Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos

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1 UNIDADE Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS. Razões tigonométicas de ângulos agudos () Taefa Apesente uma justificação paa cada uma das seguintes fómulas envolvendo as azões tigonométicas de um ângulo agudo: sina sin a + cos a e tan a cos a A pimeia fómula é usualmente designada po fómula fundamental da tigonometia. Atendendo à figua ao lado, pode-se defini: BC AC BC sin a ; cos a e tan a. AB AB AC Assim: BC AC BC + AC sin a + cos a f p + f p AB AB AB Sabe-se que: BC sin a + BC AB sin a AB A AB AB Teoema de Pitágoas a B C AC cos a + AC AB cos a AB Então: BC tan a AC AB sina sina AB cosa cos a Detemine o seno, o cosseno e a tangente do ângulo inteno b do tiângulo [ABC], etângulo em A. a) B b) B c) A cm b cm cm C b cm A B C cm A () Os símbolos, e epesentam o gau de dificuldade po odem cescente. 6 cm b C

2 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS a) Pelo teoema de Pitágoas, obtém-se BC +. Assim, sin b ; cos b e tan b. UNIDADE b) Pelo teoema de Pitágoas, obtém-se AB Assim, sin b ; cos b e tan b. 0 c) Pelo teoema de Pitágoas, obtém-se BC +. Assim, sin b ; cos b e tan b. Moste que paa qualque ângulo agudo a se tem: + tan a cos a sina sin a + tan a + c m cosa + cos a cos a+ sin a cos a cos a Sabendo que um ângulo agudo b é tal que tan b, detemine: a) cos b b) sin b a) + tan b cos b + + c m cos b cos b + cos b + cos b + + cos b + cos b éagudo cosb 0 b b) Tem-se que: sinb sinb tan b + + cos b sin b cos b cos b Como sin b + cos b, então: Em altenativa: sin b + ( sin b) + sin b + + sin b + b éagudo sinb 0 sin b Sabe-se pela alínea a) que cos b, logo: sin b + cos b + sin b - + b éagudo sinb 0 sin b 7

3 Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos C Taefa 60º Patindo de um tiângulo equiláteo [ABC] e taçando a bissetiz de um dos seus ângulos, obteve-se a figua ao lado. 0º Utilize a figua paa obte o valo eato do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos agudos assinalados, ou seja, sin 0, cos 0, tan 0, sin 60, cos 60 e tan 60. A SUGESTÃO: Como as azões tigonométicas dependem apenas da amplitude do ângulo, pode considea um tiângulo equiláteo de lado. B Consideando que o tiângulo [ABC] tem lado, pelo teoema de Pitágoas, tem-se BD. Assim: CD sin 0º cos 60º BC BD cos 0º sin 60º BC CD tan 0º BD BD tan 60º CD Detemine as dimensões, e y, do esquado de 60 epesentado na figua seguinte. 0 cm 60º y sin 60º sin 60º + 0 cm y cos 60º 0 + y 0 cos 60º + y 0 cm 8

4 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS De acodo com os dados da figua, detemine BC. A 60º B UNIDADE E 0º C 0 CD 0 0 tan 0º + tan 0º + CE CE CE tan0º Como CE AB, tem-se que: D + CE 0 u. c. BD tan 60º + BD 0 tan 60º + BD 90 u. c. AB Assim, BC BD - CD u. c. Logo, BC é igual a 60 u. c. 6 Detemine o valo de, em metos, de acodo com os dados da figua. 0 m º 60º Considee-se y a medida do compimento do cateto adjacente do tiângulo com um dos ângulos intenos igual a 60º : 0 tanº y * + + * 0 + * y y tan60º tan60º y 0 tan º 0 0 e + o # 0 + * + + * * 0 y 0-0 Logo, é igual a metos. 9

5 Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos Taefa Na figua ao lado está epesentado o tiângulo [PQR]. Sabe-se que: PQ 0 cm 70º RPQ W 0 0º P 0 cm Q PQR W 70. Detemine a amplitude do ângulo PRQ W.. Detemine o valo, aedondado às décimas de centímeto, de PR e RQ.. PRQ W 80º - (0º + 70º) 80º. Seja h Q a medida da altua do tiângulo elativa ao vétice Q. Tem-se que: R sin 0º h Q 0 + hq 0 sin 0º cm Po outo lado, tem-se que: h Q sin 80º + RQ., cm RQ sn i 80º Seja h P a medida da altua do tiângulo elativa ao vétice P. Tem-se que: sin 70º hp 0 + h P 0 sin 70º. 9,97 cm h P Como sin 80º, tem-se que PR PR 997, sn i 80º. 9, cm. 7 Considee o tiângulo epesentado na figua ao lado. Utilize a lei dos senos paa detemina os valoes de e y, em centímetos, aedondados às décimas. Como 80º - (7º + 6º) 0º, aplicando a lei dos senos, tem-se: sin0º sin6º, sin0º +., cm, sin 0º sin7º sin 6 º, sin y y 7º +.,7 cm, sin6º, cm y 7º 6º 0

6 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 8 Calcule as medidas do lado e da diagonal maio de um losango cuja diagonal meno mede cm e em que os ângulos obtusos medem 0º. Apesente os esultados apoimados às décimas. A B D UNIDADE C cm Se ABC W ADC X 0, então, BAD W BCD W 0, pois os ângulos opostos têm a mesma amplitude e a soma das amplitudes dos ângulos intenos é de 60. Como as diagonais do losango são bissetizes e são pependiculaes, fomam ângulos de 90 no seu cento (ponto E ). Considee-se o tiângulo etângulo [CDE], donde: º EDC X 0 º 6º, ECD W 0 BD e DE, cm Então: DE, sin º + CD + CD.,9 cm CD sinº Pelo teoema de Pitágoas, vem que: CE CD - DE + CE,9 -, + CE 8, 6., cm Assim, AC CE 8, 6. 0,7 cm. Potanto, o losango tem de lado, apoimadamente,,9 cm e de diagonal maio, apoimadamente, 0,7 cm. NOTA: Pode-se calcula CD aplicando a lei dos senos: Consideando o tiângulo isósceles [BCD], tem-se: sin0º sin6º sin6º + CD.,9 cm CD sin0º 9 Considee um tiângulo acutângulo [ABC], em que BAC W 80 e BC AC. Detemine um valo apoimado às décimas da amplitude do ângulo ABC. B A C Pela lei dos senos: sin80º sin ABC W AC sin80º + sinabc W sin80º & BC AC BC 7 & ABC W sin80 sin - c m. sin - (0,9). 9, ( ABC é agudo) 80º

7 Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos. Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos 0 No Paque Aventua petende-se constui uma divesão que consiste em atavessa A um ibeio, em equilíbio, com o auílio de codas. As codas teão como etemidades dois pontos, A e B, em magens opostas. Paa detemina o compimento das codas foi necessáio fia um ponto C na mesma magem de A, medi a distância ente A e B, e a amplitude dos ângulos CAB e BCA, tendo-se obtido os seguintes esultados: C B AC m, CAB W 9,7 e BCA W 7,9 Que compimento, em metos, devem te as codas? - Divida-se o tiângulo [ABC] em dois C 7,9º 9,7º A tiângulos etângulos, macando a altua, h B h B, elativamente à base AC. De acodo com a figua apesentada,,º 0,º tem-se: B hb, tan 79, hb, hb 6, 6 * + * + * hb hb 9, 0-08,, 97 08, tan97, - Pelo teoema de Pitágoas, tem-se: AB hb + ( - ) 6, 6 + 0, 0. 6 m BC + h B, , 6.,7 m As codas AB e BC têm, apoimadamente e espetivamente, 6 m e,7 m. Sejam a, b e c ângulos tais que av 0, b T e cu 0. Indique o valo eato de: a) sin a - sin b b) -sinc sina a) sin 0º - sin º sin 0º - sin º - e o - b) -sin0º sin0º sin60º - sin0º - c m -

8 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Taefa Considee um tiângulo [ABC] tal que os ângulos intenos de vétices em A e B são agudos e de lados cujas medidas de compimento são a BC, b AC e c AB. Seja CAB W a. Considee a pojeção otogonal Cl do ponto C sobe a eta AB e h C CCl.. Esceva ACl e CB l em função de a. UNIDADE. Moste, aplicando o teoema de Pitágoas aos tiângulos [AClC] e [ClBC], que h C a - (c - b cos a) e h C b - b cos a.. Da alínea anteio deduza que a b + c - bc cos a.. Como cos a AC' b, tem-se AC' b cos a. Como C'B AB - AC', então, C'B c - b cos a. Adaptado do Cadeno de Apoio do.º ano. Aplicando o teoema de Pitágoas a [AC'C], tem-se que: AC' + CC' AC, isto é, po., h C b - b cos a. Aplicando o teoema de Pitágoas a [C'BC], obtém-se: CB CC' + BC', isto é, po., h C a - (c - b cos a).. Igualando as epessões obtidas em., tem-se que: b - b cos a a - (c - b cos a) + + b - b cos a a - c + bc cos a - b cos a + + a b + c - bc cos a A b a hc C C' c a B c.q.d. Detemine o aio da cicunfeência epesentada na figua ao lado. 60º A Considee-se a figua ao lado: Como AB % 60º 0º, então, AEB W 0º. Como o tiângulo [ABE] é isósceles _ AE BE i, E B 60º então, BAE W 0º ABE W. C Aplicando a lei dos senos, tem-se: # sin0º sin0º sin0 º + u. c. sin0º

9 Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos De um tiângulo [ABC] sabe-se que: ABC W 76 BC cm AC cm. Justifique que o ângulo BAC é agudo e detemine um valo apoimado ao gau da sua amplitude.. Detemine um valo apoimado ao centímeto do compimento do lado [AB].. Como BC AC, então, BAC W ABC W. Potanto, o ângulo BAC é agudo. Aplicando a lei dos senos, tem-se: sin76º sin A sin76 º + sin A + W A. 6. Como ACB W 80º - (76º + 6º) º, aplicando a lei dos senos, tem-se: sin76º sin º sin º + AB + AB. 8 cm AB sin 76º Dois navios saíam de um poto às 8 hoas da manhã. Um dos navios viajou na dieção 60 nodeste a uma velocidade constante de nós. O outo navio viajou na dieção 60º sudeste à velocidade constante de 8 nós, º confome a figua ao lado. Qual seá a distância em quilómetos ente os navios ao meio-dia? Apesente o esultado aedondado às unidades. NOTA: nó é uma unidade de medida de velocidade equivalente a 8 m/h. Ao fim de hoas, cada um dos navios pecoeu, espetivamente:,8 km/h 77,79 km 8,8 km/h, km Então, a distância ente os navios seá a medida, d, do lado oposto ao ângulo de amplitude 7º.

10 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Pelo teoema de Canot, tem-se: d, + 77,79 -, 77,79 cos 7º + + d 78,7 + d. 9 km Potanto, a distância ente os navios ao meio-dia seá de, apoimadamente, 9 km. UNIDADE Detemine o valo eato de: a) cos - cos 0 b) sin 0 cos 0 a) cos º - cos 0º cos º - cos 60º b) sin 0º $ cos 0º -sin 0º $ cos 0º # - 6 Considee uma cicunfeência de cento O e aio 0 cm. Dois aios [OA] e [OB] fomam ente si um ângulo de. Detemine a medida do compimento da coda [AB]. Apesente o esultado aedondado à décima do centímeto. O 0 B 0 º A Como os outos dois ângulos do tiângulo [ABO] são iguais e de amplitude 7,º, pela lei dos senos, tem-se: sinº sin7,º, AB 0 ou seja, 0 # sinº AB. 7,7 cm sin 7,º Potanto, a medida do compimento da coda [AB] é de, apoimadamente, 7,7 cm. Em altenativa, pelo teoema de Canot: AB cos. 7,7 cm

11 Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos. Resolução de tiângulos 7 Calcule a áea de um teeno tiangula cujos lados medem 80, 0 e 00 metos. Apesente o esultado aedondado às unidades. 80 m 00 m 0 m Aplicando o teoema de Canot, obtém-se um dos ângulos intenos do tiângulo: cos a cos a Como cos -d n cos 7 - d- 8 0 n cos - (-0,6). 7,º, então, a. 7,9. Assim, a áea do tiângulo da figua é, apoimadamente, igual a: 80# 0# sn i 7, 9. 0 m 8 Resolva cada um dos seguintes tiângulos. Apesente as medidas aedondadas às décimas. Sempe que nos cálculos intemédios pocede a aedondamentos conseve tês casas decimais. a) B b) A c 8º 8 cm a) 80º - 8º - 6º 9º Pela lei dos senos, tem-se: a 6º C sin8º sin9º 8sin9º a + a. 6,9 cm 8 sin8º sin8º sin6º 8sin6º + c.,7 cm 8 b sin8º a y cm 7º cm y! ]90, 80[ 6

12 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS b) Aplicando o teoema de Canot, obtém-se: a + - cos 7 + a cos a - cos 7 + a., cm Pela lei dos senos, tem-se: sin7 sin + sin, Logo, y (7 + 8,8 ). 9,6. sin7 +. 8,, UNIDADE 9 Sabendo que as diagonais de um paalelogamo medem 8 e 6 centímetos e que o meno 0º ângulo po elas fomado mede 0, detemine as medidas dos compimentos dos lados do paalelogamo, apoimadas às décimas. Recode: As diagonais de um paalelogamo intesetam-se nos seus pontos médios. Sejam l e l os lados do paalelogamo, em que l é o lado oposto ao ângulo de amplitude 0º e l é o lado oposto ao ângulo de amplitude 0º. Aplicando o teoema de Canot, obtém-se: l + - cos 0º + l. 9,7 + l., cm l + - cos 0º + l. 0,7 + l. 6, cm As medidas dos compimentos dos lados do paalelogamo são, apoimadamente,, cm e 6, cm. 0 Considee um tiângulo acutângulo qualque [ABC]. B Moste que a áea do tiângulo [ABC] AB $ AC $ sina da figua é igual a e conclua que a áea de um tiângulo é igual ao semipoduto das medidas de dois dos seus lados pelo seno do ângulo po eles fomado. A a C Seja h a altua do tiângulo elativamente à base [AC]. Tem-se que: h sin a + h AB sin a AB Como A [ABC] h # AC, obtém-se o petendido. 7

13 Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos AVALIAR CONHECIMENTOS ESCOLHA MÚLTIPLA Paa cada uma das questões desta secção, selecione a opção coeta de ente as altenativas que lhe são apesentadas. De acodo com os dados da figua, conclui-se que o compimento de [BD], em centímetos, é: B (A) (B) 0 0 _ - i (C) (D) º D A 0 cm 0º C 0 0 tan º BD + AD BD + AD * + * + * AD + tan60º AD AD * BD + + BD * + BD * + + BD 0_ - i * A opção coeta é a (C). Considee o tiângulo [XBY]. Atendendo aos dados da figua e sabendo que XY 0, a medida da altua, h, do tiângulo é: (A) 0 - (B) 0 + (C) - (D) + 8 X B h º 60º C Y

14 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS h tan º XC * + h XC h _ 0 -XCi tan60º 0 - XC - h + + _ + ih h A opção coeta é a (C). UNIDADE Um paalelogamo tem lados que medem a e a e que fomam, ente si, um ângulo de 0º. A áea desse paalelogamo é: (A) a (B) a (C) a (D) a Pelo enunciado, obtém-se: a 0º a ou 0º a a h Os dois paalelogamos têm a mesma áea e, em ambos os casos, tem-se: sin 0º a h + h a Logo, A paalelogamo a a a. A opção coeta é a (D). A distância em metos, aedondada às unidades, ente dois pontos opostos, A e B, de um lago é, de acodo com os dados da figua, igual a: 0 m A (A) 6 m (B) 66 m (C) m (D) m 7º º B sin7º sinº 0 sin 7º + AB. m AB 0 sin º A opção coeta é a (D). 9

15 Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos Na figua ao lado, está epesentado um paalelepípedo de dimensões, e 6 centímetos em que A, B e C são tês dos seus vétices. A medida da amplitude, em gaus, do ângulo CAB é, apoimadamente: (A), (C) 6,7 (B) 6,6 (D) 76,7 A cm C 6 cm cm B Pelo teoema de Pitágoas, tem-se: AB 6 ; BC e AC Pelo teoema de Canot, vem: cos CAB W cos CAB W + + cos CAB W 0 Como cos - e 0 A opção coeta é a (B) o. 6,6, CAB W. 6,6. RESPOSTA ABERTA Nas questões desta secção, apesente o seu aciocínio de foma claa, indicando todos os cálculos que tive de efetua e as justificações necessáias. 6 C Relativamente ao tiângulo [ABC], etângulo em C, epesentado na figua ao lado, detemine o valo apoimado às décimas: 0º a) do compimento do lado [AC]. A b) do compimento do lado [BC]. 70 cm c) da medida da altua do tiângulo elativamente à base [AB]. B a) cos 0º AC 70 b) sin 0º BC AC 70 cos 0º + AC.,0 cm + BC 70 sin 0º + BC.,6 cm c) sin 0º AC h + h sin 0., cm

16 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 7 Moste que paa qualque ângulo agudo a se tem: a) (sin a - cos a) + (sin a + cos a) b) tana- sin a# tana cosa sin a UNIDADE a) (sin a - cos a) + (sin a + cos a) sin a - sin a cos a + cos a + sin a + sin a cos a + cos a (sin a + cos a) sina sina( cos a+ sin a-sin a) tana- sin atana cosa ( - sin a) cosa b) cosa cosa cosa sinacos a sin a cos a 8 Considee que sin b 8. Detemine o valo eato de: a) cos b b) tan b e b é um ângulo agudo. 8. Detemine a amplitude de b, apoimada à décima de gau a) cos b - sin b - d n b) Como b é agudo, então, cos b sinb tan b cos b 6. Logo: 8. Como sin - d n. 6,9º e b é agudo, então, b T. 6,9º. 9 Considee o etângulo [ABCD], epesentado na figua ao lado. Sabe-se que BC AB. Detemine: a) os valoes eatos das azões tigonométicas O do ângulo BAC. b) a amplitude do ângulo COD, com aedondamento à unidade de gau. A B D C

17 Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos a) Pelo teoema de Pitágoas, tem-se: AC AB + BC AB + _ ABi AB + AC AB + Então, os valoes eatos das azões tigonométicas do ângulo BAC são: sin BAC W BC AC cos BAC W AB AC AB AB tan BAC W BC AB AB AB AB AB + sin BAC W + cos BAC W + tan BAC W b) Pela alínea anteio, sabe-se que BAC W. 6,º, então, ODC X OCD W BAC W 6,º, pois são ângulos altenos intenos. Logo, COD W 80º - 6,º,º. º. 0 Calcule a áea, com aedondamento às décimas, de um octógono egula com 6 cm de lado. Um octógono egula é fomado po oito tiângulos isósceles. Os ângulos intenos de cada um destes tiângulos têm as seguintes amplitudes: 60 º 80º - º um ângulo de º e dois ângulos de amplitude 67,º. 8 Seja h a altua de cada um dos tiângulos isósceles. Então: Potanto, tan 67, h + h. 7, cm 6 # 7, A octógono 8 A 8. 7,8 cm Considee o paalelogamo epesentado. D Detemine, tendo po base os dados cm apesentados na figua: º a) a áea do tapézio [BCDE], com A E aedondamento às centésimas. b) a amplitude do ângulo a, com apoimação à décima de gau. 6 cm a B C

18 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS a) sin DAE W DE DE + sin º AD cos DAE W AE AE + cos º AD Como + DE sin º.,77 cm + AE cos º.,9 cm B E BA - A E 6 -,9,706, então: A tapézio BE + CD, # DE,77.,90 cm b) Sabe-se que ADC X 80º - º º. Aplicando o teoema de Canot, obtém-se o compimento da diagonal do paalelogamo: AC cos º + AC. 8,98 cm Finalmente, pela lei dos senos, obtém-se a amplitude de a : sinº sina sinº + sin a 8, 98 8, 98 sinº Como sin - d n.,6º e a é agudo, então, av.,6. 8, 98 UNIDADE A Helena enconta-se junto ao Padão dos Descobimentos, em Lisboa. Sabendo que os olhos da Helena se encontam a,60 metos do solo e que a Helena, se caminha em dieção ao monumento ceca de metos, obseva o topo do monumento com um ângulo de elevação que aumenta de 0º paa 70º, detemine a altua do monumento, com apoimação às unidades. Considee-se a a distância da Helena ao monumento quando está mais peto e h a altua do monumento menos os,60 metos de altua a que os olhos da Helena se encontam do solo. h tan 0º a + h ( a+ ) tan 0º * + ) + h h atan 70º tan 70º a atan70º ( a+ ) tan 0º a( tan70º - tan 0º ) tan 0º + ( + ( + tan 0º a a. 9, 8 + * tan70º - tan 0º + * h., Logo, h +,6. 6 m. A altua do monumento é de, apoimadamente, 6 metos.

19 Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos Na figua ao lado, está epesentada uma piâmide quadangula egula [ABCDP]. Sabe-se que: a base [ABCD] é um quadado de áea 6 ; a amplitude do ângulo PAC é de 60. Detemine: a) o valo eato da medida da aesta lateal [AP]. b) a amplitude do ângulo, aedondada à décima de gau, que a aesta lateal [AP] faz com uma aesta da base, sua concoente. c) o valo eato do volume da piâmide. A B P D C a) Pelo teoema de Pitágoas, tem-se: AC + u. c. Seja O o cento da base [ABCD]. cos PAO W AO + cos 60º + AP AP + AP cos60º u. c. b) Designe-se po M o ponto médio do segmento [AB]. Considee-se o tiângulo etângulo [AMP] : AM AB 6 u. c. cos PAM W AM AP Então, PAM W. 69,º. + cos PAM W c) Calcule-se OP, a altua da piâmide [ABCDP] : sin PAO W OP OP + sin 60º AP + OP # 6 u. c. V [ABCDP] A [ ABCD ] # OP 6 # 6 6 u. v. Aplicando a lei dos senos detemine, com apoimação às décimas: a) o teceio lado de um tiângulo cujos outos dois lados medem 0 cm e 0 cm e o ângulo oposto ao lado que mede 0 cm tem de amplitude 0º. b) o peímeto e a áea do tiângulo em que um dos lados mede 0 cm, um dos ângulos adjacentes tem de amplitude 70º e o ângulo oposto 0º.

20 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS UNIDADE a) Seja a a amplitude do ângulo oposto ao lado de compimento 0 cm. Calcule-se, aplicando a lei dos senos, o compimento,, do lado em falta: sin0º sina 0sin 0º + sin a sin 0º Como sin - d n.,7º e a é agudo ( av < 0 ), então, av.,7. 0 sin 0º sin( , 7)º 0 sin7,º Assim, , cm. sin 0º b) Considee-se o compimento do lado oposto ao ângulo de amplitude 70 e y o compimento do teceio lado. Peímeto: sin0º sin 70º 0 sin 70º ,79 cm sin0º sin0º sin80º 0 sin80 º 0 y + y. 9,696 cm sin0º Então, P ,79 + 9,696. 8, cm. Áea: Seja h a altua do tiângulo elativamente ao lado de compimento 0 cm. Então: sin 80 h 8, 79 0 # 8, 09 Assim, A.. 9, cm. + h. 8,09 cm Sem ecoe à calculadoa, detemine o valo eato de: a) - sin 0 b) (sin + cos ) c) cos 0 sin 0 d) tan 0 a) - sin 0º - sin 60º - e o - - b) (sin º + cos º) (sin º + cos º) e # o c) cos 0º sin 0º -cos 60º sin 0º - d) tan 0º -tan 60º - # -

21 Etensão da tigonometia a ângulos etos e obtusos e esolução de tiângulos R 6 Atendendo aos dados da figua, detemine 0 cm o peímeto do tiângulo [PQR], 0º com apoimação às unidades. P Q 0 cm Aplicando o teoema de Canot, obtém-se a medida do compimento de RQ : RQ cos 0º + + RQ cos 0º + RQ. cm Potanto, o peímeto do tiângulo [ABC], com apoimação às unidades, é de cm. 7 Considee um tiângulo [ABC] em que A, B e C designam os seus ângulos intenos e a, b e c as medidas dos lados que se opõem aos ângulos A, B e C, espetivamente. Resolva o tiângulo [ABC], utilizando valoes apoimados às décimas, sabendo que: a) W A, W B 8 e c 00 m c) W A 0, a 0 m e b 8 m b) W A 80, b 0 m e c 7 m d) a 0 m, b 60 m e c 7 m a) CW 80º - W A - W B 77º Pela lei dos senos, tem-se: sin77º sinº 00 sin º 00 a + a. 8, m sin 77º sin77º sin 8º 00 sin 8º + b. 76, m 00 b sin 77º b) Aplicando o teoema de Canot, obtém-se a medida de a : a cos 80º + + a cos 80º + a. 78,6 m sin80º sin B 0sin80º Pela lei dos senos, tem-se + sin b. 78, , 6 0sin80º Como sin - d n. 0, e B é agudo ^ 78, 6 W B < 80, necessaiamenteh, então, W B. 0,. Logo, CW 80º - W A - W B. 69,9º. sin0º sin B 8sin0º c) Pela lei dos senos, tem-se + sin b sinº 0 Como sin - d n. 7,8º e B é necessaiamente agudo, então, 0 BW. 7,8. Logo, CW 80º - W A - W B.,º e tem-se: sin0º sin,º 0 sin,º 0 c + c.,9 m sin0º 6

22 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS UNIDADE d) Aplicando o teoema de Canot, obtém-se, po eemplo, a amplitude de A : cos A cos A + cos A Como cos - d n.,6º, então, A 9000 W.,6. Aplicando novamente o teoema de Canot, calcule-se a amplitude de B : cos b + cos b.,9º 700 Como cos - d n.,9º, então, B 700 W.,6. Potanto, CW 80º - A W - B W. 8,6º. 8 Detemine, com apoimação às unidades de meto, o valo de d. a) C b) d D C d D 0º 60º 00º 6º º º 60º 0º A 0 m B A B m a) Considee-se o tiângulo [ABC] e os seus ângulos intenos CW AB 60º, A W BC 6º e ACW B º. Tem-se: sinº sin6º 0 sin6º + AC.,6 m 0 AC sinº Po outo lado, ADB X , e: sin0 sin00 + AD, m 0 AD Logo, ao aplica o teoema de Canot, obtém-se d : d.,6 +, -,6, cos 0 + d. 66, m b) Considee-se o tiângulo [ABD] e os seus ângulos intenos DW AB 60º, A W BD 9º e ADB X º. Tem-se: sinº sin60º sin60º + BD., m BD sinº Considee-se agoa o tiângulo [ABC] e os seus ângulos intenos BW AC º, A W BC 0º e ACW B º. Tem-se: sinº sinº sinº + BD.,6 m BC sin º Logo, ao aplica o teoema de Canot, obtém-se d : d, +,6 -,,6 cos º + + d 98,867-9,88 cos º + d. 8 m 7

23 UNIDADE Ângulos oientados, ângulos genealizados e otações TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS. Ângulos oientados, amplitudes de ângulos oientados e espetivas medidas Taefa 7 8 Numa visita a um paque de divesões, o Vasco 6 e a Inês decidiam anda numa oda-gigante. Tal como a figua ao lado ilusta, a oda 9 tem cadeias igualmente espaçadas, 0 que a dividem em acos iguais.. Justifique que a amplitude do aco que sepaa duas cadeias consecutivas, em gaus, é igual a 0.. Designe po O, I e V os pontos que epesentam o cento da oda-gigante e as cadeias onde a Inês e o Vasco se sentaam, espetivamente. Sabendo que IOW V 60 e que o Vasco ocupa a cadeia númeo, indique, se possível, o númeo da cadeia da Inês. Justifique a sua esposta.. Como a oda está dividida em setoes ciculaes, a amplitude do aco 60 que sepaa duas cadeias consecutivas é dada po 0º.. A Inês pode ocupa a cadeia númeo ou a cadeia númeo 6, uma vez que somente é afimado que o ângulo IOW V 60, não sendo nada afimado sobe a oientação do ângulo. Na figua ao lado está epesentado o tiângulo equiláteo [ABC]. Indique as amplitudes dos ângulos oientados com lados oigem e etemidade, espetivamente: a) A o B e A o C b) A o C e A o B c) C o B e C o A a) 60 b) -60 c) -60 A C B 8

24 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. a) Cadeia. b) Cadeia 9. c) Cadeia 7. d) Cadeia.. As amplitudes são: 0 e -0. UNIDADE. Rotações segundo ângulos oientados Considee que O epesenta o cento da oda efeida na taefa. 9. Indique a imagem do ponto que epesenta a cadeia pela otação de cento em O 0 O e amplitude: a) 90 c) 80 b) -0 d) -0. Indique as amplitudes de duas otações com cento O que tansfomem em 6.. Ângulos genealizados. Medidas de amplitudes de ângulos genealizados A Joana foi assisti a uma pova de ciclismo em contaelógio, que se ealiza numa pista cicula com 00 metos de peímeto. Quando entou no ecinto despotivo, um ciclista pecoia a pista.. Indique a distância pecoida pelo ciclista, com valo apoimado à décima de meto, quando a amplitude do aco descito é igual a: a) 00 b) -90 c) 0. Se o sentido adotado fo o negativo, qual é a amplitude do aco descito quando o ciclista pecoe 87, metos?. a) # ,7 m # 00 b) ,7 m # 00 c) + 7,0 m , 60 # 87,. + V

25 Ângulos oientados, ângulos genealizados e otações A Tea demoa hoas a efetua uma otação completa em tono do seu eio. Detemine quanto tempo demoa a efetua uma otação de: a) 60 b) 0 c) 600 a) b) c) # hoas 0 0 # hoas # + 0 hoas Indique o valo de av e k paa o ângulo genealizado (a, k) de amplitude: a) 600 b) 0 c) -0 d) -000 a) Como 600 < F e ! [0, 60[, 60 então, o ângulo genealizado é (0, ). b) Como 0 < F e ! [0, 60[, 60 então, o ângulo genealizado é (0, ). c) Como 0 < F e ! ]-60, 0[, 60 então, o ângulo genealizado é (-90, -). d) Como 000 < F e ! ]-60, 0[, 60 então, o ângulo genealizado é (-80, -). 0

26 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Ângulos genealizados e otações UNIDADE 6 Fiada uma semieta paa o lado oigem, justifique que as otações com o mesmo cento e ângulos genealizados (00, ) e (-60, -) coincidem. Coincidem, uma vez que as otações têm sentidos contáios e , a amplitude de um ângulo gio. Taefa Os pogamas de geometia dinâmica pemitem efetua tansfomações geométicas, em paticula otações. Utilizando um pogama de geometia dinâmica, maque dois pontos, O e A, e tace a semieta O o A.. Tomando O como cento de otação, obtenha as semietas O o B, O o C, O o D, O o E, O o F e O o G odando a semieta O o A, 90, 70, 0, -0, -0 e -690, espetivamente.. Identifique a amplitude do ângulo oientado de cada uma das otações anteioes.. Identifique o ângulo genealizado de cada otação e indique as otações que coincidem.. 90º B 0º D 0º F O A O A O A 70º C 0º E 690º G O A O A O A. As amplitudes dos ângulos oientados são, espetivamente, 0, 0, 0, -0, -0 e -0.. Os ângulos genealizados são, espetivamente, (0, ) ; (0, ) ; (0, ) ; (-0, -) ; (-0, 0) e (-0, -). Todas as otações coincidem.

27 Ângulos oientados, ângulos genealizados e otações Taefa Na figua ao lado está epesentado, y em efeencial otonomado Oy, D E C um dodecágono inscito numa cicunfeência F B de aio. Considee os ângulos de lado oigem O o A. G A O. Indique a amplitude de dois ângulos genealizados, consideando o sentido H L positivo, que têm como lado etemidade I a semieta: a) O o C b) O o D c) O o E J K. Indique a amplitude de dois ângulos genealizados, consideando o sentido negativo, que têm como lado etemidade a semieta: a) O o B b) O o D c) O o F. Indique a semieta etemidade do ângulo de amplitude: a) -0 b) 780 c) -90. Detemine as coodenadas dos pontos B, E e H.. Po eemplo: a) 60 e 0 b) 0 e 80 c) 80 e 80. Po eemplo: a) -690 e -00 b) -60 e -990 c) -0 e -70. a) O o H b) O o C c) O o L. B(cos 0, sin 0 ), isto é, B e, o ; E(cos 0, sin 0 ), isto é, E e-, o ; H(cos 0, sin 0 ), isto é, H e-,- o

28 UNIDADE Razões tigonométicas de ângulos genealizados TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS. Genealização das definições das azões tigonométicas a ângulos oientados e a ângulos genealizados Considee um efeencial otonomado dieto Oy do plano. Indique o quadante onde se enconta o lado etemidade do ângulo oientado que tem como oigem o semieio positivo O e amplitude: a) 0 c) -80 b) 0 d) -0 a).º quadante. b).º quadante. c).º quadante. d).º quadante. Taefa Considee um plano munido de um efeencial o.n. dieto Oy no qual se fiou paa unidade de medida angula o gau. Copie paa o seu cadeno a seguinte tabela e complete-a, epesentando cada ângulo no efeencial e lendo os valoes obtidos paa as espetivas azões tigonométicas na cicunfeência tigonomética. Amplitude de a sin a?? 0??? cos a?????? Amplitude de a sin a cos a (ve imagem na página seguinte)

29 Razões tigonométicas de ângulos genealizados 0º º 0º sin 90º!êê }!êê } } 60º º 0º 80º } O }!êê }!êê }!êê }!êê } 0º 60º cos 0º } 0º º 0º }!êê }!êê 70º 00º º Num efeencial o.n. dieto Oy, considee os pontos A d, e B e-, o. Sejam a e b ângulos oientados que têm como lados etemidade as semietas O o A e O o B, espetivamente, e lado oigem o semieio positivo O.. Veifique que os segmentos de eta [OA] e [OB] têm compimento.. Detemine: a) sin a e cos a b) sin b + cos b n OA d n + d n 8+ OB e- o + d n 9. a) sin a e cos a b) + + sin b cos b d n e- o

30 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS y Na figua ao lado estão epesentados a cicunfeência P tigonomética e os pontos P e Q, pontos 0º de inteseção da cicunfeência com os lados 60º etemidade dos ângulos de amplitude 60 e 0, O espetivamente.. Indique a otação de cento em O paa a qual Q a imagem de P é Q.. Justifique que as coodenadas dos pontos P e Q são siméticas.. Indique as coodenadas dos pontos P e Q. UNIDADE. Rotação de cento em O e amplitude 80.. A otação de cento em O e amplitude 80 coesponde a uma efleão cental em elação à oigem; logo, as coodenadas de P e Q são siméticas.. P(cos 60, sin 60 ), isto é, P e, o ; Q(cos 0, sin 0 ), isto é, Q e -,- o Considee o heágono egula da figua, inscito na cicunfeência de cento em O e aio, tal que [AB] é paalelo a Oy. D y C B Tendo po base as amplitudes dos ângulos fomados ente as semietas O o A, O o B, O o D e O o E e o semieio positivo O, detemine as coodenadas dos pontos A, B, D e E. E F O A Sabe-se que um heágono egula é composto po seis tiângulos equiláteos, então: A(cos -0, sin -0 ), isto é, A e,- o ; B(cos 0, sin 0 ), isto é, B e, O ponto D é simético de A e o ponto E é simético de B ; logo, as suas coodenadas são: D e -, o e E e -,- o o

31 Razões tigonométicas de ângulos genealizados Repesente, na cicunfeência tigonomética, ângulos do. o ou. o quadantes, paa os quais: a) o seno é igual a -. c) o cosseno é igual a. b) o cosseno é igual a -. a) sin 99,º 0,º } 60,º 9,º cos sin a paa a. 9, Logo, av pode toma os seguintes valoes: 99, ou -60, ; -9, ou 0,. b) sin } 0º 0º cos cos a paa a 60 Logo, av pode toma os seguintes valoes: 0 ou -0. c) sin 00º } 60º cos av pode toma os seguintes valoes: -60 ou Detemine o valo eato de: a) sin a, com av 0 b) cos b, com b T -0 c) sin c - sin d, com d -90 a) sin 0 -sin 60 - b) cos(-0 ) cos 0 -cos 0 - c) sin 70 - sin(-90 ) - - (-) 0 6

32 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 7 Na figua estão epesentados, em efeencial o.n. dieto Oy, a cicunfeência tigonomética, a eta de equação e um ângulo a do. o quadante: O ponto C tem de coodenadas (, ). O o C é a semieta etemidade do ângulo a. 7. Indique o valo de tan a. 7. Detemine a equação eduzida da eta OC. 7. Calcule as coodenadas de A, ponto de inteseção da eta OC com a cicunfeência. 7. Detemine a áea do tiângulo [AOB]. y O UNIDADE C A a B 7. tan a 7. A eta OC passa na oigem e tem declive ; logo, a equação eduzida da eta OC é y. 7. Detemine-se as coodenadas de A : y * + + y ) + ( ) + * + 0 > 0, pois A!.º Q + * y Logo, A e 0 0, o A [AOB] 0 # OB # AB u. a Taefa Repesente num efeencial o.n. dieto um ângulo oientado a tal que: a) a amplitude de a é positiva, sin a e cos a < 0. b) a tem oientação negativa, tan a - e sin a > 0. c) cos a - e a oientação de a é positiva. 7

33 Razões tigonométicas de ângulos genealizados a) b) y c) y y } a O a O a O 8 Repesente, na cicunfeência tigonomética, um ângulo av! [0, 60] que veifique a condição: a) tan a b) tan a - c) tan a -0, a) y y b) c) y a a a 0, ( av ) ( av. 97 ) ( av. 6 ) 9 Repesente num efeencial o.n. dieto um ângulo oientado a positivo tal que: a) sin a - e cos a > 0 b) cos a - e tan a < 0 a) y b) y a } a } 8

34 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 0 Detemine o valo eato de: a) sin 0 + cos 900 b) cos 0 - sin(-0 ) c) cos(-0 ) - tan 800 d) tan(-80 ) - sin 9 UNIDADE a) sin 0 + cos 900 sin 90 + cos 80 + (-) 0 b) cos 0 - sin(-0 ) -cos 60 - sin c) cos(-0 ) - tan 800 -cos 0 - tan 0 - d) tan(-80 ) - sin 9 tan 60 - sin - Indique a que quadante petence o ângulo a paa que cada afimação seguinte seja vedadeia: a) sin a cos a < 0 tana b) cos a > 0 c) sin a tan a > 0 a).º ou.º quadante. b).º ou.º quadante. c).º ou.º quadante. Indique duas amplitudes de ângulos com: a) o mesmo seno e cossenos siméticos. b) o mesmo cosseno e senos siméticos. c) seno e cosseno siméticos. d) tangentes siméticas. a) Po eemplo: º e º. b) Po eemplo: º e -º. c) Po eemplo: º e -º. d) Po eemplo: º e -º. 9

35 Razões tigonométicas de ângulos genealizados Considee o ângulo genealizado i (a, ). Sabe-se que: cos i - av! ]80, 60[, em que av é a amplitude, em gaus, de a.. Detemine o seno e a tangente de i.. Indique, ecoendo à calculadoa, um valo apoimado às unidades da amplitude de i.. Considee-se P o ponto de inteseção da cicunfeência tigonomética com o lado etemidade de i. Sabe-se que a abcissa de P é igual a - e que a equação eduzida da cicunfeência tigonomética é + y. Substituindo pela abcissa de P, obtém-se: d- n + y + y y! Como o ângulo a é do. o ou do. o quadantes, o ponto P tem odenada negativa. Potanto, y -, ou seja, sin i -. Po fim, tem-se: sini tan i cos i. Na calculadoa, obtém-se: sin - d n., Então, o ângulo oientado coespondente a i tem de amplitude, em gaus, (, + 80 ) ,, ou seja, i. 9. Taefa Na figua está epesentado, em efeencial o.n. y dieto Oy, o ângulo a cujo lado etemidade inteseta a cicunfeência tigonomética A no ponto A de abcissa -0,8.. Calcule o valo eato de sin a e tan a.. Indique as coodenadas da imagem de A pela otação de cento O e amplitude 80 e, po definição de seno, cosseno e tangente, indique o seno, 0,8 a O o cosseno e a tangente, do ângulo de amplitude av + 80, em que av é a amplitude, em gaus, de a. 0

36 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS UNIDADE. Indique a amplitude, em gaus, de dois ângulos, um com oientação positiva e outo com oientação negativa, que tenham o mesmo seno e o mesmo cosseno que a. Apesente os valoes aedondados às unidades.. Pelo teoema de Pitágoas, tem-se que 0,8 + b + b 0,6, sendo b a odenada do ponto A. Potanto, sin a 0,6 0, 6 e tan a - 08, -.. Tem-se que Al(0,8; -0,6) ; logo: sin(av + 80 ) -0,6 cos(av + 80 ) 0,8 tan(av + 80 ) -. Po eemplo, +0 e -7. b > 0. Medidas de amplitudes de ângulos e acos em adianos Taefa Recode que: Numa dada cicunfeência ou em cicunfeências iguais, o compimento de um aco de cicunfeência e a áea de um seto cicula são dietamente popocionais à amplitude do espetivo ângulo ao cento. Utilize este esultado paa esolve o seguinte poblema: Numa pista de gelo cicula com 0 metos de aio, a um atleta pepaa-se paa as competições que se avizinham.. Indique a distância pecoida pelo atleta depois de desceve, sobe a pista, um aco de amplitude, em gaus, igual a: a) 60 b) 80 c) 60 d) 0. Detemine a amplitude do aco descito pelo atleta quando pecoe 0 metos. Apesente um valo aedondado à décima de gau.. Pove que, numa pista cicula de aio, a distância pecoida pelo atleta, quando desceve um aco de amplitude de a gaus, é dada, em metos, po: d a# # 80 d

37 Razões tigonométicas de ângulos genealizados. a) b) 0 60 c) 0 6 d) , 0 60 d a + d 60 a# # # a# # + d Considee uma cicunfeência de aio centímetos.. Detemine o compimento do aco de amplitude: a) b) 0 c) 00. Detemine a áea do seto cicula cujo ângulo ao cento tem de amplitude: a) 60 b) 0 c). a) b) c). a) b) c) a# # # # cm # # # # 80 8 cm 0 cm a# # 60 # # 8 cm # # 60 0 cm # # cm 60 Moste que a áea do seto cicula cujo compimento do aco é cm é dada # po cm, sendo o aio da cicunfeência.

38 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS UNIDADE Sendo o aio da cicunfeência, então, o peímeto da cicunfeência é dado atavés da epessão e a áea da cicunfeência atavés de. Tem-se que # # 60 # # # é a amplitude do ângulo coespondente ao seto cicula. Potanto: # y 80 # # + y # # # + y + y cm 60 6 Indique, justificando, o valo lógico da afimação seguinte: «Qualque seto cicula de aio e peímeto 6 tem ângulo ao cento de amplitude adianos.» A afimação tem valo lógico vedade, poque, se o aio do seto cicula é, então, o compimento do aco desse seto é Logo, av + av ad. Taefa Obseve o elógio da figua seguinte. Indique a amplitude, em adianos e em gaus, do ângulo que, em cada instante assinalado na tabela (a pati das zeo hoas), o ponteio dos minutos detemina com a semieta vetical que une o cento do elógio ao ponto que epesenta as zeo hoas (posição inicial). Instante Radiano Gaus 0 h 0 ad 0 0 h 0 min?? 0 h 0 min?? 0 h min?? 0 h 0 min?? 0 h min?? 0 h 0 min ad? 0 h min?? 0 h 0 min?? 0 h min?? 0 h 0 min?? 0 h min?? h?? h??

39 Razões tigonométicas de ângulos genealizados Uma volta completa do ponteio dos minutos coesponde a 60 minutos. 60 Oa, 6 ; então, o ponteio 60 pecoe 6º po minuto, e, potanto, pecoe 0º a cada cinco minutos. Po outo lado, a 0º coesponde 0 # ad, isto é, ad Instante Radiano Gaus 0 h 0 ad 0 0 h 0 min ad h 0 min ad 60 0 h min ad 90 0 h 0 min ad 0 0 h min ad h 0 min ad h min ad h 0 min ad 0 0 h min ad 70 0 h 0 min ad 00 0 h min ad 0 6 h ad 60 h ad 70 7 Um aco AB de uma cicunfeência tem compimento igual a 8 cm. Se o aio da cicunfeência medi cm, qual é a amplitude em adianos do aco AB? s av + 8 av + av ad Potanto, o aco AB tem de amplitude adianos Conveta as amplitudes seguintes paa o sistema cicula: a) 0, e 60. b) -0, e Conveta as amplitudes seguintes paa o sistema seagesimal: a) 0 7, e b) -, e. 6

40 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS a) ad ad ; ad ad e ad ad UNIDADE 0 b) - ad - ad ; ad ad e ad ad a) 80 0 ; e b) 80-0 ; 80 0 e Conveta as amplitudes seguintes paa o sistema seagesimal, apesentando os valoes em gaus, minutos e segundos, sendo os segundos aedondados à unidade: a) 6 ad b) ad 7 a) 6 80 c 080 m.,77 c m l + c l - m. 6,8l c m y + y m c 0 66 l 60m - mg. 8m Potanto, 6 ad é igual a, apoimadamente, 6l 8m. 7 # b) 80 c m.,9 c - m c m l 80 c m.,7l d - n 60 l l d n 7 l y 00 + y c m m. m 60m 7 Potanto, ad é o mesmo que l m. 7

41 Razões tigonométicas de ângulos genealizados 0 Qual a amplitude em adianos de um aco CD cuja coda [CD] mede 6 cm e cujo aio da cicunfeência mede 8 cm? Apesente o esultado aedondado à décima de adiano. Detemine-se a amplitude, em gaus, do ângulo ao cento a (coespondente ao aco CD ) : cos a cos a Como cos - d n., então, a.. Convetendo em adianos, obtém-se: ad ad. 0,8 ad 80 NOTA: É possível obte, dietamente, na calculadoa cos - d n em adianos. As odas de uma bicicleta têm meto de diâmeto. Qual é a distância pecoida pela bicicleta quando um dos aios de uma oda desceve um ângulo de amplitude igual a 0 adianos? Admita que as odas não deapam. Comece-se po convete adianos em gaus: 0 80 c 00 m O peímeto da oda da bicicleta é metos; logo: 00 + m A distância pecoida pela bicicleta é de metos. Em altenativa: O compimento do aco coespondente ao ângulo de amplitude 0 adianos é igual a 0 m. Logo, a bicicleta pecoe metos. 6

42 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS AVALIAR CONHECIMENTOS UNIDADE ESCOLHA MÚLTIPLA Paa cada uma das questões desta secção, selecione a opção coeta de ente as altenativas que lhe são apesentadas. Um elógio macava 0 hoas e 0 minutos. O ponteio dos minutos odou -0. Que hoas maca agoa o mesmo elógio? (A) 0 h min (C) h min (B) h 0 min (D) h 0 min A opção coeta é a (C). Considee, num efeencial o.n. dieto Oy, o ângulo genealizado a (-00, -) cujo lado oigem coincide com o semieio positivo O. A que quadante petence o ângulo a? (A).º quadante (B).º quadante (C).º quadante (D).º quadante A opção coeta é a (B). Considee, num efeencial o.n. dieto Oy, a cicunfeência tigonomética e o ângulo a cujo lado etemidade inteseta a cicunfeência no ponto A de abcissa 0,7. O seno do suplementa de a é, apoimadamente: (A) -0, (C) 0, (B) -0,7 (D) 0,7 y O A a 0,7 Seja y a odenada do ponto A, isto é, y sin a. (0,7) + y + y! 0,.!0,7 O suplementa de a enconta-se no.º quadante; logo, o seu seno é positivo. A opção coeta é a (D). 7

43 Razões tigonométicas de ângulos genealizados Considee um ângulo de amplitude a, em gaus, tal que a! ]90, 80[. Qual das afimações seguintes é vedadeia? (A) sin a cos a > 0 (C) sin a tan a < 0 cosa (B) > 0 (D) tan a cos a < 0 sina Como a petence ao.º quadante, então, a sua tangente e o seu cosseno são negativos, e o seu seno é positivo. A opção coeta é a (C). Na figua está epesentado, em efeencial o.n. Oy, y um aco de cicunfeência AB, de cento na oigem do efeencial e aio igual a. B A eta tem equação y. O ponto C petence ao aco AB. d C Seja a a amplitude do ângulo AOC. a Qual das epessões seguintes dá a distância d do ponto C à eta? O A (A) + sin a (B) - sin a (C) + cos a (D) - cos a d + sin a + d - sin a A opção coeta é a (B). Teste Intemédio do.º ano, y Considee, num efeencial o.n. Oy, a cicunfeência tigonomética e a eta de equação. A Seja a a amplitude do ângulo conveo cujo lado oigem é o semieio positivo O a e cujo lado etemidade é O o A. O Sabe-se que as coodenadas do ponto A são (; 0,7). 6. cos a é igual a: (A) 0, (B) 0,6 (C) 0,7 (D) 0,8 6. O valo de sin(-a) é: (A) -0,8 (B) -0,7 (C) -0,6 (D) 0,8 8

44 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 6. OA + 0, 7, cos a 0,8, A opção coeta é a (D). 07, 6. sin(-a) -sin a - -0,6, A opção coeta é a (C). UNIDADE 7 Na figua está epesentada uma cicunfeência de cento em O e aio cm. Sabe-se que b AO W B ad. O peímeto do seto cicula AOB é: (A) cm (B) 6 cm (C) 9 cm (D) cm B O b A O aco AB mede 6 cm. Logo: P seto cicula cm A opção coeta é a (D). 8 No efeencial o.n. Oy da figua estão epesentados a cicunfeência tigonomética e o tiângulo [AOB]. Sabe-se que: os pontos A, B e C petencem à cicunfeência; os pontos A e C petencem ao eio O ; CO W B ad A y O p } B C A áea do tiângulo [AOB] é: (A) (B) (C) (D) Consideando a base AO, então, a altua do tiângulo é igual a sin 60 cpois ad coesponde a 60 m. A opção coeta é a (B). 9

45 Razões tigonométicas de ângulos genealizados 9 O ponteio das hoas de um elógio tem 7 centímetos de compimento. Das hoas às 6 hoas a etemidade desse ponteio pecoe, apoimadamente: (A) 7 cm (C) cm (B) cm (D) cm O ponteio pecoe hoas, ou seja, Oa, 7. cm. ad. A opção coeta é a (B). RESPOSTA ABERTA Nas questões desta secção, apesente o seu aciocínio de foma claa, indicando todos os cálculos que tive de efetua e as justificações necessáias. 0 Detemine a amplitude e, consideando um efeencial o.n. dieto Oy, indique em que quadante se situa cada um dos seguintes ângulos genealizados: a) (-70, -) c) (00, ) b) (0, ) d) (-0, 0) a) ;.º quadante. b) ;.º quadante. c) ;.º quadante. d) ;.º quadante. No efeencial o.n. Oy da figua estão epesentados a cicunfeência tigonomética e o etângulo [ABCD], de lados paalelos aos eios coodenados, inscito na cicunfeência. Sabe-se que: o ponto E petence ao eio O e é o ponto médio de [AD] ; C B y O a A E D AO W E a e a! ]0, 90 [ 0

46 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Detemine as coodenadas dos pontos A, B, C e D, se a 60.. Moste que a áea da egião coloida é, em função de a, igual a sin a cos a.. Se o ponto A tive coodenadas d, n, detemine tan a e tan(80 - a).. Como sin 60 e cos 60, então: UNIDADE A e, o ; B e -, o ; C e -,- o e D e,- o.. Como A(cos a, sin a) e B(-cos a, sin a), então, AB cos a. Assim: A egião coloida A [AOB]. tan a tan(80 - a) -tan a - cosa# sina sin a cos a Detemine o valo eato de: a) sin - cos 0 + tan(- ) b) sin 76 - cos(- ) + sin 0 tan + sin0 c) cos ( - 60 ) a) sin - cos 0 + tan(- ) sin - (-cos 60 ) + (-tan ) -c- m + (-) b) sin 76 - cos(- ) + sin 0 sin - cos - sin 0 c) e o -e o tan + sin0 tan sin0 - + cos (-60 ) cos c m - -

47 Razões tigonométicas de ângulos genealizados Considee num efeencial o.n. dieto Oy um ângulo genealizado i. Indique, justificando, a que quadante petence o ângulo i, se: a) sin i cos i > 0 tani b) < 0 / cos i > 0 cos i c) sin i cos i < 0 / tan i > 0 a).º ou.º quadante, pois no.º quadante ambas as quantidades são positivas e no.º quadante ambas são negativas. tani b) Tem-se que < 0 só se veifica no.º e no.º quadantes, e o cosseno cosi é positivo no.º e no.º quadantes; logo, o ângulo i petence ao.º quadante. c) Tem-se que sin i é sempe não negativo; logo, sin i cos i só é negativo no.º e no.º quadantes. A tangente só é positiva no.º e no.º quadantes; potanto, o ângulo i petence ao.º quadante. Numa pista de atletismo cicula com quato faias, a medida do aio da cicunfeência até ao meio da pimeia faia, onde o atleta coe, é de 00 metos, e a distância ente cada faia é de metos. Quato atletas, um em cada pista, concoem numa pova de 00 metos. Detemine a amplitude do aco descito po cada um dos atletas, apoimada às centésimas do adiano. Amplitude do aco descito pelo atleta da pimeia faia: 00 av 00 + av ad Amplitude do aco descito pelo atleta da segunda faia: 00 b T 0 + b T 00. 0,98 ad 0 Amplitude do aco descito pelo atleta da teceia faia: cu 0 + cu. 0,96 ad 0 Amplitude do aco descito pelo atleta da quata faia: 00 d U 06 + d U 00. 0,9 ad 0 6

48 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Considee um seto cicula de aio com compimento e ângulo de amplitude a adianos. Seja s o compimento do aco coespondente a a. a. Supondo que o peímeto do seto cicula é 0 centímetos, moste que: 0 a) a - b) a áea do seto cicula é Supondo que o aio do seto cicula mede centímetos e que UNIDADE s a ad, calcule a áea e o peímeto do seto cicula. 9. Supondo que cm e s 7 cm detemine a amplitude a, em adianos.. a) Tem-se que s 0 - e s a ; logo: s 0-0 a - b) A cicunfeência de aio tem de áea ; logo: Aseto c - m + A seto. Tem-se que s Potanto: P seto cm Tem-se: Aseto + A seto 9 # cm. s a + a 7 ad

49 Razões tigonométicas de ângulos genealizados 6 No efeencial o.n. Oy da figua estão epesentadas a cicunfeência tigonomética e a eta. B Sabe-se que: a eta tem equação ; os pontos A e B são os pontos da cicunfeência de abcissas 0,6 e -0,6, espetivamente; y O a A AO W B a e a! E, ; O petence à eta BC ; C é o ponto de inteseção da eta com a eta BC. C 6. Moste que a odenada de B é Detemine o valo eato de sin(-a) + cos( - a) + tan a. 6. Detemine a áea do tiângulo [OAC]. 6. Sabe-se que a abcissa de B é igual a -0,6 - e que 0 a equação eduzida da cicunfeência tigonomética é + y. Substituindo, na equação eduzida da cicunfeência, pela abcissa de B, obtém-se: 69 d- n + y 0 + y y! + y! 00 0 Como o ponto B petence ao.º quadante, tem odenada positiva. Potanto, a odenada de B é Equação da eta BC : y + y Coodenadas do ponto C : e, - o Como sin(-a) + cos( - a) + tan a -sin a - cos a + tan a, então: sin(-a) + cos( - a) + tan a - - d- n + e - o A [OAC] # OA # AC u. a. 6

50 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS I PREPARAÇÃO PARA O TESTE Paa cada uma das questões desta secção, selecione a opção coeta de ente as altenativas que lhe são apesentadas. Na figua ao lado está epesentado um tiângulo etângulo em A, tal que BC AB. C A amplitude de a, em gaus, é apoimadamente: (A), (B) 0, (C) 70, (D) 67, A a B AB AB cos a + cos a BC AB Como cos - d n. 70,, então, av. 70,. A opção coeta é a (C). Seja [ABC] o tiângulo acutângulo da figua, em que BAC W 0, Sabendo que tan a, o valo eato de em centímetos: (A) 6, (B) 6, (C) 6, (D) 6, AB W C a e BC cm. A C é, B A 0º a C + tan a cos a + + d n cos a & 9 cos a 6 sin a - cos a & sin a Então, sin 0 AC A opção coeta é a (D). + AC 6, cm.

51 pepaação paa o teste Considee o ângulo genealizado b de amplitude O ângulo b pode se definido po: (A) (0, ) (B) (0, ) (C) (0, ) (D) (0, ). O valo eato de: sin^b T + 90 h + cos b T + tan^b T - 0 h é: (A) - (B) 0 (C) (D) 690. < F e A opção coeta é a (C).. sin^b T + 90 h + cos b T + tan^b T - 0 h sin( ) + cos 0 + tan(0-0 ) sin 60 + cos 0 + (-tan 60 ) A opção coeta é a (B) No efeencial da figua estão epesentados a cicunfeência tigonomética e o heágono [ABCDEF], inscito na cicunfeência. O ponto A desloca-se ao longo da cicunfeência no.º quadante, de tal modo que: B é simético de A em elação a Oy ; D é simético de A em elação à oigem; E é simético de A em elação a O ; C e F petencem a O. Sendo a a amplitude, em adianos, do ângulo AOF, qual das epessões seguintes dá a áea do heágono [ABCDEF] em função de a? (A) sin a cos a (B) sin a cos a C D B (C) sin a ( + cos a) (D) sin a ( + cos a) y A a F O E Como A(cos a, sin a) e B(-cos a, sin a), então, AB cos a. Tem-se ainda que CF. Logo: + cosa A [ABCDEF] A [ABCF] sin a sin a ( + cos a) sin a ( + cos a) A opção coeta é a (D). 6

52 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS II Nas questões seguintes, apesente o seu aciocínio de foma claa, indicando todos os cálculos que tive de efetua e as justificações necessáias. Atendendo aos dados apesentados na figua seguinte, detemine o valo de, distância ente A e B. Apesente o esultado aedondado à unidade de meto. D 0º 0 m C 00º m A B Denomine-se E o ponto do segmento AB, de modo que a figua se decomponha em dois tiângulos etângulos [ADE] e [BCE]. Tem-se que AB AE + EB. Então: sin 0 AE + AE. 7,66 m 0 BEC W AED W 80 - ( ) 0 tan 0 + EB.,8 m EB Logo,. 0 m. Pove que, dado a um ângulo agudo, se tem: + + tan - sina + sina a + - sina + sina ( + sina) ( - sina) + ( - sina )( + sina ) ( - sina )( + sina ) # ( sin a+ cos a) - sin a cos a cos a sin a cos a + tan a + cos a cos a 7

53 pepaação paa o teste Detemine o peímeto e a áea do tiângulo epesentado em cada uma das figuas seguintes, consideando as dimensões assinaladas. Apesente valoes aedondados às décimas.. A. cm A C y 7º cm cm 60º a cm B C B. Peímeto: sin60 sin + sin Como sin - e o.,7 e é agudo, então,.,7. y ,7 9, sin60 sin9, sin9, + BC.,6 cm BC sin60 P ,6. 0,6 cm Áea: Seja h a altua do tiângulo elativa ao vétice A. Tem-se: sin 60 h + h cm Logo: 6#, A 9.,0 cm. Peímeto: a + - cos a - cos7.,9 cm P ,9., cm Áea: Seja h a altua do tiângulo elativa ao vétice A. Tem-se: sin 7 h + h.,8 cm Logo: A 9. 8, #.,7 cm 8

54 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS No efeencial o.n. da figua estão epesentados a cicunfeência tigonomética e o tiângulo [AOB]. y Os pontos A e B petencem à cicunfeência e são a imagem um do outo pela efleão de eio O. A a a é a amplitude do ângulo com oientação positiva cujo lado oigem é o semieio positivo O e cujo lado etemidade é OA o e a! E, ; o. B O. Detemine as coodenadas de A e de B se a.. Admita que a odenada de A é. Detemine o valo eato de cos a + tan(-a).. Moste que a áea do tiângulo [AOB] é dada em função de a po cosa sin a.. Tem-se que A(cos a, sin a) e B(cos a, -sin a). # 80 Como ad 80, então, a 0. Assim: sin 0 sin 60 cos 0 -cos 60 - Potanto, A e -, o e B e -,- o.. Detemine-se as coodenadas de A(, y) : y * + * + * + d n + + y + * y - < 0, pois A!.º Q 9

55 pepaação paa o teste Como A e -, o, então, cos a - e sin a. Logo: sina cos a + tan(-a) cos a - tan a cos a - cos a Base: AB sin a 0-0 Altua: h cosa (pois as medidas de compimento são positivas) A [AOB] AB # h # sina# cosa cosa sina 60

56 UNIDADE Funções tigonométicas TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS. O seno, o cosseno e a tangente como funções eais de vaiável eal Taefa Na figua está epesentada, em efeencial o.n. Oy, pate do gáfico f de uma função peiódica com peíodo fundamental. Sabe-se que os pontos (-, 0), (0, 0) e (, 0) petencem ao gáfico de f.. Indique os zeos da estição de f a [-, ].. Copie a figua e complete o gáfico paa o intevalo [-, 6].. Os zeos são: -, 0,, e.. y y 0 6 Na figua está epesentada, em efeencial o.n. Oy, pate do gáfico da função g peiódica de peíodo fundamental e de domínio IR. Sabe-se que: os zeos de g no intevalo [0, ] são 0,, e ; g c 6 m e g c m -. Indique: a) os zeos de g no intevalo [-, 0]. b) g c m c) g c- m 6 y O p } 6 p } } p p } 6

57 Funções tigonométicas a) Os zeos são: -, -, - e 0. b) gc m c) gc- m - 6 Moste que as funções seguintes são -peiódicas. a) f() sin() b) g() cos(6) Paa cada função, tem-se que:, +! D. a) f( + ) sin^( + )h sin( + ) sin() f() b) g( + ) cos^6( + )h cos(6 + 6) cos(6 + ) cos(6) g() Indique o contadomínio das funções definidas po: a) f() + sin b) g() cos a) - G sin G G + sin G G + sin G, 6! IR Dl f [, ] b) - G cos G + - G cos G G cos G, 6! IR Dl g [-, ] Detemine uma epessão geal dos zeos das seguintes funções: a) f() sin () b) g() cosc + c) h() sin cos 6 m a) sin() 0 + k, k! Z + k, k! Z b) cosc + m k, k! Z k, k! Z c) sin cos 0 + sin 0 0 cos 0 + k, k! Z

58 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS UNIDADE Na figua estão epesentados a cicunfeência tigonomética e um losango [OABC], tal que A e C petencem à cicunfeência e! ]0, [ é a amplitude, em adianos, do ângulo AOC.. Moste que a áea do losango é dada, em função de, po: A() sin,! ]0, [ y O C A B. Detemine a áea do losango paa. Calcule Ac. 6 m e intepete geometicamente o esultado obtido.. Detemine o valo de paa o qual o losango tem áea máima.. A [OABC] base altua sin,! ]0, [ Potanto, a áea do losango é dada po A() sin,! ]0, [.. Ad n sin sin 0 sin 0 u. a A c m sin sin 90 u. a. Obtém-se um quadado de lado u. c.. O valo máimo da áea é u. a. e, como tal, o losango tem áea máima quando, pois esse é o valo máimo da função sin, que dá a áea do losango. 6 O gáfico da função f() sin + é imagem do gáfico da função seno pela composição de dilatação vetical com uma tanslação. 6. Identifique a dilatação e a tanslação indicando o coeficiente de dilatação e o veto tanslação, espetivamente. 6. Indique o contadomínio de f. 6. Dilatação vetical, de coeficiente, e tanslação vetical, segundo o veto de coodenadas (0, ) G sin G G sin + G G sin + G, 6! IR Dl f [, ] 6

59 Funções tigonométicas 7 Considee as funções eais de vaiável eal definidas po f() + sin e g() -cos() 7. Identifique uma tansfomação geomética que pemita obte o gáfico de f como imagem do gáfico da função seno e, com base nessa tansfomação, indique o contadomínio de f. 7. Identifique uma tansfomação geomética que pemita obte o gáfico de g como imagem do gáfico da função cosseno e detemine a epessão geal dos zeos de g e a epessão geal dos valoes de paa os quais g assume máimos elativos. 7. Dilatação vetical, de coeficiente, seguida de tanslação vetical, segundo o veto de coodenadas (0, ). Dl f [- +, + ] [-, ] 7. Contação hoizontal, de coeficiente, seguida de efleão de eio O. Zeos de g : -cos() 0 + cos() k, k! Z k, k! Z Máimos elativos de g : O máimo da função g é ; logo, obtém-se os maimizantes esolvendo: g() + -cos() + cos() - + k + + k, k! Z + +, k! Z 8 Considee a função eal de vaiável eal, de domínio IR, definida po: f() + sin c 8. Detemine a epessão geal dos zeos de f. 8. Calcule o peíodo fundamental de f. 8. Justifique que f não é pa nem ímpa. 8. A função f não admite zeos, uma vez que Dl f [, ]. 8. m 6

60 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 8. Tem-se que -,! D f IR, então: f(-) + sin c - m - sin c m! f() f(-) + sin c - m - sinc m - e- + sin c Potanto, f não é pa nem ímpa. UNIDADE mo! -f() 9 Pove que são vedadeias as poposições: a) 6! IR, (cos + sin ) + (cos - sin ) b) 6! IR, sin - cos - cos a) (cos + sin ) + (cos - sin ) cos + cos sin + sin + cos - cos sin + sin cos + sin + cos + sin + b) sin - cos (sin ) - cos ( - cos ) - cos - cos + cos - cos - cos 0 Sabendo que é um ângulo do.º quadante e sin -, calcule: sin(-) + cos Como sin -, pela fómula fundamental da tigonometia, tem-se: cos + d- n + cos cos! + cos! Como é um ângulo do.º quadante, o seu cosseno é negativo. 6 Potanto, cos -. Então: 6 sin(-) + cos -sin + cos -d- n + e- o

61 Funções tigonométicas Considee a família de funções definidas po: f() a + b sin. Considee a e b -. Sabendo que G i G detemine tan i. 9 e f(i),. Paa um ceto valo de a e um ceto valo de b, a função f tem o gáfico pacialmente epesentado ao lado. Detemine os valoes de a e de b. p } y p }. Tem-se que: - sin i Detemine-se cos i : Como G i G Logo: sin i 9 + sin i - cos i + sin i + cos i + d- n cos i + cos i!, i é um ângulo do. o quadante, e, potanto: cos i - - sini tan i cos i -. Se Dl f [-, ] [- -, - ], tem-se: f() - + sin Potanto, a - e b. Em altenativa: fc m * + a + b ) + a - ) a- b - b fc- m - 66

62 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Simplifique as epessões seguintes: a) sin( + ) + cos( - ) - sin( + ) + sin( -) b) cos( - ) + cos( -) UNIDADE a) sin( + ) + cos( - ) -sin + cos(-) -sin + cos - sin( + ) + sin( - ) - (-sin) - sin sin b) cos( - ) + cos( -) - cos+ cos cos tan Sabendo que! ]0, [ e que cos( - ), detemine: a) sin b) sin( + ) - cos(-) Tem-se que cos( - ) -cos -, potanto, cos -. a) cos + sin + d- n + sin + sin 9 + sin b) sin( + ) - cos(-) -sin - cos + Po a) - + +! ]0, [ - Taefa Pove que paa todo o! IR, cos( - ) -cos e sin( - ) sin. y P'(cos(p ), sin(p )) p P(cos, sin ) O SUGESTÃO: Aplique os dois gupos de fómulas anteioes a - + ou -( - ). cos( - ) cos(- + ) cos^-( - )h cos( - ) -cos sin( - ) sin(- + ) sin^-( - )h -sin( - ) sin 67

63 Funções tigonométicas No efeencial o.n. Oy da figua estão epesentados a cicunfeência tigonomética e dois pontos A e B, tais que: [AB] é um diâmeto da cicunfeência; é a amplitude, em adianos, do ângulo que tem como lado oigem o semieio positivo O e lado etemidade O o B ; a odenada do ponto A é -0,6. Detemine: a) cos( + ) b) tan c) sin(-) Sabe-se que B(cos, sin ). Como A é simético de B em elação à oigem, tem-se que A(-cos, -sin ). Logo, -sin -0,6 + sin 0,6. Potanto: 0,6 + cos + cos 0,6 a) cos( + ) -cos -(-0,8) 0,8 sin 0, 6 b) tan cos -0,7-08, c) sin(-) -sin -0,6 +o!. Q B y 0,6 cos -0,8 O A Taefa Utilizando o esultado anteio e a paidade das funções seno e cosseno, pove que: a) paa todo o! IR, cosc - m sin e sinc - m -cos. Repae que - - c- + m. b) paa todo o! IR, cosc - m sin e sinc - m cos. a) cosc - m cosc- + m cos c( - ) + m -sin(-) sin sinc - m -sinc- + m -sin c( - ) + m -cos(-) -cos b) cosc - m cosc - m sin sinc - m -sinc - m cos 68

64 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Detemine: 7 a) sinc m + cosc- m 6 0 b) cosd n sinc- m c) sind n - cos c 6 m UNIDADE 7 a) sinc m + cosc- m sinc + m + cosc m 6 6 -sinc m + cosc - m - - cosc m b) cosd n sinc- m cosc + me-sinc mo cosc + m # e- o -cosc m # e- o - # e- o c) sind n - cos c 6 sinc 6 m sinc - m - cos c - m 6 m + cos c m + e o Pove que, tal como a figua sugee, cosc + m sinc - m, paa qualque! IR. y M O Pela alínea b) da Taefa da página 68, tem-se: cosc + m sine - c + mo sinc - -m sinc - m 69

65 Funções tigonométicas 7 Sabendo que! [-, 0] e que sin c + Tem-se que sinc + sin( - ) + tan m cos ; logo: m, calcule: cos + sin + c m + sin sin + sin! 6 Como! [-, 0], então, o ângulo - petence ao.º ou ao.º quadante. Logo, sin é um valo negativo. Potanto: sin sin( - ) + tan sin^(-( - )h + cos sin sin 7 -sin( - ) + cos sin + cos Considee, num efeencial o.n. Oy, a cicunfeência de cento na oigem e aio [AO], sendo A o ponto de coodenadas (, 0), B um ponto que se desloca sobe a cicunfeência e a o ângulo AOB. 8. Calcule a áea do tiângulo [AOB] y O B a A quando av. 8. Justifique que a áea do tiângulo [AOB] é dada em função de a po: A(a) 8 sina 8 8. Sabendo que A(a) e que a é um ângulo do.º quadante, calcule o valo eato de cos( + a) - sinc + am. 70

66 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 8. Seja h a altua do tiângulo [AOB]. Tem-se que: h OB sin a sin Potanto: A [AOB] AO # h # u. a. 8. Calcule-se a altua h do tiângulo [AOB] paa qualque a. Considee-se a odenada de B dada po y B, então: sin a y B + yb sin a UNIDADE Assim, h y B sina. Potanto: A(a) 8. cos( + a) - sinc Pela questão anteio, tem-se: # sina 8 sina + am -cos a - cos a - cos a A(a) 8 sina + 8 sina 8 + sin a Aplicando a fómula fundamental de tigonometia: sin a + cos a + cos a - d n + + cos a a! +o. Q cos a - a!.º Q 6 Logo, - cos a 6. Taefa Considee a função eal de vaiável eal definida po: sin tan cos Pove analiticamente que: Se! D tan, então, +! D tan e tan( + ) tan. Tem-se que:! D tan & bk! Z: + k & bk! Z: + + k Potanto, +! D tan. Além disso: tan( + ) sin( + ) -sin cos( + ) - cos tan 7

67 Funções tigonométicas 9 Detemine o domínio e o peíodo fundamental das seguintes funções eais de vaiável eal: a) f() tan() b) g() tanc m + a) D f ':! + k, k! Z ':! + k, k! Z Peíodo fundamental: b) D g ':! + k, k! Z ':! + k, k! Z Peíodo fundamental: 0 Detemine uma epessão geal dos zeos das funções definidas po: a) f() tan() b) g() tan( + ) a) f() 0 + tan() 0 + k, k! Z + k, k! Z b) g() 0 + tan( + ) k, k! Z + k, k! Z Na figua ao lado está epesentada em efeencial o.n. pate do gáfico de uma função de domínio ]-, [ definida po: f() a +tan(b), em que a e b são númeos eais. Detemine o valo de a e de b. p p } y O p } p Tem-se: f c m a+ tanc bm + tanc bm * + * + * + f() 0 a + tan 0 a + tan b c m b + k, * + * k! Z b + k, + * k! Z a a a Logo, a e b ( b só pode toma o valo, pois a dilatação hoizontal tem azão ). 7

68 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Considee a função eal de vaiável eal definida po:. Detemine f c m. f() - tan UNIDADE. Sabendo que b! ], [ e que cos b - detemine o valo eato de f(b).. f c m - tanc m - tanc + m - tanc m - (-). Se b! ], [ e cos b -, então, b!.º Q e sin b < 0. Assim: cos b + sin b + d- n + sin b + + sin b + sin b - 9 Logo: sinb - f(b) - tan b - - cos b - - Pove que a seguinte poposição é vedadeia: 6! + k, k! Z, cos - sin tan cos cos - sin tan cos sin - sin c m cos -sin cos cos cos cos Simplifique a seguinte epessão: cos c + m tan c + m, com! k, k! Z sinc + m cosc + m tanc + m cose + c + mo cosc + m sinc + m -cosc + m -sinc + m -cos cosc + m 7

69 Funções tigonométicas. Funções tigonométicas invesas Detemine o valo eato de: a) acsincsin m b) acsin sin d n c) acsin(-) d) acsine o a) acsincsin m b) acsindsin n acsine o c) acsin(-) - d) acsine o Taefa Considee as funções definidas po g: [0, ] " [-, ], tal que g() cos e h: E -, ; " IR, tal que h() tan.. Justifique, utilizando agumentos geométicos, que as funções g e h são bijetivas.. Indique o domínio e o contadomínio das funções invesas de g e h.. Quando! [0, ] (.º e.º quadantes), cos assume, uma única vez, todos os valoes do intevalo [-, ]. Então, a função g é bijetiva. Quando! E -, ; (.º e.º quadantes), tan assume, uma única vez, todos os valoes eais. Então, a função h é bijetiva.. D g - [-, ] e Dl g - [0, ] ; D h - IR e Dl h - E -, ; 6 Detemine o valo eato de: a) cos(accos ) b) accos 0 c) sineaccosd a) cos(accos ) cos 0 b) accos 0 - c) Seja accosd- n y. Então, cos y - e y! [0, ]. Detemine-se sin y utilizando a fómula fundamental da tigonometia: sin y + d- n + sin y + sin y! 9 no 7 Como y! [0, ], sin y H 0, então, sin y Potanto, sin accos d n..

70 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 7 Detemine o valo eato de: a) actan_ - i b) cos(actan(-)) c) sin(actan ) UNIDADE a) actan_ - i - b) cos^actan(-)h cosc- m c) Seja actan y. Então, tan y e y petence ao.º quadante. Calcule-se o valo eato de sin y : cos y + sin y + + tan y sin y sin sin y y + Como y!.º Q, sin y. 8 Detemine o valo eato de: a) taneacsinc- m + accos o b) accos(tan 0) c) tan^acsin(acos )h a) taneacsinc- m + accos o tanc- + 0m tanc- m b) accos(tan 0) accos 0 c) tan^acsin(accos )h tan^acsin 0h tan Moste que a seguinte poposição é vedadeia: sin(accos ) -, 6! [-, ] Seja accos y. Então, cos y, com! [-, ] e y! [0, ]. Detemine-se sin y utilizando a fómula fundamental da tigonometia: sin y + + sin y - + sin y! Como y! [0, ], sin y H 0, então, sin y Potanto, a poposição sin(accos ) lógico vedade , 6! [-, ] tem valo 7

71 Funções tigonométicas. Equações tigonométicas 0 Repesente no cículo tigonomético, caso eistam, dois ângulos de lado oigem coincidente com o semieio positivo O, tais que: a) sin b) sin - c) sin Em cada alínea, indique duas amplitudes possíveis paa cada ângulo epesentado. a) y!êê } c) y!êê } Po eemplo, 60 ou 0. b) y Po eemplo, ou. } Po eemplo, -0 ou -0. Uma das soluções da equação sin a é Indique o conjunto solução desta equação C.S. ': + k 0 + k, k! Z 9 9 Resolva, em IR, as seguintes equações: a) sin c m - b) - sin( + ) 0 76

72 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS a) Como acsinc- m -, tem-se: k k, k! Z k 0 + k, k! Z Potanto: 7 C.S. ': - + k 0 + k, k! Z b) - sin( + ) 0 + sin( + ) Como acsine o, tem-se: UNIDADE + + k k, k! Z k k, k! Z Potanto: C.S. ': - + k k, k! Z Considee a função f de domínio IR definida po: Detemine: a) a epessão geal dos zeos de f. f() + sin(-) b) os valoes de paa os quais f() -. a) f() sin(-) 0 + sin(-) - Como acsinc- m -, tem-se: k k, k! Z k k, k! Z 6 6 Potanto: 7 C.S. ': + k k, k! Z 6 6 b) f() - + sin(-) - Como sin! [-, ], 6! IR, a equação é impossível. Logo, C.S. Q. Detemine as abcissas dos pontos de inteseção dos gáficos das funções g() sin() e h() sinc + m 77

73 Funções tigonométicas g() h() + sin() sinc + m k 0 - c + m + k, k! Z k 0 + k, k! Z 6 6 Resolva, em IR, as seguintes equações: a) cos() c) cos cos b) cos + 0 a) Como accosc 78 Potanto: m, tem-se: d) cos sin 7 + k k, k! Z k k, k! Z C.S. ': 6 + k k, k! Z b) cos cos - Como accose- o, tem-se: + k k, k! Z Potanto: C.S. ': + k k, k! Z c) cos cos + + k k, k! Z Potanto: C.S. ': + k k, k! Z d) cos sin + cos cos c - m k k, k! Z Potanto: C.S. ': + k k, k! Z 6 Resolva, em IR, as seguintes equações: a) cos - cos 0 b) sin cos - cos 0 c) sin

74 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS a) cos - cos 0 + cos ( - cos ) cos 0 0 cos Como accos 0 e accos 0, tem-se:! + k 0 k, k! Z + UNIDADE Potanto: + + k 0 k, k! Z C.S. ': + k 0 k, k! Z b) sin cos - cos 0 + cos (sin - ) cos 0 0 sin > + + k, k! Z eq.impossível Potanto: c) sin + sin! C.S. ': + k, k! Z Como acsine o e acsin e- o -, tem-se: Potanto: + k k k k, k! Z k k, k! Z C.S. ': + k k, k! Z 7 Resolva em [0, ] as seguintes equações: a) sin -cos b) sin cos() a) sin -cos + sin sinc - m k 0 - c - m + k, k! Z k k, k! Z k, k! Z 7 As soluções petencentes ao intevalo [0, ] são paa k 0 e paa k. 7 Potanto, C.S. ',. 79

75 Funções tigonométicas b) sin cos() + cosc - m cos() k k, k! Z k k, k! Z k k, k! Z 6 As soluções petencentes ao intevalo [0, ] são 9 paa k ; e paa k. 6 Potanto: C.S. (,, 6 6 paa k 0 ; 6 6 e 8 Resolva, em IR, as seguintes equações: a) tan + 0 b) tan () c) tan() tanc + a) tan tan ) - Como actan(-) -, tem-se - + k, k! Z. Potanto: C.S. ': - + k, k! Z b) tan () + tan()! Como actan_ i e actan_ - i -, tem-se: Potanto: + k k, k! Z k k, k! Z C.S. ': 6 + k k, k! Z c) tan() tanc + m k, k! Z k, k! Z Potanto: C.S. ': + k, k! Z m 9 Considee a função eal de vaiável eal de domínio E 0, ; definida po: f() tan() Detemine analiticamente as coodenadas do ponto de inteseção do gáfico de f com a eta de equação y. 80

76 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS tan() + tan() Como actan_ i, tem-se: UNIDADE + k, k! Z k, k! Z A única solução petencente ao intevalo ; 0, E é, paa k 0. 6 Assim, as coodenadas do ponto de inteseção são c, 6 m. 0 Resolva, em IR, as seguintes equações: a) cos + cos - 0 b) sin + cos c) cos tan d) sin() cos() a) Usando a fómula esolvente: cos + cos cos + cos 0 cos cos - > Como accos, tem-se: eq.impossível -! -# # (- ) + # Potanto: + k k, k! Z C.S. ': + k k, k! Z b) sin + cos + - cos + cos + + cos + + cos + cos 0 cos - Como accos 0 e accos(-), tem-se: Potanto: k, k! Z C.S. {: k, k! Z} sin c) cos tan + cos cos + sin Como acsin 6, tem-se: 6 + k k, k! Z k 0 + k, k! Z 6 6 Potanto: C.S. ': + k 0 + k, k! Z 6 6 8

77 Funções tigonométicas d) sin() cos() + sin() sinc - m k k, k! Z k k, k! Z k k, k! Z Potanto: C.S. ': + k k, k! Z Na figua estão as epesentações gáficas de duas funções f e g, de domínio [0, ], definidas po f() cos() e g() cosc + m. y g f A O ponto A é o ponto de inteseção dos gáficos de f e de g de meno abcissa. Recoendo a pocessos eclusivamente analíticos detemine: a) as coodenadas do ponto A. b) os zeos de g. a) cos() cosc + m k 0 - c + m + k, k! Z k, k! Z k, k! Z 8 A meno solução positiva da equação é f d n cosd n 6 b) g() 0 + cosc + m 0 Como accos 0, tem-se: paa k. - ; logo, as coodenadas de A são, e - o. +! + k, k! Z k, k! Z k, k! Z

78 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Resolva no intevalo [0, ] as seguintes inequações: a) sin > b) cos G c) tan > - UNIDADE a) Recoendo à cicunfeência tigonomética, no intevalo [0, ], obseva-se que: sin > +! E, ; C.S. E, ; y!êê } O p } p } b) Recoendo à cicunfeência tigonomética, no intevalo [0, ], obseva-se que: y cos G +! <, F 6 6 C.S. <, F 6 6 O p 6 p } 6!êê } c) Recoendo à cicunfeência tigonomética, no intevalo [0, ], obseva-se que: tan > ! ; 0, ;, E, ;, E, E 7 C.S. ; 0, ;, E, ;, E, E p } y p } O 7p } p } Uma oda-gigante de um paque de divesões tem doze cadeias. No instante em que a oda começa a gia, a cadeia númeo está na posição indicada na figua. A distância, em metos, da cadeia númeo ao solo, t segundos após a oda-gigante te começado a gia, é dada po: t d(t) 7 + sinc m

79 Funções tigonométicas. Detemine a distância a que a cadeia se enconta do solo no instante em que a oda começa a gia.. Detemine os maimizantes e os minimizantes da função no intevalo [0, 7].. Resolva a equação d(t) 9,, paa t! [0, 7] e indique quanto tempo demoa a cadeia a enconta-se pela pimeia vez a 9, metos do solo, depois de a oda te começado a gia.. Indique, justificando, qual é o compimento do aio da oda-gigante. Adaptado do Eame Nacional do.º ano, 997. d(0) 7 + sin 0 7 m t. Os maimizantes são os valoes de t paa os quais sinc m. 0 Assim: t t sinc m + + k, k! Z + t + 60k, k! Z 0 0 No intevalo [0, 7] tem-se as soluções t paa k 0 e t 7 paa k. t Os minimizantes são os valoes de t paa os quais sinc m -. 0 Assim: t t sinc m k, k! Z + t + 60k, k! Z 0 0 No intevalo [0, 7] tem-se a solução t paa k 0. Potanto, os maimizantes são e 7, e o minimizante é. t t. d(t) 9, sinc m 9, + sinc m t t + + k k, k! Z t + 60k 0 t + 60k, k! Z As soluções petencentes ao intevalo [0, 7] são e paa k 0 e 6 paa k. A cadeia demoa minutos a enconta-se pela pimeia vez a 9, metos do solo. t. A função atinge um máimo quando sinc m. A altua atingida 0 pela cadeia nesse instante é de 7 + m. t A função atinge um mínimo quando sinc m -. A altua atingida 0 pela cadeia nesse instante é de 7 - m. - Assim, o aio da oda-gigante mede m. 8

80 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS No efeencial o.n. da figua estão epesentados a cicunfeência tigonomética e um tiângulo [ABC] tal que: os pontos B, C e D têm coodenadas (0, ), (0, -) e (, 0), espetivamente; o ponto A petence à cicunfeência e AO W D,! E 0, ;.. Admita que a abcissa de A é. Detemine o valo eato de sin( - ) - tan(-).. Moste que a áea do tiângulo [ABC] é dada em função de po cos.. Detemine o valo de paa o qual a áea do tiângulo é igual a sin. y B O C UNIDADE A. sin( - ) - tan(-) sin + tan Como cos, vem: cos + sin + c m + sin sin + sin! 6 Como! E 0, ;, tem-se sin. 7 7 sin Assim, tan cos Calculando o valo da epessão: sin + tan Tome-se paa base o lado [BC]. Tem-se, então, que a base mede unidades e a altua coesponde à abcissa de A, ou seja, cos. # cos Assim, A [ABC] cos.. A [ABC] sin + cos k k, k! Z Como! E 0, ;, tem-se. 6 8

81 Funções tigonométicas Taefa 6 Considee as funções f e g definidas em IR po: f() + sin e g() cos 6. Moste que a função g é -peiódica. 6. Sabendo que: Calcule f(a - ) + g( + a). f ca - m, a! ], [ 6. Moste que a função f admite etemos nos zeos de g. 6. Resolva a condição f() G /! [0, ] epesentando o conjunto solução na foma de intevalo ou união de intevalos de númeos eais. 6. Na figua seguinte estão epesentadas em efeencial o.n. Oy os gáficos das estições de f e g ao intevalo [0, ] e o papagaio [ABCD]. y D A C g O B p f Sabe-se que: A e C são os pontos de inteseção dos gáficos de f e g ; B é o ponto de inteseção do gáfico de g com o eio O de meno abcissa; D é o ponto do gáfico de f de maio odenada. Detemine o valo eato da áea do papagaio. 6.6 Considee a função definida po: f () h() - g () 6.6. Detemine o domínio de h Calcule o valo eato de hfactand np. 86

82 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 6., +! D g poque D g IR. g( + ) ^cos( + )h (-cos ) g() UNIDADE 6. f ca - m + + sin ca - m + cos a -, a!.º Q Pela fómula fundamental da tigonometia: cos a + sin a + c- m + sin a + sin a - Então: f(a - ) + g( + a) + sin(a - ) + ^cos( + a)h - sin a + (-cos a) - e- o + c m Os maimizantes de f são os valoes paa os quais sin, ou seja, + k, k! Z, e os minimizantes de f são os valoes paa os quais sin -, ou seja, - + k, k! Z. Então, os etemos ocoem nos pontos + k, k! Z. Oa, os zeos de g são os valoes paa os quais cos 0, o que coesponde a + k, k! Z. y 6. f() G + + sin G + sin G Recoendo à cicunfeência tigonomética, no intevalo [0, ], obseva-se que: sin G +! ; 0, E, <, F 6 6 C.S. ; 0, E, <, F f() g() + + sin cos + + sin ( - sin ) + -! -# # c- m + sin + sin sin + # -! 6 + sin + sin 0 sin -sin - + > eq.impossível + + k k, k! Z k 0 + k, k! Z 6 6 } O p } 6 p } 6 Assim, as abcissas de A e C são, espetivamente, AC. e, donde

83 Funções tigonométicas Pela alínea anteio, sabe-se que as abcissas de B e D são iguais a. Assim, a odenada de D é dada po f c m + sin. Potanto: h() A [ABCD] AC BD # # f () + sin - g () - cos D h {! IR: - cos! 0} {! IR: cos! / cos! -} {! IR:! k, k! Z} Seja actan y. Então, tan y e y petence ao.º quadante. Calcule-se o valo eato de cos y e de sin y : + tan y + + cos y Como y!.º Q, cos y. d n + cos y cos y 69 sin y sin y Tem-se que tan y cos y + + sin y + # Assim, h(y) - cos y - # 69 + sin y AVALIAR CONHECIMENTOS ESCOLHA MÚLTIPLA Paa cada uma das questões desta secção, selecione a opção coeta de ente as altenativas que lhe são apesentadas. Seja f uma função eal de vaiável eal, de domínio IR, -peiódica. Qual das epessões seguintes pode defini a função f? (A) sin (B) cos A opção coeta é a (D). (C) tan (D) sin()

84 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS UNIDADE y No efeencial o.n. da figua está epesentada pate do gáfico de uma função f definida po f() a cos(b) em que a e b designam p p p p p 6p númeos eais. Quais dos valoes seguintes podem se os valoes de a e de b? (A) a e b (B) a e b (C) a - e b (D) a - e b - A opção coeta é a (B). Considee a função h, de domínio IR, definida po h() cos().. Uma epessão geal dos zeos da função h é: (A) ( + k), k! Z (B) ( + k), k! Z 6 (C) ( + 6k ), k! Z (D) ( + k), k! Z. O contadomínio de h é: (A) [-, ] (B) [-, ] (C) [-, ] (D) ;-, E k. h() 0 + cos() k, k! Z + +, k! Z 6 A opção coeta é a (B).. A opção coeta é a (B). O mostado do elógio da figua é um cículo e está apoiado numa baa. Sabe-se que, t segundos após as zeo hoas, a distância, em metos, da etemidade do ponteio dos minutos à baa é dada po: d(t) + 0,8 cosc tm 800 O compimento, em metos, do ponteio dos minutos é: (A) 0, (B) 0,8 (C) 0,9 (D) 89

85 Funções tigonométicas 0 min 800 s d(0) + 0,8 cos(0),8 m d(800) + 0,8 cos c # 800m 0, m 800 8, - 0, 0,8 m A opção coeta é a (B). Se tan - e! ]0, [, o valo eato da epessão - sin é: (A) - 6 (B) - cos cos + sin + sin (C) sin + + sin sin (D) d- n + + sin tan sin sin Logo, - sin -. A opção coeta é a (D). 6 y No efeencial o.n. da figua estão epesentados os gáficos das funções f e g de domínio [0, ] P g definidas po f() sin O e g() cos. Q f Os pontos P e Q são os pontos de inteseção dos dois gáficos. O valo eato de PQ é: (A) (B) (C) (D) + sin cos + + k, k! Z Assim, tem-se P e, o e Q e, - o. Potanto: PQ d - n + e- - o + A opção coeta é a (D). 90

86 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 7 Qual é o valo de taneaccos d no? UNIDADE (A) (B) (C) (D) Seja accos y. Então, cos y e y petence ao.º quadante. Calcule-se o valo eato de tan y : + tan y + + tan y cos y Como y!.º Q, tan y A opção coeta é a (B).. d n + tan y 8 Qual é o valo de tal que acsin( - ) - 6? (A) - (B) - 7 (C) 7 (D) acsin( - ) - & sin^acsin( - )h sin c- m & 6 6 & A opção coeta é a (D). 9 Paa qualque valo eal de, a epessão sin( - ) sin(-) + cos( + ) sinc + m é igual a: (A) -sin (sin + cos ) (B) -sin + cos (C) (D) - sin( - ) sin(-) + cos( + ) sinc + m sin (-sin ) - cos cos -sin - cos -(sin + cos ) - A opção coeta é a (D). 9

87 Funções tigonométicas 0 Seja m! IR. Os valoes de m paa os quais a equação - sin m é possível são: (A) A-,- A, 7, + 7 (C) A-, A (B) 7-, A (D) A -, 7 A equação é possível se, e só se, - G - m G. A opção coeta é a (B). Qual das seguintes epesentações gáficas taduz as soluções da equação - cos - 0 no intevalo ]-, [? (A) y (B) y (C) y (D) y O O O O A opção coeta é a (C). 9 RESPOSTA ABERTA Nas questões desta secção, apesente o seu aciocínio de foma claa, indicando todos os cálculos que tive de efetua e as justificações necessáias. Considee as funções f e g, eais de vaiável eal, definidas po: f() - sin() e g() cosc m. Detemine o valo eato de f d n + gc m. 6. Detemine o peíodo fundamental de cada uma das funções f e g.. Calcule uma epessão geal paa os zeos de f e outa paa os zeos de g.. Detemine o contadomínio de g.. Estude a paidade de f e de g.. f d n + gc m - sind # n + cos sinc- m + cosc - m sinc - f p m - cos c m

88 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Como o peíodo fundamental de sin é, o peíodo fundamental de f() é. Como o peíodo fundamental de cos é, o peíodo fundamental de g() é.. Zeos de f : f() sin() 0 + k, k! Z + acsin0 0 + k, k! Z Zeos de g : g() 0 + cosc m k, k! Z + accos0. - G cosc m G + - G cosc m G Assim, Dl g [-, ].. Tem-se que - e! D, então: f(-) - sin(-) sin() ; logo, f é ímpa. g(-) cos c - m cos c m ; logo, g é pa. UNIDADE + k, k! Z + A pofundidade da água do ma, à entada de um ceto poto de abigo, vaia com a maé. Admita que o tempo que decoe ente cada maé baia e cada maé alta é de 6 hoas, sendo igualmente de 6 hoas o tempo que decoe ente cada maé alta e cada maé baia. Nestas condições, apenas uma das epessões seguintes pode defini a função que dá a pofundidade, em metos, da água do ma, à entada desse poto, t hoas após a maé baia. Qual é a epessão coeta? (A) 9 - cosc tm (C) - cosc tm 6 (B) 9 - cosc tm (D) 9 + cosc tm 6 Numa pequena composição, eplique as azões pelas quais ejeita as outas tês epessões. Apesenta tês azões difeentes, uma po cada epessão ejeitada. 9

89 Funções tigonométicas A função petendida é peiódica de peíodo fundamental, poque ocoe uma maé alta a cada hoas sempe intecalada com uma maé baia que também acontece a cada hoas. A opção (C) tem peíodo fundamental e a opção (B) tem peíodo fundamental 6 ; po isso, a opção coeta ou é a (A) ou a (D). Ambas as epessões das opções (A) e (D) têm contadomínio [7, ]. No entanto, paa t 0, obtém-se 7 m na epessão da opção (A) e m na epessão da opção (D). Como a função dá a pofundidade da água do ma t hoas após a maé baia, o valo paa t 0 tem de se um mínimo da função. Logo, a opção coeta é a (A). Simplifique a epessão seguinte: sin( + i) + cos(-i) + sinc -im Calcule o seu valo eato, sabendo que cos i - / i!.º Q. Simplifique-se a epessão: sin( + i) + cos(-i) + sinc - im Calcule-se o valo de sin i : Como i!.º Q, sin i Assim, -sin i + cos i -sin i + cos i + cos i -sin i + cos i sin i + cos i + sin i + c- m + + sin i + sin i! Seja h uma função, de domínio IR, definida po: h() + ( + cos ) - ( - cos ). Moste que: 9 a) h() + cos b) h é -peiódica. O valo é o peíodo fundamental de h?. Sabendo que h(a) e que a petence ao.º quadante, detemine o valo eato de: sin(a + ) + cosc + am

90 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS UNIDADE. a) h() + ( + cos ) - ( - cos ) + + cos + cos - + cos - cos + cos b) h( + ) + cos( + ) + cos( + ) + cos cos é - peiódica Logo, h é -peiódica, mas não é o peíodo fundamental, uma vez que h também é -peiódica.. Simplificando a epessão, tem-se: sin(a + ) + cosc + am -sin a - sin a - sin a Tem-se que h(a) + + cos a + cos a -. Logo: cos a + sin a + sin a - c- m + + sin a sin a - 6 a! +o. Q Potanto, - sin a. 6 Detemine os valoes de k eais paa os quais é possível, em IR, a condição: sin k + / cos k Pela fómula fundamental da tigonometia, tem-se: cos a + sin a + k + _ k + i + k + k k + k 0 + k(k + ) 0 + k 0 0 k - Substituindo na condição, tem-se que k 0 ou k - é possível. Logo, k pode assumi os valoes 0 e -. 7 No efeencial o.n. Oy da figua está epesentado o gáfico da função f de domínio [-, ], definida po f() - sin e o tiângulo [AOB]. y B p A O p Sabe-se que: os pontos A e B petencem ao gáfico de f ; o ponto A petence ao eio O e o ponto B petence ao eio Oy. 9

91 Funções tigonométicas 7. Sabendo que paa b! E, ; se tem f(b) 0,, detemine o valo eato de: cos b + sin( + b) 7. Detemine a áea do tiângulo [AOB]. 7. Detemine os valoes do domínio de f, tais que f() Simplificando a epessão, tem-se: Calcule-se sin b e cos b : cos b + sin( + b) cos b - sin b f(b) 0, + - sin b 0, + sin b sin b! 0 Tem-se que: sin b + cos b cos b + + cos b + cos b! 0 0 Como b! E, ;, sin b e cos b Assim, cos b - sin b - 7. Detemine-se a odenada de B : Detemine-se a abcissa de A : + 0 f(0) - sin 0 f() sin 0 + sin + + sin! + + k, k! Z A abcissa de A coesponde ao zeo da função com abcissa meno, ou seja, -. Assim, A [AOB] AO # BO # f() sin - + sin + + sin! + + k 0 + k, k! Z. Como D f [-, ], as soluções são e - e - paa k -. C.S. (-,-,, e paa k 0 96

92 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 8 Considee o tiângulo isósceles da figua, em que a! 0, ; 8. Moste que a áea do tiângulo é dada, em função de a, po: A(a) sin a cos a 8. Detemine a áea do tiângulo paa a. E. 8. Sabendo que sin( - a), detemine o valo eato de A(a). UNIDADE 8. Considee-se a figua seguinte, que esulta da divisão do tiângulo inicial em dois tiângulos etângulos iguais: C cm cm a a A cm a h cm a B Sabe-se que: cos a AB AC + AB cos a h sin a AC + h sin a 8. Ac Assim: A [ABC] AB # h cosa# sina cos a sin a m cos 8. sin( - a) + sin a sin Tem-se que: sin a + cos a + d n + cos a cos a + cos a! 9 Como a! E 0, ;, cos a. Logo: 9 9 A(a) 6 97

93 Funções tigonométicas 9 Detemine o domínio e os zeos, se eistiem, da função definida po: a) f() tan c m b) g() c) h() tanc tan( ) m a) D f ':! + k, k! Z ':! + k, k! Z Zeos: f() 0 + tanc m 0 + k, k! Z + k, k! Z b) D g ':! + k, k! Z / tan()! 0 ':! k, k! Z Zeos: g() 0 + tan( ) /! k, k! Z +! Q c) D h ':! + k, k! Z /! 0 ':!, k! Z /! 0 + k Zeos: h() 0 + tanc m 0 + +! 0 /! + k + k, k! Z\{0} / k, k! Z + 0 Na figua está epesentado um cilindo de evolução, tal que: O é o cento da base infeio; a eta DB é pependicula a OB ; D petence à base supeio do cilindo; o aio da base mede cm ; a é a amplitude do ângulo BOD. 0. Pove que o volume do cilindo é dado em função de a po: V(a) 6 tan a, a! ; 0, ; O a D B 0. Detemine a altua do cilindo paa a. 0. Calcule o valo de a paa o qual o volume do cilindo é Paa que valoes de a a altua do cilindo mede o mesmo que o diâmeto da base? Utilize valoes apoimados às décimas do adiano. 98

94 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DB 0. Tem-se que tan a + DB tan a. Logo: OB V(a) DB tan a 6 tan a O domínio da função é E 0, ; poque nos casos em que a 0 ou a o cilindo fica degeneado. 0. DB tan UNIDADE 0. V(a) tan a 6 + tan a + a + k, k! Z No intevalo E 0, ; a única solução é a. 0. DB 8 + tan a 8 + tan a & a tan - & a., ad Sabendo que sin( - ) e! E, ;, detemine o valo eato de: sinc + m + tan( + ) Tem-se que: sin( - ) + sin Assim: sinc + m + tan( + ) -cos + tan sin + cos cos cos + cos! 9 Como! E, ;, cos -. sin Logo, tan cos -. - Potanto, -cos + tan -. Detemine: a) acsine- b) accos c) sinfaccose- o op d) taneaccos + acsind- no e) cose - acsin c- mo f) sinc-actan m 99

95 Funções tigonométicas a) acsine- b) accos 6 o - c) sinfaccose- op sin d) taneaccos + acsind- no tane0 + acsind- no taneacsind- no Seja acsind- n y. Então, sin y - e y petence ao.º quadante. Calcule-se o valo eato de tan y : cos y + sin y tan y sin y tan + tan y y Como y!.º Q, tan y -. e) cose - acsin c- mo cose - c- mo cos - 6 f) sinc-actan m -sincactan m Seja actan y. Então, tan y e y petence ao.º quadante. Tem-se que sin(-y) -sin y. Calcule-se o valo eato de sin y : cos y + sin y + + tan y sin y sin y 9 sin y Como y!.º Q, -sin y -. + Na figua ao lado está epesentado o gáfico da função f() + sin, de domínio [-, ]. A y O C B 00

96 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS UNIDADE Os pontos A e B são pontos de inteseção consecutivos do gáfico de f com o eio O ; A abcissa de A é negativa e a abcissa de B é positiva; A odenada de C é máimo da função f. Utilizando apenas pocessos analíticos, detemine o valo eato da áea do tiângulo [ABC]. f() sin 0 + sin k 0 - c- m + k, k! Z k 0 + k, k! Z As soluções petencentes a [-, ] são - e paa k 0, 6 6 paa k e - paa k Assim, as abcissas de A e B são, espetivamente, - e. 6 6 Tem-se que f atinge um máimo quando sin ; logo, a odenada de C, y c, é +. Potanto: 7 A [ABC] AB # y c + m # c 6 6 Resolva, em IR, as seguintes equações: a) - sin b) - cos c) sin - 0 d) + cos() sinc- m e) sin cos() 0 f) - sin 0 g) sin() cos h) - tan 0 i) tan tanc - a) - sin + sin + + k, k! Z C.S. &: + k, k! Z0 b) - cos + cos k k, k! Z C.S. &: + k k, k! Z0 c) sin sin k 0 + k, k! Z C.S. &: + k 0 + k, k! Z0 m 0

97 Funções tigonométicas d) + cos() sinc- m + + cos() - + cos() - +! Q C.S. Q e) sin cos() 0 + sin 0 0 cos() k 0 + k, k! Z + + k 0 + k, k! Z C.S. &: k 0 + k, k! Z0 f) - sin 0 + sin + sin! k, k! Z C.S. &: + k, k! Z0 g) sin() cos + sin() sinc - m k 0 - c - m + k, k! Z k 0 + k, k! Z k 0 + k, k! Z 6 C.S. &: + k 0 + k, k! Z0 6 h) - tan 0 + tan + + k, k! Z C.S. &: + k, k! Z0 i) tan tanc - m k, k! Z k, k! Z C.S. &: + k, k! Z0 Resolva, em ;, E, a equação seguinte: sin - cos sin - cos + ( - cos ) - cos +! -# # (- ) + cos - cos cos + #! 9 + cos + cos 0 cos - + k + k 0 + k k, k! Z +, k! Z Soluções no intevalo, ; E :, e. Logo, C.S. (,,. 0

98 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 6 Considee um tiângulo etângulo [ABC], cujos catetos são [AB] e [BC]. Admita que se tem AB, BA W C e 0 < <. A 6. Moste que o peímeto do tiângulo é dado po: + sin + cos P() cos 6. Calcule o valo eato de Pc m. UNIDADE C B 6. Sabendo que tan a, detemine o valo eato de P c - m. 6. Tem-se que: Assim: CB tan + CB tan AB AB cos + AC AC cos P() AB + AC + CB + tan + cos sin + sin + cos + cos + cos cos + sin + cos Pc m + cos 6. Tem-se que: + tan + + d n + cos cos cos 69 Como!.º Q, cos. Tem-se ainda que: sin sin tan cos + + sin Assim: + sinc - am + cosc -am Pc - am cosc - am cosa+ sina 6 sina 0

99 Funções tigonométicas 7 Resolva, analiticamente, em [0, ] e em [-, ] : a) sin H - b) cos < c) tan G a) Recoendo à cicunfeência tigonomética, no intevalo [0, ], obseva-se que: Já no intevalo [-, ] : 7 sin H - +! ; 0, E, <, F 6 6 sin H - +! < -,- F, ;-, E 6 6 b) Recoendo à cicunfeência tigonomética, no intevalo [0, ], obseva-se que: 7 cos < +! E, ; Já no intevalo [-, ] : cos < +! ;-, - ;, E, E c) Recoendo à cicunfeência tigonomética, no intevalo [0, ], obseva-se que: tan G +! ; 0, E, F, F, E, Já no intevalo [-, ] : E tan G +! ;-,- E, E-, E, E, E 8 Detemine quais são as soluções inteias de: 0 sin - > 0 /! ]-, [ Recoendo à cicunfeência tigonomética, no intevalo ]-, [, obseva-se que: sin - > 0 + sin > +! F, < Assim, a única solução inteia desta equação é.

100 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 9 Resolva, em [0, ], a seguinte condição: sin G / cos < 0 UNIDADE Recoendo à cicunfeência tigonomética, no intevalo [0, ], obseva-se que: Assim: sin G +! ; 0, E, <, F 6 6 cos < 0 +! ;, E sin G / cos < 0 +! <, < 6 0 Moste que: a) sin - sin cos - cos, 6! IR cos- cos b) sin cos, 6! IR\{: k, k! Z} sin cos c) + sin, 6! IR\&: + k, k! Z0 - sin d) + sinc + m cos sin a) sin - sin (sin ) - ( - cos ) ( - cos ) - + cos - cos + cos - + cos cos - cos cos- cos b) sin cos( - cos ) sin cossin sin cos sin Esta igualdade é válida desde que sin! 0, isto é, paa! k, k! Z. cos c) - sin - sin ( - sin )( + sin ) + sin - sin - sin Esta igualdade é válida desde que - sin! 0, ou seja, sin!. Logo, a igualdade é válida paa! + k, k! Z. d) + sinc + m cos - cos cos sin 0

101 Avaliação global de conhecimentos AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS ESCOLHA MÚLTIPLA Paa cada uma das questões desta secção, selecione a opção coeta de ente as altenativas que lhe são apesentadas. Na figua estão epesentados dois quadados [ABCD] e [EFGH]. Tendo em conta os dados da figua e sabendo que BF CG DH AE 9 cm, pode-se conclui que a áea do quadado [EFGH] é igual a: (A) 6 (B) 9 + (C) 08 (D) G D C H 0º 0º 0º 0º F A B E AE AE cos 0 + HE HE cos0 + HE 9 + HE 6 cm A opção coeta é a (C). A cicunfeência da figua tem cento em P e os pontos N e M petencem-lhe. Sabe-se que NM cm e PN X M 0. Então, o compimento da cicunfeência é: (A) (C) 0 (B) (D) 7 N P M cos 0 NM PN + PN A opção coeta é a (C). cos0 + PN Tendo em conta os dados da figua, a altua da toe é, apoimadamente, igual a: (A) 7,77 m (C),6 m (B) 6, m (D), m 68, m, m 60º 06

102 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Usando o teoema de Canot: a b + c - bc cos a + + a 68, +, - 68,, cos a 709, , - 8, & & a 6, - 696, 7 7,77 A opção coeta é a (A). Na figua está epesentado um tiângulo [ABC] com dois ângulos de amplitude a e um ângulo de amplitude b. B b a a A C Qual das igualdades seguintes é vedadeia, paa qualque tiângulo nestas condições? (A) cos b sin(a) (C) cos b -sin(a) (B) cos b cos(a) (D) cos b -cos(a) Teste intemédio do.º ano, 008 B b a a A C cos b cos( - a) -cos(a) A opção coeta é a (D). A que quadante petence o ângulo genealizado de amplitude -76? (A).º quadante (B).º quadante (C).º quadante (D).º quadante A opção coeta é a (A). 07

103 Avaliação global de conhecimentos 6 O valo eato da epessão sin 60 + sin080 -cos0 cos70 + sin800 (A) -0, (B) (C), (D) sin 60 + sin080 -cos0 cos70 + sin800 A opção coeta é a (A). é: sin 60 + sin 0 -cos0 cos0 + sin Seja um valo petencente a E, ;. Qual das epessões seguintes designa um númeo eal negativo? (A) -cos - sin -cos (B) tan (C) sin cos (D) sin - tan Como petence ao. o quadante, o cosseno, o seno e a tangente de são valoes negativos. A opção coeta é a (D). 8 Na figua está epesentada em efeencial o.n. Oy a cicunfeência tigonomética. y Sabe-se que: B e C petencem à cicunfeência; a eta CD é tangente à cicunfeência, paalela a AB e pependicula a O ; B o ponto A petence a O ; p a AO W } B O A AB a CD b a+ b Então, b - a é igual a: (A) (B) (C) (D) a sin a+ b b- a - A opção coeta é a (B) e b tan D b C

104 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 9 No efeencial o.n. Oy da figua estão epesentados a cicunfeência tigonomética e o tiângulo [ABC]. y B C Sabe-se que: A é um ponto da cicunfeência do. o quadante; B tem coodenadas (0, ) ; [AC] é um diâmeto da cicunfeência; i é o ângulo de lado etemidade O o C e de lado oigem o semieio positivo O. A O u A áea do tiângulo [ABC] é, em função de i, igual a: (A) sin i (B) cos i (C) tani (D) sin i Como [AC] é um diâmeto, o tiângulo [ABC] é etângulo em B. Tome-se paa base o lado [AB] e paa altua o lado [BC]. Tem-se C(cos i, sin i) e A(-cos i, -sin i). Logo: AB ( 0+ cosi) + ( + sini) cos i+ + sini+ sin i + sini BC ( 0- cosi) + ( - sini) cos i+ - sini+ sin i - sini Assim: + sini# -sini - sin i A [ABC] cos i + cos i cosi0 # cosa Em altenativa: A [ABC] A [OCB] cos a. A opção coeta é a (B). 0 Paa os valoes de paa os quais está definida, a epessão cos - cos sin- sin é igual a: cos (A) cos (B) tan (C) (D) sin cos cos - cos cos( cos - ) cos( -sin - ) sin- sin sin( - sin ) sin( - sin ) cos( - sin ) cos sin( - sin ) sin A opção coeta é a (C). 09

105 Avaliação global de conhecimentos Um pêndulo oscila descevendo um ângulo de amplitude adianos e um aco de compimento centímetos. 6 O compimento do pêndulo é, apoimadamente, igual a: (A) 8 cm (B) 9 cm (C) 0 cm (D) cm A opção coeta é a (D). Na figua ao lado, estão epesentados, num efeencial o.n. Oy, uma cicunfeência e o tiângulo [OAB]. Sabe-se que: O é a oigem do efeencial; a cicunfeência tem cento no ponto O e aio ; A é o ponto de coodenadas (-, 0) ; B petence à cicunfeência e tem odenada negativa; o ângulo AOB tem amplitude igual a adianos. Qual é a áea do tiângulo [OAB]? (A) (B) (C) A y (D) O Eame Nacional do.º ano, 0 Tomando paa base o lado [AO], então, a altua é o valo simético da odenada de B. Esta é uma cicunfeência tigonomética; logo, a odenada de B é: sind + n -sin - # Assim, A [AOB] A opção coeta é a (A).. B Indique qual dos seguintes valoes não é peíodo da função eal de vaiável eal f() sin(). (A) (B) (C) (D) A opção coeta é a (B). 0

106 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Seja g uma função de domínio IR e peíodo fundamental, em que se sabe que: g() /! [-, ] O contadomínio de g é: (A) [, ] (B) [0, ] (C) [-, ] (D) [0, ] A opção coeta é a (B). Considee o conjunto A &! IR: cosc + km, k! Z0. Então, tem-se que: (A) A '- (C) A '-, (B) A ' (D) A,, '- -, A opção coeta é a (C). 6 Selecione a poposição falsa. (A) acsin - acsin 7 (B) acsin + actan A opção coeta é a (C). (C) sin`actan_ - ij (D) tan(accos ) 0 7 Seja b um númeo eal, tal que b accos - O valo de cos b + sin b é igual a: (A) -- 6 (B) (C) d n. 9 (D) -+ 6 Tem-se que cos b -. Assim: cos b + sin b + + sin b + sin b Como b! [0, ], sin b 6. Logo, cos b + sin b A opção coeta é a (D).

107 Avaliação global de conhecimentos 8 Seja f a função de domínio [-, ] definida po f() acsin. Sabe-se que o ponto de coodenadas (y, i) petence ao gáfico da função f. Selecione a poposição falsa. (A) sin( - i) y (B) cosc -im y Tem-se que i acsin y + y sin i A opção coeta é a (D). (C) sin( + i) -y (D) cosc +im -y 9 No efeencial o.n. da figua está epesentado o gáfico de uma função f definida po f() acsin( + a) + b, em que a e b designam númeos eais. Sabe-se que D f [, ] e que, tal como a figua sugee, f(,). Então, tem-se: (A) a - e b (B) a - e b (C) a e b (D) a e b y p } O, f O domínio da função acsin é [-, ] ; logo, a -. f(, ) + acsin(, - ) + b b A opção coeta é a (A). 0 Seja a um númeo eal. Sabe-se que a é uma solução da equação cos -. Qual das epessões seguintes designa uma solução da equação cos? (A) -a (B) + a (C) - a (D) + a A opção coeta é a (B).

108 Domínio TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS RESPOSTA ABERTA Nas questões desta secção, apesente o seu aciocínio de foma claa, indicando todos os cálculos que tive de efetua e as justificações necessáias. De acodo com os dados da figua detemine: A a) um valo apoimado às centésimas da distância ente os dois bacos ^ BC h. b) a amplitude, em gaus, aedondada às unidades, dos outos dois ângulos intenos do tiângulo [ABC]. º 6, m B 78, m C a) Usando o teoema de Canot: a c + b - cb cos a + + a 6, + 78, - 6, 78, cos + + a 90, , , cos & & a c 00860, - 90, 76 & a c,0 m b) Usando o teoema de Canot: c a + b - ab cos CW + + 6,,0 + 78, -,0 78, cos CW , - 076, , -090, cos CW & & cos CW c 0,6 & CW c 9 Tem-se que BW c 80 - ( + 9 ) 08. NOTA: Pode-se, em altenativa, usa a lei dos senos em ambos os casos. De acodo com os dados da figua seguinte, detemine sinb. sina m b!w m 7º 60º a