Procedimento Para Solução de Problemas de Condução de Calor Com Condutividade Térmica Dependente da Temperatura

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1 UNVERSDADE DO ESADO DO RO DE ANERO CENRO DE ECNOLOGA E CÊNCA FACULDADE DE ENGENHARA DEPARAMENO DE ENGENHARA MECÂNCA Pocedmento Paa Solução de Poblemas de Condução de Calo Com Condutvdade émca Dependente da empeatua 4 7 ulho/8

2 REOR Rcado Vealves de Casto VCE-REOR Maa Chstna Paão Maol SUB-REORA DE GRADUAÇÃO Lená Medeos de Menezes DREOR DO CENRO DE ECNOLOGA E CËNCAS Maa Geogna Munz Washngton DREOR DA FACULDADE DE ENGENHARA Pofª. Maa Eugêna Gouvêa CHEFE DO DEPARAMENO DE ENGENHARA MECÄNCA Pof. Fancsco osé da Cunha Pes Soeo COORDENADOR DE PROEO DE GRADUAÇÃO Pof. Calos Albeto Peea Coea ORENADOR Pof. Rogéo Matns Saldanha da Gama CO-ORENADOR Pof. Nobeto Mangavacch AUOR Leon Matos Rbeo de Lma BANCA EXAMNADORA Pof. Rogéo Matns Saldanha da Gama Pof. Calos Albeto Peea Coea Pof. Nobeto Mangavacch - -

3 Leon Matos Rbeo de Lma Oentado: Rogéo Matns Saldanha da Gama Co-oentado: Nobeto Mangavacch Pocedmento Paa Solução de Poblemas de Condução de Calo Com Condutvdade émca Dependente da empeatua Objetvo: A poposta deste tabalho é um pocedmento sstemátco que povê a solução eata de poblemas de tansfeênca de calo não-lnea em copos com condutvdade témca em função da tempeatua, atavés de uma seqüênca de poblemas lneaes, onde a solução é dada pelo lmte da seqüênca. - -

4 RESUMO Na gande maoa dos pojetos de engenhaa, poblemas de condução de calo sofem váas smplfcações paa que o sstema de equações pemta solução eata. No entanto, tas apomações possuem um custo, que se taduz em detupações do fenômeno físco eal, o que pode nos leva a esultados muto mpecsos. Um dos atfícos mas utlzados na modelagem de poblemas de condução de calo é assum a condutvdade témca nvaante com a tempeatua, fazendo com que o temo dfusvo da equação da condução fque lnea. Entetanto, a go, todo mateal, sem eceção, possu condutvdade témca dependente da tempeatua. Os pocedmentos analítcos conhecdos que levam em conta tal dependênca se estngem, anda, a um númeo lmtado poblemas. A poposta deste tabalho é um pocedmento sstemátco que povê a solução eata de poblemas de tansfeênca de calo em copos com condutvdade témca em função da tempeatua, atavés de uma seqüênca de poblemas lneaes, onde a solução é dada pelo lmte da seqüênca. O método empega a tansfomada de choff, a qual é a ncógnta em cada elemento da seqüênca e possu elação bunívoca com a tempeatua. Esta últma condção pemte que, esolvendo o sstema de equações em temos da tansfomada, obtenhamos o campo de tempeatua do copo. Neste tabalho, váos poblemas são esolvdos po meo do pocedmento poposto e os esultados são mostados e analsados. Nos casos de geometas mas compleas, empegamos o Método de Elementos Fntos (MEF ou o Método de Dfeenças Fntas (MDF. O MEF e o MDF são métodos numécos de solução de EDP s bastante dfunddos, amplamente utlzados em engenhaa, e pouco dscutdos nos cusos de gaduação da UER. Po sso este tabalho conta também com alguns eemplos de esolução de poblemas de tansmssão de calo lnea po meo destas feamentas, com detalhes de cada passo de sua fomulação, no ntuto de pove uma fonte de consulta nas aplcações do MEF e do MDF em casos clásscos de tansmssão de calo

5 ABSRAC n most pat of engneeng pojects, heat conducton poblems ae smplfed n the ntent that the equatons sstem allows eact soluton. Nevetheless, such smplfcatons ae, n fact, dstotons of the eal phscal phenomenon, whch can nduce us to ve mpecse esults. One of the most utlzed atfces n heat tansfe modelng s to assume themal conductvt nvaant wth tempeatue, whch maes the dffusve tem n the conducton equaton to be lnea. Stll, eve mateal, wth no eceptons, has tempeatue dependent themal conductvt. he analtcal pocedues that tae n account such dependence ae estcted to a lmted set of poblems. hs wo pesents a sstematc pocedue fo eact soluton of heat tansfe poblems n bodes wth tempeatue dependent themal conductvt, b means of a sequence of lnea poblems, whee the soluton s gven b the lmt of the sequence. he method emplos the choff tansfom, whch s the unnown n each sequence element, and has a bunvocal elaton wth tempeatue. hs last condton allows that, b solvng the sstem n tems of the tansfom, we obtan the tempeatue feld of the bod. n ths wo, the method s emploed to seveal poblems and esults ae shown and analzed. n cases of moe comple geometes the Fnte Element Method (FEM o the Fnte Dffeences Method (FDM s appled. hese methods ae numecal pocedues well dffused n PDE s soluton, wdel used n engneeng, and lttle dscussed n undegaduate couses n UER. Fo ths eason, ths wo also counts wth some esoluton eamples of lnea heat tansfe poblems b means of such technques, wth detals of each step of the numecal fomulatons, n ode to povde a souce of consultaton on FEM and FDM applcatons n classcal cases of heat tansmsson

6 ÍNDCE - ntodução 8. - Fomas de ansmssão de Calo 9. - Modelo de Resolução Poposto 9 - Concetos Báscos. - Condução. - Convecção. - Radação - Calculando a Dstbução de empeatuas de um Copo Pocedmento Lnea 4. - Equações Govenantes 4. - ansfomada de choff 4. - Constundo a Solução a Pat da Seqüênca de Poblemas Lneaes Convegênca Eemplos Eemplo Eemplo Eemplo Métodos Numécos em Poblemas de ansmssão de Calo Dfeenças Fntas Eemplo Eemplo Eemplo Elementos Fntos Em Busca da Foma Faca das Equações Govenantes Dscetzação do Domíno em Elementos Fntos Fomulação do Elemento Fnto angula Lnea Fomulação de Foma do Elemento Devada das Funções de Foma do Elemento Foma Faca po Elemento com as empeatuas Nodas Atbução das empeatuas Nodas aos Elementos da Malha Eemplo Eemplo Smulações Numécas Eemplo Eemplo Eemplo Eemplo 4 8 Conclusão 85 Refeêncas 86 Publcações

7 SÍMBOLOS c Φ g h L n ω Ω Ω q q q& R ρ σ u v calo específco tansfomada de choff do elemento da seqüênca veto aceleação da gavdade coefcente de toca de calo po convecção condutvdade témca tenso condutvdade témca compmento veto untáo nomal eteo tansfomada de choff egão do espaço ocupada pelo copo que conduz calo fontea do domíno Ω taa de tansfeênca de calo veto fluo de calo po undade de áea geação ntena de enega po undade de volume ao densdade constante de stefan-boltzmann tempeatua tenso tensão tempeatua de efeênca enega ntena veto velocdade - 7 -

8 NRODUÇÃO Estudos na áea de tansfeênca de calo são de fundamental mpotânca em váos amos de engenhaa. Engenheos eletcstas, po eemplo, estão sempe peocupados em evta danos mateas devdos a pontos de supeaquecmento, causados po desgn mpópo das tocas de calo em motoes elétcos, geadoes e tansfomadoes. Um engenheo eletônco está nteessado em conhece métodos efcentes de dsspação de calo em chp s e outos semcondutoes de manea que possam opea dento de faas seguas de tempeatua. Engenheos químcos estão nteessados em pocessos de tansfeênca de calo neentes a dvesas eações químcas. Um engenheo metalúgco estaa nteessado em conhece a taa de tansfeênca de calo necessáa paa um pocesso de tatamento témco patcula, como, po eemplo, numa fundção, onde a qualdade fnal do poduto está ntmamente lgada à taa de esfamento do pocesso. Engenheos agopecuáos estão nteessados na secagem de gãos, pocessamento de almentos e consevação. Um engenheo cvl deve te contole sobe o estesse témco desenvolvdo em cetos tpos de conceto, bem como o efeto da tansfeênca de massa e calo na constução e em mateas de constução. Um engenheo ambental está peocupado com o efeto da tempeatua na dspesão de poluentes no a, dfusão de poluentes em solos, polução témca em lagos e maes e seus mpactos na vda teeste e aquátca. O engenheo mecânco é o mas envolvdo com fenômenos de tansmssão de calo e conhece os pocessos témcos assocados à opeação de equpamentos como boles, condensadoes, pé-aquecedoes de a, ente mutos outos, sempe buscando ganho de desempenho. Usnas nucleaes equeem nfomação pecsa aceca dos pocessos de tansfeênca de calo, tendo em vsta que condções seguas de opeação são um fato fundamental em seu pojeto. Refgeação e sstemas de condconamento de a também envolvem dspostvos de toca de calo, egndo desgn cudadoso (e.g.: satéltes atfcas. anto a pesqusa fundamental quanto a pesqusa opeaconal em fenômenos de tansfeênca de calo são essencas paa a obtenção de soluções econômcas e efcentes paa poblemas cítcos encontados em mutos pojetos de engenhaa. Mas do que sso, se devemos potege o ambente, então é mpescndível entende os pocessos de tansfeênca de enega envolvdos e, se necessáo, toma as povdêncas devdas

9 . Fomas de tansmssão de calo Há tês modos báscos de tansmssão de calo: condução, adação e convecção. A go, somente a condução e a adação devem se classfcadas como pocessos de tansfeênca de calo, pos podem est ndependentes um do outo, enquanto que a convecção não ocoe sem a condção físca fundamental, que é a condução témca. Ela depende do tanspote mecânco de massa, sendo uma foma de tansmssão que combna movmento com condução de calo. Anda assm, a convecção é um meo de tansmssão de enega podeoso e muto utlzado em engenhaa, e po sso meece atenção especal. A maoa dos poblemas de tansfeênca de calo po condução é descta sob a hpótese de condutvdade témca ndependente da tempeatua. al suposção é matematcamente convenente poque, em geal, esulta em equações dfeencas pacas lneaes. No entanto, a condutvdade témca é sempe uma função dependente da tempeatua, e, mutas vezes, neglgenca tal dependênca (supondo condutvdade témca constante nos leva a uma descção matemátca mpecsa do pocesso de condução de calo.. Modelo de esolução poposto O objetvo pncpal deste tabalho é pove um pocedmento sstemátco e confável paa descção da tansfeênca de calo po condução em um sóldo ígdo, homogêneo e em epouso com condutvdade témca dependente da tempeatua. O pocedmento fonece solução eata e empega apenas o feamental utlzado em poblemas de condutvdade témca constante. O método consste na obtenção da solução de poblemas não-lneaes de tansfeênca de calo (condutvdade témca vaando com a tempeatua atavés de uma seqüênca de poblemas lneaes. A passagem do modelo matemátco ognal paa esta seqüênca é feta pelo empego da tansfomada de choff e a convegênca é gaantda, desde que atendda uma smples condção, confome seá vsto

10 CONCEOS BÁSCOS. Condução Sempe que est um gadente de tempeatua dento de um sstema ou ente sstemas em contato témco, haveá tansfeênca de calo po condução. Desta foma, em um copo com dfeenças ntenas de tempeatua, este um fluo de calo po condução dos pontos de mao tempeatua paa os de meno tempeatua, seja ele copo ígdo ou fludo. Este fluo seá tanto mao ou meno dependendo da condutvdade (ou condutbldade, como alguns autoes pefeem témca do mateal, que epesenta, em poucas palavas, a facldade com que o calo é conduzdo, e é sempe uma função da tempeatua, seja qual fo o mateal. A Le de Foue elacona o fluo de calo po condução com o gadente de tempeatuas e é epessa po: q gad( (. onde: q é o veto fluo de calo (enega po undade de tempo e áea; ˆ (, sendo o tenso condutvdade témca, smétco e postvo defndo, e é a tempeatua. No caso de mateas sotópcos,, onde é um escala postvo. Paa estes casos o fluo de calo passa a se apenas: q gad( (. Esta equação nos pemte conhece a taa de tansfeênca de enega témca, mas não nos pemte detemna o campo de tempeatuas, ou seja, a dstbução de tempeatuas, num dado copo. A equação da consevação da enega (Pmea Le da emodnâmca, tomada paa copos opacos, ígdos e em epouso, nos daá meos paa tanto. Em sua foma ntegal, a Equação da Consevação da Enega completa é dada po - -

11 d dt Ωt ρ u v v dv Ωt ρg vdv Ωt v nds Ωt qdv & Ωt q nds (. onde: ρ epesenta a densdade; u é a enega ntena; v é o veto velocdade; g é o veto aceleação da gavdade; é o tenso tensão; n é o veto nomal untáo eteo; q epesenta a geação ntena de enega po undade tempo e volume; & q é veto fluo de enega po undade de tempo e áea Ω é uma egão no espaço no nstante t t Ω é a fontea deω t t Levando em conta a consevação da massa e da quantdade de movmento, a equação fca, na foma local Du ρ dv( q gad ( v q& (.4 Dt gad ( v gad ( v. Logo, como Pela condção de copo ígdo temos que [ ], gad ( v (.5 A condção de copo em epouso esulta em v, ou seja, Du Dt u t [ gad u ] u ( v (.6 t Consdeando que a enega ntena é tal que u uˆ ( e du c (.7 d - -

12 onde c epesenta o calo específco do mateal, e as condções de copo ígdo, opaco e em epouso, a equação da enega passa e se, então, dada pela equação (sem mudança de fase ρ c dv( q q& (.8 t que também pode se chamada equação da condução de calo. Neste tabalho seá levada em conta a equação da condução em egme estaconáo, paa copos homogêneos com sotopa témca: [ gad ( ] q dv & (.9. Convecção A convecção é uma foma de tansmssão de calo que combna condução témca e movmento. De acodo com o que povoca o tanspote mecânco de massa a convecção é classfcada em natual ou foçada. Na convecção natual o deslocamento de massa ocoe apenas devdo à alteação na densdade da poção que ecebeu ou cedeu alguma pacela de calo. Na convecção foçada o movmento é povocado po algum fato eteno. Po eemplo, a convecção pomovda po um ventlado é foçada, enquanto que a convecção témca utlzada em geladeas caseas é natual. As coentes de convecção natual tansfeem a enega ntena amazenada no fludo essencalmente da mesma manea que as coentes de convecção foçada. Entetanto, a ntensdade do movmento de mstua é gealmente meno na convecção natual e, potanto, as taas de tansmssão de calo são menoes do que na convecção foçada. Anda assm mutos dspostvos em engenhaa dependem bascamente de convecção natual paa aefecmento. Neste tabalho a convecção seá consdeada apenas paa fns de condção de contono dos poblemas abodados. A Le de Newton do Resfamento (devda de fato a Foue epesenta o fluo de calo tansfedo po convecção natual pela equação ( q h (. - -

13 onde: q é um escala que epesenta o fluo nomal de calo po undade de tempo e áea; h é o coefcente de tansfeênca de calo po convecção; é uma tempeatua efeente a um ponto no fludo sufcentemente afastado da fontea de modo que a tempeatua do fludo não seja afetada pela pesença de uma fonte de aquecmento (ou esfamento.. Radação A adação témca pode se encaada como o fluo de adação eletomagnétca emtdo po uma entdade mateal (copo sóldo, banho de líqudo, mstua de gases devdo a uma tempeatua absoluta não nula (Bejan, 99, []. Ou seja, todo copo com tempeatua absoluta dfeente de zeo (consdeando a mpossbldade de tempeatua absoluta negatva emte enega témca po adação, atavés de ondas eletomagnétcas. Ao contáo da condução e da convecção, a adação não necessta de meo paa tansfe calo, emboa ele seja nfluente no pocesso. Dependendo do meo, o estudo da toca de calo po adação é dvddo em duas gandes áeas: adação em meo patcpante e adação em meo não patcpante. O meo é dto patcpante quando absove e/ou emte adação témca, ntefendo no pocesso de tansmssão de calo. Nos casos de adação témca em meo não-patcpante consdea-se vácuo o meo onde se popagam as ondas eletomagnétcas. A taa de enega emtda po adação témca po um copo é chamada pode emssvo. A Le de Stefan-Boltzmann fonece o pode emssvo paa copos negos pela equação q σ 4 (. onde q epesenta a enega adante emtda po undade de tempo e áea, é a 8 4 tempeatua absoluta e σ é a constante de Stefan-Boltzmann ( σ 5,67 W/m. Seja G o fluo total de adação que atnge uma dada supefíce. ês pocessos podem ocoe com G : - -

14 - uma poção α G é absovda; - uma outa poção ρ G é efletda pela supefíce; - uma tecea poção τ G atavessa o copo, devdo a tanspaênca. α, ρ e τ são coefcentes tas que (consevação de enega α ρ τ (. e são denomnados absovdade total (α, eflevdade total (ρ e tansmssvdade total (τ da supefíce. O conceto de copo nego, dealzado po Gustav choff, epesenta um copo capaz de absove toda adação ncdente sobe ele, sto é, ρ τ, paa qualque compmento de onda, e que emte enega po adação numa taa (po undade de áea 4 gual a σ. Paa copos eas usa-se, mutas vezes, o modelo de copo cnzento, que absove enega eletomagnétca em qualque compmento de onda e a emte popoconalmente a um paâmeto chamado emssvdade (ε, com < ε <, tal que a taa de enega q emtda po undade de áea de um copo cnzento po adação é dada po q εσ 4 (. Na equação segunte, a quantdade q epesenta o fluo de enega tocada po adação atavés de uma supefíce: 4 qεσ αg (.4 sendo α a absovdade (ou absotânca elatva à supefíce e G a enega ncdente. Obs.: paa poblemas com toca de calo po adação ente mas de dos copos é necessáo consdea as pacelas de adação efletda e tansmtda (que passou atavés do copo po tanspaênca. Neste tabalho não seá levada em conta tal stuação

15 CALCULANDO A DSRBUÇÃO DE EMPERAURAS DE UM CORPO A dstbução de tempeatua num detemnado copo contínuo, ígdo, opaco e em epouso, sujeto a toca de calo po convecção e adação na supefíce, em egme pemanente, é obtda a pat da solução do sstema de equações dfeencas pacas segunte (assumndo que o copo ocupe a egão Ω com fontea Ω : dv[ gad( ] q& em Ω 4 [ gad( ] n h( εσ αg sobe Ω (. Mutas vezes o efeto da adação é despezível em elação à convecção, e a condutvdade témca pode se apomada paa uma constante. Com sso, o sstema anteo passa a se dv [ gad ( ] q& em Ω [ gad ( ] n h( sobe Ω (. que é uma equação dfeencal pacal lnea sujeta a condção de contono lnea. Este é um poblema clássco de engenhaa, e conta com amplo feamental de esolução. Po eemplo, consdeemos um copo clíndco de ao R e compmento L, que gea enega unfomemente a uma taa q& (W/m³. Se L fo muto mao do que R (L>>R, é azoável supo que as duas etemdades estejam soladas temcamente. O copo toca calo po convecção com o ambente, que está a uma tempeatua, que não é afetada pela tempeatua do copo. Assumndo condutvdade témca constante, a equação da enega paa este poblema (em egme pemanente e os balanços de fluo de calo na supefíce, em coodenadas clíndcas, são desctos po q& em z h( em R em z e z L z < R (

16 cuja solução é únca e epesentada po qr & ( R q& 4 h (.4 magnando agoa um caso mas pátco, consdee um cabo elétco, muto compdo, de cobe, com mm de dâmeto, pelo qual passa uma coente elétca, sujeto a condução apenas na deção adal, tocando calo po convecção com o ambente, que está a uma tempeatua méda de 5 C (98. Assumndo condutvdade témca constante e gual a 99 W/m (paa tempeatua de 9, e coefcente de toca de calo po convecção (ou coefcente de flme h gual a W/m², se o fo conduz uma coente de 5 A submetda a uma tensão de volts, o campo de tempeatuas em qualque seção tansvesal do fo seá apomadamente como mosta a fgua segunte: Fgua. campo de tempeatua em cabo elétco

17 Note que a tempeatua é patcamente gual em toda a áea, como podemos compova pela dfeença ente as tempeatuas máma e mínma: 98,849 ma 98,8 mn ma mn,566 No entanto, se analsamos a dstbução de tempeatua de um outo copo clíndco, com cnco metos de dâmeto, de fba de vdo (suponhamos que seja sotópco, com condutvdade témca a 9 gual a,5w/m, fonte de enega ntena gual a W/m³, veemos que há gadentes de tempeatua consdeáves: Fgua. campo de tempeatua em copo clíndco com,5m de ao. 744,8458 ma 98, mn - 7 -

18 ma mn 446,48574 A campo da dstbução de tempeatuas paa o cabo elétco talvez não seja necessáa duante o pojeto, mas no caso da fba de vdo ela nos pemtu detecta um gadente de tempeatuas acentuado. Ao contáo deste poblema, em que a geometa é smples e tona fácl sabe a po onde estão as maoes tempeatuas, bem como as menoes, há poblemas com geometas compleas, que tonam sso muto dfícl sem o cálculo da dstbução de tempeatua. ambém com elação aos dos poblemas anteoes, vmos que a condutvdade témca fo apomada paa uma constante. Há mateas, entetanto, cuja condutvdade témca possu fote dependênca da tempeatua, como mosta a tabela segunte. condutvdade témca (W/m Beílo, 8, 6, 6, 7, 89, 7, Boo 5,5,7 8,7, 8, 6, 5, Gemâno 96,8 66,7 4, 7, 9,8 7,4 7,4 Feo 94, 8,5 69,4 54,7 4,,6 8, Slíco 64, 68, 98,9 6,9 4,, 5,7 abela. condutvdade témca de elementos metálcos

19 Fgua. cuvas de condutvdade témca De fato, a condutvdade témca, paa mutos mateas, vaa eponencalmente com a tempeatua: ( α ep( β (.5 sendo α e β constantes postvas. Paa estes mateas (e mutos outos, esolve o sstema (. com constante pode conduz a esultados etemamente longe da ealdade físca do poblema. Compaemos agoa dos poblemas guas, a não se po uma dfeença: no pmeo a condutvdade témca é uma função da tempeatua, e, no segundo, ela é apomada paa uma constante (méda da utlzada no pmeo. º poblema - 9 -

20 Copo clíndco de ao R m com fluo apenas na deção adal, tocando calo po convecção com o ambente, com condutvdade témca vaável e dada po 7 ep(, (.6 A tempeatua ambente é 98, o coefcente de flme h é W/m² e a geação ntena de calo unfome e gual a W/m³. O campo de tempeatua é dado po ( 6 ep ln ( e gafcamente epesentado po Fgua.4 cuvas de tempeatua paa copo com condutvdade témca vaável poblema - -

21 gual ao anteo eceto pela condutvdade témca, que seá a méda da utlzada acma, ou seja, ~ W/m. A solução do poblema e o gáfco do campo de tempeatua são apesentados a segu. ( (.8 Fgua.5 campo de tempeatua paa copo com condutvdade témca constante As dfeenças ente os esultados são evdentes. Po eemplo, no pmeo poblema, a tempeatua em 5 m é 4, enquanto que no segundo, também paa 5 m, a tempeatua é 458. Há pojetos de engenhaa onde essa dfeença de 46 C (que não é pequena é detemnante, podendo decd se o pojeto é factível ou não. O poblema em que levamos em conta a dependênca da tempeatua paa a condutvdade témca é smples, pemtndo a obtenção da solução analítca com facldade. No entanto, a maoa dos casos envolve geometas mas compleas. Nomalmente, em stuações nas quas os métodos analítcos de solução não são patcáves e a condutvdade témca não pode se tomada como constante, devdo a - -

22 estções de desgn que egem mao pecsão na detemnação do campo de tempeatua, utlza-se métodos numécos, que fonecem uma solução apomada. Uma aplcação de metodologa numéca de esolução pode se vsta em De Andade e Zapaol [], onde, a cada teação, a condutvdade témca é calculada a pat do campo de tempeatua do passo anteo. Este tpo de pocedmento possu sempe um eo assocado, poém, há poblemas de engenhaa que não abem muto espaço paa apomações. - -

23 4 PROCEDMENO LNEAR 4. Equações Govenantes Consdeemos um copo ígdo, opaco e sotópco em epouso, cuja confguação é epesentada pelo conjunto abeto Ω com contono Ω. O pocesso estaconáo de tansfeênca de calo dento do copo é matematcamente descto pela segunte equação dfeencal pacal elíptca: [ gad ( ] q em Ω dv & (4. onde, q& e denotam, espectvamente, o campo de tempeatua, a taa de geação ntena de calo (po undade de volume e a condutvdade témca. O foco deste tabalho são os poblemas de condução de calo com condutvdade témca dependente da tempeatua, ou seja, tomada como uma função da tempeatua local. Em outas palavas, ˆ( (4. Supondo que as faces do copo tocam calo com o ambente de acodo com a le de Newton do esfamento, as condções de contono assocadas à equação (4. são dadas po [ gad ( ] n h( sobe Ω (4. onde n é o veto nomal eteno untáo (defndo sobe Ω, h é o coefcente de tansfeênca de calo po convecção e é a tempeatua de efeênca (ambente. O poblema esultante (não-lnea é dado po [ gad ( ] q em Ω & [ gad ( ] n h( sobe Ω dv ( ansfomada de choff - -

24 - 4 - Como a condutvdade témca é sempe um valo postvo, uma nova vaável ω (tansfomada de choff pode se defnda po ˆ( ˆ( f d ξ ξ ω (4.5 sendo ω uma função nvesível de. Calculemos o gadente da ntegal acma: d gad gad ( ˆ ξ ξ ω (4.6 Se epesentamos o gadente em coodenadas catesanas etangulaes z j gad (, teemos, paa cada componente, d ( ˆ ξ ξ ω (4.7 d ( ˆ ξ ξ ω (4.8 d z z ( ˆ ξ ξ ω (4.9 Se analsamos apenas a componente teemos, po analoga, a esposta paa as componentes e z. Sabendo que,, ˆ (,, ˆ(,, ˆ (,, ˆ (,, ˆ( ( lm ( ( lm ( d d d d z z z z z ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ (4. Podemos ntoduz a função ( ˆ G tal que ( ( ˆ ' G, de manea que

25 - 5 - ( ( d dg G z G z G (,, ˆ( ˆ,, ˆ( ˆ lm (4. Note que ( (,, ˆ(,, ˆ ( (,, ˆ( ˆ,, ˆ( ˆ z z d z G z G ξ ξ (4. logo d z ( (,, ˆ( ξ ξ (4. Dessa foma, as equações 4.7 a 4.9 esultam em, espectvamente, ( ω (4.4 ( ω (4.5 z z ( ω (4.6 ou seja, ( ( gad gad ω (4.7 A elação acma ndepende de sstema de coodenadas. Desta foma, o poblema ognal pode se eescto como segue: [ ] [ ] ( Ω Ω sobe ( ˆ ( em ( f h n gad q gad dv ω ω ω & (4.8

26 onde ˆ f ( ω. O poblema acma pemanece não-lnea, mas esta não-lneadade está assocada apenas ao contono, não à equação dfeencal pacal escta paa o nteo do copo. Como a condutvdade témca é postva paa todo domíno (do contáo estaíamos volando a ª Le da emodnâmca, com fluo de calo no sentdo da meno paa a mao tempeatua é possível nota que dω d > > e > paa todo o domíno (4.9 d dω ou seja, a tempeatua é uma função esttamente cescente de ω este uma elação bunívoca ente ω e. A conseqüênca dsso é muto mpotante, pos gaante que, em se conhecendo ω, seja possível obte, e vce-vesa. Em outas palavas, a pat da solução em ω do sstema (4.8 tem-se a solução de (4.4. Mas anda, podemos conclu que a tansfomada de choff sempe teá nvesa. Po eemplo, se tvemos paa < (4. paa sendo e constantes, a tansfomada é dada po dξ paa < ω (4. dξ paa ou anda ( ( paa < ω (4. paa cuja nvesa é - 6 -

27 - 7 - < paa paa ω ω (4. Somemos, agoa, as nvesas defndas nos ntevalos < e. Paa que esta soma valha paa todo (, ntoduzmos uma função F da segunte foma: < paa paa F F ω ω (4.4 Somando, temos F ω (4.5 F ω (4.6 F deve se uma função tal que, em <, / ω, e em, / ω, mantendo a equação (4.. Desta foma, F é detemnada a pat de: paa <, F F ω ω ω (4.7 paa, F F ω ω ω ω (4.8

28 É fácl ve que F pode se escta como F ω (4.9 e a nvesa de (4. é dada po ˆ ω ω ω (4. f ( Ou anda, se a condutvdade témca fo uma função eponencal da tempeatua: α ep( β (4. sendo α e β constantes postvas, a nvesa da tansfomada de choff α ω α ep( βξ dξ [ ep( β ep( β ] (4. β é faclmente calculada: βω lnep( β β α (4. Obs.: nem sempe a nvesa podeá se detemnada analtcamente. A altenatva é uma nvesão numéca. 4. Constundo a solução a pat de uma seqüênca de poblemas lneaes A solução de dv [ gad ( ω ] q& em Ω [ ] ( ˆ gad ( ω n h f ( ω sobe Ω (

29 pode se epesentada pelo lmte da seqüênca não-decescente [ Φ, Φ, Φ,...] elementos são obtdos a pat da solução dos poblemas lneaes abao:, cujos [ gad ( Φ ] [ gad ( Φ ] h fˆ ( Φ dv β q & n αφ [ ] αφ em Ω β sobe Ω (4.5 onde α é uma constante (sufcentemente gande paa que a seqüênca seja nãodecescente e Φ. É mpotante nota que, paa cada, a função Φ é a ncógnta e a função Φ é conhecda. Então, ˆ f ( Φ é sempe conhecda em (4.5, sendo estmada a pat da segunte equação: Φ fˆ ( Φ ˆ( ξ dξ (4.6 Paa cada posção espacal, a az da equação acma é únca. Esta uncdade é gaantda pela equação (4.9. Mas uma vez, a constante α deve se gande o sufcente paa gaant que, em qualque ponto de Ω, Φ Φ. Em Gama [] tal esultado é povado, assm como é fonecdo um lmte supeo paa o valo de α, Gama, [4]. Paa o poblema consdeado neste tabalho é sufcente escolhe α tal que h α (4.7 mn onde mn é o meno valo da condutvdade témca. 4.4 Convegênca - 9 -

30 O lmte da seqüênca[ Φ, Φ, Φ,...], denotada aqu po Φ este e é, de fato, uma solução do poblema. Paa pova esta assetva, comecemos mostando que uma solução de (4.4. Em outas palavas Φ é dv [ gad ( Φ ] q& em Ω [ Φ ] ( ˆ gad ( n h f ( Φ sobe Ω (4.8 Desde que β seja dado po β [ f ˆ ] ( Φ Φ h α (4.9 temos que (4.5 e (4.8 concdem. Então, Φ é uma solução. Agoa, levando em conta que a seqüênca é não-decescente e tem um lmte supeo, gaantmos a convegênca, uma vez que a solução de (4.8 petence ao mesmo espaço de soluções de (4.5 paa cada, Helmbeg, 974 [5], ohn, 98 [6]. Vejamos agoa tês eemplos de aplcação do pocedmento apesentado. 4.5 Eemplos 4.5. Eemplo Seja uma egão ocupada po um copo esféco com geação de calo unfome, nseda num únco meo, com h e, em um ceto sstema de undades. d d d d d d sobe em < (4.4 Assume-se que epesenta uma tempeatua absoluta e. A solução é faclmente alcançada e dada po - -

31 - - ( / 9 (4.4 Agoa, empeguemos o pocedmento poposto. Com a tansfomada de choff, o poblema esulta em sobe 9 4 ( ˆ em / < f d d d d d d ω ω ω ω (4.4 O pocedmento lnea paa obte os elementos da seqüênca é epesentado como segue: d d d d d d Φ Φ Φ Φ < Φ α β β α / 9 4 sobe em (4.4 ou, smplesmente po sobe 9 4 em / Φ Φ Φ Φ < Φ d d d d d d α α (4.44 Como o poblema só tem sentdo físco paa >, temos que mn >. Desta foma, podemos tabalha com qualque α /. Usemos α! A solução geal da equação paa < Φ d d d d (4.45

32 - - é paa 6 < Φ C (4.46 onde a constante C, paa >, é obtda das condções de contono. Em outas palavas / C C C (4.47 Então, C C C (4.48 A constante C é obtda a pat de C C (4.49 Se usássemos α, teíamos C C C (4.5 e a constante C sea obtda de 6 6 C C (4.5 A tabela 4. apesenta uma compaação ente os valoes obtdos paa C com os dos valoes dstntos de α.

33 α α C, ,8, , , ,549576,584, , , , , , , , , , , , , ,999998, , , , , , , ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, abela 4. compaação ente esultados obtdos com α e α. É fácl mosta que C. Potanto, o lmte da seqüênca é dado po Φ 6 paa < (4.5 A solução é eatamente o lmte da seqüênca. Levando em conta que / ˆ 4 ω f ( (4.5 ω 9 temos o segunte esultado (concdente com a solução eata, pevamente obtda - -

34 - 4 - / ( Eemplo Pensemos em outo caso, epesentado po ( Ω Ω sobe em h d d q d d d d & (4.55 onde q&, e h são constantes postvas conhecdas e é uma função da tempeatua dada po (4.56 sendo uma constante postva e conhecda. Este modelo desceve um poblema de condução de calo num copo clíndco de ao R, que ocupa uma egão Ω com fontea Ω, e cujas faces cculaes são soladas temcamente. Aplquemos então o pocedmento poposto. A tansfomada de choff paa este poblema, bem como sua nvesa, são epesentadas po / 4 ( ˆ f d ω ω ω ψ ψ ω (4.57 A tansfomada nos pemte eesceve o poblema na foma

35 - 5 - ( Ω Ω sobe ( ˆ em f h d d q d d d d ω ω ω & (4.58 omemos a solução como sendo o lmte da seqüênca de poblemas lneaes cujas soluções são Φ, Φ, Φ,..., Φ e onde cada elemento da seqüênca é dado po [ ] f h d d q d d d d Φ Φ Ω Φ Φ Ω Φ α β β α ( ˆ sobe em & (4.59 onde / 4 ( ˆ f Φ Φ Φ (4.6 Resolvendo a equação que caega o temo dfusvo temos que 4 Φ C q& (4.6 com 4 R q C & Φ em R. A constante C pode se detemnada a pat da condção de contono ( R: Φ Φ Φ R q R q d d β α β α & & (4.6

36 Reescevendo C apenas em função de Φ temos C q& α [ ˆ q& f ( Φ ] Φ R R h α 4 (4.6 Lembando que ˆ f ( Φ é calculada a pat de (4.6. Fnalmente, a solução geal de (4.58 seá Φ & q 4 C (4.64 A pat da tansfomada equação (4.57 podemos detemna a solução de (4.55, utlzando a solução encontada paa Φ : Φ Φ 4 / (4.65 Utlzemos os seguntes valoes paa os paâmetos físcos e geométcos paa enconta o valo da constante C: W/m; h W/m²; 98 ; q& W/m³; R m. h Levando em conta a condção de convegênca da seqüênca α temos que α. Analsemos tês valoes paa α:, e. mn - 6 -

37 α α α C 9, 566, ,5-697, , , , , , ,66 567, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,47 567, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , abela 4. compaação ente esultados obtdos com α, α e α. Resolvendo o sstema (4.55 po métodos clásscos chegamos à solução: q& 4 M q& M 4 4 (4.66 onde a constante de ntegação M é calculada a pat de - 7 -

38 M qr & h qr & 4 qr & h h (4.67 que, nsendo os valoes das constantes do poblema é gual a 5646,665 W/m. Paa que as duas soluções sejam guas é necessáo que M C (4.68 Paa dos valoes de α e a constante C convegu paa (567,665, que atende à condção estabelecda em (4.68, com a dfeença que, paa α, C atngu o lmte muto mas apdamente do que paa α. Note anda que paa α, que vola a estção α, a sée smplesmente não convege. A conclusão fnal é que ambos os métodos esultam na mesma solução: ( 5646, ,665 4 ( Eemplo Como fo dto na seção 4., a seqüênca de funções Φ, que epesenta a tansfomada de choff paa cada teação, é não-decescente, desde que seja escolhdo um α adequado. Os dos eemplos anteoes já confmam esta popedade. Anda assm, consdeemos um outo poblema, no qual seá possível obseva gafcamente o cescmento da seqüênca e a convegênca das soluções obtdas em cada passo do pocesso teatvo paa a solução fnal. O poblema é matematcamente epesentado pelo sstema h h q& ( em < < L em L ( em (4.7 onde a condutvdade témca é dada po - 8 -

39 (4.7 A solução analítca deste poblema é epesentada mplctamente pela equação q & ( h h (4.7 onde é a tempeatua em e é dada po ql & ql ql hl ( hl h h ql ql hl h h (4.7 Usando os seguntes valoes paa as constantes: h W/m²; ; q& W/m³; L m. obtemos o campo de tempeatua mostado na póma fgua: - 9 -

40 Fgua 4. cuva de tempeatua epesentando solução do sstema (4.7. Empeguemos o pocedmento teatvo poposto paa o mesmo poblema. Plotando as soluções obtdas a pat da centésma teação em dante (plota os esultados desde o pmeo elemento da seqüênca pejudcaa a vsualzação podemos ve claamente o pocesso de convegênca paa a solução mostada pela fgua anteo, obtda po métodos clásscos de esolução de sstema de EDP s o campo de tempeatua do centésmo elemento da seqüênca é o mas nfeo da fgua

41 Fgua 4. seqüênca de soluções obtdas pelo método teatvo (cuvas em azul compaada com a solução dada po (4.7 e (4.7 (cuva em vemelho. Fgua 4. compaação do esultado fnal obtdo pelo pocedmento teatvo com a solução dada po (4.7 e (4.7. É fácl nota o compotamento cescente da seqüênca de poblemas lneaes e o pocesso de convegênca paa a solução eata do sstema (

42 5 MÉODOS NUMÉRCOS EM PROBLEMAS DE RANSMSSÃO DE CALOR Consdee o segunte poblema: dv[ gad ( ] q& em Ω 4 [ gad ( ] n h( εσ αg sobe Ω (5. Este modelo desceve a dstbução de tempeatuas de um ceto copo que ocupa uma egão Ω. Paa que conheçamos o valo da tempeatua em cada ponto do domíno Ω é pecso esolve a EDP sujeta às condções de contono defndas sobe Ω. Os métodos analítcos de solução, quando patcáves, povêem solução eata do sstema (5.. No entanto, o númeo de poblemas de engenhaa que podem se esolvdos analtcamente é etemamente lmtado, seja devdo à pesença de temos não-lneaes ou em conseqüênca de geometas compleas. Os métodos numécos são uma altenatva paa mutos dos casos não alcançados pelo feamental analítco conhecdo, poém fonecem sempe soluções que caegam algum eo assocado. Nos pocedmentos numécos o domíno, antes contínuo, é dscetzado, bem como a EDP defnda nele, que pode anda se dscetzada no tempo (o que não é necessáo paa poblema (5., que não possu dependênca do tempo. Os métodos de análse numéca, ao tata a solução em um númeo fnto de pontos dscetos, smplfcam a esolução do sstema de equações dfeencas tansfomando-o num sstema de equações algébcas. Dente os métodos numécos clásscos de esolução de EDP s estão o Método das Dfeenças Fntas (MDF, o Método de Volumes Fntos (MVF e o Método de e Elementos Fntos (MEF. Neste tabalho seão empegados o MDF e o MEF. 5. Dfeenças Fntas O MDF consste em eesceve equações dfeencas de foma que as devadas sejam tomadas em ntevalos fntos, ao nvés de nfntesmas. Ou seja, a devada da função f f ˆ (, defnda po - 4 -

43 df d ( f( f lm (5. sea, em dfeenças fntas, escta como segue: df d ( f( f (5. onde é uma vaação fnta (postva. Vejamos uma aplcação do MDF paa o segunte poblema de tansmssão de calo dv [ gad ( ] q& em Ω [ gad( ] n h( sobe Ω (5.4 Se as equações acma estveem em um sstema de coodenadas catesanas etangulaes e o domíno Ω fo uma placa etangula de lagua L e altua H, o sstema (5.4 pode se eescto na segunte foma: h h h h q& ( ( ( em < < L paa paa L paa ( paa H e < < H (5.5 Dscetzemos o domíno Ω. Devemos estpula um númeo de nós nc paa a deção e nl paa a deção. Desta foma camos uma malha de dfeenças fntas, lustada na fgua 5.. Dgamos que nc 7 e nl

44 H L Fgua 5. malha de dfeenças fntas Os valoes de e são calculados a pat de L nc H nl (5.6 A pat do domíno dsceto o sstema de equações dfeencas (5.5 pode se apomado paa o segunte sstema de equações lneaes algébcas: m, m, h m, m, ncm, nc h, n, n h, n nl, n nl, n ( ( h ( m, nc m, n m, n m, n m, n m, n m, n & q paa < m< nl paa < m< nl paa < n< nc ( paa < n< nc nl, n em < m< nl e < n< nc (5.7 Em eth e Bohn [7] há mas detalhes de como se chega às equações acma. A cada nó da malha há uma equação assocada. No caso de placas etangulaes, os nós das

45 qunas,,,nc, nl,, nl,nc não fazem pate do sstema lnea, podendo se calculados pela méda atmétca dos dos nós vznhos. Desta foma, paa este eemplo, a solução apomada do poblema (5.5 sea obtda da solução de um sstema de 8 equações lneaes (genealzando, paa placas etangulaes, são nl nc 4 equações. Quanto à esolução do sstema lnea há dvesas metodologas, sejam apomadas (e.g. métodos teatvos de Gauss-Sedel ou acob ou eatas (po meo de decomposção LU, nvesão deta da matz dos coefcentes, ente outos camnhos. 5.. Eemplo Vejamos uma aplcação do MDF paa o poblema -D epesentado po (5.5, com os seguntes valoes paa as popedades físcas: h 5 W/m²; 5 W/m; ; q& 5 W/m³; A placa tem 5m de lagua e m de altua. É utlzada uma malha 4 4, e paa esolve o sstema de equações lneaes empegamos o método teatvo Gauss-Sedel. O esultado é apesentado na fgua

46 Fgua 5. campo de tempeatuas em placa etangula. odas popedades físcas são constantes. Como espeado, a dstbução de tempeatuas apesenta váas smetas. 5.. Eemplo Consdeemos o mesmo poblema do eemplo anteo poém com geação ntena de enega dependente da posção q & qˆ (,. Utlzemos q & (5.8 O campo de tempeatuas calculado é gafcamente epesentado a segu

47 Fgua 5. campo de tempeatuas em placa com geação de enega dependente da posção. 5.. Eemplo Anda fazendo pequenas mudanças no mesmo poblema, consdeemos o coefcente de toca de calo po convecção h vaável com a posção, mantendo a elação paa q& dada pela equação (5.8. Utlzemos as seguntes funções paa h (absolutamente abtáas e sem compometmento físco: h h h h, h W/m, π (5.9 h hsen, h W/m, paa L h h 4, h W/m, paa paa L (, h W/m, paa H 4 4 Resultado:

48 Fgua 5.4 campo de tempeatuas em placa com geação de enega e coefcente de flme dependentes da posção. 5. Elementos Fntos Fomulemos a solução em elementos fntos paa a equação q& em Ω (5. sujeta às seguntes condções de contono: j n h ( sobe Γ (5. Este é um poblema bdmensonal de condução de calo num copo sujeto à le de Newton do esfamento. Os paâmetos físcos (condutvdade témca, q& (geação

49 ntena de calo e h (coefcente de toca de calo po convecção seão consdeados constantes. 5.. Em busca da foma faca das equações govenantes A foma faca das equações que govenam o poblema consste no estabelecmento de equações ntegas sobe o domíno Ω e o contono Γ do copo, efeentes à satsfação destas equações em um sentdo médo, em oposção ao sentdo estto pontual da foma fote da equação (5.. Obs.: Nesta seção utlzaemos letas em negto, maúsculas e mnúsculas, paa ndca matzes. Multplcando a EDP defnda em Ω po uma função abtáa w ˆ (,, denomnada função teste ou função peso, obtemos a equação w ˆ (, q& (5. a qual, se ntegada sobe o domíno Ω, esulta em Ω w ˆ (, q& dω (5. Note que, caso seja detemnado o campo de tempeatua paa o qual a equação (5. seja satsfeta, então a equação (5. também é satsfeta paa qualque que seja a função w ˆ (,. Po outo lado, caso se detemne uma solução ˆ(, que satsfaça a equação (5. paa qualque função w ˆ (,, então ˆ(, também é solução de (5.. Utlzando o conceto de devada do poduto, é fácl ve que

50 - 5 - Ω Ω Ω Ω d wq w w w w d q w & & (5.4 Agoa, pelo teoema de Gauss ou da dvegênca, temos que Γ Ω Γ Ω nd j w d w w (5.5 Fazendo q j (5.6 a equação (5. pode se eescta como ( Γ Ω Γ Ω d n w q d wq w w & (5.7 O fluo de calo n q que cuza a fontea Γ é gual a ( h, o qual, nsedo na segunda ntegal de (5.7, esulta em ( ( Γ Γ Γ Γ d h w h d n w q (5.8 e a equação (5.7 passa a se dada po ( Γ Ω Γ Ω d h w h d wq w w & ( Dscetzação do domíno em elementos fntos

51 O solução pelo MEF consste em dscetza o domíno do poblema em uma malha de elementos fntos ntelgados atavés de nós. Os elementos podem se de váos tpos, seja com elação ao númeo de gaus de lbedade, seja com o fomato do elemento. Em malhas -d são muto utlzados os elementos tangulaes, que podem se lneaes (nós apenas nos vétces, mn (nós nos vétces e no centóde, ou quadátcos (nós nos vétces e no meo de cada lado do tângulo. Neste poblema utlzaemos elementos tangulaes lneaes. No poblema dsceto de condução de calo as ncógntas passam a se as tempeatuas nodas, ou seja, os valoes do campo de tempeatua avalados nos nós da malha. Paa uma malha de N nós, as tempeatuas nodas seão amazenadas numa únca matz, da segunte foma: (5. M N onde é a tempeatua coespondente ao nó, é a tempeatuas coespondente ao nó, e assm po dante, até o númeo total de nós da malha N. O Método de Elementos Fntos tansfoma a equação dfeencal govenante do poblema em um sstema de equações algébcas que podemos epesenta po F (5. onde é a matz dos coefcentes, em geal denomnada matz de gdez, de odem N N, e F é a matz coluna de temos ndependentes, em geal denomnada veto de foças, de odem N. é a matz (5.. A essênca do MEF basea-se na déa, comum na engenhaa, de esolve um poblema compleo dvdndo-o em poblemas menoes e smples. Veemos agoa, na fomulação do elemento fnto, que a equação (5.9 é esolvda soladamente paa cada elemento, de manea a compo uma apomação paa a solução do poblema ognal dado po (5. e ( fomulação do elemento fnto tangula lnea - 5 -

52 O elemento fnto tangula lnea é um dos mas smples e caacteza-se, como já fo dto, po possu nós apenas nos vétces. A pat dos valoes das tempeatuas nos vétces do tângulo pode-se calcula a tempeatua em qualque ponto do elemento po ntepolação lnea. (, (, (, Fgua 5.5 elemento tangula lnea, com efeênca ao sstema de eos catesanos. No elemento tangula, a matz de ncógntas é oganzada da segunte foma: e (5. onde, e são as tempeatuas nos nós, e, espectvamente Funções de foma do elemento: O MEF povê uma solução apomada paa cada nó da malha. Como já dssemos, a tempeatua no nteo de cada elemento, numa malha de elementos tangulaes lneaes, pode se faclmente obtda po ntepolação lnea. A segunte elação pemte o cálculo da tempeatua ntepolada em qualque ponto do tângulo: a (

53 - 5 - onde [ ] (5.4 a a a a (5.5 a, a e a são constantes a seem detemnadas. A matz a pode se calculada atavés da mposção do valo da tempeatua em cada nó, ou seja ( ( ( a a a a a a a a a,,, (5.6 ou, em foma matcal, a a a (5.7 Numa notação mas compacta temos e Ga (5.8 onde G (5.9 que é a matz que contém as coodenadas dos nós do elemento. A matz de constantes a é, potanto, calculada po

54 e G a (5. sendo det( G G (5. Substtundo a equação (5. na equação (5. chegamos a e G (5. ou anda e N (5. onde G N (5.4 Consdeando a equação (5. e desenvolvendo o poduto acma, temos [ ] N N N N (5.5 onde ( ( ( [ ] ( ( ( [ ] ( ( ( [ ] A N A N A N t t t (5.6

55 N é a matz que contém as funções de ntepolação dos gaus de lbedade nodas, sto é, as tempeatuas nodas, e. Esta matz é usualmente denomnada matz de funções de foma Devada das funções de foma do elemento As devadas do campo de tempeatua, na fomulação do elemento fnto, podem se faclmente detemnadas a pat da equação (5. e epesentadas po e e ( N B gad ( gad (5.7 De manea análoga ao campo de tempeatua, a função de teste w ˆ (, é calculada, dento do elemento, po w Nw e (5.8 sendo w e w w (5.9 w E o gadente de w é calculado po e e ( N w Bw gad ( w gad (5.4 anto paa a tempeatua quanto paa a função teste, a matz B é tal que N N N B gad( N N N N (

56 Calculando as devadas das funções de foma em elação às coodenadas catesanas, chega-se a B (5.4 At 5..6 Foma faca po elemento com as tempeatuas nodas A equação (5.9, foma faca do poblema ognal, tomada paa cada elemento é epesentada po Ω e w w wq& dω w( h h dγ (5.4 e Γ ou po Ω e ( gad dω whdγ wh dγ wqdω Γ e gadw & (5.44 Γ e Ω e Agoa, nsendo em (5.44 as equações (5., (5.7, (5.8 e (5.4, chegamos a e e e e e e ( ( B dω ( Nw h( N dγ ( Nw hdγ ( Nw qd & Ω e Ω Bw (5.45 e Γ e Γ e Ω Levando em conta que e e w e são constantes em Ω e e Γ e, podemos eesceve a equação (5.45 da segunte foma: w (5.46 e e e e Ω Γ Γ Ω e e e ( B BdΩ N NhdΓ N hdγ N qd & Ω Como w e é completamente abtáo, a equação acma esulta em e Ω e e B BdΩ N NhdΓ N h dγ N qd & Ω (5.47 e Γ e Γ e Ω

57 Utlzando a foma compacta apesentada em (5. tomada po elemento temos e e e F (5.49 onde e Ω e B BdA N NhdL (5.5 e Ω e Ω e Ω e F N qda & N h dl (5.5 A segu esolveemos cada uma das ntegas. Depos de calculadas o sstema de equações algébcas estaá ponto paa se esolvdo. Cálculo de B BdA: Ω e Como B depende apenas das coodenadas dos vétces, que são constantes po elemento, a ntegal acma pode se calculada po e Ω B BdA B BA (5.5 t Vale lemba que a matz B é faclmente calculada pela equação (5.4. Note que, tendo em vsta que B é uma matz de odem, a odem do poduto B BAt seá, evdentemente,. Cálculo de N NhdL : Ω e Vamos enomea alguns elementos, apenas paa faclta o desenvolvmento. [ N N ] N (5.5 N

58 Pmeo elemento (N : c b a N (5.54 onde ( ( ( t t t A c A b A a (5.55 Segundo elemento (N : c b a N (5.56 onde ( ( ( t t t A c A b A a (5.57 eceo elemento (N : c b a N (5.58 onde

59 ( ( ( t t t A c A b A a (5.59 A matz esultante da multplcação N N é dada po [ ] N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N (5.6 Genealzando cada elemento do poduto acma paa j N N, teemos, paa cada posção da matz N N, epessões da segunte foma: ( ( ( ( ( c c b b b c c b c a a c b a a b a a c b a c b a j j j j j j j j j j j j (5.6 O domíno da ntegal Ω e hdl N N (5.6 seá sempe um segmento de eta um lado de elemento tangula que compõe o contono da malha. As fguas a segu mostam uma malha de elementos tangulaes e um elemento em destaque.

60 Fgua 5.6 malha tangula. Os lados em azul e o lado em vemelho destacam o contono da malha. O tângulo com lado gfado em vemelho é mostado com detalhes na póma fgua. (, Lado petencente ao contono da malha (, (, Fgua 5.7 elemento tangula com lado compondo o contono, mostando as coodenadas dos vétces. A ntegal de lnha (5.6 é calculada sobe o lado em vemelho, que possu um compmento S. Substtundo (5.6 em (5.6, fcamos com a segunte ntegal: [ a a ( a b a b ( a c a c ( b c b c b b c c ] S j j j j j j j j j hdl (5.6 h ( com S aa jdl (

61 S ( a b a b dl j j (5.65 S ( a c a c dl j j (5.66 S ( b c b c dl 4 j j (5.67 S 5 b b dl (5.68 j S 6 cc j dl (5.69 Fazendo e, e paametzando as coodenadas e da segunte foma: s S s S (5.7 as soluções das ntegas acma são dadas po aa j S (5.7 ( a b a b S j j (5.7 ( a c a c S j j (5.7 ( b c b c S 4 j j (

62 bb j 5 S (5.75 cc j 6 S (5.76 Cálculo de N hdl : e Ω Utlzando a mesma epesentação po índces utlzada na ntegal (5.6, esta ntegal epesenta tês ntegas da segunte foma: ( a b c h dl S (5.77 com,,. Os índces coespondem aos elementos da matz [ N N ] A solução paa cada N é, então, dada po N. N S b c ( a b c h dl h S b c a (5.78 Cálculo de N q& da: Ω e Esta ntegal está defnda sobe toda a áea do elemento tangula. A ntegal sobe o tângulo pode se calculada a pat da soma das ntegas sob cada lado do tângulo. A póma fgua lusta a déa

63 Fgua 5.8 elemento tangula, com as ndcações dos sentdos de ntegação. A áea compeendda dento do tângulo é gual a soma das áeas sob cada um dos lados dele, se mantdo o sentdo de ntegação. Com sso, podemos esceve N q& da Ω e como sendo qda ˆ ( ˆ ( ˆ ( N & N qdd & N qdd & N qdd & (5.79 e Ω Lembando que cada ntegal, na pátca, são tês ntegas, cada uma efeente a um elemento N da matz N. A função que atua como lmte supeo da ntegal ntena da pmea pacela de (5.79, denotada po (, é detemnada po, levando em conta que os pontos ncal e fnal da eta são (, e ( ˆ,, ( ˆ (5.8 ou, numa foma mas compacta, - 6 -

64 ( ˆ β α (5.8 onde α e β epesentam os coefcentes angula e lnea da eta, espectvamente. As funções ( ˆ e ( ˆ são obtdas de manea análoga. Então, paa cada elemento N, teemos ( ( ( Ω e qdd c b a qdd c b a qdd c b a N qda ( ˆ ( ˆ ( ˆ & & & & (5.8 Fnalmente, chegamos à solução de cada pacela acma: ( ( ( ( ( ( ( ( c q b q a q qdd c b a ( ˆ β αβ α β α β α & & & & (5.8 ( ( ( ( ( ( ( ( q c b q a q qdd c b a ( ˆ β αβ α β α β α & & & & (5.84 ( ( ( ( ( ( ( ( c q b q a q qdd c b a ( ˆ β αβ α β α β α & & & & ( Atbução das tempeatuas nodas aos elementos da malha Em Souza [8] é apesentada a foma de atbu (5.5 e (5.5 aos elementos coetos na malha atavés da matz de ncdênca, que consttu uma etapa fundamental do método de elementos fntos. Agoa vejamos alguns poblemas de condução de calo esolvdos pelo MEF.

65 5..8 Eemplo físcos: Consdeemos o poblema de condução de calo com os seguntes paâmetos,5 q& 5 h 5 5 em algum sstema de undades. A placa possu lagua e altua guas a. O poblema é matematcamente descto pela equação 5 em < < L e < < H (5.86 sujeta às seguntes condções de contono: ( 5 ( 5 ( 5 paa paa L paa ( 5 paa H (5.87 O domíno fo dscetzado numa malha de elementos tangulaes, confome a fgua

66 Fgua 5.9 Malha de elementos fntos. Os lados pntados de peto são os que compõem o contono. Os nós da malha estão epesentados pelos pontos petos. Note que há apenas tês nós po tângulo, caacteístca do elemento lnea. O campo de tempeatua encontado pelo MEF como solução apomada é epesentado pela fgua a segu

67 Fgua 5. Solução obtda pelo MEF. Compaando a solução obtda po elementos fntos com a solução obtda po dfeenças fntas, a qual é mostada na fgua 5., é fácl pecebe que ambos pocedmentos chegaam a espostas patcamente guas