Exercícios propostos

Transcrição

1 Eecícios poposos 01 Esceva uma equação da ea nos casos a segui a) passa pelo pono P(, 1,) e em a dieção do veo u (,1,1 ) b) passa pelos ponos A(1,, 1) e B(0,,) 0 Veifique, em cada um dos iens abaio, se o pono P peence à ea a) P(,1,1) e X (1,0,0) ( 1,,1); IR 1 b) P(, 1, 7) e ; IR 5 1 c) P,, e 1 ( ) 0 Esceva uma equação do plano a nos casos a segui a) a passa pelos ponos A(1,0,) e B(, 1,) e é paalelo ao veo v (0,1,) b) a passa pelos ponos A(,1, 1) e B(1,0,1) e é paalelo ao veo CD, sendo C (1,,1) e D(0,1,0) c) a passa pelos ponos A (1,0,), B(1,0,) e C(,1,) 04 Veifique em cada um dos iens abaio se o pono P dado peence ao plano π a) P(1, 1,0), π X (,1,) (1,0,1) (0,1,0); e IR b) P (,1,), π 0 1 c) P (,,), π ;, IR 1 46

2 05 O pono P(,, 1) é o pé da pependicula açada do pono Q(5,4, 5) ao plano π Deemine uma equação de π 06 Deemine um veo nomal ao plano a) deeminado pelos ponos P( 1,0,0), Q(0,1,0) e R(0,0, 1) b) α 1 0 c) que passa pelos ponos A(1,0,1) e B(,,1) e é paalelo ao veo v (1, 1,) 1 d) α 1 ; e IR 07 Deemine as equações dos planos coodenados na foma geal 1 08 a) Veifique se P(1,, ) peence a 4 0 b) Esceva uma equação da ea passa pelo pono P (1,1,1 ) e em a dieção 1 de um veo nomal ao plano α ; e IR 09 Deemine a equação geal do plano β paalelo ao plano 1 α ; e IR e que a) passa pelo pono P(,,0); b) passa pela oigem do sisema de coodenadas 10 Deemine uma equação do plano π a) que coném o eio OX e passa pelo pono P(5,,1) b) que passa pelo pono P(,1, ) e é pependicula à ea X (1,0,1) (1,,); IR 47

3 48 11 Veifique se as eas e s nos casos a segui são coplanaes a) IR 1,1); (, (1,0,1) X s e b) IR ; (0,1,),) (1, X s e 1 c) 6 4 s e IR ; 1 1 Deemine o valo de a paa que as eas e s sejam concoenes e ace o pono de ineseção, sendo a IR ; 5 1 s 1 Deemine, se possível, uma equação geal do plano deeminado pelas eas e s, nos casos a segui a) IR 1,,) ; ( (1,,0) X 1 s b) IR 1) ; (1,, 1,,1) ( X IR,4,) ; ( ) (,5, X s c) IR (1,0,) ; (1,,) X IR ; 4 1 s

4 1 14 Sejam α B 1 0, β D 0, s ; IR A e 1 Deemine, se possível 4 a) B, al que α e β sejam paalelos b) B, al que α e β sejam pependiculaes c) D, al que β d) A, al que e s sejam coplanaes 15 Considee os ponos P (4,a,4) e Q(0,b 8, b), as eas 1 e s X Q (1,0,) ; IR e os planos π 1 m (m ) 1 0 e π X (1,,1) (,,1) ; e IR Deemine, se possível a) a, de modo que a ea paalela à ea s que passa pelo pono P seja evesa com a ea b) b e m, de modo que a ea s seja paalela ao plano π 1 c) m, de modo que os planos π 1 e π sejam concoenes segundo a ea 16 a) Deemine uma equação da ea s que passa pela oigem do sisema de coodenadas, é paalela ao plano π 0 e inecepa a ea 1 b) Ace uma equação do plano α que passa pelo pono P(,1,), é paalelo à ea X (1,,) (1,, 1); IR, e é pependicula ao plano π Considee as eas e, ais que 5 0 (i ) passa pelo pono P(,1, 1) e é paalela à ea s ; 0 (ii) passa pela oigem do sisema de coodenadas e seu veo dieção em ângulos dieoes iguais Deemine a) as equações siméicas de b) as equações paaméicas de 49

5 18 Dado o plano π X (0,0,1) (1, 1, 1) ( 1,, 4);, IR e a ea AB, sendo A(0,0,0) e B(1,1,1), deemine uma equação do plano α que passa pelo pono onde a ea AB fua o plano π e é paalelo ao plano β 0 19 a) Deemine o siméico de P(,1,) em elação (i) ao pono Q(, 1,1 ) 1 (ii) à ea ; IR (iii) ao plano b) Encone uma equação da ea s siméica da ea 1, em elação ao plano do iem a(iii) 0 Deemine o ângulo das eas s X (1,0,0) (,1, 1) ; IR e 1 1 Deemine o ângulo da ea com o plano α, nos casos a segui 1 a) α 1 0; b) α ;, IR 4 Deemine o ângulo dos planos a) α 0 e β 0; b) α 1 ;, IR e β 0 Deemine uma equação da ea s que passa po P(1,0,1) e inecepa a ea π 1, fomando um ângulo de d 50

6 4 Deemine uma equação do plano α que passa pelo pono P(,1,1), é pependicula ao plano coodenado e ( α, β) ac cos( ) d, sendo o plano β 0 5 Considee o plano α deeminado pelo pono P(1,,0) e pela ea Calcule o ângulo que α foma com a ea s Calcule a disância ene a) o pono P(0,0,) e a ea 1 b) o plano π X (1,, 1) (,, 1) (1,1,0);, IR e o pono P(,1, ) 1 c) as eas e s 5 1 d) as eas X (1,0,0) (,4,); IR e 1 s 1 e) a ea e o plano π a) Esceva as equações dos planos β e γ paalelos ao plano α disando dele 5 unidades b) Encone uma equação do luga geoméico dos ponos equidisanes de (i) A(1, 4,) e B(7,1, 5) (ii) A(1,,1), B(1,4,) e C(,,1) c) Dados os ponos A(,1,), B(4, 1,1 ) e o plano α 0, deemine uma equação da ea conida em α, al que odo pono de é equidisane dos ponos A e B 51

7 8 De um iângulo ABC emos as seguines infomações 1 (i) A(1,, ) (ii) B e C são ponos da ea ; IR 1 Deemine a alua do iângulo ABC elaiva à base BC 1 9 Considee α 1 0, P(1, 4,5) e s Deemine, jusificando a) d(p,s) b) d(p, α) c) uma equação da ea m que saisfa às ês condições (i) d(p,m) 0 (ii) d(m,s) 0 (iii) d(m, α) d(p, α) 0 Da figua ao lado sabemos que (i) os planos α e π 0 são pependiculaes (ii) A(0,, 1) e B( 1,, 1) (iii) C e D são ponos de π B Deemine π a) Uma equação do plano α b) As equações paaméicas da ea E ineseção dos planos α e π c) Uma equação do plano β que passa po A e é paalelo a π d) A alua do eaedo ABCD elaiva à base BCD e) As coodenadas do pono E, sabendo que o iângulo ABE é equiláeo e coném a alua dese iângulo elaiva ao véice B C A α D 1 Do paalelepípedo dado a segui sabe-se que (i) O plano ABC 6 0 e a ea DG X (1,, ), IR (ii) O plano ABF é pependicula ao plano ABC e H F (0,,0) Deemine E a) As equações siméicas da ea AF D b) As equações paaméicas do plano ABF c) As coodenadas do pono D A d) Uma equação geal do plano EFG F B G C 5

8 Deemine o volume da piâmide delimiada pelos planos coodenados e pelo plano Esceva as equações de uma ea paalela aos planos α e β, e concoene com as eas e s, consideando α 1 0 β 0 X (1,,1) (1,0,); IR s X (,, ) λ(1,,); λ IR 4 Seja a ea ineseção dos planos α a b c d 0 e β a1 b1 c1 d1 0 Mose que a equação a b c d ( a1 b1 c1 d1) 0, IR, epesena a família dos planos que coném a ea, com eceção do plano β Esa família é camada de feie de planos de eio 5 Seja a ea ineseção dos planos α 11 0 e β Deemine a equação do plano que coném a ea, e a) passa pelo pono A(, 1,4) b) é paalelo ao plano c) disa unidades da oigem do sisema de coodenadas d) é pependicula a α e) é paalelo à ea f) é paalelo ao eio o Resposas 01 a) (,, ) (, 1,) (,11, ) ; IR 1 b) a) P b) P c) P 5

9 0 a) α (,, ) (1,0,) (1, 1,1) (0,1,) ; e IR b) α c) α ; e IR 04 a) P π b)pπ c)pπ 05 π a) (1, 1,1) b) (, 1,0) c) (, 1, 1) d) (1,1, ) 07 plano OXY 0; plano OXZ 0; plano OYZ a) P b) 1 ; IR 1 09 a) 4 0 b) 0 10 a) π X (1,0,0) (5,,1) ; e IR ou π 0 b) π a) Não b) Sim c) Sim 1 a 1, I(,,1 ) 1 a) α b) β 0 c) γ a) B b) B c) D 1 d) A a) a 4 b) m e b 5 c) $ IR al que π π m a) s X 1,, ; IR b) 9 9 α 0 54

10 17 a) 1 1 b) ; IR 1 18 α a) (i) P (4,, 1) (ii) P (0, 1,1 ) 5 (iii) P,, b) s X ( 1,,0) (15,87, ) ; IR 0 (,s) 0 1 a) (, α) ac sen b) (, α) ac sen a) ( α, β) ac cos b) ( α, β) ac cos s X (1,01, ) (,, ); IR e s X (1,0,1) (,, ); IR 4 α 1 0 e α ( α,s) ac sen a) d (P,) b) d (P, π ) 0 c) 6 d (,s) 6 d) d (,s) e) d (, π ) 0 7 a) β 1 0 e γ 18 0 b) (i) Plano π (ii) Rea s 0 c)

11 8 uc 9 a) d (P,s) b) d (P, α ) 14 c) m X (1, 4,5) (7,,5) ; IR 1 0 a) α 1 0 b) ; IR c) β d) e) E( 1,,0) 1 a) ea AF b) Plano ABF,, IR c) D ( 1,,) d) Plano EFG V uv X (4, 1,4) (1, 1,1) ; IR 4 Se é a ea ineseção dos planos α a b c d 0 e β a1 b1 c1 d1 0, odo pono de saisfa às equações deses planos Ou seja, se P( 0, 0, 0) é um pono de, enão a 0 b0 c 0 d 0 e a1 0 b10 c10 d1 0 Daí, o pono P( 0, 0, 0) saisfa à equação a b c d ( a1 b1 c1 d1) 0 Logo, esa úlima equação epesena um plano que coném a ea Po ouo lado, seja γ a b c d 0 um plano disino de β e que coném a ea Vamos mosa que eise um 0 IR, al que uma equação do plano γ é a b c d 0 ( a1 b1 c1 d1) 0 Enão, se esá conida em γ as condições seguines devem se saisfeias (i) n v 0 γ (ii) Todo pono P de peence a γ 56

12 Como é a ineseção de α e β, emos que v n α n β, daí, n γ (nα nβ) 0 Ou seja, [ nγ,nα,nβ] 0 Logo, os veoes n γ,nα e nβ são coplanaes Como nα e nβ são lineamene independenes, eisem escalaes 1 e, ais que n γ 1nα nβ Obseve que como γ e β são disinos, 1 não pode se igual a eo Assim, podemos esceve n γ n α n β 1 Faendo 0, emos n γ (a,b,c) (a 0 a1,b 0b1,c 0c1) Enão 1 uma equação do plano γ é ( a 0 a1) (b 0b1) (c 0c1) d 0 Uiliando a condição (ii), seja P( 0, 0, 0) um pono de, enão emos ( 0 a 0 a1)0 (b 0b1)0 (c 0c1) d 0 Daí, d ( a 0 b0 c0 ) 0( a10 b10 c10) d 0d1 Poano, γ a b c d (a b c d ) a) b) c) ou d) e) 7 0 f)