MECÂNICA DOS FLUIDOS I Engenharia Mecânica e Naval Exame de Época Normal 21 de Janeiro de 2011, 08h 00m Duração: 2,5 horas.

Transcrição

1 MECÂNICA DOS FLUIDOS I Engenhaia Mecânica e Naval Exame de Época Nomal de Janeio de 0, 08h 00m Duação:,5 hoas. Questão Considee um depósito de sumo efigeado, como os que se encontam nalguns efeitóios. Esses equipamentos são constituídos po um depósito de paedes tanspaentes, com uma campânula cental que é mantida a tempeatua baixa. Uma pequena bomba hidáulica fa com que o sumo cicule desde o fundo do depósito até à pate de cima, de onde cai sobe a ona cental. Há máquinas de sumo em que o fluxo de eciculação é ao contáio, mas considee o sentido indicado na Figua. Fig. Fig. (Todas as dimensões estão em milímetos) Os tubos de eciculação são de feo com uma ugosidade equivalente das paedes inteioes de 0,5 mm, têm um diâmeto de 5 mm e um compimento total de 80 cm. A bomba hidáulica localia- -se ente as secções 3 e 4, como se mosta na Figua. O sistema possui dois cotovelos egulaes a 90º, um antes da secção 3 de entada da bomba e o outo antes da secção de saída 5. A difeença de cota vetical ente as extemidades da conduta e 5 é de 50 cm. O aio de cuvatua do toço de tubo que acompanha a campânula é muito maio que o seu aio, pelo que pode consideá-lo ecto paa efeito da deteminação da sua peda de caga. A campânula cental mede 5 cm de altua e 0 cm de diâmeto. Admita que o sumo é constituído pincipalmente po água e possui as popiedades físicas da água à 3 6 tempeatua ambiente; massa volúmica ρ = 000 kg/m, viscosidade cinemática ν = 0 m /s. O nível do sumo está a 5 cm da base do depósito. O a no inteio do equipamento está à pessão atmosféica (admita que a pessão do a é unifome). O caudal eciculado pela máquina é de 0, litos/s. Cotas dos difeentes pontos assinalados na Figua : = 0,05 m, = 3 = 0, 4 = 0,0 m, 5 = 0,5 m, 6 = 0,5 m, 7 = 0,0 m. O compimento do tubo ente e 3 é de 0,5 m. a) Calcule a potência da bomba sabendo que o seu endimento é de 5%. [ val.] b) Detemine a pessão mínima e a pessão máxima no cicuito de eciculação. [ val.] c) Tace um gáfico clao, qualitativo, da evolução de pessão estática ao longo do cicuito de eciculação, identificando no gáfico os pontos de a 7 assinalados na Figua. Tace também o gáfico da pessão pieomética, identificando os mesmos pontos. [ val.] d) Se constui uma máquina geometicamente semelhante n vees maio em cada uma das 5/ dimensões lineaes (compimento, altua e lagua) e em que o caudal de eciculação seja n vees maio, qual deve se a potência da nova máquina? Admita que o endimento da bomba se mantém inalteado e que não existe influência do númeo de Reynolds. Moste que paa esta elação de caudais, a igualdade do númeo de Foude é espeitada. [,5 val.]

2 e) Considee um volume de contolo que englobe o jacto e a película que cobe a campânula ente as secções 5 e 7, secções essas onde se admite que as linhas de coente não têm uma cuvatua ponunciada. Calcule a foça que o jacto live, descendente, exece sobe a campânula nas seguintes hipóteses: o escoamento é invíscido (fluido pefeito); a película de líquido que cobe a campânula é de espessua axissimética, pequena, sem descontinuidades nem fomação de salpicos. O peso do fluido contido no jacto e na película que cobe a campânula ente as secções 5 e 7 é de N. [,5 val.] Questão a) Aplicando a equação da enegia ente a secção na supefície live do líquido (ponto ) e a secção à saída do jacto (ponto 5) na apoximação unidimensional, tem-se p H hf 5 = p ρg g ρg g Em que H é a altua de elevação da bomba, hf 5 as pedas no sistema de tubos ente a secção e a secção 5, p a pessão estática, a velocidade média do fluido na secção, ρ a massa volúmica, g a aceleação da gavidade e a cota em elação a um plano hoiontal de efeência (neste caso a base do esevatóio). Como p = p5 = pat e 0, vem 5 H = ( 5 ) + hf 5 + g As pedas no sistema de tubos ente a secção e a secção 5 podem se calculadas da seguinte foma: L h = f 5 ( f kcot kent) d + + g Em que f é o coeficiente de atito no tubo, k cot o coeficiente de peda de caga de um cotovelo egula a 90º, k ent o coeficiente de peda de caga da entada (abupta) paa o tubo, L o compimento total do tubo, d o seu diâmeto e a velocidade média na secção do tubo. Como os tubos são de secção constante, é constante ao longo do tubo e igual à velocidade de saída, = 5. A velocidade de saída do jacto detemina-se a pati do caudal. O diâmeto do jacto é d = 0,05 m e a velocidade média seá 3 Q 0,000 m /s 5 = 4,3 m/s πd / 4 = π 0,05 m = O númeo de Reynolds paa o escoamento no tubo é

3 d,3 m/s 0,05 m Re = = = 7000 ν 6 0 m /s A ugosidade elativa é ε / d = 0,5 mm /5 mm = 0,0. Com este valo e o valo do númeo de Reynolds etia-se do diagama de Moody um coeficiente de atito de f = 0, 04. De uma tabela de pedas de caga (Tabela 6.5 do livo do White Fluid Mechanics, 3ª edição) pode estima-se o coeficiente de peda no cotovelo como k cot =,0. Paa uma entada abupta o coeficiente de peda seá k ent = 0,5. Assim, a peda de caga ente e 5 calcula-se deste modo L 0,80,3 m /s h = f 5 ( f kcot kent) (0,04,0 0,5) 0,443 m d + + g = 0, ,8 m/s = A altua de elevação seá 5,3 m /s 5 f 5 H = ( ) + h + = (0,500 m 0, 050 m) + 0, 443 m + = g 9,8 m/s 0,450 m + 0,443 m + 0,065 m = 0,958 m A potência da bomba calcula-se a pati de gqh P = ρ η Em que η = 0,5 é o endimento da bomba. Assim, gqh P = ρ = = η 0, kg/m 9,8 m/s 0,000 m /s 0,958 m 7,5 W b) A pessão mínima veifica-se à entada da bomba (secção 3). Aplicando a equação da enegia ente e 3, tem-se p3 3 hf 3 3 p + + = + +. ρg g ρg g Com L 3 0, 5 h = f 3 ( f kcot kent) (0,043,0 0,5) 0,065 m 0,09 m d + + g = 0, =, 0, = 0,05 m, 3 = 0,0 m e tem-se 3 5 /( g) = /( g) = 0,065 m, p = 0 (pessão elativa),

4 3 3 3 hf 3 p = ( ) = 0,050 m 0,065 m 0,09 m = 0,4 m. ρg g A pessão mínima (elativa) seá 3 p 3 = 000 kg/m 9,8 m/s 0,4 m =, kpa. A pessão máxima ocoe depois da bomba (secção 4). Aplicando a equação da enegia ente 3 e 4, tem-se H 4 p p = + +. ρg g ρg g Com 3 = 4, tem-se p4 ρg p ρg = 3 + ( 3 4) + H = 0,4 m 0,00 m + 0,958 m = 0,74 m. A pessão máxima (elativa) seá 3 p 4 = 000 kg/m 9,8 m/s 0,74 m = 7,0 kpa. c) Apesenta-se o gáfico com a evolução da pessão e da pessão pieomética em valoes elativos ao longo do sistema. Note-se que o ponto 6 sobe a supefície da campânula é um ponto de estagnação.

5 Evolução da pessão Pessão Pessão pieomética 6 Pessão (Pa) Compimento (m) 7 d) Suponhamos que o caudal paa máquina n vees maio é Q. Se o caudal paa a máquina oiginal fo Q teemos Q 5 n Q =. A aão dos caudais seá 5 Q n Q =. Paa a velocidade em pontos homólogos teemos 5 Q A Q d = = ( ) = n n = n. Q A Q d As altuas de elevação da bomba são da foma H = + k. Assim, teemos + + ( ) n H k n k n k = = = = n. H k k k Paa o mesmo endimento η = η, teemos

6 5 7 P gqh Q H n n n P = ρ η ρgqh η = Q H = =. O númeo de Foude é F = / gd. Assim, F d = ( ) = nn =. F d Logo, os númeos de Foude são iguais. e) A foça que o fluido exece sobe a campânula pode se deteminada po aplicação de um balanço integal de quantidade de movimento. A esultante F das foças aplicadas num volume de contolo iguala a taxa de vaiação da quantidade de movimento do fluido contido no volume de contolo. d F = ρd dt. C Consideemos o volume de contolo fixo C delimitado pela supefície de contolo SC (a tacejado) como se mosta na Figua.

7 C SC Paa este volume de contolo as condições são estacionáias e a aplicação do teoema tanspote de Reynolds condu ao seguinte balanço F = ρ(. n) ds. A esultante das foças que se execem sobe o volume de contolo é dada po SC F = ( p p ) nds + τ ds + ρgd + F at v SC SC C ( camp) em que τ v é a esultante das tensões viscosas no elemento de supefície e F camp é a foça aplicada ao fluido pelas paedes da campânula cental no inteio do volume de contolo. A pessão na supefície de contolo é a pessão atmosféica, logo SC ( p p ) nds = 0. As tensões viscosas na supefície de contolo são nulas poque o fluido é invíscido, pelo que at,

8 τ vds = 0. A esultante das foças gavíticas é o peso do fluido C SC ρgd = ρge d = Pe. C Assim, a foça esultante na diecção vetical é ( camp) F = P+ F. Na apoximação unidimensional, o balanço de quantidade de movimento na diecção vetical é ( e ) ρ(. n) ds+ ( e ) ρ(. n) ds = ρq ρq= ρq( ) S5 S7 Assim, o balanço de quantidade de movimento na diecção vetical seá ( camp) F P = ρq( ). 7 5 A velocidade em 7 pode se calculada aplicando a equação de Benoulli ente 5 e p + + = p + +. ρg g ρg g Com p5 = p7 = patm, 5 7 = 0,400 m e 5 /( g ) = 0,065 m, vem = ( ) + = 0,400 m + 0,065 m = 0,465 m. g g E donde 7 = 9,8 0, 465 m/s = 3,0 m/s, ( camp) 3 3 ρ 7 5 F = P Q( ) = N 000 kg/m 0,000 m /s (3,0 m,3 m) = 0,6 N. A foça do fluido sobe a campânula seá descendente. ( camp) F = 0,6 N, apontando no sentido

9 Questão Considee o escoamento bidimensional plano de um fluido de massa específica ρ e viscosidade µ definido no plano ( x, y ) com vectoes unitáios (, i j) pelo campo de velocidade x y = ui + vj com u = A() t e v= A() t, em que A() t é uma função do tempo t. O x + y x + y At () módulo da velocidade é = u + v =. Em coodenadas polaes (, θ ), = x + y, x + y θ y x = tan tem-se cos v θ = 0. x= θ e y = sinθ. As componentes da velocidade são v At () = = e Na egião exteio ao cículo de aio a, diga, justificando, se as seguintes afimações são vedadeias ou falsas: a) O escoamento é incompessível. [,0 val] b) A esultante das foças viscosas na equação de Navie Stokes é nula. [,0 val] c) As tensões de cote sobe a supefície do cículo de aio a são nulas. [,0 val] d) Se At () 0, e a paede do cículo fo uma supefície impemeável, o seu aio tem de vaia no tempo a= a() t. [,0 val] Questão Podemos esolve esta questão em coodenadas catesianas ou polaes. Optamos po esolvê-la em coodenadas polaes. a) A equação da continuidade paa escoamento incompessível em coodenadas polaes esceve-se Com v θ = 0 e v = A()/ t, tem-se / θ = 0 e ( v ) + ( vθ ) = 0 θ v θ At ( ) ( ) = 0 Logo, o campo de velocidade satisfa a equação da continuidade paa escoamento incompessível. b) A componente segundo da esultante das foças viscosas nas equações de Navie- Stokes é o temo viscoso µ ( v) v v θ ρ + θ θ Com v θ = 0 e v = A()/ t, tem-se ( v )/ = 0 e ( v )/ θ = 0, logo

10 µ ( v) v v θ + 0 = ρ θ θ A componente segundo θ da esultante das foças viscosas nas equações de Navie- Stokes é o temo viscoso µ ( vθ) vθ v =. ρ θ θ Já que v θ = 0 e ( v )/ θ = 0. A afimação é vedadeia. c) A tensão de cote em coodenadas polaes é dada po vθ v τ θ = τ θ = µ ( + ) = 0. θ Em qualque ponto do escoamento incluindo sobe a supefície do cículo de aio a. d) A condição de fonteia paa uma supefície impemeável é a de que a componente nomal da velocidade do fluido tem de se igual à componente nomal da velocidade da fonteia U n. No caso de um cículo de aio a, a velocidade do fluido nomal à fonteia é a velocidade adial v e a velocidade da fonteia é Un = da/ dt. Assim, esta condição fomula-se Oa ( v) = a = A( t) / a, donde da ( v) = a =. dt At () a da =. dt Com At ( ) 0, da / dt 0, e o aio do cículo tem que vaia no tempo, a= a() t. A afimação é vedadeia.

11 Questão 3 e s Considee um tubo de secção constante com um diâmeto de 0 cm e um facto de atito médio de 0,0 onde se escoa a (γ=,4 ; R=87 J kg - K - ). Numa secção desse tubo mediu-se uma pessão de 50 kpa e uma tempeatua de 99,7 K. Nessa secção foi intoduido um tubo de Pitot à boca do qual se mediu uma tempeatua (de estagnação adiabática) de 30 K. a) Indique o valo do númeo de Mach na secção ( val),,,4,6 Resposta: de tia se que M=,6. b) Indique o valo da pessão que seia medida pelo tubo de Pitot ( val) 75 kpa 475 kpa 95 kpa 58 kpa Resposta: Como o escoamento nesta secção é supesónico (M =,6) a desaceleação fa se atavés duma onda de choque à fente da boca do tubo de Pitot. Das equações (ou tabelas) da onda de choque nomal tia se que o númeo de Mach após a onda de choque é M =0,668 e p /p =,86, donde se tia p =705,4 kpa. A desaceleação após a onda de choque (condições egime subsónico) até à estagnação na boca do Pitot fa se em condições apoximadamente isentópicas, pelo que de que esulta p pitot =p =95,7 kpa. Numa secção, que dista,4 m da entada do tubo (secção e), mediu-se um númeo de Mach de,4 e uma pessão de 98 kpa. c) Indique o valo do númeo de Mach na secção de entada do tubo de secção constante ( val),,8,0, Resposta: sabendo que M =,4 podemos calcula atavés das equações (ou das tabelas) de escoamento adiabático com atito em tubos de secção constante (EATSC) que (fl max /D) =0,. Sabendo que a distância ente as duas secções é de,4 m ficamos a sabe que (fl max /D) e =0,4, pelo que de novo atavés das equações (ou das tabelas) de EATSC vem M e =,8. d) Calcule, apesentando os cálculos e justificação no espaço abaixo, o diâmeto da gaganta da tubeia convegente divegente que liga o esevatóio de alimentação do escoamento e o tubo de secção constante ( val) Resposta: sabendo que o escoamento é supesónico na saída da tubeia (e entada na conduta de secção constante, M e =,8) concluímos que o escoamento é cítico na gaganta da

12 tubeia e que a sua áea é a áea cítica do escoamento isentópico ente o esevatóio e a entada da conduta de secção constante (secção e, onde M e =,8). Utiliando as equações (ou as tabelas) de escoamento isentópico tiamos que paa M e =,8 vem (A/A*) e =,439, pelo que =0,0834 m, tendo se utiliado D e =0, m. e) Indique o valo da tempeatua do a no esevatóio de alimentação deste escoamento ( val) 00 K 80 K 30 K 30 K Resposta: Como o escoamento é adiabático que na tubeia, que na conduta de secção constante, a tempeatua de estagnação adiabática (medida pelo Pitot) é constante em todo este escoamento. Como no esevatóio o fluido está em epouso, a tempeatua aí é a de estagnação adiabática, no valo de 30 K.