Generalidades sobres funções. ab, em que a pertence a A e b pertence a B.

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1 mata1 unções Poduto catesiano de A po B Genealidades sobes unções,, conjunto dos paes odenados, A B a b a A b B Gáico de uma unção ab, em que a petence a A e b petence a B. G A B é um gáico de uma unção de A em B quando e apenas quando paa todo o a A eisti um e somente um elemento b B a, b G. tal que Restição de uma unção ados os conjuntos A e B, uma unção A B e um conjunto C, uma estição de a C é a unção B C C A Função eal de vaiável eal É uma unção cujo domínio e conjunto de chegada estão contidos em omínio e conjunto de chegada No caso de uma unção eal de vaiável eal se deinida pela sua epessão algébica, convencionou-se que o conjunto de chegada é e que o domínio é o conjunto dos númeos eais paa os quais a epessão tem signiicado. Função injetiva, sobejetiva e bijetiva Seja a unção A B, é injetiva se e somente se, A, Nota ou,, A Uma unção é não injetiva se e somente se 1, 2 A, é sobejetiva se e somente se paa todo o y petencente a B, eisti um elemento petencente a A tal que y, ou seja, têm de coincidi os conjuntos de chegada e contadomínio B é bijetiva se é injetiva e sobejetiva Função composta adas as unções g g g g g g, g g Função invesa A e B, a unção composta de com g é a unção og g ada a unção A B, bijetiva de A em B, a unção invesa de é dada po elemento A tal que y. Relação ente as unções e 1 Os gáicos das unções e 1 1 Paidade de uma unção 1 B A B, tal que, tal que y B, 1 y é o único 1 são imagem um do outo pela eleão aial cujo eio é a eta de equação y é uma unção pa se e somente se,, é uma unção ímpa se e somente se,, geal@matematicaonline.pt 1 / 6

2 mata1 unções eslocamentos Tansomações do gáico de uma unção No eio Oy a Tanslação vetical associada ao veto, a ilatações/ Compessões a Contação na vetical de coeiciente a, se a 1 ilatação na vetical de coeiciente a, se a 1 Simetias Simetia em elação ao eio O eslocamentos a No eio O Tanslação hoizontal associada ao veto a, ilatações/ Compessões a Simetias Contação na hoizontal de coeiciente 1 a se a 1 ilatação na hoizontal de coeiciente 1 a se a 1 Módulos a Simetia em elação ao eio Oy Mantém os pontos de odenada não negativa e eetua uma simetia dos pontos de odenada negativa elativamente ao eio O Mantém os pontos de abcissa não negativa e eetua uma simetia dos mesmos elativamente ao eio Oy, etemos e concavidades de uma unção ada uma unção eal de vaiável eal e A, diz-se que é estitamente cescente em A se 1, 2 A, é estitamente decescente em A se 1, 2 A, é constante em A se 1, 2 A, é cescente, em sentido lato, em A se 1, 2 A, é decescente, em sentido lato, em A se, A, é monótona em A se é cescente ou decescente em A de uma unção aim Seja deinida, em, po a b, a é cescente em, se a é decescente em, se a geal@matematicaonline.pt 2 / 6

3 mata1 unções Função limitada ada uma unção eal de vaiável eal de domínio minoante de se, majoante de se M, um númeo M é um Uma unção que admite um minoante diz-se minoada e uma unção que admite um majoante diz-se majoada. Uma unção que é simultaneamente minoada e majoada diz-se limitada. Etemos absolutos e a, mínimo absoluto de se, a máimo absoluto de se, a ada uma unção eal de vaiável eal de domínio Noção de vizinhança a é ados um númeo eal e um númeo e um númeo eal positivo, designa-se po vizinhança de o intevalo, e epesenta-se po Etemos elativos V. ada uma unção eal de vaiável eal de domínio, tem um mínimo elativo (ou local) em a se eisti minimizante de um máimo elativo (ou local) em a se eisti maimizante de Concavidade de uma unção ada uma unção eal de vaiável eal, um dado intevalo P Q R, tem, tal que V a, a, e a é um, tal que V a, a, sendo a um I e quaisque tês pontos P, Q e R de abcissas em I que concavidade voltada paa baio se o declive da eta PQ é supeio do que o declive da eta QR concavidade voltada paa cima se o declive da eta PQ é ineio do que o declive da eta QR Um unção quadática é deinida po uma epessão do tipo 2 Pode se escita na oma a h 2 k, sendo, esta unção gaicamente b b h e k h 2a 2 4ac 4a Estudo da unção do tipo a h 2 k, a omínio Paidade se h, então é pa se h, então não é pa nem ímpa h é um eio de simetia se se se k se a se a Função quadática a b c, a, b, c com a. Contadomínio a, então k, a, então, k Zeos, então tem um zeo k, então tem dois zeos k, então não tem zeos k, então não tem zeos k, então tem dois zeos hk as coodenadas do vétice da paábola que epesenta se a, é decescente em, h h, e cescente em se a, é decescente em h, e cescente em, h Etemos se a, então k é um mínimo se a, então k é um máimo Concavidade se a, então tem concavidade voltada paa cima se a, então tem concavidade voltada paa baio geal@matematicaonline.pt / 6

4 mata1 unções Função deinida po amos Quando uma unção é deinida po epessões analíticas em dieentes pates do seu domínio, diz-se que a unção está deinida po amos. Eemplo 2 se 1 se 1 2 se 1 A unção módulo, deinida em po deinida po amos da seguinte oma As unções do tipo omínio Paidade se b, então é pa se b, então não é pa nem ímpa b é um eio de simetia Função módulo, pode se a b c podem se estudadas a pati da unção se se se c se a se a Contadomínio a, então c, a, então, c Zeos, então tem um zeo c, então tem dois zeos c, então não tem zeos c, então não tem zeos c, então tem dois zeos se se. Equações e inequações com módulos A esolução de equações e inequações com módulos esolvem-se aplicando as seguintes popiedades k k k, se k k k k k k k se a, é decescente em,b b, e cescente em se a, é decescente em b, e cescente em,b Etemos se a, então c é um mínimo se a, então c é um máimo Função polinomial Uma unção polinomial não nula é uma unção eal de vaiável eal que pode se deinida analiticamente po um polinómio com uma só vaiável. n n1 a a... a a onde a, a1,..., an 1 e an são númeos eais, a e n é um númeo inteio não negativo Função cúbica 1 n1 n 2 Uma unção do tipo a b c d, a é uma unção cúbica. Pode te um zeo, dois zeos ou tês zeos. geal@matematicaonline.pt 4 / 6

5 mata1 unções Seja 2 uma unção injetiva, a unção invesa de, Função aiz quadada 1, deine-se po 1 Os gáicos de unções do tipo omínio b, Paidade não é pa nem ímpa Seja a b c podem se obtidos a pati da unção uma unção injetiva, a unção invesa de, se se se c se a se a Contadomínio a, então c, a, então, c Zeos, então tem um zeo c, então tem um zeo c, então não tem zeos c, então não tem zeos c, então tem um zeo 1, deine-se po Função aiz cúbica. se a, é cescente em se a, é decescente em Etemos se a, então c é um mínimo e b o minimizante se a, então c é um máimo e b o maimizante Concavidade se a, tem concavidade voltada paa baio se a, tem concavidade voltada paa cima 1 Os gáicos de unções do tipo a b c podem se obtidos a pati da unção omínio Contadomínio. se a, é cescente em se a, é decescente em Paidade não é pa nem ímpa Etemos não tem etemos Zeos tem um zeo se a se a Concavidade, h, tem concavidade voltada paa cima h,, tem concavidade voltada paa baio, h, tem concavidade voltada paa baio h,, tem concavidade voltada paa cima geal@matematicaonline.pt 5 / 6

6 mata1 unções Opeações com unções adas duas unções eais de vaiáveis eal e g de domínio e, um númeo eal e um númeo acional, designa-se po unção-soma de com g a unção g g g g unção-poduto de com g a unção g g g g unção-quociente de com g a unção g g g g g unção-poduto de pelo escala a unção unção-potência de epoente de a unção ; o se é o conjunto de númeos eais paa os quais está deinido o se o se g geal@matematicaonline.pt 6 / 6