Provas finais. Prova final 1 1 Prova final 2 6 Soluções das Provas finais 10

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1 Pova final Pova final 6 Soluções das 0

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3 Pova final ESCOLA: NOME: N. O : TURMA: DATA: Cadeno (com calculadoa) 5 minutos Gupo I Paa cada uma das questões deste gupo, selecione a opção coeta de ente as altenativas que lhe são apesentadas. Considee uma amosta coespondente à idade, em anos, de pessoas: Qual é o valo de P 6? (A) (B) (, 5,,, 7, 5,,,, 9,, 6) (C) (D) Na figua, está epesentado o tiângulo [ABC]. Sabe-se que: AB 5,65 m AC,05 m ACB t 0, Qual é a amplitude, em gaus, aedondada às décimas do ângulo BAC? (A),0 (B), (C) 6,9 (D) 58,0 A C,05 m 0,º 5,65 m B Num eame, um aluno tem de esponde a oito peguntas de escolha múltipla com quato altenativas de esposta cada, estando apenas uma coeta. Quantas sequências difeentes de esposta eistem em que o aluno aceta eatamente a cinco questões quando esponde às oito? (A) 6 (B) 5 (C) 0 (D) 0 0 Gupo II Nas questões seguintes, apesente o seu aciocínio de foma claa, indicando todos os cálculos que tive de efetua e as justificações necessáias. Uma pessoa fez um empéstimo bancáio no valo de 500 euos e acodou em paga o valo do empéstimo em dez pestações mensais. Além dos 50 euos de cada pestação, deve paga, % de juos mensais pelo valo que ainda falta paga.. Moste que o valo do juo a paga em cada mês é um temo de uma pogessão aitmética e indique o temo geal dessa pogessão.. Detemine o total de juos pagos até paga todo o empéstimo.

4 5 Numa epeiência lança-se um objeto a uma dada altua, na vetical, e egista-se o tempo que demoa a atingi o solo. Seja a, a função definida po a(t) 8 - e t que indica a altua em metos do objeto após t segundos do início da epeiência. 5. Detemine a altua pecoida pelo objeto ao fim de um segundo. apesente o esultado, em metos, aedondado às décimas. 5. Considee, num efeencial o.n. O : pate do gáfico da função f, definida em IR 0, po f() 8 - e ; pate do gáfico da função g, definida em IR po g() ; os pontos A e B de inteseção dos dois gáficos; a abcissa do ponto B é maio do que a abcissa do ponto A. Detemine a áea da egião delimitada pelos dois gáficos. na sua esposta: epoduza, num efeencial, os gáficos de f e de g, no intevalo [0;,] ; indique as coodenadas de A e de B aedondadas às milésimas; equacione o poblema; detemine a áea da egião aedondada às centésimas; nos cálculos intemédios, se pocede a aedondamentos, conseve, no mínimo, quato casas decimais. Gupo I II Total Item Cotação (em pontos) a # 5 pontos

5 Pova final ESCOLA: NOME: N. O : TURMA: DATA: Cadeno (sem calculadoa) 05 minutos Gupo I Paa cada uma das questões deste gupo, selecione a opção coeta de ente as altenativas que lhe são apesentadas. 6 Considee um conjunto finito E, uma pobabilidade P em P(E) e dois acontecimentos possíveis A, B! P(E). Sabe-se que: P(A) 0,6 P(B) 0,5 P(A, B) 0,8 Qual é o valo de P(A B)? (A) 0,5 (B) 0, (C) 0, (D) 0, 7 Qual é o valo do (A) (B) - lim e -? " sin( - ) (C) - (D) - 8 Considee as sucessões (u n ) e (v n ) de temos geais: u n Sabe-se que lim(u n ) lim(v n ). Qual é o valo de k? (A) (B) n kn (k! IR{0}) e v n c m n (C) (D) 9 Qual é a máima distância ente o ponto de coodenadas (, ) e um ponto da cicunfeência ( )? (A) 5 (B) 6 0 Qual é o conjugado do compleo (A) - i (B) i - i? i (C) 7 (D) 8 (C) - i (D) - - i nln

6 Gupo II Nas questões seguintes, apesente o seu aciocínio de foma claa, indicando todos os cálculos que tive de efetua e as justificações necessáias. Considee, em C, a equação z - z z - 0. Sabe-se que: z 0 é uma das soluções; A, B, C e D são, no plano compleo, os afios dos compleos que são solução da equação. Detemine a medida da áea do quadiláteo [ABCD]. Considee, num efeencial o.n. Oz, o plano a de equação - z 8 0 e o ponto A de coodenadas (,, ).. Defina, po uma equação vetoial, uma eta que contenha A e seja paalela ao plano a.. Seja a eta com a dieção do veto de coodenadas (,, ) que contém o ponto A e que inteseta a no ponto B. Detemine AB. Considee a função f definida po: f() ln( - ) Estude a função f quanto à monotonia e à eistência de etemos elativos. Considee duas caias U e V e um conjunto de bolas de co azul e de co banca indistinguíveis ao tato. Na caia U, colocam-se 6 bolas azuis e bolas bancas e na caia V colocam-se bolas bancas e 8 bolas azuis. Realiza-se a seguinte epeiência: Lança-se um dado cúbico equilibado e numeado de a 6. Se sai a face ou a etiam-se duas bolas, em simultâneo, da caia V ; caso contáio, etiam-se, em simultâneo, duas bolas da caia U. Registam-se as coes das bolas que saíam. Qual é o valo lógico da afimação seguinte? É mais povável saíem duas bolas de coes difeentes do que duas bolas de coes iguais. 5 Considee um quadado [ABCD] de lado. C D D' B A B' Seja: a eta que passa em A e não inteseta o quadado nouto ponto; B e D os pés das pependiculaes dos vétices B e D paa a eta ;! E 0, ; a amplitude, em adianos, do ângulo fomado pelo lado [AB] e pela eta.

7 5. Moste que o compimento de [BlDl] é dado, em função de, po C() sinc m. 5. Detemine o compimento máimo de [BlDl] e intepete geometicamente o esultado. 6 Seja f a função definida po f() Estude a função f quanto à eistência de assíntotas não veticais ao seu gáfico. 6. Moste que eiste pelo menos um númeo eal c! ], [: f(c) c -. Gupo I II Total Item Cotação (em pontos) 6 a 0 5 # 5 pontos

8 Pova final ESCOLA: NOME: N. O : TURMA: DATA: Cadeno (com calculadoa) 5 minutos Gupo I Paa cada uma das questões deste gupo, selecione a opção coeta de ente as altenativas que lhe são apesentadas. Na figua, está epesentado o tiângulo [ABC]. A, cm 55º B 60º C Sabe-se que: AB, cm BAC t 55 ACB t 60 Qual é a medida, apoimada à décima, de [AC]? (A),9 cm (B),8 cm (C),7 cm (D),5 cm Considee, em C, o compleo z - i. Qual das seguintes opções pode epesenta o compleo z iz? (A) i 0, 6 5 e (C) i 605, 5 e (B) i 0, 6 5 e (D) i 9, 5 e Gupo II Nas questões seguintes, apesente o seu aciocínio de foma claa, indicando todos os cálculos que tive de efetua e as justificações necessáias. Um capinteio deve constui uma caia com a foma de paalelepípedo com tampa usando a quantidade mínima de madeia. Sabe-se que: o volume da caia é 900 dm ; uma das dimensões da caia é 5 dm. Indique, justificando, o valo lógico da seguinte afimação: A quantidade mínima de madeia é infeio a 585 dm. Nota: Na sua justificação, pode opta po apesenta o gáfico obtido na calculadoa, indicando toda a infomação que lhe pemita justifica a sua esposta. 6

9 Seja P a função que taduz um modelo paa a evolução da população na Tea dada po: P(t), e -005, t em que t epesenta o númeo de anos após 990 e P(t) epesenta a população em milhaes de milhão. Nos itens seguintes, apesente os esultados aedondados à décima.. Segundo este modelo, qual seá a população mundial em 00?. Considee a função f, definida paa > 0, po: f(),, e -005 O gáfico de f apesenta um ponto de infleão. Detemine as suas coodenadas. Gupo I II Total Item Cotação (em pontos) a # 5 pontos

10 Pova final ESCOLA: NOME: N. O : TURMA: DATA: Cadeno (sem calculadoa) 05 minutos Gupo I Paa cada uma das questões deste gupo, selecione a opção coeta de ente as altenativas que lhe são apesentadas. 5 Qual é a soma dos 5 pimeios coeficientes do desenvolvimento de ( ) 9? (A) (C) 8 (B) 5 (D) 9 6 Dado um conjunto finito E, uma pobabilidade P em P(E) e dois acontecimentos A, B! P(E), sabe-se que: P(A) P(A;B) P(B;A) Qual é o valo de P(B)? (A) (B) (C) (D) 8 7 Considee, num efeencial o.n. O, o gáfico de f() Sejam: A e B os pontos de inteseção do gáfico de f com o eio O ; C o ponto de inteseção das etas tangentes ao gáfico de f nos pontos A e B. Qual é o valo do poduto escala CA $ CB? (A) (B) 0 (C) (D) 8 Qual das seguintes epessões é equivalente a log, com a, b! IR \{}? b a (A) log a b (B) log b a (C) -log b a (D) -log a b 8

11 9 Qual é o valo de tan - tan? (A) (C) (B) (D) 0 Seja f, a função eal de vaiável eal, definida po f() -. Num efeencial o.n. O, o ponto (, -) petence ao gáfico de F pimitiva de f. Qual é a odenada do ponto de inteseção do gáfico de F com o eio O? (A) (B) - (C) - (D) - Gupo II Nas questões seguintes, apesente o seu aciocínio de foma claa, indicando todos os cálculos que tive de efetua e as justificações necessáias. i Considee, em C, o compleo z. i - Detemine os númeos compleos w, tais que w z e Apesente o esultado na foma tigonomética. i 5. Dado um conjunto finito E, uma pobabilidade P em P(E) e dois acontecimentos A, B! P(E), possíveis e independentes, pove que: P(A, B) P(A) # P(B) Na figua está epesentado, num efeencial o.n. Oz, o pisma quadangula egula [OABCDEFG]. z Sabe-se que: os pontos A, C e G petencem aos eios coodenados O, O e Oz, espetivamente; o ponto E tem coodenadas (, 6, -).. Esceva a equação eduzida da supefície esféica de cento no ponto E e que é tangente ao plano Oz. A D O G B E C F. Seja a o plano mediado de [EC]... Moste que a é definido pela condição - z... Seja a eta que passa no ponto R(-, 5, ) e é pependicula a a no ponto P. Detemine o valo de RP. Considee a função f definida em IR po f() e - -. Estude f quanto à eistência de assíntotas não veticais ao seu gáfico. 9

12 5 No efeencial o.n. O da figua, está epesentada a cicunfeência tigonomética. Sabe-se que: A e B são pontos de inteseção do cículo com os eios O e O, espetivamente; C petence a O, tal que OC ; P é um ponto do aco AB ; D é o pé da pependicula de P paa O ; i é a amplitude, em adianos, do ângulo AOP, i! ; 0, E. O B P i D A C Seja f a função que paa cada valo de i coesponde à medida de PB 5. Moste que f(i) 9 - sinci m. 5. Eiste um valo de i paa o qual f(i) tem o valo mínimo. Detemine, paa esse valo de i, a medida da áea do tiângulo [PDC]. 6 Considee a função f, eal de vaiável eal, definida po a - a se H f() ( com a! IR. se PC. Detemine a de foma que o teoema de Weiestass pemita gaanti a eistência de um mínimo e de um máimo absolutos da função f em [, ]. Gupo I II Total Item Cotação (em pontos) 5 a 0 6 # 5 pontos

13 Soluções das Pova final Cadeno (com calculadoa) Gupo I D C B Gupo II. Juos ao fim do.º mês: 500 # 0,0,00 Juos ao fim do.º mês: (500-50) # 0,0,00 -,0 7,80 Juos ao fim do.º mês: (500 - # 50) # 0,0,00 - #,0,60 Tata-se de uma pogessão aitmética em que o pimeio temo é,00 e a azão é -,0 u n 6, -,n. u, u 0 6, -, e, então, S a() 8 - e 5,87 e a(0) 8 - e 0 7, então, a(0) - a() 7-5,87,78.,7 m, Áea ( 8 e ) d, 05 d 8 e ] 05,, [ ln ] 05, , 598, u.a. 06, A (0,6; 6,8) 06, f O g B (,05; 0,96) Cadeno (sem calculadoa) Gupo I 6 B 7 D 8 A 9 C 0 A

14 Gupo II. z - z z - 0 (z - )(z ) 0 Como z 0 z - z e i z e ( k i ), com k! {0,, } z - Temos k 0 " z 0 e i z0 k " z e i k " z e i 5 z0 i - i O quadiláteo é um losango cuja áea é A D # d Como D (-(-)) e d #, vem A. as coodenadas do veto nomal nv ao plano a são (,, -). # u.a. As coodenadas de um veto com a dieção pependicula é, po eemplo, (,, ), pelo que a equação vetoial seá (,, z) (,, ) k(,, ), com k! IR.. A equação vetoial da eta é (,, z) (,, ) k(,, ), com k! IR. Temos, então, k, k e z k. vem, assim, k k k 8 0 k k B tem as coodenadas (,, ) e AB 0 (- ). D f {! IR: - > 0}, pelo que! ], [. f() ln( - ) fl() ( - ) ( - )( - ) Dado que! ], [, então: ( - ) ( - ) -( - ) 0 - fl() 0 - f Má Temos, então, que f tem um máimo absoluto em, é estitamente cescente paa! ], ] e é estitamente decescente paa! [, [. Sejam: A: «Escolhe a caia U» B: «Escolhe a caia V» D: «As bolas saídas são de co difeente» P(A) e P(B) e P(D) P(A) # P(D;A) P(B) P(D;B) 6 8 C # C # 6# C# C # 8# 6 Como P(D;A) 0 e P(D;B) C 0 # 9 5 0, C 0 # 9 5 vem, então: P(D) # # Como P(D) <, então, é mais povável saíem bolas de coes iguais e conclui-se que a afimação é falsa.

15 5 5. AB ' cos e AD ' cosc - m sin(), então, B 'D' sin cos. Temos, então, C() sin cos. Como sin cos esin# cos # o csin# cos cos# sin m sinc m vem C() sinc m c.q.d. 5. O compimento máimo de [BlDl] ocoe quando C fo máimo, ou seja, quando sinc m. Então, C é máimo quando e o valo máimo de [BlDl] é. [BlDl] é máimo quando fo paalelo à diagonal do quadado e tem igual valo D f {! IR: - H 0}, pelo que! ]-, -], [, [ Assíntotas hoizontais: - lim f ( ) lim _ - - i lim " " " lim 0 - " lim f ( ) lim _ - - i " - " A eta de equação 0 é assíntota hoizontal ao gáfico de f. _ - i_ - i - Assíntotas oblíquas: f ( ) _ - - i lim lim lim e - - o " - " - "- - lim f - " - "- p - lim e- - o - (- ) lim (( f ) - ) lim _ i lim _-- - i " - " - "- - _ - i_ - - i - lim _ - i - lim " - " lim "- A eta de equação é assíntota oblíqua ao gáfico de f. Concluindo, as etas de equação 0 e são assíntotas não veticais ao gáfico de f. 6. Seja g a função definida po g() f() - ( - ). A função g é contínua em [, ], uma vez que a função f é contínua e g é a difeença de f com uma função contínua ( - ). g() f() > 0 e g() f() < 0 Potanto, pelo teoema de Bolzano-Cauch, eiste pelo menos um númeo eal c no intevalo ], [, tal que g(c) 0. Como g(c) 0 f(c) - (c - ) 0 f(c) c -, podemos conclui que eiste pelo menos um númeo eal c no intevalo ], [, tal que f(c) c -.

16 Pova final Cadeno (com calculadoa) Gupo I B D Gupo II 60 V dm 60 dm dm A() (5 5 ) A() 0 0 A() A() Al() 0 -, então, Al() Dado que Am() > 0, A tem um mínimo em A( 5) 0 0( 5) ,8 dm a O A afimação é vedadeia.. t P(0) 0, milhaes de milhão - 005, # 0, e. Fazendo a, b, e c -0,05, obtém-se, sucessivamente, f() a be c c - abce e fl() ( be c ) - abce ( be ) ab ce fl() c ( be ) c - abc e abce c ( be ) c c c c - abc e - ab ce ab ce c ( be ) c c c fl() 0 -abc e c ab c e c 0 - be c 0 e c c -ln b b -ln b c ln f c - b m a a a a c ln b ce o lne o be c be b b b -ln, Substituindo os valoes iniciais, vem -0, 05 P.I(,) (7,; 5,5). 7, e a 5,5.

17 Cadeno (sem calculadoa) Gupo I 5 C 6 D 7 B 8 A 9 C 0 D Gupo II z i i -- i- i - i # - i i - - i vem w z e i 5 - i i i Temos, assim: k 0 " w 0 k " w k " w e i e i e i e i e i e, então, w e kn i, k! {0,, }. São os compleos 6 e i, 6 e i e 6 e 7 i. P(A, B) - P(A, B) - [P(A) P(B) - P(A B)] - P(A) - P(B) P(A B) - P(A) - P(B) P(A)P(B) [ - P(A)] - P(B)[ - P(A)] P(A) - P(B)P(A) P(A)[ - P(B)] P(A) # P(B) c.q.d.. ( - ) ( - 6) (z ).. ( - ) ( - 6) (z ) ( - 6) z - z 0 - z - - z c.q.d... : (,, z) (-, 5, ) k(, 0, -), k! IR (,, z) (- k, 5, - k), k! IR, substituindo em a, vem k - k k 7 k e vem P c, 5, m RP c m c - m c m c- m - lim f( ) lim ( e - ) " " - - e lim f( ) lim ( e - ) lim c " - " - e lim d - - n " 7 - e - m lim -c m - "- "- O gáfico de f não tem assíntotas hoizontais. - f ( ) e lim lim c - m " " - lim (( f ) - ) lim ( e - ) - " " A eta de equação - é assíntota oblíqua ao gáfico de f. - - f ( ) e e e lim lim c - m lim c- - m lim d n "- "- "- " - A eta de equação - é a única assíntota não vetical ao gáfico de f. 5

18 5 5. PC sin i ( - cos i) 5 - cos i e PB cos i ( - sin i) - sin i assim, f(i) - sin i 5 - cos i 9 - (sin i cos i) 9 - esini# # cos io 9 - csini # cos sin # cos im 9 - sinci m c.q.d. 5. f(i) é mínimo quando sinci m fo máimo, ou seja, quando i i Paa esse ângulo, DC - e - o # e PD, então, a áea é igual a É possível aplica o teoema de Weiestass se f fo contínua em [, ]. A função f é contínua em se eisti Temos f(), lim f ( ). " - u.a. lim f ( ) e lim f( ) lim ( a - a) a - a " - " ", temos que: Paa eisti limite em, então, lim f( ) lim f( ) - " " a - a a 0 a se H Como a > 0, então, a e vem: f() ( se 6