VERSÃO 1. Prova Escrita de Matemática A. 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/2.ª Fase EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 EXAME FINAL NACINAL D ENSIN SECUNDÁRI Pova Escita de Matemática A 1.º Ano de Escolaidade Deceto-Lei n.º 19/01, de 5 de julho Pova 65/.ª Fase 15 Páginas Duação da Pova: 150 minutos. Toleância: 0 minutos. 014 VERSÃ 1 Pova 65.V1/.ª F. Página 1/ 15

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3 Indique de foma legível a vesão da pova. Utilize apenas caneta ou esfeogáfica de tinta azul ou peta, eceto nas espostas que impliquem constuções, desenhos ou outas epesentações, que podem se, pimeiamente, elaboados a lápis, e, a segui, passados a tinta. É pemitido o uso de égua, compasso, esquado, tansfeido e calculadoa gáfica. Não é pemitido o uso de coeto. Deve isca aquilo que petende que não seja classificado. Paa cada esposta, identifique o gupo e o item. Apesente as suas espostas de foma legível. Apesente apenas uma esposta paa cada item. A pova inclui um fomuláio. As cotações dos itens encontam-se no final do enunciado da pova. Pova 65.V1/.ª F. Página / 15

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5 Fomuláio Geometia Compimento de um aco de cicunfeência: a^a- amplitude, em adianos, do ânguloaocento; - aioh Áeas de figuas planas Losango: Tapézio: Diagonal maio # Diagonal meno Base maio+ Base meno # Altua Polígono egula: Semipeímeto # Apótema Secto cicula: a ^a - amplitude, em adianos, do ânguloaocento; - aioh Áeas de supefícies Áea lateal de um cone: g^ - aioda base; g- geatizh Áea de uma supefície esféica: 4 ] - aiog Volumes Piâmide: 1 # Áeadabase # Altua Cone: 1 # Áeadabase # Altua 4 Esfea: ] - aiog Tigonometia sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= 1 - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ k l ] k!! 0,, n- 1+ e n! Ng n n n f Pobabilidades n = p 1 1+ f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh ^tg uhl = 1 1 ^ u e hl = ul e ul cos u ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R ^ln uhl = ul u log u au l l ^ h = uln a n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v 1 X 1 n+ vg. 0, 687 P] n- v 1 X 1 n+ vg , P] n- v 1 X 1 n+ vg. 0997, Regas de deivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` j v v ^ n n 1 u hl = nu - ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cosuhl = - ul sen u Limites notáveis limb1 + 1 l = e n u lim sen = 1 " 0 lim " 0 lim ln ^ + 1h = 1 " 0 lim " + lim " + e - 1 = 1 ln = 0 e p n =+ + ^a! R + ^n! Nh ^ p! Rh " 1, h " 1, h Pova 65.V1/.ª F. Página 5/ 15

6 GRUP I Na esposta aos itens deste gupo, selecione a opção coeta. Esceva, na folha de espostas, o númeo do item e a leta que identifica a opção escolhida. 1. Seja W, conjunto finito, o espaço de esultados associado a uma epeiência aleatóia. Sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W). Sabe-se que: A e B são acontecimentos independentes; P^Ah= 04, PA ] + Bg= 048, Qual é o valo de P(B)? (A) 0,08 (B) 0,1 (C) 0, (D) 0,6. Na Figua 1, está epesentado, num efeencial o.n. yz, um octaedo [ABCDEF], cujos vétices petencem aos eios coodenados. z A Escolhem-se, ao acaso, tês vétices desse octaedo. D Qual é a pobabilidade de esses tês vétices definiem um plano paalelo ao plano de equação z = 5? (A) 1 6C E B C y (B) 4 6C F (C) 8 6C Figua 1 (D) 1 6C Pova 65.V1/.ª F. Página 6/ 15

7 10. Um dos temos do desenvolvimento de c + m, com! 0, não depende da vaiável Qual é esse temo? (A) (B) 8064 (C) 104 (D) 5 4. Seja g uma função, de e6, definida po g ^ h = ln ^e h Considee a sucessão estitamente cescente de temo geal 1 1 n n = a + n k Qual é o valo de lim g^ n h? (A) + (B) e (C) 1 (D) - 5. Considee, paa um ceto númeo eal k, a função f, contínua em, ; E, definida po 4 Z ] cos se # 1 4 ] f^h= [ ] ] k se = \ Qual é o valo de k? (A) 0 (B) 1 (C) (D) 4 Pova 65.V1/.ª F. Página 7/ 15

8 6. Na Figua, está epesentada, num efeencial otogonal y, pate do gáfico da função gll, segunda deivada de uma função g y g'' Figua Em qual das opções seguintes pode esta epesentada pate do gáfico da função g? (A) y (B) y (C) y (D) y Pova 65.V1/.ª F. Página 8/ 15

9 7. Considee, num efeencial o.n. yz, o ponto A, de coodenadas (1, 0, ), e o plano a, definido po + y 4 = 0 Seja b um plano pependicula ao plano a e que passa pelo ponto A Qual das condições seguintes pode defini o plano b? (A) + y = 0 (B) y z + 1= 0 (C) y + z = 0 (D) + y = 0 8. Na Figua, estão epesentadas, no plano compleo, duas semietas A o e B o e uma cicunfeência de cento C e aio BC Im (z) Sabe-se que: B C A é a oigem do efeencial; o ponto A é a imagem geomética do compleo o ponto B é a imagem geomética do compleo o ponto C é a imagem geomética do compleo i + i +i Figua Re (z) Considee como ag^z h a deteminação que petence ao intevalo 6-, 6 Qual das condições seguintes define a egião sombeada, ecluindo a fonteia? (A) (B) (C) (D) z- i 1 / 1ag ^z h1 4 4 z- i 1 / 1ag ^z h1 z- i / 1ag ^z h1 z- i / 1ag ^z h1 4 4 Pova 65.V1/.ª F. Página 9/ 15

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11 GRUP II Na esposta aos itens deste gupo, apesente todos os cálculos que tive de efetua e todas as justificações necessáias. Quando, paa um esultado, não é pedida a apoimação, apesente sempe o valo eato. 1. Seja C o conjunto dos númeos compleos Considee z = cis ` 6 j e ^z ih 4 w = 1 + zi No plano compleo, seja a oigem do efeencial. Seja A a imagem geomética do númeo compleo z e seja B a imagem geomética do númeo compleo w Detemine a áea do tiângulo 6 sem utiliza a calculadoa. 1.. Seja 0, 6 Resolva, em C, a equação z a cos z + 1= 0 Apesente as soluções, em função de a, na foma tigonomética.. Uma caia tem seis bolas distinguíveis apenas pela co: duas azuis e quato petas..1. Considee a epeiência aleatóia que consiste em etia, ao acaso, uma a uma, sucessivamente e sem eposição, todas as bolas da caia. À medida que são etiadas da caia, as bolas são colocadas lado a lado, da esqueda paa a dieita. Detemine a pobabilidade de as duas bolas azuis ficaem uma ao lado da outa. Apesente o esultado na foma de fação iedutível... Considee a caia com a sua composição inicial. Considee agoa a epeiência aleatóia que consiste em etia dessa caia, simultaneamente e ao acaso, tês bolas. Seja X a vaiável aleatóia «númeo de bolas azuis que eistem no conjunto das tês bolas etiadas». Constua a tabela de distibuição de pobabilidades da vaiável X Apesente as pobabilidades na foma de fação. Pova 65.V1/.ª F. Página 11/ 15

12 . Na Figua 4, está epesentado um pentágono egula [ABCDE] D Sabe-se que AB = 1 E C Moste que AB : AD = 1 sen c AD 5 m A B Nota: AB : AD designa o poduto escala do veto AB pelo veto AD Figua 4 4. Considee as funções f e g, de definidas po ln ^ h f ^ h = 1 + e g^h= + f ^ h Resolva os itens seguintes, ecoendo a métodos analíticos, sem utiliza a calculadoa Estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gáfico e, caso eistam, indique as suas equações. 4.. Moste que a condição f^h = e tem, pelo menos, uma solução Estude a função g quanto à monotonia e quanto à eistência de etemos elativos. Na sua esposta, deve indica o(s) intevalo(s) de monotonia e, caso eistam, os valoes de paa os quais a função g tem etemos elativos. 5. Na Figua 5, estão epesentados uma cicunfeência de cento e aio e os pontos P, Q, R e S Sabe-se que: P os pontos P, Q, R e S petencem à cicunfeência; a [PR] é um diâmeto da cicunfeência; PQ = PS a é a amplitude, em adianos, do ângulo QPR a! 0, D : Q R Figua 5 S A^ah é a áea do quadiláteo [PQRS ], em função de a Paa um ceto númeo eal i, com i! 0, D :, tem-se que tgi = Detemine o valo eato de A^ih, ecoendo a métodos analíticos, sem utiliza a calculadoa. Comece po mosta que A^ah= 16senacos a Pova 65.V1/.ª F. Página 1/ 15

13 6. Considee, num efeencial o.n. y, a epesentação gáfica da função f, de domínio definida po f^h = e + + 8, e dois pontos A e B Sabe-se que: o ponto A é o ponto de intesecção do gáfico da função f com o eio das odenadas; o ponto B petence ao gáfico da função f e tem abcissa positiva; a eta AB tem declive - Detemine a abcissa do ponto B, ecoendo à calculadoa gáfica. Na sua esposta, deve: equaciona o poblema; epoduzi, num efeencial, o gáfico da função ou os gáficos das funções que tive necessidade de visualiza na calculadoa, devidamente identificados; indica o valo da abcissa do ponto B com aedondamento às centésimas. 7. Na Figua 6, está epesentada, num efeencial o.n. y, pate do gáfico de uma função polinomial f, de gau Sabe-se que: - e são os únicos zeos da função f a função f tem um etemo elativo em = hl, pimeia deivada de uma função h, tem domínio R e é definida f ^ h po hl^ h = e lim h^h= " + Considee as afimações seguintes. y Figua 6 f III) A função h tem dois etemos elativos. III) hll^ h= 0 III) y + = 0 é uma equação da assíntota do gáfico da função h quando tende paa + Elaboe uma composição, na qual indique, justificando, se cada uma das afimações é vedadeia ou falsa. Na sua esposta, apesente tês azões difeentes, uma paa cada afimação. FIM Pova 65.V1/.ª F. Página 1/ 15

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15 CTAÇÕES GRUP I 1. a 8....(8 5 pontos) pontos 40 pontos GRUP II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 160 pontos TTAL pontos Pova 65.V1/.ª F. Página 15/ 15