FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA. Localização Espacial de um Corpo Rígido

Transcrição

1 FUNDAMENOS DE ROBÓICA Localiação Esacial de um Coo Rígido

2 Motivação Pof. Silas do Amaal - UDESC 2

3 Motivação 2 Pof. Silas do Amaal - UDESC 3

4 Pof. Silas do Amaal - UDESC 4

5 Postua = [Posição, Oientação] de um Coo Rígido Reesentação da Posição Reesentação da Oientação Maties de ansfomação Homogênea Relação ente os Sistemas de Reesentação 5

6 Posição Cood. Catesianas Cood. Polaes Cood. Cilíndicas Cood. Esféicas Oientação Maties de Rotação Ângulos de Eule Rotação de um Eio Abitáio Quaténios Posição e Oientação Pof. Silas do Amaal - UDESC 6

7 Coodenadas Catesianas ês Dimensões Duas Dimensões Pof. Silas do Amaal - UDESC 7

8 Coodenadas Polaes e Cilíndicas ês Dimensões Cood. Cilíndicas Duas Dimensões Cood. Polaes Pof. Silas do Amaal - UDESC 8

9 Coodenadas Esféicas Pof. Silas do Amaal - UDESC 9

10 Pof. Silas do Amaal - UDESC Rotação de um Sistema de Refeência j i v v u u v u uv j i Um veto ode se eesentado nos dois sistemas.

11 Reesentação da Oientação Maties de Rotação 2D A elação ente os dois sistemas é dada ela mati de otação R. A mati de otação R fonece a oientação de OUV com elação a OXY. As colunas de R são os vetoes unitáios de OUV escitos no sistema OXY. Mati de Rotação Paa um Gio a. R R i j R i i u u cosα senα u v i j j j v v senα cosα Pof. Silas do Amaal - UDESC

12 Pof. Silas do Amaal - UDESC 2 Reesentação da Oientação Maties de Rotação 3D O veto descito nos sistemas OUVW e OXYZ A mati de otação R que elaciona OUVW a OXYZ w w v v u u w v u uvw k j i k j i A elação ente os dois vetoes w v u R w v u w v u w v u k k j k i k k j j j i j k i j i i i R

13 Eemlos de Maties de Rotação Rotação a em tono do eio OX O sistema OXYZ é fio. O sistema OUVW é móvel. Mati de Rotação que define a oientação de OUVW com elação a OXYZ R(,α) cosα senα senα cosα Pof. Silas do Amaal - UDESC 3

14 Eemlos de Maties de Rotação Mati de Rotação aa um gio f em tono do eio OY Mati de Rotação aa um gio q em tono do eio OZ R(, f) cosf senf senf cosf R(,θ) cosθ senθ senθ cosθ Pof. Silas do Amaal - UDESC 4

15 Rotações em um Objeto R(,9 o ) R(,-9 o ) R(,9 o ) Pof. Silas do Amaal - UDESC 5

16 Comosição de Rotações Considee a ealiação das tês otações aesentadas na odem: a em tono de OX, seguida de f em tono de OY e de q em tono de OZ. A mati de otação é assim obtida: onde: Cq = cosq Sq = senq Pof. Silas do Amaal - UDESC 6

17 Comosição de Rotações Invesão da odem das otações: q em tono de OZ, seguida de f em tono de OY e de a em tono de OX. Evidentemente, esta mati de otação é difeente da anteio, ois o oduto de maties não é comutativo. R(,α) R(,φ) R(,θ) Cα Sα Cφ Sα Cα Sφ SφCθ Sθ Cφ Sθ Cθ CφCθ SαSφCθ CαSθ CαSφCθ SαSθ CφSθ SαSφSθ CαCθ CαSφSθ SαCθ Sφ SαCφ CαCφ Pof. Silas do Amaal - UDESC 7

18 Rotações em um Objeto Rotações em um Objeto R(,9 o ) R(,3 o ) R(,3 o ) R(,9 o ) Pof. Silas do Amaal - UDESC 8

19 Ângulos de Eule ZXZ Eios Móveis Consiste de tês ângulos giando sucessivamente em tono dos eios eviamente giados. Seqüência ZXZ: f em tono de OZ q em tono de OU em tono de OW Pof. Silas do Amaal - UDESC 9

20 Ângulos de Eule ZXZ Eios Móveis Consiste de tês ângulos giando sucessivamente em tono dos eios eviamente giados. Sequência ZXZ: a em tono de OZ b em tono de ON g em tono de OZ Pof. Silas do Amaal - UDESC 2

21 Ângulos de Eule ZXZ Eios Fios Pof. Silas do Amaal - UDESC 2

22 Ângulos de Eule ZYZ Eios Móveis Consiste de tês ângulos giando sucessivamente em tono dos eios eviamente giados. Seqüência ZYZ: f em tono de OZ q em tono de OV em tono de OW Pof. Silas do Amaal - UDESC 22

23 Ângulos RPY Pof. Silas do Amaal - UDESC 23

24 Ilustação dos Ângulos RPY Pof. Silas do Amaal - UDESC 24

25 Rotação Sobe um Eio Abitáio Ao invés de tês em tono de eios otonomais, uma só otação é feita sobe um eio esecífico. Eessão matemática da alicação desta otação a um veto : Rot ( k,θ) cosθ -( k) senθ k ( k )(- cosθ) Pof. Silas do Amaal - UDESC 25

26 Uso de Quaténios aa Reesenta a Oientação É definido o quato comonentes, que eesentam as coodenadas do quaténio na base (e, i, j, k). Quaténio associado à otação q em tono de um eio abitáio k: Q q q q2 q3 s v onde s(q ) é ate escala do quaténio e v(q, q 2, q 3 ) é sua ate vetoial. Q Rot ( k,θ) θ cos 2 θ k sen 2 Pof. Silas do Amaal - UDESC 26

27 Mati de ansfomação Homogênea Descição de um veto = a.i + b.j + c.k em coodenadas homogêneas w aw bw cw w a b c Mati de tansfomação homogênea, que eesenta a tansfomação de um veto de um sistema de coodenadas em outo: R f 33 3 w 3 Rotação Pesectiva anslação Escala Em obótica, gealmente, os comonentes de f 3 são consideados nulos e w é feito igual à unidade, o que edu a: R Rotação anslação Pof. Silas do Amaal - UDESC 27

28 Poiedades das Maties de Rotação e de ansfomação Homogênea Seja a M..H. eessa na foma: n n n o o o a a a n o a n, o e a são vetoes unitáios, que eesentam a oientação, e o veto eesenta a osição. a: dieção de aoimação (eio Z) o: dieção de oientação (eio Y) n: dieção nomal (eio X) Pof. Silas do Amaal - UDESC 28

29 Poiedades das Maties de Rotação e de ansfomação Homogênea A oigem do sistema O UVW é definida elo veto uvw = [,,,] e eessa no sistema de coodenadas OXYZ como n o a Isto significa que é a osição da oigem do sistema O UVW com elação ao sistema OXYZ. Pof. Silas do Amaal - UDESC 29

30 Pof. Silas do Amaal - UDESC 3 Poiedades das Maties de Rotação e de ansfomação Homogênea n n n a o n a o n a o n uvw = [,,,] é o veto unitáio elativo ao eio O U, descito no sistema de coodenadas O UVW. Consideando nulo, as coodenadas deste veto no sistema OXYZ são descitas o: Isto significa que o veto unitáio n eesenta o eio O U do sistema O UVW com elação ao sistema OXYZ.

31 Pof. Silas do Amaal - UDESC 3 anslação Pua Mati de ansf. Homogênea efeente a uma tanslação = a.i + b.j + c.k de OUVW em elação a OXYZ: ) ( w v u w v u Veto tasladado de acodo com () e eesso em OXYZ ' ' ' Um veto uvw do sistema O UVW é descito no sistema OXYZ usando () na foma:

32 Pof. Silas do Amaal - UDESC 32 Eemlo de anslação - Pate O sistema O UVW é obtido com a tanslação (6,-3,8) com elação ao sistema OXYZ, confome se mosta na figua. Coodenadas do veto uvw (-2,7,3) no sistema OXYZ

33 Pof. Silas do Amaal - UDESC 33 Usando a mesma tansfomação no veto (4, 4, ), obtém-se: Eemlo de anslação - Pate 2

34 Pof. Silas do Amaal - UDESC 34 Rotação Pua Mati de ansf. Homogênea efeente a uma otação a em tono do eio OX. Neste caso, o veto 3 é nulo: Veto uvw do sistema otacionado, descito no sistema oiginal: cosα senα senα - cosα (,α) w v u Alicando a mesma tansfomação ao veto obtémse: ' ' '

35 Pof. Silas do Amaal - UDESC 35 Eemlo de Rotação Pua Considee uma otação de 9 em tono do eio OZ. As coodenadas do veto uvw = [4 8 2] no sistema oiginal são:

36 Rotação Seguida de anslação A odem das oeações é imotante, ois tanslação e otação não são comutativas. (,α) ( ) ( ) (,α) Pof. Silas do Amaal - UDESC 36

37 Pof. Silas do Amaal - UDESC 37 Rotação Seguida de anslação cosα senα - senα cosα ) ((,α), A mati de tansfomação aa uma otação a em tono do eio OX seguida de uma tanslação é eessa o: cosα senα - senα cosα ) ((,α), Po outo lado, se a otação fo em tono do eio OZ, a M..H. seá:

38 Pof. Silas do Amaal - UDESC 38 Eemlo de Rotação + anslação Considee uma otação de 9 em tono do eio OX seguida da tanslação dada o = (8,-4,2). ansfomação do veto uvw = (-3, 4, -) no veto eesso no sistema OXYZ

39 anslação Seguida de Rotação anslação seguida da otação a em tono do eio OX: (,(,α)) cosα senα - senα cosα cosα - senα senα cosα Pof. Silas do Amaal - UDESC 39

40 Pof. Silas do Amaal - UDESC 4 anslação Seguida de Rotação Consideando = (8,-4,2) e a = 9, o veto elativo a uvw = (-3, 4, -) é dado o:

41 Comosição de Maties Homogêneas Sistema de Coodenadas Fio Paa a seguinte seqüência de otações com elação a um sistema de codenadas fio: a em tono de OX, f em tono de OY e q em tono de OZ, a mati homogênea é dada o: (,θ) (,φ) (,α) Cθ Sθ Cφ Cθ Sθ Cφ Sφ - Sθ Cθ Cφ - Sφ Sθ Cα Cθ Sφ Sα Cθ Cα Sθ Sφ Sα Cφ Sα Sφ Cφ Cα Sα Sα Sθ Sα Cθ Sφ Sα Cθ Sα Sθ Sφ Cα Cα Cφ Novamente, a odem das oeações é de etema imotância. Cα (,θ) (,φ) (,α) (,α) (,φ) (,θ) Pof. Silas do Amaal - UDESC 4

42 Comosição de Maties Homogêneas Sistema de Coodenadas Móvel Quando uma seqüência de tansfomações é ealiada elativa a um sistema de codenadas que se modifica a cada oeação, as maties devem se multilicadas na odem invesa. Paa a seqüência de otações: otação a em tono de OX, seguida da otação f em tono de OV e da otação q em tono de OW, a mati homogênea é dada o: (, α ) ( v, φ) ( w, θ) Cφ Sφ Cθ Sθ Cα Sα Sθ Cθ Sα Cα Sφ Cφ Cφ Cθ Cφ Sθ Sφ Sα Sφ Cθ Cα Sθ Sα Sφ Sθ Cα Cθ Sα Cφ Cθ Cα Sφ Sα Sθ Cα Sφ Sθ Sα Cθ Cα Cφ Pof. Silas do Amaal - UDESC 42

43 Pof. Silas do Amaal - UDESC 43 Eemlos de Comosição de. H. A M..H. coesondente à seqüência de oeações abaio: ) 9, ( ) ( ) 9, ( o o. Rotação de -9 em tono do eio OX, seguida de 2. anslação definida elo veto = (5,5,) e de 3. Rotação de 9 em tono do eio OZ. é obtida a ati de:

44 Pof. Silas do Amaal - UDESC 44 Eemlos de Comosição de. H. Já a M..H. coesondente à seqüência de oeações abaio:. anslação definida elo veto = (-3,,), seguida de 2. Rotação de -9 em tono do eio O U do sistema tasladado e de 3. Rotação de 9 em tono do eio O V do sistema otacionado. é obtida a ati de: 3 3 ) 9, ( ) 9, ( ) ( o o v u

45 Pof. Silas do Amaal - UDESC 45 ansfomações necessáias aa localia um objeto. Gafos e Equações de ansfomação F O O M F E E R R M F O F E E R R O ) ( M M O M R M F O F E E R O R ) ( ) ( Feamenta efeida a OXYZ Feamenta ef. ao objeto Relação ente objeto e base

46 Relação ente os Ângulos de Eule e as Maties de ansf. Homogênea Reesentação o maties de tansfomação homogênea dos ângulos de Eule na seqüência ZXZ ZXZ (, φ) ( u, θ) ( w, ψ) Cφ Sφ Sφ Cφ CφCψ SφCθSψ SφCψ CφCθSψ SθSψ Cψ Sψ Cθ Sθ Sψ Cψ Sθ Cθ CφSψ SφCθCψ SφSθ SφSψ CφCθCψ SθCψ CφSθ Cθ Pof. Silas do Amaal - UDESC 46

47 Relação ente os Ângulos de Eule e as Maties de ansf. Homogênea Reesentação o maties de tansfomação homogênea dos ângulos de Eule na seqüência ZYZ ZYZ (, φ) ( v, θ) ( w, ψ) Cφ Sφ Sφ Cφ CφCθCψ SφSψ SφCθCψ CφSψ SθCψ Cθ Sθ Cψ Sψ Sψ Cψ Sθ Cθ CφCθSψ SφCψ CφSθ SφCθSψ CφCψ SφSθ SθSψ Cθ Pof. Silas do Amaal - UDESC 47

48 Relação ente os Ângulos R - P - Y e as Maties de ansf. Homogênea Reesentação o maties de tansfomação homogênea dos ângulos Roll-Pitch-Yaw na seqüência YPR YPR (, φ) (, θ) (, ψ) Cφ Sφ CφCθ SφCθ Sθ Sφ Cθ Cφ Sθ CφSθSψ SφCψ SφSθSψ CφCψ CθSψ Sθ Cψ Cθ Sψ CφSθCψ SφSψ SφSθCψ CφSψ CθCψ Sψ Cψ Pof. Silas do Amaal - UDESC 48

49 Relação Ente o Pa (k,q) e as Maties de ansfomação Homogênea A otação q em tono de um veto k ode se eessa como a comosição de otações básicas em tono dos eios coodenados. - Gio a em tono de OX 2 - Gio - b em tono de OY 3 - Gio q em tono de OZ 4 - Gio b em tono de OY 5 - Gio - a em tono de OX ( k,θ) (, α) (,β) (,θ) (, β) (,α) Pof. Silas do Amaal - UDESC 49

50 Relação Ente R(k,q) e a Mati de ansfomação Homogênea Levando em conta que: senα k k 2 k 2 cosα k k 2 k 2 senβ k cos β k 2 k 2 A M.. H. equivalente à otação em tono de um eio abitáio é fonecida abaio: 2 k Vθ Cθ kkvθ - ksθ kkvθ ksθ 2 kk Vθ ksθ k Vθ Cθ kkvθ - ksθ (k, θ) 2 kkvθ - ksθ kkvθ ksθ k Vθ Cθ onde Vq = - Cq. Pof. Silas do Amaal - UDESC 5