S C S B S P. Resposta: B. Resolução. (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z (xy + xz + yz) temos. (x + y + z) 2 = (x + y + z) 2 = 18

Transcrição

1 MATEMÁTICA A pavimentação indicada na fotogafia possui simetia otacional de 90 e é fomada po quadados, cículos e figuas com a foma. Em elação ao desenho feito sobe a fotogafia, sabe-se que A,, C e D são centos dos cículos, e que M = MN = m. Fotogafia da calçada do Palácio Galveias, em Lisboa, Potugal. Em um plano totalmente ecobeto po epoduções completas do quadado ACD indicado na figua, a azão ente a áea peenchida com ladilhos petos e a áea peenchida com ladilhos bancos é igual a A D 0 π π 0 + π a) b) c) + π + π π + π 0 π d) e) π π A AV P P N M M Q C O quadado PQRS tem vetices nos pontos médios de MTUV, lados medindo em m e áea S PQRS =. = metos quadados. A áea de cada quato de cículo, em m, é S C =. π. π = ) A áea banca de cada ladilho é S =. S C + S MTUV S PQRS π =. + 8 = + π metos quadados ) A áea peta de cada ladilho é S P = S ACD S = 8 (π + ) = π Se + + z = + z + z = 6, então um possível valo paa a soma + + z é a) 6. b). c). d). e). S Desta foma, P π = S + π Resposta: Lembando que ( + + z) = + + z + ( + z + z) temos D S D U O R N Q T C C ( + + z) = ( + + z) = z = Resposta: D ) ACD e MTUV são quadados cujas diagonais medem espectivamente 6 m e m. Suas áeas, em m 6. 6, são S ACD = = 8 e. S MTUV = = 8 INSPER Julho/06

2 Um tanque, inicialmente vazio, tem a foma de pisma tiangula egula e suas paedes têm espessuas despe - zíveis. Após algum tempo despejando água no tanque, um cano de vazão m po minuto o encheu pacialmente, tendo a água ocupado o espaço de um pisma tiangula egula, confome indicado na figua. ) Os volumes, em metos cúbicos, do tanque (V T ), da água (V A ) e da pate estante do tanque (V R ) são tais que: V T = S AC. 6 =. 6 = 8 V A = S ADE. 6 =. 6 = e V R = V T V A = 8 = 6 ) O tempo necessáio paa completa o tanque é m m 6m 6 m 6 = min = 5 min e 0 s. m /min Funcionando na mesma vazão, o tempo necessáio paa que o cano acabe de enche o tanque é de 5 minutos e t segundos, sendo que t é um númeo no intevalo a) [, ]. b) [, ]. c) [5, 6]. d) [7, 8]. e) [9, 59]. C Assim, t = 0 Resposta: É possível demonsta que o polinômio + + P() = é uma boa apoimação da função f () = e paa valoes de póimos de zeo. Usando essa m D m A E infomação, o valo apoimado de 0 e é a),05. b),06. c) 0,78. d) 0,60. e) 0,55. ) Sendo e L as medidas, em metos, dos lados dos tiângulos equiláteos ADE e AC, bases dos pismas temos: L = = e = L = As áeas desses tiângulos são espectivamente. S ADE =. = = e L. S AC = = = 0 e = e 0 = f P = 0 e + + =. =,05 Resposta: A = INSPER Julho/06

3 5 Quato moedas de 5 centavos e quato de 50 centavos são mistuadas ao acaso e colocadas em uma fila. A pobabilidade de que a pimeia e a última moeda dessa fila sejam de 50 centavos é igual a 7 9 a) b) c) d) e) Eistem P, 8 = = 70 fomas difeentes de compo a fila e P ; 6! 6 = = 5 fomas de posiciona as!.! moedas do meio da fila, tendo fiados uma moeda de R$ 0,50 em cada etemo da fila. 6 8!!.! 5 A possibilidade desse fato ocoe é = 70 Resposta: C O númeo de paes odenados (,) tais que e petençam ao conjunto {,, 5, 7,..., 999}, com >, é igual a a) b) c) d) e) No plano catesiano otogonal de oigem O (0, 0) estão epesentadas: uma cicunfeência λ, tangente à eta em T e ao eio das odenadas; o tiângulo etângulo OAT, com A(6, 0) e um ângulo eteno de medida 0. Sabe-se, ainda, que passa pela oigem do plano. Nas condições dadas, o aio de λ tem medida igual a a) 5. O T 0º 6 b). c). d) e) A 6 Como no conjunto dado eistem 000 númeos C distintos todos ente si, quaisque dois paes que se considee tem sempe um maio que o outo. R asta coloca-los na odem (; ) com >. Assim, o 000 númeo de paes é C 000; = = Resposta: C O 0º 0º 0º 6 T 0º A (6;0) ) No tiângulo OAT, etângulo em T, temos: OT OT cos 0 = = = OT = OA 6 INSPER Julho/06

4 ) No tiângulo OTC, etângulo em T, temos: CT R tg 0 = = = R = OT Resposta: C 8 Em uma malha, fomada po quadados de lado medindo cm, foam taçados dois segmentos paalelos, tendo um deles 7 pontos em destaque, e o outo 6, confome indica a figua. cm cm ) A tabela a segui mosta os possíveis valoes de k e m, os segmentos possíveis e o númeo de tapé - zios paa cada caso m k m k 5 A ou DE númeo de tapézios QT = C, CD, EF e FG PS ou RT = 8 D ou EG PQ ou QS = 5 AD, E, CF e DG QR ou RS = 8 Desta foma, o númeo total de quadiláteos atendendo as condições estabelecidas é = Resposta: 9 Um quadiláteo deve se desenhado sobe essa malha de maneia que tenha os quato vétices dente os pontos destacados dos segmentos. O quadiláteo deveá te apenas um pa de lados paalelos, e áea igual a cm². O total de quadiláteos difeentes que podem se dese - nhados atendendo às condições estabelecidas é igual a a) 9. b). c) 9. d). e). A C D E F G P Q R S T U ) O quadiláteo em questão seá sempe um tapézio, não paalelogamo, de base sobe AG medindo m cm e base sobe PU medindo k cm, com m k. Como todos tem áea de cm devemos te: (m + k). = m + k = 6 unidades INSPER Julho/06 Das afimações a segui, apenas uma é falsa. i. Andé é mais velho do que uno; ii. Cláudio é mais novo do que uno; iii. A soma das idades de uno e Cláudio é igual ao dobo da idade de Andé; iv. Cláudio é mais velho do que Andé. v. Diego tem um ano a menos do que Andé. Se todas as idades são númeos inteios e duas pessoas não têm a mesma idade, então, necessaiamente, a) Andé é o mais velho dos quato. b) uno é o mais novo dos quato. c) Diego é o mais novo dos quato. d) uno é mais velho do que Cláudio. e) uno é mais velho do que Diego. ) Indiquemos a fase é mais velho do que po > e a fase e mais novo do que po <. ) As duas pimeias fases não podem se ambas vedadeias pois teíamos: a > b c < b c < b < a c < a b + c < a

5 Desta foma, a soma das idades de uno e Cláudio é meno do que o dobo da idade de Andé, e Cláudio seia mais novo do que Andé. As fases (iii) e (iv) seiam ambas falsas. Impossível. ) Se a (i) fo falsa e todas as outas foem veda - deias teíamos b > a c > a b + c > a, contaiando a fase ) Assim (i) é vedadeia, (ii) é falsa e todas as outas são vedadeias. Uma possibilidade é a mostada na figua abaio; Resposta: 0 Quinze bolas esféicas idênticas de bilha estão pefei - tamente encostadas ente si, e pesas po uma fita total - mente esticada. A figua mosta as bolas e a fita, em vista supeio. A medida do aio de uma dessas bolas de bilha, em centímetos, é igual a a). b) +. c). d). e). uno Diego Andé D A E C Cláudio cm cm idades Se fo a medida do aio de uma dessas bolas então o lado AC do tiângulo equiláteo AC mede 8, a altua H 5 8 AH, em cm mede = e, temos: DE = DA + AH + HE = + + = + = = ( ) =. + ( ) Assim, = = Resposta: E + = Em um gupo de 000 pessoas, 70,0% possuem geladeia, 85,0% possuem apaelho celula e 5,% possuem automóvel. O meno númeo possível de pessoas desse gupo que possuem geladeia, apaelho celula e automóvel é igual a a). b) 6. c) 8. d) 0. e). Sejam G, C e A os conjuntos de pessoas que possuem geladeia, celula e automóvel espectivamente. Assim, n(g) = 70%. 000 = 00 n(c) = 85%. 000 = 700 n(a) = 5,%. 000 = 90 Como n(g) + n(c) = 00, o númeo de elementos de G C é, no mínimo, 00. Teíamos, então o seguinte diagama G (00) 00 C (700) Se (G C) fo subconjunto de A e (C G) fo subconjunto de A, A possuiá no mínimo = 900 elementos. Como n(a) = 90, a intesecção de C, G e A tem, no mínimo elementos. Resposta: A A INSPER Julho/06

6 Na eunião de planejamento estatégico de uma empesa, na qual compaeceam 0 pessoas, nem todos os patici - pantes se cumpimentaam. Se cada um dos homens cumpimentou apenas 6 mulhees e cada uma das mu - lhees cumpimentou apenas homens, podemos conclui que o númeo de mulhees pesentes foi a) 0 b) 8 c) 6 d) e) Sejam h e m o númeo de homens e mulhees na festa. h + m = 0 h + m = 0 6 h = m h m = 0 Resposta: Teto paa as questões de a. Matizes de Vandemonde são matizes quadadas em que os elementos ao longo de cada linha fomam pogessões geométicas de pimeio temo igual a, não necessa - iamente com a mesma azão paa cada linha. Po eemplo, a matiz a segui, de odem, é de Vandemonde: = Seja V uma matiz de Vandemonde de odem em que a PG fomada com os elementos da.ª linha tem azão, a PG fomada com os elementos da.ª linha tem azão e a PG fomada com os elementos da.ª linha tem azão O deteminante da matiz V é igual a a) 6. b) 0. c) 6. d) 0. e) 6. INSPER Julho/ h = m = 8 A matiz consideada é = O deteminante dessa matiz é det = ( ) ( ) ( ) =. ( ). ( 5) = 0 Resposta: D Considee a matiz X, do tipo, tal que a V. X = b, sendo a, b e c constantes eais. c O valo do elemento que ocupa a.ª linha de X é necessa - iamente igual a a + c a c a). b). c) 0. d). e) b + c. a a V. X = b 9. = b c z c D = = ( ) ( ) ( ) = 0 e a D = b 9 = b + 9a + c b a 9c = c temos: z = a + + 9z = b + z = c 9 = 5a 5c = 5(a c) D 5(a c) a c = = = D 0 Resposta: D

7 5 A Um paalelepípedo eto-etângulo de aestas medindo, e 5 está epesentado no sistema otogonal z como mosta a figua. z D H,5 0 C P 5 F A G D 0 E C O ponto P, de coodenadas (;,5; ), solução do sistema dado, petence à face DCGH. z Considee cada ponto desse sistema como uma tena (,, z), epesentada maticialmente po meio do veto coluna. z H Sendo assim, a solução da equação maticial. = epesenta, nesse 0,5,5 z sistema de eios, um ponto petencente à a) egião inteio ao paalelepípedo. b) egião eteio ao paalelepípedo. c) face AFE do paalelepípedo. d) face CGF do paalelepípedo. e) face DCGH do paalelepípedo ,5. =. +. 0,5 = 0,5, ,5,5 =,5 = =, =,5 e z = z G F 5 Resposta: E 6 Cada lado do polígono indicado na figua mede 0 cm e seus ângulos intenos têm medidas de 5, 90, 5 e 70, como mosta a figua. A áea desse polígono, em cm², é igual a a) 500. b) 50. c) 00. d) 50. e) 00. A 0 0 5º D 5º 0 C O polígono da figua é equivalente a 0 losangos conguentes ao losango ACD. Como a áea desse losango é, em cm, é: sen 5 S ACD =. = 00. = 50, A áea do polígono é = 500 centímetos quadados. Resposta: A INSPER Julho/06

8 7 Em um toneio de adez disputado po sete mulhees, cada uma joga com cada uma das outas uma única vez. Em cada patida, a ganhadoa acumula pontos, a pededoa acumula zeo ponto e, em caso de empate, cada jogadoa acumula ponto. A tabela a segui indica todos os esultados do toneio, eceto o esultado da última patida, ente Elisa e Fenanda, que ainda não foi disputada. Nome Patidas jogadas Patidas ganhas Patidas empatadas Patidas pedidas Pontos acumulados Ana ianca Camila 6 7 Daniela 6 0 Elisa 5 Fenanda 5 0 Gabiela A patida ganha po Elisa, que está indicada na tabela, foi sobe a) Gabiela. b) Daniela. c) Camila. d) ianca. e) Ana. Nome Patidas jogadas Patidas ganhas Patidas empatadas Patidas pedidas Pontos acumulados Ana ianca Camila 6 7 Daniela 6 0 Elisa 5 Fenanda 5 0 Gabiela ) Camila e Gabiela tiveam um empate cada uma. Se o empate tivesse sido ente elas, Elisa não teia com quem empata. Assim, Camila e Gabiela não empataam ente si e sim com a Elisa. ) ianca só pedeu paa Ana, que não pedeu nenhuma patida. Assim, não foi dela que Elisa ganhou. ) Como ainda não jogou com Fenanda, so pode te ganho de Daniela. Resposta: INSPER Julho/06 8

9 Teto paa as questões de 8 a 9. A figua ao lado epesenta os gáficos das funções f() = sen(), g() = cos(), h() = cos(), definidas no intevalo [0, π] O valo máimo da função d() = h() g() é a) 0,5. b) 0. c). d),5. (e). ) Consideando cos() como vaiável, o gáfico de d() é do tipo d () ) Sendo h() = cos() e g() = cos temos d() = h() g() = cos () cos = cos cos, que é uma função de.º gau em cos (). - - cos () Desta foma, o valo máimo de d() é. Resposta: E 9 INSPER Julho/06

10 9 Soteando-se aleatoiamente um númeo eal do intevalo [0, ], a pobabilidade de que ele satisfaça a desigualdade cos() sen() cos () é igual a 5 a) b) c) d) e) A figua ao lado epesenta os gáficos das funções f() = sen(), g() = cos(), h() = cos(), definidas no intevalo [0, π] h() = cos() g() = cos() f() = sen() ) Sendo f() = sen(), g() = cos () e h () = cos (), temos: 5π 5π cos () sen () cos () g() f() h(), como se vê assinalando no gáfico. 6 Este intevalo tem compimento 5π 5π 5π 0π 5π = = 6 INSPER Julho/06 0

11 ) Como no intevalo [0, π] têm compimento π, a pobabilidade do númeo eal soteado aleatoiamente no intevalo [0, π] satisfaze a inequação é 5π 5 P = = π Resposta: C Teto paa as questões de 0 a. Sejam e dois númeos eais positivos. Definimos as seguintes médias: média aitmética, denotada po MA(,), calculada como a metade da soma ente e ; média geomética, denotada po MG(,), calculada como a aiz quadada do poduto ente e ; média hamônica, denotada po MH(), calculada como o inveso da média aitmética ente os invesos de e ; 0 Em um concuso público, o citéio de classificação é obte nota final maio ou igual a 0, em uma escala de 0 a 6. A nota final é calculada como a média geomética ente duas notas: a da pova de conhecimentos geais e a da pova de conhecimentos específicos, ambas na mesma escala de 0 a 6. As povas são aplicadas em dias difeentes, sendo a pimeia de conhecimentos geais. De acodo com o cité - io descito, eiste uma nota mínima a se atingida nessa pova, caso contáio o candidato estaá automaticamente desclassificado, independentemente da nota que venha a tia na pova de conhecimentos específicos. O valo dessa nota mínima é a) 0. b) 5,75. c) 6,00. d) 6,5. e) 0,00. ) Sendo a nota de conhecimentos geais e a nota de conhecimentos específicos de um candidato, paa se classificado o candidato deveá te ) Se o candidato tive a maio nota possível em conhecimentos específicos ( = 6), então ,5 6. Desta foma, o candidato estaá automaticamente desclassificado se em conhecimentos geais tive uma nota infeio à 6,5. Resposta: D Sejam a e b dois númeos eais e positivos tais que MH(a,b) = A. O valo de a em função de b e a condição que se deve impo sobe o valo de b paa que isso aconteça são, espectivamente, Ab A Ab A a) e b b) e b b A b A A A c) e b d) e b A A e) a = A b e b 0. + a b = = MH(a; b) A A A + = Ab + Aa = ab a b Ab Ab = a(b A) a =. b A Como a, b, e A são eais e positivos, devemos te b A 0 b Resposta: A A 0 MG(;) INSPER Julho/06

12 Teto paa as questões de a. A figua a segui eibe um techo do gáfico da função f cuja lei é f() =. = f (),9,8,7,6,5,,,, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95,05,,5,,5 Uma mecadoia teve seu valo eajustado, sofendo um desconto de 0%. Um mês após esse desconto, ela sofeu um aumento de 0% e, após outo mês, outo aumento de 5%. Caso os eajustes fossem todos de mesmo valo pecen tual, paa que o efeito final sobe o peço da mecadoia fosse o mesmo, seiam necessáios tês a) aumentos de, apoimadamente, 0%. b) aumentos de, apoimadamente, %. c) aumentos de, apoimadamente, 6%. d) descontos de, apoimadamente, %. e) descontos de, apoimadamente, 5%. INSPER Julho/06

13 A figua a segui eibe um techo do gáfico da função f cuja lei é f() =. = f (),9,8,7,6,5,,,, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95,05,,5,,5 ) Seja t a taa de aumento mensal constante, equivalente a um desconto de 0% e dois aumentos consecutivos, um de 0% e outa de 5 %, sobe uma mecadoia que inicialmente custava C. Temos ( + t). C =,5.,0. 0,80 C ( + t) =, ) Pelo gáfico da função f() = temos =, =,06. Assim, ( + t) =, + t =,06 t = 0,06 = 6% Resposta: C INSPER Julho/06

14 Um veículo, após se etiado da concessionáia, passa a sofe uma desvaloização de 5% ao ano. Dessa foma 9 anos após a saída da concessionáia, a desvaloização total do veículo teá sido de, apoimadamente, a) 50% b) 0% c) 0% d) 0% e) 0% A figua a segui eibe um techo do gáfico da função f cuja lei é f() =. = f (),9,8,7,6,5,,,, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95,05,,5,,5 Sofendo uma desvaloização de 5% ao ano, o valo v, do veículo, após 9 anos seá de (0,95) 9. v = (0,95 ). v (0,85). v 0,6v, pois, pelo gáfico de f, 0,95 0,85 e 0,85 0,60. Se o veículo passou a custa 0,60 v houve uma desvaloização de 0%. Resposta: INSPER Julho/06

15 Teto paa as questões de a 5. Ao longo de um ano, a taa de câmbio de uma moeda X em elação a uma moeda Y foi dada pela seguinte função: (t ) f(t) =,65 +,5. cos π. sendo t o tempo, dado em meses desde o início do ano. Assim, t = 9 indica a taa no início de outubo, que ea de,65 unidades da moeda X paa uma unidade da moeda Y (note que esse valo da taa indica que no instante consi - deado a moeda X ea menos valiosa que a moeda Y). Ao longo do ano analisado, a maio taa de câmbio da moeda X em elação à moeda Y atingida e o instante em que isso ocoeu foam, espectivamente, a),65 e início de janeio. b),65 e início de maço. c),875 e início de janeio. d),875 e início de abil. e),875 e início de junho. 5 Houve um intevalo de tempo ao longo do ano consi - deado em que a moeda X deiou de se menos valiosa que a moeda Y. Esse intevalo teve duação de a) 5 meses. b) meses. c) meses. d) meses. e) mês. A moeda X deiou de se menos valiosa que a moeda Y, quando f(). Assim, (t ),65 +,5. cos. π. (t ),5 cos π. 0,65 (t ) cos π. (t ) A função f (t) =,65 +,5. cos π. (t ) seu valo máimo quando cos. π. = Assim, π. (t ) = k. π, com k. t = k t = k + tem No inteval [0; ] (t= 0 epesesenta início de janeio e t = início de dezembo) o único valo possível paa t é (início de Abil) ( ) Paa t =, temos f() =,65 +,5. cos π. = =,65 +,5. =,875 Resposta: D 5 π (t ) π + k. π π. + k. π 8 + k t 6 + k + k t 9 + k No intevalo [0; ] (t= 0 epesenta início de janeio e t = início de dezembo) o único valo possível paa t é. Potanto X deiou de se menos valiosa que a moeda Y em dezembo desse ano. Resposta: E INSPER Julho/06

16 Teto paa as questões de 6 a 7. Em uma disciplina de um cuso de Economia, os citéios paa que o aluno seja apovado são da seguinte foma: em vez de atingi uma média mínima ao longo do cuso, o aluno deve atingi equisitos mínimos em cada uma das povas. Dependendo da nota obtida na pova, o aluno estaá apovado, epovado ou condicionalmente apova - do (em elação àquela pova). Os citéios de nota são os seguintes: O aluno faz a ª pova, obtendo uma nota P: se P, o aluno estaá instantaneamente epovado, e não podeá continua o cuso; se P 5, o aluno deveá faze uma avaliação suplementa, obtendo uma nota AS; se AS 7, o aluno estaá instantaneamente epovado, e não podeá continua o cuso; se AS 7, o aluno é condicionalmente apovado na ª pova. se P 5, o aluno é apovado na ª pova. Paa os alunos que foam apovados (condicionalmente ou não) na ª pova, é aplicada uma ª pova, na qual eles obtêm uma nota P: se P, o aluno estaá instantaneamente epovado, e não podeá continua o cuso; se P 5, o aluno deveá faze uma avaliação suplementa, obtendo uma nota AS; se AS 7, o aluno estaá instantaneamente epovado, e não podeá continua o cuso; se AS 7, o aluno é condicionalmente apovado na ª pova. se P 5, o aluno é apovado na ª pova. Se o aluno fo condicionalmente apovado em ambas as povas, ele estaá epovado no cuso. Se fo condicio - nalmente apovado em apenas uma delas, seá avaliada a fequência: caso o aluno tenha compaecido a menos de 70% das aulas, estaá epovado, sendo apovado no caso contáio. Po fim, se o aluno fo apovado em ambas, ele estaá apovado no cuso, sem análise da fequência. 6 Um aluno tiou nota P =,8 e fez a ª pova. Quanto à sua fequência, sabendo-se que ele foi apovado no cuso, é necessaiamente vedadeio que o aluno a) compaeceu a pelo menos 70% das aulas. b) compaeceu a mais de 70% das aulas. c) faltou em pelo menos 0% das aulas. d) faltou em mais de 0% das aulas. e) não teve sua fequência analisada. ) Se o aluno teve nota P =,8 e fez a.ª pova, então ele fez a pova AS e teve nota maio ou igual a 7. Foi condicionalmente apovado em P. ) Tenso sido condicionalmente apovado em P e sabendo-se que ele foi apovado no cuso, pode-se conclui que foi apovado em P e teve pesença em pelo menos 70% das aulas, pois em qualque outa situação teia sido epovado. Resposta: A 7 Sabe-se que um aluno com 80% de fequência e que fez a ª pova foi epovado no cuso. Quanto às suas notas P e P, pode-se conclui que, cetamente, o aluno obteve a) P 5 e P 5. b) P 5 e P. c) P qualque e P. d) P 5 e P. e) P e P 5. ) Se o aluno fez a pova P, não foi epovado instan ta neamente na pimeia pova e, potanto, P. ) Quanto à segunda pova são as seguintes possibi - lidades a) P 5 e P o aluno teia sido epovado. INSPER Julho/06 6

17 b) P 5 e P 5 o aluno teia sido epovado. c) P 5 e P 5 o aluno teia sido apovado, pois tem 80% de pesença. d) P 5 e P o aluno teia sido epovado. e) P 5 e P 5 se AS 7, o aluno teia sido epovado se AS 7, o aluno teia sido apovado, pois tem 80% de pesença. f) P 5 e P 5 o aluno teia sido apovado. Desta maneia, se o aluno foi epovado pode-se dize que P e P 5. Resposta: E 8 Teto paa as questões de 9 a 0. Um fabicante de enfeites de festas infantis poduz uma peça decoativa usando esfeas idênticas de isopo, todas de aio medindo R. Paa isso, o pimeio passo da fabicação é dispo sobe uma supefície plana 9 dessas esfeas, sendo a vista supeio dessa disposição eibida na figua a segui. E 6R O quadiláteo tacejado eibido na figua anteio é um quadado. Note que duas das esfeas, E e E, foam destacadas. O póimo passo é dispo outas esfeas apoiadas sobe as da base de modo que cada uma tangencie das esfeas da base e das esfeas da ª camada. A vista supeio após a eecução desse passo é eibida na figua a segui. E 6R Considee as seguintes poposições: Quem espea sempe alcança Espea é uma vitude de todo sábio Se ambas as poposições foem vedadeias, pode-se conclui que a) quem não é sábio, nunca alcança. b) quem espea é sábio. c) os sábios sempe alcançam. d) quem alcança é sábio. e) mesmo sendo sábio, não se alcança. ) A afimação Espea é um vitude de todo sábio é equivalente a Quem é sábio sabe espea. Po fim, a última esfea, denotada po E, é colocada sobe a ª camada de modo a tangencia todas as suas esfeas, confome vista supeio eibida na figua a segui. E O esultado final está esquematizado em pespectiva na figua a segui, sendo destacadas as esfeas E, E e E mencionadas nos passos anteioes. E ) Se Quem é sábio sabe espea e Quem espea sempe alcança, então os sábios sempe alcançam. Resposta: C E E 7 INSPER Julho/06

18 9 Considee uma seção plana que passe pelos centos das esfeas E, E e E. A altenativa que melho epesenta essa seção é a) b) c) d) 0 O poduto final é acomodado em caias com o fomato de cilindo eto de altua 6R e de modo que a supefície lateal da caia tangencie quato das esfeas da base. Assim, apenas uma pate da capacidade da caia é efetiva - mente ocupada po isopo. A azão ente a capacidade da caia e o volume ocupado pelo isopo é a) b) c) 5 9 d) 6 e) e) A secção plana contendo os centos das esfeas E, E e E contém o cento de seis esfeas, sendo que cada lado do tiângulo, cujos os etemos são estes tês centos contêm tês centos de esfeas. As esfeas cujos centos estão no lado deteminado pelos centos de E e E são tangentes ente si. O mesmo acontece com as esfeas de cento sobe o lado que contém os centos de E e E. E E E 6R As esfeas cujos centos estão no lado que contém os centos das esfeas E e E não são tangentes ente si. Assim, a secção plana consideada é epesentada pela figua. R D C O R Resposta: D A R R INSPER Julho/06 8

19 ) Como se pode se na vista supeio da caia cilín - dica, o diâmeto desta caia (de aio ) é equiva - lente a diâgonal AC do quadado ACD, de lado R, mais dois R. Assim, = R + R = + R A dona de uma soveteia decidiu faze um enfeite no fomato de um picolé, como mosta a figua a segui. ) O volume da caia cilíndica é V c = π. 6 R e o A C volume das esfeas é V e =. π R. ) A azão ente estes volumes é: I H E D Vc Ve 6π = R = 56 π R 9 8 R = G F 9 = = 8 8 Resposta: E Teto paa as questões de a. Uma máquina cotadoa a lase é capaz de eecuta duas funções: cota e gava. Cota significa aplica o lase com intensidade e po tempo suficientes paa que a placa de mateial seja atavessada; gava significa aplica o lase bevemente sobe o mateial, de modo que sua supefície seja levemente queimada e assuma coloação mais escua que a do mateial. Uma gáfica ofeece os seviços dessa máquina a seus clientes, cobando da seguinte foma: R$ 0,0 po cm de gavação R$ 0,50 po cm de cote O mateial fica po conta do cliente, que deve leva a placa em tamanho compatível com a cotadoa. Sabe-se que: AC é um aco de cicunfeência de diâmeto AC; ACDI é um etângulo tal que DI = 0 cm e AI = 5 cm; EFGH é um etângulo tal que o lado HE está contido no segmento DI e os pontos médios de HE e DI coincidem. HE = cm e HG = 0 cm. Paa obte tal enfeite, a máquina pecisou eecuta sevi - ços tanto de cote, quanto de gavação. A pati da placa de madeia que a dona da soveteia levou, cotou-se o contono da figua (que eclui o segmento HE) e gavou-se a egião destacada em cinza. Consideando-se π =, o valo cobado paa eecuta tal seviço deve se igual a a) R$ 0,00. b) R$ 5,00. c) R$ 7,50. d) R$ 75,00. e) R$ 77,00. 9 INSPER Julho/06

20 A 5 5 C 5 5 Um cliente deseja eecuta um seviço que envolve tanto cote, quanto gavação. Paa isso, coloca a figua em um plano catesiano e esceve equações e inequações que a descevem. O contono que seá cotado é dado pelas seguintes equações: I H E 0 0 G ) O contono cotado pela máquina, em cm, tem compimento: AC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA = = π = = = 75 F O custo paa esse cote foi de 0,50 75 = 7,5 eais. D + =, com [,] e 0 =, com [, 0] =, com [0; ] Já a egião gavada é descita pelas seguintes inequações: +, com 0 e 0 +, com 0 e 0 Dente as altenativas a segui, a que melho epesenta o seviço eecutado é a) b) ) A áea gavada sobe a placa, em cm, é de = π = = 87,5 O custo desta gavação foi de 0,0 87,5 = 7,5 eais c) d) ) O custo total do tabalho ealizado pela máquina, em eais, é 7,5 + 7,5 = 75 eais. Resposta: D e) ) No plano catesiano a equação; a) + =, com [ ; ] e 0 epesenta uma semicicunfeência de cento na oigem, aio, situada nos pimeios quadantes INSPER Julho/06 0

21 - - - b) =, com [ ; 0] epesenta o segmento com etemos nos pontos ( ; 0) e (0; ) Assim, o seviço eecutado é melho epesentado po (-; 0) (0; -) - c) =, com [0; ] epesenta o segmento com etemos nos pontos (0; ) e (; 0) Resposta: A (0; -) (; 0) Teto paa as questões de a. A figua ao lado eibe os gáficos das funções f e g, ambas de domínio [0, π], cujas leis são, espectivamente: ) No plano catesiano as inequações; a) +, com 0 e 0 epesenta um quato de cículo com cento na oigem, aio e no pimeio quadante. f() = + sen e g() = log. 0 - b) +, com 0 e 0 epesenta um quato da cooa cicula com cento na oigem, limitada pelas cicunfeências de aios e, situada no segundo quadante. INSPER Julho/06

22 e) A figua que melho epesenta o gáfico da função m, cuja lei é m() =. f(), é a) Sendo f() = + sen, então b) - m() = f() =. + sen () = = + sen () = sen () = - O gáfico de m() é = sen() c) m = sen() - d) Resposta: A INSPER Julho/06

23 e) A figua que melho epesenta o gáfico da função h, cuja lei é h() = g (f()), é - - a) Sendo f() = + sen e g() = log temos: b) h() = g[f()] = g + sen () = = log + sen () - ) h só esta definida se + sen 0 c) - sen π, pois [0; π]. ) O logaítmo de base é uma função estitamente cescente. Assim, quando f() fo estitamente cescente, h seá estitamente cescente e quando f() fo estitamente decescente, h seá estita - mente decescente. - ) Quando f() se apoima de zeo, g() e, potanto, h() se apoima do infinito negativo, pois f(). d) ) Paa = 0, = π ou = π temos f() = e h() = g [f()] = g = log = π Paa =, temos f() = e h() = g[f()] = g[] = log = 0 INSPER Julho/06

24 A melho epesentação gáfica de h é c) t - f h h d) t 0 Resposta: E 5 Após a administação de um antibiótico, a população de bactéias causadoas de uma infecção passa a diminui a uma taa de 0% po hoa. Se a população inicial de bactéias é dada po 0, o gáfico que melho epesenta t, o tempo decoido em hoas após a administação do antibiótico, em função de, o númeo de bactéias ainda pesentes na infecção, é e) t a) t 0 b) t ) Diminui 0% po hoa significa que a cada hoa decoida o númeo de bactéias ainda pesente é multiplicado po 0,90. Desta foma, em função do tempo (t), o númeo de bactéias ainda pesente é dada po = 0. (0,90) t 0 ) = 0. (0,90) t = 0,90 t t = log 0 0,90 0 Paa = 0 temos t = log 0,90 0 = 0 0 INSPER Julho/06

25 ) A função que epesenta o tempo (t), em função de é logaítmica decescente, pois a base é meno que. O gáfico que melho epesenta a função é. t 0 0 Resposta: C 5 INSPER Julho/06

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