ESCOAMENTO POTENCIAL. rot. Escoamento de fluido não viscoso, 0. Equação de Euler: Escoamento de fluido incompressível r cte. Equação da continuidade:

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1 ESCOAMENTO POTENCIA Escoamento de flido não viscoso, Eqação de Ele: DV ρ ρg gadp Dt Escoamento de flido incompessível cte Eqação da continidade: div V Escoamento Iotacional ot V V Se o escoamento fo iotacional, ma gande simplificação pode se obtida na obtenção do campo de escoamento: o campo de velocidades pode se obtido sem a solção da eqação de Ele. 1

2 Paa sitações bi-dimensionais, pode-se tiliza o conceito de fnção de coente Escoamento bi-dimensional, incompessível, não viscoso, iotacional fnção de coente: satisfaz a eqação da continidade Se obigamos o escoamento a se iotacional, temos paa sitações -D, e escoamento plano, z, v x v x x x V satisfaz a eqação de aplace, paa escoamento plano, não viscoso, iotacional, incompessível

3 Pocedimento de solção: 1. Resolve-se com as condições de contono apopiadas. Obtém-se os componentes da velocidade e v pela definição de fnção de coente 3. Obtém-se a pessão p pela eqação de Ele Condições de contono: velocidade ao longe conhecida: spefície sólida: copo cons tan te, x conhecidos Coodenadas polaes: fnção de coente z , Condições de contono: velocidade ao longe conhecida:, conhecidos spefície sólida: copo cons tan te 3

4 Escoamento Ti-dimensional, Incompessível, Não Viscoso, Iotacional Paa sitações 3-D, não podemos tiliza o conceito de fnção de coente, já qe a mesma só é definida paa sitações -D. Intodziemos m novo conceito: FNÇÃO POTENCIA DE VEOCIDADE fnção potencial de velocidade é definida de foma a satisfaze a condição de escoamento iotacional: V Sabemos qe esta eqação seá sempe vedadeia se definimos V onde é m potencial, já qe o otacional do gadiente de qalqe fnção potencial é sempe zeo,. coodenadas catesianas: 1, v, w x z, z, coodenadas cilíndicas: z 4

5 Se obigamos o escoamento iotacional a satisfaze a eqação de consevação de massa paa flidos incompessíveis, V, temos x x z z satisfaz a eqação de aplace, paa escoamento não viscoso, iotacional, incompessível, -D o 3-D. Condições de contono: velocidade ao longe conhecida: x,, z conhecidos spefície sólida, velocidade nomal nla: n NÃO HÁ CONDIÇÃO IMPOSTA PARA O COMPONENTE TANGENCIA já qe o escoamento é sem viscosidade s 5

6 Pocedimento de solção: 1. Resolve-se com as condições de contono apopiadas. Obtém-se os componentes da velocidade e v pela definição de fnção potencial 3. Obtém-se a pessão p pela eqação de Ele Obs: Podemos esolve e a) linhas de coente = constante são sempe tangente ao campo de velocidade b) V V é pependicla as linhas de constante (eqipotenciais) INHAS DE CORRENTE E EQIPOTENCIAIS SÃO ORTOGONAIS e 6

7 Pegnta: Existe algma vantagem em esolve a eqação de aplace, ao invés da eqação de Ele? SIM!!! A análise da eqação de aplace está bastante desenvolvida. Existem divesas técnicas disponíveis speposição de solções elementaes análise nméica mapeamento confome analogia elética etc. 7

8 SOÇÕES EEMENTARES PARA ESCOAMENTOS PANOS Váios poblemas inteessantes de escoamento potencial podem se constídos a pati de tês tipos de solções elementaes: escoamento nifome fonte o sovedoo vótice As solções destes poblemas podem se combinadas podzindo esltados úteis. Paa isso, samos o fato qe a eqação de aplace é linea e o pincípio de speposição Se 1 e são solções da eqação de aplace, a soma de 1 também é solção. e ( ) 1 1 8

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14 Exemplo 6.11: Escoamento sobe m Cilindo: Speposição de Dipolo e Escoamento nifome. Detemine: (i) fnção coente (ii) fnção potencial (iii) campo de velocidade (iv) localize pontos de estagnação (v) campo de pessão (vi) foça esltante sobe o cilindo: aaste e sstentação Solção: escoamento nifome: ; x sen dipolo: (i) Fnção coente: (ii) Fnção potencial: sen cos cos ; sen cos 14

15 (iii) Campo de velocidade: V e e 1, o, 1 cos cos (iv) pontos de estagnação: ponto onde V cos cos cos 1 / 1 / sen sen sen 1 e logo Note qe cilindo é paa qalqe se / (=cte cíclo) logo o aio do a / Paa ambos os componentes seem nlos, é peciso veifica se o componente angla pode se nlo sobe a spefície do cilindo. Paa =a sen. Então Os pontos de estagnação são (, ) = (a, ) e ( a, paa = e 15

16 A fnção de coente pode epesenta m escoamento sobe m cilindo o m semihemisféio a A B a sen 1 O pefil de velocidade sobe a spefície do cilindo é V e ; V V sen sen ; / B A 16

17 (v) campo de pessão: Paa escoamento iotacional podemos tiliza a EQAÇÃO DE Benolli ente qaisqe dois pontos: ponto no infinito e ponto sobe a spefície do cilindo p V p p p 1 4 sen V p p p Coeficiente de pessão: C 1 4 sen C p p /

18 FA Foça esltante sobe o cilindo: R F i F j p da p n a d A n e i cos j sen S cilindo R p i cos jsen a d F p cos a d e F p sen a d Foça de aaste: F A p A 1 1 4sen S cosad 1 p a d a sen FA 1 sen cos cos d p sen a 3 F A 3 Foça de sstentação: FS p F a S F S p 1 a send a sen send 1 p sen cos sen senad cos ( ) F S 18

19 Obs: 1. Na ealidade existe aaste, veemos qe o escoamento sepaa, ocoe a fomação de esteia.. Todo escoamento com simetia em elação a hoizontal, apesenta sstentação nla. 19

20 Execício: Meia Spefície de Rankine Conhecendo o seginte campo potencial m ln cos, detemine: i) o campo de velocidades ii) pontos de estagnação iii) as linhas de coente iv) foma do copo a x Sabe-se qe x= cos = sen, logo i) x x v m x m m ln x x ln x x m x m cos m m sen m sen cos

21 ii) Ponto de estagnação: ii) de V V, ii) Ponto de estagnação:,, i) velocidade vetical: v = paa = e v i) v = paa = e i) velocidade vetical: v = paa = e ii) velocidade hoizontal : ii) ii) velocidade hoizontal : : em =, = + m / = < impossível x em em = =,, = = + + m m / / = = < < impossível em =, = - m / = = m/ = a x = - a em em = =,, = = - m - m / / = = = = m/ m/ = = a a x x = = - a - a V m m sen m sen x m x m cos m cos x m x 1 iii) m x d f x m f x iii) 1 d f x m f x m x ( ) tan ( ) x ( ) tan ( ) 1 iii) x d f( x) m tan f( x) x x x x m v m v x x dx g m 1 x x dx ( g ) m 1 g m ( ) tan ( ) v tan x g( ) x x dx g m 1 ( ) tan g( ) x x f(x) = e g() = m tan 1 f(x) = e g() = m tan 1 sen m f(x) = e g() = m tan 1 x sen sen m m x x iv) o ponto de estagnação deve esta localizado sobe o copo, logo o valo de no ponto de iv) iv) o o ponto de de estagnação deve deve esta esta localizado sobe o o copo, logo logo o o valo de de no no ponto de de estagnação é m o m estagnação é é m m o o m m O lga geomético da linha de coente m, a qal sepaa o escoamento da fonte do O O lga geomético da da linha de de coente m m, a, a qal qal sepaa o o escoamento da da fonte do do m ( ) escoamento nifome é m sen m m m( ) é m sen m ( sen escoamento nifome é m m ) sen sen 1

22 Execício: Escoamento ao edo de m cilindo com otação Obtido com a combinação de escoamento: nifome sen dipolo sen vótice K ln a Definindo: a /, a efeência sen Velocidade: a 1 K ln a 1 cos 1 = a é ma linha de coente ( = ) a sen 1 a K

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25 Distibição de pessão: 1 1 p V p V sen K a 1 K K 1 4 p p 4 sen sen a a Foça esltante sobe o cilindo: n e i cos j sen R F i F j p da p n a d A S cilindo R p i cos jsen a d F p cos a d e F p sen a d A S 5

26 Foça de de aaste: a 4 1 F a A p a cos d sen cos d K a cos d 4 a K sen cos d F A K p a sen sen K sen a 3 3 a F A Foça de de sstentação 3 K F sen S p 3 a sen d a a 4 sen d 4 K sen a sen d sen K cos F cos S a p a sen cos cos ( ) a 3 K sen K a a a 4 a F K S 6

27 1 a Qestão: m cilindo é fomado ao apaafsa das calhas semi-cilíndicas pelo lado inteno, como mosta a figa. Existem 1 paafsos po compimento de laga em cada lado, e a pessão intena é 5 kpa (manomética). Detemine a foça em cada paafso, se o flido exteno é a a CNTP ( 1 kg/m 3 ). tilize a teoia de escoamento potencial, logo, o escoamento ao edo do cilindo pode se apoximado pela soma de m dipolo ( nifome ( ). sen ) com m escoamento D = cm =5 m/s p = p atm p in 7

28 cos / cos cos 1 sin / sin sin 1 em =(/).5, =, = - sin Entao R=D/=(/).5 V t s V s d p ds g z cons tan te Paa =cte, egime pemanente = > p p p p 1 4 sin F ( p in p) sin Rd ( p in p 1 4 sin ) sin Rd F ( p 3 in p ) R sin d R 4 sin d cos cos sin 3 16 R F ( pin p ) 67,5N / m N 3 N N F 4 3 8

29 a Qestão: ma sina nclea despeja Q = 8,5 m 3 /s de ága qente, tilizada no pocesso de efigeação no fndo do ma. O jato de ága sai veticalmente do fndo do ma, qe está a ma pofndidade de b = 7,6 m. A coente mainha é igal a =,4 m/s. Po azões ecológicas é necessáio sabe, a qe distância da saída da tblação a coente mainha é afetada pela ága qente. De acodo com a figa, deseja-se sabe a e. Note qe este escoamento pode se epesentado po ma combinação de ma fonte e m escoamento nifome. Sabe-se: Escoamento nifome: Fonte: Q / b x = cos sen x a x tan 1 ( / x) 9

30 3 b Q b Q / sin / x b Q 1 tan / b Q / cos sin Ponto de estagnação: =, = = em e = em impossível em se a = (Q/b)/( ) Ponto de estagnação: =a, a = (Q/b)/( )=,44m inha de coente qe passa pelo ponto de estagnação: b Q a / ), ( 1 b Q x b Q / tan / ga geomético desta linha de coente: b Q x b Q 1 / tan / x b Q b Q zeo 1 / tan / m b Q 4 1, /

31 Execicio: m tonado pode se epesentado po m vótice (=- K ln ). A pessão foi medida a,5 m do cento do vótice como sendo igal a 9 KPa. Qal a velocidade nesta posição? Qal a intensidade K do vótice? V V p 1 1 p K V V K p ( ) p atm V ( ) V p1 1 V ( atm 1 1 ) 135m / s p atm p p K V 67, 7m/ 1 1 s 31

32 Qestão: m chip etangla de micocicito flta nma camada de a (=1, kg/m 3 ), com espessa h=,5 mm, acima de ma spefície poosa. A laga do chip é = mm, e a espessa é t = mm, confome mostado. O se compimento b, na dieção pependicla ao plano da figa, é igal 1 mm. Não há escoamento na dieção z. Admita qe o pefil de velocidade na dieção x, na festa sob o chip, é nifome em, isto é, não vaia com. O flido é incompessível e os efeitos de atito podem se despezados. Estime a massa do chip, sabendo qe v o = 3 m/s. Balanço de foças no chip => F m g patmb / p b dx m / ' p b dx p' p p g atm Paa avalia a pessão, despezando efeitos de V p p / atito, aplicamos a eqação de Benolli atm pecisamos estima a velocidade d V n da tilizando a eqação da continidade t VC SC h x t vo 3

33 33 da n V d t SC VC temos de v o x b = b h => = v o x / h h x v h v V p p p o o atm ) / ( / / o dx b x h v g m => m =,93 kg / ' b dx p g m h x o v V / ) / ( / x h v o b h v g m o ) / ( b h v g b h v g m o o