Equações de Fresnel e Ângulo de Brewster

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1 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel Equações de Fesnel e Ângulo de Bewste Nesta pática, vamos estuda a eflexão e a efação da luz na inteface ente dois meios dieléticos, buscando detemina os coeficientes de eflexão e tansmissão como função do ângulo de incidência. Veemos que esses coeficientes dependem da dieção de polaização da luz incidente, e que existe um ângulo (ângulo de Bewste paa o qual a luz com deteminada polaização não é efletida, o que esulta no máximo de tansmissão paa uma deteminada polaização. Esse é um método de poduzi luz lineamente polaizada. Sempe que sugi uma dúvida quanto à utilização de um instumento, o aluno deveá consulta o pofesso, o monito ou o técnico do laboatóio paa esclaecimentos. Impotante: Neste expeimento seá utilizado um lase. Cuidado paa não diecioná-lo paa seu pópio olho ou paa o olho dos demais em sala!!! I. Polaização po Reflexão e Ângulo de Bewste No começo do século XIX, a áea da óptica física viveu um gande desenvolvimento, com contibuições de cientistas como Thomas Young, E. L. Malus, Augustin Fesnel e Si David Bewste. Em 808, Malus pecebeu que o coeficiente de eflexão (fação da intensidade incidente que é efletida dependia da polaização, mas não avançou muito no sentido de obte elações quantitativas. Em 85, Si David Bewste, físico escocês, mostou que havia um ângulo paa o qual a luz com deteminada polaização não ea efletida, esultando no máximo de tansmissão paa uma deteminada polaização. Bewste elacionou esse ângulo com o índice de efação dos mateiais; hoje, esse ângulo é conhecido como o ângulo de Bewste. Em 8, Fesnel mostou que os fenômenos envolvendo polaização só podiam se explicados se a luz fosse tatada como uma onda puamente tansvesal (aceditavase na época que a luz tinha também uma componente longitudinal. Ele também calculou os coeficientes de eflexão paa cada uma das componentes, chegando ao que hoje é conhecido como as equações de Fesnel.

2 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel Quando o ângulo de incidência é igual ao ângulo de Bewste, a componente cuja polaização é paalela ao plano de incidência é completamente tansmitida, de modo que a luz efletida tem apenas a componente pependicula. O ângulo de Bewste ocoe quando os aios efletido e efatado fazem um ângulo de π / : θ B + θ t π / ( Usando a lei de Snell, temos: n sinθ B n ( B Ou seja: tan θ n ( B n Essa elação foi descobeta expeimentalmente po Bewste e elaciona o ângulo de polaização e o índice de efação. Paa o caso comum em que o meio é o a (n e o meio tem índice de efação n n têm-se: tan θ B n (4 Não é difícil compeende a condição, se consideamos que a luz efletida é emitida pelos elétons do mateial do meio, que são postos em movimento pela onda tansmitida e emitem como dipolos vibando na dieção do campo elético da onda tansmitida. Se a condição fo satisfeita e a luz fo polaizada paalela ao plano de incidência, essa é a mesma dieção da onda efletida. Os dipolos não podem emiti na sua dieção de vibação, logo não pode have onda efletida. Se a luz é polaizada na dieção pependicula, em nenhuma situação a vibação dos elétons seá na mesma dieção da onda efletida, logo essa componente é (pacialmente efletida paa qualque ângulo de incidência.

3 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel II. Relações de Fesnel (incidência oblíqua As equações de Fesnel foam obtidas muito antes dos tabalhos de Maxwell, quando ainda não se sabia que a luz ea uma onda eletomagnética. Entetanto, a dedução modena é feita usando as condições de continuidade dos campos elético e magnético em uma inteface plana ente dois meios dieléticos. Com esse método, é possível deduzi as leis de eflexão e efação e o coeficiente de eflexão da onda paa cada componente da polaização. Vamos considea uma inteface ente dois meios tanspaentes ao longo do plano xy. Cada meio é epesentado po um pa de constantes, a pemissividade elética e a pemeabilidade magnética. A velocidade da luz no mateial é dada po: V εµ (5 Nas feqüências ópticas, a pemeabilidade magnética é paticamente igual a pemeabilidade magnética do vácuo. Logo, o índice de efação depende apenas da pemissividade elética. Logo, o índice de efação é dado po: V εµ o c ε 0 ε c n com : c µ ε o 0 e n ε / ε o (6 Vamos assumi uma onda eletomagnética que se popaga no meio (que tem z < 0, e incide sobe o plano xy, geando uma onda efletida de volta ao meio e uma onda efatada no meio, como mostado na figua. A dieção de popagação nˆ k / k de cada onda é: n sinθ + cos (7a ˆ θ nˆ θ sinθ cos (7b n sinθ + cos (7c ˆ θ

4 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel Raio incidente Nomal Raio efletido x Θ Θ z Meio Meio n n Θ Raio efatado Figua Incidência de uma onda em uma inteface plana, com ângulo de incidência θ, geando uma onda efletida (com ângulo de eflexão θ e uma onda efatada (com ângulo de efação θ Como dissemos, o coeficiente de eflexão depende da polaização, então vamos analisa os casos sepaadamente. Pimeio, vamos considea a polaização paalela ao plano de incidência. Po simplicidade, vamos considea que a amplitude da onda incidente seá igual a, e as ondas efletida e tansmitida têm amplitude e t. Ei E E t t i( knˆ ωt ( sinθ e i( knˆ ωt ( + sinθ e i( knˆ ωt ( sinθ e (8a (8b (8c Em uma inteface plana ente meios dieléticos, as condições de contono que devem se veificadas paa as componentes tangenciais e nomais campos elético e magnético da onda são: E t Et (9a ε (9b En ε En 4

5 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel µ B t Bt µ B n Bn (9c (9d Onde E t e E t epesentam a componente tangencial do campo elético nos meios e, e E n e E n epesentam as componentes nomais (analogamente paa o campo magnético. Paa o caso consideado, as condições de contono do campo elético se escevem como: (0a ( + yˆ ( Ei + E ( + yˆ Et ε E (0b ( Ei + E ε Aplicando a condição 0a no plano z 0, obtemos: t e cos ikx sin θ ikx sin θ ikx sin θ + e t θ e ( A equação acima tem que se válida paa todo x, o que só é possível se os agumentos das exponenciais foem iguais. Logo: sinθ sinθ ( k θ θ ( sin k sin Essas equações são conhecidas como equações cinemáticas de Fesnell. A pimeia delas é a lei de eflexão. A segunda é a lei de Snell, se lembamos que π k n, ou seja, que k é popocional a n. λ Como os fatoes exponenciais na equação são iguais, podemos cancelá-los paa chega a: + θ (4 ( t cos Usando a condição 0b podemos obte de foma análoga: 5

6 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel ε θ ε θ (5 sin ( t sin As equações 4 e 5 agoa podem se esolvidas paa e t. Vamos nos concenta apenas em : ε sinθ (6 + ε sinθ Resolvendo paa : ε sinθ ε sinθ ε sinθ + ε sinθ (7 A equação 7 pode se eescita usando a lei de Snell ( ε sinθ ε sinθ : ε ε ε ε ( sinθ sinθ ( sinθ + sinθ (8 Paa simplifica ainda mais o esultado, usamos a seguinte identidade tigonomética: sin a cos a + sin bcosb sin( a + bcos( a b (9 Usando a equação 9, a equação 8 se tona: tan( θ θ tan( θ + θ (0 Essa expessão apaentemente não envolve os índices de efação dos meios, mas essa dependência está embutida no ângulo de efação. 6

7 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel Se θ + θ π/, o denominado na expessão 0 vai a infinito, e a amplitude da onda efletida se tona nula. Logo existe um ângulo de incidência paa o qual a onda efletida não tem componente de polaização na dieção paalela ao plano de incidência. Potanto, se desejamos anula a eflexão com polaização paalela ao plano de incidência podemos vaia o ângulo de incidência até que a condição θ + θ π/ seja satisfeita e, como existe um vínculo ente θ e θ pela lei de Snell, nesta condição o ângulo de incidência seá o ângulo de Bewste. Vamos pova agoa que existe onda efletida se a dieção de polaização da onda incidente fo pependicula ao plano de polaização da onda incidente. Os campos eléticos de cada onda agoa se escevem como: Ei ' yˆ e i E ' yˆ e i E ' t yˆ e t i( knˆ ωt ( knˆ ωt ( knˆ ωt (a (b (c Não há componente nomal ao plano xy, potanto a condição de contono 0b é satisfeita automaticamente. Aplicando a condição 0a: + t ( Paa obte outa elação envolvendo e t, é peciso usa as condições de contono paa o campo magnético (equações 9c e 9d. Os campos magnéticos de cada onda são: n Bi ' c v n B ' c n Bt ' c i( knˆ ωt ( + sinθ e i( knˆ ωt ( sinθ e + i( knˆ ωt ( sinθ e t + (a (b (c As condições 9c e 9d se escevem nesse caso como: 7

8 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel µ (4a µ ( B + B z B (4b ( + yˆ ( B + B ( + yˆ B ˆ Aplicando a condição 4a, e lembando que µ µ µ o : n ( θ θ (5 cos nt cos Aplicando a condição 4b: n ( θ θ (6 + sin nt sin Usando a lei de Snell, vemos que essa é a mesma elação expessa pela equação. Finalmente, podemos esolve as equações 5 e 6 paa, seguindo passos análogos ao usados paa. O esultado é: sin( θ θ sin( θ + θ (7 Quando θ + θ π/, o denominado vale. Os ângulos θ e θ são difeentes (exceto no caso tivial n n, onde na vedade não há inteface alguma, logo o numeado é difeente de zeo, e potanto há uma componente de polaização pependicula na onda efletida. As elações 0 e 7 se efeem às amplitudes dos campos das ondas efletidas consideando o campo incidente com amplitude unitáia. No entanto, usualmente no laboatóio utilizamos fotodetectoes, que fonecem uma tensão elética popocional a intensidade das ondas eletomagnética. Assim, podemos defini gandezas elacionadas a intensidade das ondas. Assim, define-se como o coeficiente de eflexão R como sendo azão ente as intensidades das ondas efletidas e incidentes. Como consideamos a incidência com amplitude unitáia e lembando que intensidade da onda é popocional ao quadado das amplitudes temos que: R e R. Como a nossa análise está 8

9 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel consideando meios tanspaentes (onde não existe absoção da luz os coeficientes de tansmissão T podem se obtidos dietamente da elação T + R. A figua mosta os coeficientes de eflexão do a paa o vido paa as ondas incidentes como polaizações paalela e pependicula ao plano de incidência. Note que o coeficiente de eflexão da componente paalela diminui quando o ângulo de incidência aumenta, até atingi o valo zeo no ângulo de Bewste (que nesse caso vale ente 50º e 60º. Então, o coeficiente de eflexão cesce apidamente, enquanto o coeficiente de eflexão da componente pependicula é sempe cescente. A componente pependicula tem um coeficiente de eflexão maio paa qualque ângulo (difeente de 0º e 90º, então quando luz não polaizada é efletida ela sempe sai pacialmente polaizada na dieção pependicula.,0 0,8 Polaização paalela Polaização pependicula Coeficiente de eflexão, R 0,6 0,4 0, 0, Ângulo de incidência (º Figua Coeficiente de eflexão em função do ângulo de incidência paa cada componente da polaização, paa uma onda vinda do a e incidindo em um vido (n,5 A figua mosta a situação da onda vindo do vido e passando paa o a. Note que o coeficiente de eflexão vai a um paa um ângulo de ceca de 40º. Se o ângulo de incidência fo maio do que esse valo, ocoe eflexão intena total. Como n < n, o ângulo de Bewste agoa é meno do que 45º (o ângulo de Bewste é sempe meno do que o ângulo cítico. 9

10 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel,0 0,8 Polaização paalela Polaização pependicula Coeficiente de eflexão, R 0,6 0,4 0, 0, Ângulo de incidência (º Figua Coeficiente de eflexão em função do ângulo de incidência paa cada componente da polaização, paa uma onda vinda de um vido (n,5 e indo paa o a (n. III. Relações de Fesnel (incidência nomal Na incidência nomal (θ θ 0, vemos das figuas e que as duas componentes tem o mesmo coeficiente de eflexão. De fato, o plano de incidência não está definido, então não há sentido em fala em polaização paalela ou pependicula. No limite θ 0, fazemos uma apoximação de pequenos ângulos: A lei de Snell pemite estima θ / θ : θ θ θ / θ θ + θ + θ / θ (8 θ sinθ n (9 θ sinθ n Logo: n / n + n / n n n n + n Paa o caso da inteface a-vido, o coeficiente de eflexão (em temos das intensidades é de ceca de 4 %. A equação 0 pemite ainda obte uma outa conclusão 0 (0

11 UNIVERSIDADE Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel Instituto de Física de São Calos impotante. Note que se n > n, > 0, o que significa que o campo elético da onda efletida tem mesma sentido que o da onda incidente. Po outo lado se n < n, < 0, o que diz que há uma invesão no sentido do campo elético. Em outas palavas, toda vez que houve incidência de um meio com meno índice de efação paa outo de maio índice a onda efletida teá sua fase acescida de π em elação a onda incidente. Expeimentos. Polaização da luz po eflexão Ângulo de Bewste A figua 4 ilusta a montagem expeimental que utilizaemos paa detemina os coeficientes de tansmissão e eflexão paa a luz incidindo com polaização paalela e pependicula ao plano de incidência. (a (b Polaizado Polaizado Lase Lase Θ Θ Fotodeteto Θ Fotodeteto (c Figua 4 Montagem expeimental paa deteminação dos coeficientes de eflexão.

12 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel a Alinhe o feixe de lase hoizontalmente e veticalmente com elação ao tilho óptico. Assegue-se que o feixe esteja numa dieção hoizontal e paalela ao tilho óptico. b Coloque o polaizado com o eixo de tansmissão na hoizontal e incida o feixe de lase. Gie o lase de modo a obte a mínima intensidade do feixe após passa pelo polaizado (obsevação visual. Fixe o lase nesta posição. c Gie o polaizado de 90º. d Coloque o bloco de vido na platafoma otativa. Posicione-o de modo que sua pimeia supefície esteja sobe um diâmeto da base otativa. Gaanta que o feixe de lase incida pependiculamente ao bloco, obsevando se ocoe a eto-eflexão do feixe. e Ajuste a posição da base giatóia paa que a medida zeo coesponda à situação em que o lase incide pependiculamente no bloco. f Posicione o fotodiodo como mostado na figua 4, de modo a medi a intensidade do aio efletido. g Posicione a platafoma de modo a obte um ângulo inicial em tono de 5º. Em seguida, gie a platafoma paa inicia as medidas e eposicione o fotodiodo paa detecta a luz efletida. h Meça a tensão no voltímeto como função do ângulo de incidência. Use passo de 5º exceto ente 50º e 60º onde o passo deve se de º. Em cada medida gie lentamente a pate do tilho óptico onde está o fotodiodo de modo a maximiza o sinal no fotodiodo. i Repita o pocedimento do item b ao item h, colocando o polaizado inicialmente na posição vetical. Intensidade do aio efletido em função do ângulo de incidência θ (º V h (V V v (V θ (º V h (V V v (V

13 Instituto de Física de São Calos Laboatóio de Óptica: Ângulo de Bewste e Equações de Fesnel tansmitido. j Repita o pocedimento do item b ao item i, medido a intensidade do feixe Intensidade do aio tansmitido em função do ângulo de incidência θ (º V h (V V v (V θ (º V h (V V v (V