Introdução. Representação Equações de transformação. Representação Equações de transformação. Representação Equações de transformação

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1 Intodução Intodução à obótia eição epaial e anfomaçõe / of. ougla G. Mahaet dougla.mahaet@d.ufmg.b Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / O efeenial {} pode e obtido omo U U U U ou Equação de tanfomação U U Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 3 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 4 Utiliada paa eolve tanfomaçõe no ao de n equaçõe de tanfomaçõe e n tanfomaçõe deonheida No ao anteio e foe deonheido U U Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 5 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 6

2 anlaional mema foma matemátia paa mapea ponto ente efeeniai também podem e intepetada omo opeadoe anlação otação mbo Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 7 Move um ponto no epaço ao longo da dieção de um veto po uma ditânia finita aateítia pena um itema de oodenada envolvido Mema fomulação do mapeamento Intepetaçõe O veto e move paa fente O efeenial e move paa tá Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 8 anlaional O veto é tanladado po um veto Q Na foma de um opeado matiial Q Q q onde q : Magnitude om inal da tanlação Q : ieção do eio que ooe a tanlação anlaional O opeado Q pode e intepetado omo uma tanfomação homogênea imple onde q q e q ão a omponente de Q e Q q q q q q q q q Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 9 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / anlaional Muda um veto po uma otação Não etá elaionando doi efeeniai o io não utilia ubito ou obeito Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe /

3 Na foma de um opeado matiial K Onde : Valo em gau da otação K : ieção do eio de otação mati que otaiona um veto po meio de alguma otação é equivalente à mati de otação que deeve um efeenial otaionado de elativo a um efeenial de efeênia o in in o Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 3 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 4 anfomação {} Intepetação difeente de efeeniai Vetoe de poição e matie de otação anfomação = otação + anlação pena um itema de oodenada Sem ubito ou obeito Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 5 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 6 anfomação tanfomação que otaiona de e tanlada de Q é equivalente à tanfomação que deeve um efeenial otaionado de e tanladado de Q em elação ao efeenial de efeênia Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 7 anfomação Eemplo eeja-e otaiona o veto de 3 em tono de Ẑ e tanladá-lo unidade ao longo de e 5 unidade ao longo de. etemine e Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 8 3

4 anfomação Eemplo eumo da intepetaçõe anfomação homogênea eição de um efeenial tanfomação deeve o efeenial {} em elação ao efeenial {}. Epeifiamente a oluna de ão vetoe unitáio que definem a dieçõe do eio pinipai de {} e loalia a poição da oigem de {}. OG Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 9 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / eumo da intepetaçõe anfomação homogênea Mapeamento tanfomação mapeia Opeado tanfomação opea em poduindo anlaçõe ão fáei de viualia otaçõe não ão tão intuitiva ifíei de deeve e epeifia Fehada obe a multipliação Não é omutativa Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / onidee dua otaçõe de 3 uma em tono de e outa em tono de. Ẑ Mati de otação 3 3 oluna mutuamente otogonai oluna om magnitude veto unitáio Mati otonomal pópia deteminante = É poível epeenta uma otação em 3 utiliando meno que 9 paâmeto? Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 3 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 4 4

5 Fómula de ale ada uma mati otonomal pópia eite uma mati S kew-mmeti tal que: I S I3 Mati kew-mmeti 3 S S S Uma mati kew-mmeti de dimenão 3 é epeifiada po 3 paâmeto S Qualque mati de otação 3 3 podeá e epeifiada po apena 3 paâmeto! Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 5 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 6 O nove elemento de uma mati otaional não ão todo independente = [ ] É poível epeentá-lo omo: Ângulo fio -- eição Iniia om o efeenial {} oinidente om um efeenial onheido {}. imeiamente otaione {} em tono de de um ângulo em eguida em tono de de um ângulo e finalmente em tono de de um ângulo. Ẑ Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 7 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 8 Ângulo fio -- Ângulo fio -- ambém onheido po oll pith e aw Muito utiliado em aviação náutia e obótia Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 9 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 3 5

6 6 otação de em tono de oll ojeção da deição do vetoe unitáio que epeentam {} no vetoe unitáio de {} Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 3 Ângulo fio -- o in in o Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 3 Ângulo fio -- oblema inveo omo obte o ângulo a pati da mati? Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 33 Ângulo fio atan atan atan o oblema inveo ao Epeiai Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 34 Ângulo fio -- atan 9 atan 9 Simila a poém utilia o inal de e paa detemina o quadante que ontém o ângulo eultante Eemplo: Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 35 Ângulo fio -- atan / tan 45 atan -35 atan Ângulo de Eule -- ada otação é ealiada obe o eio de {} efeenial móvel depende da otaçõe Ângulo de Eule -- oduem o memo eultado na odem opota Ângulo-Eio equivalente otação em tono de um eio genéio veto Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 36 Outa deiçõe

7 onideaçõe omputaionai onideaçõe omputaionai onidee a eguinte otaçõe obe : Uma opção é agupa em uma únia mati Qual a foma mai efiiente de ealiá-la? Eite difeença? odem da tanfomaçõe podem fae gande difeença no tempo omputaional! O álulo de eque 54 multipliaçõe e 36 adiçõe opeação final obe 9 multipliaçõe e 6 adiçõe Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 37 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 38 onideaçõe omputaionai onideaçõe omputaionai E e a opeaçõe foem ealiada na odem? otal de opeaçõe 7 multipliaçõe e 8 adiçõe ada ao é um ao! Se a elaçõe ente a matie de otação foem ontante e eiti uma gande quantidade de i que devem e tanfomado em i Seá mai efiiente pé-alula Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 39 Intodução à obótia - eição epaial e anfomaçõe / 4 7