UNIVERSIDADE DE TAUBATE HENRIQUE DE CAMARGO KOTTKE UMA VISÃO GLOBAL DA DINÂMICA DE NEWTON-EULER APLICADA A ROBÔS MANIPULADORES

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1 UNIVERSIDADE DE TAUBATE HENRIQUE DE CAMARGO KOTTKE UMA VISÃO GLOBAL DA DINÂMICA DE NEWTON-EULER APLICADA A ROBÔS MANIPULADORES Taubaté SP 2005

2 Lvos Gáts Mlhaes de lvos gáts paa download.

3 UNIVERSIDADE DE TAUBATE HENRIQUE DE CAMARGO KOTTKE UMA VISÃO GLOBAL DA DINÂMICA DE NEWTON-EULER APLICADA A ROBÔS MANIPULADORES Dssetação apesentada paa a obtenção de Ttulo de Meste pelo Cuso de Engenhaa Mecânca subáea Automação Industal e Robótca do Depatamento de Engenhaa Mecânca da Unvesdade de Taubaté. Áea de Concentação : ROBÓTICA Oentado: Pofº D. Gogo E. O. Gacagla Taubaté SP 2005

4 HENRIQUE DE CAMARGO KOTTKE UMA VISÃO GLOBAL DA DINÂMICA DE NEWTON-EULER APLICADA A ROBÔS MANIPULADORES Dssetação apesentada paa a obtenção de Ttulo de Meste pelo Cuso de Engenhaa Mecânca subáea Automação Industal e Robótca do Depatamento de Engenhaa Mecânca da Unvesdade de Taubaté. Áea de Concentação : ROBÓTICA Data: Resultado: BANCA EXAMINADORA Pof. D. Gogo E. Oscae Gacagla Insttução UNITAU Assnatua Pof. D. João Snohaa de Souza Insttução UNITAU Assnatua Pof. D. Calos Fajuca Instução CEFET-SP Assnatua

5 Dedco este tabalho a memóa de meus pas Gealdo e Olnda, os quas me ensnaam de manea exempla os camnhos da mnha vda A mnha esposa Rosely e ao meu flho Hebet

6 AGRADECIMENTOS Ao Pof. D. Gogo E. O. Gacagla, po sua capacdade de oenta e ajuda na estutuação deste tabalho. A todo copo docente do pogama de mestado desta Unvesdade. Aos colegas pofessoes do CEFET-SP, os quas auxlaam nas hoas mas dfíces, em especal ao Pof. Cheste Contato, fel companheo. Ao CEFET-SP, na pessoa do S. Deto Geal Pof. D. Gaabed Kenchan, o qual popoconou a ealzação da pacea ente o CEFET-SP e a UNITAU Ao Pof. D. Augusto Hogut, pela mpotante ajuda na fomulação deste tabalho

7 Resumo Este tabalho, ntoduz e desenvolve uma nova fomulação do método do Newton -Eule paa a dnâmca de multcopos ígdos aplcada a um obô manpulado. Este fomalsmo popca uma manea paa a modelagem do atto que age nas juntas que conectam cada baço do obô, não lmtado po nenhum modelo pé-defndo. Algotmos são apesentados paa o contole e a smulação dnâmca de um obô manpulado..

8 Abstact Ths wok, ntoduces and develops a new fomalsm of Newton - Eule Method fo the dynamcs of gd multbodes appled to a obotc manpulato. Such fomalsm gves a geneal way fo modelng of fcton actng n each connecton between each am of the obot, not estcted to any pe assgned fcton model. Algothms ae gven fo the contol and dynamc smulaton of a obotc manpulato.

9 Sumáo 1. Intodução Revsão da Lteatua Poposção Método Foças, Toques e Esfoços Agegados Vínculos e Velocdades Vtuas Esfoços Mantenedoes e Esfoços Tangencas Esfoços Extenos e Reações Vnculaes Reações Pefetas e Esfoços Nomas Reações Impefetas e Modelagem do Atto Vncula Dnâmca de Robôs Manpuladoes Dstbução de Esfoços Velocdades Vtuas e Esfoços Mantenedoes O Isomofsmo Canônco Decomposção dos Esfoços Tocados O Atto Vncula nas Atculações Detemnação das Reações Vnculaes Contole de Robôs Manpuladoes Smulação de Robôs Manpuladoes Resultados Dscussão Conclusão 67 Refeêncas 68

10 KOTTKE, Henque de Camago Uma vsão global da dnâmca de Newton-Eule, aplcadas a obôs manpuladoes/ Henque de Camago Kottke São Paulo: UNITAU Dssetação (mestado) UNITAU- Unvesdade de Taubate, Depatamento de Engenhaa Mecânca Oentado: Pofº D. Gogo E. O. Gacagla 69 fls.:l.: 30 cm. Palava-chave: Robótca, atto, Newton-Eule I. Gacagla, Gogo E.O. II. UNITAU- Unvesdade de Taubate Depatamento de Engenhaa Mecânca III. Ttulo CDD (21)

11 Autozo cópa total ou pacal desta oba, apenas paa fns de estudo e pesqusa, sendo expessamente vedado qualque tpo de epodução paa fns comecas sem péva autozação específca do auto Henque de Camago Kottke Taubate, dezembo 2005

12 8 1. Intodução Modelos dnâmcos utlzados paa contola e smula obôs manpuladoes nomalmente defnem essas máqunas como sstemas mecâncos compostos po um númeo fnto de copos ígdos ou flexíves sujetos a vínculos holônomos. Este tabalho não tata de baços flexíves pos vsa, de níco, estabelece um fomalsmo mas apopado paa copos ígdos, dexando paa desenvolvmentos futuos sua extensão a copos flexíves. O objetvo pncpal é ntoduz uma nova abodagem matemátca paa a aplcação do Método Iteatvo de Newton - Eule paa a solução das equações dnâmcas de um obô manpulado. O mesmo fomalsmo fonece uma melho manea paa modela o atto que age nas juntas de conexão ente cada baço do obô. Nomalmente esse atto é descto como dependendo apenas das posções e velocdades elatvas dos copos em contato, de acodo com uma le pé-defnda. Tal descção, entetanto, não é satsfatóa em egmes de baxa lubfcação ou numa outa sée de stuações, onde a foça de atto pode depende de uma foma bastante complexa da foça nomal ente as supefíces em contato e do estado do sstema. O fomalsmo especal aqu desenvolvdo utlza vetoes multdmensonas epesentando o conjunto de baços de um obô. Como esultado, o Método Iteatvo de Newton Eule é aplcado paa todas as vaáves dnâmcas em conjunto em vez de

13 9 esolve o poblema dnâmco global tatando cada pate sepaadamente. São obtdos assm os momentos e foças esultantes em cada copo. A segu é estabelecdo um somofsmo canônco ente esses esfoços esultantes e os esfoços tocados em cada junta. Deste somofsmo decoe a eação dsspatva contáa ao movmento de cada junta, de foma que a foça ou o toque de atto é caactezada. Toda vez que uma nomenclatua especal é utlzada ela é claamente defnda. Na seção 1.1 é apesentada uma evsão da lteatua petnente a este tabalho. Na seção 1.2 é apesentada a poposta do tabalho onde se ndcam sua motvação e o camnho em geal a se segudo no seu desenvolvmento. Na seção 1.3 é desenvolvda uma metodologa específca paa atng os esultados popostos. Na seção 2 é desenvolvda a dssetação onde se apesenta uma nova foma de tatamento da dnâmca de obôs manpuladoes, utlzando a metodologa escta. Na seção 3 são esumdos os pncpas esultados obtdos. Na seção 4 é feta uma dscussão desses esultados e a seção 5 conclu o tabalho de acodo com os esultados obtdos e a dscussão Revsão da Lteatua Nas ultmas tês décadas fo desenvolvda uma gande quantdade de tabalhos lteáos em tecnologa e aplcação de manpuladoes e de obôs (Schehlen, 1990,1997 ; Pfeffe e Gloocke, 1996, ; Schehlen, Rukgaue e Schle, 2000) estes tabalhos foam o objeto de dvesas eunões ntenaconas. Váos aspectos foam dscutdos cobndo

14 10 todos os poblemas teócos fundamentas, desenvolvmento de métodos computaconas paa a cnemátca e dnâmcos de obôs, tópcos especas assocados a aplcações ndustas e as novas tecnologas que tatam do pojeto e constução de obôs paa aplcações especfcas. O atto nos baços flexíves (Shabana, 1997) foam tatados com a cação de modelos complexos. O estudo mecânco dos obôs manpuladoes é uma aplcação especal de um assunto mas geal que tata da cnemátca e dnâmca de mult copos (Amuoche 1992; Schehlen, 1990; Shabana 1989). Um campo de pesqusa e de desenvolvmento ntenso, onde o objetvo pncpal foam as aplcações ndustas especas fo desenvolvdo po Nato (2000). As lteatuas mas mpotantes na década de 80 sobe obôs e fonte mpotante de estudo nesta pesqusa foam desenvolvdas po ( Lee 1982; Walke e On, 1982; Al Walke e Paul, 1980; Slve, 1982). A analse dnâmca dos obôs efetuada pelo método nteatvo de Newton-Eule fo desenvolvda em detalhes po lvos clásscos no assunto (Cag 1986; Schllng, 1990) e num tabalho mas evoluído po (Oon e Al 1979). O lvo de Cag e bem completo, mas a notação usada é de ceto modo ncomoda, sendo dfícl utlzá-lo como efeênca. O tabalho escto po Schlng é mas fácl de entende po utlza uma notação mas smples, emboa tenha utlzado somente o fomalsmo de Lagange. A compaação

15 11 ente o método de apoxmação Lagangeano e do método de Newton-Eule e dscutdo em um atgo escto po Slve (1982). Os tabalhos que estabeleceam as novas bases paa o tatamento matemátco da dnâmca de obôs foam publcados há apoxmadamente 20 anos, mas anda são efeêncas mpeatvas paa a mecânca clássca (Abaham e Masden, 1982; Anold, 1987; Lebemann e Male, 1987; Cotzo, 1991). Usando os esultados báscos da geometa dfeencal (Cotzo 1991), estabeleceu uma vsão matemátca goosa paa a dnâmca de mult copos. Os pncípos báscos neste assunto são encontados em O'Nel (1997). Uma boa efeênca paa a conexão ente mecansmo clásscos e a geometa dfeencal é feta em um atgo do estudo publcado pela Socedade Matemátca Amecana (2001). Um tabalho efetuado pelo pof. S. F. Cotzo no Insttuto de Matemátca da Unvesdade de São Paulo, é uma fonte de consulta sobe novas maneas de dscussão do poblema estabelecda pelo Pof. Gogo E. O. Gacagla. (Cotzo, Gacagla, 1993). Estes tabalhos sevam de base paa o desenvolvmento base paa o desenvolvmento desta pesqusa. Os tabalhos de dnâmca e contole de obôs encontados na lteatua atual são baseados nas equações de Newton-Eule e no fomalsmo Lagangano. Os lvos edtados po Esponja e po Vdyasaga (1989) e po Scavcco (2000) são um excelente fontes de consulta. Os tatamentos dados no últmo (Scavcco 2000) são baseados em modelos matemátcos avançados e são apopados como uma lteatua da efeênca. Uma dscussão completamente dfeente fo desenvolvda po Hollebach (1980) que constuu um algotmo ecusvo paa as equações Lagangana de obôs mult copos. Esta dscussão é ealmente e a melho fonte de efeênca paa o estudo em computação numécas da dnâmca. Métodos

16 12 computaconas foam apesentados po dvesos autoes em uma eunão patocnada pela Academa de Cêncas de Cacovan em Os métodos numécos paa a dnâmca de mult copos foam desctos nos detalhes po Ech-Soelnlne e po Fühe (1990). Um tabalho básco dscutndo o método numéco e a à dnâmca de mult copos flexíves baseada em elementos fntos fo desenvolvda em um lvo po Geadn e po Cadona (2001). Um método dfeente de esolve a dnâmca de manpuladoes fo ntoduzdo po Ebehad e po Schehlen (1998) que estabelecem uma heaqua paa a avalação das vaáves envolvdas na dnâmca dos manpuladoes Poposção No momento atual, a teoa da dnâmca e o contole dos obôs estão bem estabelecdos, emboa a técnca dsponível paa o pojeto eal dos manpuladoes pemaneça com poucas companhas que são esponsáves pela a maoa dos obôs que opeam em todos os tpos das atvdades, nclundo opeações do sco elevado ou atvdades nos ambentes não acessíves aos tabalhadoes humanos. A especfcação eal do pojeto de um obô depende essencalmente da consdeação de defomações e de vbações dos baços e de modela apopadamente o atto dos componentes mecâncos. Estas popedades dependem ctcamente da tempeatua, da pessão e da umdade ambentas, também na pesença eventual de líqudos coosvos, tonando dfícl o desenvolvmento de uma teoa capaz de tata do todos estes poblemas. Mas e mas obôs são constuídos paa condções bem especfcas e bem detemnadas.

17 13 Neste tabalho fo desenvolvda uma fomulação completamente ognal paa a dnâmca de sstemas mecâncos consttuídos po copos ígdos vnculados, nspada nos esultados e técncas da geometa dfeencal contempoânea, mas que eque, paa se utlzada na solução de poblemas específcos, apenas a lnguagem matemátca da álgeba lnea, que é famla a patcamente todos os pesqusadoes da áea de tecnologa. Esta fomulação seguu goosamente o pncípo que tona os fomalsmos analítcos tão adequados ao estudo dos sstemas vnculados, a ênfase na descção do sstema mecânco como um todo, e não de suas pates sepaadamente. Po outo lado, a ncopoação de qualque modelo vetoal paa o atto é medata, devdo à natueza dos métodos matemátcos empegados Método Nesta seção, são apesentadas as bases concetuas sobe as quas se apoa todo o tabalho de desenvolvmento da dssetação constante da seção 2. Consdee-se, ncalmente, um sstema mecânco consttuído po n copos ígdos que podem se move lvemente no espaço Eucldano tdmensonal, sem qualque elação ente s. Fxando um efeencal necal, pode-se epesenta a velocdade do cento de massa do -ésmo copo po um veto tdmensonal υ ( =1,...,n), e a velocdade angula do -ésmo copo ígdo, em elação ao mesmo efeencal, po um veto tdmensonal ω ( =1,...,n).

18 14 Usam-se assm, ao todo, 2n vetoes tdmensonas paa epesenta as velocdades (lneaes e angulaes) coespondentes aos 6n gaus de lbedade do sstema. Segundo o pncípo de ênfase na descção do sstema mecânco como um todo, e não de suas pates sepaadamente, defne-se a velocdade agegada do sstema como sento o veto 6ndmensonal: υω = ( υ1, ω1, υ2, ω2,..., υ n, ω n ) (1.3.1) Convenconando que as opeações lneaes sobe estes vetoes (soma e multplcação po escala) seão fetas componente a componente, constó-se um espaço vetoal V de dmensão 6n sobe escalaes eas, que seá chamado de espaço das velocdades agegadas. Apesa das undades de medda das velocdades lneaes seem dfeentes das usadas paa velocdades angulaes, nunca seão somadas gandezas com undades dfeentes ao opea os vetoes agegados componente a componente. A noção de velocdade agegada seá usada concomtantemente com os concetos de confguação e estado do sstema mecânco consttuído pelos n copos ígdos. Esses temos teão aqu o mesmo sgnfcado que eles têm na mecânca analítca clássca: uma confguação é uma detemnada colocação dos n copos ígdos no espaço (posção e oentação angula), enquanto um estado é defndo pela colocação e velocdade dos n copos (velocdades lneaes e angulaes). Assm, cada estado tem uma únca confguação subjacente, mas há váos estados dstntos assocados a uma mesma confguação.

19 15 Utlzando a déa de velocdade agegada, pode-se magna cada estado do sstema como um pa (u, υω ), onde u epesenta a confguação subjacente a esse estado e υω V epesenta a velocdade das dvesas pates do sstema (sto é, dos n copos ígdos). O estado de epouso do sstema na confguação u fca assm epesentado pelo pa (u, 00 ), onde 00 V é a velocdade agegada nula, sto é, o veto nulo do espaço vetoal V. Esta epesentação dos estados do sstema mecânco po paes (u, υω ) é anteo à ntodução de coodenadas genealzadas paa a descção da colocação dos copos no espaço (atavés das coodenadas dos centos de massa e dos ângulos de Eule, po exemplo), no sentdo em que ela não depende dos paâmetos escolhdos, ente os váos possíves, paa ealza essa taefa. (Da mesma foma como vetoes tdmensonas, defndos como objetos geométcos, não devem se confunddos com sua tena de componentes elatvas a uma base vetoal patcula). Em outas palavas, ao epesenta um estado do sstema pelo pa (u, υω ), deve-se entende u como a confguação subjacente em s mesma, e υω V como um objeto geométco que epesenta vetoalmente a velocdade do sstema como um todo Foças, Toques e Esfoços Agegados Seá chamado dstbução de esfoços um conjunto de foças (vetoas) aplcadas em pontos dvesos de um copo ígdo (esses conjuntos são também chamados de sstemas de foças ). Sabe-se da mecânca newtonana que a nfluênca conjunta dessas

20 16 foças sobe o movmento do copo ígdo pode se completamente descta um pa de vetoes da foma ( F, N ), onde F é a foça esultante (também chamada smplesmente de esultante ) e N o toque esultante da dstbução (também chamado bnáo ). Esse,. toque é sempe elatvo a um ponto do espaço, que chamado pólo do pa ( F N ) O pa de vetoes ( F N ), desceve completamente a nfluênca da dstbução sobe o movmento do copo ígdo no segunte sentdo: duas dstbuções dstntas que possam se epesentadas pelo mesmo pa ( F, N ), em elação a um mesmo pólo, povocam exatamente as mesmas aceleações lneaes e angulaes do copo ígdo, apesa dos esfoços ntenos, que mantêm sua gdez, seem dfeente nos dos casos. Neste tabalho sobe sstemas mecâncos consttuídos po copos ígdos, não nteessam os esfoços ntenos a cada um desses copos. Assm, consdea-se que uma dstbução de esfoços aplcada sobe o -ésmo copo desse sstema está completamente descta pelo pa ( F ),, usando sempe como pólo o cento de massa desse copo ( = N 1,...,n). Um tal conjunto de n dstbuções smultâneas, cada uma delas aplcando sobe um dos n copos, fca então descto po 2n vetoes tdmensonas. Pocuando novamente enfatza a descção do sstema mecânco como um todo, e não de suas pates sepaadamente, defne-se o esfoço agegado sobe o sstema como sendo o veto 6ndmensonal: FN ( F N F N F N = 1, 1, 2, 2,..., n, n ) ( )

21 17 De foma análoga à utlzada paa velocdades, constu-se um outo espaço vetoal E, também de dmensão 6n, chamado espaço dos esfoços agegados. Apesa de V e E teem a mesma dmensão, não faz sentdo soma uma velocdade agegada υω V com um esfoço agegado FN E, motvo pelo qual é feta a dstnção ente esses dos espaços vetoas. Deve-se magna FN E como um objeto geométco que desceve vetoalmente o esfoço que atua sobe o sstema como um todo, sto é, os esfoços que atuam sobe todos os n copos que o consttuem. Uma dstbução de esfoços aplcados sobe um copo ígdo pode se decomposta concetualmente em duas outas, tanto pela dvsão do conjunto de suas foças em dos subconjuntos dsjuntos (que, undos, são guas ao ognal), quanto pela decomposção vetoal de cada uma dessas foças em duas outas foças (aplcadas sobe o,, mesmo ponto). Esse pocedmento, aplcado a uma dstbução descta pelo pa ( F N ) gea duas dstbuções componentes (A e B) que podem se desctas po paes ( F, ) A N A e ( F, ). Se esses dos paes foem elatvos ao mesmo pólo usado paa o pa ( F, N ) B N B então tem-se: F = F A + F B ( ) N e = N A + N B. ( ) Consdee-se novamente um sstema composto po n copos ígdos. Se o pocedmento acma fo aplcado smultaneamente a todas as dstbuções desctas

22 18 pelo esfoço agegado FN, então tem-se uma decomposção coespondente desse veto no espaço E: FN = FN A + FN B ( ) pos convencona-se que qualque dstbução aplcada sobe um dos copos ígdos que compõe o sstema seá sempe descta pelo pa que usa o cento de massa desse copo como pólo. A potênca W coespondente a uma dstbução de esfoços sobe o copo ígdo,, em que ela está aplcada também pode se calculada detamente a pat do pa ( F N ) desde que sejam conhecdos a velocdade angula ω do copo e a velocdade vetoal υ do ponto soldáo a esse copo que está sendo usado (nstantaneamente) como pólo do pa ( F N ), : W = υ. F + ω. N ( ) Aplcando este esultado ao sstema composto po n copos ígdos, conclu-se que a potênca das foças e momentos aplcados sobe o -ésmo copo pela dstbução descta pelo pa ( F N ), é smplesmente: W = υ. F + ω. N, ( )

23 19 pos υ é exatamente a velocdade do seu cento de massa, que é o pólo do pa, (=1,...,n). ( F N ) Buscando novamente a ênfase na descção do sstema como um todo, defne-se poduto escala ente os vetoes agegados dos espaços V e E po: υω. FN = ( ) n ( υ. F + ω. N ) = 1 Assm, pode-se calcula a potênca W = W W n das foças e momentos aplcados nstantaneamente sobe o sstema pelo esfoço FN (quando sua velocdade é υω ) fazendo smplesmente o poduto escala desses dos vetoes agegados: W = υω.fn ( ) Este poduto escala não pode se calculado ente duas velocdades agegadas, pos estaíamos somando gandezas meddas com undades dfeentes, o que não tea qualque sgnfcado físco. O mesmo vale paa esfoços agegados, de foma que apenas seá feto este poduto escala ente dos vetoes agegados de um mesmo tpo. Essa estção tem uma conseqüênca mpotante: não pode-se defn o módulo de vetoes agegados, como é feto usualmente com os vetoes tdmensonas.

24 Vínculos e Velocdades Vtuas Consdee-se agoa um vínculo sobe o sstema mecânco composto pelos n copos ígdos. O temo vínculo seá utlzado aqu exatamente com o mesmo sgnfcado que ele tem na mecânca analítca clássca: uma estção mposta sobe os estados possíves do sstema composto pelos n copos ígdos, que eduz seu númeo de gaus de lbedade de 6n paa l < 6n. Aqu l é o númeo de gaus de lbedade do sstema vnculado. As defnções e esultados a segu são váldos tanto paa os vínculos holônomos quanto paa os vínculos não-holônomos blateas estudados na mecânca analítca clássca. No pmeo caso, a estção cnemátca pode se mposta detamente sobe as confguações do sstema, sto é, algumas das confguações u do sstema não vnculado consdeado até aqu são admtdas pelo vínculo, enquanto outas não são. Repesentam-se genecamente as confguações admtdas pela leta q, chamadas de confguações vnculadas ou confguações dos sstema vnculado. No caso dos vínculos não holônomos (blateas) esta dstnção não se aplca, pos a estção cnemátca é aplcada sobe os estados do sstema não vnculado de tal foma que é mpossível eduz-la a uma condção sobe suas confguações. Entetanto, epesenta-se uma confguação genéca do sstema vnculado sempe pela leta q, em oposção à leta u utlzada na seção anteo paa confguações do sstema não vnculado. Essa dstnção é elevante caso dos vínculos não holônomos, paa os quas as duas letas têm o mesmo sgnfcado.

25 21 Paa cada confguação q do sstema vnculado, tem-se algumas combnações de velocdades lneaes υ e angulaes ω que espetam a estção vncula, e outas que não o fazem. Dz-se que um veto velocdade agegada υω E é uma velocdade vtual assocada a confguação q quando suas componentes tdmensonas fomaem uma combnação admtda pelo vínculo paa essa confguação q. Esse é o sentdo do temo velocdade vtual na temnologa tadconal da mecânca analítca clássca. Entetanto, consdeá-lo como um veto agegado pemte obseva que: Paa qualque confguação q do sstema vnculado, as velocdades vtuas assocadas a q fomam um subespaço vetoal V q do espaço V das velocdades agegadas. A dmensão de Vq V é gual ao númeo de gaus de lbedade do sstema vnculado. A notação V q pocua ndca que esse subespaço depende da confguação q, sto é, paa duas confguações dstntas do sstema vnculado tem-se, em geal, subespaços dstntos de V epesentando as velocdades vtuas coespondentes. As dmensões desses subespaços V q V, poém, são sempe guas ente s, pos concdem com o númeo de gaus de lbedade dos sstema vnculado. Po outo lado, não exstem velocdades vtuas no subespaço V u assocado às confguações u que desespetam o vínculo.

26 22 Pelo esultado acma, pode-se magna cada estado vnculado como um pa (q, υω ), onde q epesenta a confguação subjacente a esse estado e V q a velocdade vtual assocada a ele. O estado de epouso em uma confguação q do sstema vnculado, epesentado pelo pa (q, 00 ), é sempe um estado do pópo sstema vnculado, pos o veto nulo V sempe petence a qualque subespaço vetoal de V. Entetanto, um pa (q, υω ) com υω V q não é compatível com o vínculo, sto é, não coesponde a um estado do sstema vnculado, mesmo que a confguação q seja admtda po esse vínculo. Nesse caso, o sstema está nstantaneamente em uma confguação admtda, mas suas dvesas pates têm velocdades que o levaão, nos nstantes seguntes, a confguações compatíves com a estção vncula. A epesentação acma paa os estados do sstema vnculado como paes (q, υω ), com υω V q, é anteo à ntodução de coodenadas genealzadas paa a descção do vínculo, no sentdo em que ela não depende do conjunto patcula escolhdo, ente os váos possíves, paa ealza essa taefa Esfoços Mantenedoes e Esfoços Tangencas Consdeem-se agoa os esfoços aplcados sobe um sstema mecânco composto po n copos ígdos vnculados. O temo esfoço deve se entenddo aqu e em todo este tabalho segundo o ponto de vsta estabelecdo na seção Uma dstbução de esfoços aplcada sobe um copo ígdo fca completamente descta pelo pa foça-toque

27 23 esultantes. Potanto, um conjunto de n dstbuções, cada uma delas aplcada sobe um dos copos, fca descta po um veto agegado FN E. Algumas combnações de esfoços aplcados sobe os n copos ígdos fazem com que o sstema pemaneça espetando o vínculo ao qual está sujeto, enquanto outas acaetam o ompmento desse vínculo. Se os esfoços extenos aplcados sobe o sstema não fomaem uma dessas combnações que mantêm os copos vnculados, então apaeceão eações vnculaes (esfoços tocados ente as pates que compõem o sstema) que, somadas às ações extenas, esultam em uma das combnações mantenedoas do vínculo. Uma dscussão detalhada desse pocesso envolve o atto assocado às eações vnculaes e seá feta no desenvolvmento da seção 2 deste tabalho. Aqu descevem-se combnações esultantes que pesevam o vínculo, sem nos peocupação com a natueza desses esfoços. Fo vsto na seção anteo que um estado qualque do sstema vnculado pode se epesentado po um pa (q, υω ),. Dz-se que um esfoço agegado FN E mantém o estado (q, υω ) vnculado, ou que FN E é um esfoço mantenedo do estado (q, υω ), quando suas componentes tdmensonas ( F N ), fomaem uma combnação de foças e toques esultantes ( = 1,...,n) que, aplcados sobe os n copos ígdos no estado (q, υω ), povoquem aceleações lneaes e angulaes tas que o sstema pemanece espetando o vínculo ao qual está sujeto. Paa qualque estado (q, υω ), vale a segunte popedade:

28 24 Os esfoços mantenedoes do estado (q, υω ) fomam um subespaço afm M q (υω ) do espaço E dos esfoços agegados. A dmensão de M q (υω ) E é gual ao númeo de gaus de lbedade do sstema vnculado. É mpotante lemba que um subespaço afm de um espaço vetoal é qualque subconjunto que possa se obtdo po uma tanslação de um subespaço vetoal. A notação M q ( υω ) pocua ndca que esse subespaço depende tanto da confguação q do sstema vnculado quanto da velocdade vtual υω V q, sto é, se dos paes dfeem pela confguação q ou pelo veto υω então tem-se, em geal, subespaços dstntos de E epesentando os esfoços mantenedoes desses estados. As dmensões desses subespaços M q (υω ) E, poém, são sempe guas ente s, pos concdem com o númeo de gaus de lbedade do sstema vnculado. Assm, dada uma confguação q do sstema vnculado, tem-se um subespaço afm M q (υω ) E assocado a cada velocdade vtual υω V q. Mas não exstem esfoços mantenedoes nem subespaços M q (υω ) assocados aos paes (q, υω ) com υω V q, pos tas paes não epesentam estados do sstema vnculado. Pelo mesmo motvo, e com anda mas azão, não exstem esfoços mantenedoes nem subespaços M u ( υω ) assocados às confguações u que desespetam o vínculo.

29 25 Quando o sstema está no estado vnculado (q, υω ), a aplcação de qualque esfoço agegado FN M q (υω ) povoca aceleações lneaes e angulaes dos n copos ígdos tas que o sstema pemanece espetando o vínculo ao qual está sujeto. Po outo lado, a aplcação de qualque esfoço agegado FN M q (υω ) povoca aceleações nos copos que levam o sstema, nos seguntes, a estados ncompatíves com a estção vncula. Em um sstema mecânco composto po n copos ígdos vnculados, tem-se a segunte popedade: Paa qualque confguação q, os subespaços M q (υω ) E assocados às dfeentes velocdades vtuas υω V q de q são todos paalelos ente s. Além dsso, se 2 FN M q (υω ) então λ FN M q ( λ υω ), paa qualque escala λ. Este esultado mosta que a oentação do subespaço M q ( υω ) dento de E depende apenas da confguação q do sstema vnculado, e não da velocdade vtual υω V q. Além dsso, o afastamento ente esse subespaço e o veto nulo 00 E depende quadatcamente de υω. Deve se lembado que não há uma noção quanttatva de dstânca em E, nem de módulo dos vetoes de V, daí a necessdade de seem usadas apenas opeações lneaes do espaço vetoal E (multplcação pelo escala λ) no enuncado acma.

30 26 São cooláos da popedade acma: Paa qualque velocdade vtual υω V q, tem-se M q (-υω ) = M q (υω ). Paa qualque confguação q, o subespaço M q ( 00 ) E passa pelo veto nulo: 00 M q ( 00 ). Potanto M q ( 00 ) é sempe um subespaço vetoal de E. Este últmo esultado leva a um conceto que seá mpotante na dscussão do pocesso de apaecmento das eações vnculaes: dz-se que um esfoço FN E é tangencal ao vínculo em uma confguação q se suas componentes tdmensonas ( F ), fomaem uma combnação de foças e toques esultantes ( = 1,...,n) que, N aplcada sobe o estado de epouso (nstantâneo) nessa confguação, povoca aceleações lneaes e angulaes dos n copos ígdos tas que o sstema nca um movmento que espeta o vínculo ao qual está sujeto. Em outas palavas, os esfoços tangencas ao vínculo em uma confguação q são os esfoços mantenedoes do estado de epouso (q, 00 ) nessa confguação. Nestes temos, o segundo cooláo acma estabelece que os esfoços tangencas fomam um subespaço afm de E que passa pelo veto nulo, ou seja, M q ( 00 ) é um subespaço vetoal de E. Isso é ntutvamente clao, pos, se aplcamos sobe cada um dos copos em epouso, uma dstbução de esfoços que se anula ntenamente (foça e

31 27 toque esultante nulos), então eles pemanecem em epouso nessa mesma confguação do sstema, e potanto o vínculo é mantdo Esfoços Extenos e Reações Vnculaes Dscute-se, agoa, o pocesso de sugmento das eações vnculaes com o auxlo dos concetos ntoduzdos acma. Os n copos ígdos que compõem o sstema estão submetdos, em cada nstante, a esfoços extenos, sto é, que não esultam da pesença do vínculo (foças de gavdade, po exemplo). Pode se descta a dstbução de todos os esfoços extenos aplcados ext ext sobe o -ésmo copo po um pa ( F N ) massa ( =1,...,n), como convenconado na seção ,, tomando-se como pólo o seu cento de Tem-se assm, ao todo, 2n vetoes tdmensonas descevendo os esfoços extenos que atuam sobe os n copos. Agegam-se (no sentdo da defnção deste tabalho) agoa esses 2n vetoes tdmensonas e defne-se o esfoço exteno agegado que atua sobe o sstema po: FN ext E FN ext ext ext ext ext ext ext ( F N, F, N,..., F, N ) =. ( ) 1, n n Se estes esfoços fomaem uma combnação que, quando aplcada sobe um estado (q,υω ), povoca aceleações lneaes e angulaes dos n copos ígdos tas que o

32 28 sstema pemanece espetando o vínculo ao qual está sujeto, então FN ext M q (υω ), sto é, FN ext E, seá um esfoço mantenedo do estado (q,υω ). Po outo lado, se FN ext M q (υω ), então os esfoços extenos fomam uma combnação que não mantea soznha os copos vnculados, quando aplcada sobe o estado (q,υω ). As eações vnculaes são esfoços tocados ente as pates que compões o sstema e que, somadas às ações extenas, esultam necessaamente em uma das combnações mantenedoas do vínculo. O sugmento dessas eações decoe da esstênca das estutuas físcas que sustentam o vínculo, po um pocesso complexo, que envolve também o atto ente as pates em contato. Pode se vsualzado geometcamente este pocesso de sugmento das eações vnculaes no espaço dos esfoços agegados da segunte foma: quando um esfoço exteno agegada FN ext E fo aplcado sobe o sstema, apaeceá sempe alguma eação vncula FN vn E tal que a soma FN ext + FN vn petença ao subespaço M q (υω ). Ou seja, a eação vncula é um esfoço agegado FN vn E que, somando à ação extena FN ext E, esulta em um esfoço mantenedo do vínculo. A convenênca desta vsualzação fca evdente quando se compaa sua claeza e smplcdade com o conjunto das gandezas vetoas da mecânca newtonana que estão agegadas na eação vncula FN vn E:

33 29 FN vn vn vn vn vn vn vn ( F N, F, N,..., F, N ) =, ( ) 1, n n vn vn onde ( F N ), é o pa de vetoes tdmensonas que desceve (confome a seção 1.3.2) a dstbução de todos os esfoços vnculaes aplcados sobe o -ésmo copo ígdo, tomando-se como pólo o seu cento de massa ( =1,...,n). Se fo defndo o esfoço esultante agegado FN es E po: então esulta que: es = FN ext FN vn, ( ) FN + FN es =, ( ) es es es es es es ( F N, F, N,..., F, N ) 1, n n onde: F N es es = F = N ext ext + F + N vn vn ( =1,...,n) es es É clao então que ( F N ), é exatamente o pa de vetoes tdmensonas que desceve a dstbução de todos os esfoços (vnculaes e extenos) aplcados sobe o - ésmo copo ígdo, tomando-se como pólo o seu cento de massa ( =1,...,n). É mpotante ntepeta coetamente as equações acma: elas epesentam uma decomposção concetual da dstbução de todos os esfoços aplcados sobe o -ésmo copo ígdo (confome dscutdo na seção 1.3.2) em duas outas: uma de esfoços

34 30 extenos e outa de esfoços vnculaes. A elação ente os vetoes foça-toque que epesentam essa tês dstbuções é smples poque esses tês paes são elatvos a um mesmo pólo: o cento de massa do copo coespondente. Além dsso, a decomposção estendeu-se aos esfoços agegados do espaço E poque fo aplcada smultaneamente paa todos os n copos que consttuem o sstema mecânco. Paa cada esfoço exteno em E que, somados a FN ext FN ext E, exstem váos vetoes agegados dstntos, esultam em um veto mantenedo do estado (q,υω ), pos M q (υω ) é um subespaço afm l-dmensonal de E (l é o númeo de gaus de lbedade do sstema vnculado). Todos esses vetoes são gualmente efcentes como eação vsando a manutenção do vínculo. A dfeença ente duas eações vnculaes possíves paa uma mesma ação extena FN ext é sempe um esfoço tangencal ao vínculo, sto é, um veto do subespaço M q ( 00 ). Essa ndetemnação da eação vncula seá usada mas tade paa epesentamos as dfeentes condções de atto assocadas às estutuas físcas que mantêm o vínculo (seção 2). Consdee-se antes a dscussão do caso clássco das eações vnculaes na ausênca de qualque foma de atto Reações Pefetas e Esfoços Nomas O fomalsmo tadconal da mecânca analítca clássca especfca as eações vnculaes pefetas usando conjuntamente o Pncípo de D Alembet e o Pncpo das Velocdades Vtuas, que podem se condensados em um únco enuncado:

35 31 As eações vnculaes (pefetas) não ealzam tabalho, paa qualque velocdade vtual do sstema mecânco vnculado. Um esfoço agegado FN E aplcado sobe o sstema coesponde a uma potênca gual a υω. FN, onde υω V é a velocdade agegada coente. Seá dto que FN E é um esfoço nomal ao vínculo na confguação q quando esse veto não ealza tabalho sobe o sstema, paa qualque velocdade vtual assocada a essa confguação, ou seja, quando υω. FN = 0 paa qualque υω V q. Defn os esfoços nomas como vetoes agegados leva ao segunte esultado: vetoal Os esfoços nomas ao vínculo em uma confguação q fomam um subespaço Eq do espaço E dos esfoços agegados. A dmensão de dfeença ente 6n e o númeo de gaus de lbedade do sstema vnculado. E q E é gual à Tem-se assm, paa cada confguação q de um sstema mecânco consttuído po n copos ígdos vnculados, dos subespaços vetoas do espaço E dos esfoços agegados: o subespaço E q E dos esfoços nomas ao vínculo em q, e o subespaço M q ( 00 ) E dos esfoços tangencas ao vínculo em q, que é epesentado smplesmente po E q. A soma das dmensões desses dos subespaços é sempe gual a 6n, que é a dmensão do pópo E. Além dsso, tem-se que:

36 32 Paa qualque confguação q do sstema vnculado, os subespaços E q e E q são tansvesas ente s, sto é, a nteseção ente eles é o subespaço nulo. Potanto, podemos decompo E como soma deta desses subespaços: E = E q Eq, ( ) paa qualque confguação q do sstema vnculado. Isto sgnfca que, dada uma confguação q do sstema vnculado, todo veto agegado FN E pode se escto como a soma de um esfoço nomal com um tangencal, e que, além dsso, essa decomposção é únca. Em outas palavas, paa cada FN E, exste um e um únco pa FN,FN tal que: FN = FN + FN, ( ) com FN e E q FN E. q Essa decomposção é elatva apenas à confguação q do sstema vnculado, não dependendo de sua velocdade vtual υω V q.

37 33 Como E q é tansvesal a E q = M q ( 00 ), e os subespaços M q (υω ) assocados a uma mesma confguação q são todos paalelos ente s, tem-se que: Paa cada velocdade vtual υω V q do sstema, exste um e um únco esfoço nomal ao vínculo em q que mantém o estado (q,υω ) vnculado. Ou seja, paa cada υω V q, exste um e um únco veto subespaços M q (υω ) e E q. FN E que petence, ao mesmo tempo, aos O veto FN E, defndo pelo esultado acma, seá chamado de esfoço mantenedo-nomal do estado (q, υω ). Tem-se assm a segunte caactezação do subespaço dos esfoços mantenedoes. Uma condção necessáa e sufcente paa um veto qualque FN E petence a M q (υω ) é que FN = FN. Então dos esfoços mantenedoes de um mesmo estado do sstema vnculado dfeem apenas quanto à componente tangencal. O fomalsmo tadconal da mecânca analítca clássca usa o pncípo de D Alembet e o Pncípo das Velocdades Vtuas paa especfca as eações vnculaes pefetas. O esultado segunte afma que sempe exste uma tal eação, qualque que seja

38 34 esfoço exteno aplcado sobe o sstema, e que, além dsso, exste apenas uma eação pefeta a cada esfoço esteno: Seja (q,υω ) um estado qualque de um sstema mecânco vnculado. Paa cada esfoço agegado FN ext E, exste um e um únco FN vn E tal que: () FN ext + FN vn M q (υω ); ( ) e () FN vn E. ( ) q Em outas palavas, paa cada esfoço exteno exste uma e uma únca eação vncula pefeta do sstema vnculado. Paa demonsta esta afmação, é deduzda uma fómula paa a eação vncula pefeta em temos do esfoço mantenedo-nomal FN do estado (q, υω ), e da componente nomal do esfoço exteno FN ext aplcado sobe o sstema. Tomando as componentes nomas na equação: obtém-se que: FN + es = FN ext FN vn, ( ) es = FN ext + FN vn FN ( )

39 35 Paa qualque eação vncula, tem-se que FN es M q (υω ), logo FN es = FN, e potanto: vn = FN FN ext FN ( ) Além dsso, paa a eação vncula pefeta vale que FN vn = FN vn, pos FN vn é um esfoço nomal ao vínculo. Conclu-se então que: vn = FN FN ext FN, o que pova a exstênca e a uncdade do veto FN vn E nas condções acma. Pode-se utlza essa fómula paa obte alguns esultados sobe a eação vncula pefeta: se FN ext = 00, então FN vn = FN, o que pemte ntepeta o esfoço mantenedo-nomal como o veto agegado que epesenta a eação vncula pefeta coespondente à ausênca de esfoço exteno aplcado sobe os sstema. Além dsso, se FN ext mantve o estado (q,υω ) vnculado (sto é, se FN ext = FN ), então não haveá eação vncula: FN vn = 00. Assm a eação pefeta apaece apenas quando sua pesença é ndspensável à manutenção do vínculo Reações Impefetas e Modelagem do Atto Vncula vetoes Fo vsto acma como o Pncípo de D Alembet especfca um dos váos FN vn que, somados a FN ext, esultam em um esfoço mantenedo do vínculo. A eação vncula pefeta assm especfcada coesponde à ausênca de qualque foma de atto ente as estutuas físcas que sustentam o vínculo, pos ela nunca dsspa enega

40 36 (não ealza tabalho, nclusve paa a velocdade vtual coente do sstema). Quando houve atto ente essas estutuas, a eação vncula agegada seá algum dos outos vetoes que, somados a FN ext, mantém, o sstema vnculado. Em geal, modela-se o atto vncula mpondo condções sobe as dvesas componentes das eações vnculaes, usando paâmetos físcos de atto paa epesenta os níves de ugosdade e lubfcação. Essas condções podem envolve também o estado coente do sstema, pos as foças de atto dependem, em geal, da posção e velocdade elatvas ente as supefíces em contato. Como todas as componentes da eação vncula estão embutdas no veto agegado FN vn E, e o estado do sstema está descto pelo pa (q,υω ), pode-se entende um modelo paa o atto vncula como uma elação matemátca ente esses objetos. Essa elação pode se vsualzada no espaço E dos esfoços agegados como o luga geométco dos vetoes FN vn E cujas componentes satsfazem as condções mpostas pelo modelo paa a eação vncula. Mas pecsamente, paa cada estado (q,υω ) do sstema vnculado, tem-se um subconjunto A q (υω ) E consttuído pelos esfoços agegados FN vn E que satsfazem as condções mpostas sobe as eações vnculaes paa desceve o atto vncula. Po exemplo, O Pncípo de D Alembet modela a stuação deal de ausênca de atto vncula mpondo como condção sobe a ação vncula que ela não ealze tabalho paa qualque velocdade vtual do sstema. Essa condção está epesentada no

41 37 espaço E dos esfoços agegados pelo subconjunto vetoes nomas ao vínculo na confguação q. E q E, que é o luga geométco dos Analogamente, quasque condções mpostas sobe as eações paa desceve o atto vncula podem se epesentadas no espaço E dos esfoços agegados pelo luga geométco A q (υω ) dos vetoes FN vn E que as satsfazem. Então um modelo de atto vncula qualque seá epesentado pelo subconjunto A q ( υω ) E dos esfoços agegados que satsfazem as condções elatvas ao estado (q,υω ) mpostas sobe as eações vnculaes paa desceve o atto. Nestes temos, os subconjuntos A q (υω ) = E q consttuem aqu uma epesentação geométca do modelo D Alembetano paa o atto vncula, sto é, aquele modelo que detemna sempe a eação vncula pefeta (ausênca de atto), qualque que seja o esfoço exteno aplcado sobe o sstema. Tendo fxado um modelo qualque paa o atto vncula (ou seja, tendo assocado um conjunto A q (υω ) E a cada estado do sstema vnculado), a eação vncula a um dado esfoço exteno seá detemnada po duas condções ndependentes: () a esultante deve mante o sstema vnculado; e () a eação deve satsfaze o modelo de atto vncula. A pmea delas depende apenas da geometa do vínculo e da dstbução de massa do sstema, enquanto a segunda epesenta uma foma patcula das estutuas físcas que sustentam o vínculo geaem atto em suas supefíces de contato.

42 38 Em outas palavas, a eação vncula FN vn E a um dado esfoço exteno FN ext E seá detemnada pelas condções: () FN ext + FN vn M q (υω ) (a esultante deve mante o sstema vnculado); e () FN vn A q (υω ) ( a eação deve satsfaze o modelo de atto vncula). Em geal, a constução de um modelo paa o atto vncula deveá se feta em um outo espaço dstnto de E, que epesente não os esfoços vnculaes totas que atuam sobe cada copo, mas os esfoços vnculaes tocados ente eles em cada supefíce de contato. A natueza desse outo espaço e sua elação com E dependem do vínculo estudado. Deve-se, potanto, ada sua dscussão paa o contexto das aplcações específcas dos métodos aqu epesentados. O modelo D Alembet é uma exceção, cuja smplcdade pemte descevê-lo no pópo espaço E pelo subconjunto fo feto na seção anteo. E q E, como 2. Dnâmca de Robôs Manpuladoes Nesta seção é desenvolvdo todo o fomalsmo descto na seção 1.3 (Método) e é feta sua aplcação ao contole e modelagem de obôs obtendo a foma geal das foças de atto que se desenvolvem nas atculações.

43 Dstbução de Esfoços O objetvo pncpal deste tabalho é apmoa a descção dada nestes modelos paa o atto pesente nas atculações destes dspostvos. Atualmente, o atto nas atculações é descto como dependente apenas da posção e velocdade elatvas ente as pates dos copos ígdos em contato. Essa descção, entetanto, não é satsfatóa paa egmes de baxo nível de lubfcação, onde a magntude da eação nomal ente as supefíces em contato é uma vaável mpotante na detemnação das foças de atto. Seá utlzado o fomalsmo apesentado na seção 1.3 deste tabalho paa constu modelos dnâmcos em que o atto assocado às eações vnculaes dependa também das componentes nomas dessas eações. A fm de seem obtdos algotmos do ponto de vsta computaconal seá apesentada uma constução baseada em pocedmentos do método teatvo de Newton-Eule (Cag, 1986). Além de concetos e esultados apesentados na seção 1.3, seá também utlzada a temnologa e a notação nela defndas. A seção 2.1 é dedcada ao cálculo das velocdades vtuas e os esfoços mantenedoes do sstema mecânco vnculado que epesenta o obô manpulado. Nas seções 2.2 e 2.3 é ntoduzdo um espaço vetoal cujos elementos descevem os esfoços tocados nas atculações desse obô, e estabelece-se um somofsmo ente ele e o espaço dos esfoços agegados. A seção 2.4 é dedcada à modelagem do atto nas atculações, e

44 40 a seção 2.5 à detemnação das eações vnculaes segundo esses modelos. Fnalza-se dscutndo a nclusão dessa modelagem dnâmca do atto vncula em algotmos de contole e de smulação do manpulado, nas seções 2.6 e 2.7 espectvamente Velocdades Vtuas e Esfoços Mantenedoes Consdee-se ncalmente um estado do manpulado descto pelas posções e velocdades genealzadas (q, q& ) nas atculações. As velocdades vetoas lneaes υ ( q, q& ) e angulaes ω ( q, q& ) de cada um dos seus baços ( =1,...,n), coespondentes a esse estado do sstema, podem se calculadas como na pmea pate do método teatvo de Newton - Eule. Como essas velocdades fomam uma combnação que espeta a estção vncula, a velocdade agegada coespondente: υω ( q, q& ) = ( υ1( q, q& ), ω1( q, q& ),..., υ n ( q, q& ), ωn ( q, q& )) (2.2.1) é uma das velocdades vtuas assocadas à confguação q.. Sabe-se, pela seção 1.3, que exste uma base [ υω,...,υω l ] V q V das velocdades vtuas assocadas à confguação q, paa a qual: 1, do subespaço vetoal l υω ( q, q& ) = q& α υω α ( q). (2.2.2) α = 1

45 41 Em temos das componentes tdmensonas dos vetoes υω α V (α = 1,..., n): a equação acma se esceve: υω α = υ, ω, υ, ω,..., υ, ω ). (2.2.3) ( α1 α1 α 2 α 2 αl αl υ ( q, q& ) = ω ( q, q& ) = l α = 1 l α = 1 α q& υ ( q) α α q& ω ( q) α ( =1,...,n). Os vetoes υ (q) e ω (q) α α são, espectvamente, as velocdades lneaes a angulaes do -ésmo baço, coespondentes ao estado do manpulado em que q α-ésma velocdade genealzada é untáa e todas as demas são nulas (α, =1,...,n). Note-se que esses vetoes dependem das coodenadas genealzadas q, mas não das velocdades genealzadas q&. Assm υ (q) e ω (q) podem se calculados teatvamente, segundo o α α pocesso usado na pmea pate do método de Newton - Eule (Cag, 1986). Esse é um pocedmento efcente, do ponto de vsta computaconal, paa se obte a base vetoal [ υω,..., υω l ] 1. Na pmea pate do método teatvo de Newton - Eule, pate-se de um valo dado paa as coodenadas, velocdades e aceleações genealzadas: ( q, q&, q& ) e calculam-se os paes foça-toque ( F, N ) que descevem a dstbução de todos os esfoços que atuam sobe o -ésmo baço do manpulado ( =1,...,n).

46 42 Essas foças e toques epesentados po ( q, q&, q& ) F e ( q, q&, q& ), espectvamente, N consttuem o veto agegado: FN( q, q&, q&& ) = ( F1 ( q, q&, q&& ), N1( q, q&, q&& ),..., F ( q, q& l, q&& ), Nl ( q, q&, q& )) (2.2.4) que é exatamente o esfoço mantenedo do estado (q,q& ) coespondente às aceleações genealzadas q& &, Tem-se, potanto, a segunte caactezação dos esfoços mantenedoes do obô manpulado: Uma condção necessáa e sufcente paa que um esfoço agegado FN E seja mantenedo do estado (q,q& ) é que suas componentes tdmensonas foça-toque possam se obtdas, segundo o pocedmento usado na pmea pate do método teatvo n de Newton - Eule, a pat das mesmas aceleações genealzadas ( q & 1,..., q& ). Sabe-se que os esfoços mantenedoes de um estado (q, υω ) fomam um subespaço afm M q (υω ) do espaço E dos esfoços agegados (seção 1.3), e que esse subespaço pode se descto paametcamente po: l = α = 1 α FN( q, q&, q&& ) q&& PLα ( q) + FN( q, q&,0), (2.2.5) onde os vetoes agegados PL α E:

47 43 PL α = (2.2.6) ( P L, P, L,..., P l, L,) α1, α1 α 2 α 2 α αl são dados po: P L α α ( q) = mυα ( q) ( q) = I [ ω ( q) ] α (α, =1,...,n). Estes n vetoes detoes PL α E do subespaço afm M q (υω ) E podem então se obtdos detamente a pat da base vetoal [ υω,...,υω l ] 1 constuída acma. Po sua vez, o veto: ( F ( q, q&, 0), N ( q, q&, 0),..., F ( q, q&, 0), N ( q, &, )) FN( q, q&, ) = 0, (2.2.7) n n q que fonece o deslocamento do subespaço afm M q (υω ) E em elação à ogem, pode se calculado teatvamente como na pmea pate do método de Newton-Eule, patndo-se das coodenadas e velocdades genealzadas (q, q& ), mas consdeando as aceleações genealzadas nulas. Tem-se, assm. um pocedmento teatvo smples e efcente (do ponto de vsta computaconal) paa se obte a epesentação paamétca acma defnda do subespaço afm M q (υω ) dos esfoços mantenedoes do vínculo que epesenta o obô manpulado.

48 O Isomofsmo Canônco Na segunda pate do método teatvo de Newton-Eule, calculam-se as dstbuções dos esfoços tocados ente baços consecutvos do obô, sto é, tocados em cada junta. Segundo a notação utlzada 1.3, desceve-se pelo pa ( f n ), a dstbução dos esfoços aplcados pelo baço 1 sobe o -ésmo baço manpulado, tomando-se como pólo o ponto J ( =1,...,n). A dstbução dos esfoços de eação (no sentdo da Tecea le de Newton), aplcados pelo -ésmo baço sobe o baço 1 ( = 2,...,n), fca natualmente descta pelo pa ( f n ), em um únco veto 6n-dmensonal: ( f n, f, n,..., f n, n,) fn =, (2.3.1) 1, n e assm fca defndo um espaço vetoal J, de dmensão 6n, que é chamado de espaço dos esfoços tocados nas atculações do manpulado. Este espaço vetoal J não deve se confunddo com o espaço dos esfoços agegados E ntoduzdo na seção 1.3. Os vetoes agegados agegado FN E foam aí defndos como: FN = ( F N, F, N,..., F n, N n ). (2.3.2) 1, onde cada pa ( F ), epesenta a dstbução dos esfoços aplcados sobe o -ésmo N copo ígdo (que consttu o sstema mecânco) tomando-se como pólo o seu cento de massa ( =1,...,n). No caso pesente, potanto, os paes ( F ), são elatvos aos cento de N

49 45 massa C do -ésmo baço do manpulado, enquanto os paes ( f n ) elação aos pontos J., são calculados em do ( F ) Na segunda pate do método de Newton-Eule, o cálculo dos paes ( f n ) N, a pat, também é feto teatvamente, patndo-se agoa da extemdade lve do manpulado, até sua base fxa. Paa tanto fazemos o balanço (seção 1.3) dos esfoços aplcados em cada baço: F = f N = f + 1 [ n + C J f ] = [( n+ 1) + C J + 1 ( f + 1) ] (2.3.3) Fn = f Nn = n [ nn + CnJn fn ] ( =1,...,n-1) (2.3.4) Estas n equações vetoas estabelecem um somofsmo vetoal ente o espaço J dos esfoços tocados (defndo acma) e espaço E dos esfoços agegados. Em outas palavas, podem-se consdea as 2n equações vetoas acma como uma função que assoca a cada veto agegado de J: ( f1, n1, f2, n2,..., f n, nn, ) fn =, (2.3.5) um outo veto agegado de E: FN = ( F1, N1, F2, N 2,..., F n, N n ). (2.3.6)

50 46 É fácl vefca que esta função defne uma tansfomação lnea de J em E. O pocedmento teatvo usado na segunda pate do método de Newton-Eule, que calcula os paes ( f n, ) a pat de ( F, N ), mosta que essa tansfomação lnea é nvesível, ou seja, que ela defne uma coespondênca bunívoca lnea ente os espaços E e J. Essa tansfomação lnea é aqu chamada de somofsmo vetoal canônco ente E e J. Dos vetoes FN E e fn J colocados em coespondênca po este somofsmo epesentam, de duas fomas dstntas, uma mesma combnação de esfoços atuando nos dvesos baços do manpulado. Pode-se, assm, tanspota paa J a noção de esfoço mantenedo do vínculo que epesenta o obô: seá dto que fn J mantém o estado (q,υω ) vnculado quando ele fo equvalente, segundo o somofsmo canônco, a um esfoço mantenedo FN M q (υω ) E. Pela caactezação dos esfoços mantenedoes vsta na seção anteo obtem-se então: Uma condção necessáa e sufcente paa que um esfoço fn J seja mantenedo do estado (q, q& ) é que suas componentes tdmensonas foça-toque possam se obtdas, segundo o método teatvo de Newton-Eule, a pat das mesmas n aceleações genealzadas ( q & 1,..., q& ). Essa caactezação dos esfoços mantenedoes tocados nas atculações do manpulado fo utlzada, na seção 1.3, paa dscut a equvalênca ente o método teatvo de Newton-Eule e a hpótese de eações vnculaes pefetas.

51 47 Utlzando o somofsmo canônco, pode-se também tanspota paa J o subespaço afm M q (υω ) E de todos os esfoços mantenedoes do estado (q,υω ), J obtendo-se, assm, um subespaço afm de J que seá desgnado po M q ( υω ). Os J elementos desse subespaço afm M q (υω ) J são exatamente os vetoes fn J que epesentam as combnações de esfoços tocados nas juntas que mantêm o estado (q,υω ) vnculado. Paa calcula efetvamente este subespaço afm M q J (υω ) J, pode-se tanspota paa J a paametzação de M q J (υω ) E obtda na seção anteo. Ou seja, tansfeem-se paa J, pelo somofsmo canônco, os n vetoes agegados PL α E e, também, no veto FN ( q, q&, 0) E, obtendo-se, espectvamente: pl J (α = 1,...,n) e fn ( q, q&, 0) J. α Esses n+1 vetoes descevem paametcamente o subespaço afm M q J (υω ) J coespondente ao estado (q,q& ), uma vez que os vetoes fn M q J (υω ) são dados po: l α fn( q, q&, q&& ) = q&& pl ( q) + fn( q, q&,0), (2.3.7) α = 1 α onde q& & J é a aceleação genealzada do obô que esulta da aplcação de fn M q (υω ) sobe esse estado do sstema.