EQUAÇÕES DINÂMICAS DE MOVIMENTO PARA CORPOS RÍGIDOS UTILIZANDO REFERENCIAL MÓVEL

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1 NTAS DE AULA EQUAÇÕES DINÂICAS DE IENT PARA CRPS RÍIDS UTILIZAND REFERENCIAL ÓEL RBERT SPINLA BARBSA RSB PLI USP LDS

2 TIAÇÃ Paa a obtenção das equações dnâmcas de um copo ígdo pode se convenente epessa o movmento em um efeencal móvel aula totalmente soldáo ao copo bod f. Neste caso as foças locas atuantes sobe o copo, fcam faclmente desctas e a dstbução de massa mat de néca do copo tona-se convenentemente constante. PSIÇÃ E REFERENCIAL ÓEL A posção do cento de massa do copo ígdo, epesso no efeencal necal XYZ, confome apesentado na Fgua, é dado pelo veto de posção em elação a ogem descto como: X I Y Z K onde I ; e K são os vesoes t-otogonas untáos do efeencal fo XYZ. Selecona-se po convenênca um efeencal móvel aula que pode se concdente com o cento de massa totalmente soldáo ao copo, confome apesentado na Fgua. A posção de um ponto P qualque do copo, tem sua posção elatva descta po: P onde, e são os vesoes t-otogonas untáos do efeencal móvel. RSB PLI USP LDS

3 efeencal aula pode se alnhado com seus eos pncpas de néca e sendo soldáo ao copo, a mat de néca descta neste efeencal, pemanece constante. Caso o copo sea smétco os podutos de néca seão nulos. Potanto o eo estaá alnhado com o plano de smeta longtudnal do copo. eo seá pependcula ao plano do copo paa cma. Po decoênca o eo na deção lateal aponta paa a esqueda. Z Y P X Fgua Refeencas Fo XYZ e móvel ATITUDE E ELCIDADE ANULAR s ângulos de Eule descevem a attude do copo e potanto do efeencal móvel em elação ao efeencal fo XYZ. Confome apesentado na Fgua, os ângulos de attude são: RSB PLI USP LDS

4 4 Ângulo de Deção ψ ângulo ps em tono do eo Z, fo; Ângulo de Elevação θ ângulo teta em tono do eo odado de ψ; Ângulo de nclnação φ ângulo ph em tono do eo do efeencal móvel; Z Y φ Z θ Ângulo de Inclnação Y g Ângulo de Elevação X ψ Ângulo de Deção X Fgua Ângulos de Rotação Eule A velocdade angula do copo, confome mostado na Fgua, pode se epessa no efeencal móvel po: com as seguntes componentes: elocdade angula de olagem:, elocdade angula de afagem: e RSB PLI USP LDS

5 5 elocdade angula de gunada:. gunada aw afagem ptch olagem oll elocdade Angula Fgua elocdade Angula Epessa no Refeencal óvel A velocdade angula do copo também pode se epessão no efeencal fo XYZ utlando a convenção NED noth - east - down. Assm a vaação tempoal da attude tem as seguntes componentes: elocdade de vaação da deção - ψ K, elocdade de vaação da elevação - θ ' e elocdade de vaação da nclnação - φ. Este uma mat de tansfomação [R] que coelacona os vetoes de velocdades angulaes epessas nos dos efeencas tal que: T { } [ R]{ φ θ ψ } T ou cφ sφ sθ φ sφ cθ θ cφ cθ ψ 4 RSB PLI USP LDS

6 6 4 CINEÁTICA D CRP A velocdade absoluta do cento de massa do copo ígdo meddo com espeto à ogem, fa e epessa no efeencal necal XYZ é dada po: d dt d X I Y Z K 5 dt A velocdade do cento de massa do copo pode se epessa no efeencal aula, confome apesentado na Fgua 4. Neste caso a velocdade é descta po: 6 onde ; e são os vesoes t-otogonas untáos do efeencal móvel. Fgua 4 elocdade do Copo epessa no efeencal móvel RSB PLI USP LDS

7 7 5 EQUAÇÃ D IENT DE TRANSLAÇÃ Aplcando o Teoema da Resultante da segunda Le de Newton ao copo ígdo TR, obtém-se a segunte equação dfeencal de movmento: m a F et 7 Paa a aplcação do TR fa-se necessáo potanto, a detemnação da aceleação absoluta do cento massa. Devando em elação ao tempo a velocdade do cento de massa, epessa no efeencal móvel, tem-se: a d d 8 dt dt A vaação tempoal da attude do copo no espaço e potanto dos vesoes do efeencal aula móvel é decoente da velocdade angula desta base. Fgua 5 elocdade angula epesso no efeencal móvel RSB PLI USP LDS

8 8 Assm consdeando que o copo tem velocdade angula confome mostado na Fgua 5, epesso no efeencal móvel po: 9 a vaação angula dos vesoes devdo ao movmento de aastamento deste efeencal, é descta po:, e e substtundo na epessão da aceleação obtêm-se: a a e utlando na equação do TR obtêm-se paa a esultante das foças etenas R epessas no efeencal móvel: m a m R Note potanto que o temo a é a aceleação epessa no efeencal móvel e o temo em da equação pecedente decoem do fato de se epessa no efeencal móvel. RSB PLI USP LDS

9 RSB PLI USP LDS 9 6 EQUAÇÃ D IENT ANULAR teoema da Quantdade de ovmento Angula TQA aplcada a um copo ígdo fonece as equações dfeencas de movmento angula do copo: [ ] { } { } et m a dt d } { Utlando o efeencal aula móvel e aplcando o TQA em elação ao pólo eos centas tem-se a mat de néca constante e o temo de pólo aceleado nulo, esultando na foma de veto coluna em: [ ] { } [ ] { } { } et } { } { 4 bseve que o veto de aceleação angula é obtdo de: el a a el 5 Fnalmente consdeando um copo com smeta e eos pncpas de néca obtêm-se: } { } { 6 e utlando a vaação tempoal dos vesoes do efeencal móvel obtêm-se: [ ] { } [ ] { } et 7

10 RSB PLI USP LDS Note que no caso do efeencal móvel se soldáo ao copo, as vaações angulaes dos vesoes, devdo ao movmento de aastamento deste efeencal, esultam em:,, 8. e aplcando no TR e no TQA obtêm-se: a 9 e sepaando as componentes da equação vetoal em cada deção epessa no efeencal móvel, paa a esultante de foças etenas R e nclundo o efeto da gavdade g afetado pela elevação φ e nclnação θ do copo confome Fgua obtêm-se: φ θ φ θ θ cos cos sen cos sen mg R m mg R m mg R m et et et et et et

11 Note que a velocdade tanslaconal do veículo epesso no efeencal móvel, tem valo sgnfcatvo devdo ao movmento do copo em tanslação contbu nas aceleações centípeta lateal e vetcal, segundo e espectvamente. Fnalmente as equações dfeencas de movmento paa o copo ígdo epessas no efeencal móvel são: m a m R et [ ] { } [ ] { } 4 REFERENCIA BIBLIRÁFICA: Bauh, H. 999 Analtcal Dnamcs, caw-hll, pp. 78. Fança, L. N. F. atsumua, A. Z. ecânca eal, Bluche, ª Ed., pp. 6. RSB PLI USP LDS