Movimentos bi e tridimensional 35 TRIDIMENSIONAL

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1 Moimenos bi e idimensional 35 3 MOVIMENTOS BI E TRIDIMENSIONAL 3.1 Inodução O moimeno unidimensional que imos no capíulo aneio é um caso paicula de uma classe mais ampla de moimenos que ocoem em duas ou ês dimensões. Se o moimeno de um copo esá compleamene esio a um plano, ele é denominado moimeno plano ou bidimensional. Nese caso, a posição é especificada aaés de coodenadas polaes (, ) ou caesianas (, ), como indicadas na Fig Fig. 3.1 Posição de um copo no plano. = + = cos = sen g = / Paa o caso do moimeno no espaço (3 dimensões) a posição do copo é especificada em coodenadas esféicas (,, φ) ou caesianas(,, ), indicadas na Fig. 3.. φ P Fig Posição de um copo no espaço. P = sen cosφ = sen sen φ = cos = + + g = + / gφ = / S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calo e ondas

2 36 Moimenos bi e idimensional Paa moimenos planos e espaciais, as gandeas cinemáicas (, e a ) não são necessaiamene paalelas como aconece no moimeno unidimensional. Desa foma, é de impoância fundamenal aa esas gandeas eoialmene. Se no empo 1 a posição do copo fo descia pelo eo posição 1 e no empo, pelo eo posição, podemos die que o deslocameno sofido pelo copo é dado po = 1 onde não é necessaiamene a disância pecoida pelo copo. Haendo um deslocameno num inealo de empo = 1, podemos defini as elocidades média ( m ) e insanânea ( ) da foma: m = d = lim = Vemos que a elocidade sempe eisiá quando houe mudanças no módulo e/ou dieção do eo posição. A aiação empoal de um eo pode se analisada aaés da aiação empoal de suas componenes, da foma: d d = î + î + kˆ = î + ĵ + e iso pode se feio poque os esoes d î, ĵ e kˆ não aiam com o empo. Eemplo: Vamos deemina a elocidade de um copo cujo eo posição é dado po: = 4 î + 3 ĵ. Tomando-se as deiadas empoais das componenes de emos: = d / = 8 î + 3 ĵ Vamos usa ese eemplo paa demonsa uma elação impoane. Podemos escee: kˆ S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calo e ondas

3 Moimenos bi e idimensional 37 ( + ) = 4( + ) î + 3( + ) ĵ = 4 î + 3 ĵ + 8 î + 3 ĵ + 4( ) î No caso em que é muio pequeno, ( ) << e o emo ( ) pode se despeado. Assim, + ( ) = ( ) + = ( ) + e diemos que esa é uma apoimação de pimeia odem em, já que o emo ( ) foi despeado. A aceleação do copo é definida como: d a = lim = e, poano, sempe haeá aceleação quando houe mudanças do eo elocidade, seja em módulo, dieção ou senido. Eemplo: A elocidade de um copo é dada po ( ) = 3 î + ĵ + 3 kˆ Logo, a aceleação é dada po a( ) = 6 î + ĵ + 3 kˆ d/ e 3. Decomposição de moimenos d d d Do fao que = î + ĵ + kˆ iamos que = d/, = = d/, de modo que se olhamos paa cada componene, o moimeno do copo pode se analisado independenemene, ou seja, a elocidade na dieção só depende da aiação da coodenada com o empo, ec. Ese esulado pode se genealiado e o moimeno espacial de um copo pode se aado independenemene em cada uma das ês dieções. Resumindo, emos o chamado pincípio da independência dos moimenos ou pincípio de Galileu: Quando um copo se encona sob a ação simulânea de dois ou mais moimenos, cada um se pocessa como se os demais não eisissem. Em ouas palaas, a posição do móel depois de um inealo de empo sob a ação do moimeno composo é a mesma que esulaia se o móel se deslocasse po eapas em cada dieção. Como um eemplo ípico,. S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calo e ondas

4 38 Moimenos bi e idimensional consideemos o caso de um baco com elocidade b aaessando um io cuja coenea em elocidade. O baco pecoeá uma ajeóia que consise em desloca-se na dieção do io e b na dieção pependicula, como mosa a Fig Assim, = î + ĵ e = î ĵ. b + b b ĵ î esceendo: Fig Moimeno de um baco num io com coenea. 3.3 Moimeno aceleado Podemos genealia o que imos paa o moimeno unidimensional = + ( ) S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calo e ondas ( ) = + a( ) A inegação de eoes pode se eecuada componene a componene, como no caso da deiação. Poano, = + ( ) e assim po diane. No caso da aceleação se consane emos: 1 = + a e = + + a

5 Moimenos bi e idimensional 39 Podemos analisa ese moimeno aaés do sisema de equações: Paa a elocidade: = = = + a + a + a Paa a posição: = = = o a a a Vamos em seguida e alguns eemplos de moimeno aceleado. a) Lançameno de pojéil a = g Um caso impoane de moimeno plano é aquele onde emos: ĵ (com g = 9.8 m/s ) que coesponde ao moimeno de um copo aiado de maneia abiáia. Nese caso, o moimeno seá aceleado na dieção e não aceleado nas demais. Vamos imagina a siuação em que o copo é lançado obliquamene de maneia a foma um ângulo com a supefície, como mosado na Fig. 3.4 Fig. 3.4 Lançameno oblíquo de um pojéil. = = cos sen Tomando-se o eio paalelo à supefície e o eio na eical, a elocidade inicial pode se decomposa em = cos e o = sen. Na dieção não eise aceleação, poém na dieção emos a = -g de modo que: ( ) ( ) = = = + cos = + cos S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calo e ondas

6 4 Moimenos bi e idimensional () = ( ) = g = + 1 o g sen g Eliminando-se o empo do pimeio conjuno de equações = / e subsiuindo no segundo obemos: ( ( ) ) = ( ) 1 + g que epesena uma ajeóia paabólica como indicada na Fig A alua máima pode se calculada omando-se d/d =. Assim, g ( ) = ma = + g e subsiuindo em () iamos: ma = + 1 ( ) g ma R Fig Moimeno paabólico decoene do lançameno oblíquo. Vamos oma = = e calcula qual é o alcance do pojéil ao longo do eio. Paa iso faemos = e assim obemos: = 1 g R R ma ( ) S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calo e ondas

7 Moimenos bi e idimensional 41 Descaando a solução R =, que coesponde ao início do moimeno, emos R = / g, e usando-se = sen e = cos obemos: R = sen g ( ) de onde concluímos que o ângulo que apesena o maio alcance é = 45 o b) Moimeno cicula Ese deslocameno é caaceiado pelo fao de que o módulo do deslocameno pemanece consane. Assim, imaginamos o aio eo que descee o moimeno ene e +. O ângulo aido pelo aio eo duane o inealo de empo pemie o cálculo da elocidade angula como ilusado na Fig d ω = = lim + Fig. 3.6 Moimeno cicula. Quando ω é consane, emos = ω = ω e assim podemos escee: = cosω e = senω, ou em noação eoial: = cosω î + senω ĵ = d = ωsenω î + ωcosω ĵ a d = = ω cosω î ω senω ĵ = ω S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calo e ondas

8 4 Moimenos bi e idimensional que é sempe oposa a dieção adial. Poano, a = a = ω = / iso que = ω e esa aceleação é conhecida como cenípea po esa diigida ao pono cenal do moimeno e é uma caaceísica impoane do moimeno cicula unifome. c) Moimeno ciclóide É o moimeno de um pono da boda de um disco odando, confome mosa a Fig Consideando um sisema de eios no qual é paalelo ao chão, emos a combinação de um moimeno anslacional unifome com um moimeno cicula unifome. Paa o moimeno anslacional, = + e, paa o moimeno cicula, = cosω e = senω. Fig Moimeno ciclóide. Desa foma, = = + + cosω + sen ω Ao uiliamos a noação eoial e faendo = =, = + cosω î + sen ω ( ) ĵ S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calo e ondas

9 Moimenos bi e idimensional 43 = d = ( ωsenω) î + ωcosω ĵ d a = = ω cosω î ω senω ĵ = ω c Eemplo: Considee um disco descendo um plano inclinado, fomando um ângulo com a hoional, como mosado na Fig Vamos deemina () e () de um pono localiado na boda do disco. Escolhendo o eio da maneia indicada na figua, emos a = g sen e a =. Enão, = 1 + c, = + c = + gsen + cosβ e = + senβ, onde β ω (moimeno aceleado) é o ângulo que o disco odou. P Fig. 3.8 Disco descendo um plano inclinado 3.4 Moimenos planos descios po coodenadas polaes Vamos considea um moimeno cicula no qual o copo pecoe um compimeno de aco s, que esá associado a um ângulo de acodo com: s =, sendo o aio da ajeóia. A elocidade angencial é: ds d = = = ω S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calo e ondas

10 44 Moimenos bi e idimensional Paa epesena, amos inodui os esoes ˆ e ˆ, que são adequados paa se abalha com coodenadas polaes. O eso ˆ em a mesma dieção e senido do eo posição. O eso ˆ é pependicula a e angene ao cículo, aponando paa a dieção em que e s cescem como indica a Fig Desa foma, podemos escee e em coodenadas polaes da seguine maneia: = ˆ d = ˆ = ˆ î Fig. 3.9 Moimeno plano descio po coodenadas polaes. Deemos noa que ˆ e ˆ são esoes que aiam com o empo. Paa encona esa aiação em emos dos esoes î e ĵ que são fios emos que ˆ = cos î + sen ĵ e ˆ = sen î + cos ĵ. Desa foma, dˆ d d d = sen î + cos ĵ = dˆ d = ĵ d ( cos î + sen ĵ) = ˆ ( sen î + cos ĵ) d = ˆ Uma e que conhecemos a maneia pela qual ˆ e ˆ aiam com o empo, podemos encona e a a pai de. ˆ ˆ S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calo e ondas

11 Moimenos bi e idimensional 45 = ˆ d dˆ d = = = ˆ d d dˆ d a = = = ˆ onde foi suposo que ω = d/ é consane. Como d/ = /, emos a = / ˆ = ω, que é a aceleação cenípea no moimeno cicula unifome. ( ) ˆ Se o moimeno fo unifomemene aceleado, iso é, se dω/ = α = consane, a epessão paa a aceleação se modifica. Tomando a deiada de = ω ˆ emos: d ˆ dˆ a ˆ ω = + ω = α ω ˆ de onde emos que além da aceleação cenípea suge uma aceleação angencial dada po α ˆ. A descição de um moimeno eilíneo aaés de coodenadas polaes é feia baseando-se na Fig Podemos elaciona e da seguine foma: ou ˆ = cos - sen = cos + sen = cos + sen = - sen + cos ˆ Fig. 3.1 Descição de um moimeno eilíneo aaés de coodenadas polaes. S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calo e ondas

12 46 Moimenos bi e idimensional Paa o caso que esamos aando, = e =. Poano, = cos e = sen, ou seja: = cos ˆ sen ˆ Eecícios 1 Considee um cilindo de aio R olando sem deslia num plano hoional. O ceno de massa do cilindo possui aceleação a. Qual é a aceleação angula do cilindo? Qual é o ângulo β que o cilindo oda como função do empo? Dois copos A e B esão em moimenos cicula unifomes de ajeóias concênicas com aios a e b e elocidades angulaes ω a e ω b. Deemine a elocidade elaia ene os dois copos. 3 Deemina a aceleação de um copo que deslia pela osca de um paafuso com passo h e aio R. Despee o aio e considee que o copo paiu do epouso. 4 É necessáio lança da ea uma bola po cima de uma paede de alua H que se encona a uma disância S (Fig. 3.11). Qual é a meno elocidade inicial com que a bola pode se lançada? H S Fig Lançameno de pojéil sobe uma paede de alua H. S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calo e ondas

13 Moimenos bi e idimensional 47 5 Uma bala é dispaada de um canhão com elocidade. Deemine a egião geoméica onde a bala ceamene não caiá. 6 Um plano inclinado foma um ângulo α com o plano, confome mosa a Fig Um copo é lançado com elocidade, fomando um ângulo com o eio. Despeando o aio calcule: ma, ma e o empo que o pojéil demoa paa eona ao eio. 7 Uma peda é lançada com elocidade inicial de m/s. Sabendo-se que ela ficou s no a, calcule: a) o ângulo de lançameno (com a hoional) b) a alua máima aingida c) o alcance d) ouo ângulo de lançameno paa o qual a peda eá o mesmo alcance. (Nese caso o empo seá difeene de s). α Fig. 3.1 Lançameno oblíquo num plano inclinado. 8 Um copo anslada com elocidade = 5 m/s sobe um plano hoional sem aio. Subiamene ele encona pela fene um plano inclinado (ambém sem aio) de ângulo = 3 e alua H =,8 m, confome mosa a Fig Tomando-se g = 1 m/s, peguna-se: a) a que disância d do final do plano inclinado o copo caiá? b) qual é a alua máima que o copo aingiá? S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calo e ondas

14 48 Moimenos bi e idimensional H ma d Fig Lançameno oblíquo de um copo po meio de uma ampa. 9 Um pequeno copo é lançado da oigem com elocidade = 1/ 3 m/s fomando um ângulo = 6 com a hoional. Ouo copo é lançado 1 segundo depois, com a mesma elocidade, poém na hoional e de uma alua H, como mosa a Fig Suponha que haja uma colisão ene os dois copos e que g = 1 m/s. a) Em que insane de empo ocoe a colisão? b) Qual dee se o alo de H paa que a colisão ocoa? c) Quais as coodenadas e da colisão? 3.1 Um pequeno copo é lançado da oigem com elocidade segundo um ângulo com a hoional. Ouo copo é lançado com a mesma elocidade, poém na hoional e de uma alua H, como mosa a Fig Qual dee se o alo de H al que eles ainjam o mesmo pono no eio O? H O Fig Lançameno de dois copos. S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calo e ondas

15 Moimenos bi e idimensional Mose que o moimeno de um pojéil lançado com e é descio g pela paábola: ( ) = g g, com = cos e = sen. b) Encone o ângulo α que a ajeóia fa com a hoional paa qualque (gα = d/d), c) Encone ma coespondene ao opo da ajeóia (g α = ). d) Encone o alcance R, faendo α = π S. C. Zilio e V. S. Bagnao Mecânica, calo e ondas

16 5 Moimenos bi e idimensional S. C. Zilio e V. S. Bagnao Física Básica Mecânica, calo e ondas