Exercícios: Funções e Campos Vetoriais

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1 Eercícios: Funções e Campos Vetoriais. Faça a representação gráfica dos campos vetoriais gerados por: a) V [, y] b) V y i j c) V [, y ]. Determine o lugar no espaço onde os vetores, do eercício anterior, tem intensidade constante igual a e faça a representação gráfica, mostrando o lugar e alguns vetores relacionados, para um valor considerado.. Determine o domínio e o valor da função vetorial em t o. a. r( t) t, t ; to b. r( t) cos( t ) i ln( t ) j t k ; to. Faça o gráfico para os raios vetores t t a. r( t) cos( ) i sen( ) j b. r( t) i cost j sent k c. r( t), t, t 5. a. Determine a inclinação da reta no espaço R que está representada por r( t) ( t) i ( t) j. b. Determine as coordenadas do ponto onde a reta r( t) t, t, t intercepta o plano z. 6. a. Determine o intercepto y da reta no espaço -D que está representada por r( t) ( t) i 5t j b. Determine o ponto onde a reta r( t) t i ( t) j t k intersecta o plano y z. 7. Considere duas partículas P e P viajando segundo as trajetórias: r t, t, t t r t, t, 6 t. As partículas colidem? Onde? Qual instante? e 8. Construa a função vetorial para a linha gerada pelo encontro das superfícies y y ; z

2 9. Para adaptação de um tubo de diâmetro 60cm a uma superfície curva, há necessidade de um corte especial. Este corte, no tubo, será feito por um equipamento que permite a programação dos seus movimentos. Sabendo ( y 0) que a equação da superfície é: z 80 (cm) e o eio do tubo 5 coincide com o eio Z. Desenvolva a equação vetorial para viabilizar o corte no tubo, considerando que o equipamento apresenta giro de 0,5 RPM (freqüência). 0. Dados os pontos P(,,5), Q(,0, ) e R(, 5,), determine: a. A equação vetorial para o segmento PR ; b. A equação vetorial para o segmento QM, sendo M o ponto médio entre P e R.. Considere a estrutura metálica projetada tendo como base um cubo de lado m. Determine a função vetorial para cada caminho do cordão de solda definido por: AB, BC, CD sabendo que a velocidade fiada é de 0cm/min. Defina o domínio para cada caminho. d. Determine r a. r( t) i cost j b. r( t) arctant i t cost j t k para as funções vetoriais abaio:. Dadas as funções, determine o vetor r'( t 0 ), esboce o gráfico de r (t) e desenhe o vetor r ( t ). ' 0 a. r( t) t, t ; t0 no R b. r( t) sen ti j cos tk ; t 0 no R c. r( t) cos t, sen t, t ; t 0 no R no espaço correspondente. Determine os comprimentos das trajetórias abaio para o intervalo especificado: a. r( t) t i t j k ; 0 t b. r( t) t, t, ln t ; t e

3 5. Dadas as funções v( t) [, t, t ] e w( t) [ t, cos t, sent] determine: d a. ( v ( t ) w ( t ) ) b. d ( v ( t ) w ( t ) ) 6. Faça um esboço que mostre a elipse r( t) cost i sen t j para 0 t e os vetores tangente e normal unitários nos pontos t 0, t, t e t. 7. Determine ut () t e un () t ( unitários: tangente e normal) para as funções no ponto dado. a. r( t) t i t j ; t b. r( t) 5cos t, 5sen t ; t c. r( t) ln t i t j ; t e t 8. Considere uma partícula envolvida na trajetória r( t) [ t, t, ] ( m ). Determine para o instante t s, os vetores: a. Posição ; b. Velocidade; c. Aceleração; d. Aceleração tangencial ( Dica: at ( a ut ) ut ); e. Aceleração centrípeta ( Dica: a ( a u ) u ); N N N 9. Numa simulação na engenharia, é comum o uso do mapa de velocidades (campo vetorial) para o entendimento qualitativo do escoamento em questão. Olhando o mapa de velocidades e com base no entendimento de funções vetoriais, identifique qual a alternativa que representa a função relacionada com o gráfico abaio a) b) c) v y y v y y v y y d) v [ y, y ] e) v y y

4 0. Um dos conceitos mais importantes e de grande utilidade na cinemática e dinâmica dos corpos é o estudo de trajetórias do ponto de vista vetorial. A função escalar abaio representa o relevo de uma montanha, onde a altura é definida por z. 0,000 z 00 00e 0, 00y 0, 5y 9t 8 7t Considere a trajetória de um corpo dada por r [ t 6,, 60 ] ( m) e t em segundos. Assinale a alternativa que melhor representa o instante de colisão do corpo com a montanha. a) Não haverá colisão. b) 0 s c),6 s d),5 s e) 8 s. As funções vetoriais representam um ecelente recurso para determinação de trajetórias obtidas por interseção de superfícies. Com base no conhecimento de funções vetoriais parametrizadas, indique qual a função que melhor descreve o encontro entre as superfícies: ( z ). y, z 0 e y 0, 0 e ln( t ) a) r [,, t] t t b) r [ t,, e ] t c) r [ ln( t), t, ] t d) r [, t, ] ln() t t ln( t ) e) r [,, t ] t

5 Respostas:. a. b. c.. a. b. c. y y y k k k a. D [, [ rt ( ) b. D [, [ rt ( ) [0, 0, ] a. b. c. 5a. y 5b. 5 P (, 0, ) 6a. 5 P(0, ) 6b. 5 9 P(,, ) 7. Sim P (, 9, ) t 8. r t t t t ( ) [,, ] s 9. r( t) [ 0cos( t ), 0s en( t ), (0s en( t) 0) 80 ] cm 0 t min. 5 0a. PR [ t, 8t, t 5 ] 0b. QM [ t, t, 5t ]

6 . r AB [ 50, 50, 0 t ] cm 0 t min rbc [ 50, 50 t, 0 t ] cm 0 t min rcd [ 5 t 50, 5 t, 90 ] cm 0 t min. a. [ 0, sen( t)] b. [, cos t t sent, ] t t a. [ t, t] [, ] b. c. t [ cos t, 0, sent] [ 0, 0, ] t [ sent, cos t, ] [,, ] t a. / 6 9 b. 6 0 L t t e t L e t 5a. (t t )cost t sent 5b. [ ( t t ) sent t cos t, t cos t, 6 t sent ] 6. 7a. 7b. u u T T un [, ] [, ] un [, ] 7c. ut [, e ] [ e e e, e e un ] / / e e ( e ) ( e ) 8. a. r() [,, ] m b. v() [,, ] m / s c. a() [0,, ] m / s d. at(). [,, ] m / s d. a (). [,, ] m / s 6 6 N

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