Cap.10 Energia. Do professor para o aluno ajudando na avaliação de compreensão do capítulo.

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1 Cap.10 Enega Do poesso paa o aluno ajudando na avalação de compeensão do capítulo. É undamental que o aluno tenha ldo o capítulo. Poduto Escala Dene-se o poduto escala ente dos vetoes como sendo o poduto ente os seus módulos e o cosseno do ângulo omado pelos vetoes. A B = A B cos( q ) O símbolo,., denota a opeação poduto escala. O esultado desta opeação é um valo escala. O poduto escala é comutatvo: A B = B A Eemplo: Alguns eemplos de poduto escala. (a) Ente os vetoes untáos: ˆ. ˆ = ˆj. ˆj = kˆ. kˆ = 1; ˆ. ˆj = kˆ. ˆj = ˆ. kˆ = 0 (b) Pojeção de um veto sobe o eo ( ou sobe o eo y): A = A ˆ = ( A)(1)cos( q ) = Acos( q ) (c) Se A é pependcula a B, q=90 o, então A. B = 0. Essa gualdade também se mantém no caso tval, onde A ou B é zeo. (d) Se A o paalelo a B e os dos apontaem paa mesma deção, q=0 o, então A. B = AB. (e) Se o veto A o paalelo a B e os dos apontaem paa deções opostas, q=180 o, então A.B = -AB. () Opeação geal ente os vetoes A e B: A = A ˆ + A ˆj + A kˆ ; B = B ˆ + B ˆj + B kˆ y k y k Utlzando as opeações onecdas no tem (a), esulta em A B = A B + A B + A B y y k k (g) No caso especal em que A = B, A A = A = A + A + A y k Este é o módulo do veto A.

2 10.1 Tabalho, Enega Cnétca As denções de posção, velocdade e aceleação e as les de Newton pemtem esove uma vaedade de poblemas. No entanto, o estudo de nteação ente os copos é muto dícl de se esolve somente utlzando as les de Newton, po sso uma outa abodagem o utlzada: as denções de momento lnea e mpulso e a le de consevação do momento lnea. Contnuaemos nessa nova abodagem, denndo novas quantdades, conhecdas ou não, mas de sgncados mas especícos na Físca, tas como, o tabalho, a enega cnétca e a enega potencal. Na nossa análse de consevação de momento lnea, concentamos a nossa atenção em um sstema onde ncluímos todas as patículas ou uma pate delas. Tataemos, com mas atenção, a noção de sstema. Sstemas e ambentes Sstema: pequena poção do espaço de nteesse e gnoando os detalhes oa do sstema. Não mpota qual seja o sstema especíco em um detemnado poblema, dentcamos uma ontea do sstema- uma supeíce magnáa que dvde o espaço dento so sstema- e o ambente no entono dele. Eemplo: O sstema pode se dendo como a combnação da paede, da mola e do bloco. A nluênca do ambente nclu a oça gavtaconal no bloco, a oça nomal e de atto no bloco. As oças eecdas pela mola no bloco e na paede são ntenas ao sstema e, potanto, não são ncluídas como uma nluênca do ambente. Há váos mecansmos pelos quas um sstema pode se nluencado po seu ambente. O pmeo que devemos nvestga é o tabalho. Tabalho Consdee uma oça aplcada, constante ou não, a um copo, que dentcamos como o sstema, e o copo deslza sobe uma supeíce hozontal. Qual é a ecáca da oça ao move o copo? Faemos o pocedmento semelhante como o ealzado na omulação de concetos de momento lnea e mpulso. Consdeamos que a oça esultante F es sobe uma patícula envolvda na epessão da segunda le de Newton se dependente de posção: dv dv d Fes ( ) = m Þ Fes ( ) d = md = m dv dt dt dt

3 O poduto escala o ealzado ente o veto d e os membos da esqueda e da deta na epessão acma. O dt o deslocado paa bao de d e utlza-se a denção v = d/dt. A ntegação é ealzada, azendo a mudança de vaáves e usando a ega de cadea no ntegando: m v Fes ( ) d = mv dv = d v v ò ò ò Note-se que o utlzado o pocedmento (g) apesentado no poduto escala. Resulta em ( ) ò mv Fes( ) d = - mv onde v é a velocdade escala (apdez) da patícula em e v é sua velocdade escala (apdez) em. Dene-se tabalho a epessão apesentada no membo à esqueda da equação acma: W = F ( ) d et ò O tabalho W ealzado sobe um sstema po um agente eteno que eece uma oça F() sobe ele é a ntegal do poduto escala ente a oça F e o deslocamento d do ponto de aplcação da oça. Se a oça o aplcada a uma patícula ou um copo ígdo, também consdeado como patícula, o deslocamento d é o mesmo que o da patícula. Paa um sstema deomável, como o balão, ao pessona esse copo com ambas as mãos, o ponto aplcação, d, se move, ou seja, as supeíces do balão se movem, mas o cento desse copo não se move e os deslocamentos não são guas. O sgncado ísco do tabalho é a tanseênca de enega. es Se W et é o tabalho ealzado sobe um sstema, e W et é postvo, a enega é tanseda paa o sstema; se W et é negatvo, a enega é tanseda do sstema. Uma vez que um sstema nteage com seu ambente, a tanseênca de enega ocoe atavés da ontea do sstema. O esultado é uma mudança na enega amazenada no sstema. A mudança pode se postva ou negatva, como apesentado anteomente. Undade de tabalho: Joule- [J] Epessando o tabalho conome a deção da oça F es com o deslocamento d:

4 W = F ( ) d = F ( )cos( q ) d ò et es es ( a) W > 0; q < p / ; et ( b) W = 0; q = p / ; et ( c) W < 0; p / < q p; et ò Pegunta: A oça gavtaconal eecda pelo Sol sobe a Tea a mantém em óbta em tono do Sol. Consdeando que a óbta é peetamente ccula, o tabalho ealzado po essa oça gavtaconal duante um cuto ntevalo de tempo no qual a Tea se desloca em sua tajetóa obtal é (a) zeo; (b) postvo; (c) negatvo; (d) mpossível de detemna. Impotante: Calculamos o tabalho ealzado po uma oça sobe um copo, mas a oça não é necessaamente a causa do seu deslocamento. Po eemplo, se levanta um copo, um tabalho negatvo é ealzado sobe ele pela oça gavtaconal, emboa a gavdade não seja a causa do movmento dele paa cma. Tabalho ealzado po uma oça constante W = F D et es Eemplo: Uma patícula que se move no plano XY soe um deslocamento dado po D = (,0 + 3,0j)m, enquanto uma oça F = (5,0 +,0j)N age sobe a patícula. Calcule o tabalho ealzado po F sobe a patícula. Sugestão: No poduto escala F.D envolve as opeações. = j.j = 1 e.j = j. = 0. Resp. 16J Tabalho ealzado po uma oça vaável No caso undmensonal, deção X, a epessão ntegal se tona W et = ò F d onde substtuímos d cosq po d. Poblema: Uma bala de 100 g é dspaada de um le com um cano de 0,600 m de compmento. A oça eecda pelo gás epandndo sobe a bala é , onde está dado em metos. (a) Faça o gáco de oça vesus compmento do cano. (b) Detemne o tabalho ealzado pelo gás sobe a bala quando ela pecoe o compmento do cano.

5 Solução: (a) Gáco: O gáco mosta que a oça de epansão do gás não se anula em =0,600m, mas em =1,00m. Sgnca que o cano do le pode se mas longo, no mámo, até 1,00m pa apoveta a oça epansva do gás sobe a bala. Foça (b) O tabalho ealzado pela oça sobe a bala é calculado. et et 0,600 ( ) 0 W = + - d W ò 3 æ ö = ç è 3 ø = 9,00kJ Enega Cnétca 0,600 0 Estudamos o tabalho e o dentcamos como um mecansmo paa tanse enega paa um sstema. Amamos que o tabalho é uma nluênca do ambente sobe um sstema, mas anda não dscutmos o esultado da nluênca sobe o sstema. Temos obtdo que mv W et = - mv Um esultado possível de ealza tabalho sobe um sstema é que muda sua velocdade escala (apdez). Essa enega é denda como enega cnétca, K º mv A enega cnétca epesenta a enega assocada com o movmento da patícula; é uma quantdade escala.

6 Escevemos Wet = K - K = DK O tabalho ealzado sobe uma patícula po uma oça esultante F que age sobe ela é gual à vaação na enega cnétca da patícula. A epessão acma é um esultado mpotante denomnado como teoema do tabalho-enega cnétca: Quando o tabalho é ealzado sobe um sstema e a únca mudança nele acontece em sua velocdade escala (apdez), o tabalho esultante sobe o sstema é gual a vaação da enega cnétca do sstema. Obs. O teoema do tabalho-enega cnétca é mpotante, mas lmtado em sua aplcação. O pncípo mas geal que envolve a enega é a consevação de enega que seá estudado posteomente. Obs. O teoema do tabalho-enega cnétca elacona tabalho a uma mudança na velocdade escala de um sstema, não uma mudança em sua velocdade vetoal. Po eemplo, um copo em movmento ccula unome, sua velocdade escala( apdez) é constante. Emboa sua velocdade (veto velocdade) esteja mudando, nenhum tabalho é ealzado sobe o copo pela oça que causa o movmento ccula. O mesmo se aplca em qualque movmento ccula, ou seja, a apdez constante ou não. Enega cnétca e momento lnea Podemos epessa a enega cnétca de uma patícula em temos de seu momento lnea e da massa. Escevemos a velocdade como p p = mv Þ v = m Substtundo na enega cnétca, obtemos K mv p = Þ K = m Compaação ente o momento lnea e a enega cnétca Veemos a deença undamental ente o momento lnea e enega cnétca de uma patícula. O teoema do mpulso-momento lnea J = p - p ama que as vaações do momento lnea de uma patícula são poduzdas pelo mpulso, que depende do tempo duante o qual a oça esultante atua. Po outo lado, o teoema do tabalho-enega cnétca Wet = K - K ama que quando um tabalho é ealzado sobe uma patícula ocoe uma vaação da sua enega cnétca; o tabalho total depende da dstânca ao longo da qual a oça esultante atuou.

7 Po eemplo, consdee uma patícula que pate do epouso no nstante t de modo que v = 0. Seu momento lnea ncal é p =0, e sua enega cnétca ncal é K = 0. Suponha que uma oça esultante constante F atue sobe a patícula no ntevalo ente os nstantes t e t. Duante o ntevalo tempo, Dt= t - t, a patícula se desloca de uma dstânca Ds na deção da oça. O momento lnea da patícula no nstante t é p = J = FD t, onde J é o mpulso que atua sobe a patícula. Logo, o momento lnea de uma patícula é gual ao mpulso que a acelea do epouso à sua velocdade atual; o mpulso, po sua vez, é gual ao módulo da oça esultante que aceleou a patícula multplcado pelo tempo necessáo paa essa aceleação. Compae com a enega cnétca da patícula que no nstante t é dada po K = W = FD s, et ou seja, é gual ao tabalho total ealzado sobe a patícula paa aceleá-la a pat do epouso. O tabalho total ealzado é gual ao módulo da oça esultante que aceleou a patícula multplcado pela dstânca necessáa paa essa aceleação. Eemplo: Agaa qual ente a bola de m 1 = 0,50kg que se desloca a 4,0 m/s ou uma bola de m =0,10kg que se desloca a 0 m/s? Solução: Os momentos lneaes das bolas são guas: p 1 =0,504,0 =,0 kg m/s e p = 0,100 =,0 kg m/s. A enega cnétca da bola mas leve é mao do que a outa mas pesada: K 1 = 4,0 J e K = 0 J. Como os momentos são guas, logo ambas necesstam do mesmo mpulso paa azê-las entaem em epouso: J 1 =J =,0 N s No entanto, K = 5K 1, mplca que o tabalho ealzado po sua mão ao aze a bola mas leve paa é 5 vezes mao do que ealzado paa aze a bola mas pesada paa. Paa uma dada oça méda eecda pela sua mão, leva o mesmo tempo paa aze as bolas paaem, poém o deslocamento da sua mão e do seu baço é 5 vezes mao paa agaa a bola mas leve do que a bola mas pesada. Potanto é peeível escolhe a agaa a bola mas pesada paa mnmza a deomação do seu baço. Poblema: Uma bola de besebol lançada com gande velocdade possu uma enega cnétca apomadamente gual à enega cnétca de uma bala de calbe dspaada po um le, e a bala possu um momento lnea meno do que o da bola de besebol. Entetanto, você escolhea agaa a bola de besebol em vez da bala do le. Po quê? Poblema: Dos bacos de vela constuídos paa deslza no gelo está em epouso sobe uma supeíce hozontal sem atto e eles apostam uma coda. O baco A possu massa m e outo B, massa m. As velas de ambos os bacos são dêntcas, de modo que o vento eece a mesma oça

8 constante F sobe cada baco. Os dos bacos patem do epouso e a dstânca ente a patda e a lnha de chegada é gual a d. (a) O baco A chegaá ao nal da lnha com a enega cnétca mao, meno ou gual a do baco B? (b) Na lnha de chegada, qual deve se a azão v A /v B ente as velocdade dos dos bacos? (c) O baco A leva gual, menos ou mas tempo do que o baco B paa chega ao nal da lnha? (d) Na lnha nal, qual deve se a azão t A /t B ente os tempos dos dos bacos? Resp. (a) gual; (b) v A /v B = ; (c) t B > t A ; (d) t A /t B =1/. 10. Enega Potencal Gavtaconal Objetvo desta seção é apesenta o conceto da enega potencal gavtaconal e paa sso, denmos um sstema bloco+tea, gua, onde as oças gavtaconas são oças ntenas ao sstema. A Tea tem muta massa que pode se consdeada paada duante a aplcação de uma oça etena, F ap. Sstema bloco+tea A oça etena F ap é aplcada no bloco e ealza tabalha sobe o sstema ao levanta o bloco muto lentamente pat do epouso po um deslocamento vetcal Dy = y y. O tabalho é uma tanseênca de enega, potanto, este tabalho ealzado sobe o sstema deve apaece como um aumento ( ou dmnução) da enega do sstema. Intepeta-se a tanseênca de enega pelo tabalho ealzado sobe o sstema como sendo a mudança na conguação do sstema de seu Estado ncal ao Estado nal, conome apesentada nas guas ao lado. O bloco pate do epouso e ca em epouso após o tabalho ealzado, logo, DK = 0 do sstema:

9 W = F Dy et ap mv mv D K = - = 0 A pat da posção mas alta, y, pode-se solta o bloco e deá-lo ca em deção à posção y. Obseva-se que o bloco duante a queda possu enega cnétca. A ogem desta enega está no tabalho ealzado pela oça F ap sobe o sstema ao levanta o bloco. Enquanto o bloco estava na posção mas alta, dzemos que o sstema tnha o potencal de possu enega cnétca, que suge quando o bloco é solto. Denomnamos a enega amazenada de enega potencal. A enega potencal de um sstema só pode se assocada a tpos especícos de oças agndo ente os membos de um sstema. Ctando algumas: oça gavtaconal, oça elástca e oça elétca. Voltando ao eemplo do sstema bloco Tea, na gua acma F ap + m g =0, pos, a apdez é muto lenta e se consdea constante: F ˆj - mg ˆj = 0 Þ F = mg ap ap A oça aplcada possu a mesma ntensdade da oça gavtaconal. O tabalho ealzado pela F ap sobe o sstema é W = F D y = mg( y - y ) et ap W = mgy - mgy et É o tabalho ealzado sobe o sstema, pos a oça aplcada, F ap, é a únca do ambente sobe o sstema. Este tabalho é uma deença ente os valoes ncal e nal de uma quantdade mgy denda como a enega potencal gavtaconal: U g º mgy Obs. Epessão é válda paa copos pómos da supeíce teeste. Não se dz enega potencal do copo, mas enega potencal do sstema (bloco (m) + Tea (g) ) Escevemos W et = DU g onde ou ntena) D U g é a mudança na enega potencal do sstema (com nenhuma mudança na enega cnétca O tabalho ealzado pela oça gavtaconal (ntena), mg, sobe um copo (componente) do sstema movendo-se ente dos pontos já desctos e lustados do sstema bloco+ Tea é

10 W = - mgj ˆ ( y - y ) ˆj = -( mgy - mgy ) W g g = -DU g O tabalho ealzado po essa oça ntena ao sstema causa uma edução ( snal negatvo) na enega potencal do sstema. A pat do teoema tabalho-enega cnétca, o tabalho ealzado sobe o bloco é gual à vaação da enega cnétca do bloco Wbloco = D Kbloco = K - K Como o bloco é a únca pate do sstema em movmento, então cnétca do sstema. D K = D K, onde K é a enega bloco Po sua vez o tabalho ealzado sobe o bloco é gual a W = -D U = -( U -U ) bloco g g g onde U g é a enega potencal gavtaconal do sstema. Igualando as duas equações acma, escevemos ou D K + D U g = 0 K + U g = K + U g Dzemos que a soma K+U g da enega cnétca com a enega potencal gavtaconal, pemanece nvaável duante o movmento de componente do sstema. O lado esquedo da epessão D K + D U g = 0 epesenta a soma das vaações da enega amazenada no sstema. O lado deto é nulo, poque não há tanseênca de enega atavés do lmte do sstema, ou seja, o sstema bloco+tea é solado do meo. Eemplo: Reaça o Eemplo 10.1 do lvo teto, págna 71, sem utlza as equações cnemátcas. Pegunta: Uma peda de massa m é jogada ao chão de uma altua h. Uma segunda peda, de massa m, é jogada da mesma altua. Quando a segunda peda atnge o chão, qual é sua enega cnétca em elação à pmea peda? (a) o dobo, (b) quato vezes, (c) a mesma, (d) metade, (e) mpossível detemna.

11 Pegunta: Tês bolas dêntcas são jogadas do topo de um edíco, todas com a mesma velocdade ncal. A pmea é jogada hozontalmente, a segunda a um ângulo acma da lnha hozontal e a tecea a um ângulo abao da lnha hozontal. Despezando a esstênca do a, classque os módulos das velocdades das bolas no nstante em que cada uma atnge o chão. Responda a questão Pae E Pense 10.1 O zeo da enega potencal Escolhe uma conguação de eeênca paa a qual a enega potencal gavtaconal do sstema é nula. A escolha da conguação eeencal é abtáa, pos escolha da conguação eeencal. D U g é uma deença e ndepende da Pegunta: A enega potencal gavtaconal de um sstema (a) é sempe postva, (b) é sempe negatva, (c) pode se postva ou negatva? 10.3 Uma olhada de peto na enega potencal gavtaconal Responda a questão Pae E Pense 10.

12 (a) Reaça o Eemplo Acescenta as peguntas: (b) Calcule a deença de enegas cnétcas após e antes. (c) A enega que alta o tanseda paa o ambente de que oma? Consevação da enega mecânca Fo concluído que D K + D U g = Denmos as enegas cnétca e potencal de um sstema como sua enega mecânca: E = K + U mec D E = 0 mec Aqu U epesenta a enega total de todos os tpos de enega potencal, que seá abodado posteomente. Como o sstema sob consdeação é solado, as equações acma nos dzem que a enega mecânca é consevada; a soma das enegas cnétca e potencal pemanece constante Veemos, posteomente, que este uma classe de oça que dene a enega potencal do sstema, e consequentemente, em que condções a enega mecânca é consevada. 0 Responda a questão Pae E Pense Foças estauadoas e le de Hooke O modelo ísco, no qual a oça vaa com a posção, é um sstema composto de um bloco sobe uma supeíce hozontal sem atto e conectado a uma mola, sem massa, cuja outa etemdade está a a uma paede. Ve a gua. O sstema bloco+mola+paede se assemelha ao sstema bloco +Tea, pos tanto a paede como a Tea estão paados. A nteação ente o bloco e a paede é atavés da mola. A mola estcada, >0, ou compmda, <0, a uma pequena dstânca de sua posção de equlíbo, =0, eeceá sobe o bloco uma oça a etona o sstema ao seu estado de equlíbo. Esta oça é chamada de oça estauadoa.

13 Foça elástca na oma vetoal: F el = -kˆ onde é a posção do bloco em elação à sua posção de equlíbo ( = 0), e k é uma constante postva chamada de constante de oça ou constante elástca da mola Le de Hooke: A oça necessáa paa estca ou compm uma mola é popoconal à quantdade de dstensão ou compessão. O valo de k é a medda da gdez da mola: molas ígdas, k gandes, e leíves, k pequenos. Responda a questão Pae E Pense 10.4 Pegunta: Ao cota a mola de constante elástca k pela metade, qual é a nova constante elástca? Resp.: k Tabalho ealzado po uma mola Se o bloco soe um deslocamento de = a =, o tabalho ealzado pela oça elástca sobe o bloco seá ( ˆ) ( ˆ k ù Wel = ò - k d ) = ( k) d ò - = - ú û

14 k k W el = - O tabalho ealzado pela mola, numecamente, é áea do tângulo que tem base e altua k, mostada na gua acma Enega potencal elástca Agoa desceveemos o tabalho ealzado sobe o bloco po um agente eteno, quando ele aplca uma oça F ap sobe o bloco movendo-o muto lentamente de = a =. Na condção de movmento muto lento pode-se consdea que o bloco está em equlíbo dnâmco, F ap + F el = 0, então, F ap = k. O tabalho ealzado po essa oça aplcada (agente eteno) sobe o sstema de bloco+mola+paede é k ( ˆ) ( ˆ k ù Wet = ò k d ) = ( k) d ò = ú û W et k = - Como no caso gavtaconal, vemos que o tabalho ealzado sobe o sstema po uma oça etena é gual a deença ente os valoes ncal e nal de uma epessão elaconada à conguação do sstema. Este tabalho é gual ao negatvo daquele ealzado pela oça elástca: W et = -W el A enega potencal elástca do sstema é denda po U º el k Assoca a enega amazenada na mola deomada (conguação do sstema, que é mola compmda ou dstendda) e é zeo sempe que a mola não está deomada ( = 0).

15 Escevemos Wet = D Uel = Uel -Uel Aplcando o teoema de tabalho-enega cnétca, como o ealzado no caso gavtaconal, obtemos K + Uel = K + Uel Dzemos que a soma K+U el da enega cnétca com a enega potencal elástca, pemanece nvaável duante o movmento de componente do sstema. O lado esquedo da epessão D K + D U el = 0 epesenta a soma das vaações da enega amazenada no sstema. O lado deto é nulo, poque não há tanseênca de enega atavés do lmte do sstema, ou seja, o sstema bloco+mola+paede é solado do meo. A enega mecânca, Emec = K + Uel é consevada paa um sstema bloco+mola+paede. Reaze os Eemplos 10.6, 10.7 e No Eemplo 10.7, note que duas enegas potencas são utlzadas. Eemplo 10.8 é semelhante ao poblema 3 da lsta 10. A esposta do tem (d) deste poblema se enconta no pmeo paágao da Resolução do Eemplo Responda a questão Pae E Pense Colsões elástcas Numa colsão, estudamos que o momento lnea do sstema se conseva: p = p O momento lnea dendo como p = mv e a enega cnétca K = = = m mv mv v mv mv onde se aplcou a denção do poduto escala e no últmo temo multplcou-se e dvdu-se po m. Utlzando o veto momento lnea e a denção do poduto escala, obtemos K = p m A enega cnétca é escta como unção do momento lnea escala. Numa colsão nelástca, temos K < K. Uma pate da enega mecânca do sstema é tanseda paa o ambente. Se, na pmea metade de uma colsão, toda a enega cnétca o tansomada em

16 enega potencal elástca e, na ase nal da colsão, toda esta o convetda de volta em enega cnétca, a colsão é denomnada colsão elástca. Temos duas les de consevação p = K = p K a do momento lnea e da enega cnétca. A pmea epessão é vetoal e a segunda escala. Deduz: Consdee duas patículas de massas deentes movendo ao longo de uma eta como mosta a gua. As duas patículas se coldem ontalmente e depos se movem cada uma com velocdade deente da que possuía. A colsão é elástca. Equações das consevações de momento lnea e enega cnétca são utlzadas m v - m v = m v + m v mv1 mv mv mv + = + 1 Mosta que as velocdades das patículas após a colsão são m - m m v = v + v m1 + m m1 + m m m - m v = v + v m1 + m m1 + m No caso patcula em que a patícula está em epouso, as velocdades após a colsão são apesentadas na Equação do lvo teto. Atenção: O poblema 10.7 do lvo-teto não se tata de uma colsão elástca. Resolve: Após deduz as equações acma, esolve o poblema do lvo teto. Recomendação de sempe: não decoa as epessões deduzdas!

17 10.7 Gácos de Enega Cnétca e Potencal e Equlíbo de um Sstema A enega mecânca de um sstema, onde os membos nteagem po meo da oça gavtaconal, é a soma das enegas potencal gavtaconal, U g = m g y, e cnétca, K = 0,5 m v. E mec = K + U g. A gua abao mosta o dagama de enega de um copo de massa m=,0 kg lançado vetcalmente paa cma e atngndo a altua máma y = 3,0m. Usa-se g = 10 m/s. A enega mecânca do sstema é E mec = U g = mgy = 60 J, pos, na altua máma, a enega cnétca é nula. Incalmente, y = 0, a enega mecânca é somente cnétca e a velocdade escala pode se detemnada, 0,5 m v = 60 J. A cuva da enega cnétca é detemnada, em cada posção y, pela deença ente a enega mecânca e enega potencal gavtaconal, K = E mec U g. Na posção em que E mec = U g, ou seja, onde K = 0, é um ponto de etono, em que o copo nvete o sentdo de movmento ( sto já o vsto em cnemátca). A etemdade esqueda da mola de constante elástca gual a 1,510 3 N/m é pesa na paede e a outa, no bloco de massa 0,500 kg. Quando o bloco é empuado conta a mola po um agente eteno, a enega potencal elástca e a enega total do sstema aumentam. Quando a mola é compmda em 5,00cm, posção à esqueda de = 0, a enega potencal elástca amazenada na mola é 3 - k 1, 5 10 (- 5, 0 10 ) E mec = = = 1,56 J Na posção de compessão máma, = -5,00cm, a enega cnétca é nula. Quando o bloco é lbeado, a mola eece uma oça sobe ele e o empua paa a deta. A enega mecânca do sstema, 1,56J, é tansomada em cnétca do bloco, K, e potencal elástca, U. Nessa mudança de conguação do sstema, a mola etona a seu compmento ognal, sto é, na posção de equlíbo, =0, a enega potencal elástca amazenada é completamente tansomada em enega cnétca. A enega potencal mecânca é totalmente cnétca. Como a mola está pesa ao bloco, ela é dstendda pelo movmento (néca) do bloco e contnua a toca de enega

18 cnétca do bloco em potencal elástca. A tanseênca é total quando a mola é estcada em = = 5,00cm. Este é o ponto de etono. Retoma o movmento paa a esqueda epetndo o pocesso de tansomação da enega. Outo ponto de etono é em = -5,00cm. A descção está epesentada na gua. O movmento de um sstema pode se entenddo po meo de um gáco de sua enega potencal pela posção de um membo do sstema. A mudança na enega potencal é dada po D = - = -ò U W F d Quando D U < 0, a F e d, estão na mesma deção. Po eemplo, quando o copo é baado em um campo gavtaconal ou quando uma mola empua um copo em deção ao equlíbo. Temos D U = U -U Consdeando U ( ) a conguação de eeênca do sstema, e med todas as deenças de enega potencal em elação a ela. Escevemos ò U ( ) = - F d + U A vaação nntesmal na enega potencal do sstema, du, seá du = -F d A oça consevatva é elaconada à unção enega potencal po meo da elação F du = - d Ou seja, o componente da oça, atuando sobe um membo dento de um sstema, é gual à devada negatva da enega potencal do sstema em elação a. Eemplos: (a) (b) d( mgy) U g = mgy Þ Fy = - dy F = -mg Þ F = -mgj ˆ y k U g = Þ F = -k Þ F = -kˆ

19 O gáco abao lusta a vaação da enega potencal de uma patícula do sstema. As E 1 e E são as enegas mecâncas a uma dada conguação do sstema. Se uma patícula é solta em 1, U 1 = E 1, ela começa a se move paa deta. Acelea até, pos F >0, e desacelea até 3, pos F < 0. Em 3, ela paa, K = 0. Esta posção é posção de equlíbo nstável. Uma pequena petubação que a patícula soa, ela pode se move paa deta ou paa esqueda. Se ela o paa a esqueda, F < 0, etona paa 1 e se o paa a deta, F >0, ela paa em 7. Como nessa posção, F < 0, ela etona paa 3. A 7 como a 1 são posções de etono paa a patícula de um sstema com enega total E 1. Outas posções de etono são 4 e 6 paa a patícula de um sstema com enega total E. Na posção, F = 0, a patícula está em epouso, e qualque petubação que a patícula soa, poduz uma pequena osclação em tono desta posção, po sso, esta posção é conhecda como posção de equlíbo estável. Pegunta: (a) Nas posções de etono, 1, 4, 6 e 7,ctadas no teto acma, a oça sobe a patícula é postva, negatva ou nula? Justca. (b) As enegas mecâncas E 1 e E ctadas no teto acma podem se postvas ou negatvas? Eplca. Responda a questão Pae E Pense 10.6.

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