Allan Fonseca da Silva

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1 ANÁLISE DE UMA TÉCNICA DE PENALIZAÇÃO ADAPTATIVA APLICADA AO ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO POR ENXAME DE PARTÍCULAS Allan Fonseca da Slva Dssetação de Mestado apesentada ao Pogama de Pós Gaduação em Engenhaa Cvl, COPPE, da Unvesdade Fedeal do Ro de Janeo, como pate dos equstos necessáos à obtenção do título de Meste em Cêncas em Engenhaa Cvl. Oentadoes Beatz de Souza Lete Pes de Lma Afonso Celso de Casto Lemonge Ro de Janeo Agosto de

2 ANÁLISE DE UMA TÉCNICA DE PENALIZAÇÃO ADAPTATIVA APLICADA AO ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO POR ENXAME DE PARTÍCULAS Allan Fonseca da Slva DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Eamnada po Pofª. Beatz de Souza Lete Pes de LmaD.Sc. Pof. Afonso Celso de Casto Lemonge, D.Sc. Pof. Beno Pnheo Jacob, D.Sc. Pof. Cal Host Albecht, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ, BRASIL AGOSTO DE

3 Slva, Allan Fonseca da Análse de uma técnca de penalzação adaptatva aplcada ao algotmo de otmzação po ename de patículas/allan Fonseca da Slva. Ro de Janeo UFRJ/COPPE,. XII, 8 p. l.; 9,7 cm. Oentadoes Beatz de Souza Lete Pes de Lma e Afonso Celso de Casto Lemonge Dssetação (mestado) UFRJ/COPPE/ Pogama de Engenhaa de Cvl,. Refeêncas Bblogáfcas p Otmzação.. Algotmos Evolutvos.. Ename de Patículas.. Métodos de Penalzação. I Lma, Beatz de Souza Lete Pes et al. II. Unvesdade Fedeal do Ro de Janeo, COPPE, Pogama de Engenhaa Cvl. III. Título.

4 Agadecmentos A Deus. À mnha mãe Alacy e mnha avó Helena (n memoan) pela vda e cação eempla. À meu pa Newton (n memoan) pelos momentos que passamos juntos. Ao meu mão Paulo Henque pelo constante apoo. A mnha esposa Thaís e mnha flha Laa, azões do meu vve. A pofessoa Beatz e ao pofesso Afonso pela oentação, apoo, ensnamentos e amzade. Aos amgos Vncus (Sossô) e Thago (Motoboy) que po váas vezes me acompanhaam em mnhas vagens ao Ro. Aos amgos do cuso Ian, Cstan e Macelo que foam modelos a seem segudos A todos os colegas do cuso, companheos fés de todas as hoas. Ao copo docente e aos funconáos do Pogama de Engenhaa Cvl, pelo convívo. v

5 Resumo da Dssetação apesentada à COPPE/UFRJ como pate dos equstos necessáos paa a obtenção do gau de Meste em Cêncas (M.Sc.) ANÁLISE DE UMA TÉCNICA DE PENALIZAÇÃO ADAPTATIVA APLICADA AO ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO POR ENXAME DE PARTÍCULAS Allan Fonseca da Slva Agosto/ Oentadoes Beatz de Souza Lete Pes de Lma Afonso Celso de Casto Lemonge Pogama Engenhaa Cvl O uso de algotmos evolutvos vem se epandndo ao longo dos anos, em especal a utlzação da técnca de Ename de Patículas conhecda como PSO (Patcle Swam Optmzaton), paa a solução de poblemas de otmzação. O PSO, além de se de fácl mplementação computaconal, pode se consdeado um algotmo obusto, efcente e compettvo peante os demas algotmos populaconas nspados na natueza. O PSO não necessta de funções objetvo que sejam deváves nem mesmo a ntodução de conhecmentos específcos sobe os poblemas em que se deseja otmza. Neste tabalho, são analsados alguns poblemas de otmzação com estções onde um PSO clássco os tata como sendo sem estções atavés da ntodução de um esquema de penalzação adaptatva APM (Adaptve Penalty Method). O APM tata estções de gualdade e desgualdades; não demanda o conhecmento eplícto das estções como funções das vaáves do poblema; é lve de paâmetos a seem defndos pelo usuáo e; é de fácl mplementação computaconal. v

6 Abstact of Dssetaton pesented to COPPE/UFRJ as a patal fulfllment of the equements fo the degee of Maste of Scence (M.Sc.) ANALYSIS OF AN ADAPTIVE PENALTY METHOD APPLIED TO THE PARTICLE SWARM OPTIMIZATION ALGORITHM Allan Fonseca da Slva Agosto/ Advsos Beatz de Souza Lete Pes de Lma Afonso Celso de Casto Lemonge Depatment Cvl Engneeng The use of evolutonay algothms has been epandng ove the yeas, especally the use of the technque known as PSO (Patcle Swam Optmzaton) to solve optmzaton poblems. The PSO s easy to mplement and can be consdeed a obust, effcent and compettve wth espect to othe natue nsped algothms. The PSO does not eque objectve functons that ae devable no the ntoducton of specfc knowledge about the poblems to be optmzed. In ths wok we analyze some poblems of optmzaton wth constants whee a classc PSO teats them as beng wthout lmtaton by ntoducng an adaptve penalty scheme - APM (Adaptve Penalty Method). The APM can handle equalty and nequalty constants, does not demand the eplct knowledge of the constants as functons of the vaables of the poblem, t s fee of paametes to be defned by the use and s of aneasy computatonal mplementaton. v

7 Sumáo INTRODUÇÃO... OTIMIZAÇÃO.... Intodução.... Otmzação po Algotmos Detemnístcos Pogamação Lnea Pogamação Intea Otmzação po Algotmos Pobablístcos..... Busca Tabu..... Recozmento Smulado..... Algotmos Evolutvos... OTIMIZAÇÃO ATRAVÉS DE ENXAME DE PARTÍCULAS Intodução Algotmo PSO Básco Descção do Algotmo.... Atualzação dos Paâmetos.... Aplcações do PSO... ESTRATÉGIAS DE PENALIZAÇÃO.... Intodução.... Penaldades Estátcas.... Penaldades Dnâmcas.... Penaldades Adaptatvas Técncas de Penalzação Aplcadas ao PSO... 7 v

8 .6 Abodagens Recentes paa o Tatamento de Restções A Técnca de Penalzação Adaptatva APM... EXPERIMENTOS NUMÉRICOS.... Intodução.... Funções sem Restções.... Funções com Restções Defnção e Ajuste dos Paâmetos do PSO Resultados Obtdos Estudo Compaatvo dos Resultados Poblemas Clásscos da Mecânca Estutual Vaso de Pessão Vga Soldada Reduto de Velocdade Telça de Baas Outos Poblemas Resultados Obtdos CONCLUSÃO... 7 REFERÊNCIAS... 7 v

9 Lsta de Fguas Fgua.. Técncas de busca Fgua.. Estutua do sstema munológco.... Fgua.. Pocesso de busca atavés da técnca de colôna de fomgas (a) busca aleatóa, (b) localzação ncal e fomação da tlha de feomôno e (c) tlha de feomôno já fomada Fgua.. Vaação de w em elação ao coefcente n.... Fgua.. Detemnação da função f.... Fgua.. Evolução da Aptdão paa as funções (a) G e (b) G... Fgua.. Evolução da Aptdão paa as funções (a) G e (b) G... Fgua.. Evolução da Aptdão paa as funções (a) G e (b) G6... Fgua.. Evolução da Aptdão paa as funções (a) G7 e (b) G8... Fgua.. Evolução da Aptdão paa as funções (a) G9 e (b) G... Fgua.6. Evolução da Aptdão paa as funções (a) G e (b) G... Fgua.7. Evolução da Aptdão paa a função G... Fgua.8. Geação onde houve a convegênca paa as funções (a) G e (b) G... 7 Fgua.9. Geação onde houve a convegênca paa as funções (a) G e (b) G... 7 Fgua.. Geação onde houve a convegênca paa as funções (a) G e (b) G6. 7 Fgua.. Geação onde houve a convegênca paa as funções (a) G7 e (b) G8. 8 Fgua.. Geação onde houve a convegênca paa as funções (a) G9 e (b) G. 8

10 Fgua.. Geação onde houve a convegênca paa as funções G a G... 8 Fgua.. Vaso de pessão... 6 Fgua.. Vga soldada... 6 Fgua.6. Reduto de Velocdade... 6 Fgua.7. Telça de Baas... 6

11 Lsta de Tabelas Tabela.. Lmtes das vaáves e ótmo global conhecdo das funções sem estção Tabela.. Resultados das eecuções com avalações... 6 Tabela.. Resultados das eecuções avalações... 6 Tabela.. Resultados das eecuções avalações... 6 Tabela.. Lmtes das vaáves e ótmo global conhecdo das funções G... 7 Tabela.6. Resultados das eecuções utlzando o APMcom avalações... Tabela.7. Resultados das eecuções utlzando o APM com avalações... Tabela.8. Resultados das eecuções utlzando o APM com avalações... Tabela.9. Resultados das eecuções utlzando o APM-Mcom avalações... Tabela.. Resultados das eecuções utlzando o APM-Mcom avalações... Tabela.. Resultados das eecuções utlzando o APM-Mcom avalações... Tabela.. Resultados das eecuções utlzando o APM-Ecom avalações... Tabela.. Resultados das eecuções utlzando o APM-Ecom avalações... Tabela.. Resultados das eecuções utlzando o APM-Ecom avalações... Tabela.. Resultados das eecuções utlzando o APM-A com avalações... 6 Tabela.6. Resultados das eecuções utlzando o APM-A com avalações... 6 Tabela.7. Resultados das eecuções utlzando o APM-A com avalações... 7 Tabela.8. Resultados das eecuções utlzando o APM-V com avalações... 7 Tabela.9. Resultados das eecuções utlzando o APM-V com avalações... 8

12 Tabela.. Resultados das eecuções utlzando o APM-V com avalações... 8 Tabela.. Compaatvo dos esultados das eecuções do APM e suas vaantes com avalações da função objetvo... 9 Tabela.. Compaatvo dos esultados obtdos com a utlzação do APM... Tabela.. Compaatvo dos esultados obtdos com a utlzação do APM Ognal.. 6 Tabela.. Resultado das eecuções paa o poblema do Vaso de Pessão utlzandose o PSO... 6 Tabela.. Resultado das eecuções paa o poblema do Vaso de Pessão em (Babosa e Lemonge, 8)... 6 Tabela.6. Resultado das eecuções paa o poblema do Vga soldada... 6 Tabela.7. Resultado das eecuções paa o Reduto de Velocdade... 6 Tabela.8. Resultados das eecuções paa o poblema da Telça de Baas contínuo... 6 Tabela.9. Compaatvo dos Resultados das eecuções paa o poblema da Telça de Baas contínuo... 6 Tabela.. Compaatvo dos Resultados das eecuções paa o poblema da Telça de Baas dsceto Tabela.. Lmtes das vaáves e ótmos global conhecdos das funções Tabela.. Resultados das eecuções paa o poblema P Tabela.. Resultados das eecuções paa o poblema P Tabela.. Resultados das eecuções paa o poblema P Tabela.. Resultados das eecuções paa o poblema P Tabela.6. Compaatvo dos esultados obtdos com a utlzação do APM... 69

13 Capítulo Intodução Em dvesas áeas da atvdade humana onde este uma escassez de ceto poduto ou matéa pma po sua dfculdade de podução e/ou obtenção tem-se um poblema paa se empega estes ecusos escassos de foma efcente e efcaz. Buscase, potanto, mamza ou mnmza uma quantdade (luco, custo, eceta, númeo de podutos, ente outos), chamada de objetvo, que depende de um ou mas ecusos escassos. A solução deste tpo de poblema, ou seja, a localzação de um valo mínmo ou mámo paa o mesmo, tem sdo uma meta desejada há váos anos. Este pocesso de localzação da solução é conhecdo como otmzação. Otmza um poblema sgnfca acha as gandezas, quantdades, vaáves, etc. que melho epesentam o objetvo a se alcançado. Quando se fala em otmzação de poblemas que envolvem a utlzação de ecusos, cálculo de luco ou custos e etc. é possível assoca a estes poblemas uma função matemátca que os epesente de foma satsfatóa e o pocesso de se localza uma solução ótma se tona um poblema de otmzação. Este poblema é baseado na localzação de um ponto, no espaço de busca que esta função apesenta, que melho satsfaça as necessdades epesentadas po ela, po eemplo, a meno utlzação de ecusos ou o mao luco com o meno custo. Esta função que epesenta o poblema a se otmzado é chamada de função objetvo, o númeo de vaáves que a defnem ndcam as dmensões do espaço de

14 busca e uma solução qualque deste poblema é um conjunto de valoes atbuídos paa cada uma destas vaáves. Este conjunto de valoes opeados na função objetvo esultam no valo desta função e é este que se deseja otmza. Anda nestes poblemas de otmzação pode ocoe a necessdade de se tata lmtações envolvendo as vaáves utlzadas como, po eemplo, em um poblema de mamza a podução de detemnado tem, a quantdade de mateal mínmo paa a podução deste tem pode se uma lmtação bem como o númeo de hoas que uma máquna necessta paa a podução deste mesmo tem. Estas lmtações são conhecdas como estções. O pocesso de otmzação desta função objetvo é o de localzação de um valo ótmo paa esta função e estem dvesas técncas dsponíves na lteatua paa este fm. Dente estas técncas podem-se cta os métodos tadconas de otmzação de natueza detemnístca onde se destacam os de pogamação matemátca (Bazaa et al., 6). Uma altenatva aos métodos clásscos de otmzação são os algotmos pobablístcos com soluções nspadas na natueza. Estes, também chamados de algotmos evolutvos, têm sdo amplamente usados em poblemas de otmzação podendo se consdeados obustos, efcentes e de fácl mplementação computaconal. Uma pacela epesentatva dos poblemas de otmzação das mas dvesas ogens apesentam estções nas suas fomulações. Estas, em geal, adconam compledade tanto na fomulação quanto na obtenção das soluções desejadas. O tatamento de estções não é uma taefa tval. Na lteatua são encontadas númeas estatégas paa o tatamento de estções nos poblemas de otmzação. Algumas técncas paa o tatamento de estções neste poblemas, po eemplo, dzem espeto à tansfomação do poblema com estções em um poblema. sem estções atavés da consdeação de funções de penalzação. Ente outas, pode-se adota também (Coello, ) () epesentação especal dos opeadoes; () algotmos de epaação da função objetvo; () sepaação da função objetvo das estções e, (v) utlzação de métodos híbdos. O pocesso de otmzação em geal é bastante custoso e demoado, os algotmos, po mas efcentes que sejam anda estão longe de seem ótmos,

15 pncpalmente se aplcados a poblemas de alta compledade. Desta foma, a melhoa no desempenho no pocesso de otmzação é uma meta constantemente peseguda e novas tentatvas paa atng esta meta estão sempe sendo popostas. Esta dssetação tem po objetvo esolve poblemas de otmzação com estções, tansfomados em poblemas sem estções atavés da consdeação de funções de penalzação. A técnca de penalzação adotada é ntoduzda em um algotmo populaconal nspado em ename de patículas denomnado na língua nglesa como PSO Patcle Swam Optmzaton, ncalmente ntoduzdo po (Kennedy e Ebehat, 99). A técnca de penalzação adaptatva poposta po (Lemonge e Babosa, ) bem como suas vaantes dsponblzadas na lteatua po (Babosa e Lemonge, 8) são ncopoadas ao PSO paa a busca das soluções dos poblemas de otmzação dscutdos neste teto. Popõe-se neste tabalho efetua mplementações paa ncopoa o APM a um PSO espeando um desempenho satsfatóo, atavés da obtenção de esultados compettvos, nos poblemas com estções a seem abodados. Tas poblemas são eaustvamente testados na lteatua e efeem-se a otmzação de funções com ogem na matemátca aplcada ou, po eemplo, como os destacados neste teto, da engenhaa mecânca/estutual. Esta dssetação está oganzada da segunte foma. No Capítulo são abodadas algumas das técncas de otmzação dsponíves na lteatua. As técncas ctadas petencem a dos gandes gupos Pogamação Matemátca e Algotmos Evolutvos e paa cada um destes gupos é apesentada uma vsão geal das pncpas técncas dsponíves. O Capítulo detalha a técnca de otmzação po ename de patículas PSO. São apesentados seu hstóco e embasamento natual, o algotmo básco e suas fomulações. Também são ctados os paâmetos do algotmo e suas vaantes. O Capítulo apesenta as técncas de penalzação a seem aplcadas aos algotmos paa a esolução de poblemas de otmzação com estção. É feta uma dvsão destas técncas em ses gupos e, paa cada um deles, é feta uma análse dos métodos e funções aplcados. Já no Capítulo são apesentados os epementos numécos ealzados paa valdação e avalação do desempenho do algotmo

16 evolutvo PSO assocado à técnca de penalzação adaptatva APM. São defndos os paâmetos do algotmo PSO utlzados nos epementos e as funções com sua fomulação, lmtes e ótmo conhecdo. São fetas anda compaações dos esultados obtdos com outos dsponíves na lteatua. Po fm, no Capítulo 6 o tabalho é concluído e são apesentadas sugestões paa futuos tabalhos e contnudade da pesqusa ealzada.

17 Capítulo Otmzação. Intodução Um poblema de otmzação é aquele em que se deseja localza a melho solução dento de um gupo de soluções possíves ou factíves e paa cada poblema este um pocesso decsóo a se tomado que defne se uma solução é factível ou não atavés de uma ou mas meddas elaconadas ao que se deseja otmza. Nos poblemas de otmzação este um objetvo a se mamzado ou mnmzado que é descto atavés de uma função chamada função objetvo que contém as vaáves de decsão ou vaáves de pojeto. Quando o poblema apesenta estções estas podem se desctas atavés de equações ou nequações. Paa fomula coetamente um poblema de otmzação é pecso defn coetamente os objetvos que se petende alcança com a esolução do poblema e dentfca as estções estentes, defndas pelas elações de ntedependêncas ente as vaáves que ntegam o sstema. Um poblema de otmzação pode se escto confome a equação (.) a segu (Lemonge, 999) onde epesenta o veto de vaáves do poblema, f () é a função objetvo e g () e () h são, espectvamente, as estções de gualdade e desgualdade elaconadas ao poblema e que podem se funções lneaes ou não lneaes do veto de vaáves do poblema. A otmzação com estções é mas

18 complea e pode equee estatégas específcas na fomulação do poblema paa que essas sejam satsfetas. mnmze f ( ) sujeto a g ( ) paa,..., m h ( ) paa,..., l R X n n L U { R,,,..., n} (.) O conjunto X é um paalelepípedo em supeo pé-estabelecdos paa as vaáves do poblema. Um veto 6 n R defndo pelos lmtes nfeo e X que satsfaz a todas essas estções é chamado de uma solução factível do poblema. O conjunto de todas as soluções factíves é chamado de egão factível. A solução do poblema de mnmzação é dta solução ótma e estndo mas de uma solução ótma estas são dtas soluções ótmas altenatvas. O conjunto de vaáves do poblema que popocona o meno valo da função objetvo, no caso de mnmzação, ente todas as combnações possíves ente os valoes das vaáves, é chamado de mínmo global. Em geal, é dfícl afma que tal valo é global devdo à possbldade de estênca de váos mínmos locas e, assm, somente um deles seá o global. O que se pode afma é que o valo encontado é mínmo numa vznhança do espaço de busca. A modelagem do poblema deve eflet sua essênca, epesentando as elações de ntedependênca estentes ente todas as componentes da stuação em estudo. Um modelo de otmzação pode se defndo po Um númeo n de decsões a seem tomadas, denomnadas vaáves de decsão; Uma função matemátca que epesenta a medda da vantagem (desvantagem) da tomada de decsão denomna função objetvo; Um conjunto de estções assocadas às vaáves de decsão denomnadas estções do modelo e; Um conjunto de constantes (coefcentes) da função objeto e das estções denomnadas paâmetos do modelo.

19 Após a defnção coeta do poblema a se otmzado é necessáo efetua a localzação das soluções factíves e, dente estas, aquela que seá consdeada a solução ótma. Este pocesso de localzação pode se feto de dvesas maneas como pode se vsto na Fgua., etaída de (Svanandam e Deepa, 8). Fgua.. Técncas de busca. Quando o poblema de otmzação analsado é de baa compledade, uma busca eaustva pode se vável. Esta busca se basea em enumea todas as soluções possíves paa o poblema defnndo valoes paa cada uma das vaáves e opeando a função objetvo paa se obte o valo desta solução. Este tpo de abodagem se tona nvável quando o númeo de soluções possíves cesce. Neste caso, estem dvesas técncas dsponíves paa otmzação e seá dado destaque às detemnístcas onde as mas conhecdas são a pogamação lnea e pogamação ntea e as pobablístcas onde se destacam os algotmos evolutvos com soluções nspadas na natueza como algotmos genétcos, algotmos memétcos, sstemas munológco atfcas, colôna de fomgas, ename de patículas, dente outas.. Otmzação po Algotmos Detemnístcos Uma das áeas da otmzação muto utlzada paa otmzação é a Pogamação Matemátca. Po se esta áea muto etensa, ela é subdvdda em subáeas que agupam os poblemas a pat do tpo da função objetvo, das estções e das 7

20 caacteístcas das vaáves envolvdas. Ente outas se podem cta () Pogamação Lnea e () Pogamação Intea... Pogamação Lnea O método mas conhecdo paa otmzação utlzando-se a pogamação lnea é o método Smple (Sddall, 98). O método smple pemte esolve um poblema de pogamação lnea detemnando a solução ótma de um poblema, ou pemte conclu que o poblema é nvável ou lmtado. O modelo de pogamação lnea sempe apesenta um conjunto de equações ou nequações que coesponde às estções do poblema e uma função que se deseja mamza ou mnmza. As estções, em geal, podem se tansfomadas em um sstema ndetemnado de equações onde suas soluções coespondem a um conjunto conveo. A solução de nteesse, a que otmza a função objeto, sempe seá um ponto etemo deste conjunto conveo de soluções factíves e estes pontos etemos coespondem às soluções báscas do sstema de equações. O númeo destes pontos etemos, ou seja, das soluções báscas pode se muto gande e cesce eponencalmente com o númeo de vaáves. O método smple deve vence duas dfculdades claamente apesentadas (Maos, ) Obte soluções factíves báscas do sstema de equações. Evta o teste de todas as soluções báscas paa gaant a otmzação de poblema. Paa que um poblema de pogamação lnea possa se esolvdo pelo método smple, este poblema pecsa esta na foma padão confome demonstado na equação (.) e estem dvesas técncas paa convete a fomulação de um poblema paa foma padão como a convesão de desgualdades em gualdades atavés da adção/subtação de uma constante, a emoção de vaáves sem estção de snal, a convesão de vaáves negatvas em postvas atavés da multplcação po um valo negatvo untáo, etc. 8

21 Na equação (.) c T epesenta a matz de coefcentes da função objetvo, A epesenta a matz de coefcentes das estções e b a matz coluna do lado deto das estções. Mn( Ma) Z c T d sujeto a A b (.).. Pogamação Intea Qualque poblema de decsão no qual vaáves devam assum valoes dscetos é um poblema de Otmzação Intea. Até o níco dos anos os poblemas nteos eam tatados como poblemas de matemátca pua. A mpotânca da Pogamação Intea na solução de poblemas pátcos esultou de avanços mpotantes da Pogamação Lnea nesta década. A fomulação geal de um poblema de pogamação ntea pode se escta como na equação (.) onde g é a função a se mnmzada ou mamzada e que epesenta o poblema estudado,,,, K n epesentam as vaáves do poblema, g epesenta as funções de estção do poblema, b é o valo assocado à estção, epesenta o índce de uma estção, T é o conjunto dos índces das estções e t é o total de estções, j é índce de uma vaável, N é o conjunto dos índces das vaáves e n é o total de vaáves e, po fm I é um subconjunto de N. Na pogamação ntea estem váos métodos paa a localzação do ótmo, dente eles pode-se cta aedondamento da solução ótma contínua, banch-andbound, banch-and-cut, banch-and-pce e banch-and-cut-and-pce. 9

22 Mn( Ma) Z g (,, K, ) n sujeto a g (,, K, ) j j nt eo, j I N n [,, ] b, T {,, K, t}, j N {,, Kn} se I N,P ogamaçãointea Pua se I N,P ogamaçãointeamsta (.). Otmzação po Algotmos Pobablístcos As técncas pobablístcas são baseadas na enumeação de soluções mas com a utlzação de nfomações adconas paa dg a busca. Dente as técncas dsponíves na lteatua pode-se cta () Busca Tabu; (II) Recozmento Smulado e, () Algotmos Evolutvos... Busca Tabu De acodo com (Adamset al., 988) a busca tabu se ognou em uma altenatva paa solução de poblemas de pogamação ntea sendo que posteomente seu método fo modfcado paa uso geal em poblemas de otmzação combnatóa. A busca tabu, fo pojetada paa localza apomações azoavelmente boas paa a solução ótma global de qualque poblema de otmzação. Esta técnca defne tês pncípos fundamentas (Glove e Laguna, 997). Amazena o hstóco da evolução do pocesso de busca atavés de um estutua de dados do tpo lsta;. Utlzação de uma foma de contole paa balancea a acetação ou não de uma nova confguação a pat das nfomações amazenadas na estutua de dados efeentes às estções desejadas e;. Utlzação de pocedmentos paa altena as estatégas de dvesfcação e ntensfcação. A busca tabu é baseado em busca local onde a cada teação do algotmo é feta uma pocua de uma nova solução vznha pefeencalmente de meno custo. O

23 algotmo sempe aceta uma nova solução que possu meno custo e amazena a melho solução encontada duante sua eecução (Glove e Laguna, 997). A busca tabu se utlza da memóa paa evta que sejam vstadas soluções que já foam encontadas, paa eploa egões não vstadas dento do espaço de busca e melhoa o pocesso de tomada de decsão... Recozmento Smulado Recozmento é o nome dado ao pocesso utlzado paa fund um metal, onde este é aquecdo a altas tempeatuas e, em seguda, esfado lentamente de tal foma que o esultado fnal seja uma massa homogênea. O ecozmento smulado como técnca de otmzação fo ntoduzdo po (Kkpatcket al., 98) e é um método baseado em busca local que aceta movmentos onde se obtém esultados poes como foma de escapa de ótmos locas. O pocesso de ecozmento smulado é feto de foma análoga ao pocesso de fundção de um metal, o algotmo substtu uma solução atual po outa póma petencente a sua vznhança no espaço de soluções. Esta solução póma é seleconada com base na função objetvo do poblema em questão em conjunto com um paâmeto T que epesenta a tempeatua. Quanto mao fo o valo desta tempeatua, mao seá o componente aleatóo nsedo na póma solução escolhda. Na evolução do pocesso, o valo da tempeatua é eduzdo fazendo com que o algotmo seja deconado paa uma solução ótma, necessaamente local. De acodo com (Dowsland, 99) o algotmo de ecozmento smulado pode se dvddo em duas gandes buscas sobepostas. A ntena onde se enconta o pocesso de otmzação onde paa uma tempeatua detemnada faz-se a eploação da vznhança acetando ou não os movmentos apesentados.. A etena onde é feto o contole do témno do pocesso baseado no esfamento dos estados, ou seja, quando não houve mas chances de se acha uma solução melho ao se contnua a eploação.

24 Uma das pncpas vantagens deste algotmo é pemt testa soluções mas dstantes da solução atual e da mas ndependênca do ponto ncal da pesqusa... Algotmos Evolutvos Algotmos evolutvos são uma classe de algotmos baseados na obsevação da evolução bológca. Estes algotmos sugam da obsevação de fenômenos natuas que são capazes de esolve poblemas de alta compledade como a sobevvênca de um gupo de ndvíduos com escassez de almento ou a localzação do almento em um espaço de busca. Os algotmos evolutvos tabalham com o conceto de gupos de ndvíduos tabalhando ndvdualmente e, em algumas técncas, em conjunto com o coletvo paa a pocua da solução do poblema. Estes ndvíduos vão evolundo ao longo do pocesso de busca sendo que os descendentes hedam o conhecmento de seus pedecessoes e apovetam este conhecmento paa melhoa a localzação do objetvo. Dente os algotmos evolutvos bo-nspados pode-se cta com destaque os seguntes () Algotmos Genétcos; () Algotmos Memétcos; () Sstemas Imunológcos Atfcas; (v) Colôna de fomgas e (v) Ename de patículas.... Algotmos Genétcos Os algotmos genétcos, mas conhecdos pela sgla AG, são um método de otmzação e busca baseado nas teoas de Dawn sobe a seleção natual, epodução genétca e evolução das espéces (Goldbeg, 989). Os algotmos genétcos estão baseados em pncípos smples. O pncípo da seleção natual dz que os ndvíduos petencentes à população que são mas aptos a sobevve tem mao chance de epodução e, com esta epodução, epassa as geações posteoes todo seu mateal genétco. Em um AG um ndvíduo é uma solução canddata a otmza o poblema estudado ou anda, um ponto no espaço de busca, e sua aptdão é calculada pela função objetvo do poblema avalado. Este ndvíduo possu um comossomo que é

25 um estutua de dados codfcada com as vaáves do poblema em foma de númeos eas ou bnáa. Duante o pocesso de evolução, os ndvíduos da população sofem o pocesso de epodução atavés da combnação do mateal genétco em paes geando novos ndvíduos. Os descendentes tazem consgo nfomações de seus gentoes. Anda no pocesso de epodução, os novos ndvíduos podem sofe uma mutação com o ntuto de gea dvesdade a população levando os ndvíduos paa uma nova egão no espaço de busca. Esta nova egão pode se mas póma ou não do ótmo a se alcançado. Quando é cada uma nova população po cuzamento e mutação este uma gande chance de que haja a peda dos melhoes ndvíduos da população anteo, paa mnmza este poblema é possível se utlza o eltsmo. O eltsmo é um método que pmeo copa os melhoes ndvíduos paa a nova população. O esto da população é constuída da foma descta anteomente. O eltsmo pode aumenta o desempenho do algotmo pos poque pevne a peda da melho solução já encontada. O pocesso de evolução do AG pode se descto como defn uma população ncal, avala cada ndvíduo desta população atavés da função de aptdão que epesenta o poblema estudado e epet o pocesso segunte até que uma condção de paada seja encontada selecona os melhoes ndvíduos paa epodução, epoduz os ndvíduos atavés de ecombnação e mutação, avala novamente a população geada e selecona os melhoes ndvíduos. Os algotmos genétcos podem se aplcados a dvesos poblemas, uma dessas aplcações pode se vsta em (Lemonge, 999) onde estes são utlzados paa esolve poblemas de otmzação estutual, outa aplcação enconta-se em (Vea, 999) onde os algotmos genétcos são utlzados paa a otmzação de ses ígdos que são estutuas que conectam as cabeças dos poços de petóleo às undades flutuantes de podução e/ou amazenamento. Em (Benadno, 8) também se pode vefca a utlzação de algotmos genétcos, neste caso, paa a solução de poblemas de otmzação de engenhaa com estções

26 ... Algotmos Memétcos Algotmos memétcos são uma classe dos algotmos evolutvos que possuem a busca local como sendo pate decsva do pocesso evolutvo (Moscato, 989). A base dos algotmos memétcos está na combnação de concetos e técncas de outos algotmos evolutvos e com a busca local agegando as vantagens de cada uma delas paa mao efcênca. A dea pncpal é eploa a vznhança de uma solução obtda pelo AG tadconal em busca de um ótmo local antes de efetua o etono ao pocessamento do AG. A desgnação memétco fo defnda po (Radclffe e Suy, 99) como sendo uma undade de nfomação que se epoduz duante um pocesso agumentatvo e de tansmssão de conhecmento. Sendo assm, compaatvamente, pode-se dze que os algotmos genétcos estão baseados na evolução bológca enquanto os algotmos memétcos, na evolução cultual. Um algotmo memétco possu as mesmas etapas do algotmo genétco bem como todos os seus opeadoes, seleção, ecombnação e mutação. A dfeença se dá na nclusão de opeadoes de busca local paa cada ndvíduo da população. No pocesso de tansmssão de nfomação paa os descendentes está a gande dfeença ente os algotmos genétcos e os memétcos. Quando o meme é tansmtdo paa as geações futuas ele é adaptado pelo ndvíduo que o ecebe baseando no conhecmento já adqudo po este paa melho atende as necessdades. Nos algotmos genétcos, as caacteístcas tansmtdas paa o descendente fazem com que o mesmo possua as habldades de seus gentoes. No pocesso de evolução dos algotmos memétcos, chamado de evolução cultual, as alteações nas geações apaecem atavés da cação e eoganzação de epesentações mentas.... Sstemas Imunológcos Atfcas Os sstemas munológcos atfcas (Casto, ) sugam a pat da modelagem e aplcação dos pncípos munológcos no desenvolvmento de novas feamentas computaconas.

27 O sstema munológco eal é dvddo em duas gandes pates, o sstema mune nato que é a pmea lnha de defesa do ogansmo, e o sstema mune adaptatvo onde se encontam os lnfóctos, potadoes de eceptoes específcos paa dentfca e combate detemnada nfecção. A Fgua., epoduzda de (Casto, ), lusta a estutua do sstema munológco. Fgua.. Estutua do sstema munológco. Estem váas popostas de mplementação de sstemas munológcos atfcas, dente elas, pode-se cta Algotmos de Seleção Clonalg poposto po (Casto e Von Zuben, ) epesenta de foma smplfcada o pncípo da seleção clonal duante a esposta mune adaptatva. Na eecução do algotmo, todos os antcopos são utlzados paa se gea uma população de clones. No pocesso de clonagem, os clones sofem mutação genétca e o pocesso de seleção é ealzado. Clones com baa afndade são emovdos e substtuídos po outos geados de foma aleatóa opt-anet poposto po (Casto e Tmms, ) é baseado na mutação e população com tamanho vaável e dnâmco. Cada célula da população ca ceta quantdade de clones que deveão sofe um pocesso de mutação nvesamente popoconal à aptdão do antcopo-pa. Quando o algotmo chega a um ponto em que a méda não melhoa sgnfcatvamente após uma geação, uma medda de

28 afndade é avalada ente as células sendo que as de meno afndade são elmnadas e novas células aleatóas são nsedas. Uma aplcação de sstemas munológcos atfcas paa a solução de poblemas de otmzação de engenhaa com estções pode se vsta em (Benadno, 8) bem como em (Vea, 9), neste últmo, paa a otmzação de ses ígdos.... Colôna de Fomgas A otmzação atavés da técnca de Colôna de Fomgas, mas conhecda pela sgla ACOAnt Colony Optmzaton, se basea também no pocesso de análse do compotamento socal de ndvíduos, no caso, fomgas, a pocua de uma fonte de almento (Dogo e Stützle, ). A maoa das fomgas tem pouca ou nenhuma capacdade vsual, a comuncação ente elas é feta atavés de uma substânca químca chamada de feomôno. Este feomôno pode se utlzado paa se maca um camnho a se segudo. Ao camnha em busca de almento as fomgas deam po onde passam uma detemnada quantdade de feomôno. As companheas que veem em seguda escolhem dente os camnhos dsponíves aquele que tenha a mao quantdade de feomôno sendo este o de mao pobabldade de se aquele em que o almento se enconta. A Fgua. lusta o pocesso. (a) busca aleatóa (b) localzação ncal e fomação da tlha de feomôno (c) tlha de feomôno já fomada Fgua.. Pocesso de busca atavés da técnca de colôna de fomgas (a) busca aleatóa, (b) localzação ncal e fomação da tlha de feomôno e (c) tlha de feomôno já fomada. O algotmo ACO tem como base o compotamento descto anteomente. As fomgas são geadas aleatoamente na geação ncal e o pocesso de busca é ncado de foma aleatóa. A cada passo dado po uma fomga, a deção po esta tomada é baseada em um fato de aleatoedade e também na taa de feomôno 6

29 depostada na vznhança deta desta fomga, quanto mao fo esta taa em uma detemnada deção, mao seá a pobabldade de esta fomga segu po esta deção. A cada teação a taa de feomôno em cada ponto do espaço de busca é atualzada e decescda. Em (Caples et al., 6) apesenta-se uma aplcação da técnca ACO paa mnmzação do peso de telças com vaáves dscetas. Já em (Sm e Sun, ), a ACO é utlzada paa balanceamento de otas em edes de telecomuncações e ntenet, de foma paecda, (Bell e McMullen, ) utlzam ACO paa otmzação de otas de veículos.... Ename de Patículas A otmzação atavés de ename de patículas fo ntoduzda ncalmente po (Kennedy e Ebehat, 99) e se basea no estudo do compotamento de gupos de ndvíduos, como, po eemplo, um conjunto de pássaos. Esta técnca é o objeto de estudo deste tabalho e, sendo assm, seá analsada com mao detalhamento no Capítulo. 7

30 Capítulo Otmzação atavés de Ename de Patículas. Intodução A técnca de otmzação utlzando ename de patículas, mas conhecda pela sgla PSO Patcle Swam Optmzaton, é uma técnca de busca ognalmente desenvolvda po (Kennedy e Ebehat, 99). O pocesso de busca fo nspado no compotamento socal de gupos de ndvíduos, no caso ncal, de pássaos. Quando estes ncam sua evoada a pocua de almento o fazem de foma ncalmente aleatóa e desodenada. Ao longo do tempo, pecebe-se uma oganzação no voo e um padão de busca sendo demonstado. Caso o almento seja encontado espea-se que todo o bando se dja paa este. A pat das obsevações fetas neste pocesso de busca dos pássaos, (Kennedy e Ebehat, 99) desenvolveam uma técnca onde os pássaos são consdeados patículas em um espaço de busca multdmensonal e o objetvo a se alcançado é um ponto neste espaço, no caso de otmzação de funções, o ponto ótmo. O PSO é um algotmo populaconal tanto quanto os algotmos genétcos (Davs, 99), bem como a técnca ACO (Colonet al., 998). Estes algotmos têm, em comum, a ncalzação da população feta de foma aleatóa, dente outos fatoes. O PSO pode se consdeado um algotmo evolutvo em que, ao longo do tempo, o posconamento dos ndvíduos ou patículas é atualzado baseado em egas pé-estabelecdas. As patículas colaboam ente s paa a atualzação do seu 8

31 posconamento utlzando-se a função objetvo a se alcançada como métca paa a avalação das posções e defnção das melhoes patículas. A utlzação desta técnca de otmzação tem se mostado bastante nteessante em dvesas aplcações de engenhaa como pojeto de ccutos lógcos (Coello e Luna, ), pojetos de contole (Zheng et al., ), sstemas de potênca (Abdo, ) dente outas.. Algotmo PSO Básco O algotmo PSO é elatvamente smples se compaado a outos algotmos bonspados. Seu núcleo se basea na atualzação das velocdades das patículas ao longo do tempo e esta atualzação mpacta na modfcação do posconamento. Consdeando que a posção de uma patícula em um tempo k pode se epesentada po k e a velocdade da mesma como sendo v k. Os vetoes de posção e velocdade desta patícula são amazenados duante o pocessamento do algotmo em uma geação k e utlzados paa a atualzação da população na geação k. Paa a atualzação da população, além dos vetoes velocdade e posção de todas as patículas em uma geação k, são necessáas duas nfomações, a sabe () a melho posção da patícula ao longo de todo o pocesso até o momento defnda po p k e () a posção da melho patícula de todo o ename ao longo do pocesso até o momento defnda po g p k. A atualzação da velocdade de cada patícula é dada pela equação (.) onde vk epesenta o veto velocdade da patícula tempo k, w é o fato de néca, nd e nd são duas vaáves aleatóas e ndependentes de dstbução unfome ente e, c e c são paâmetos de confança em elação ao posconamento da pópa patícula e em elação ao posconamento da melho patícula do ename até o momento em todo o pocesso, espectvamente. A vaável e neste tabalho seá utlzado como tendo valo untáo. t é o espaço de tempo v k wv k c nd ( pk t k ) c nd 9 g ( pk k ) t (.)

32 A atualzação do posconamento de cada patícula, a pat da velocdade atualzada, é dada pela equação (.). k vk k t (.). Descção do Algotmo O algotmo PSO básco, utlzado paa poblemas sem estções, pode se defndo confome a descção tetual a segu. Incalza um conjunto de patículas em um tempo k e posções aleatoamente dstbuídas dento do espaço de busca;. Avala a função objetvo de cada uma das patículas da população; com velocdades. Atualza a melho posção de cada patícula ndvdualmente e a melho posção do bando;. Atualza a posção de cada patícula no tempo k baseado na posção e velocdade no tempo k ;. Repet os pocessos de a até que uma condção de paada seja satsfeta. O conjunto ncal de patículas é geado de foma aleatóa e ndependente espalhado pelo espaço de busca confome as equações (.) e (.) a segu mn ma nd ( mn ) (.) nd ( mn ) (.) v mn ma Onde e v são, espectvamente, os vetoes posção e velocdade ncal da patícula, nd e nd são vaáves aleatóas ndependentes de dstbução unfome ente e, mn e ma são os vetoes que contém os lmtes nfeo e supeo da paa, espectvamente.

33 . Atualzação dos Paâmetos Paa a atualzação do valo da néca w estem váas técncas dfeencadas, paa (Ebehat e Sh, 998) deve-se usa um valo fo paa w. Um valo fo pode enconta esultados nteessantes nas pmeas teações do algotmo aumentando a capacdade de eploação do ename. No entanto, quando se apoma do ótmo, este valo fo pode faze com que o númeo de teações necessáas paa atng-lo cesça. Assm, (Ebehat e Sh, ) popõe uma vaação lnea de w ao longo das teações do algotmo. Como o veto de velocdades é ncalzado aleatoamente, começa o algotmo com valoes maoes paa w espaço. Ao longo das teações, o valo de w gea uma busca mas abangente no va sendo eduzdo gadatvamente fazendo com que as patículas se fem no ótmo de foma mas ápda. A sugestão de (Ebehat e Sh, ) fo utlza a vaação da néca com valo ncal de,9 e fnal de,. O cálculo da vaação lnea de w pode se vsto como descto na equação (.). Onde ( N k) w k ( wn w fm ) w N w k é o valo da néca na teação k, fnal espectvamente e N é o númeo total de teações. fm (.) w n e w fm são os valoes ncal e Outa poposta paa a vaação da néca fo apesentada po (Chattejee e Say, ). Um pouco dfeente daquela poposta po (Ebehat e Sh, ), tende a aumenta a convegênca do ename nas últmas teações. Chamada de vaação não lnea da néca pode se descta pela equação (.6). n ( N k) (.6) ( wn w fm ) w n fm w k N Na equação (.6), w k é o valo da néca na teação k, w n e w fm são os valoes ncal e fnal, espectvamente, N é o númeo total de teações e n é o epoente de não lneadade. É possível pecebe que a equação (.6) se tona a equação (.) quando se tem o coefcente de não lneadade. Com a utlzação da néca não lnea o compotamento das patículas em busca da solução ótma passa a depende fotemente do coefcente n. A Fgua.,

34 epoduzda de (Chattejee e Say, ), lusta o compotamento de w em função de n. Fgua.. Vaação de w em elação ao coefcente n.. Aplcações do PSO O PSO pode se aplcado a uma gande quantdade de poblemas. Em (Foue e Goenwold, ) o PSO é utlzado paa a otmzação de foma e tamanho na áea de pojeto estutual, também em (Vente e Sobeszczansk-Sobesk, ) paa otmzação multdscplna aeodnâmca, nesta abodagem o PSO utlzado sofe modfcações paa atende as especfdades do poblema. Já em (He et al., ) o PSO é utlzado paa a otmzação de poblemas de pojeto mecânco. Em (Albecht, ) o PSO é utlzado paa a otmzação de sstemas de ancoagem em platafomas de petóleo. Em (AlRashd e El-Haway, 9) o PSO é utlzado paa aula o pocesso de otmzação de sstemas de potênca no contole eatvo do fluo de potênca bem como na edução da peda de enega. O PSO também é utlzado na áea de modelagem de antenas nclundo o contole ótmo e modelagem de conjuntos de antedas, otmzação de efleão, coeção de eos dente outas dsponíves em (Donell et al., 6; Benedett et al., 6; Elkamchouch e Wagh, 7). Nas áeas bológa, médca e famaceutca o PSO é utlzado, dente outas aplcações, paa o dagnóstco do mal de Paknson (Ceselsk et al., 7) e classfcação de cance (Xu et al., 7; Selvan et al., 9). O PSO também é utlzado na áea do entetenmento em aplcações como dlema do psoneo (Fanken e Engelbecht, ), nós folha em ávoes de jogos e áudo em geal (Blackwell a Bentley,)

35 Capítulo Estatégas de Penalzação. Intodução Um poblema de otmzação, eescto aqu, atavés da equação (.), pode se tansfomado em um poblema sem estções atavés da ntodução de funções de penalzação geando-se assm uma únca função F () a se otmzada chamada de função Ftness ou função aptdão nos algotmos evolutvos. Assm, a função aptdão F () pode se eescta atavés da equação (.). Na equação (.) epesenta o veto de vaáves do poblema, f () é a função objetvo e g () e h () são, espectvamente, as estções de gualdade e desgualdade elaconadas ao poblema e que podem se funções lneaes ou não lneaes do veto de vaáves do poblema mnmze f ( ) sujeto a g ( ) paa,..., m h ( ) paa,..., l R X n n L U { R,,,..., n} (.) F ( ) f ( ) β (.)

36 Na equação (.) f () é o valo obtdo atavés da avalação da função objetvo, β é a função de penalzação a se adconada e F () o valo da função de aptdão a se consdeado no algotmo. As técncas de penalzação anda podem se sepaadas em técncas de penalzação nteo e eteo (Babosa e Lemonge, 8). No pmeo caso é utlzada uma função dta de baea, epesentada na equação (.) po B () que tem seu valo aumentado apdamente à medda que os valoes das vaáves da função se apomam do lmte da egão factível. No segundo caso, epesentado pela equação (.), uma função de penalzação é adconada à função objetvo onde P( ) se a solução é factível e P( ) > caso contáo. Nos dos caso, K. F k ( ) f ( ) B( ) k (.) F k ( ) f ( ) kp( ) (.) Dente váas técncas de penalzação destacam-se as seguntes (Coello, ) () Estátcas; () Dnâmcas e () Adaptatvas.. Penaldades Estátcas As penaldades estátcas, como a pópa descção já ndca, dependem somente da defnção de um fato eteno ao algotmo paa defnção do valo a se somado ou multplcado a função objetvo. Este valo é fado duante toda a eecução do algotmo não sendo elaconado a qualque fato da evolução do algotmo como, po eemplo, o númeo de geações. A gande desvantagem das penaldades estátcas é penalza uma detemnada solução canddata com volações pequenas da mesma foma que se penalza uma outa com volação consdeável das estções. Isto pode leva uma patícula póma ao ótmo a se afasta do mesmo dfcultando a busca da solução desejada. Uma sugestão nteessante fo feta po (Homafa et al., 99) onde mas de um fato de penaldade é defndo sobe um detemnado nível de volação de foma

37 que este seja mao ou meno dependendo deste nível de volação. A déa então é penalza a solução canddata de foma dfeente de acodo com a volação de cada estção. Na equação (.) defne-se como é calculada a função de aptdão onde R k, são os coefcentes de penalzação utlzados, m é o númeo de estções e, f () é a função objetvo não penalzada e k é um valo nteo vaando de até m volações. F( ) f ( ) m ( R [ g ( ) ] k, ma, ) (.) Na sugestão de (Homafa et al., 99) a mao dfculdade encontada é a quantdade de paâmetos que tem que se defndos paa o poblema.. Penaldades Dnâmcas As penaldades dnâmcas tem seus valoes ntmamente elaconados ao númeo da geação em que se enconta o pocesso evolutvo do algotmo. Tanto em (Jones e Houck, 99) quanto em (Kazals e Petds, 998) a valo do fato de penaldade cesce de acodo com o númeo de geações. Emboa as abodagens sejam um pouco dfeentes, ambas se baseam na defnção de paâmetos paa o cescmento do fato de penaldade e anda, de um fato ncal. O método de cálculo da função de aptdão sugedo po (Jones e Houck, 99) está epesentado na equação (.6) onde C,α e β são constantes defndas pelo usuáo, m e p epesentam o númeo de estções do poblema avalado. F( ) sendo f ( ) ( Ct) SVC α ( β, ) (, ) SVC β (.6) n p β D ( ) j D ( ) j, D ( ) g ( ) g ( ) caso contáo m, D j ( ) h j ( ) h ( ) j caso contáo j p

38 De antemão já se podea suge que uma penalzação dnâmca tende a se mas efcente que uma estátca vsto que o fato de penalzação se altea à duante a evolução do algotmo, no entanto, a sensbldade paa a defnção dos paâmetos envolvdos no cescmento do valo do fato de penalzação pode se complea povocando uma convegênca pematua paa um ótmo local ou anda em uma não convegênca devdo à utlzação de um valo muto alto elmnando soluções que podeam leva a este ótmo.. Penaldades Adaptatvas As técncas adaptatvas se baseam na alteação dos valoes dos fatoes de penalzação ao longo do pocesso de evolução. Estes podem se alteados de acodo com as geações ou com o gau de volação das estções do poblema. Em (Bean e Alouane,99) um método nteessante de penaldade adaptatva é poposto onde o fato de penaldade é alteado a cada geação. A equação (.7) lusta como é calculada a função de aptdão e na equação (.8) demonsta-se como é feta a atualzação do fato de penalzação λ(t) a cada geação. Na equação (.8), o melho elemento da geação, F é a egão factível e β β ambos são maoes que zeo. b é n p F( ) f ( ) λ ( t) g ( ) h j j ( ) (.7) (/ β) λ( t), se b fo sempe factível (.8) λ ( t ) β λ( t), se b nunca fo factível λ( t), caso contáo Outa abodagem é te a magntude da penaldade defnda de acodo com o valo da função de aptdão da melho solução canddata conhecda até então (Smth e Tate, 99). Esta abodagem defne o valo da função de aptdão de uma solução canddata como descto na equação (.9). 6

39 Na equação (.6), F( ) f ( ) ( B factível B geal ) n NFT ( t) g ( ) k (.9) B factível é o melho valo da função objeto na geação t, B geal é melho valo da geal não penalzado função objetvo, g () é o valo da volação da estção, k é uma constante que defne o quão sevea seá a penaldade e NFT é a sgla de Lma de Vabldade mas Pómo (Nea Feasblty Theshold) (Gen e Cheng, 996) que se defne como o lma da dstânca da egão factível consdeada azoável e a egão factível em s. Já (Schoenaue e Xanthaks, 99) apesentam uma estatéga paa o tatamento de poblemas com estções em estágos pmeamente uma população aleatóa se desenvolve levando-se em consdeação somente a pmea estção até que um pecentual desta população se tone factível, a população esultante deste pocesso é utlzada paa da contnudade ao pocesso de otmzação agoa se levando em conta a segunda estção sendo que, nesta segunda etapa, aqueles ndvíduos que passam a vola a pmea estção são emovdos. O pocesso então se epete até que tenham sdo pocessadas todas as estções. A gande desvantagem neste caso é o ecesso de pocessamento quando o poblema avalado possu uma gande quantdade de estções. Em (Hamda e Shoenaue, ) a poposta é de se utlza uma pacela dos ndvíduos factíves da população em conjunto com uma estatéga de seleção paa o acasalamento de ndvíduos factíves e nfactíves e, sem seguda, um esquema de seleção paa da a ceto númeo de ndvíduos mao vantagem sobe os outos. Mas adante nesta seção seá abodada, com detalhes, a técnca de penalzação adaptatva APM poposta po (Lemonge e Babosa, ). Técncas de Penalzação Aplcadas ao PSO Uma das estatégas paa tatamento das estções em um PSO é apesentada em (Hu et al., ) onde são popostas modfcações no algotmo ognal em que a população ncal deve possu todas as patículas factíves e duante a atualzação das memóas, também, são mantdas somente as soluções factíves. 7

40 Em (Pasopoulos e Vahats, ) a alteação no PSO é feta adotando-se uma função de penalzação mult-estágo e não-estaconáa. Já em (Ray e Lew, ) sugee-se a utlzação de um odenamento utlzando-se um conjunto de Paeto tatando as estções como uma matz paa se localza uma BPL (Best Pefomance Lst). Outa abodagem também pode se encontada em (Zavala et al., ). Vale anda cta duas abodagens aplcadas especfcamente com o algotmo evolutvo PSO. A pmea, sugeda po (Cagnna et al., 8), ntoduz uma vaante do PSO denomnada Sc-PSO onde uma estatéga de penalzação bastante smples é utlzada. Pmeo, as patículas são avaladas em paes paa defnção dos valoes de p k e g p k, da segunte manea. se duas patículas foem factíves, a que tem a melho aptdão é a escolhda;. se duas patículas são nfactíves, a que tem menos gau de nfactbldade, calculado pela soma das volações das estções, é a escolhda e;. se uma patícula é factível e outa nfactível a patícula factível é escolhda. Em seguda, se uma patícula é nfactível a quantdade de volação desta é calculada pela soma das volações das estções nomalzada com base na mao volação encontada até o momento. Isto ndca que cada patícula amazena também a quantdade de volação que ela obteve duante a evolução do algotmo até o momento. A nova posção da patícula em questão é detemnada pela equação (.) que é uma alteação da sugestão ognal de atualzação da posção do PSO defnda na equação (.). k k pl p N g k (.) Na equação p l é a melho posção de todas as patículas na vznhança da patícula e esta vznhança é localzada atavés de uma topologa de anel sugeda po (Kenney, 999). 8

41 Já em (Ague et al., 7) uma outa vaante do PSO é sugeda desgnada COPSO com uma estatéga de penalzação semelhante á utlzada po (Cagnna et al., 8), no entanto, duas novas caacteístcas são nsedas. Toleânca paa estções de gualdade onde, nestes casos, as estções de gualdade são convetdas em estções de desgualdade confome eposto na equação (.). Nesta equação, h j epesenta a estção j e ε é defndo como o fato de toleânca e este é decescdo de foma lnea ncando-se com e chegando até um valo pé-detemnado. Este decéscmo é feto em 9% do pocessamento do algotmo e nos últmos % o valo de ε se mantém constante.. Amazenamento das patículas toleantes, onde uma patícula dta toleante é aquela que se mantém factível após duas ou mas eduções do fato de toleânca ε.estas patículas são amazenadas em uma áea sepaada e utlzadas na avalação do algotmo na póma geação. h ε (.) j.6 Abodagens Recentes paa o Tatamento de Restções Recentemente na lteatua foam dsponblzas dvesas abodagens novadoas paa o tatamento de estções em poblemas de otmzação utlzando-se os algotmos evolutvos. (Zavala et al., 9) sugeem uma modfcação ao PSO da nseção de tês modfcações uma estutua de vznhança em ede paa dmnu a convegênca, dos opeadoes de petubação aplcados a cada patícula com o objetvo de melhoa a dvesdade do ename e um pocesso de toleânca dnâmca paa tata estções de gualdade. Já (Yen, 9) tata de poblemas de otmzação mult-objetvo atavés da ntodução uma função de penaldade sem a necessdade de paâmetos etenos que opea em conjunto com uma medda de dstânca. Nesta abodagem o pocesso de busca se utlza de uma função de aptdão modfcada atavés da função de penaldade e o compotamento do pocesso de busca é detemnado pelo númeo de soluções factíves. 9