2012 Geometria Caderno

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2 MENSAGEM FINAL LEGENDA: Resolução em multimídia, disponível no site ) 2 51

3 ÍNDICE Página 01 - Conceitos pimitivos da geometia Poposições geométicas Postulados euclidianos fundamentais Segmento de eta Cuvas planas Regiões planas limitadas Posicionamento elativo ente duas etas no espaço Deteminação de um plano Posicionamento elativo ente eta e plano no espaço Posicionamento elativo ente dois planos no espaço Pependiculaismo ente eta e plano Pependiculaismo ente dois planos Pojeção otogonal Distâncias no espaço euclidiano Noções de simetia

4 14. (FUVEST-SP) Assinale a coeta: a) Se dois planos foem pependiculaes, todo plano pependicula a um deles seá paalelo ao outo. b) Se dois planos foem pependiculaes, toda eta paalela a um deles seá pependicula ao outo. c) Duas etas paalelas a um plano são paalelas ente si. d) Se duas etas foem otogonais evesas, toda eta otogonal a uma delas seá paalela à outa. e) Se duas etas foem otogonais, toda eta paalela a uma delas seá otogonal à outa. 15. (PUCCAMP-SP) Nas afimações abaixo, os entes geométicos se situam no espaço tidimensional. I) Duas etas que não possuem pontos comuns são sempe paalelas. II) III) IV) Se uma eta é paalela a um plano, ela é paalela a infinitas etas deste plano. Duas etas distintas, pependiculaes a um mesmo plano, são sempe paalelas. Dois planos distintos, pependiculaes a um teceio, são sempe paalelos. Somente estão coetas as afimativas: a) I e IV b) II e III c) I e II d) III e IV e) II, III e IV. 4 49

5 11. (FCC) Se um plano e uma eta são tais que =, então: a) Existe um plano que contém e é paalelo distinto a b) Existe uma eta em que é concoente com. c) Toda eta paalela a é paalela a. d) Toda eta paalela a está contida em. e) Toda eta pependicula a é pependicula a. MENSAGEM INICIAL O CHAPÉU DO MEXICANO (Melcíades Bito) 12. Classifique cada sentença a segui com V (vedadeio) ou F (falso): 0 0 Uma eta pependicula a um plano é evesa a todas as etas desse plano. 1 1 Dois planos pependiculaes são secantes. 2 2 Uma eta pependicula a um plano é otogonal a todas as etas desse plano. 3 3 Dois planos secantes são pependiculaes. 4 4 Uma eta pependicula a um plano é pependicula a todas as etas do plano. 13. Sobe os conhecimentos de geometia tidimensional, considee as afimativas: I. Se duas etas distintas não são paalelas, então elas são concoentes. II. Tês pontos distintos ente si deteminam um único plano. III. Duas etas paalelas distintas deteminam um plano. IV. Se duas etas e s são evesas, então existe um único plano que contém e é paalelo a s. A altenativa que contém todas as afimativas coetas é: a) I e II b) I e IV c) III e IV d) I, II e III e) II, III e IV Um baixinho mexicano veio visita uma pequena cidade do inteio do Basil. E touxe, como ea costume, seu chapéu, paa pode usá-lo e senti-se mais potegido. Chapéu de mexicano você já sabe como é: tem abas enomes. Nesta cidade moava um gaoto, muito espeto e inteligente, apesa dos seus quase 4 anos de idade. Ea uma dessas cianças muito cuiosas, que queia sabe de tudo e, quando não lhe espondiam satisfatoiamente, ela tiava suas pópias conclusões. Ceto dia, foi levado pela mãe paa uma sapataia. Na loja, o gaoto pecebeu sapatos de váios estilos e tamanhos, e apontou os que lhe agadavam. A mãe, poém, muito cainhosamente, fez ele entende que os sapatos escolhidos eam gande paa ele. Você é pequenininho! Aqueles sapatos só dão no pé de gente gande. Só quando você cesce vai pode usa sapatos daquele tamanho. O gaoto se confomou. Ganhou um pa de sapatos pequeno e seguiam adiante. Entaam numa casa de lanches, onde havia algumas mesas vazias. Sentaam e a mãe pediu uma meenda paa ambos. Nesta lanchonete estava o tal mexicano que, po alguns instantes se ausentaa, paa i ao banheio, deixando sobe a mesa o seu chapéu. O gaoto, ao avista aquele enome chapéu, começou a pensa. Lembou dos sapatos gandes, feitos paa gente gande. E em sua mente, ele passou a imagina o tamanho da cabeça do homem que seia o dono daquela peça. Aquele chapéu, de um tamanho que ele nunca via, com ceteza, seia de um homem muito gande. Recodou seu pai, que também usava chapéu, poém, mesmo sendo seu pai gande, o chapéu ea bem meno de que aquele ali. Ficou inquieto e assustado. Não desgudava os olhos do chapéu. Petencia, imaginou, a um homem muito gande, quem sabe, um monsto! E o gui desalinhou mentalmente: é um monsto sim, pensava. A cabeça é enome. E po onde ele passou? Via a pota pequena demais paa o dono daquela cabeça. O monsto moa aqui... ele está peso aqui... não tem como sai, foi a conclusão que chegou. 48 5

6 E isso passou a lhe causa medo. Foi ficando banco, fio, gelado, tomado de pavo. Sua mente não paava de imagina o gigante que, a qualque instante, entaia naquela sala e, com ceteza, iia devoá-lo. E não contou convesa. Como toda boa ciança dispaou um gito de alame e medo, que chamou a atenção de todas as pessoas que ali se encontavam. Queia i emboa. O monsto, o monsto - dizia apavoado - Ele vai pega a gente! Ele vai pega a gente! Foi uma confusão danada. O gaoto só se deu po convencido e desassombado quando o baixinho mexicano etonou do banheio e, tanqüilamente, sem nada pecebe, pôs o chapéu na cabeça e foi emboa. E o gaoto, meio pedido em suas idéias lamentou sozinho: "se um homem pequeno desse pode usa um chapéu gandão, eu também podia usa aquele sapato gande e bonito". 08. Duas etas distintas que são pependiculaes a uma teceia podem se I. concoentes ente si. II. pependiculaes ente si. III. paalelas. IV. evesas e não otogonais. V. otogonais. Associando V ou F a cada afimação, confome seja vedadeia ou falsa, tem-se, espectivamente: a) V, V, V, V, V. b) V, F, V, F, V. c) F, V, F, F, F. d) V, V, V, V, F. e) F, F, F, V, F. CONCLUSÃO: - OBSERVE A QUANTO ANDA A SUA IMAGINAÇÃO. MUITAS VEZES, TOMAMOS COMO VERDADEIRAS COISAS QUE SÓ EXISTEM EM NOSSA CABEÇA. 09. Em elação ao plano, os pontos A e B estão no mesmo semi-espaço e os pontos A e C estão em semi-espaços opostos. Em elação ao plano os pontos A e B estão semi-espaços opostos, bem como os pontos A e C. Pode-se conclui que o segmento BC. a) É paalelo a e b) Enconta e c) Enconta mas não d) Enconta mas não e) Não enconta nem 10. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobe Geometia Espacial, pode-se afima: 0 0 Se uma eta e um plano α são paalelos, então toda eta pependicula à eta é também pependicula ao plano α. 1 1 Se um ponto P não petence a uma eta s, então existe um único plano passando po P, paalelo à eta s. 2 2 Se uma eta está contida em um plano α, e a eta s é evesa a, então a eta s intecepta plano α. 3 3 Se α e β são dois planos pependiculaes, e é uma eta pependicula a α, que não está contida em β, então é paalela a β. 4 4 Se dois planos são pependiculaes, então toda eta de um deles é pependicula ao outo. 6 47

7 04. Veifique a veacidade das seguintes afimações, que completam a seguinte fase: Em um mesmo plano, tem-se que : 0 0 Duas etas paalelas a uma teceia são paalelas ente si. 1 1 Duas etas que têm um ponto em comum são concoentes. 2 2 Duas etas coincidentes têm todos os seus pontos comuns. 3 3 Duas etas pependiculaes a uma teceia são pependiculaes ente si. 4 4 Duas etas pependiculaes a uma teceia são paalelas ente si. 05. Classifique as afimações como vedadeias (V) ou falsas (F): 0 0 Dois pontos deteminam uma única eta. 1 1 Tês pontos deteminam um único plano. 2 2 Dois pontos distintos deteminam uma eta. 3 3 Tês pontos distintos deteminam um plano. 4 4 Tês pontos distintos não colineaes deteminam um plano. 06. Analise as afimativas abaixo: I II 0 0 Existem etas coplanaes paalelas contidas em dois planos distintos não paalelos ente si. 1 1 Se duas etas no espaço foem evesas seão paalelas. 2 2 Se duas etas no espaço não foem evesas seão obigatoiamente coplanaes. 3 3 Se duas etas no espaço tiveem um ponto em comum seão obigatoiamente coplanaes e concoentes. 4 4 Se duas etas coplanaes não foem concoentes seão obigatoiamente paalelas. 07. (MACK - SP) A eta é paalela ao plano α. Então: a) todas as etas de α são paalelas a. b) a eta não pode se coplana com nenhuma eta de α. c) existem em α etas paalelas a e também existem em α etas evesas a. d) existem em α etas paalelas a e também etas pependiculaes a. e) todo plano que contém é paalelo a α. AS ORIGENS DA GEOMETRIA Histoicamente, sabemos que as civilizações antigas da Mesopotâmia, duante o peíodo de 2000 a 600 a.c., desenvolveam um conhecimento geomético consideável, pincipalmente em função da necessidade de constui gandes obas paa contola as enchentes, comuns no vale mesopotâmico, fomado pelos ios Tige e Eufates. Os egípcios, apoximadamente no mesmo peíodo, também contibuíam de modo significativo no desenvolvimento da Geometia, pincipalmente pela necessidade de emacaem os limites de popiedades agícolas, após as cheias e inundações pevisíveis do io Nilo. Na áea da constução civil, obsevando as piâmides, pecebemos que possuíam um azoável conhecimento sobe o assunto. TALES Entetanto, a cultua mesopotâmica e a egípcia começaam a declina bem antes da ea cistã, e a Gécia tonavase, pouco a pouco, a capital do conhecimento científico. Os gegos Tales ( a.c. apoximadamente), nascido em Mileto e Pitágoas ( a.c. apoximadamente), nascido na ilha de Samos, póxima de Mileto, foam homens que tiveam o pivilégio de, feqüentemente, visita os gandes centos de conhecimento da época e apende mais sobe astonomia e matemática. Alguns histoiadoes chegam a afima que no Egito apendeam Geometia e na Babilônia, na época de Nabucodonoso, Tales teve em mãos tabelas e instumentos astonômicos. Tales foi o pimeio a fomula popiedades geais sobe as figuas geométicas e a demonsta popiedades geométicas que os egípcios conheciam apenas pela expeiência ou po meio da obsevação. Iniciava-se, com Tales, a geometia dedutiva. Assim, a geometia deixava de se apenas um instumento de medição é passava a te um sentido mais amplo, evestindo-se de caáte científico. Novos e impotantes avanços foam feito po Platão, Peseu e Eudoxo, mas coube a Euclides de Alexandia ( a.c.) coodena e sistematiza todo o conhecimento geomético adquiido até sua época na oba Os Elementos, composta po 13 livos (10 sobe geometia e 3 sobe teoia dos númeos). Essa oba tomou-se um best-selle da época, sendo utilizada como manual em muitos países até finais do século XIX. É povável que nenhuma oba, além da Bíblia, tenha tido númeo maio de edições, e nenhuma oba matemática teve tanta influência quanto a de Euclides. Nela se encontam os pincípios da geometia euclidiana. Patindo de definições e postulados, Euclides constuiu uma estutua geomética de foma igoosa e lógica. Essa oba foi impessa pela pimeia vez no ano de 1482, na cidade de Veneza, e depois disso teve mais de mil edições. 46 7

8 Novas contibuições foam dadas po Aquimedes ( a.c.) e Diocles. No final do século III a.c., os escitos de Apolônio de Pega ( ? a.c.) macam o apogeu da Geometia ente os gegos. Pouco depois, Hipaco cia a Tigonometia, foi poém, com Euclides (matemático gego) que a Geometia se desenvolveu, fazendo da cidade egípcia da Alexandia o gande cento mundial da Geometia. Sua pimeia educação matemática se passou em Atenas, atavés de discípulos de Platão, uma vez que a maioia dos geômetas e matemáticos com que ele lidou petenciam a essa escola. Em Alexandia, no tempo de Ptolomeu I, que einou ente 306 e 283 antes de Cisto, Euclides pôde desenvolve seus tabalhos sobe Geometia. Conta a históia que, quando Ptolomeu I peguntou a Euclides se não havia um caminho mais cuto paa a Geometia do que os Elementos, ecebeu esta esposta: Não há uma estada eal paa a Geometia. Conta a históia também que, quando um aluno de Euclides o peguntou que luco teia estudando Geometia, este entegou-lhe um saco de moedas e a pati de então não mais o aceitou como aluno. EUCLIDES Os filósofos gegos costumavam coloca nas potas de suas escolas uma obsevação muito conhecida: NÃO ENTRE NESTA ESCOLA SE VOCÊ NÃO APRENDEU ELEMENTOS DE EUCLIDES, mais tade tansfeiu a inscição da Academia de Platão paa todas as potas de escolas e substituindo a palava ELEMENTOS po GEOMETRIA. 03. Obseve as figuas e constua seu simético em elação ao ponto O. a) b) c) 8 45

9 02. Considee as seguinte figuas e constua seu simético, em elação à eta. 01. CONCEITOS PRIMITIVOS DA GEOMETRIA a) PONTO CONCEITOS RETA PLANO Não se definem. Admitem idéias. Possuem caacteísticas que gaantem unicidade e pecisão ESPAÇO b) Estes conceitos são aceitos sem definição, intuitivamente e baseando-se nas suas caacteísticas os concebeemos, e a pati daí, usaemos uma epesentação geomética e notação univesais. O PONTO Um simples toque da ponta do lápis bem apontada na folha do papel estabelece a epesentação geomética do ponto. CARACTERÍSTICA É admensional. Não ocupa luga no espaço. c) A RETA A epesentação geomética da eta é obtida atavés de um taço apondo-se setas em suas extemidades. CARACTERÍSTICA É unidimensional. Nela existem infinitos pontos. É ilimitada. 44 9

10 NOTA HISTÓRICA O PLANO A epesentação geomética do plano é feita atavés de uma figua que dê a idéia de supefície. CARACTERÍSTICA É bidimensional. Nele existem infinitos pontos e etas. É ilimitado em ambas as dimensões. No que diz espeito à Geometia das Tansfomações, M. C. Esche, atista alemão ( ) utilizou-as significativamente em seus estudos e mostou se, além de gande atista, um matemático hábil e especializado. Os fomosos tabalhos de Esche têm despetado gande inteesse ente os estudiosos e, em anos mais ecentes, fazem pate das aulas de matemática nos mais difeentes níveis. Seus tabalhos atísticos são muito populaes, e neles ele mosta um estudo muito bonito das simetias. Nas divisões egulaes do plano, que fazem pate de muitos de seus onamentos, Esche utilizou simetias de eflexão, de otação, de tanslação e composição destas simetias. A figua ao lado, o Limite Cicula IV de Esche, mosta exemplos de otações e de simetias de eflexões. O ESPAÇO É o luga geomético único, conjunto univeso amplo da geometia euclidiana, no qual estão os infinitos pontos, as infinitas eta e os infinitos planos, po se único não há uma epesentação geomética paa o espaço, pois não há necessidade de distingui-lo de outo. EXERCÍCIOS 01. Identifique os tipos de simetia que existe ente os paes de figuas indicados na figua abaixo: a) fig. 1 e fig. 2 É tidimensional. Existem pontos, etas e planos em todos os lugaes do espaço e em todas as posições possíveis. É ilimitado nas tês dimensões. b) fig. 1 e fig. 3 c) fig. 1 e fig. 4 Devido às caacteísticas dos conceitos pimitivos que oa estudamos ficamos impossibilitados de da exemplos, poém podemos te idéias e os associa a entes visíveis; O d) fig. 2 e fig. 3 e) fig. 2 e fig. 4 f) fig. 3 e fig. 4 O ma calmo nos dá a idéia de um plano; a linha do hoizonte nos dá a idéia de uma eta; 10 43

11 Ou ainda quando possui um ponto chamado cento de simetia, este cento de simetia é tal que se giamos a figua de 180 (meia-volta) em tono deste cento, a figua coincidiá consigo mesma. B As estelas no céu nos dão a idéia de ponto; e o todo visível nos dá a idéia de espaço. 02. PROPOSIÇÕES GEOMÉTRICAS Obseve os exemplos: As idéias geométicas se baseiam nos pocessos de indução e dedução. INDUÇÃO: ocoe quando a pati de sucessivos exemplos e casos paticulaes estudados e bem sucedidos, se pode conclui uma ega geal paa casos semelhantes; vale dize, é o caminho que nos conduz do paticula paa o geal. DEDUÇÃO: constói o conhecimento do geal paa o paticula. ESTA FIGURA NÃO APRESENTA SIMETRIA ESTA FIGURA É SIMÉTRICA EM RELAÇÃO A RETA E EM RELAÇÃO A O No item anteio concebemos a existência do ponto, da eta, do plano e do espaço atavés do método indutivo

12 Exemplo 2: GARANTEM A EXISTÊNCIA RELACIONAM OS CONCEITOS LEMAS CONCEITOS INICIAIS POSTULADOS FUNDAMENTAIS ENTES DEFINÍVEIS TEOREMAS OU LEIS TEOREMAS RECÍPROCOS Os tiângulos ABC e A B C são siméticos em elação ao ponto ) Exemplo 3: INDUTIVO COROLÁRIOS DEDUTIVO O estudo da Geometia que vamos inicia, seá desenvolvido atavés das poposições apesentadas, isto não que dize que estaemos paticando uma Geometia Axiomática, pois a gosso modo uma Geometia Axiomática consta de um conjunto inicial de poposições chamado confome seu papel da teoia, de teoemas, lemas e cooláios. Os AXIOMAS são as asseções que admitem sem demonstação. Constituem a base da teoia que se vai constui e via de ega são intuitivos nos cusos elementaes; a sua aceitação não exige do estudante um esfoço maio do que aquele despendido paa entende a ealidade que o ceca. As DEFINIÇÕES elacionam os entes ou os objetos cuja existência os axiomas devem assegua, ou ainda, cuja existência é asseguada pelas asseções que decoem da aceitação dos axiomas. FIGURA SIMÉTRICA Pentágonos siméticos em elação a O. Uma figua plana é simética quando possui uma eta chamada eixo de eflexão ou eixo de simetia, que a divide em duas figuas conguentes que podem se sobepostas. Esse eixo funciona como um espelho que eflete uma pate sobe a outa. Ao dobamos a figua nessa linha, cada pate se encaixaá pefeitamente na outa. Os TEOREMAS são asseções que devem se demonstadas paa seem aceitas. São as poposições centais da teoia e constituem sua espinha dosal. Os LEMAS são teoemas que já foam demonstados e que estão auxiliando a demonstação de teoemas posteioes. Os COROLÁRIOS são teoemas que não exigem demonstação, pois são conseqüência de um teoema demonstado imediatamente antes. Teoema ecípoco de outo teoema é quando a tese de uma é a hipótese do outo e vice-vesa

13 SIMETRIA CENTRAL (SIMETRIA PUNTUAL) (SIMETRIA EM RELAÇÃO A UM PONTO) Considee no plano os pontos A e O Se conduzimos a única eta de que passa po A e O Em esumo os axiomas, também chamados postulados, são aceitos sem demonstação. Os teoemas, lemas e cooláios são demonstados a pati dos axiomas. Evidentemente, toda essa divisão tem um objetivo mais didático do que essencial ao desenvolvimento de uma teoia. Damos então as seguintes definições: E consideamos O como oigem de duas semi-etas opostas que têm como eta supote, e na semi-eta oposta a que te A, obtivemos o ponto A cuja distância até O é igual a distância ente O e A. Duas figuas são coincidentes quando todos os pontos de uma petencem também à outa, e vice-vesa. Duas figuas são distintas quando não são coincidentes. Detemina uma figua significa gaanti sua existência e sua unicidade. Quando dizemos existe um significa que existe pelo menos um, quando dizemos existe um único, significa que existe apenas um. Exemplo 1: A é o simético de A em elação a O. A e A são siméticos em elação a O.... A B. C C B A POSTULADOS EUCLIDIANOS FUNDAMENTAIS São poposições aceitas como vedadeias, impossíveis de seem povadas, que sevem como base paa o desenvolvimento teóico. POSTULADOS DA EXISTÊNCIA P 1 ) Em uma eta, e foa dela, existem infinitos pontos. DEFINIÇÃO: Pontos petencentes a uma mesma eta são ditos COLINEARES ente si. FIGURAS SIMÉTRICAS (CONGRUENTES) 40 13

14 P 2 ) Em um plano, e foa dele, existem infinitos pontos e etas. DEFINIÇÃO: Pontos petencentes a um mesmo plano são ditos COPLANARES ente si. P 3 ) No espaço existem infinitos pontos, etas e planos. * É impossível algum ponto ou eta ou plano esta foa do espaço euclidiano. Exemplo 1:... A A. C. C.... B B FIG. 1 FIG. 2 Exemplo 2: AS FIGURAS 1 E 2 SÃO SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO A RETA FIGURAS SIMÉTRICAS (CONGRUENTES) POSTULADOS DA DIVISÃO P 4 ) Um ponto divide uma eta em que ele está em duas semi-etas. O segmento AB é o simético do segmento O segmento CD é o simético A' B' do segmento C' D' Exemplo 3: Os tiângulos ABC e A B C são siméticos em elação à eta

15 15. NOÇÕES DE SIMETRIA NOTAÇÃO: AXIAL OU DE REFLEXÃO SIMETRIAS CENTRAL OU PUNTUAL P 5 ) Uma eta divide o plano em que ela está em dois semi-planos. SIMETRIA AXIAL (SIMETRIA DE REFLEXÃO) (SIMETRIA EM RELAÇÃO A UMA RETA) Considee no plano o ponto P e a eta Se conduzimos po P à única pependicula a P 6 ) Um plano divide o espaço em dois semi-espaços. E no semi-plano oposto ao de P sobe a mesma pependicula obtivemos o ponto P cuja distância até é igual a de P até Consideemos um plano hoizontal: P é o simético de P em elação a. P e P são siméticos em elação a. Um semi-espaço fica acima e o outo abaixo do plano. O plano é a oigem ou bodo dos semi-espaços

16 POSTULADOS DA CONCORRÊNCIA P 7 ) Po um ponto passam infinitas etas. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS DISTINTAS E PARALELAS Dadas as etas e s, distintas e paalelas, a distância ente e s é a distância ente qualque ponto de uma delas e a outa eta. Se duas etas são coincidentes, a distância ente elas é zeo. DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM PLANO PARALELOS P 8 ) Po uma eta passam infinitos planos. Dados a eta e o plano tais que //, a distância ente a eta e o plano é a distância ente qualque ponto de e o plano. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS E PARALELOS =, =, = = POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO Dados dois distância ente plano. planos distintos e tal que //, a ente esses dois planos é a distância qualque ponto de um deles e o outo P 9 ) Po dois pontos distintos passa uma única eta, que fica deteminada po eles. Qualque outa eta que passa po B não passa po A. NOTAÇÃO: Reta Reta AB DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS REVERSAS Dadas duas etas evesas e s, vamos considea um ponto qualque de e o plano que contém s e é paalelo a. A distância ente e s é a distância ente esse ponto e esse plano

17 Exemplos: As figuas F, G e H são pojeções otogonais das figuas F, G e H, espectivamente, sobe o plano. Elas são fomadas pelas pojeções otogonais de todos os pontos das figuas F, G e H sobe. Quando apoiamos uma égua em dois pontos desenhados no papel e iscamos com um lápis de ponta bem fina, estamos mateializando a idéia contida no postulado. Não existem duas etas distintas que contenham ambos os pontos dados. P 10 ) Po tês pontos não colineaes passa um único plano que fica deteminado po eles. 14. DISTÂNCIAS NO ESPAÇO EUCLIDIANO DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos distintos A e B, a distância ente A e B é a medida do segmento AB. Se A e B coincidem, dizemos que a distância ente A e B é zeo.. A B O pontos A, B e C são não colineaes DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RETA NOTAÇÃO: Plano Plano ABC Dados um ponto P e uma eta, podemos taça uma eta que passa po P e é pependicula a, no ponto A. A distância ente o ponto P e a eta é a distância ente os pontos P e A. DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO Dados um ponto P e um plano, podemos detemina P, que é a pojeção otogonal de P sobe A distância ente o ponto P e o plano é a distância ente os pontos P e P. Você já deve te obsevado que uma banqueta de tês penas ou um tipé com pés pontiagudos não balançam quando apoiados no chão. Isto acontece poque as tês pontas sempe ficam num plano, mesmo que este plano não seja exatamente hoizontal

18 POSTULADO DA INCLUSÃO P 11 ) Se dois pontos distintos de uma mesma eta petenceem a um ceto plano, a eta estaá contida neste plano. A eta é pependicula ao plano pelo ponto P. O ponto P é então, a pojeção otogonal da eta sobe o plano. Se encostamos dois pontos A e B de uma égua sobe a supefície de uma mesa, todos os pontos da égua ficaão encostados na mesa. A pojeção otogonal de um tiângulo sobe um plano (caso pl(abc) ) ou um tiângulo A B C. pode se um segmento de eta A única possibilidade paa nega este postulado seia admiti cuvatua no plano euclidiano, o que é um paadoxo (o plano se como uma telha convencional). Planos assim são admitidos em algumas geometias não-euclidianas. GENERALIZANDO: De uma figua qualque sobe o plano: 04. SEGMENTO DE RETA A pojeção otogonal de uma figua qualque do espaço sobe um plano ou sobe uma eta é o conjunto das pojeções otogonais de todos os pontos da figua sobe o plano ou sobe a eta. Dados dois pontos distintos A e B petencentes a uma mesma eta, estes limitam na eta uma pate da mesma compeendida ente A e B incluindo-os denominada segmento de eta. poj F = F = {A, B, C,...} Os pontos A e B chamam-se extemidade do segmento. Indica-se: segmento AB ou, simplesmente, AB. A eta é chamada eta supote do segmento

19 13. PROJEÇÃO ORTOGONAL PROJEÇÃO ORTOGONAL DE PONTO SOBRE RETA E DE PONTO SOBRE PLANO SEGMENTOS CONSECUTIVOS Possuem uma extemidade em comum. A pojeção otogonal de um ponto P sobe uma eta é o ponto P onde a eta conduzida po P e pependicula a enconta esta eta. CASOS PARTICULARES: A pojeção otogonal de um ponto P sobe um plano é o ponto P, onde a eta pependicula ao plano, conduzida po P, enconta este plano. SEGMENTOS COLINEARES Estão contidos em uma mesma eta supote. A pojeção de um segmento de eta AB sobe um plano um ponto (caso AB ) ou um segmento de eta A' B' ou sobe uma eta pode se SEGMENTOS ADJACENTES Dois segmentos são adjacentes se são simultaneamente consecutivos e colineaes. poj AB = A = B poj Caso AB não seja paalelo a, a medida da pojeção, A B, é meno que AB. Pojeção otogonal de uma eta sobe um plano: pode se uma eta ou um ponto. A eta s é paalela ou oblíqua ao plano. A pojeção otogonal de s sobe é a eta s, deteminada pelos pontos P e Q, que são pojeções otogonais dos pontos P e Q petencentes à eta s. AB = A' B' A B = AC < AB MEDIDA DE UM SEGMENTO Quando medimos o compimento de um segmento AB, fixada uma unidade de medida, fica associado a cada segmento um e um só númeo eal positivo, que é a sua medida. Na figua a segui, fixamos como unidade de medida o cm. Indicamos a medida do segmento AB com a notação: Med (AB) = 4cm 34 19

20 SEGMENTOS CONGRUENTES Dois planos e, pependiculaes a um teceio, são paalelos ou secantes ente si. Dois ou mais segmentos são conguentes ente si, quando possuíem a mesma medida. Exemplo:.. AB CD 4 cm 4 cm AB é cong uente a CD.. PARALELISMO ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS Obseve os segmentos AB e CD Os planos e são paalelos distintos se, e somente se, existem duas etas e s contidas em e concoentes em P, de modo que ambas sejam paalelas a.. 4 cm... 4 cm Se esses segmentos foem sobepostos, todos os seus pontos coincidião. CONSEQÜÊNCIAS: símbolo de coincidência A C B D símbolo de conguência AB CD, pois m (AB) m(cd) Se dois planos distintos são paalelos, então qualque eta de um deles é paalela ao outo, e qualque eta concoente a um deles também é concoente ao outo

21 12. PERPENDICULARISMO ENTRE DOIS PLANOS Dois planos e são pependiculaes ente si, se e somente se, foem secantes e um deles passa po uma eta que é pependicula ao outo. 05. CURVAS PLANAS Todo conjunto contínuo de pontos de um plano ecebe o nome de cuva. e CARACTERÍSTICA Toda cuva é unidimensional. CONSEQÜÊNCIAS: Quando uma eta é pependicula a um plano, todos os planos que passam po ela são pependiculaes ao plano. Obs.: A eta é uma cuva plana ilimitada cujos pontos são colineaes. CLASSIFICAÇÃO DAS CURVAS LIMITADAS Quanto ao seu pefil (taçado) as cuvas limitadas que possuem extemidades se definem como abetas, se não possuem extemidades se definem como fechadas. Se inteceptam a si mesma não-simples e caso contáio simples. Exemplos: Os planos e, que contêm são pependiculaes a. Quando abimos uma pota, ela passa pelo eixo de gio e ambos são pependiculaes ao piso sempe. A.. B Cuva Abeta Simples Cuva Abeta Não Simples.. B A Se uma eta e um plano são ambos pependiculaes a um plano, a eta está contida no plano ou é paalela ao plano. está contida em é paalela a Cuvas Fechada Simples Cuvas Fechada Não Simples 32 21

22 06. REGIÕES PLANAS LIMITADAS Uma cuva fechada simples limita no plano que a contém dois conjuntos distintos de pontos denominados espectivamente de inteio e exteio da cuva. CONSEQÜÊNCIAS: Se uma eta é pependicula a um plano, todas as etas do plano são pependiculaes ou otogonais a essa eta: Se uma eta é pependicula a um plano, toda eta paalela a é também pependicula ao plano: exteio Os pontos A, B e C petencem ao inteio da cuva e os ponto E e D petencem ao exteio. A eunião dos pontos da cuva com os pontos de seu inteio define uma egião. Exemplos: Se dois planos distintos são paalelos, qualque eta pependicula a um deles é também pependicula ao outo: Se uma eta é pependicula a um plano, todos os infinitos planos que contêm essa eta são pependiculaes ao plano : REGIÃO CONVEXA REGIÃO CÔNCAVA Uma egião do plano é convexa quando todo segmento que liga dois pontos da mesma fica totalmente contido na egião plana limitada. Obs.: Condição de paalelismo ente eta e plano Paa que uma eta seja paalela a um plano basta que no plano não exista eta concoente com ela

23 11. PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO 07. POSICIONAMENTO RELATIVO ENTRE DUAS RETAS NO ESPAÇO Uma eta é pependicula a um plano se, e somente se, é pependicula a todas as etas de que passam pelo ponto de intesecção de e. DUAS RETAS REVERSAS CONCORRENTES COPLANARES DISTINTAS PARALELAS COINCIDENTES RETAS REVERSAS Duas etas no espaço são evesas ente si, se não existi seque um plano no espaço que as contém simultaneamente. Paa que uma eta seja pependicula a uma plano, basta se pependicula a duas etas concoentes, contidas em, : Obseve, na figua abaixo, po que não basta que seja pependicula a uma única eta t de paa que seja pependicula ao plano: Revesas s = não existe plano que contenha e s simultaneamente. Quando duas etas no espaço são evesas ente si, dente os infinitos planos que passam po uma, nenhum deles passa pela outa. RETAS COPLANARES Duas etas no espaço são coplanaes ente si, quando existe um plano que as contêm simultaneamente. s s e e t t t ( t ) não é pependicula a O plano passa po e po s e t coplanaes concoentes. s e t coplanaes paalelas.

24 Se duas etas coplanaes tiveem um único ponto em comum seão ditas Concoentes. 10. POSICIONAMENTO RELATIVO ENTRE DOIS PLANOS NO ESPAÇO Consideemos duas etas e s concoentes. Elas COINCIDENTES podem foma ângulo eto ou não. Quando as etas concoentes e s fomam ângulo eto, elas são PARALELOS ENTRE SI s = { P } pependiculaes. Quando as etas concoentes e s não fomam ângulo eto elas são obliquas. DOIS PLANOS SECANTES OU CONCORRENTES ENTRE SI DISTINTOS COPLANARES CONCORRENTES PERPENDICULARES PLANOS PARALELOS: COINCIDENTES: DISTINTOS: s = = = // COPLANARES CONCORRENTES OBLÍQUAS PLANOS SECANTES: PERPENDICULARES: OBLÍQUOS: s Se duas etas coplanaes não foem concoentes seão ditas paalelas. = { t } = { s } 24 29

25 Conseqüências do posicionamento ente eta e plano: PARALELAS DISTINTAS PARALELAS COINCIDENTES Se uma eta é paalela a um plano: A RETA É PARALELA A INFINITAS RETAS DO PLANO MAS NÃO É PARALELA A TODAS AS RETAS DO PLANO s s paalelas distintas s s s paalelas coincidentes // s s POIS NO PLANO EXISTEM INFINITAS OUTRAS RETAS REVERSAS A ELA. Obs.: Se uma eta intecepta pependiculamente um plano ela é pependicula a todas as etas do plano que passam pelo taço, e é otogonal a todas as etas do plano que não passam pelo taço. Na cadeia epesentada abaixo, e s são evesas, pois são otogonais. Se uma eta é concoente com um plano A RETA É CONCORRENTE INFINITAS RETAS DO PLANO MAS NÃO É CONCORRENTE A TODAS AS RETAS DO PLANO, s e t A otogonalidade de duas etas é uma situação paticula da posição das etas evesas, da mesma foma que a pependiculaidade é uma situação paticula da posição de duas etas concoentes. Obseve que as etas evesas a e b, visualizadas no cubo, e a eta c, paalela à eta a e concoente com b. POIS NO PLANO EXISTEM INFINITAS OUTRAS RETAS REVERSAS A ELA. a e b são etas evesas e otogonais. a e b são evesas, mas não são otogonais

26 08. DETERMINAÇÃO DE UM PLANO - Existem quato postulados paa a deteminação de um plano. A RETA ESTÁ NO PLANO UM PLANO FICA DETERMINADO POR: = tês pontos não colineaes uma eta e um ponto foa dela A RETA É PARALELA A = duas etas concoentes duas etas paalelas distintas dedo e mão epesentando eta e plano paalelos A RETA FURA NO PLANO = {P} 09. POSICIONAMENTO RELATIVO ENTRE RETA E PLANO NO ESPAÇO lápis e cateia epesentando eta e plano secantes ESTÁ CONTIDA NO UMA RETA É PARALELA AO UM PLANO Reta contida no plano: quando a eta e o plano têm dois pontos distintos em comum. Reta paalela ao plano: quando a eta e o plano não apesentam ponto em comum. Reta concoente ou secante ao plano: quando a eta e o plano têm um único ponto em comum. É SECANTE AO 26 27