ALGORITMO DE SUAVIZAÇÃO HIPERBÓLICA PARA O PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE ESTAÇÕES DE RÁDIO BASE

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1 ALGORITMO DE SUAVIZAÇÃO HIPERBÓLICA PARA O PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE ESTAÇÕES DE RÁDIO BASE José Andé de M. Bto IBGE Insttuto Basleo de Geogafa e Estatístca emal: btom@bge.gov.b Adlson Elas Xave COPPE-SISTEMAS Unvesdade Fedeal do Ro de Janeo - UFRJ emal: adlson@cos.uf.b Ilha do Fundão RJ C.P RESUMO Neste tabalho consdeamos uma nova metodologa de solução paa o poblema de localação de estações de ádo base (MATEUS[6]). A fomulação matemátca paa solução deste poblema está assocada a um modelo mn-max-mn (XAVIER[9]) ue além da sua natuea ntínsecamente mult-nível tem a sgnfcatva caacteístca de se não dfeencável (SANTOS[8]). Com a fnaldade de contona estas dfculdades desenvolvemos uma estatéga de suavação utlando uma função suavadoa especal da classe C. A solução fnal é obtda pela solução de uma seüênca de subpoblemas dfeencáves ue gadualmente apoxmam-se do poblema ognal (CHAVES[][3]). O uso desta técnca chamada Suavação Hpebólca pemte contona as pncpas dfculdades apesentadas no poblema ognal. Um algotmo contendo as essencaldades do método é apesentado. Paa fns de lustação da solução do poblema e das potencaldades da metolodoga um conunto de esultados computaconas é apesentado. Palavas-chave: Suavação Localação e Mn-Max-Mn ABSTRACT Ths wok consdes a new soluton methodology: the base staton locaton poblem (MATEUS[6]). The mathematcal fomulaton fo soluton ths poblem s assocated the mnmax-mn (XAVIER[9]) poblem whch n addton to ts ntnsc mult-level natue has the sgnfcant chaactestc of beng non-dffeentable (SANTOS[8]). In ode to ovecome these dffcultes we have developed a smoothng stategy usng a specal smoothng functon of class C. The fnal soluton s obtaned by solvng a seuence of dffeentable subpoblems whch gadually appoaches the ognal poblem (CHAVES[][3]). The use of ths technue called Hypebolc Smoothng pemts ovecome the man dffcultes pesented by the ognal poblem. An algothm contanng the essentaltes of the method s pesented. Fo puposes of llustatng the soluton of the poblem and the potentaltes of the method a set of computatonal esults ae pesented. Keywods: Suavaton Locaton and Mn-Max-Mn

2 . Intodução Neste tabalho popomos uma nova metodologa de solução paa o poblema ue é um dos pontos chave no planeamento de uma ede de telefona celula. O poblema de localação de estações de ádo base (ERB s) consste em selecona dento de um conunto de locas canddatos (egão em estudo) à nstalação de uma ERB um subconunto de custo mínmo e sueto à cobetua da áea em estudo ao atendmento da demanda e a uma exploação efcente do especto de feüêncas. Nomalmente paa este pocesso não há nenhum modelo de pogamação matemátca ue detemne uas ERB s devem se nstaladas nos locas canddatos. E sendo assm o planeamento fa uso apenas de modelos de popagação de snas (MATEUS[6]). Dependendo então da dmensão da egão em estudo ou sea do númeo de pontos a seem atenddos (usuáos) e do númeo de ERB s canddatas à nstalação nesta egão o númeo de soluções possíves mplementáves pelo planeamento pode se aoavelmente gande. E em vtude dsto o pocesso de detemnação de localação das ERB s utlado pelo planeamento pode fonece uma solução apenas aoável compometendo em alguns casos a ualdade e os custos com eupamentos. Popomos então neste tabalho uma nova abodagem paa a solução do poblema de localação de estações de ádo base. Essa abodagem está baseada num modelo de ceta foma clássco cuo desenvolvmento podu um poblema mn-max-mn (CHAVES[][3] e XAVIER[9]). Esse poblema po possu tês níves e po se não-lnea e não-dfeencável ( SANTOS[8]) e nomalmente de gande pote é extemamente dfícl. A sua esolução nesse tabalho seá efetuada atavés da utlação em conunto das técncas de suavação e penalação hpebólca (XAVIER[0]). A apesentação deste tabalho está dvdda em uato seções: Na seção temos a descção do poblema de localação de estações de ádo base na seção 3 temos o desenvolvmento do modelo mn-max-mn utlado paa esolve o poblema de localação de ERB s e a apesentação do algotmo de suavação hpebólca. Na seção 4 temos a apesentação de uma modelagem vaante poposta paa o poblema de localação de ERB s e na seção 5 temos a apesentação dos esultados computaconas e das conclusões.. Defnção do Poblema O poblema de localação de estações de ádo base (ERB s) consste em selecona dento de um conunto de locas canddatos à nstalação de uma ERB um subconunto de custo mínmo e sueto à cobetua da áea em estudo ao atendmento da demanda e a uma exploação efcente do especto de feüêncas. Quanto meno o númeo de ERB s nstaladas meno seá o custo. Po outo lado o atendmento da demanda e a ualdade do sevço podem se peudcados. A localação das estações de ádo base pode esta elaconada a tês dfeentes obetvos: a cobetua total ou máxma o máxmo apovetamento espectal e o máxmo númeo de canas po usuáo (MATEUS[6]). No caso deste tabalho fo estudada uma vaação do poblema de localaçaõ ERB s. Dado um númeo fxo de ERB s epesentado po o obetvo é locala estas estações de ádo 905

3 base ou sea detemna as suas coodenadas de localação de foma a fonece a cobetua total paa a egão em estudo utlando a meno potênca de tansmssão possível. Paa a esolução desse poblema apesentamos na seção a segu a nova modelagem poposta (BRITO[] XAVIER[9]) e uma modelagem vaante ue consdea o aspecto da poxmdade de algumas estações de ádo base de locas canddatos canddatos à nstalação pé-defndos obsevando ue na modelagem vaante também é contemplado o aspecto de cobetua total. 3. Modelagem Poposta Consdee uma egão em estudo paa a ual se deve nstala um conunto de estações de ádo base (ERB s) a fm de pove a cada ponto desta egão um bom nível de cobetua (MATEUS[6]) assocado a sevços de telefona móvel / celula e ao mesmo tempo edu os custos de eupamento (mnma o númeo de ERB s). Do ponto de vsta da nova modelagem poposta paa este poblema defnmos esta egão a se cobeta po S sendo S R ; po consegunte cada ponto a se cobeto é defndo po s tal ue s S. Defnmos também as coodenadas x R ( =... ) ue epesentam os centos dos cículos ue cobão a egão S. Estes centos estão assocados aos pontos de localação das ERB s e seão obtdos no decoe do pocesso de esolução do poblema. Vale essalta ue a medda dos aos dos cículos também obtda na esolução do poblema epesentaá o ao de cobetua de cada ERB. Esse ao é po sua ve função da potênca de tansmssão da antena (MATEUS[6]). Obsevamos ue essa modelagem tem um caáte de pmea apoxmação paa o poblema de localação de ERB s e ao mesmo tempo um ponto de patda paa as modelagens subseüentes ue popomos paa este poblema (BRITO[] XAVIER[9]). Fonecdo então um ponto genéco s da egão S devemos calcula ncalmente a dstânca deste ponto ao cento do cículo mas póxmo ou sea ual a estação de ádo base ue está mas póxma deste ponto. d( s x) = mn ( s x ) () =... A dstânca d ( s x) fonece uma medda da cobetua de um ponto s S. Uma medda da ualdade da cobetua da egão S pelos cículos (ERB s) é dada pela mao dstânca d ( s x) ou sea ual ponto tem sua estação mas póxma stuada à uma mao dstânca (cobetua mas cítca). D( x) = max d(sx) () s S A localação ótma das estações de ádo base deve epesenta a melho ualdade de cobetua da egão S sto é deve mnma a cobetua mas cítca de foma ue não tenhamos pontos s S descobetos. mn D( x) (3) x Após esta análse temos entãoo segunte poblema: mn x max s S mn ( s x =... ) (4) 906

4 3. Resolução do Poblema Paa ue sea obtda a solução numéca de (4) devemos dsceta a egão S em um conunto fnto de pontos s =... m ue são os pontos da egão ue seão atenddos pela ERB s. Desta manea obtemos então o segunte poblema: mn max mn ( s x x =... m =... ) (5) Obsevamos ue no nível mas nteno de (5) paa cada ponto s devemos esolve o subpoblema: mn( s x ) (6) =... Denomnamos po (x) a solução de (6) assocada a um ponto s : =... m da egão S ( x) = mn( s x ) (7) =... ou sea paa cada ponto s da egão S deve-se defn a sua estação de ádo base assocada mas póxma com coodenadas x e o seu ao de cobetua (x). Dessa foma (x) deve satsfae necessaamente ao conunto de desgualdades: ( x) s x 0 =... (8) No nível ntemedáo de (5) temos o segunte poblema: max =... m ue coesponde à medda da po cobetua assocada ao posconamento x do conunto de estações. ( x) Consdeando (x) como valo ótmo deste poblema temos: (9) ( x) ( x) =... m (0) Obsevamos ue no nível mas exteno de (5) não há alteação se dssocamos e x. Desta foma obtemos o segunte poblema euvalente: Mnma () Sueto a = mn =... s =... m x =... m (.) (.) 907

5 Com base nas estções de (8) e () defnmos o segunte poblema: Mnma () Sueto a s x 0 =... m =... m =... (.) (.) Poém devemos obseva ue o poblema () não euvale ao poblema (5) uma ve ue as desgualdades (.) não gaantem esttamente o cumpmento das gualdades (7). Além dsso como as vaáves estão lves nfeomente pode-se vefca faclmente ue a solução do poblema () é lmtada nfeomente. Sendo assm pecsamos modfca o poblema () de foma ue sea consdeada a obsevânca estta das estções de gualdade (7). Nesta pate do desenvolvmento baseando-se nos tabalhos de CHAVES[][3] ntodumos a segunte função auxla: ϕ ( λ) = λ. máxmo{0 x} (3) Sendo λ o paâmeto ue epesenta a nclnação da função ϕ (.). Se as desgualdades de (8) são váldas então necessaamente deve se obsevada a estção: = ϕ ( s x λ) = 0... m. (4) = Com a substtução das desgualdades (.) po (4) no poblema () obtemos um poblema euvalente ue mantém a caacteístca de se lmtado nfeomente. Ou sea pela foma de defnção da função obetvo e das estções 4 e. ao esolvemos o poblema () teemos < 0 e conseüentemente < 0 =... m o ue do ponto de vsta da aplcação eal ue abodamos é nacetável. Desta foma paa contona este aspecto ntínseco ao poblema () vamos defn o segunte poblema: Sueto a Mnma ϕ mn= = =... m (... s x λ) > 0 (5) =... m (5.) (5.) Ou de uma foma altenatva podemos petuba a euação (5.) e defn o segunte poblema: Mnma (6) Sueto a ϕ mn= = =... m (... s x λ) ε > 0 =... m (6.) (6.) 908

6 Podeíamos também gea uma seüênca decescente de valoes { ε k } pela petubação do paâmeto ε. Desde ue o poblema (5) é o lmte de (6) uando ε 0+ podemos esolve o poblema (5) atavés da esolução de uma seüênca de poblemas do tpo (6) onde ε = ε k 0+ A segu enuncamos um conunto de esultados teócos ue são apesentados no tabalho de XAVIER[9]. Estes esultados coespondem à esolução do poblema (5) e da sua euvalênca com o poblema () no ue concene a solução ótma. Teoema : Os poblemas () e (5) têm o mesmo valo ótmo Poposção : Em pelo menos uma das soluções ótmas do poblema (5) todos os aos * * ótmos são guas ou sea: = =... m. Com base nesta poposção podemos edu consdeavelmente a dmensão do poblema sto é podemos defn o segunte poblema: Mnma (7) Sueto a = ϕ ( s x λ) > 0 =... m (7.) Devemos destaca ue poblema (7) é defndo num espaço de dmensão ( + ) ue é muto meno do ue o espaço do poblema (5) ue tem dmensão ( + m + ) ; sto é no novo poblema o númeo de vaáves é da odem do númeo de ERB s ue se desea nstala na egão em estudo e não mas do númeo de pontos de dscetação da egão S ue foam escolhdos paa se cobetos. Em seu tabalho sobe ecobmento consdeando o Teoema e a Poposção XAVIER[9] apesenta um outo teoema ue estabelece a euvalênca ente os poblemas (5) e (7). Todava o poblema (7) tem como espaço vável um conunto abeto nvablando a aplcação das condções de Kaush Khun e Tucke (MARTINEZ[5]). Ademas possu uma estutua muto ígda não-dfeencável. Obsevando a defnção da ϕ (.) temos ue a mesma não é dfeencável nos pontos da foma = s x e a pópa função s x é não dfeencável no pontos da foma s = x. Paa esolve numecamente o poblema (7) ao nvés dos métodos otodoxos assocados à pogamação não-dfeencável (SANTOS[8]) utlamos a déa de suavação apesentada nos tabalhos de CHAVES[][3]. Abaxo temos as funções suavadoas utladas na modelagem do poblema (7). y + y + τ φ( y λ τ ) = 909

7 ( y τ ) = y τ θ + A função φ (.) defnda acma consttu uma apoxmação da função ϕ (.) e função θ (.) consttu uma apoxmação da função dstânca eucldana. A segu apesentamos as popedades das funções φ (.) e θ (.) () 0 se y 0 y se y 0 lmφ( y λ τ ) = lmθ ( y τ ) = τ 0 y se y > 0 0 y se y < 0 τ () φ (.) e θ (.) são contnuamente dfeencáves em y (3) φ (.) é convexa e monotonamente cescente em y Usando então as popedades de φ (.) e θ (.) e a modelagem altenatva (6) substtuímos a esolução de (7) pela esolução de uma seüênca de poblemas (8) abaxo ue se apoxmam gadatvamente do poblema (7) atavés da edução dos paâmetos τ τ e ε. E além dsso o poblema (8) não mas apesenta os dos aspectos complcadoes destacados paa poblema (7): Mnma (8) Sueto a = φ ( θ ( s x τ ) λ τ ) ε =... m (8.) sendo s = ( s s ) os pontos a seem atenddos pelas estações e x = ( x x ) os seus espectvos centos. Podemos então eesceve (8) da segunte foma: Mnma (9) = λ ( - k= ( x k s ) k + τ + [ - k= ( x k s ) k + τ ] + τ ) ε ( 9. ) =... A segu apesentamos o algotmo desenvolvdo paa esolução de (9). m 90

8 ALGORITMO DE SUAVIZAÇÃO HIPERBÓLICA ) Faça k=0 e defna valoes ncas paa 0 x 0 λ τ τ ε δ ) Defna valoes paa 3) Repta 4) Faça k=k+ ρ ρ tas ue 0 < ρ ρ < 5) Defna os valoes de d e α (paâmetos de penalação hpebólca) 6) Resolva o poblema (9) atavés da penalação hpebólca com k x e k 7) Faça k + k ρ.τ τ = Faça k + k ρ.τ τ = 8) Faça k ε + = ρ. k ε k + k 9) Até ( δ ) 0) (Fm - Repta) ) Fm. Essencalmente no algotmo apesentado acma é esolvda uma seüênca de poblemas de pogamação não-lnea esttos no passo 6 atavés do algotmo de penalação hpebólca apesentado na tese de Mestado de XAVIER[0]. No pmeo e segundo passos do algotmo defnmos valoes ncas paa a solução (aos e centos) e paa os paâmetos de suavação e de toleânca. No passo 9 temos a condção de paada do algotmo de suavação hpebólca assocada a edução do ao de cobetua. No passo 5 defnmos os paâmetos ue seão utlados na penalação. Nos passos 7 e 8 efetuamos a edução gadatva dos paâmetos τ τ ε 4.Modelagem Vaante:. Nesta seção apesentamos uma nova modelagem ue fo motvada pelo estudo das caacteístcas do poblema de localação de ERB s e na modelagem mn-max-mn básca. A esolução numéca da modelagem mn-max-mn básca fonece os valoes de x e. Os valoes x confome á abodado epesentam os pontos de localação das ERB s e a vaável epesenta o ao de cobetua de cada uma das ERB s. Devemos obseva ue há uma elação ente o númeo de estações e o ao de cobetua de cada uma das estações. Com o aumento do paâmeto (númeo de ERB s) há uma edução do tamanho do ao de cobetua de cada estação e vce-vesa. Se o valo obtdo paa o ao de cobetua não estve adeuado às necessdades de sevço da egão o valo ncal do paâmeto pode se aumentado ou edudo até ue sea atngdo um patama pé-estabelecdo de ualdade de cobetua. Esse pocedmento pode se faclmente efetuado atavés de uma busca bnáa no valo de de foma ue o valo de espete os lmtes de cobetua assocados ao poblema eal ( mínmo máxmo ). 9

9 Obsevamos ue esta modelagem ncal dá uma vsão geal da dstbução das estações de ádo base sobe a egão S. Todava com ntuto de tona a solução desta poblemátca mas adeente a ealdade sto é consdeando as caacteístcas ntínsecas ao poblema de localação ERB s numa dada egão S tas como: a dvesdade na popagação e alcance dos snas de ádo a dstbução dos usuáos a pesença de obstáculos e a vaação de elevo uma das modelagens vaantes ue desenvolvemos em nosso tabalho de tese (BRITO[]). Na modelagem apesentada a segu encapsulamos o mpotante aspecto de poa pontos canddatos paa a nstalação das ERB s. 4. Modelagem M: Estações com Localação Pé-Defnda Nesta modelagem seá contemplada a stuação em ue algumas das estações têm a localação pé-defnda. Dessa foma consdee ue paa a egão S a se cobeta escolhamos um conunto y = ( y y ) de pontos ( =... ). Ou sea vamos escolhe alguns pontos y ue estão na egão S e dos uas as estações de ádo base deveão esta a uma ceta dstânca pé-defnda. Isto é as estações deveão esta localadas (nstaladas) numa vnhança dos pontos y. Nomalmente a escolha desses pontos (locas) é feta ad-hoc pela áea de planeamento da companha e está detamente coelaconada à análses de popagação de snal ao elevo da egão aos tpos de constução à densdade de usuáos e a alguns obstáculos confome descto po MATEUS[6] e NASCIMENTO[7]. Assocemos a cada ponto y = ( y y ) defndo paa esta egão um ponto x = ( x ) ue epesentaá o cento de uma das estações de tal foma ue a dstânca ente cada ponto y e o seu espectvo cento x sea mao ou gual ue um valo d e meno ou gual a um valo D ambos defndos a po. A aconaldade de se defn ue os centos das estações esteam numa vnhança dos pontos s é a de gaant ue essas estações esteam a uma dstânca máxma de D de: hosptas gandes centos de nfomação centas de emegênca etc ue também estão numa vnhança dos pontos y. Todava além da exstênca desses pontos de demanda podemos te obstáculos como tansmssoes constuções etc também póxmos de y. A fm de gaant ue esses obstáculos não ntefam na comuncação paa pontos de demanda póxmos de y defnmos uma dstânca d como a medda de dstânca mínma (afastamento mínmo) ue a estação deve esta do ponto y evtando a ntefeênca e conseüentemente a peda de comuncação. Assm do ponto de vsta de modelagem defndos os valoes pontos y ( =... ) devemos estabelece ue: y y D e x D =... (0) x d =... () d e os seus espectvos 9

10 Obsevamos ue no lmte podemos até mesmo fxa um ponto consdeando D = 0 na estção (0). Consdeando então estas novas estções e obsevando a caacteístca de não-dfeencabldade das funções assocadas às mesmas temos a segunte modelagem: Mnma () = φ θ ( s x τ ) λ τ ) ε =... m (.) ( ( = k = k k θ ( x y ) τ ) D... (.) ( = k = k k θ ( x y ) τ ) d... (.3) Obsevamos ue as estções (.) gaantem ue todos os pontos s S seão cobetos po alguma estação de ádo base e as estções (.) e (.3) gaantem ue cada uma das estações de cento x estaão numa vnhança de y. 5. Resultados Computaconas e Conclusões Nesta seção faemos uma exposção concsa dos esultados numécos/computaconas obtdos paa a modelagem mn-max-mn básca (modelagem M0) e paa a modelagem vaante apesentada na seção anteo. Os esultados ue seão apesentados nas tabelas a segu foam obtdos a pat do desenvolvmento de dos pogamas utlando a lnguagem de pogamação Delph 6.0 e ue foam executados num mcocomputado IBM-PC dotado de um pocessado Pentum IV (.6 GHZ) com 56 Mb de memóa. O pmeo pogama gea paa o nteo da polgonal (egão S) uma malha conunto de pontos eudstantes ue pode te uma mao ou meno densdade (subdvsões) com cada ponto s dessa malha epesentando um conunto de usuáos ue devem se atenddos pelas estações de ádo base. Completando o conunto de dados de entada do pogama é solctado ao usuáo o númeo de ERB s (cículos) ue seão utlados paa cob a egão S. Anda utlando o pogama de geação de dados é possível consdea paa o nteo da polgonal (egão S) os seguntes paâmetos assocados à modelagem vaante: Pontos =... dos uas a ERB fcaá póxma y Dstânca máxma D de uma ERB ao ponto Dstânca mínma d de uma ERB ao ponto Paa a mplementação dos algotmos assocados a modelagem básca e à modelagem vaante apesentadas neste tabalho femos o uso de uma bbloteca de otnas de pogamação não-lnea dsponblada na ntenet po DEBORD[4]. y y 93

11 Os dados de entada comuns fonecdos paa esses algotmos foam: os pontos s contdos na egão S o ao de cobetua e os centos ncas das estações de ádo base os paâmetos de suavação τ τ ε os paâmetos de penalação d e α. Além desses foam fonecdos os paâmetos da modelagem vaante: Pontos y dstânca máxma D e a dstânca mínma d. A segu apesentamos tês tabelas com esultados obtdos paa as duas modelagens apesentadas neste tabalho. Tabela - Modelagem M0 : Infomações Geas sobe os Poblemas Teste Poblema N o de ERB s N o de Pontos Rao Iteações BFGS Tempo CPU(seg) AF AF BH BH BH BH RJ RJ RJ Pela tabela podemos obseva ue a modelagem mn-max-mn básca mostou-se efcente paa poblemas teste com um aoável númeo de vaáves e estções destacando ente esses os poblemas: BH0 (fgua ) com 73 vaáves e 730 estções BH40 com 9 vaáves e estções e RJ00 com 0 vaáves e 4668 estções. Tabela - Modelagem M: Infomações Geas sobe os Poblemas Teste Poblema N o de ERB s N o de Pontos Rao Iteações BFGS Tempo CPU(seg) FR FR FR FR FR Analsando as tabela e 3 segundo o ctéo do númeo de vaáves de estções e do númeo de estações com a localação pé-defnda podemos destaca os poblemas: FR00 com vaáves 6077 estções e = 5 e FR4000 (fgua ) com 3 vaáves 43 estções e =. Podemos também obseva pela últma da coluna da tabela 3 ue as estções de vnhança foam satsfetas paa todos os poblemas teste. Poblema Tabela 3 - Modelagem M: Dstâncas Fnas Dstânca Máxma D Dstânca Mínma d Dstâncas Fnas y x = d FR70 5 D =0 D =0 D 3 =80 D 4 =300 D 5 =00 d =70 d =70 d 3 =70 d 4 =00 d 5 =00 d f = 86.0 d f =39.4 d 3f = 73.0 d 4f =9.50 d 5f =99.99 FR00 5 D =80 D =90 D 3 =0 D 4 =00 D 5 =60 d =0 d =30 d 3 =50 d 4 =0 d 5 =0 d f = 40.7 d f =57. d 3f = 74.4 d 4f =40.58 d 5f =5.3 FR40 3 D =30 D =80 D 3 =40 d =0 d =0 d 3 =40 d f =. d f =8.60 d 3f =49.9 FR50 D =0 d =0 d f = FR4000 D =300 D =400 d =0 d =0 d f =.48 d f =.4 f 94

12 Fgua Poblema BH0 Fgua Poblema FR4000 Em síntese pelas nfomações e esultados apesentados podemos vefca ue há uma boa ndcação de ue a modelagem mn-max-mn a sua modelagem vaante e a utlação da teoa de suavação hpebólca consttuem uma feamenta adeuada paa o poblema de localação de ERB s. 6.Bblogafa [] BRITO JOSÉ ANDRÉ DE M. Suavação Hpebólca Aplcada no Poblema de Localação de Estações de Rádo Base Tese de D.Sc. Ro de Janeo Basl COPPE/UFRJ 004. [] CHAVES ANTONIO MARQUES VIEIRA e XAVIER ADILSON ELIAS Adlson Elas Poblemas Mnmax: Uma Altenatva de Resolução Va Suavação Relatóo Técnco COPPE/UFRJ 998. [3] CHAVES ANTONIO MARQUES VIEIRA Resolução de Poblemas Mnmax Va Suavações Tese de M.Sc. Ro de Janeo Basl COPPE/UFRJ 997. [4] DEBORD JEAN Mathematcal Routnes Laboatoe de Phamacologe Faculte de Medcne Lmoges (Fance). [5] MARTINEZ JOSÉ MÁRIO e SANTOS SANDRA AUGUSTA Métodos Computaconas de Otmação 0 o Colóuo Basleo de Matemátca IMPA Julho / 95. [6] MATEUS GERALDO R.. Intodução à Computação Móvel a Escola de Computação 998. [7] NASCIMENTO JUAREZ Telecomuncações a edção 000 Makon Books. [8] SANTOS ANA BEATRIZ AMARAL Poblemas de Pogamação Não-Dfeencável: Uma Metodologa de Suavação Tese de M.Sc. Ro de Janeo Basl COPPE/UFRJ 997. [9] XAVIER ADILSON ELIAS Optmum Coveng of Plane Domans by Ccles Va Hypebolc Smoothng Method Relatóo Ténco COPPE/UFRJ 003. [0] XAVIER ADILSON ELIAS Penalação Hpebólca: Um Novo Método de Resolução paa Poblemas de Otmação Tese de M.Sc. Ro de Janeo Basl COPPE/UFRJ