MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS SOBRE CILINDRO IMERSO UTILIZANDO-SE O MÉTODO DA FRONTEIRA IMERSA COM O MODELO FÍSICO VIRTUAL

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1 13 o POSMEC - Smpóso do Pogama de Pós-Gaduação em Engenhaa Mecânca Unvesdade Fedeal de Ubelânda Faculdade de Engenhaa Mecânca MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS SOBRE CILINDRO IMERSO UTILIZANDO-SE O MÉTODO DA FRONTEIRA IMERSA COM O MODELO FÍSICO VIRTUAL Alce Rosa da Slva Unvesdade Fedeal de Ubelânda UFU, Faculdade de Engenhaa Mecânca Laboatóo de Tansfeênca de Calo e Massa e Dnâmca dos Fludos, Av. João Naves de Ávla Ubelânda-MG, Basl calces@hotmal.com Ana Lúca Fenandes de Lma e Slva Unvesdade Fedeal de Ubelânda UFU, Faculdade de Engenhaa Mecânca Laboatóo de Tansfeênca de Calo e Massa e Dnâmca dos Fludos, Av. João Naves de Ávla Ubelânda-MG, Basl alfenandes@mecanca.ufu.b Asteu da Slvea Neto Unvesdade Fedeal de Ubelânda UFU, Faculdade de Engenhaa Mecânca Laboatóo de Tansfeênca de Calo e Massa e Dnâmca dos Fludos, Av. João Naves de Ávla Ubelânda-MG, Basl asteus@mecanca.ufu.b Resumo: No pesente tabalho utlza-se uma metodologa em desenvolvmento no Laboatóo de Tansfeênca de Calo e Massa e Dnâmca dos Fludos (LTCM-UFU). Esta é baseada no Método da Fontea Imesa (MFI), Pesn (1977) e utlza-se o Modelo Físco Vtual (MFV), poposto po Lma e Slva et al. (2003) e Lma e Slva (2002). O método consste da utlzação de uma malha fxa (euleana) paa epesenta o domíno de cálculo e uma malha móvel (lagangana) paa epesenta a nteface mesa. O MFV utlza as equações do movmento, esolvdas nos pontos laganganos, paa calcula um campo de foça ntefacal que é dstbuído paa as malhas euleanas na vznhança da nteface sóldo/fludo. Foam smulados escoamentos ncompessíves, bdmensonas sobe um clndo ccula estaconáo, utlzando dfeentes métodos de dscetzação tempoal paa fns compaatvos. As smulações foam fetas a dfeentes númeos de Reynolds e dfeentes efnamentos de malha. Foam obtdos os campos de velocdade, campos de pessão, campos de votcdade, bem como valoes médos do coefcente de aasto e do númeo de Stouhal. Palavas-chave: Método da Fontea Imesa, Modelo Físco Vtual, Clndo. 1. INTRODUÇÃO O uso da Dnâmca dos Fludos Computaconal vem cescendo à medda que os avanços computaconas possbltam smula dvesos escoamentos de nteesse pátco. Uma gama de escoamentos ndustas possuem complexdade geométca e a conseqüente dfculdade da utlzação de malhas egulaes fxas paa epesenta o poblema. Alguns métodos utlzam malhas não estutuadas que se adaptam à nteface mesa no escoamento (Hu, 1995). Estes po sua vez, elevam o custo computaconal paa as smulações com a pesença de copos em movmento ou defomáves, pela necessdade de se econstu a malha quando esta se defoma.

2 13º POSMEC. FEMEC/UFU, Ubelânda-MG, 2003 A metodologa em desenvolvmento, apesentada no pesente tabalho, basea-se no Método da Fontea Imesa (MFI), no qual se utlza uma fomulação msta. Uma malha fxa (euleana) epesenta o domíno de cálculo e uma malha lagangana é utlzada paa epesenta a nteface mesa. Além dsto, um campo de foça adconado às equações do movmento é calculado de foma a modela a pesença da nteface. Exstem dfeentes popostas paa o cálculo deste campo de foça como destacado a segu. O modelo poposto po Pesn (1977) utlza uma constante elástca esponsável pela conectvdade e gdez dos pontos da nteface mesa. Goldsten et al. (1993) popuseam um modelo onde duas constantes ad-hoc são ajustadas de acodo com o poblema e com o método numéco utlzado. No Modelo Físco Vtual (MFV), (Lma e Slva et al., 2003) não exstem constantes a seem ajustadas, como nos modelos ctados anteomente além dsto, não é necessáo utlza algotmos especas paa ntepola vaáves ente as duas malhas ou localza malhas vznhas a esta nteface. Este modelo pemte epesenta a pesença da nteface esolvendo as equações do movmento em cada ponto da malha lagangana. No pesente tabalho utlzou-se a metodologa MFI com MFV paa smula escoamentos bdmensonas sobe um clndo estaconáo paa dfeentes númeos de Reynolds e dfeentes efnamentos de malha. Foam obtdos os campos de votcdade, os coefcentes de aasto e de sustentação e o númeo de Stouhal. A dscetzação das equações do movmento fo feta pelo método de Dfeenças Centadas de 2ª odem no espaço. Paa o temo tempoal, tês métodos de dscetzação foam empegados: Eule Explícto de 1ª odem, Adams-Bashfoth e Runge-Kutta, ambos de 2ª odem. 2. MODELO MATEMÁTICO As equações bdmensonas de Nave-Stoes paa escoamentos ncompessíves de fludos newtonanos foam utlzadas. A segu são apesentadas as fomulações paa a malha euleana, que epesenta todo o domíno de cálculo e paa a malha lagangana que epesenta a nteface mesa no escoamento. 2.1 Fomulação Euleana As equações de Nave-Stoes na foma tensoal podem se apesentadas como segue: u t + ( u u ) x j j 1 p = ρ x + ν x j efet u x j u j + x + F, (1) u x = 0, (2) onde ρ e ν são, espectvamente, a densdade e a vscosdade cnemátca, p é a pessão, é a componente do veto velocdade, F é a componente do veto campo de foça euleano e ν = ν + é a vscosdade da tubulênca. efet ν t O temo fonte F da Eq. (1) é calculado atavés da dstbução das componentes do veto foça ntefacal lagangano x =,, feta atavés da segunte equação: F f ( t) ( x) = D ( x x ) f ( x ) S( x ), (3) j u 2

3 13º POSMEC. FEMEC/UFU, Ubelânda-MG, 2003 onde x e x são, espectvamente, os vetoes posção dos pontos euleanos e laganganos, S( x ) é o compmento médo ente dos pontos laganganos, D j é uma função de ntepolação/dstbução, com popedades de uma função Gaussana e f ( x ) é a foça ntefacal calculada pelo Modelo Físco Vtual apesentado a segu. 2.2 Fomulação Lagangana - Modelo Físco Vtual (MFV) O Modelo Físco Vtual utlzado no pesente tabalho pemte o cálculo de f ( x ) com base na nteação físca do fludo e da supefíce sólda mesa no fludo. Este modelo é baseado na aplcação da 2ª le de Newton (balanço de quantdade de movmento lnea), aos volumes de fludo centados nos pontos laganganos. Potanto, aplcando-se este pncípo, chega-se a segunte equação: f ( x, t) V ( x, t) = ρ + ρ. µ t [ ] + p( x, t T ( V ( x, t) V ( x, t) ). ( V + V ) ). (4) Os temos que compõem a Eq.(4) são denomnados de foça de aceleação f a, foça necal f, foça vscosa f v e foça de pessão f p. Estes temos são calculados utlzando-se uma apoxmação po polnômos de Lagange. Uma vez detemnada a foça lagangana, Eq. (4), esta é dstbuída paa as malhas euleanas vznhas à nteface, atavés da Eq. (3). O campo de foça euleano F que modela a exstênca da nteface mesa no escoamento é então detemnado Modelagem da Tubulênca No pesente tabalho utlzou-se o modelo sub-malha de Smagonsy (1963). Este modelo é baseado na hpótese de que a podução de tensões tubulentas sub-malhas seja gual à dsspação. A vscosdade tubulenta, dada em função da taxa de defomação e da escala de compmento é expessa po: t 2 ( CSl) 2Sj Sj ν =, (5) onde l é o compmento caacteístco que depende da malha de dscetzação, S é a taxa de defomação, C s = 0.18, é a constante de Smagonsy. j 2.4. Função de Amotecmento Paa as smulações a númeos de Reynolds supeoes a 500, uma função de amotecmento (Souza, L.F et al, 2002) é utlzada na saída do domíno. Esta função amotece os vótces na saída do domíno, gaantndo a consevação da massa. Ela pode se expessa po: ( ε ) = 1 6ε + 15ε f 2 ( x) = f 10ε (6) 3

4 13º POSMEC. FEMEC/UFU, Ubelânda-MG, 2003 onde: 3 ε = (7) 4 3. Os pontos e coespondem às posções consecutvas e x na deção x x MÉTODO NUMÉRICO O Método dos Passos Faconados fo empegado paa o acoplamento pessão-velocdade, onde uma estmatva da velocdade é feta explctamente. Este campo de velocdade estmado é então utlzado paa o cálculo da coeção da pessão, e paa a coeção do campo de velocdade e pessão. O sstema lnea paa a coeção da pessão e esolvdo pelo método MSI (Modfed Stongly Implcty Pocedue). A dscetzação espacal fo feta atavés do método de Dfeenças Centas e a dscetzação tempoal atavés do esquema de Eule de pmea odem e dos esquemas de segunda odem de Adams-Bashfoth e Runge-Kutta. 4. RESULTADOS A segu são apesentados os esultados dos escoamentos smulados em um domíno etangula de dmensões 1,5x3,0m. O clndo meso possu dâmeto d=0,1m e coodenadas centas de 0,75x1,65m. Os númeos de Reynolds baseados no dâmeto do clndo, foam guas a 100, 300 e As popedades do fludo, ρ e µ, são constantes e guas a 1.0 g/m 3 e 3, g/m.s, espectvamente. O escoamento se desenvolve no sentdo ascendente, com a mposção de um pefl de velocdade unfome na entada do domíno. Nas demas faces do domíno as condções de contono de Newman são especfcadas Campos de Votcdade A Tabela (1) apesenta as tês malhas utlzadas nas smulações paa os dfeentes métodos de dscetzação tempoal ctados anteomente, bem como os númeos de Reynolds. Tabela 1: Apesentação dos dfeentes efnamentos da malha smulados. Malha Nº de pontos Re 1 (250x500) 100, (125x250) 100, (62x124) 100 Na Fgua (1) são mostados os campos de votcdade paa o método de Adams-Bashfoth, consdeando os tês efnamentos da malha e paa um númeo de Reynolds gual a

5 13º POSMEC. FEMEC/UFU, Ubelânda-MG, 2003 (a) (b) (c) Fgua 1: Campos de votcdade paa o método de Adams-Bashfoth e Re=100; malha 1 (a), malha 2 (b) e malha 3 (c). Obseva-se pela Fg. (1) que os vótces não estão em fase. Isto deve-se ao fato de que a feqüênca de fomação dos vótces vaa em função da malha, a qual flta as nstabldades de alta feqüênca. Paa a malha 3 a tansção ocoeu mas lentamente e o compmento da estea é mao. Paa os métodos de Eule e Runge-Kutta os esultados foam semelhantes aos apesentados na Fg. (1). A Fgua (2) apesenta os campos de votcdade paa os tês métodos de dscetzação tempoal, paa a malha 2 e um númeo de Reynolds gual a 300. (a) (b) (c) Fgua 2 Campos de votcdade paa Re = 300, malha 2; Eule (a), Adams-Bashfoth (b) e Runge-Kutta (c). Obseva-se na Fg. (2) o apaecmento de nstabldades numécas sobe a estea, em todos os métodos. Tal fato não fo obsevado, paa o númeo de Reynolds gual a

6 13º POSMEC. FEMEC/UFU, Ubelânda-MG, Evolução Tempoal do Coefcente de Aasto e númeo de Stouhal A Fgua (3a) mosta a vaação do coefcente de aasto no tempo paa o método de Eule de 1ª odem, paa os tês efnamentos de malha e númeo de Reynolds gual a 100. A Fgua (3b) apesenta os esultados paa o mesmo método, consdeando a malha de 125x250 pontos e dos númeos de Reynolds Re=100 C d 1.4 malha 1 C d malha 2 malha 3 1 Re= tu/d (a) tu/d (b) Fgua 3 Dstbuções dos coefcentes de aasto em função do tempo admensonal paa o método de Eule: Re=100 e malhas 1, 2 e 3 (a), Re=100, 300 e malha 2 (b). Obseva-se pela Fg. (3)-(a) que a malha 3 apesentou mao coefcente de aasto que as demas malhas. As malhas mas gosseas gastam um mao tempo paa a tansção do escoamento. À medda que o númeo de Reynolds aumenta, o coefcente de aasto dmnu. Este fato pode se obsevado na Fg. (3)-(b). Paa os outos dos métodos foam obtdos esultados semelhantes. A Fgua (4) apesenta a evolução tempoal do coefcente de aasto paa o método de Adams- Bashfoth com modelo de tubulênca, paa númeo de Reynolds gual a 1000 e malha Sem amotecmento Com amotecmento 1.35 C d tu/d Fgua 4: Vaação tempoal do coefcente de aasto com e sem função de amotecmento. 6

7 13º POSMEC. FEMEC/UFU, Ubelânda-MG, 2003 Obseva-se na Fg. (4) o apaecmento de osclações hamôncas. Estas não foam constatadas paa as smulações com os númeos de Reynolds guas a 100 e 300. Vefca-se anda que sem a função de amotecmento, os esultados dvegam. O númeo de Stouhal é um admensonal que epesenta a feqüênca de fomação e despendmento de vótces, do dâmeto do clndo e da velocdade. O cálculo é feto pela Tansfomada Rápda de Foue (FFT) do snal do coefcente de aasto. Seu valo é obtdo no pco domnante do especto de potênca e pode se defndo pela expessão: fd St = (7) U onde f é a feqüênca dmensonal de despendmento dos vótces, d é o dâmeto e U é a velocdade da coente lve. Os valoes dos númeos de Stouhal obtdos paa os tês métodos de dscetzação tempoal e dfeentes efnamentos da malha foam semelhantes. Vefcou-se que este valo aumenta com o efnamento da malha e com o aumento do numeo de Reynolds. 5. CONTINUIDADE DO TRABALHO 5.1. Clndo com Rotação e com Vbação A dnâmca do escoamento em tono de um clndo otatvo ou osclante é dfeente daquela obsevada paa um clndo estaconáo. Alguns autoes têm peocupado com o efeto que estes podem causa no fenômeno de geação de vótces e estutua da estea. Smulações com clndos otatvos e osclatóos anda estão em desenvolvmento. Os esultados numécos do clndo em otação seão compaados com os esultados expementas de UNESP IS-SP em coopeação CAPES PROCAD UFU/UNESP-IS. Os esultados obtdos do clndo em vbação seão compaados com os esultados expementas da POLI-SP 6. CONCLUSÕES O Método da Fontea Imesa com o Modelo Físco Vtual vem apesentando bons esultados paa a smulação de escoamentos sobe geometas complexas móves e/ou compostas e mosta-se bastante pomsso paa smula poblemas de nteação fludo-estutua. Os esultados mostados no pesente tabalho são de gande nteesse paa uma melho compeensão da dnâmca do escoamento e epesenta a contnudade deste pojeto. 7. AGRADECIMENTOS Os autoes agadecem ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centfco e Tecnológco (CNPq) pelo apoo fnanceo e à Faculdade de Engenhaa Mecânca da Unvesdade Fedeal de Ubelânda. 7

8 13º POSMEC. FEMEC/UFU, Ubelânda-MG, REFERÊNCIAS Goldsten, D. Handle e Sovch, R. L. 1993, Modelng a No-Slp Flow Bounday wth na Extenal Foce Feld, Jounal of Computatonal Physcs, 105, pp Hu, H. H. 1996, Dect Smulaton of Flows of Sold-Lqud Mxtues, Intenatonal Jounal of Multphase Flow, 22, No. 2, pp Lma e Slva, A. L. F. 2002, Desenvolvmento e Implementação de uma nova Metodologa paa Modelagem de Escoamentos sobe Geometas Complexas: Método da Fontea Imesa com Modelo Físco Vtual. Lma e Slva, A. L. F., Slvea-Neto A. e Damasceno, J. J. R., 2003, Numecal Smulaton of Two Dmensonal Flows ove a Ccula Clynde usng the Immesed Bounday Method, aceto paa publcação no Jounal of Computatonal Physcs. Pesn, C.S. 1977, Numecal Analyss of Blood Flow n the Heat, Jounal of Computatonal Physcs, 25, pp Souza, L. F., Mendonça, M. T., Medeos, M. A. F. e Kloe, M. Thee Dmensonal Code Valdaton fo Tanston Phenomena, Escola de Tubulênca DIREITOS AUTORAIS MATHEMATICAL MODEL AND NUMERICAL SIMULATION OF THE FLOW PAST IMMERSED CYLINDER USING THE IMMERSERD BOUNDARY METHOD WITH VIRTUAL PHISIC MODEL Alce Rosa da Slva Ana Lúca Fenandes de Lma e Slva Asteu da Slvea Neto Fedeal Unvesty of Ubelânda UFU, Faculty of Mechanc Engnee, Av. João Naves de Ávla Ubelânda- MG, Basl aslva@mecanca.ufu.b alfenandes@mecanca.ufu.b asteus@mecanca.ufu.b Abstact: In ths wo s used the methodology n development n the Laboatoy of Heat and Mass Tansfe and Flud Dynamc (LTCM-UFU). Ths methodology s based n the Immesed Bounday Method, Pesn(1977) wth the Vtual Phsc Model, Lma e Slva et al. (2003). The method consst to use one fxed gd to epesent the calculated doman and one movng gd net to epesent the mmesed body. The (IBM) use the equatons of movment, solved n lagangan ponts to detemne the ntefacal foce whch s dstbuted to eulean ponts. The smulatons wee caed out to ncompessble, bdmensonal flud past a estatonay ccula cylnde, usng dffeents tme dscetzaton methods. Dffeents Reynolds numbe and dffeents efnaments of ne wee used n the pesent wo. Contous of the votcty, values of the dag coeffcents and Stouhal numbe wee obtaned. Keywods: Immesed Bounday Method, Physcal Vtual Model, Cylnde. 8