2. Tomografia por Emissão de Positrões (PET) 22

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1 2. Tomogafia po Emissão de Positões (PET) Fomatos de dados O amaenamento das coincidências detectadas num sistema PET pode se feito em dois fomatos difeentes, o fomato de list-mode e o de histogama [Defise 1998]. No pimeio, os dados são egistados sob a foma de uma lista sequencial de eventos, onde em cada entada se insceve um conjunto de infomações sobe cada coincidência, como po exemplo os índices dos dois cistais em coincidência de acodo com a enumeação de cistais definida paa o detecto, a enegia dos dois fotões incidentes ou o instante em que a coincidência foi detectada. No segundo, os dados são eunidos num histogama 11 no qual todas as LORs possíveis estão mapeadas, uma po cada elemento desse histogama; o valo inteio que o elemento toma é o númeo total de coincidências egistadas na LOR coespondente. Nomalmente, o fomato pefeencial de amaenamento de dados é o de histogama poque é o mais adequado paa os algoitmos de econstução de imagem. Muitos sistemas possuem feamentas de convesão do fomato list-mode paa o fomato de histogama, convesão essa facilmente feita conhecidas as caacteísticas físicas do detecto, nomeadamente no que toca à posição de cada cistal. No entanto, o fomato list-mode tem um conteúdo de infomação maio e que pode se impotante paa a coecção de efeitos que pejudicam a imagem, como a ocoência de coincidências dispesas. Adicionalmente, é o fomato mais flexível, pois ao contáio do fomato de histogama, não depende igidamente do conjunto de LORs que se definiam como possíveis paa o sistema, nem da discetiação do espaço imposta po essas LORs, paa além de se o mais compacto paa o amaenamento de dados 3D. Po essa aão, quase todos os sistemas com capacidade de aquisição no modo 3D faem-no no fomato list-mode, convetendo posteiomente os dados paa o fomato de histogama [Defise 1998] Sinogamas no modo 2D A estutua de dados com o fomato de histogama utiliada paa aquisições no modo 2D é o sinogama, que consiste num histogama bidimensional das coincidências egistadas segundo LORs contidas num deteminado plano paalelo aos anéis do detecto. Os dois índices de cada elemento do sinogama definem a oientação espacial no plano da LOR coespondente a esse elemento, de acodo com a coodenada adial e o ângulo aimutal indicados na figua 2.14a. Estes são definidos à custa de um sistema de eixos OX Y obtido pela otação no sentido negativo segundo o ângulo [0; π[ do sistema OXY solidáio com o detecto, onde O se enconta no eixo do detecto e X e Y são 11 Po histogama entendemos aqui uma mati multidimensional (de duas ou mais dimensões) de coeficientes inteios. Cada coeficiente é otulado po um índice em cada uma das dimensões da mati.

2 2. Tomogafia po Emissão de Positões (PET) 23 espectivamente as diecções hoiontal e vetical (figuas 2.14a e 2.14b) 12. Um eixo adicional Z pemite atibui uma coodenada axial a cada sinogama, localiando-o segundo o eixo do detecto (fig. 2.14b). A compilação dos sinogamas 2D de um objecto é feita numa mati tidimensional s 2D (,,) que guada todos os sinogamas elativos a todos os planos de aquisição em 2D. y y x (a) (b) Figua 2.14: (a) Definição das coodenadas e de uma LOR (indicada a vemelho) em função do sistema OX Y definido po otação do sistema OXY solidáio com o detecto, e espectiva localiação no sinogama. (b) Oientação do sistema XYZ solidáio com o detecto. Os planos XY, YZ e XZ são nomalmente efeidos como planos tansaxiais, sagitais e coonais. (adaptado de [Badawi 1998]) De acodo com a definição de sinogama, cada linha agupa LORs paalelas ente si que faem um ângulo com a hoiontal, enquanto que cada coluna agupa LORs com a mesma posição adial, i.e. que são tangentes a uma cicunfeência centada em O com aio (fig. 2.15a). Note-se que o intevalo de posições adiais egistado em cada linha do sinogama abange o diâmeto do FOV (o dobo do aio do FOV, ou seja 2 R FOV ), que em geal é infeio ao diâmeto do detecto (ve fig. 2.15a), implicando que as LORs mais afastadas do cento do detecto não são utiliadas. Fomalmente, o sinogama é a tansfomada de Radon bidimensional de um objecto, e o seu nome deiva do facto de uma fonte de positões pontual podui em geal um padão sinusoidal no sinogama (fig. 2.15b; ve também anexo A). A oganiação dos dados em sinogamas no modo 2D é especialmente adequada paa a taefa de econstução de imagem, dado que cada entada do sinogama guada o númeo de coincidências detectadas na LOR espectiva que, na ausência de efeitos como a dispesão de Compton ou a absoção dos fotões de aniquilação pelo volume do paciente, é popocional à actividade do macado PET ao longo dessa LOR. Deste modo, pode considea-se cada linha do sinogama como sendo o conjunto das pojecções paalelas da 12 Existem convenções difeentes paa defini o ângulo ; aqui, tomamos a mais comum em PET, i.e., que é o ângulo fomado com a vetical (eixo OY) medido no sentido negativo.

3 2. Tomogafia po Emissão de Positões (PET) 24 actividade (ou simplesmente a pojecção da actividade) do objecto segundo a diecção no plano, p 2D (,,) (fig. 2.16), ou seja p 2D ( x 2D,, ) = s ( x,, ). (3) π -R FOV +R FOV (a) 0 x A x B x A x B (b) Figua 2.15: (a) Esquema epesentativo das LORs agupadas num sinogama em cada linha (cima) e em cada coluna (baixo). Na figua de cima, indicam-se a tacejado as LORs que se encontam foa do FOV, e que po isso não são utiliadas na constução do sinogama. (adaptado de [Badawi 1998]) (b) Sinogama geado po uma fonte pontual colocada no cento do FOV (A) e num ponto foa do cento (B). Em função de, o sinogama desceve meia sinusóide com amplitude igual à distância a que cada fonte se enconta do cento do FOV. (adaptado de [Feeia 2001]) Figua 2.16: Relação ente as linhas de um sinogama e a pojecção da actividade do objecto segundo a diecção no plano.

4 2. Tomogafia po Emissão de Positões (PET) 25 O conjunto das pojecções da actividade segundo todas as diecções possíveis num plano constitui a infomação necessáia que pemite econstui a imagem nesse plano. O esultado final do pocesso de econstução é a colecção de todos os planos econstuídos (que, como veemos em 2.4.6, são 2N-1 no modo 2D, onde N é o númeo de anéis do detecto), cujo empilhamento segundo o eixo Z gea o volume da imagem final Sinogamas no modo 3D No modo 3D também se usam sinogamas paa o amaenamento dos dados no fomato de histogama, mas que incluem a contagem de coincidências em LORs definidas po cistais localiados em anéis afastados. Assim, paa além dos planos paalelos aos anéis do detecto definidos no modo 2D, no modo 3D constoem-se também sinogamas elativos a planos oblíquos elativamente aos anéis do detecto. Cada sinogama oblíquo egista as coincidências em todas as LORs definidas ente dois anéis difeentes do detecto (fig. 2.17); num sistema com N anéis, pode-se constui um máximo de N 2 sinogamas paa uma aquisição 3D, po oposição aos 2N-1 sinogamas do modo 2D (ve 2.4.6). É então necessáio no modo 3D especifica não só a posição do sinogama segundo o eixo Z do detecto, mas também a sua inclinação elativamente ao eixo; esta última é usualmente dada em temos da difeença ente os dois anéis em coincidência, = 2 1, onde é um inteio que enumea a posição do anel no eixo do detecto (fig. 2.17). A coodenada axial desse plano é a posição média dos dois anéis, sendo dada po = d Z. (4) 2 onde d Z é a lagua de cada anel. De foma semelhante ao que acontece paa o modo 2D, os sinogamas 3D de um objecto são agupados numa mati s 3D (,,, ), agoa quadidimensional, que contém todos os sinogamas adquiidos, oblíquos e não oblíquos. A oganiação dos sinogamas em função de e seá efeida em maio detalhe em d = 2 1 (>0 neste caso) 1 Figua 2.17: Esquema das LORs de um sinogama oblíquo, e espectiva definição dos valoes de e paa esse sinogama. (adaptado de [Defise 1998])

5 2. Tomogafia po Emissão de Positões (PET) 26 Nos sinogamas 3D, a definição das coodenadas e é feita com o auxílio de um sistema de eixos OX Y Z odado elativamente ao sistema OXYZ (fig. 2.14b) segundo os ângulos aimutal [0, π[ 13 e co-pola θ 14 [0, π[ indicados na figua 2.18a. O ângulo copola θ pode epesenta uma foma equivalente a de expimi a inclinação do sinogama, dado que as LORs coespondentes à posição adial cental paa todos os ângulos aimutais (localiadas na coluna cental do sinogama) faem um ângulo π θ com o eixo do detecto (fig. 2.18b). Paa um sinogama com inclinação e coodenada axial, cada linha agupa LORs que faem o mesmo ângulo com a diecção vetical, OY, medido no plano OXY (fig. 2.18b); essas LORs não são estitamente paalelas ente si, e, à excepção da LOR cental, definem um ângulo com o eixo do detecto que é infeio a π θ (i.e. são mais inclinadas do que a LOR cental). π θ y θ y x (a) (b) Figua 2.18: (a) Definição do sistema de eixos OX Y Z obtido po otação do sistema OXYZ solidáio com o detecto segundo os ângulos aimutal e co-pola θ. Repae-se que enquanto que no modo 2D a diecção de cada LOR com coodenada aimutal é coincidente com a diecção do eixo OY (ve fig. 2.14a), a intodução da coodemada co-pola θ no modo 3D fa com que a diecção de uma LOR com coodenadas angulaes (,θ) passe a se coincidente com a diecção do eixo OZ. (adaptado de [Badawi 1998]) (b) Esquema das LORs agupadas numa linha de um sinogama com inclinação e coodenada axial. Todas as LORs definem o mesmo ângulo com o eixo OX, ângulo esse medido no plano OXY; a localiação dos anéis implica que essas LORs não sejam paalelas ente si, faendo um ângulo com o eixo do detecto que é decescente à medida que se afastam do cento do FOV. (adaptado de [Defise 1998]) O facto de cada sinogama adquiido no modo 3D não defini diectamente um plano, como acontece no modo 2D, leva a que seja muitas vees pefeível utilia os dados do modo 3D sob a foma de pojecções paalelas da actividade do objecto em estudo 13 À pimeia vista, pode-se-ia pensa que o ângulo aimutal deveia pecoe todo o intevalo ente 0 e 2π paa que todas as LORs com inclinação e coodenada axial fossem contabiliadas. No entanto, como pode se tanto positivo como negativo, basta que se pecoa o intevalo ente o e π, já que as LORs com coodenadas (,+π,, ) e (,,, ) são as mesmas. 14 Mais uma ve, existem convenções difeentes paa defini o ângulo θ. Tal como fiémos com a definição de, paa θ tomamos a mais usada em PET, mesmo coendo o isco de gea alguma confusão com a designação habitual do ângulo pola em sistemas de coodenadas esféicas.

6 2. Tomogafia po Emissão de Positões (PET) 27 [Defise 1998]. No modo 3D, estas pojecções são bidimensionais, geadas no plano OX Y definido pelas coodenadas angulaes e θ (fig. 2.19a), e função de (, y ). A elação ente todos os sinogamas s 3D (,,, ) e todas as pojecções p 3D (,y,,θ) é dada po p 3D( 3D x, y,, θ ) = s ( x,,, ), (5) onde as coodenadas(,y,,θ) das pojecções se elacionam com as coodenadas (,,, ) dos sinogamas de acodo com x = x y = cosθ =, (6) dz tanθ = RD x onde R D é o aio dos anéis do detecto. Quando o aio do FOV, R FOV, e o compimento do eixo do detecto são pequenos elativamente a R D, pode considea-se que as LORs agupadas numa linha de um sinogama elativa a um ângulo aimutal são todas paalelas e que faem todas o mesmo ângulo θ = actan( d Z /2R D ) com o plano OXY. Nesta apoximação, pode estabelece-se uma coespondência diecta ente essa linha e a linha de odenada y = cosθ na pojecção do objecto segundo os ângulos (,θ), tal como é indicado na figua 2.19b; a pojecção segundo (, θ) coesponde assim às linhas de coodenada de todos os sinogamas com difeentes coodenadas que faem um ângulo π θ com o eixo do detecto. Caso a apoximação efeida não seja válida, paa cada valo da coodenada adial é necessáio intepola os valoes egistados nas colunas espectivas de sinogamas com difeentes inclinações paa obte as pojecções paalelas. A econstução do volume da imagem final no modo 3D utilia todas as pojecções p 3D (,y,,θ) simultaneamente, o que significa que os algoitmos de econstução em 3D tabalham num espaço quadidimensional, e envolve um gau de sofisticação consideável face ao espaço bidimensional no qual opeam os métodos 2D, como veemos. sinogama paa =y /cosθ pojecção = 1 π Figua 2.19: (cima) Pojecção de um objecto geada no plano OX Y definido pelos ângulos (, θ). (dieita) Relação ente pojecções paalelas e as linhas de um sinogama oblíquo. (adaptado de [Defise 1998]) pojecção = 2 θ fixo, fixos