2 Formulação das Equações 2.1. Introdução

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1 Fomulação das Equações.. Intodução Na análise de estutuas oaxiais, muito utiliadas paa o tanspote de enegia eletomagnétia, os métodos numéios podem se basiamente divididos em dois tipos: métodos de solução de equações integais e métodos de solução de equações difeeniais. Como exemplo dos métodos de solução de equações integais, tem-se o método dos momentos, possuindo este a desvantagem de te uma implementação mais ompliada quando são onsideadas estutuas om geometia omplexa e om meios não homogêneos. Já os métodos de solução de equações difeeniais (método dos elementos finitos e método das difeenças finitas), têm omo vantagem uma fomulação mais simples e de fáil apliação paa estutuas om geometias omplexas. Neste apítulo seá mostada a apliação do método dos elementos finitos na análise de estutuas oaxiais. O sistema de efeênia utiliado paa a estutua é o ilíndio, sendo o eixo longitudinal, adial e angula, espetivamente,, e. O guia oaxial tem simetia ilíndia e seu ampo possui uma vaiação tempoal de e jωt. Além disso, é onsideado que as paedes desses guias são fomadas po ondutoes pefeitos. Em uma linha de tansmissão, a difeença ente as dimensões das seções tansvesais dos guias oaxiais fa om que ooa o apaeimento de divesos modos nas tansições ente as seções. Nas estutuas onsideadas neste pojeto, o ampo é alulado a uma deteminada distânia da áea de petubação onde apenas o modo fundamental ontinua se popagando. Os demais modos, po seem evanesentes, não possuem uma influênia signifiante. Como a estutua utiliada no pojeto tem simetia ilíndia, um poblema que é tidimensional pode se esolvido omo se fosse bidimensional (adial e

2 8 longitudinal). Consideando essa simetia, o ampo magnétio não possuiá omponente adial. Levando-se em onsideação as ondições desitas anteiomente, o álulo dos ampos magnétios no inteio dos guias é ealiado a pati do tatamento das equações de Maxwell omo mostado a segui... Fomulação Eletomagnétia O poblema poposto onsiste em alula a distibuição de ampo eletomagnétio em uma estutua metália oaxial iulamente simétia em tono do eixo longitudinal oinidente om o eixo das oodenadas ilíndias, onfome ilustado na Figua.. Ente as paedes metálias existe um aegamento dielétio linea aateiado pela pemissividade ε(,) e pemeabilidade μ(,). Figua..: Geometia do poblema poposto. (a) seção de guia de onda oaxial e (b) sistema de oodenadas ilíndias []. Neste estudo seão onsideados dois tipos de fonte de exitação paa a estutua:

3 9 Alimentação Tipo I: modo TEM (Tansvese Eletomagneti Mode) inidente na pota de entada Γ, omo mostado na Figua.. Alimentação Tipo II: fonte de oente magnétia M = M ˆ supefiial oloada sobe a pota de entada, omo mostado na Figua.3. O Figua..: Alimentação Tipo I modo TEM inidente na pota de entada.

4 0 Figua.3.: Alimentação Tipo II - fonte de oente magnétia sobe a pota de entada. Paa o pimeio tipo de fonte, a apliação da solução numéia a se utiliada eque que o dimensionamento das potas de entada Γ e saída Γ assegue a popagação exlusiva do modo TEM, enquanto que no segundo aso esta exigênia é imposta somente à pota de saída Γ. O modo TEM dieção longitudinal ( ), om omponentes não possui omponentes de ampo eletomagnétio na e E nulas. Como a estutua iula desse poblema não possui dependênia aimutal, assim omo as fontes de exitação também não possuem dependênia em, os modos supeioes exitados pelas desontinuidades no inteio da estutua oaxial não vão apesenta omponentes longitudinais ( ) do ampo magnétio. Dessa foma, os ampos no inteio do guia oaxial podem se aateiados omo TM (Tansvese Magneti), onde a omponente é nula.

5 .3. Equação de Onda O sistema de oodenadas ilíndias (,,) esolhido paa deseve o poblema da estutua ilíndia da Figua. possui um eixo que oinide om o eixo da estutua. A egião V (Volume) é limitada pelas supefíies S 0 das paedes metálias e S e S sobe as potas de entada e saída, espetivamente. Devido à simetia iula, o volume possui uma seção tansvesal Ω no plano om fonteia desita pela geati Γ, que onsiste das paedes metálias Γ0 e pelas potas Γ e Γ. Figua.4.: Regiões da seção eta da estutua ilíndia. As equações de Maxwell na foma difeenial paa um meio linea e isotópio utiliadas na esolução do poblema de uma estutua ilíndia om uma oente magnétia na entada são: Equation Setion (Next) = jωε(,, ) E + J (.) E = jωμ(,, ) M (.) D = E (.3)

6 B = M (.4) onde E e são os ampos elétio e magnétio, volumétias de aga elétia e magnétia e J e M E e M são as densidades são as fontes de oente elétia e magnétia, espetivamente. A pemissividade ε e a pemeabilidade μ podem se omplexas e dependentes da posição na egião de inteesse Ω. A feqüênia angula é definida po ω = π f. Como não existem fontes de oente elétia J na egião V, a equação (.) pode se esita da seguinte foma: E = (.5) jωε(,, ) Substituindo a expessão (.5) na lei de Faaday (.) tem-se que: = M jωμ(,, ) jωε(,, ) (.6) Consideando que ε (, ) = εr (, ) ε0 possa se expessa atavés da pemissividade elativa do meio e μ(, ) = μr (, ) μ0 possa se expessa pela pemeabilidade elativa do meio, a equação (.6) também pode se esita da seguinte foma: = jωε0m j ω ε0μ0μr (,, ) εr (,, ) (.7) onde a onstante de onda k 0 é definida po: k = ω με (.8) Utiliando a definição (.8), a equação (.7) pode se esita omo:

7 3 k0μr (,, ) = jωε0m εr (,, ) (.9) onde a equação (.9) é a equação de onda em temos do veto ampo magnétio. Paa os pontos no inteio da egião V, a fonte de oente M é nula pemitindo que a equação (.9) seja eesita omo. k0 μr (,, ) = 0 εr (,, ) (.0).4. Exitação do Dispositivo Na seção. foi mostado que seão onsideados dois tipos de fonte de exitação paa a estutua: Alimentação Tipo I e Alimentação Tipo II. O pimeio tipo de fonte pode se onsideado ideal, pois apenas o modo TEM está se popagando no duto. O segundo tipo de alimentação epesenta de uma foma mais eal o tipo de popagação que pode ooe dento de um duto de petóleo. Os ampos exitados em ada tipo de fonte estão desitos a segui. Alimentação do Tipo I Na alimentação do Tipo I é suposto que somente o modo fundamental TEM se popague nas potas S de entada e S de saída, podendo existi nos dois sentidos na pota de entada S, oespondendo aos modos inidente e efletido, enquanto que na saída temos somente a pesença do modo tansmitido se popagando no sentido -positivo. Neste tipo de alimentação não existe fonte de oente no inteio do volume V e na supefíie de ontono S. i s Desta foma podemos expessa o ampo = + em S atavés da soma dos ampos inidente i e espalhado s. Como seá exposto na seção.5,

8 4 o ampo magnétio do modo TEM tem uma únia omponente na dieção ˆ, = ˆ. Consideando que o modo TEM é utiliado paa epesenta os ampos magnétios inidente e efletido, pode-se estabelee uma expessão paa o ampo elétio a pati das omponentes de ampo magnétio. A equação do ampo elétio inidente pode se esita da seguinte foma: E i i = = jωε jωε i ˆ (.) Do mesmo modo, tem-se o ampo elétio espalhado: E s s = = jωε jωε s ˆ (.) i s Dessa foma, o ampo elétio total ( E + E ) em S pode se esito a pati das omponentes de ampo magnétio (inidente e espalhado), utiliando-se as expessões (.) e (.), fiando omo: i s + E = = ˆ jωε jωε (.3) i ( l O modo fundamental (TEM) é usado paa epesenta o ampo inidente jk = e η. Dessa foma, a deivada em da expessão (.3) na pota = ) pode se esita omo: i s + E = ˆ = jk + jk Z = l jωε jωε Z = l i s ( ) Z = l ˆ (.4)

9 5 onde l é posição no eixo da pota de entada S, ε = ε é a pemissividade elétia elativa do meio (Figua.5) e k = ω με. Figua.5.: Popiedades dos meios ( ε, μ ) no inteio do duto e ( ε, μ ) no dielétio. Consideando que, pode-se expessa o ampo efletido omo i s = +. Dessa foma, a equação (.4) pode se eesita omo: s i = k i i = ( ) ˆ ( ) ˆ + = η ωε E Z = l Z = l Z = l (.5) μ onde η é a impedânia de onda na pota ( η = ). ε Similamente, na abetua do guia, o ampo é omposto somente pelo ampo tansmitido. A ondição de fonteia absovente seá definida omo: k E = = = η Z = l jωε ˆ ˆ ˆ ωε Z= l Z= l (.6)

10 6 onde l é posição no eixo da pota de saída S, ε = ε é a pemissividade elétia elativa do meio (Figua.5) e k = ω με. Assim omo em Γ, os modos evanesentes são negligeniados. Alimentação do Tipo II Paa o dispositivo desito na Figua.3, a exitação dos ampos é poduida po uma difeença de potenial V 0 ente os ilindos exteno e inteno na egião de esteitamento da estutua. Este esteitamento impede a utiliação do modelo de alimentação do Tipo I, visto que não é possível peve a existênia exlusiva do modo TEM. Paa este dispositivo, a difeença de potenial V 0 imposta ao dispositivo gea uma distibuição de ampo elétio adial onheida na pota de entada: E( ) ˆ ( ) E ˆ V A ln B 0 0 E = = ˆ (.7) Paa a pota de saída, pemaneem as suposições do modelo de alimentação do Tipo I..5. Método de Galeking O objetivo da fomulação de elementos finitos é obte a solução da equação de onda vetoial (.9) em um volume V, onde está sendo onsideado que M 0. Esta solução pode se obtida utiliando-se o método de Galeking, onde se multipliam esalamente os dois membos da equação po funções de teste vetoiais n [8]. Com isso, pode-se obte a equação (.8):

11 7 dv k dv = j M dv (.8) 0 μr (,, ) ωε0 εr (,, ) V V V A identidade vetoial (.9) pode se apliada ao integando da pimeia integal da equação (.8), obtendo-se a expessão (.0). A B = B A A B identidade vetoial (.9) = εr(,, ) εr(,, ) εr(,, ) (.0) Reoganiando a equação (.0), tem-se que: = + εr(,, ) εr(,, ) εr(,, ) (.) Apliando o esultado obtido em (.) na equação integal (.8), pode-se obte o seguinte esultado: dv + dv k0 μr (,, ) dv = εr(,, ) εr(,, ) V V V = jωε V 0M dv (.) Apliando o Teoema de Gauss na pimeia integal da equação (.) tem-se que:

12 8 ) nds + dv k0 μr (,, ) dv = εr(,, ) εr(,, ) S V V = jωε V 0M dv (.3) Paa a Alimentação Tipo I Na alimentação do Tipo I apenas o modo fundamental TEM se popaga nas potas S de entada e S de saída. Substituindo o ampo E pelas equações (.5) e (.6) nas potas S e S, espetivamente, a integal sobe a supefíie da equação (.3) fiaá da seguinte foma: j k dd S ε(,, ) (.4) i Entada: ε 0 ( ) Saída: S jε 0k dd ε(,, ) (.5) Paa a Alimentação Tipo II A alimentação do Tipo II gea uma difeença de potenial ente os ilindos exteno e inteno da estutua. Substituindo o ampo E pelas equações (.5) e (.7) nas potas S e S, espetivamente, a integal sobe a supefíie da equação (.3) fiaá da seguinte foma: Entada: E0 S (,, ) jωε0 dd ε (.6) Saída: S jε 0k dd ε(,, ) (.7)

13 9.6. Solução da Equação de Onda omogênea Como menionado anteiomente, a utiliação da alimentação do Tipo I eque o dimensionamento das potas de entada e saída de tal foma que seja asseguada a popagação exlusiva do modo TEM. Paa a alimentação do Tipo II, essa ondição é neessáia paa a pota de saída. Desta foma é essenial estabelee as ondições de popagação dos modos TM supeioes a fim de assegua que sejam evanesentes nas seções extemas onfome o tipo de alimentação. Paa expessa os ampos dos modos TM existentes nas seções de entada e saída, pode-se utilia o veto potenial magnétio om uma únia omponente omo mostado em [], tansfomando a equação de onda vetoial em uma equação esala. Paa uma egião sem fontes, o veto potenial magnétio A deve satisfae a seguinte equação de onda: A+ k A= 0 (.8) onde k é a onstante de onda definida po: k = ω με (.9) Os ampos elétio e magnétio, devido ao potenial veto A, podem se epesentados pelas equações a segui: EA = jωa j ( A) (.30) ωμε A = A (.3) μ Como mostado em [], as ondições de ontono do poblema podem se satisfeitas pela epesentação do potenial veto omo uma únia omponente na dieção :

14 30 A(,, ) = ˆ ψ(,, ) (.3) A substituição do veto A de (.3) na equação de onda (.8) pemite estabelee a seguinte equação paa a função esala ψ (,, ) : ψ (,, ) = ˆ ψ (,, ) (.33) onde, esão as oodenadas ilíndias onfome a Figua.6. Substituindo (.33) nas equações (.3) e depois em (.8), tem-se o seguinte esultado: ( ˆψ ) = k ( ˆψ ) (.34) Atavés da equação (.34) pode-se die que: ou, ˆ k ˆ ψ = ψ (.35) ψ = k ψ (.36) Figua.6.: Sistema de oodenadas ilíndias e vetoes unitáios oespondentes [].

15 3 Paa um guia ilíndio, a solução pode se esita omo [9]: [ ] jk + jk ψ (, ) = AJ m( k) + BY m( k) Cos( m) + Dsen( m) Ae 3 + B3e (.37) A solução (.37) enontada pode se utiliada paa epesenta as soluções dos poteniais vetoes A. Substituindo os valoes dos vetoes poteniais nas equações dos ampos elétio (.30) e magnétio (.3), podem-se enonta os valoes dos ampos, omo pode se visto a segui []: E E ψ = j ϖμε ψ = j ωμε E = j + k ωμε ψ = μ ψ = μ ψ (.38) (.39) (.40) (.4) (.4) = 0 (.43) A segui seão mostadas as ondições paa que os modos TEM (Tansvese Eletomagneti Mode) e TM (Tansvese Magneti Mode) se popaguem em uma estutua ilíndia oaxial..6.. Tanvese Eletomagneti Mode (TEM) O modo TEM possui os ampos elétio e magnétio tansvesais à dieção ẑ, isto é, E = 0 e = 0. De aodo om [], esse modo é obtido quando m = 0 e k = k. Logo, a solução dada pela equação (.37) seá a seguinte:

16 3 ψ (.44) jk + jk = ln( ) C Ae 3 + B3e Consideando que a onda se popaga na dieção equação (.44) da seguinte foma: + ẑ é possível simplifia a + jk ψ = ln( ) e (.45) Paa alula o ampo magnétio, pode-se utilia a equação (.3). Dessa foma: = A (.46) μ Consideando que o potenial A pode se epesentado po a equação (.45) em (.46), tem-se que: ψ e substituindo jk = e ˆ (.47) μ Analisando-se a equação (.47), pode-se obseva que o veto potenial F deve se nulo paa que a omponente do ampo magnétio na dieção ẑ seja nula ( = 0). jk = e (.48) μ = = 0 (.49) O ampo elétio pode se alulado atavés da equação (.30), faendo-se F = 0. Dessa foma, tem-se que: E = jωa j ( A) (.50) ωμε

17 33 Substituindo a equação (.45) em (.50) e faendo os álulos vetoiais, tem-se que: jk E = k e ˆ ωμε (.5) Sabendo que k = ω με e desenvolvendo a equação (.5), as omponentes do ampo elétio seão: E jk = e (.5) με E = E = 0 (.53).6.. Tansvese Magneti Mode (TM) O modo TM possui o ampo magnétio tansvesal à dieção ẑ, isto é, = 0. Dessa foma, tem-se o potenial A epesentado pela equação (.37), omo pode se visto a segui: + ψ (,, ) = AJ ( ) ( ) m k + BYm k [ os( ) ( ) ] C m + D sen m Ae 3 jk (.54) Os ampos eletomagnétios podem se alulados atavés das equações (.38) a (.43) fiando da seguinte foma: kk ' ' ( ) ( ) [ os( ) ( )] jk = m + m + E AJ k BY k C m D sen m e ωμε (.55) mk jk E = AJ m( k) + BY m( k) [ Csen( m) + Dos( m) ] e ωμε (.56) k jk E = j AJ m( k) + BY m( k) [ Cos( m) + Dsen( m) ] e ωμε (.57)

18 34 E = (.58) TM η E = (.59) TM η = 0 (.60) onde modo J djm ( x) =, Y dx ' m TM. ' m dym k ( x) = e η TM = é a impedânia tansvesal paa o dx ωε As onstantes A, B, C, D, m, k e k podem se aluladas utiliando as seguintes ondições de fonteia: E ( = a,, ) = 0 (.6) E ( = b,, ) = 0 (.6) E ( = a,, ) = 0 (.63) E ( = b,, ) = 0 (.64) onde = a e = b epesentam as paedes da estutua ilíndia oaxial. Paa que essas ondições sejam atendidas, deve-se te que: f( a) = AJ ( k a) + BY ( k a) = 0 (.65) m m f( b) = AJ ( kb) + BY( kb) = 0 (.66) m m Na equação (.65) pode-se die que: Y ( k a) = (.67) ( ) m A B J m k a Substituindo (.67) na equação (.66), obtém-se: Y( kaj ) ( kb) + J ( kay ) ( kb) = 0 (.68) m m m m

19 35 Compaando a equação (.68) om (.66), obsevam-se que paa que as igualdades sejam vedadeias os valoes de A e B devem se: A = Ym ( k a) (.69) B = J ( k a) (.70) m Além disso, os ampos devem se epetidos a ada π adianos em. Dessa foma, tem-se que: m = 0,,,3,... (.7) A onstante k está elaionada om a onstante de popagação k da seguinte foma: ( ) k k k mn = (.7) onde k = ω με e n ( n =,,3,... ) epesenta o enésimo eo da função de Bessel J m de pimeio tipo e odem m ( m = 0,,,3,... ). De aodo om [], a feqüênia de onda de ote do modo TM pode se epesentada po: ( f ) mn k = (.73) π με Utiliando a equação (.73), a equação (.7) de k pode se esita omo: ( ) f k = k se f f ( f ) mn > = f ( ) mn f k = jk se f f ( f ) mn < = f mn (.74) (.75)

20 36 onde a equação (.74) epesenta o modo popagante e a equação (.75) epesenta o modo evanesente. A feqüênia de ote de onda pode se definida atavés dos aios inteno (a) e exteno (b) da estutua oaxial ilíndia. Paa isso, devem-se expandi as funções de Bessel assintotiamente paa agumentos gandes da seguinte foma: π mπ Jm( k) = os k πk 4 π mπ Ym ( k) = sen k πk 4 k (.76) Substituindo as expessões (.76) na equação(.68), tem-se que: sen( α) os( β) + os( α) sen( β) = 0 π kab (.77) onde, π mπ α = ka 4 (.78) π mπ β = kb 4 (.79) Utiliando uma popiedade tigonométia, pode-se eeseve a equação (.77) da seguinte foma: ( α) 0 sen β = (.80) Dessa foma, utiliando as expessões (.78) e (.79), a equação (.80) pode se esita omo: k ( b a) = lπ (.8) onde l =,,3,.... A equação (.8) pode se eesita utiliando-se (.73), obtendo-se a elação ente os aios da estutua ilíndia oaxial e a feqüênia de onda de ote.

21 37 lπ l b a = = (.8) k με f Ou, a l = (.83) b bf με Paa que o modo TM se popague é neessáio que f > f. O valo da feqüênia de onda de ote ( f ) pode se obtido atavés da equação (.83) omo pode se visto a segui: f = l a < b με b f (.84) Reoganiando a inequação (.84) tem-se qual deve se a elação ente os aios da estutua paa que o modo TM se popague. a l < (.85) b bf με