< l e z > 0 são caracterizadas pelas frequências de corte f. , a região interior l < z < 0 é caracterizada por uma frequência

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1 Poblema 1 Considee a situação desita na figua Eistem tês zonas distintas ao longo da dieção z de popagação: enquanto que as duas egiões eteioes z < l e z > são aateizadas pelas fequênias de ote f 1, a egião inteio l < z < é aateizada po uma fequênia de ote f > f 1 Admita que a fequênia de tabalho é f tal que f > f > f 1 f 1 f f 1 z = l z = z (a) Moste que há tansfeênia de potênia da egião z < l paa a egião z > (b) Considee β = jα (om α > ) paa a egião inteio Moste que, paa α l 1, o fato de tansmissão de potênia da egião z < l paa a egião z > é t ep( α l)

2 Poblema Considee o guia de seção etangula, epesentado na figua, om peenhimento heteogéneo Admita que (om 1 n t < y < b ε paa < y < t y = n 1 n > ): ( ) e ( y) ε paa = n y b d t a (a) Eplique a azão pela qual, neste guia, os únios modos tansvesais do tipo TE que se podem popaga são os modos TE n (b) Esolhendo, paa os modos TE n, a omponente E omo omponente de supote, detemine H y e H z em função de E () Moste que, de aodo om a alínea anteio, se tem ( ) h ( y) em temos de ( y) ε (d) Deduza a equação modal paa os modos t < y < b TE n Faça h1 E y + h y E = e detemine h = paa < y < t e h = h paa

3 (e) Paa n = 1, n = 1, a = 5m, a = b e t = b / 4, alule a fequênia de ote do modo TE 1 Sugestão: Faça = a λ = af e note que a pimeia solução positiva de ( π ) + ( π ) = ou ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) tan tan (f) Seja sin os sin 3 4 os = é f t a fequênia de tansição paa a qual um dado modo ( v f > ) a lento ( ) ( π u) n n TE n passa de ápido v f < Nas mesmas ondições da alínea anteio, moste que tan = 3π u om u = a λ = af Notando então que u paa o modo TE 1 t t, alule f t

4 Poblema 3 Considee o quadipolo eípoo e sem pedas da figua Admita que as linhas são bifilaes (modo TEM) e que b =, tendo ambas um ompimento l = λ 4 Suponha, ainda, que qa n v nv1 o tansfomado 1: é ideal, ie, que = e i = i 1 n Considee ξ : = n q () i 1 1 ( ) 1:n i v 1 a v 1 v b v λ 4 λ 4 (a) Detemine a matiz de dispesão do quadipolo em função de ξ (b) Detemine p = ROE = VSWR no baço 1 om o baço teminado po uma aga adaptada Repesente gafiamente p vs ξ e detmine o intevalo ξ ξ ξ paa o min ma qual p

5 Poblema 4 Considee a junção eípoa e sem pedas da figua Admita que as linhas são bifilaes (modo TEM) e que ll, λ L v 1 a v () 1 ( ) l b v 3 ( 3) (a) Detemine a matiz de dispesão do T om base na distibuição de tensões indiada na figua Considee = q b a (b) Que alteações se deveiam intoduzi na matiz de dispesão deteminada na alínea anteio no aso da tensão ao teminal ( 1 ) se maada om o sentido oposto ao da figua, mantendo o sentido das outas duas tensões? () Considee agoa = = Suponha então que se liga ao teminal ( ) a b adaptado enquanto que ao teminal ( ) 1 um geado ( ) se liga uma aga adaptada e ao teminal 3 uma esistênia R vaiável Designando po P g a potênia do geado e po P a potênia entegue à aga R, alule a elação P P quando < om = R g

6 Poblema 5 Considee que se petende adapta a linha de tansmissão sem pedas de impedânia aateístia 1 à aga esistiva atavés de um tansfomado de λ 4 tal omo se india na figua in 1 = 1 z z = l l = λ 4 z = (a) Moste que, paa = 1, se tem in = 1 θ f ( ) (b) Seja o ompimento elétio do tansfomado paa a fequênia, ie, θ=β : f l Designe ainda po ρ o módulo do fato de efleão à entada do tansfomado, ie, ρ=γ : l Pove que ( ) ρ= 1 + θ se

7 () Veifique que, paa θ π, se tem apoimadamente (d) Faça agoa 1 ρ = os θ 1 θ=β l = f f π em que, potanto, f é a fequênia paa a qual máimo admissível paa o fato de efleão e f ( f f ) de banda, om fm < f, moste que θ =π Sendo ( f ) m ρ =ρ o valo = a oespondente lagua m m ρ f 4 = 1 1 m os f π ( 1) 1 ρm (e) Petende-se adapta uma aga = 1Ω a uma linha de impedânia aateístia = Ω atavés de um tansfomado de de λ 4 (linha de dielétio a) paa uma 1 5 fequênia nominal f = 1GHz Detemine o ompimento do tansfomado e a sua impedânia aateístia Qual é a lagua de banda do tansfomado se o valo máimo toleável do oefiiente de efleão fo ρ m = 1?

8 Poblema 6 Suponha que a linha de tansmissão sem pedas epesentada na figua é uma linha nãoeípoa aateizada po uma onstante de popagação β + (esp, β ) e po uma impedânia aateístia + (esp, ) paa ondas pogessivas popagando-se no sentido positivo (esp, negativo) do eio z Considee as seguintes definições: + β + β z =, θ ( z) = + ( ) i i 1 β + + v 1 v β z z = l z = (a) Detemine o fato de efleão (de tensão) Γ na aga (ie, em z = ) em função de, G e de O que é, nesta linha, uma aga adaptada? E qual é o valo de Γ oespondente a = (ie, a um iuito abeto)? Reduza, sempe, ao aso eípoo paa efeitos de ompaação (b) Moste que a tensão e a oente se podem eseve na foma Detemine as onstantes v + ( z) = g a( z) + g b( z) ( ) i z ( ) b( z) a z = + g g ± g bem omo as funções ( z) a e ( z) b

9 () Definindo ( ) ( ) b z Γ ( z) : = a z moste que ρ: =Γ ( z), δ : = ag ( Γ), Φ ( z) : = θ( z) + δ Γ ( z) = Gρ ep jφ( z), v( z) G+Γ( z) ( z) : = = i( z) 1 GΓ( z) Γ = G Γ Note que, om estas definições, se tem ( ) (d) De aodo om a alínea anteio moste que, numa junção não-eípoa om linhas do tipo da figua, o elemento S ij (om i alulado atavés da epessão Veifique o limite no aso eípoo j) da espetiva matiz de dispesão pode se + g j g j vi τ j : = 1+ Sjj Sij = τ + j g g v j i j

10 Poblema 7 Considee um aoplado dieional om tês fuos na paede omum de dois guias de seção etangula sobepostos tal omo se india na figua y b n = n = 1 n = b l l z a fundamental é l λ g 4 Admita que os dois guias são monomodais e que a fequênia de ote do modo =, om λ : λ ( ) f = 6 GHz Admita, ainda, que a fequênia nominal é f = 1 GHz em que = g g f (a) Supondo que os oefiientes de tansmissão dos tês fuos (om n =,1, ) são tais que τ = d τ e τ bn = dnτ b, moste que fn n f ( ) jθ 4 jθ : ( ), jθ = d + d e + d e b = b = e ( ) ϕθ τϕθ τ ϕ 1 3 b 4 (b) Sendo q = b3 b4 a ejeição do aoplado e definindo uma ejeição nomalizada moste que τ f Q: = q, τ b f

11 ( ) ( ) ( ) ( ) F θ F θ : = ϕθ Q= = os θ F Considee, nesta alínea, que d = d e d 1 = d (distibuição binomial) Note que ( θ ) ( θ ) os + 1 = os () Calule a distânia l ente fuos (d) Paa uma dietividade mínima de 3 db, alule a banda de fequênias f 1 f f de funionamento do dispositivo Note que D= log ( q), tendo-se ( f ) = ( f ) = e θ = θ( f ) = π θ, om θ( ) β( ) θ θ θ 1 1 m m ( ) θ = θ = π, f = f l Considee, nesta alínea, a distibuição binomial de (b) e que τ f = τ Calule, ainda, a lagua de banda elativa b f f em que f = f f1 (e) Compae os esultados obtidos na alínea anteio om os que obteia om um aoplado de dois fuos idêntios sepaados pela mesma distânia l

12 Poblema 8 Considee o amplifiado de mioondas, baseado num iulado de quato baços, epesentado na figua ( 3) d < z in G () 1 ( ) = 15 ( 4) Ligado ao baço 3 enonta-se um díodo de túnel modelado po uma esistênia d < Designando po P 1 a potênia do geado (adaptado) entegue ao dispositivo e po P a potênia entegue à aga, define-se o ganho G do amplifiado omo sendo G 1 log P = P1 Suponha que = 15 e admita que o iulado é ideal (a) Consideando = 1, detemine os dois valoes possíveis de d de foma que G = 3dB (b) Calule os valoes da impedânia (nomalizada) de entada z in oespondentes aos dois valoes de d alulados na alínea anteio Admita, nesta alínea, que = 15

13 Poblema 9 Uma feite pode se onsideada omo um meio anisotópio ujas elações onstitutivas se podem eseve na foma D= ε ε E, B = µ µ H em que o tenso da pemeabilidade magnétia (elativa) é dado pela matiz µ jµ µ = jµ µ no efeenial (, yz, ) quando a feite (onsideada ilimitada) se enonta imesa num ampo apliado (unifome e onstante) B ˆ a = z B µ (a) Moste que, paa ondas planas monoomátias da foma = ( ω β ) ( ω β ) H = H ep j t z, se tem E z = H z =, ie, são ondas TEM E E ep j t z e (b) Moste que eistem duas ondas aateístias ujas onstantes de popagação são ( ) β = ε µ ± µ k ± () Moste que as ondas aateístias da alínea anteio têm polaizações iulaes otogonais Mais peisamente que: (i) a onda de onstante de popagação β + tem R ˆ ˆ y ˆ ; (ii) a polaização iula dieita a que oesponde um veto de Jones = ( j ) onda de onstante de popagação β tem polaização iula esqueda a que oesponde L ˆ ˆ y ˆ um veto de Jones = ( + j ) (d) Admita que se tem ( z =, t) = ˆ E ep ( jω t) E Fazendo 1 Ψ ( z) : = ( β β ) z e ( z) : ( β β ) + 1 Φ = + + z,

14 pove que em z = d se tem E E y ( d ) = tan Ψ Este efeito é designado po otação de Faaday Veifique que se tata de um efeito não eípoo, ie, que em z = d E E y = tan Ψ ( d )

15 Poblema 1 Considee uma avidade essonante onstituída po um guia de seção etangula utoiuitado num etemo e ligado a um guia idêntio atavés de um íis indutivo tal omo se india na figua b l a a= b= 5m, l = 1875m, = 3m (a) Calule a fequênia de essonânia f do pimeio modo de osilação, ie, daquele modo paa o qual se tem l λ g Compae om a fequênia de essonânia f da avidade fehada (ie, om = ) (b) Detemine os paâmteos l e (nomalizados em elação à impedânia do modo TE 1 ) do iuito (LC paalelo) equivalente da avidade paa o modo de osilação onsideado na alínea anteio Despeze as pedas () Moste que a eatânia oespondente ao segundo modo de osilação, a intoduzi no iuito equivalente onsideado na alínea anteio, é despezável

16 (d) Calule o valo da ondutânia g a oloa no iuito equivalente onsideado em (b) Admita que o fato de qualidade intínseo da avidade é o mesmo que o de uma avidade paalelepipédia om as mesmas dimensões, ie, que onde π [ ] Q 3 b( a l ) ( + ) + ( + ) π + = Rs al a l 3 b a 3 l = 1 Ω e R = 1 σ δ Considee ( f ) 1 δ = π µ σ 7 Tem-se µ = 4π 1 H/m (e) Calule os paâmetos (,,, ) tansfomado Note que s σ = 58 1 S/m (obe) e note que n g l do iuito equivalente om ligação po k 1 1 k = n = 4+ be 1+ 1 k (f) Calule os fatoes de qualidade Q L (em aga) e Q e (eteio) e elaione-os om o fato de qualidade Q (intínseo) Sugestão: A suseptânia equivalente do íis indutivo é dada po y e = jb e 3ab A be = = 8β θ 3 em que A= 3abl 8 e onde θ = βl = πl λg 3

17 Poblema 11 Considee uma avidade essonante montada em teminação Po medidas de onda estaionáia ealizadas à fequênia de osilação f p (de um eto modo de odem p ) obtiveam-se os seguintes esultados: f = 1GHz, 8 p Γ=, ag ( ) Γ = π e 4 Q p = 1 (fato de qualidade intínseo) A avidade está ligada a um guia atavés de um íis indutivo aateizado pelo fato de ligação k = 5 Admita que o modo de osilação onsideado se enonta bem sepaado dos modos de osilação vizinhos MP y e = jb e d λ g G AD ( 1 ) ( ) CA C Figua 1 Figua (a) Qual o tipo de ligação guia-avidade? Justifique (b) Detemine a admitânia da avidade, efeida ao plano de uto-iuito om a avidade dessintonizada, nas seguintes fequênias: (i) f = f p ; (ii) f 11 f p = () Calule os elementos do iuito equivalente om aoplamento po tansfomado paa o modo de osilação onsideado (d) Admitindo que o íis é despovido de pedas e pode se epesentado pelo esquema equivalente da Fig 1, alule o valo da suseptânia equivalente b e

18 (e) Suponha agoa que a avidade é montada de aodo om o esquema da Fig (G = geado, MP = medido de potênia, AD = aoplado dieional, C = avidade, CA = aga adaptada) Admitindo que o geado fonee ao iuito uma potênia onstante P = 1 mw, alule a potênia lida no MP à fequênia f = f p Considee que o AD tem um oefiiente de aoplamento de db e que apesenta pedas de inseção, no tajeto () 1 ( ), de 5 db

19 Poblema 1 Considee uma plaa dielétia assente sobe um plano onduto pefeito tal omo se india na figua Admita que o dielétio não tem pedas Suponha que d = 5mm e ε = d ε z (a) Obtenha a gama de valoes de fequênia paa a qual eiste um únio modo supefiial TE guiado pela estutua Justifique (b) Paa uma fequênia na alínea anteio, alule: f = 1 f, em que f é a fequênia de ote do modo onsideado o O ompimento de onda λ g no guia o A onstante α de atenuação tansvesal o A veloidade de fase v f Sugestão: Note que tan ( π 4 δ) ( 1 δ) ( 1 δ) + paa δ 1ad () Esboe, de foma qualitativa, o andamento om das tês omponentes do ampo paa o modo onsideado (d) Admita, apenas nesta alínea, que o dielétio tem pedas Considee, paa a fequênia onsideada em (b), uma tangente do ângulo de pedas tanδ 1 7 = Estime, nestas

20 iunstânias, o valo da onstante de atenuação longitudinal Qual é a inlinação dos planos de fase onstante? Justifique (e) Designando po P a potênia tanspotada no a e po P a potênia total tanspotada, moste que u ( u) ( ) ( ) P sin = P w u sin u + usin u Calule este quoiente paa a fequênia onsideada em (b) Comente fisiamente a vaiação deste quoiente om a fequênia 1 4a Sugestão: Note que sin ( a) d = sin ( a)

21 Poblema 13 Considee a plaa dielétia blindada, epesentada na figua, de espessua d e em que D= a+ d Os planos =± D são ondutoes (elétios) pefeitos A onstante dielétia elativa que aateiza o peenhimento heteogéneo deste guia fehado é dada po ( n1 > n) ε ( ) n1, d = n, d < < D n a D n 1 d d y n a (a) Paa os modos TE (esp, TM) moste que a omponente de supote que ( φ = Ey, Hy) Detemine ( ) φ + k ( ) φ = E y (esp, H y ) é tal k e faça, doavante, k = h1 paa a egião 1 (de índie de efação n 1 ) e k h = paa a egião (de índie de efação n ) Note que z = jβ e que y =

22 (b) Intoduzindo as vaiáveis nomalizadas u = h1d, q= hd e v= k d n n, moste que 1 u q = v () Definindo o oefiiente de peenhimento ξ = ad, detemine as equações modais dos quato tipos de modos tansvesais em temos de u, q e ξ (d) Sendo n: = β k o índie de efação modal, epesente gafiamente a função n vs d λ paa o modo TM p Considee n 1 = 4, n = 1 e ξ = Fazendo (om d > ) moste que n : = limn d λ n = n n 1+ ξ 1 n1ξ + n Paa que valoes tende n quando faz a = e a? Justifique fisiamente (e) Repita a alínea () mas agoa substituindo a vaiável q= hd po w= α d em que q= jα (om α > ) Intepete fisiamente esta substituição e diga paa que valoes de d λ tal substituição deve se feita paa os modos TM p e TM p 1 (f) Paa os mesmos valoes de (d), epesente gafiamente n vs d λ paa o modo TM p 1 Detemine o valo de Detemine ainda o valo paa modo lento ( n> n ) d λ em que λ é o espetivo ompimento de onda de ote d λ t em que este modo faz a tansição de modo ápido ( n< n ) (g) Supondo que se tem efetivamente α >, detemine a foma das equações modais no aso limite em que se onsidea a (ie, ξ paa um deteminado valo d > ) Comente fisiamente o esultado obtido: ompae, nomeadamente, om as oespondentes equações modais dos modos supefiiais da plaa abeta (ie, sem a blindagem em =± D )

23 Poblema 14 Considee a plaa dielétia de espessua d assente sobe um plano de tea tal omo se india na figua junta Admita que a plaa dielétia é onstituída po um istal uniaial ujo índie de efação odináio é n o = ε e ujo índie de efação etaodináio é ne = ε Suponha ainda que o eio óptio do istal é vetial, ie, tem-se D = ε ε E em que O meio supeio (paa > d ) é o a ε ε = ε ε d ( ε, ε ) z Paa os modos TM moste que a equação modal se pode eseve na foma 1 ε w= u tan u, u + w = v ε ε em que w= α d e u = hd om v= kd ε 1 Eplique fisiamente poque é que, paa os modos TE, tudo se passa omo se a plaa dielétia fosse isotópia om um índie de efação n = ε

24 Poblema 15 Petende-se uma linha miostip om uma impedânia aateístia = 5Ω e que poduza uma desfasagem de φ = 9 paa a fequênia f = 5GHz Sabendo que a espessua do substato é h = 17 m e que ε =, detemine a lagua w e o ompimento l da linha impessa [Solução: w = 391m, l = 19m ] Poblema 16 Uma linha miostip de espessua h = 5mm tem um substato de alumina em que ε = 97 Considee wh= 1 Detemine a onstante dielétia efetiva ε e, a impedânia aateístia e o ompimento de onda λ g [Solução: ε e = 6556, = 4944Ω, λ = 5858m ] g Poblema 17 Uma linha miostip om um substato anisotópio de safia tem o eio óptio vetial ( ε = εz = ε = 94, εy = ε = 116) y w h ε Paa uma lagua w = 5 mm, detemine a onstante dielétia efetiva ε e e a impedânia aateístia Considee uma espessua h = 1mm [ Solução: ε = 7, = 696 Ω ] e

25 Poblema 18 Petende-se detemina a atenuação de uma linha miostip em que o metal utilizado é o obe e onde w= h= 5 mm O substato é de alumina om ε = 97 e a tangente do ângulo de pedas é 4 δ l = Considee mm tan 1 t = e f = 4 GHz Solução: 1 R m = Ω, R m = Ω, α 3 = Np m, α α α 3 = + d = Np m = 337 db m Poblema 19 Repesente gafiamente a função ( f ) w = mm e ε = 6 ε paa uma linha miostip em que h = 5 mm, e Poblema Considee uma linha miostip aateizada pelos seguintes paâmetos: Substato: espessua h = 5mm ; onstante dielétia elativa (alumina) ε = 9 7 ; σ d = Linha: lagua w = 49mm ; espessua t = 5µm ; ondutividade (obe) 7 σ = 58 1 S/m (a) Despezando o efeito da dispesão, alule paa f = 1GHz : (i) a veloidade de fase; (ii) a impedânia aateístia; (iii) a onstante de atenuação (b) Calule a impedânia aateístia da linha paa f α em db/m = 1GHz (inlua o efeito dispesivo) () Considee agoa que o substato tem pedas aateizadas, ainda paa f = 1GHz, po tan δ l = 1 Calule o oespondente valo d α da onstante de atenuação em db/m (d) Suponha que desenha um híbido quadado utilizando linhas de aesso om os paâmetos aima desitos Utilizando a apoimação TEM, alule os ompimentos e laguas das linhas do aoplado de foma a obte um oefiiente de aoplamento de 6 db Faça um esboço do dispositivo identifiando o seu dimensionamento (e) Admita agoa que desenha um aoplado de duas linhas paalelas, a utiliza numa banda de fequênias f Sendo p, ε i e a vaiação da onstante dielétia efetiva do modo pa/ímpa na banda f, qual a odem de gandeza elativa destas duas quantidades? Justifique a sua esposta

26 Poblema 1 Considee a linha H epesentada na figua junta y b n n n 1 n 3 n3 t l t Admita que se tem ε n1, < l = n, l < < l+ t n3, l+ t < ( ) (a) Deduza a equação modal dos modos LSM p seguintes asos patiulaes: (i) t = ; (ii) n = n3; (iii) n1 = n3 (ou HE p ) paa o aso geal Analise os (b) Considee, nesta alínea, o aso patiula em que n 1 = e n = n 3 = 1 Paa l = 5mm detemine a fequênia de ote do modo LSM p 11 (ou HP p 11 (i) b = 5mm; (ii) b = 4mm () Repita a alínea (a) mas agoa paa os modos LSM i (ou HE i ) ) paa os dois asos seguintes: