta uma metodologa nteactva de abodagem toleante em análse sensbldade que, fazendo apelo às capacdades de nspecção vsual do AD, pemte analsa os efetos da nceteza nos valoes dos coefcentes de pondeação dos objectvos, em modelos de PLMO em que o cálculo das soluções efcentes consste na optmzação de somas pesadas das funções objectvo. A fnaldade pncpal do sstema nteactvo mplementado consste em ofeece ao AD uma feamenta computaconal pátca, ntutva e flexível, po ntemédo da qual seja possível analsa, de um modo pogessvo e dnâmco, a establdade de uma detemnada solução efcente face a vaações no valo dos pesos das funções objectvo. O AD deve assum um papel actvo duante o estudo, dado que, paa uma detemnada solução efcente, é possível escolhe nteactvamente um conjuntos de pesos estmados 205

220 Capítulo VI - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em poblemas de PLMO dstnto (que conduzam a essa solução efcente), bem como esteta ou alaga os ntevalos especfcados ( a po ) paa a vaação dos dfeentes pesos (ou mesmo ndca quas os valoes dos pesos devem se consdeados pecsos), sem necessdade de coeênca na nfomação fonecda pelo AD ao longo das váas nteacções. Na secção deste capítulo explcámos como é possível demonsta os esultados apesentados em (Hansen et al., 989) de modo geométco, po ntemédo do cálculo de dstâncas do ponto coespondente aos pesos estmados até pontos petencentes a cada um dos #K' hpeplanos obtdos a pat de (V.42.k), coespondentes à solução básca efcente calculada com os pesos estmados. Tal como em (Hansen et al., 989), fo utlzada a noma de Tchebycheff de φ e foam consdeadas petubações multplcatvas paa os pesos. No entanto, esta análse pode se efectuada usando dfeentes nomas e consdeando outas escolhas paa os valoes de λ especfcados pelo AD. Esta análse geométca fo depos adaptada na secção 2, consdeando o vecto dos paâmetos de pondeação (pesos) nomalzado em poblemas com tês funções objectvo. O estudo é baseado na decomposção do dagama paamétco dos pesos, o qual pemte o uso de utensílos gáfcos nteactvos bastante útes no dálogo com o AD. A sobeposção da egão de ndfeença, coespondente a uma detemnada solução básca efcente, com as egões de toleânca obtdas paa dfeentes conjuntos de pesos estmados, e com dvesa nfomação adconal paa a vaação do valo dos pesos das funções objectvo povdencada pelo AD, faculta um modo apelatvo de o AD estuda dnamcamente como uma solução efcente se compota face à nceteza neente ao pocesso nteactvo de tomada de decsão (na especfcação dos valoes dos pesos das funções objectvo). A metodologa nteactva de abodagem toleante paa poblemas de PLMO poposta fo usada na secção 3 paa analsa um exemplo lustatvo (o anteomente usado po Hansen et al. (989) paa faclta a compaação de esultados). Na secção 3 do capítulo segunte, utlzaemos esta metodologa paa exploa de foma nteactva e dnâmca como uma detemnada solução efcente de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco se compota peante alteações nos pesos das funções objectvo (que em elação aos valoes estmados, que à nfomação dsponível a po ). 206

221 Capítulo VII Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas Neste capítulo petendemos exploa as potencaldades das abodagens nteactvas de PLMO popostas nos capítulos IV e VI, no estudo de um modelo de planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas. Este modelo pemte consdea as nteacções exstentes ente o sstema enegétco e toda a economa naconal atavés da constução de uma tabela nput output, onde as componentes enegétcas são desagegadas (possbltando a dstnção ente fomas de enega pmáa e secundáa), e analsa os mpactes ambentas esultantes do uso dos ecusos enegétcos. As questões elatvas ao tatamento da nceteza são muto mpotantes no estudo das nteacções ente o sstema enegétco, a economa e os mpactes ambentas. Mesmo que se consdee um elevado nível de desagegação das actvdades económcas, nunca seá possível elmna a mpecsão e a nceteza elatvas aos dados, bem como as assocadas às hpóteses smplfcadoas admtdas na constução dos modelos matemátcos. Fazendo uso das abodagens nteactvas de PLMO popostas, petende-se neste capítulo mosta como o AD pode avala os mpactes maco-económcos e ambentas esultantes da adopção de polítcas altenatvas (que se taduzem na vaação do nível de output dos dfeentes sectoes de actvdade). Este capítulo está oganzado da segunte foma: Na secção apesentamos um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas baseado nos tabalhos de Olvea e Antunes (2002, 2004) e de Antunes et al. (2002). As peocupações ambentas, económcas

222 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas e socas são consdeadas de foma explícta no modelo, uma vez que não se encontam agegadas num únco ndcado. A nstânca do poblema que segudamente emos analsa usa dados elatvos a Potugal, os quas se encontam afectados po dfeentes fontes de mpecsão e nceteza. A secção 2 é baseada em (Boges e Antunes, 2003b), e nela petendemos lusta a aplcação, ao modelo apesentado na secção anteo, da metodologa nteactva de PLMO dfusa descta no capítulo IV (Boges e Antunes, 2000). A metodologa poposta no capítulo VI é usada na secção 3 paa exploa, de foma nteactva e dnâmca, o compotamento de uma detemnada solução efcente deste modelo multobjectvo, face a alteações nos dfeentes paâmetos de pondeação dos objectvos, que em elação aos valoes estmados, que no que dz espeto à nfomação dsponível a po. De efe que as análses possbltadas pelas duas feamentas computaconas mplementadas são dstntas, mas complementaes: na pmea stuação estudamos como se compota uma solução básca efcente peante a pesença de nceteza nos valoes de alguns dos paâmetos do modelo (coefcentes das funções objectvo, dos lados detos das estções funconas ou a consdeação de uma nova vaável no modelo); na segunda, nvestgamos como se compota uma solução básca efcente face à pesença de nceteza nos valoes de alguns dos coefcentes de pondeação das funções objectvo. De efe que, nesta últma stuação, os pesos são encaados como um meo opeaconal de cálculo de soluções efcentes e não como um modo de evela as pefeêncas (evolutvas) do AD. Po fm, apesentamos na secção 4 alguns comentáos sobe as metodologas nteactvas mplementadas, com especal destaque paa algumas consdeações etadas do estudo efectuado ao modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas. VII. O modelo de PLMO paa planeamento enegétco baseado na análse nput-output Na análse de uma economa a nível naconal, o secto enegétco assume uma mpotânca poemnente, devdo às consequêncas dectas e ndectas em detemnados ndcadoes de bem-esta, os quas podem abange aspectos económcos, ambentas e socas. Os países ndustalzados apesentam, em geal, uma elevada dependênca enegétca, devdo ao nível de mpotações de enega pmáa, nomeadamente de combustíves fósses, equedo paa satsfação dos padões de podução e de consumo. O desenvolvmento de modelos paa o planeamento enegétco no contexto de todo o sstema económco, pemtndo o estudo das nteacções ente estes dos sstemas, é fundamental paa a defnção de polítcas e de estatégas oentadoas no pocesso de tomada de decsão. A análse nput-output é uma feamenta analítca que pemte exploa as nte elações ente as dfeentes actvdades económcas, pemtndo no quado deste 208

223 VII. - O modelo de PLMO paa planeamento enegétco baseado na análse nput-output modelo avala as mplcações ambentas dectas e ndectas esultantes dos dfeentes padões de pocua fnal. A estutua básca dos modelos nput-output pemte epesenta o pocesso de podução de cada secto atavés de um vecto de coefcentes estutuas que desceve o elaconamento ente os nputs ntemédos consumdos no pocesso de podução e o output total (coefcentes dectos de nput ). Na análse nput-output assume-se que cada secto poduz um únco bem ou sevço homogéneo e que os nputs são combnados em popoções fxas na podução, ou seja, todas as ndústas utlzam endmentos de escala constantes (Leonteff, 966). Apesa das hpóteses edutoas e smplstas assumdas nos modelos nput-output, este tpo de análse pemte a caactezação do sstema podutvo, faclta a compaação ente economas e é utlzado como técnca de pojecção. O modelo de PLMO estudado neste capítulo, baseado nos tabalhos de Olvea e Antunes (2002, 2004) e de Antunes et al. (2002), pemte o cálculo da quantdade de enega equeda paa poduz um bem ou sevço numa economa, que paa consumo ntemédo (ou seja, paa sectoes que poduzem outos bens ou sevços), que paa a pocua fnal. Além dsso, assocando o consumo de combustível fóssl e o coespondente conteúdo de cabono com o nível de actvdade de cada secto é possível detemna a quantdade esultante de poluentes atmosfécos emtdos (po exemplo, de dóxdo de cabono, CO 2 ) nos dfeentes sectoes ou em toda a economa. Na tabela nput-output, a qual fo almentada com dados estatístcos dsponblzados po váas fontes naconas e ntenaconas (tas como, INE Insttuto Potuguês de Estatístca, DGE Decção Geal de Enega e IPCC Integovenmental Panel fo Clmate Change ), foam consdeados 2 sectoes económcos. As componentes do secto enegétco foam desagegadas, possbltando a dstnção ente fontes de enega pmáas e secundáas, atavés de 23 sectoes atfcas, que são utlzados paa dstbu a podução (os dvesos hdocabonetos) do secto de efnação de petóleo e os subpodutos pelos sectoes consumdoes. A estutua nput-output do modelo é a segunte: uma matz (44x44) que epesenta os fluxos nte/nta-sectoas, 6 vectoes coluna com os valoes efeentes à pocua fnal (consumo pvado, consumo colectvo, nvestmento em fomação buta de captal fxo, vaação postva e negatva de exstêncas e expotações), vecto coluna paa os valoes das mpotações compettvas e 3 vectoes lnha paa os nputs pmáos (emuneações, mpostos ndectos líqudos de subsídos e excedente buto de exploação). A utlzação de combustíves fósses é assocada ao nível de actvdade de cada secto, possbltando avala a enega equeda paa a podução de um bem ou sevço. Depos de obtda a enega equeda paa cada secto de actvdade, é possível contablza a emssão de poluentes atmosfécos esultante da combustão de combustíves fósses. As emssões totas de cada secto e de toda a economa são então calculadas atavés da utlzação de coefcentes que elaconam a quantdade de dóxdo de cabono poduzdo po undade consumda de combustível. O modelo de PLMO basea-se em dados eas elatvamente a Potugal. Este modelo fo constuído a pat dos coefcentes de uma matz nput-output e contempla tês funções objectvo, duzentas e uma estções e cento e quaenta vaáves de decsão. Mas detalhes sobe este tpo de modelos paa estudo das nteacções economa enega ambente podem se encontados em (Olvea e Antunes, 2002, 2004) e em (Antunes et al., 2002). 209

224 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas VII.. Funções objectvo do modelo No modelo são consdeadas tês funções objectvo: A mpotação de enega, a se mnmzada, dada a gande dependênca enegétca de Potugal em elação ao exteo. A autopodução de electcdade, a se maxmzada, de modo a encoaja o uso de fomas de enega altenatvas na autopodução, e a consequente valozação e ecclagem dos esíduos (pemtndo economas de enega e mnmzando as quantdades a elmna de esíduos). As emssões de CO 2, a se mnmzada, devdas ao mpacto da utlzação dos ecusos enegétcos no ambente, especalmente a polução atmosféca. De modo a obte dados mas epesentatvos da ealdade fo seguda a metodologa top-down do Integovenmental Panel fo Clmate Change paa modela as emssões de dóxdo de cabono (CO 2 ), a qual é baseada nos pncípos de combustão e composção dos combustíves (ve detalhes em (Olvea e Antunes, 2002, 2004) e em (Antunes et al., 2002)). Os valoes da mpotação de enega e da autopodução de electcdade são expessos em undades físcas de enega, teps (toneladas equvalentes de petóleo), e os valoes das emssões de CO 2 em Kton (Klo toneladas de dóxdo de cabono). VII..2 Restções do modelo No modelo de PLMO paa estudo das nteacções economa enega ambente são consdeadas dfeentes categoas de estções: Balança de pagamentos: Paa gaant um ceto nível de equlíbo exteno. Défce públco (ou saldo global do secto públco admnstatvo de snal negatvo): Paa atende aos ctéos da Unão Euopea. Restções de capacdade podutva de cada secto de actvdade: A podução total de cada secto deveá se lmtada supeomente (pela coespondente capacdade podutva) e nfeomente (po um detemnado nível mínmo). Restções mpostas às mpotações e expotações: De modo a evta fenómenos de sobe-especalzação, muto fequentes em modelos onde as mpotações e as expotações são endógenas e deslgadas dos coefcentes técncos do modelo. A mposção de lmtes paa as mpotações e paa as expotações compettvas de alguns sectoes de actvdade tona o modelo mas ealsta. 20

225 VII. - O modelo de PLMO paa planeamento enegétco baseado na análse nput-output Restções de capacdade de amazenagem e exstêncas de seguança ( stock estatégco ) de podutos petolífeos: Paa gaant que vaações postvas das exstêncas nunca excedam a capacdade de amazenagem, bem como que as eduções de exstêncas nunca abanjam as exstêncas de seguança. Restções de coeênca: A utlzação de detemnada actvdade paa consumo ntemédo e pocua fnal de bens (ou sevços) não pode excede o total dsponível esultante da podução naconal e das mpotações compettvas desse mesmo bem (ou sevço). Mas nfomação elatva ao modelo matemátco e à estutua nput-output podem se encontados em (Olvea e Antunes, 200, 2002, 2004), em (Olvea, 2000) e em (Antunes et al., 2002) onde são desctos detalhadamente as questões de caz mas técnco espetantes a modelos smlaes ao aqu apesentado. Anda que a aqutectua seja análoga, o modelo aqu apesentado possu algumas caacteístcas dstntas, não só no dz espeto às função objectvo e às estções, como também na actualzação dos dados que almentam o modelo. Num modelo deste tpo, possundo uma gande dvesdade e complexdade de nfomação de entada, a qual é utlzada paa obte os coefcentes do poblema de PLMO, dvesas fontes de nceteza estão ntnsecamente pesentes, que elatvas aos dados, que às necessáas smplfcações neentes ao modelo. VII.2 Análse das soluções dfusas efcentes do modelo usando a abodagem nteactva de PLMO com paâmetos dfusos Os coefcentes das funções objectvo e do lado deto das estções funconas do modelo são defndos po númeos eas dfusos tangulaes, podendo se dfeente a lagua à esqueda e à deta do valo modal. Incalmente fo efectuada uma pesqusa pogessva e selectva, consdeando paa coefcentes ncas do modelo os valoes assocados ao nível de petença máxmo dos númeos eas dfusos tangulaes (valoes modas c M ), de modo a popocona ao AD uma vsão genéca das caacteístcas de dfeentes soluções não domnadas, em ambente ígdo, paa o modelo consdeado. Foam calculadas as oto soluções báscas não domnadas epesentadas nas fguas VII. e VII.2. Os valoes das funções objectvo assocados a essas soluções, assm como as áeas das coespondentes egões de ndfeença, encontam-se desctas na tabela VII.. Note-se que os valoes obtdos paa as funções objectvo, em patcula a autopodução de electcdade e a polução, são pouco ealstas. Tal deve-se a teem sdo consdeados lmtes supeoes muto elevados paa algumas estções do modelo, com o ntuto de alaga a gama de vaação dos valoes das funções objectvo na egão efcente, de modo a lusta a análse efectuada. 2

226 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas Supeendentemente, o cálculo destas oto soluções extemas efcentes conduzu ao peenchmento total do dagama paamétco (dos pesos) com egões de ndfeença, sgnfcando que, em ambente ígdo, todas as soluções báscas efcentes foam calculadas. Em modelos de alguma dmensão, o peenchmento total do dagama paamétco com egões de ndfeença é pouco fequente. A ntenção desta pesqusa ncal consste no cálculo de um conjunto de soluções de caacteístcas dfeentes e sufcentemente dspesas, nas quas uma pesqusa selectva posteo se possa fundamenta. Fgua VII. Regões de ndfeença em Λ assocadas às soluções báscas efcentes calculadas ncalmente (em ambente ígdo). A solução, a qual mnmza a mpotação de enega, possu um valo pequeno (elatvamente às 8 soluções calculadas) paa a autopodução de electcdade, valo este que se apoxma do po valo detemnado que está assocado à solução 3 (adjacente à solução ). O valo das emssões de CO 2 enconta-se peto do óptmo (solução 3). Tabela VII. Soluções báscas efcentes calculadas ncalmente (em ambente ígdo). Solução Impotação de enega (mn) Autopodução de electcdade (max) Polução (Emssões de CO 2 ) (mn) Áea (%) Paa a solução 2, a qual maxmza a autopodução de electcdade, os níves de emssão de CO 2 e de mpotação de enega são muto elevados (elatvamente às 8 soluções calculadas), coespondendo este últmo ao po valo detemnado. Repae-se 22

227 VII.2 - Análse das soluções dfusas efcentes do modelo usando a abodagem nteactva de PLMO com paâmetos dfusos que esta solução é a que coesponde à mao áea paa a egão de ndfeença no dagama paamétco obtdo, ou seja, é a que, de algum modo, é mas obusta elatvamente às vaações nos valoes dos pesos. A solução 3, a qual mnmza os níves de polução, alcança o po valo (elatvamente às 8 soluções calculadas) paa a autopodução de electcdade (como já efedo) e um valo elatvamente bom paa as mpotações de enega. As estantes soluções, soluções 4 a 8, coespondem a um compomsso ente os váos objectvos. Fgua VII.2 Pojecção f 2 -f 3 no espaço dos objectvos das soluções báscas efcentes calculadas ncalmente (em ambente ígdo). Salente-se que a solução 8, à qual coesponde o po valo paa as emssões de CO 2, exbe caacteístcas afns às da solução 2. As soluções 5 e 7 apesentam também caacteístcas smlaes, emboa esta últma alcance um valo po paa a função polução. Analsemos agoa como estas soluções báscas efcentes seam afectadas na pesença de mpecsão e nceteza, consdeando alguns dos coefcentes pesentes no modelo defndos po númeos eas dfusos tangulaes. VII.2. Coefcentes dfusos nas funções objectvo Suponhamos que o AD se mostou patculamente nteessado nas caacteístcas da solução 5 ncalmente detemnada, e deseja estuda o que acontece às soluções não domnadas ncalmente calculadas se os coefcentes das funções objectvo pesentes no modelo foem dfusos. Genecamente todos os coefcentes das funções objectvo foam consdeados defndos po númeos eas dfusos tangulaes. 23

228 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas Se o valo do nível de petença das funções membo assocadas a esses coefcentes, y, fo contínua e nteactvamente alteado 2 é possível vsualza dnamcamente as alteações, em foma e tamanho, das váas egões de ndfeença no dagama paamétco Λ. Algumas das soluções podem dexa de se efcentes, e novas soluções báscas efcentes podem se pesqusadas, consdeando conjuntos de pesos em zonas de Λ não peenchdas com egões de ndfeença paa o valo do nível de petença consdeado. Tabela VII.2 Coefcentes dfusos nas funções objectvo (y= R ). Solução (y = R ) Impotação de enega Autopodução de electcdade Polução (Emssões de CO 2 ) Áea (%) Númeo de teações L M N O P Q Rígdo Dfuso Rígdo Dfuso Rígdo Dfuso Rígdo Dfuso Rígdo Domnada Dfuso Rígdo Domnada Dfuso Rígdo Domnada Dfuso Rígdo Domnada Dfuso Rígdo Domnada Dfuso Rígdo Domnada Dfuso Po exemplo, paa y= R as soluções efcentes, 6, 7 e 8 ncalmente calculadas tonaam-se domnadas (as egões de ndfeença assocadas a essas soluções desapaeceam) e fo possível detemna 6 novas soluções báscas efcentes (L a Q), como pode se obsevado na fgua VII.3(a) (tabela VII.2). Sugem 4 novas faces efcentes, as quas possuem como vétces as soluções báscas efcentes {2, 5, P e Q}, {5, 4, N e P}, {4, 3, O e N} e {N, O, L e M}, assm como 0 novas aestas efcentes, as quas unem 2 a Q, Q a P, P a 5, P a N, N a 4, N a M, N a O, O a 3, O a L e L a M, espectvamente. 2 Na mplementação computaconal utlzada, fo usado um ncemento de /300= paa a vaação dos valoes numécos dos níves de petença das funções membo. 24

229 VII.2 - Análse das soluções dfusas efcentes do modelo usando a abodagem nteactva de PLMO com paâmetos dfusos Com o conjunto de pesos que ncalmente conduzam à solução não domnada 5 apenas é possível alcança a solução não domnada ncal 2, paa y= R. Como efedo no Capítulo IV, a dea essencal da abodagem poposta não é a de efectua um estudo exaustvo, paa todo o conjunto de soluções báscas efcentes (com o coespondente peenchmento total dos váos dagamas paamétcos com egões de ndfeença) e paa todos os valoes dos níves de petença, mas sm uma análse compaatva, nos váos dagamas paamétcos estudados, da evolução das soluções báscas efcentes que o AD tenha nteesse em analsa, de modo a te em conta os efetos da nceteza neente aos coefcentes do modelo. De salenta que, mesmo paa este modelo, o númeo de teações necessáas paa detemna as novas soluções báscas efcentes é elatvamente pequeno, quando compaado com o númeo de teações necessáas paa calcula as soluções báscas ncas, tonando o estudo compaatvo pouco exgente computaconalmente. Uma das dfculdades encontadas pende-se com a pesença de soluções báscas degeneadas, típco neste tpo de modelos, o que podeá ocasona a necessdade de efectua algumas pvotações degeneadas. (a) (b) Fgua VII.3 Coefcentes dfusos nas funções objectvo (y= R ). Dada as caacteístcas do modelo em estudo, uma análse exaustva seá aqu efectuada ao longo de (patcamente) todo o exemplo po questões lustatvas, dado a abodagem não se mosta computaconalmente oneosa. No entanto, se po algum motvo o AD não estve nteessado nas caacteístcas de algumas das soluções estas podem não se pesqusadas, ou seja, podem se dexadas zonas do dagama paamétco po pesqusa ou podem se estudados apenas alguns dos valoes dos níves de petença (po exemplo, valoes acma de um detemnado nível α). Atavés do estudo de algumas soluções extemas elevantes, nomeadamente pela análse dos valoes atngdos pelas funções objectvo coespondentes a essas soluções não domnadas, o AD pode conclu sobe o nteesse (ou não) em pesqusa detemnadas zonas de Λ. Po exemplo, na fgua VII.3(b) as soluções L, O e Q foam elmnadas devdo ao facto de o AD te consdeado que a últma apesentava um valo demasado elevado paa a mpotação de enega e as emssões de CO 2, e as outas tnham valoes demasado baxos paa a autopodução de electcdade. 25

230 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas Se alteamos contnuamente o nível de satsfação y desde L até R, obtêm-se os esultados apesentados na tabela VII.3 e na fgua VII.4 ((a) a ()), nas quas se encontam epesentadas as váas decomposções do dagama paamétco paa dfeentes valoes de y. Tabela VII.3 Análse com coefcentes das funções objectvo dfusos. y Soluções efcentes ncas Novas soluções efcentes () [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 8 A, B, C, D, E, F, G, H, I () [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, D, E, F, G, H, I () [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, D, E, F, G, I, J (v) [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, D, E, F, G, J (v) [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, D, E, J (v) [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, D, J (v) [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, J (v) [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, J (x) [ L ; L [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A (x) [ L ; R [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (x) [ R ; R [, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (x) [ R ; R [, 2, 3, 4, 5, 6 (x) [ R ; R [, 2, 3, 4, 5, 6 L, M (xv) [ R ; R [, 2, 3, 4, 5, 6 L, M, N (xv) [ R ; R [, 2, 3, 4, 5 L, M, N (xv) [ R ; R [, 2, 3, 4, 5 L, M, N, O (xv) [ R ; R [ 2, 3, 4, 5 L, M, N, O (xv) [ R ; 0.33 R [ 2, 3, 4, 5 L, M, N, O, P (xx) [ 0.33 R ; R ] 2, 3, 4, 5 L, M, N, O, P, Q Com y= L, fgua VII.4(a), a solução efcente 7 ncalmente detemnada é domnada e as novas soluções báscas efcentes A a I podem se pesqusadas. Sugem também novas faces e aestas efcentes. Com o conjunto de pesos que ncalmente conduzam à solução efcente 5, é possível alcança as soluções efcentes ncas 3, 4, 5 e 6, as novas soluções báscas efcentes E, H e I, assm como as 2 novas faces efcentes, as quas possuem como vétces as soluções báscas efcentes 5, 4 e H e H, 4, 6, I e E, espectvamente. Com y= R, fgua VII.4(), as soluções efcentes, 6, 7 e 8 ncalmente detemnadas são domnadas e as novas soluções báscas efcentes L a Q podem se calculadas. Com os valoes y= R e y= R (ou melho, paa um valo de y ente 0.33 R e R ) podem se alcançadas as mesmas soluções báscas efcentes, assm como as mesmas faces e aestas efcentes, já efedas atás. No entanto, as egões de ndfeença coespondentes às soluções báscas efcentes nos dagamas paamétcos em análse sofem alteações em foma e tamanho. 26

231 VII.2 - Análse das soluções dfusas efcentes do modelo usando a abodagem nteactva de PLMO com paâmetos dfusos (a) (y= L ) (b) (y= L ) (c) (y= L ) (d) (y=0.733 L ) (e) (y=0.833 L ) (f) (y=0.533 L ) Fgua VII.4 Análse com coefcentes das funções objectvo dfusos (contnua). 27

232 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas (g) (y= L ) (h) (y= L ) () (y= R ) (j) (y=0.767 R ) (k) (y= R ) (l) (y= R ) Fgua VII.4 Análse com coefcentes das funções objectvo dfusos (contnua). 28

233 VII.2 - Análse das soluções dfusas efcentes do modelo usando a abodagem nteactva de PLMO com paâmetos dfusos (m) (y=0.333 R ) (n) (y= R ) (o) (y= R ) (p) (y=0.200 R ) (q) (y=0.67 R ) () (y= R ) Fgua VII.4 Análse com coefcentes das funções objectvo dfusos. 29

234 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas A análse pomenozada dos esultados apesentados na tabela VII.3, conjuntamente com o estudo das dfeentes decomposções do dagama paamétco Λ obtdas paa valoes elevantes de y, fgua VII.4 ((a) a ()), pemte estuda o conjunto de soluções dfusas não domnadas do modelo em estudo. Se obsevamos a tabela VII.3 e a fgua VII.4 ((a) a ()) constatamos que a solução 5 ncalmente calculada mantém-se sempe não domnada paa todos os valoes do nível de satsfação (assocado às funções membo consdeadas). Mas anda, paa uma gama de vaação do nível de satsfação y de L até.0000, as coespondentes egões de ndfeença em Λ nunca dexam de ntesecta a egão de ndfeença ncal assocada à solução 5 em análse. Contudo, paa um valo de y nfeo a 0.33 R e supeo a R (dento da gama (xx) da tabela VII.3) as coespondentes egões de ndfeença em Λ passam a não ntesecta a egão de ndfeença ncal assocada à solução em análse. Este valo pode se faclmente detemnado po ntemédo de um cálculo smla ao explcado em (Antunes e Clímaco, 992). Os esultados apesentados na fgua VII.4 e na tabela VII.3 podem se ntepetados de modo dfeente se tvemos em atenção a noção de cote de nível α de um conjunto dfuso (Zadeh, 965; Zmmemann, 987, 996). Po vezes, podeá se nteessante sabe quas as soluções báscas não domnadas calculadas que petencem à fontea efcente do poblema dfuso, se o valo do nível de petença das funções membo consdeadas (assocadas aos coefcentes das funções objectvo), y, fo de pelo menos α. Po exemplo, consdeando um nível de petença das funções membo y de pelo menos é possível alcança todas as soluções báscas efcentes ncas a 8 (gamas (v) a (x) da tabela VII.3), bem como as novas soluções báscas A, B, D, J, L e M. Paa um nível de petença de pelo menos apenas é possível alcança as soluções báscas efcentes ncas a 8 (gamas (x) a (x) da tabela VII.3). Uma análse equvalente pode se efectuada se algumas das funções membo assocadas aos coefcentes das funções objectvo foem alteadas, atavés da modfcação de alguns dos valoes de c L e/ou c R coespondentes. VII.2.2 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas Consdeemos agoa que o AD deseja analsa o compotamento das soluções báscas efcentes obtdas ncalmente em ambente ígdo paa o poblema em estudo, se alguns dos coefcentes dos lados detos das estções funconas foem defndos po númeos eas dfusos tangulaes. Fo ncopoada dfusão apenas em alguns dos lados detos destas estções: Alguns dos lmtes supeoes da capacdade de podução foam consdeados dfusos; poém, foam consdeados pecsos todos os lmtes supeoes coespondentes à podução de subpodutos. Relatvamente aos lmtes nfeoes, apenas foam consdeados dfusos os coefcentes dos lados detos das estções coespondentes aos sectoes consdeados menos mpotantes. 220

235 VII.2 - Análse das soluções dfusas efcentes do modelo usando a abodagem nteactva de PLMO com paâmetos dfusos Alguns dos lmtes supeoes mpostos às mpotações e expotações foam defndos como dfusos. Nestas estções, os ntevalos especfcados paa os númeos dfusos possuíam genecamente uma lagua consdeável. Nos lados detos das estções de capacdade de amazenagem e exstêncas de seguança fo genecamente ncopoada dfusão. Se o valo do nível de petença das funções membo assocadas aos coefcentes dos lados detos das estções funconas, t, fo contínua e nteactvamente alteado, as váas egões de ndfeença (assocadas às soluções báscas efcentes) no dagama paamétco ão apaece e desapaece buscamente, sgnfcando com sso que as soluções báscas que lhe estão assocadas se tonam, espectvamente, admssíves e não admssíves paa as funções membo consdeadas. Escolhendo conjuntos de pesos em zonas de Λ não peenchdas com egões de ndfeença paa o valo do nível de petença t consdeado, novas soluções báscas efcentes podem se pesqusadas em ambente dfuso. Se paa as funções membo consdeadas, alteamos contnuamente o nível de petença t desde L até R obtemos os esultados apesentados na tabela VII.4 e na fgua VII.5 ((a) a ()). Na fgua VII.5 ((a) a ()) encontam-se epesentados os dagamas paamétcos dos pesos Λ coespondentes aos dfeentes ntevalos de t sucessvamente desctos nas váas gamas da tabela VII.4: as gamas ()-(v) na tabela VII.4 coespondem aos dagamas na fgua VII.5 (a) a (f), espectvamente. O dagama paamétco obtdo ncalmente (em ambente ígdo), fgua VII., coesponde à gama () na tabela VII.4. Tabela VII.4 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos. t Bases efcentes ncas Novas bases efcentes () [ L ; R [, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 () [ R ; R [, 2, 4, 5, 6, 7, 8 E, J, M () [ R ; R [ 2, 4, 5, 6, 7, 8 E, F, J, L (v) [ R ; R [ 2, 4, 5, 6, 8 E, F, H, J, L (v) [ R ; R [ 2, 4, 5, 8 D, E, F, G, H, I, J (v) [ R ; R [ 2, 4, 8 A, D, E, F, G, H, I, J (v)[ R ; R ] 2, 8 A, B, C, D, E, F, G, H Consdeando estas funções membo, nenhuma alteação ocoeu em Λ paa t [0.0 L ;.0[. Como ea de espea, os valoes numécos assocados às soluções extemas efcentes epesentadas (coespondentes às soluções báscas efcentes ncas e às novas soluções báscas efcentes apesentadas na tabela VII.4 e fgua VII.5), ão vaa contnuamente com a vaação de t (excepto o valo da áea das egões de ndfeença). Compaem-se, po exemplo, os valoes (coespondentes às mesmas soluções báscas efcentes) apesentados nas tabelas VII.5 e VII.6 ou VII.7 e VII.8. 22

236 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas (a) bases efcentes paa t [ R ; R [. (b) bases efcentes paa t [ R ; R [. (c) bases efcentes paa t [ R ; R [. (d) bases efcentes paa t [ R ; R [. (e) bases efcentes paa t [ R ; R [. (f) bases efcentes paa t [ R ; R ]. Fgua VII.5 Análse com coefcentes dos lados detos das estções funconas dfusos. 222

237 VII.2 - Análse das soluções dfusas efcentes do modelo usando a abodagem nteactva de PLMO com paâmetos dfusos Tabela VII.5 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas (t= R ). Base (t = R ) Impotação de enega Autopodução de electcdade Polução (Emssões de CO 2 ) Áea (%) Tabela VII.6 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas (t= R ). Base (t = R ) Impotação de enega Autopodução de electcdade Polução (Emssões de CO 2 ) Áea (%) Base de patda Númeo de teações E J M Paa t= R (fgua VII.5(e), dento da gama (v) da tabela VII.4 e tabela VII.7) as soluções báscas efcentes (assocadas às bases), 3, 5, 6 e 7 tonam-se não admssíves sendo possível detemna 8 novas soluções báscas efcentes (assocadas às bases) A, D, E, F, G, H, I e J. Tabela VII.7 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas (t= R ). Base (t = R ) Impotação de enega Autopodução de electcdade Polução (Emssões de CO 2 ) Áea (%) Base de patda Númeo de teações A D ou 6 5 ou 3 E F G H I ou 6 5 ou 4 J

238 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas Tabela VII.8 Coefcentes dfusos nos lados detos das estções funconas (t= R ). Base (t = R ) Impotação de enega Autopodução de electcdade Polução (Emssões de CO 2 ) Áea (%) Base de patda Númeo de teações A B C D ou 6 5 ou 3 E F G H Relatvamente a t= R, com t= R (fgua VII.5(f), dento da gama (v) da tabela VII.4 e tabela VII.8) as soluções báscas efcentes (assocadas às bases) 4, I e J tonam-se não admssíves sendo possível alcança as novas soluções báscas efcentes (assocadas às bases) B e C. Tal como no estudo anteo, mesmo paa este modelo de planeamento enegétco, o númeo de teações necessáas paa detemna as novas soluções báscas efcentes é elatvamente pequeno. Emboa neste estudo em ambente dfuso aos coefcentes dos lados detos das estções funconas, o AD não tenha selecconado uma solução efcente patcula, de ente as ncalmente calculadas, vamos consdea que, tal como anteomente, ele se mostou nteessado nas caacteístcas da solução 5. Se o AD estve nteessado em conhece os lmtes nfeo e supeo do paâmeto t, paa os quas a egão de ndfeença assocada à solução básca efcente 5 passa a te áea nula, ou seja, paa os quas a coespondente solução básca efcente se tona não admssível, pode sabê-lo de medato a pat da tabela IV.4 ou pela obsevação dos dagamas paamétcos da fgua VII.5. Estes lmtes não são mas do que o valo do lmte nfeo e supeo da gama admssível paa o paâmeto escala, obtdo po ntemédo de análse de sensbldade em pogamação lnea multobjectvo (Antunes e Clímaco, 992), tal que paa uma dada base efcente selecconada pelo AD as egões de ndfeença do poblema petubado e não petubado são dêntcas. O valo do lmte supeo é y= R. Quanto ao lmte nfeo da gama admssível paa o paâmeto escala, apenas se pode dze que, se ele fo fnto, não se enconta na gama [ L,.0000], dado que, no estudo efectuado consdeando a pate esqueda paa os valoes das funções membo, as egões de ndfeença em Λ assocadas à solução ncal 5 sob análse nunca se alteam. O AD pode também deseja sabe quas as soluções báscas efcentes calculadas se mantêm admssíves, se o valo do nível de petença das funções membo consdeadas, t, assocadas aos coefcentes dos lados detos das estções funconas, fo de pelo menos α, ou seja, ntepeta os esultados apesentados na tabela VII.4 e na fgua VII.5 ((a) a (f)), a pat da noção de cote de nível α de um conjunto dfuso (Zadeh, 965; Zmmemann, 987, 996). 224

239 VII.3 - Análse das soluções efcentes do modelo usando a metodologa nteactva de abodagem toleante em poblemas de PLMO Po exemplo, consdeando um nível de petença das funções membo t de pelo menos 0.6, são admssíves e efcentes as soluções báscas E, F, J e L, assm como, as soluções báscas ncas a 8 (gama () a () da tabela VII.4). Paa um nível de petença de pelo menos , apenas é possível alcança as bases assocadas às soluções efcentes ncas a 8 (gamas () da tabela VII.4). O AD podea então altea as funções membo assocadas aos númeos eas dfusos tangulaes coespondentes aos lados detos das estções funconas (modfcando os valoes coespondentes c L e/ou c R ) e possegu a análse. VII.3 Análse das soluções efcentes do modelo usando a metodologa nteactva de abodagem toleante em poblemas de PLMO Consdeemos que o AD começou po efectua uma pesqusa pogessva e selectva do conjunto de soluções efcentes no dagama paamétco paa modelo de planeamento enegétco consdeado anteomente (usando como paâmetos os valoes modas c M ). Peante estas condções, obtvemos as otos soluções báscas epesentadas no dagama paamétco da fgua VII. e na pojecção f 2 -f 3 no espaço dos objectvos da fgua VII.2. Admtamos que o AD escolhe paa valoes dos pesos estmados o conjunto de pesos coespondente ao centóde da egão de ndfeença da solução 5, λˆ =(0.2760; ; ). Não exstndo nfomação a po sobe a gama de vaação paa os pesos estmados (Φ= R 3 ), obtemos paa a pecentagem máxma de toleânca nos pesos das funções objectvo, ν*(x00%), o valo de 2.349%. Fgua VII.6 λˆ =(0.2760; ; ), ν*= Fgua VII.7 λˆ =(0.2760; ; ) e 2 ˆλ =0.2853, ν*= Este esultado pode se confmado pela nspecção vsual do dagama paamétco apesentado na fgua VII.6. A sobeposção da egão de ndfeença, coespondente à solução básca efcente 5, com a egão de toleânca obtda paa o conjunto de pesos estmado (o centóde da espectva egão de ndfeença) pemte detemna a toleânca 225

240 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas máxma nos coefcentes de pondeação dos objectvos ν*, a pat do vétce assnalado no polígono convexo, C(ν) Λ( Φ), o qual se stua sobe a aesta comum às egões de ndfeença coespondentes às soluções 2 e 5. Isto sgnfca que a solução básca efcente 5 pemaneceá efcente desde que os valoes dos pesos não vaem smultânea e ndependentemente mas do que 2.349% em elação aos seus valoes estmados; ou seja, desde que ˆλ vae no ntevalo [0.2425, ], ˆλ 2 vae no ntevalo [0.2507, 0.399] e, smultaneamente, ˆλ 3 vae no ntevalo [0.3855, 0.499]. Se o AD consdea o peso do segundo objectvo conhecdo com pecsão ( ˆλ 2 =0.2853) a pecentagem máxma de toleânca aumenta (elatvamente ao valo 2.349%, pevamente calculado com Φ= R 3 ) paa % (fgua VII.7). O vétce do polígono convexo, C(ν) Λ( Φ), que deu ogem a este valo também se enconta sobe a aesta comum às egões de ndfeença coespondentes às soluções 2 e 5. A solução efcente 5 pemaneceá efcente desde que os valoes dos pesos ˆλ e ˆλ 3 não vaem smultânea e ndependentemente mas do que % em elação aos valoes estmados com ˆλ 2 = Se, adconalmente, o AD especfca que o valo estmado do peso ˆλ podeá sofe uma vaação nfeo de 5% e supeo de 0% em elação ao seu valo estmado (ou seja, ˆλ á vaa no ntevalo [0.2622; ]) a ntesecção de Φ com ˆλ 2 = está totalmente dento da egão de ndfeença coespondente à solução 5, o que sgnfca se o valo de ν* nfnto (fgua VII.8). Paa 2 ˆλ = e ˆλ a vaa em [0.2622; ], ˆλ 3 pode toma qualque valo em Λ mantendo-se sempe efcente a solução 5. Fgua VII.8 λˆ =(0.2760; ; ), 95% ˆλ ˆλ 0% ˆλ e 2 ˆλ =0.2853, ν*=. Fgua VII.9 λˆ =(0.2760; ; ), 95% ˆλ ˆλ 0% ˆλ e 90% 2 ˆλ 2 ˆλ 25% 2 ˆλ, ν*= Com a fnaldade de obte um valo fnto paa ν*, consdeemos que é especfcado pelo AD um ntevalo de vaação paa ˆλ 2. Po exemplo, consdeemos que 226

241 VII.3 - Análse das soluções efcentes do modelo usando a metodologa nteactva de abodagem toleante em poblemas de PLMO o valo estmado do peso 2 ˆλ podeá sofe uma vaação nfeo de 0% e supeo de 25% em elação ao valo estmado (ou seja, ˆλ 2 á vaa no ntevalo [0.2568; ]). Como ea de espea, o valo da pecentagem máxma de toleânca dmnuu paa 6.45% (fgua VII.9), valo este que é supeo a 2.349%, detemnado com Φ= R 3. Fgua VII.0 λˆ =(0.2760; ; ), 95% ˆλ ˆλ 0% ˆλ, ν*= Se o AD decd não especfca qualque nfomação adconal em elação ao valo estmado ˆλ 2, mantendo, no entanto, o ntevalo anteomente especfcado paa a vaação do paâmeto ˆλ, [0.2622; ], obtemos um valo de % paa a pecentagem máxma de toleânca (fgua VII.0). Este valo é supeo a 2.349%, valo anteomente calculado com Φ= R 3, e nfeo ao valo de 6.45% que se obteve paa 95% ˆλ ˆλ 0% ˆλ e 90% 2 ˆλ ˆλ 2 25% 2 ˆλ. Pela nspecção da fgua VII.0, constata-se que o vétce do polígono convexo, C(ν) Λ( Φ), que deu ogem a este valo se stua agoa sobe a aesta comum às egões de ndfeença coespondentes às soluções 4 e 5. Fgua VII. λˆ =(0.2760; ; ), ( 3 ˆλ -0.2) 3 ˆλ ( 3 ˆλ +0.05) e 2 ˆλ =0.2853, ν*=

242 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas Se o AD volta a consdea que o peso do segundo objectvo é conhecdo com pecsão ( ˆλ 2 =0.2853), mas adconalmente que o peso do teceo objectvo podeá sofe uma vaação supeo de 0.05 e nfeo de 0.2 em elação ao valo do peso estmado (ou seja, ˆλ 3 á vaa no ntevalo [0.2387; ]), a ntesecção de Φ com ˆλ 2 = á esulta numa pecentagem máxma de toleânca dos pesos das funções objectvo de 62.59% (fgua VII.). Na fgua VII.2 temos o poblema ncal (Φ= R 3 ) consdeando paa pesos estmados o vecto λˆ =(0.374; 0.323; 0.303), os quas também conduzem à solução básca efcente 5. O valo detemnado paa a pecentagem máxma de toleânca, ν*(x00%)=4.2047%, é supeo elatvamente ao valo obtdo em dêntcas condções na fgua VII.6 (2.349%). Isto sgnfca que o últmo conjunto de pesos analsado se apesenta menos sensível, em elação à vaação smultânea e ndependente dos pesos, que os estudados atás. A solução 5 pemaneceá efcente desde que os valoes dos pesos não vaem smultânea e ndependentemente mas do que % em elação aos valoes estmados; ou seja, desde que ˆλ vae no ntevalo [0.3209, 0.427], ˆλ 2 vae no ntevalo [0.277, ] e, smultaneamente, ˆλ 3 vae no ntevalo [0.26, 0.346]. Fgua VII.2 λˆ =(0.374; 0.323; 0.303), ν*= Fgua VII.3 λˆ =(0.374; 0.323; 0.303) e 2 ˆλ =0.323, ν*= Atavés da análse vsual do dagama paamétco apesentado na fgua VII.2 vefca-se que o valo da toleânca máxma nos coefcentes de pondeação dos objectvos, ν*, é detemnado pelos dos vétces assnalados (vétces do polígono convexo, C(ν) Λ( Φ), stuados sobe as aestas comuns às egões de ndfeença coespondentes às soluções 2 e 5 e às soluções 4 e 5), não dependendo, potanto, a toleânca máxma exclusvamente do paâmeto que apesenta mao sensbldade peante a vaação dos valoes estmados. De facto, estes coefcentes de pondeação estão assocados ao mao valo admssível paa a pecentagem máxma de toleânca nos valoes dos pesos que nos conduzem à solução 5, como se pode nfe a pat da análse da fgua VII

243 VII.3 - Análse das soluções efcentes do modelo usando a metodologa nteactva de abodagem toleante em poblemas de PLMO Se o AD consdea também o peso do segundo objectvo conhecdo com pecsão ( ˆλ 2 =0.323), a pecentagem máxma de toleânca aumenta (elatvamente ao valo %, pevamente calculado com Φ= R 3 ) paa % (fgua VII.3). O vétce do polígono convexo, C(ν) Λ( Φ), que deu ogem a este valo também se enconta sobe a aesta comum às egões de ndfeença coespondentes às soluções 5 e 7. A solução 5 pemaneceá efcente desde que os valoes dos pesos ˆλ e ˆλ 3 não vaem smultânea e ndependentemente mas do que % em elação aos seus valoes estmados com ˆλ 2 = Se o AD seleccona paa valo dos pesos estmados o vecto λˆ =(0.; 0.2; 0.69), os quas também petencem à egão de ndfeença assocada à solução básca efcente 5 (fgua VII.4), obtemos um valo elatvamente pequeno paa a pecentagem máxma de toleânca, ν*(x00%)=6.849%, quando compaado com os valoes obtdos em dêntcas condções nas fguas VII.6 e VII.2. Fgua VII.4 λˆ =(0.; 0.2; 0.69), ν*= Contaamente à stuação apesentada na fgua VII.2, onde o valo da toleânca máxma nos coefcentes de pondeação dos objectvos não esulta exclusvamente do paâmeto que apesenta mao sensbldade à vaação dos valoes estmados, na fgua VII.4 os ntevalos obtdos paa a vaação dos pesos esultam bastante mas estetos do que de na ealdade são. Como já fo efedo nos capítulos V e VI, a obtenção de valoes pequenos (ou mesmo nulos) paa a pecentagem máxma de toleânca é uma das gandes desvantagens que ocoe em modelos de optmzação eas (mesmo de dmensão modeada). Voltemos ao conjunto de pesos estmados, anteomente usado nos exemplos das fguas VII.2 e VII.3, o vecto λˆ =(0.374; 0.323; 0.303). Se o AD consdea que o peso do teceo objectvo podeá sofe uma vaação supeo de 0.05 e nfeo de 0.2 em elação ao valo do peso estmado, a nspecção da fgua VII.2 (também epesentada na fgua VII.5) possbltaa conclu que a pecentagem máxma de toleânca nos pesos das funções objectvo não a sofe alteação (dado que o vétce do polígono convexo, C(ν) Λ( Φ), stuado sobe a aesta comum às egões de ndfeença coespondentes às soluções 2 e 5 se mantém). 229

244 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas Fgua VII.5 λˆ =(0.374; 0.323; 0.303) e ( 3 ˆλ -0.2) 3 ˆλ ( 3 ˆλ +0.2), ν*= Fgua VII.6 λˆ =(0.374; 0.323; 0.303), ( 3 ˆλ -0.2) 3 ˆλ ( 3 ˆλ +0.2) e 2 ˆλ 0% 2 ˆλ, ν*= Se, adconalmente, fo mposta uma lmtação ao valo supeo pemtdo paa 2 ˆλ de modo a cota o vétce do polígono convexo, C(ν) Λ( Φ), que na fgua VII.5 deu ogem ao valo da pecentagem máxma de toleânca nos pesos das funções objectvo (aesta comum às egões de ndfeença coespondentes às soluções 2 e 5), como no exemplo apesentado na fgua VII.6, é possível obte maoes valoes paa as pecentagens máxmas de toleânca. No que dz espeto ao valo nfeo pemtdo paa 2 ˆλ não fo mposta qualque estção, mantendo-se consequentemente actva a estção de não negatvdade coespondente ˆλ 2 0. Note-se que, se o valo de 2 ˆλ tvesse sdo consdeado pecso, em vez de consdeada a estção 2 ˆλ 0% 2 ˆλ, a coespondente pecentagem máxma de toleânca te-se-a tonado não fnta. Fgua VII.7 λˆ =(0.374; 0.323; 0.303), ˆλ 0% ˆλ, ( 3 ˆλ -0.2) 3 ˆλ ( 3 ˆλ +0.2) e 2 ˆλ 0% 2 ˆλ, ν*= Fgua VII.8 λˆ =(0.374; 0.323; 0.303), ˆλ 0% ˆλ, ( 3 ˆλ -0.2) 3 ˆλ ( 3 ˆλ +0.2) e 2 ˆλ = 0.323, ν*=. 230

245 VII.3 - Análse das soluções efcentes do modelo usando a metodologa nteactva de abodagem toleante em poblemas de PLMO Um acocíno smla em elação ao valo supeo pemtdo paa ˆλ é utlzado de seguda ( ˆλ 0% ˆλ ), de modo a detemna maoes valoes paa a pecentagem máxma de toleânca nos pesos das funções objectvo (fgua VII.7). Como pevamente, se o valo de 2 ˆλ fo consdeado pecso, em vez de consdeada a estção 2 ˆλ 0% 2 ˆλ, a coespondente pecentagem máxma de toleânca é não fnta (fgua VII.8). Os esultados encontados valdam as conclusões de Wendell (985, 984, 997), já confmadas nos exemplos lustatvos apesentados nos capítulos V e VI: a exstênca a po de nfomação elatva a gamas de vaação de alguns coefcentes pemte obte maoes valoes paa as pecentagens máxmas de toleânca; além dsso, quanto mao fo a quantdade de nfomação (dstnta) fonecda pelo AD (e mas estetas foem as gamas de vaação coespondentes) maoes podem se os valoes obtdos paa essas pecentagens máxmas de toleânca (havendo sempe a gaanta de que seão pelo menos guas aos encontados na stuação em que não é especfcada qualque nfomação adconal pelo AD). Nos exemplos apesentados nesta secção, o AD fo nteactvamente acescentando nfomação adconal, que no que se efee aos coefcentes pecsos, que elatvamente às gamas de vaação dos dfeentes paâmetos no modelo. Esta nfomação pode não coesponde a uma estutua de pefeêncas pé-defnda e estável, pemtndo a apendzagem que do poblema, que das pópas pefeêncas, ao longo do pocesso nteactvo. Muto emboa o modelo que estamos a estuda possua apenas oto soluções báscas efcentes, a geometa das dfeentes egões de ndfeença assocadas às bases efcentes, desgnadamente a coespondente à solução 5 que estamos a analsa, pode conduz-nos a stuações em que os ntevalos obtdos paa a vaação dos pesos estmados não são tão amplos como, em temos pátcos, de facto o são. A pecentagem máxma de toleânca depende dos pesos que apesentam mao sensbldade à vaação dos valoes estmados. Atavés da nspecção vsual destes dagamas podemos anda te ndcações sobe a odem de gandeza dos possíves valoes a obte paa as pecentagens máxmas de toleânca, confome vão sendo nteactvamente consdeados dfeentes conjuntos de pesos, bem como especfcada dstnta nfomação adconal paa as alteações pemtdas nos valoes dos váos paâmetos de pondeação estmados (ndcando gamas de vaação paa os dfeentes pesos ou quas os valoes dos pesos que devem se consdeados pecsos). Em suma, os dagamas apesentados ofeecem ao AD um meo de toca de nfomação apelatvo e dnâmco paa analsa nteactvamente, po smples nspecção vsual, a sensbldade das soluções face à vaação dos paâmetos. VII.4 Consdeações fnas Neste capítulo nvestgámos os efetos da nceteza neente a poblemas de decsão (usando dados eas) atavés da análse de um modelo multobjectvo de 23

246 Capítulo VII - Estudo de um modelo multobjectvo paa planeamento enegétco com mplcações económcas e ambentas planeamento, baseado na fomulação nput-output, que possblta o estudo das nteacções enega ambente economa. Nas secções anteoes mostámos, fazendo uso das técncas nteactvas vsuas baseadas na análse das egões de ndfeença assocadas a um conjunto de pesos (em poblemas de PLMO), popostas nos capítulos IV e VI, como o AD pode nteactvamente analsa as consequêncas paa uma detemnada solução da vaação de paâmetos do modelo. Os estudos efectuados não se mostam computaconalmente oneosos e as metodologas utlzadas possbltam uma ntepetação smples da nfomação e paâmetos ntevenentes. O potocolo de nteacção com o AD apesenta-se smples e ntutvo, e possblta uma análse dnâmca das consequêncas decoentes da vaação de paâmetos. Os métodos de atculação pogessva de pefeêncas evtam o ecuso à nfomação péva das pefeêncas do AD, pemtndo a apendzagem e a evolução da estutua das mesmas à medda que va sendo obtda nfomação ao longo do pocesso nteactvo de apoo à decsão. Neste contexto, as técncas apesentadas são patculamente adequadas paa seem ntegadas como componentes deste pocesso. Duante a análse efectuada na secção 2, o cálculo das novas soluções efcentes em ambente dfuso (a pat de uma solução anteomente detemnada) envolve um pequeno esfoço computaconal, sendo o potocolo de nteacção com o AD smples e ntutvo. É possível vsualza dnamcamente as alteações ocodas nas váas soluções báscas efcentes pesqusadas duante o estudo nteactvo, com a vaação contínua dos níves de petença assocados às funções membo dos paâmetos dfusos. O AD pode também sabe quas as soluções báscas efcentes calculadas é possível alcança (ou seja, se stuam na fontea efcente em ambente dfuso), se o nível de petença das funções membo consdeadas fo de pelo menos α. Usando a abodagem poposta, é possível gea soluções báscas efcentes em ambente dfuso que ncalmente não se encontavam na fontea efcente paa o poblema em ambente ígdo, ou mesmo não eam soluções admssíves do poblema ncal. No estudo efectuado em VII.2 não é consdeado o caso em que se adcona uma nova vaável de decsão ao modelo de planeamento enegétco. No entanto, dado o modelo estudado se sufcentemente flexível paa pode se faclmente alteado, de modo a possblta a nclusão de novos combustíves que entetanto seja necessáo consdea no sstema enegétco naconal, sea também nteessante analsa como a ntodução no modelo ncal duma nova vaável de decsão, com coefcentes dfusos, a afecta o conjunto de soluções báscas efcentes, atavés duma análse compaatva smla às ealzadas. Duante o estudo efectuado na secção 3, a sobeposção da egão de ndfeença, coespondente a uma detemnada solução básca efcente, com as egões de toleânca obtdas paa dfeentes conjuntos de pesos estmados, possblta um modo apelatvo e dnâmco paa o AD analsa as consequêncas da vaação dos paâmetos de pondeação (pesos) das funções objectvo po smples nspecção vsual. O AD va também nteactvamente especfcando nfomação adconal elatva a alteações pemtdas nos valoes dos váos paâmetos de pondeação estmados (ndcando gamas de vaação 232

247 VII.4 - Consdeações fnas paa os dfeentes pesos ou quas os valoes dos pesos a consdea pecsos), de modo a examna como as pecentagens máxmas de toleânca se alteam peante as modfcações mpostas. Nas abodagens popostas, a epesentação gáfca da decomposção do dagama paamétco em egões de ndfeença consttu um meo ntegado de toca de nfomação ente o AD e o método nteactvo. Deste modo, as metodologas utlzadas encontam-se vocaconadas sobetudo paa tata de poblemas com tês funções objectvo (de modo a ta patdo da epesentação gáfca). 233

249 Capítulo VIII Abodagens baseadas em pontos de efeênca vesus análse dfusa no apoo à decsão em poblemas de PLMO Nas metodologas baseadas em pojecções dos pontos de efeênca sobe o conjunto de soluções não domnadas, sendo estas pojecções defndas à custa de funções escalazantes de ealzação ( scalazng achevement functon ) (Wezbck, 980, 982, 989, 2000; Wezbck et al., 2000), é possível alcança qualque solução não domnada do poblema multobjectvo. Estas metodologas sugem nomalmente ntegadas em sstemas nteactvos de apoo à decsão. Paa cada uma das funções objectvo consdeadas, os níves de aspação coespondem a valoes que o AD deseja alcança ou ultapassa e os níves de eseva aos poes valoes que o AD está dsposto a aceta (e petende que sejam ultapassados sempe que possível) numa solução fnal. Tanto os níves de aspação como os de eseva devem se encaados como estções flexíves ("soft constants"), no sentdo em que estes não são defntvamente ncopoados na fomulação do poblema e podem se evstos em nteacções subsequentes com o AD (ou seja, não são ígdos). Neste capítulo é feto um estudo compaatvo das metodologas de optmzação baseadas em pontos de efeênca (Wezbck, 982, 2000; Wezbck et al., 2000) com a abodagem dfusa apesentada po Zmmemann no domíno da PLMO (Zmmemann, 978, 983a; Wedey e Zmmemann, 978). O pocedmento utlzado (Antunes e Boges, 2002) assenta na utlzação de funções membo lneaes modfcadas (assocadas aos conjuntos dfusos envolvdos) e pode se ntepetado de modo smla ao apesentado po Wezbck et al. (2000), no quado das metodologas de pontos de efeênca. Com base nos estudos efectuados, podemos constata que o uso dos níves de aspação e de eseva no domíno da análse multobjectvo dfusa pode se um

250 Capítulo VIII - Abodagens baseadas em pontos de efeênca vesus análse dfusa no apoo à decsão em poblemas de PLMO nstumento útl ao AD não só no apoo à escolha da melho solução de compomsso, como também paa faclta a apendzagem do conjunto de soluções não domnadas e dos compomssos que é necessáo faze ente os váos objectvos em modelos de PLMO. A ntepetação da nfomação fonecda ao e/ou equeda do AD é smples, dado que o dálogo é ealzado no espaço das funções objectvo, com que, em pncípo, o AD está mas famlazado. Este capítulo está oganzado da segunte foma. Na secção é apesentada a fomulação do poblema obtdo a pat da abodagem smétca dfusa de PLMO apesentada po Zmmemann (978, 983a), quando são consdeadas funções membo lneaes smples. Na secção 2 é utlzado um exemplo lustatvo com a fnaldade de efectua a análse das analogas exstentes ente as metodologas de optmzação baseadas em pontos de efeênca e a apesentada na secção anteo. Na secção 3 são apesentados alguns esultados lustatvos, obtdos a pat do estudo efectuado pela abodagem metodológca poposta na secção anteo, a um modelo de planeamento enegétco baseado na análse nput-output smla ao analsado no capítulo anteo. Po fm, na secção 4 são tecdas algumas consdeações sobe a utlzação de níves de aspação e de eseva em modelos de PLMO. VIII. Abodagem smétca dfusa de Zmmemann consdeando funções membo lneaes Como efedo no Capítulo III, paa dentfca a melho decsão dfusa Zmmemann (978, 983a) e Wedey e Zmmemann (978) tansfomam o poblema (III.35) no de pogamação monobjectvo (III.37), com mas uma vaável de decsão (λ, a qual coesponde à medda de satsfação do conjunto de funções objectvo e estções dfusas) e p estções funconas (uma po cada função objectvo). O poblema (III.37) consste em detemna o mao valo paa λ, de modo a que essa medda de satsfação seja meno ou gual do que os valoes dos váos gaus de petença em elação aos conjuntos dfusos envolvdos e satsfaça as estções ígdas ncas. A esolução do poblema (III.37) conduz sempe a uma solução não domnada do poblema multobjectvo ognal (Zmmemann, 978); quando exstem soluções óptmas altenatvas, pelo menos uma delas é solução não domnada do poblema ncal (Lebelng, 98). A complexdade e a estutua do poblema (III.37) está fotemente condconada pelas funções membo µ (x) escolhdas. Funções membo lneaes no ntevalo de toleânca p são nomalmente as mas encontadas na lteatua paa a esolução do poblema (III.37), uma vez que são fáces de manpula. 236

251 VIII. - Abodagem smétca dfusa de Zmmemann consdeando funções membo lneaes seá: Se a elação matemátca fo do tpo ~, a função membo lnea a consdea µ (x) = (A'x) - p como epesentada na fgua VIII.. - b', se, se (A'x) > b' + p 0, se (A'x) (VIII.) b' < (A'x) b' b' + p, paa todo o x em X e =,..., m+p; Fgua VIII Função membo utlzada paa epesenta uma estção do tpo ~. Zmmemann (978, 983a) mostou que, paa este caso patcula, o poblema (III.35) ea equvalente a: max λ s. a. λp + (A'x) p + b' x X, λ [0, ] e =, 2,..., m+p. (VIII.2) Se o sstema fo consttuído po estções dfusas do tpo ~, podemos consdea paa função membo lnea: 0, se (A'x) < b' - p (VIII.3) µ (A'x) (x) = - b' +, se b' - p (A'x) < b' p, se (A'x) b', paa todo o x em X e =,..., m+p; que se enconta epesentada na fgua VIII.2. Fgua VIII.2 Função membo utlzada paa epesenta uma estção do tpo ~. 237

252 Capítulo VIII - Abodagens baseadas em pontos de efeênca vesus análse dfusa no apoo à decsão em poblemas de PLMO Paa este caso, Zmmemann (978, 983a) consdea o poblema: max λ s. a. (VIII.4) λp - (A'x) p - b' x X, λ [0, ] e =, 2,..., m+p. Se as estções dfusas foem agoa do tpo ~ =, tomamos como função membo: µ (x) = que se enconta epesentada na fgua VIII.3. 0, se (A'x) b' - p (VIII.5) (A'x) - b' +, se b' - p < (A'x) b' p (A'x) - b' -, se b' < (A'x) b' + p p 0, se (A'x) b' + p, paa todo o x em X e =,..., m+p; Fgua VIII.3 Função membo utlzada paa epesenta uma estção do tpo ~ =. Uma vez que o caso ~ = engloba os outos dos, pos X ~ = Y se e só se X ~ Y e X ~ Y, somos conduzdos ao segunte poblema: max λ s. a. (VIII.6) λp + (A'x) p + b' λp - (A'x) p - b' x X, λ [0, ] e =, 2,..., m+p; Em (III.3) consdeámos que, paa cada função objectvo, se petenda atng um detemnado nível de aspação dfuso e as estções eam todas dfusas. Se, paa detemnadas funções objectvo, os níves de aspação foem conhecdos com pecsão, então essas funções são tansfomadas em estções ígdas. As estções ígdas, que as do poblema ognal, que as que esultam de funções objectvo, são agupadas em X. 238

253 VIII.2 - Metodologas baseadas em pontos de efeênca vesus abodagem smétca dfusa de Zmmemann VIII.2 Metodologas baseadas em pontos de efeênca vesus abodagem smétca dfusa de Zmmemann Alguns autoes pefeem consdea não uma medda de satsfação do sstema de estções dfusas, λ, mas uma medda de nsatsfação = - λ. Fazendo as necessáas substtuções, os poblemas (VIII.2), (VIII.4) e (VIII.6) são tansfomados em: mn s. a. p - (A'x) - b' x X, [0, ] e =, 2,..., m+p. (VIII.7) mn s. a. p + (A'x) b' x X, [0, ] e =, 2,..., m+p. (VIII.8) mn s. a. p - (A'x) - b' (VIII.9) p + (A'x) b' x X, [0, ] e =, 2,..., m+p. Enquanto que nos modelos (VIII.2), (VIII.4) e (VIII.6) se deseja maxmza a poxmdade da solução obtda em elação a uma solução deal defnda pelo AD, atavés dos níves de aspação e dos ntevalos de toleânca espectvos, em (VIII.7), (VIII.8) e (VIII.9) petende-se mnmza a dstânca da solução obtda em elação à solução que o AD aspa. Wenes (987b) efee que estes modelos são smlaes à pogamação po metas usando uma noma especal : Segundo a mesma lnha de acocíno, podemos também enconta algumas semelhanças ente a abodagem de Zmmemann e o poblema escala esolvdo em cada fase de cálculo do método STEM. Estas semelhanças são mas vsíves, se escevemos os pogamas anteoes de outa foma. Po exemplo, em elação a (VIII.9) obtemos: mn (VIII.0) s. a. [(A'x) - b' ]/p [b' - (A'x) ]/p x X, [0, ] e =, 2,..., m+p. Tal como no método STEM, esolve-se um poblema mn-max, ou seja, mnmza-se a mao das dstâncas, (A'x) - b', em elação à solução deal. Uma vez que os níves de aspação, b', são dfusos com níves máxmos de toleânca p, as dvsões po p gaantem a não volação dos lmtes b' - p e b' + p. 239

254 Capítulo VIII - Abodagens baseadas em pontos de efeênca vesus análse dfusa no apoo à decsão em poblemas de PLMO (x, λ ) é a solução óptma do modelo ígdo equvalente (III.37) se e só se ( x, ) é a solução óptma de: mn x X b' - Cx G com = - λ medndo a dstânca ente os valoes de cada objectvo e o seu óptmo G p ndvdual, e y = G. y com y R. denota a métca de Tchebycheff e a... 0 b' (b' p) matz dos pesos G= b' (b' p ) k k k Se consdeamos b' - p e b' + p, com p p, os extemos do ntevalo que caacteza µ (x) (=,..., m+p) o acocíno mantém-se váldo e esta genealzação conduz a pogamas lneaes semelhantes aos anteoes. Po exemplo, paa (VIII.6) e (VIII.9) obtemos: max λ s. a. (VIII.) λ p + (A'x) p + b' λ p - (A'x) p - b' x X, λ [0, ] e =, 2,..., m+p; mn s. a. (VIII.2) p - (A'x) - b' p + (A'x) b' x X, [0, ] e =, 2,..., m+p. Em ambas as stuações, a espectva medda de satsfação/nsatsfação a maxmza/mnmza apaece lmtada supeo e nfeomente pelos lmtes e 0, espectvamente, ou seja, 0 λ e 0. No entanto, estas estções podem se flexblzadas paa efeto de cálculo, possundo os valoes da medda de satsfação/nsatsfação obtdos foa da gama [0, ] sgnfcados específcos. Assm, podem se encontadas algumas smladades ente estas funções membo modfcadas e as funções escalazantes de ealzação utlzadas nas metodologas de pontos de efeênca. 240

255 VIII.2 - Metodologas baseadas em pontos de efeênca vesus abodagem smétca dfusa de Zmmemann Com a fnaldade de lusta algumas das deas expostas, consdeemos o exemplo b-objectvo apesentado na fgua VIII.4 2. Nele foam consdeadas estções ígdas e funções objectvo dfusas (com níves de aspação defndos pelo AD). s.a. m ~ ax Z(x) = ~ x + 2x2 m ax 2x + x2 -x + 3x 2 2 x + 3x x + 3x x + x 2 30 x, x 2 0. Como podemos vefca, o conjunto de soluções não domnadas em ambente ígdo é consttuído pelas soluções nas aestas [PA, PB], [PB, PC] e [PC, PD]. PA=(4, 7) coesponde ao óptmo da pmea função objectvo e PD=(-3, 2) ao óptmo da segunda função objectvo. P'=(-3, 7) é a solução coespondente aos valoes mas baxos de Z dento do conjunto das soluções não domnadas (componentes do ponto Nad). PI=(4, 2) coesponde à solução deal, ou seja, cujas componentes são os valoes que optmzam cada objectvo ndvdualmente. Se esolvemos este poblema usando a abodagem apesentada po Zmmemann (o modelo smétco com solução ígda), consdeando paa níves de aspação (Z 0 ) os óptmos ndvduas de cada uma das funções objectvo, Z 0 =[f (x) Asp. ; f 2 (x) Asp. ]=[4; 2], e paa níves máxmos de toleânca (p) as dfeenças ente esses valoes e os coespondentes valoes atngdos em P', p=[f (x) Asp. -f (x) Res. ; f 2 (x) Asp. -f 2 (x) Res. ]=[7; 4], como sugedo em (Zmmemann, 983a), podemos epesenta as funções membo assocadas aos objectvos dfusos po: 0 µ z (x) = (x) µ z (x) = 2(x) , se z (x) -3, se - 3 < z (x) 4, se4, se z, se 7 2 < z (x) < z (x) 7 (x) 2, se 2< z (x) 2 2 Foam, assm, constuídos dos conjuntos dfusos: "soluções acetáves com espeto à pmea função objectvo" e "soluções acetáves com espeto à segunda função objectvo". 2 Retado de (Zmmemann, 983a) e já usado anteomente em III.2.3, III.3.. e III

256 Capítulo VIII - Abodagens baseadas em pontos de efeênca vesus análse dfusa no apoo à decsão em poblemas de PLMO 2 De acodo com o que fo exposto, e defnndo X po {(x, x 2 ) R : -x +3x 2 2, x +3x 2 27, 4x +3x 2 45, 3x +x 2 30, x 0, x 2 0}, o poblema dfuso é tansfomado no pogama lnea (em confomdade com (III.37)): s.a. max λ λ x +0.7x λ 0.429x x x X, λ [0, ]. (VIII.3) Tabela VIII. Soluções não domnadas obtdas paa o exemplo lustatvo estudado. P F solução de Zmmemann (Fgua VIII.4) P G níves de aspação não alcançáves (Fgua VIII.5) P H AD aceta poa f 2 (x) (Fgua VIII.7) f (x) Asp f 2 (x) Asp f (x) Res f 2 (x) Res λ (+0.438) 0.82 f (x) f 2 (x) slack µ (x) slack µ 2 (x) Fgua VIII.4 Exemplo lustatvo: níves de aspação não alcançáves, Z0=[f (x) Asp. ; f 2 (x) Asp. ]=[4; 2]. A solução obtda coesponde ao ponto PF na fgua VIII.4 e enconta-se caactezada na segunda coluna da tabela VIII.. λ = é o valo do nível máxmo de 242

257 VIII.2 - Metodologas baseadas em pontos de efeênca vesus abodagem smétca dfusa de Zmmemann satsfação do conjunto de funções objectvos dfusas 3 (ou seja, o gau de petença em elação aos conjuntos dfusos defndos) e coesponde à solução x=(5.03; 7.32) T com Z(x)=(9.6; 7.38) T. Se o AD consdea os valoes que optmzam cada objectvo ndvdualmente como níves de aspação, e os coespondentes poes valoes atngdos po cada função objectvo na egão efcente como níves de eseva, e usa a metodologa de pontos de efeênca pevamente exposta, seá também conduzdo à solução PF. De facto, se pojectamos um vecto com a decção de P' PI sobe a fontea efcente encontamos o ponto PF. Esta solução coesponde àquela que mnmza a dstânca ente os valoes dos objectvos e o ponto PI. Além dsso, se consdeamos que a dstânca ente P e PI coesponde à undade, então a dstânca de P a PF é λ = e ente PF e PI é (-λ) = (-0.742) = Paa poblemas com apenas duas funções membo as vaáves folga ( slacks ) coespondentes às estções λ µ (x) (=, 2) de (III.37) são sempe nulas, ou seja, estas são sempe actvas. Na solução PF ambas as funções membo (µ(x) e µ2(x)) assumem o valo λ = Se o númeo de funções membo fosse supeo a duas, então algumas das vaáves folga ( slacks ) coespondentes às estções λ µ (x) (=, 2, 3, ) de (III.37) podeam toma valo não nulo, sgnfcando que o nível de satsfação em elação a essa função membo é supeo ao nível de satsfação do conjunto de objectvos dfusos, ou mas especfcamente, supeo ao nível de satsfação das estções λ µ (x) (=, 2, ) de (III.37) paa as quas a coespondente vaável folga tem valo nulo. Na fgua VIII.5 supomos que o AD consdeou dfeentes valoes paa os níves de aspação de cada uma das funções objectvo, Z 0 =PAsp.=[f (x) Asp., f 2 (x) Asp. ]=[7; 3], níves estes que são alcançáves. Consequentemente, os coespondentes valoes dos níves máxmos de toleânca (p) sofeam também alteação. Se pojectamos um vecto com a decção de encontamos o ponto PG. P' PAsp. sobe a fontea efcente Se tentamos esolve um poblema smla a (VIII.3), a solução obtda coesponde aos níves PAsp., com λ =.0. No entanto, se etamos a condção λ, de modo a alcançamos uma solução na fontea da egão efcente do poblema multobjectvo ncal, obtemos o ponto PG=(.38; 5.63) T (x=(3.98; 7.68) T ) com um valo de λ =.438. Peante este valo paa o nível máxmo de satsfação do conjunto de funções objectvo dfusas, podemos afma que, em elação aos níves (alcançáves) especfcados pelo AD, a solução encontada fcou a uma dstânca de (-λ) = (-.438) = (se consdeamos que a dstânca ente P e PAsp. coesponde à undade). Ou seja, a solução encontada satsfaz completamente os níves de aspação do AD, sendo 3 Recodemos que na abodagem dfusa as soluções efcentes são dstngudas não só pelos valoes das funções objectvo, como também pelos dfeentes valoes do nível de satsfação. Neste caso, po exemplo, x A e x D têm um valo de λ=0 e x B tem um valo de λ=

258 Capítulo VIII - Abodagens baseadas em pontos de efeênca vesus análse dfusa no apoo à decsão em poblemas de PLMO estes supeados em Po esta azão, o valo de λ apesentado na tecea coluna da tabela VIII. coesponde à undade, sendo-lhe adconada a nfomação (+0.438). Fgua VIII.5 - Exemplo lustatvo: níves de aspação alcançáves, Z0=[f (x) Asp. ; f 2 (x) Asp. ]=[7; 3]. O pocedmento explcado pevamente, o qual se basea na utlzação de funções membo modfcadas (assocadas a cada um dos objectvos/estções dfusos), fgua VIII.6(b), pode se ntepetado de modo smla ao apesentado po Wezbck (2000), no quado das metodologas de pontos de efeênca, consdeando funções de ealzação lneaes po pates σ (monótonas e côncavas), fgua VIII.6(c), onde o declve seá sempe o mesmo. (a) Função membo (b) Função membo modfcada (c) Função de ealzação Fgua VIII 6 - Semelhanças exstentes ente as funções membo modfcadas e as funções de ealzação lneaes po pates (funções objectvo a maxmza). Se, po exemplo, o AD aceta poa o valo da função objectvo f 2 (x) (7.387 e nas soluções PF e PG, espectvamente), pode consegu-lo aumentando o nível de aspação de f (x) (ou dmnundo o nível de aspação de f 2 (x)). A tecea solução calculada (valoes da quata coluna na tabela VIII.) fo obtda consdeando que o nível de aspação assocado a f (x) aumentou novamente paa 4, fgua VIII

259 VIII.3 - Exemplo Ilustatvo Fgua VIII.7 - Exemplo lustatvo: níves de aspação não alcançáves, Z0=[f (x) Asp. ; f 2 (x) Asp. ]=[4; 3]. O pocedmento nteactvo deve possegu (consdeando dfeentes níves de aspação e/ou eseva paa as funções dfusas pesentes no modelo) até o AD consdea que já eunu nfomação sufcente de modo a toma uma decsão bem fundamentada. VIII.3 Exemplo Ilustatvo Segudamente, emos utlza um modelo de PLMO paa planeamento enegétco smla ao estudado no capítulo anteo, o qual pemte analsa as nteacções enega ambente economa, com a fnaldade de lusta algumas das potencaldades da abodagem metodológca exposta. VIII.3. O modelo de PLMO paa planeamento enegétco No modelo que agoa vamos estuda são consdeadas quato funções objectvo: O nível de empego, a se maxmzado, como medda de bem esta socal. O poduto nteno buto, PIB, a maxmza, de modo a melhoa o desempenho da economa naconal. A mpotação de enega, a se mnmzada, dada a dependênca enegétca do país. As emssões de CO 2, a seem mnmzadas, devdas ao mpacto da utlzação dos ecusos enegétcos na polução atmosféca. Os valoes do PIB são quantfcados em mlhões de Euos (06 Euos), os do empego são dados em númeo de pessoas, os da mpotação de enega são expessos em undades físcas de enega, teps (toneladas equvalentes de petóleo), e os valoes das emssões de CO 2 em Kton (Klo toneladas) de dóxdo de cabono. 245

260 Capítulo VIII - Abodagens baseadas em pontos de efeênca vesus análse dfusa no apoo à decsão em poblemas de PLMO VIII.3.2 Alguns esultados Na tabela VIII.2 encontam-se apesentadas as caacteístcas das soluções báscas efcentes que optmzam ndvdualmente cada um dos objectvos. Esta tabela possblta ao AD conhece um conjunto de soluções efcentes com caacteístcas dstntas, de modo a obte uma pmea dea sobe as gamas de vaação dos valoes dos objectvos na egão efcente. Tabela VIII.2 - Soluções báscas efcentes que optmzam cada função objectvo ndvdualmente. Empego ( nº de pessoas) Impotação de enega (teps) PIB (M ) emssões de CO 2 (Kton) Max Empego Mn Impotação de Enega Max PIB Mn Emssões de CO p Incal = melho -po Se o AD aceta paa os valoes ncas dos níves de aspação e de eseva das dfeentes funções objectvo, espectvamente os óptmos ndvduas e os poes valoes de cada uma das colunas da tabela VIII.2 4, os valoes das toleâncas ncas, p, são os apesentados na últma lnha da tabela VIII.2 (estes valoes das toleâncas coespondem à dfeença ente os valoes destacados nas colunas, ou seja, paa a -ésma função objectvo p = Asp. -Res. ). A solução de Zmmemann coesponde aos valoes apesentados na segunda coluna da tabela VIII.3. Devdo ao facto de todas as vaáves folga ( slacks ) assocadas a µ(x) seem nulas, os espectvos valoes das funções membo gualam o nível de satsfação global, Se o AD deseja melhoa e/ou aceta poa alguns dos valoes das funções objectvo, pode então altea os valoes dos níves de aspação/eseva. Po exemplo, se o AD estve dsposto a elaxa o valo do objectvo empego (= na solução de Zmmemann), pode consegu-lo dmnundo o coespondente nível de eseva ou de aspação (e melhoando o nível de satsfação global). A segunda solução calculada (valoes da tecea coluna na tabela VIII.3) fo obtda consdeando que o nível de aspação assocado à função objectvo empego dmnuu % em elação ao valo (ncal) de p. Mas uma vez, todos os valoes das funções membo gualam o nível de satsfação global de 0.770, sgnfcando que o nível de aspação assocado à função objectvo empego pode anda se dmnuído, se o AD aceta, sendo consequentemente detemnadas dfeentes soluções efcentes possundo níves de satsfação global maoes. 4 Estes valoes podem não coesponde necessaamente aos poes valoes atngdos pelas dfeentes funções objectvo na egão efcente. 246

261 VIII.3 - Exemplo Ilustatvo Tabela VIII.3 Análse nteactva ao modelo de planeamento enegétco. Solução Zmmemann Aceta poa Empego () Aceta poa Empego (2) Aceta poa Emssões de CO 2 Melhoa PIB Empego Asp Impotação de Enega Asp PIB Asp Emssões de CO 2Asp Empego Res Impotação de Enega Res PIB Res Emssões de CO 2Res λ Empego Impotação de Enega PIB Emssões de CO Slack µ Empego slack µ Impotação de Enega Slack µ PIB Slack µ Emssões de CO A solução apesentada na quata coluna da tabela VIII.3 fo detemnada consdeando que o nível de aspação ncal assocado à função objectvo empego sofeu uma dmnução de 5% do valo (ncal) de p. Como a vaável folga ( slack ) assocada com µempego possu um valo não nulo paa esta solução, o coespondente valo da função membo é supeo ao nível de satsfação global de Se contnuamos a dmnu o valo do nível de aspação assocado ao objectvo empego a solução obtda não sofeá alteação. Suponhamos agoa que o AD também está dsposto a aceta um valo mao (po) paa as emssões de CO 2. Isto pode se consegudo aumentando o coespondente nível de eseva ou de aspação. Se o nível de aspação ncal assocado à função objectvo emssões de CO 2 sofe um aumento de 0% do valo (ncal) de p, obtemos a solução apesentada na qunta coluna da tabela VIII.3. As vaáves folga ( slacks ) assocadas com µempego e com µemssões CO2 possuem um valo não nulo nesta solução, sgnfcando que as coespondentes funções membo apesentam maoes valoes paa o nível de satsfação em elação ao nível de satsfação global de Se o AD deseja então melhoa a função objectvo PIB, pode aumenta (po exemplo) o coespondente nível de aspação, PIBAsp.. Na solução apesentada na sexta coluna da tabela VIII.3 o nível de aspação ncal assocado à função objectvo PIB sofeu um aumento de 20% em elação ao valo (ncal) de p. Repae-se que, nesta solução o valo do empego também fo melhoado. 247

262 Capítulo VIII - Abodagens baseadas em pontos de efeênca vesus análse dfusa no apoo à decsão em poblemas de PLMO Nos exemplos apesentados apenas modfcámos os valoes dos níves de aspação assocados às funções dfusas. No entanto, pode se efectuado um estudo semelhante alteando os coespondentes níves de eseva. VIII.4 Consdeações fnas Neste capítulo foam mostadas algumas semelhanças exstentes ente as metodologas de optmzação multobjectvo baseadas em pontos de efeênca e a abodagem dfusa apesentada po Zmmemann no domíno da PLMO (modelo smétco com solução ígda). A análse nteactva possbltada pela abodagem exposta faclta o pocesso de apendzagem, que do poblema, que da estutua de pefeêncas do AD. As pefeêncas do AD são manfestadas atavés da especfcação dos níves de aspação e de eseva assocados aos conjuntos dfusos envolvdos (funções objectvo e estções dfusas), os quas podem ncalmente toma os valoes da solução Ideal e Nad, espectvamente. Com base nas funções membo especfcadas pelo AD, é defnda uma decção de ncemento paa o valo do nível de satsfação do conjunto de objectvos e estções dfusos, λ, utlzando um acocíno análogo ao usado nas abodagens de pontos de efeênca e pemtndo uma flexblzação ao lmte supeo mposto a λ. Se a solução detemnada estve assocada a um valo do nível de satsfação supeo à undade (λ>), como aconteca na stuação apesentada na fgua VIII.5, então todas as funções objectvo e estções dfusas são completamente satsfetas e λ=. Neste caso, sea poposta ao AD uma solução com caacteístcas melhoes do que o ponto de efeênca, dado que os níves de aspação são alcançáves e a solução detemnada pela abodagem poposta se stuaá na egão efcente do poblema multobjectvo ncal. O AD pode também escolhe que valoes das funções dfusas envolvdas deseja melhoa ou aceta poa, sendo-lhe assm possível analsa dfeentes stuações. Tal como nas abodagens apesentadas em capítulos anteoes, não é equeda que a estutua de pefeêncas do AD seja consstente ao longo do estudo. 248

263 Capítulo IX Abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO Alguns autoes (Hansen et al., 989; Mámol e Pueto, 997) têm apesentado extensões da abodagem toleante poposta po Wendell (985, 984) paa poblemas de PLMO, onde o cálculo das soluções efcentes consste na optmzação da soma pesada das váas funções objectvo. Petende-se, neste caso, calcula a pecentagem máxma de toleânca paa os váos coefcentes de pondeação das funções objectvo, de tal modo que estes possam vaa, smultânea e ndependentemente, em elação aos seus valoes estmados, sem que uma solução efcente anteomente detemnada com esses pesos dexe de se óptma paa o espectvo poblema escala soma pesada (consdeando a possbldade de, eventualmente, se conhece a po alguma nfomação elatva à vaação de alguns pesos). Sendo as metodologas de pontos de efeênca (Wezbck, 983, 2000) uma feamenta também usada no cálculo do conjunto de soluções efcentes em poblemas de pogamação multobjectvo, de acodo com o conceto de decsão quase-satsfatóa poposto po Wezbck (ve capítulo II), evela-se nteessante a ntegação destas metodologas com os concetos fundamentas da abodagem toleante ncalmente popostos po Wendell (985) (Boges e Antunes, 2002b). Neste capítulo, apesentamos uma metodologa nteactva que pemte estuda o conjunto de soluções efcentes de poblemas de PLMO, a qual combna a abodagem de toleânca em análse de sensbldade com as metodologas de pontos de efeênca. A abodagem poposta tem como objectvo dota o AD de uma feamenta flexível e computaconalmente pouco oneosa que, face à nceteza neente à especfcação dos valoes dos pontos de efeênca dos váos objectvos, pemte ealza uma análse das caacteístcas do conjunto de soluções efcentes, ndependentemente destas soluções seem ou não vétces da egão admssível do poblema. A abodagem poposta pemte

264 Capítulo IX - Abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO eun, de modo nteactvo, nfomações sobe o poblema e os compomssos a faze ente os objectvos, com vsta à obtenção de uma solução de compomsso na qual se possa basea uma decsão fnal. Nesta abodagem é detemnado o valo da pecentagem máxma de toleânca paa os valoes dos pontos de efeênca das funções objectvo, ω*(x00%), paa o qual o coespondente hpe cubo no espaço dos objectvos (e com cento nos valoes dos pontos de efeênca estmados) é um subconjunto da egão cítca obtda consdeando um detemnado ponto de efeênca estmado qˆ (ve capítulo V), alcançável ou não. O estudo apesentado é pacalmente baseado em (Boges e Antunes, 2002b) e petende se uma pmea abodagem de técncas que se nos afguam smples e efcazes. Este capítulo está oganzado da segunte foma. Na secção é descta a manea como os concetos essencas das abodagens de pontos de efeênca e de toleânca em análse de sensbldade podem se ntegados, de modo a se possível analsa as soluções efcentes de poblemas lneaes multobjectvo. Segudamente, é poposta na secção 2 uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca em análse de sensbldade aos pontos de efeênca paa poblemas de PLMO, consttuída po 5 etapas, a qual pemte não só estuda o conjunto de soluções efcentes do poblema multobjectvo, como também analsa a establdade das soluções báscas efcentes peante vaações nos valoes dos pontos de efeênca estmados pelo AD. Os concetos pncpas da metodologa são lustados, de foma geométca atavés de um exemplo, na secção 3. Na secção 4, são efedas decções possíves de desenvolvmento futuo de nvestgação nesta áea, e na secção 5 são tecdas algumas conclusões. IX. Concetos ntodutóos A exstênca de mas que uma função objectvo leva à necessdade da caactezação do conjunto das soluções efcentes, podendo esta se efectuada po meo de dfeentes metodologas, as quas usam técncas dstntas e/ou equeem dvesos tpos de envolvmento do AD. Em geal, são usados dos tpos pncpas de pogamas escalazantes que possbltam calcula soluções efcentes em poblemas de pogamação lnea: a optmzação de uma soma pondeada das funções objectvo e a mnmzação de uma dstânca a pontos de efeênca. As componentes do ponto de efeênca (não necessaamente alcançáves) epesentam níves que o AD deseja atng ou ultapassa paa os valoes das váas funções objectvo. 250

265 IX. - Concetos ntodutóos Consdeemos a vesão smplfcada da função escalazante (de ealzação), usada T p paa pojecta o ponto de efeênca, q = (q,..., q,..., q p ) R, na egão efcente, efeda no capítulo II : p σ ( q, z) = max (q z ) + ε (q z ), (IX.) p = onde ε toma um valo postvo elatvamente pequeno. A solução óptma do segunte poblema: p max α + ε = z (IX.2) s. a. z - α q ; =,..., p x X, α R paa um detemnado vecto q, é uma solução efcente do poblema de PLMO (II.) (Wezbck, 982; Lewandowsk e Wezbck, 989; Wezbck et al., 2000). IX.. O poblema Se foem consdeados paâmetos de petubação assocados aos valoes dos pontos de efeênca paa as funções objectvo, q R p, a extensão da abodagem toleante ao poblema (IX.2) estuda o segunte poblema petubado (Boges e Antunes, 2002b): p max α + ε = z (IX.3) s. a. z - α qˆ + q δ ; =,...,p x X, α R, onde cada q tem um valo especfcado pelo AD e δ epesenta um paâmeto multplcatvo de q. Mas especfcamente, se q = qˆ então δ epesenta uma pecentagem de desvo em elação ao valo estmado qˆ. IX..2 Intepetação geométca Consdeemos o exemplo bobjectvo apesentado na fgua IX. e sejam os valoes estmados paa o ponto de efeênca as componentes do ponto qˆ. Repae-se que esta função coesponde à anteomente apesentada na equação (II.33), paa e o poblema defndo po (IX.2) coesponde ao poblema (II.35), a menos da pacela constante. q = q, 25

266 Capítulo IX - Abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO Pela análse geométca da fgua IX. podemos faclmente conclu que todos os pontos do nteo (nclundo a fontea) do ectângulo com vétce em P (epesentado a sombeado), quando pojectados na fontea da egão efcente conduzem a uma solução que pode se obtda pela combnação convexa das soluções báscas P B e P C (como acontece com a solução efcente P F ). Este conjunto de pontos consttu a egão de toleânca paa a vaação, smultânea e ndependente, dos valoes das componentes do ponto de efeênca, qˆ, obtda po ntemédo da abodagem toleante em análse de sensbldade, de modo análogo ao efectuado po Wendell (985) (em elação aos coefcentes dos temos ndependentes das estções ou/e da função objectvo dum modelo lnea monobjectvo). 252 Fgua IX. Regão de toleânca paa os pontos de efeênca, consdeando q ˆ = q 0 = [4.0, 7.5] T. Em temos geométcos, pocua-se o mao dos ectângulos (hpe paalelepípedos ectangulaes, se o númeo de funções objectvo fo supeo a 2) centado nos valoes estmados paa o ponto de efeênca, qˆ, de tal modo que se pojectamos todos os pontos do nteo do ectângulo na fontea efcente alcançamos uma solução que pode se obtda pela combnação convexa das mesmas soluções báscas efcente do poblema multobjectvo. Este ectângulo epesenta a egão de toleânca paa os valoes dos pontos de efeênca. Com base nesta egão podemos calcula a pecentagem máxma de toleânca, ω*(x00%), de tal modo que se algumas componentes selecconadas não vaaem mas do que a efeda pecentagem, em elação aos valoes estmados, qˆ, somos conduzdos a soluções petencentes a uma aesta efcente (ou hpe face efcente, se o númeo de funções objectvo fo supeo a 2 ) do poblema multobjectvo. Os compmentos dos lados dos ectângulos estão elaconados com os valoes das toleâncas espectvas. O valo da toleânca máxma, ω*, enconta-se assocado ao meno dos ectângulos ente os detemnados. Note-se que esta egão de toleânca deveá esta dento da egão cítca das componentes do ponto de efeênca das funções objectvo, obtda po um estudo de análse

267 IX. - Concetos ntodutóos de sensbldade tadconal, paa uma detemnada base óptma do poblema (IX.2) em estudo (usando qˆ ). A pat da análse geométca da fgua IX.2 podemos também conclu que todos os pontos do segmento de ecta [T, U] (com T=(4.0, 5,0) e U=(4.0, 25,0)), assm como todos os pontos do segmento de ecta [X, Y] (com X=(6.5, 7,5) e Y=(6.5, 7,5)), quando pojectados na fontea da egão efcente esultam numa solução que pode se obtda pela combnação convexa das soluções báscas P B e P C (po exemplo, na solução efcente P F ). Estes ntevalos são os detemnados po ntemédo de análse sensbldade tadconal, [ mn max q, q ] = [6.5, 6.5] e [ mn max q 2, q 2 ] = [5.0, 25,0], e com base neles é possível defn a egão cítca paa as componentes do ponto de efeênca. Fgua IX.2 Intevalos obtdos paa os pontos de efeênca po ntemédo de análse sensbldade, q ˆ = q 0 = [4.0, 7.5] T. Paa o exemplo lustatvo das fguas IX. e IX.2, esta egão cítca pode se defnda po ntemédo dos vectoes que são pojectados nos pontos P C e P B, espectvamente Ou seja, todos os pontos sobe ectas paalelas ao vecto XU (ou TY ) e que ntesectem pontos do segmento de ecta [X, Y] (ou [T, U]) petencem à egão cítca coespondente. As equações coespondentes aos dos semplanos assnalados na fgua IX.3 podem se defndas po: ( q 2 - ( 2 max 2 mn max 2 q ) ( q - qˆ ) ( qˆ 2 - q ) ( q - qˆ ) mn 2 max mn 2 (IX.4.()) q - q ) ( q - qˆ ) ( q - qˆ ) ( qˆ 2 - q ) (IX.4.(2)) Dada uma base óptma B do poblema (IX.2), esta egão cítca paa as componentes do ponto de efeênca das funções objectvo pode também se caactezada po ntemédo do segunte conjunto: R q ={q: B - [q b] 0}, (IX.5) 253

268 Capítulo IX - Abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO onde b epesenta o vecto dos m temos ndependentes das estções funconas do modelo ncal. Fgua IX.3 Regão cítca paa os pontos de efeênca, consdeando q ˆ = q 0 = [4.0, 7.5] T. Em poblemas lneaes esta egão cítca é sempe um polítopo e a egão de toleânca máxma estaá sempe contda nesta egão cítca. IX.2 Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO A metodologa nteactva de abodagem de toleânca poposta, a qual pemte analsa o conjunto de soluções efcentes face à vaação do ponto de efeênca, consste nas seguntes etapas:. Calcula as soluções que optmzam ndvdualmente cada uma das funções objectvo de modo a popocona ao AD uma pmea vsão das caacteístcas da egão efcente (detemnação da tabela de pay-off ). Se o AD se mosta nteessado em conhece mas soluções báscas efcentes com caacteístcas dstntas, estas podem se calculadas, nesta fase ncal, pela esolução de um poblema escala que optmze uma soma pondeada das funções objectvo, como defndo em (II.28). 2. O AD deve ndca os valoes estmados paa os níves de efeênca dos váos objectvos: q 0 (teação t=0). Se o AD não se sent capaz de especfca esses valoes devem se consdeados aqueles que coespondem ao óptmo de cada função objectvo na egão admssível. 3. Resolve o poblema (IX.2) com vsta a detemna uma solução efcente paa o poblema multobjectvo. 254

269 IX.2 - Uma metodologa nteactva de abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO 4. Apesenta ao AD os esultados obtdos, nclundo os ntevalos de vaação ndependente de cada componente do ponto de efeênca, [ q mn max, q ], =,..., p, obtdos po ntemédo de um estudo de análse de sensbldade tadconal, assm como o valo da toleânca máxma, ω* (ve capítulo V) Este valo de ω* epesenta quanto os valoes do ponto de efeênca podem vaa, smultânea e ndependentemente, em elação aos seus valoes estmados mantendo-se a base óptma do poblema (IX.2) em t estudo, detemnada paa q. 5. Se o AD se mosta satsfeto com os esultados já detemnados, o pocesso nteactvo pode se concluído. Caso contáo, o AD deve especfca valoes dfeentes paa os níves estmados do ponto de t+ efeênca q (teação t+). Se elatvamente aos dfeentes q t (já h analsados até à teação t), consegumos enconta um, q, elatvamente ao qual apenas um dos valoes dos níves estmados fo alteado mas anda se stua dento da coespondente gama detemnada po análse de sensbldade, ou tendo sdo modfcados mas que um dos níves estmados estes espetam a pecentagem máxma de toleânca calculada pevamente, então a nova solução efcente pode se faclmente detemnada pelo cálculo de x t+ B = B - h [b q ] T e z t+ = C B B - h [b q ] T, consdeando as matzes B - e C B apopadas. O pocesso nteactvo contnua, com t=t+, na etapa 4. Caso contáo, tona-se necessáo etona à etapa 3 e esolve o coespondente poblema (IX.2) desde níco, paa a teação t=t+. IX.3 Exemplo lustatvo Paa lusta a metodologa poposta consdeemos o segunte poblema com duas funções objectvo e quato estções funconas (Zmmemann, 983) já usado em capítulos anteoes (em patcula, nos capítulos III e VIII): s. a. max z = X = f f 2 = - x 2 x - x + 3 x 2 2 x + 3 x x + 3 x x + x 2 30 x R 2, x 0 + 2x 2 + x 2 (c) (c2) (c3) (c4) (IX.6) Incalmente são apesentadas ao AD as soluções báscas efcentes que optmzam ndvdualmente cada uma das funções objectvo, as soluções báscas efcentes P A e P D, já anteomente apesentadas no espaço dos objectvos das fguas IX. a IX.3. As caacteístcas destas soluções encontam-se desctas na tabela IX.. 255

270 Capítulo IX - Abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO Tabela IX. Soluções báscas efcentes ncas (do poblema ncal (IX.6)). Solução f f 2 x B P (max f A ) ( x 2, s_c2, s_c3, s_c4) = (7.0, 6.0, 24.0,23.0) P (max f D 2 ) ( x, x 2, s_c, s_c2) = (9.0, 3.0, 2.0,9.0) O AD pode mosta-se nteessado em conhece outas soluções báscas efcentes do poblema ncal com caacteístcas dfeentes. Po exemplo, utlzando uma metodologa baseada na soma pesada das funções objectvo é possível calcula as soluções báscas efcentes P B e P C da tabela IX.2 (e apesentadas no espaço dos objectvos das fgua IX. a IX.3). Tabela IX.2 Outas soluções báscas efcentes (do poblema ncal (IX.6)). Solução f f 2 x B P B ( x, x 2, s_c3, s_c4) = (3.0, 8.0, 9.0,3.0) P ( x C, x 2, s_c, s_c4) = (6.0, 7.0, 6.0,5.0) Consdeemos que o AD especfca como valoes estmados paa os níves de 0 efeênca q =[4.0, 7.5] T. Na etapa 3 é esolvdo o segunte poblema: max s. a. α + α + ε ( x + 3x2 ) (IX.7) - x + 2x -α+ 2 + α 4.0 2x + x 2 -α+ + α 7.5 x X, α+ 0, α 0. (c5) (c6) Os valoes óptmos paa o poblema (IX.7) são apesentados na tabela IX.3. As vaáves s_c a s_c6 epesentam as vaáves folga ( slacks ou suplus ) assocadas às estções (c) a (c6), espectvamente, e α = α + α. Tabela IX.3 Quado ncal e óptmo paa o poblema (IX.7). x B x x 2 α + α s_c s_c2 s_c3 s_c4 s_c5 s_c6 Quado ncal s_c s_c s_c s_c s_c s_c

271 IX.3 - Exemplo llustatvo Quado óptmo x / /0-3/ α / /2 -/ s_c /0 0-9/0 9/ s_c /5 0-8/0 8/0 x / /0 / s_c / /5-3/ x B = [ x, α, s_c3, s_c4, x 2, s_c] T = [3.75, 2.25, 6.75,, 7.75,.5] T, os valoes dos objectvos são z 0 =[.75, 5.25] T (solução efcente PF) e a matz B - assocada a esta solução do poblema (IX.7) é - B = /0 3/6 3/0 3/5 3/0 4/ /0 /2 9/0 8/0 /0 3/5 3/0 /2 9/0 8/0 /0 3/5 Juntamente com esta nfomação, são também fonecdos ao AD os seguntes esultados:. As gamas obtdas paa vaação ndependente do valo de cada componente do ponto de efeênca, detemnadas po um estudo de análse de sensbldade (tadconal) 2, as quas podem se confmadas pela obsevação da fgua IX.2: q [6.5; 6.5] e q 2 [5; 25], espectvamente. Pode também se concluído que paa q [6.5; 9.5[ 3 o valo de α é negatvo e tona-se postvo paa q ]9.5; 6.5]. Estas conclusões podem também se obtdas a pat da análse da fgua IX Usando a abodagem toleante sabemos que a base óptma do poblema (IX.7) (assocada à solução P F ) se manteá óptma desde que os valoes de cada componente do ponto de efeênca das funções objectvo não vaem,. 2 mn q = q + max{-6.75/(9/0), -/(8/0), -7.75/(/0)} = 6.5; max q = q + mn{-3.75/(-3/0), -.5/(-3/5)} = 6.5; mn q 2 = q 2 + max{-3.75/(3/0), -.5/(3/5)} = 5; max q 2 = q 2 + mn{-6.75/(-9/0)}, -/(-8/0), -7.75/(-/0)} = Se os valoes assocados a α (segunda vaável básca no quado óptmo apesentado na tabela IX.3) fossem também consdeados no cálculo de seam obtdos os valoes mn q = q +(-2.25/(/2))=9.5; mn q 2 = q 2 +(-2.25/(/2)=3. mn q e mn q 2 (devdo aos seus valoes postvos em B ) 257

272 Capítulo IX - Abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO smultânea e ndependentemente, mas do que ω*(x00%)=7.9365% 4 em elação aos valoes estmados q 0 =[4.0, 7.5] T. Assm sendo, a base efcente do poblema multobjectvo (IX.6) assocada à solução P F mante se á efcente desde que o valo do ponto de efeênca coespondente a f ( q ) vae no ntevalo [2.8889; 5.] e, smultaneamente, o valo do ponto de efeênca coespondente a f 2 ( q 2 ) vae no ntevalo [6.; ]. A egão de toleânca paa este poblema é mostada na fgua IX. (ectângulo mas pequeno, de vétce em P e epesentado a sombeado). Note-se que a egão cítca paa os valoes estmados dos níves de efeênca apesentada na fgua IX.3, pode se defnda, em confomdade com (IX.5), po: R q ={q: B - [q b] 0} ={q: /0 0 /2 0 3/0 3/5 0 3/0 0 4/ /0 0 /2 0 9/0 8/0 0 /0 0 3/5 ou seja, pode se caactezada pela ntesecção das estções: 3/0 /2 9/0 8/0 /0 3/ , 30 q q 2 27/0-3/0q +3/0q 2 0 q - q 2 9 () (-27/2 +/2q +/2q 2 0, vaável básca α, deve se despezada) (2) -3*27/ /0q -9/0q 2 0 q - q 2 - (3) -3*27/ /0q -8/0q 2 0 q - q 2-69/4 (4) 3*27/0 +/0q -/0q 2 0 q - q 2-8 (5) 2-4*27/5-3/5q +3/5q 2 0 q - q 2 - (6) Como as estções (), (4) e (5) são edundantes e a (2) não deve se consdeada (pos enconta-se assocada à vaável básca α ), fcam apenas (3) e (6), as quas coespondem, espectvamente, às estções que se obtêm po ntemédo de (IX.4.()) e de (IX.4.(2)): q - q 2 - (3) q - q 2 - (6) Suponhamos que, com base na nfomação já conhecda, o AD decde especfca novos valoes estmados paa as componentes do ponto de efeênca, q =[4.0, 2] T. Uma vez que, elatvamente aos níves de efeênca q 0, apenas q 2 sofeu alteação mas a vaação enconta-se dento da gama espectva, obtda na teação 0 q, 4 mn { 3.75/( -3/0 *4+ 3/0 *7.5), 6.75/( 9/0 *4+ -9/0 *7.5), /( 8/0 *4+ -8/0 *7.5), 7.75/( /0 *4+ -/0 *7.5),.5/( -3/5 *4+ 3/5 *7.5) } =.5/( -3/5 *4+ 3/5 *7.5) = %. Repae-se que o valo de α é sempe negatvo, uma vez que 2.25 /( /2 *4 + /2 *7.5) = % é mao do que o valo da pecentagem de toleânca máxma, %. 258

273 IX.3 - Exemplo llustatvo anteo paa a vaação ndependente deste componente do ponto de efeênca po um estudo de análse de sensbldade (tadconal), a últma base efcente mantém-se efcente e as caacteístcas da nova solução efcente podem se calculadas dectamente po x = B [ b q] T = [4.8, 4, 3.6, 8.2, 7.4, 3.6] T e z C B [ b q] T B = B =[0, 7] T. Fgua IX.4 Intevalos obtdos paa os pontos de efeênca po ntemédo de análse sensbldade, q ˆ = q = [4, 2] T. O pocesso nteactvo possegue na etapa 4.. As gamas obtdas paa a vaação ndependente do valo de cada componente do ponto de efeênca, obtdas pela análse de sensbldade, são agoa espectvamente: q [0; 20] e q 2 [5; 25], fgua IX.4. A pat desta fgua (bem como dos esultados analítcos) pode também se concluído que o valo de α é sempe negatvo ( α é uma vaável básca). 2. A abodagem toleante possblta-nos sabe que a base óptma do poblema (IX.7) (anteomente detemnada e assocada à solução P F, e também a z ) contnuaá óptma desde que os valoes de cada componente do ponto de efeênca das funções objectvo não vaem, smultânea e ndependentemente, mas do que ω*(x00%)=.4286% elatvamente aos seus valoes estmados q =[4.0, 2] T. Ou seja, a base efcente do poblema multobjectvo (IX.6) mante-se-á efcente desde que os valoes do ponto de efeênca coespondentes a f ( q ) vaem no ntevalo [2.40; ] e, smultaneamente, os valoes do ponto de efeênca coespondentes a f 2 ( q 2 ) vaem no ntevalo [8.60; ]. Como anteomente, o valo de α é sempe negatvo. A egão de toleânca paa este poblema é mostada na fgua IX.5 (ectângulo mas pequeno epesentado a sombeado). 259

274 Capítulo IX - Abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO Fgua IX.5 Regão de toleânca paa os pontos de efeênca, consdeando q ˆ = q = [4, 2] T. Suponhamos que, neste momento, o AD especfca novos valoes estmados paa 2 as componentes do ponto de efeênca, q =[6.67, ] T. 0 Relatvamente aos níves de efeênca já analsados ( q e q ), ambas as componentes sofeam alteação não tendo sdo espetados os ntevalos de toleânca paa a vaação, smultânea e ndependente, dos valoes de q e q 2. Fgua IX.6 Regão de toleânca e ntevalos obtdos po ntemédo de análse sensbldade paa os pontos de efeênca, consdeando q ˆ = q 2 = [6.67, ] T. 260

275 IX.4 - Outos desenvolvmentos O pocesso teatvo etona à etapa 3 onde é necessáo esolve um poblema smla a (IX.7): max s. a. α + α + ε ( x + 3x2 ) (IX.8) + - x + 2x -α + α x + x -α + α 2 x X, α+ 0, α 0. (c7) (c8) Os esultados coespondentes encontam-se esumdos no gáfco apesentado na fgua IX.6. Como ea de espea, a base efcente paa o poblema (IX.6) anteomente calculada esolvendo o poblema (IX.7) (assocada às soluções P F e z ), e que conduza a soluções efcentes que podem se detemnadas po combnação convexa das soluções báscas P B e P C (ou seja, stuadas sobe a aesta efcente que une os pontos P B e P C ), sofeu alteação. A esolução do poblema (IX.8) esulta na solução da fontea efcente, z 2, que se localza sobe a aesta que une as soluções báscas P A e P B. Ou seja, as soluções efcentes do poblema multobjectvo (IX.6) calculadas atavés da nova base (assocada à solução z 2 ) coespondem agoa àquelas que se obtêm pela combnação convexa das soluções báscas efcentes P A e P B. IX.4 Outos desenvolvmentos A metodologa apesentada na secção 2 e lustada na secção anteo sntetza um pmeo esfoço de nvestgação nesta áea, onde se tenta ntega a abodagem toleante aos pontos de efeênca assocados aos objectvos de um modelo de PLMO com as metodologas de pontos de efeênca. Este tópco de nvestgação posseguá no futuo, em patcula tendo em conta as pstas de desenvolvmento segudamente menconadas. Po exemplo, paece-nos vável ntega no estudo anteo a exstênca a po de nfomação elatva a gamas de vaação de algumas componentes dos pontos de efeênca das funções objectvo, de modo a obteem-se maoes valoes paa as pecentagens máxmas de toleânca. Caso não seja especfcada pelo AD nfomação adconal, podemos expand a egão de toleânca obtda anteomente, nas váas decções (e sentdos) possíves, até que os vétces dessa egão atnjam os hpeplanos que lmtam a egão cítca coespondente aos pontos de efeênca estmados, utlzando um acocíno smla ao da abodagem expandda explcada no capítulo V (Wondolowsk, 99; Wendell, 992). Neste caso, dexaíamos de consdea apenas um valo de toleânca máxmo e passaíamos a detemna um valo paa cada componente ndvdualmente. Paa o nosso exemplo bobjectvo, a egão de toleânca apenas apaeceá alagada numa dmensão dado que temos duas componentes no vecto coespondente aos 26

276 Capítulo IX - Abodagem de toleânca aos pontos de efeênca em poblemas de PLMO pontos de efeênca. Po exemplo, com os valoes estmados paa os níves de efeênca 0 q =[4.0, 7.5] T, passaíamos a consdea não apenas o meno valo de %, mas também o valo % (o qual coesponde a 6.75/( 9/0 *4+ -9/0 *7.5)). As soluções báscas efcentes, a pat das quas podemos detemna a solução efcente P F po combnação convexa (de P B e P C ), pemtão também calcula todas as soluções efcentes paa as quas os valoes do ponto de efeênca coespondentes a f ( q ) vaem no ntevalo [0.6667; 5.] e, smultaneamente, os valoes do ponto de efeênca coespondentes a f 2 ( q 2 ) vaem no ntevalo [6.; ]. A coespondente egão de toleânca paa este poblema é mostada na fgua IX.7 (ectângulo de vétces opostos P e P ). Fgua IX.7 A egão de toleânca expandda paa os pontos de efeênca, consdeando, q ˆ = q 0 = [4.0, 7.5] T. Um dos objectvos petenddos com este tabalho conssta na nvestgação de algotmos pouco pesados computaconalmente, que possbltassem constu feamentas de natueza nteactva paa apoo ao AD no estudo da egão efcente, e na análse da establdade das soluções báscas efcentes, face a alteações nos níves de efeênca das funções objectvo do modelo. Na metodologa poposta, o cálculo de soluções efcentes efectua-se sempe que possível a pat das detemnadas pevamente. Exstem, no entanto, stuações que, emboa tenham sdo nvestgadas e possam se lustadas com este exemplo smples (ou com outos possundo apenas 2 objectvos), necesstam de um estudo teóco mas apofundado, nomeadamente paa modelos com mas de dos objectvos. Po exemplo, se após a pmea nteacção, o AD tvesse especfcado como novos valoes estmados paa as componentes do ponto de efeênca q ' =[7.0, ] T, com a metodologa poposta anteomente seíamos conduzdos à etapa 3, onde é necessáo esolve um poblema smla a (IX.7), esultando uma solução efcente que pode se obtda a pat das mesmas soluções báscas que a solução P F (soluções báscas efcentes P B e P C ). 262

277 IX.4 - Outos desenvolvmentos Analsando as fguas IX.8 e IX.3 vefcamos que a egão cítca assocada a ' q 0 estes 2 pontos de efeênca ( q e ) é a mesma, emboa as egões de toleânca e os ntevalos obtdos po um estudo de análse de sensbldade (tadconal) paa a vaação ndependente do valo de cada componente do ponto de efeênca não se encontem elaconados. ' Fgua IX.8 Regão cítca paa os pontos de efeênca, consdeando qˆ = q = [7, ] T. Se conseguíssemos defn analtcamente a egão cítca, e pudéssemos (de algum modo) usa essa caactezação nas etapas 4 e 5 da metodologa apesentada em IX.2, o algotmo poposto tona-se-a mas efcente (computaconalmente menos pesado). Consdeemos novamente a fgua IX.3, onde X = ( q, qˆ 2 ), U = ( qˆ, Y = ( q, qˆ 2 ) e T = ( qˆ, ). Comecemos po analsa o semplano () assnalado. max mn q 2 mn max q 2 ), Qualque vecto (do espaço) que tenha níco no ponto U e temne num ponto max q=( q, q 2, 0), do semplano coespondente, Uq =( q - qˆ, q 2 - q 2, 0), faá sempe mn um ângulo ente 0º e 80º com o vecto XU = ( qˆ - q, Consdeemos e f 3 petencem XU e Uq, e tal que ( e f 3 poduto tplo 5 e f 3 max q 2 - qˆ 2, 0). =(0, 0, ) um vecto untáo pependcula ao plano ao qual.( Uq x XU ) 0., Uq, XU ) é uma base decta em 3 R. Então o 5 O valo absoluto do poduto tplo de tês vectoes epesenta o volume da fgua geométca defnda po esses tês vectoes. Quando os tês vectoes consdeados foem complanaes, este poduto tplo seá nulo. Quando os tês vectoes fomam uma base decta no espaço, então o poduto tplo é 0, e defnem uma fgua que se stua completamente no semespaço ao qual petencem os vectoes. Quando fomam uma base nvesa no espaço, então o poduto tplo é 0, e a fgua po eles defnda á stua-se completamente no outo semespaço. 263

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