SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTOS DE FLUIDOS IMISCÍVEIS USANDO LATTICE BOLTZMANN

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DEPARTAMENTO DE APOIO À PESQUISA SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTOS DE FLUIDOS IMISCÍVEIS USANDO LATTICE BOLTZMANN ASSINATURA PROFESSOR ORIENTADOR: PAULO CESAR PHILIPPI ASSINATURA BOLSISTA: MICHAEL FREDERICO PAIVA DA SILVA Floanópols 30 de agosto de 005.

2 1. Resumo O coeto conhecmento dos pocessos físcos que contolam o deslocamento de ntefaces fluídcas nos poos é pesentemente de nteesse cescente devdo ao aumento das possbldades da smulação deta de deslocamentos mscíves em geometas complexas ofeecdas pelo gande desenvolvmento dos computadoes e dos métodos numécos e ao aumento da pecsão das epesentações tdmensonas da estutua poosa pomovda pelo gande pogesso dos métodos de econstução tdmensonal e pelo aumento da esolução espacal que é possível de se obte com os métodos baseados em mcotomogafa. O escoamento de fludos mscíves é tatado classcamente consdeando a egão de tansção ente fludos com espessua nula. Desse modo a tensão ntefacal é a únca popedade macoscópca elevante além das popedades ntínsecas a cada fludo. De um ponto de vsta mcoscópco quando dos fludos mscíves são mstuados as foças de nteação de longa-dstânca ente as moléculas de mesma espéce são as esponsáves pelo pocesso de segegação. A espessua da zona de tansção e a tensão ntefacal são conseqüentemente contoladas pela ntensdade e alcance dos potencas de nteação e pela dfusvdade bnáa. A dfculdade teóca é sgnfcatvamente aumentada quando esses dos fludos nteagem com uma supefíce sólda. De fato além da tensão ntefacal ente os fludos as enegas supefcas de nteação com a supefíce sólda são os pncpas mecansmos macoscópcos que contolam o pocesso de deslocamento da nteface sobe uma supefíce sólda. Quando a nteface avança ou eta sobe uma supefíce sólda efetos dnâmcos ão muda o ângulo de contato em elação ao ângulo que essa nteface tea com a supefíce no equlíbo. No pesente tabalho um modelo de ede de Boltzmann paa fludos mscíves é apesentado e utlzado paa o estudo dos efetos dnâmcos sobe o ângulo de contato poduzdo pelo deslocamento da nteface sobe supefíces lsas e ugosas. Palavas-chave: deslocamento mscível; ângulo de contato; Modelo Lattce Boltzmann

3 . Intodução Com o avanço da tecnologa os pequenos poblemas de antes se tonaam nossos novos desafos. Nos últmos anos começaam a sug dvesos podutos consttuídos de componentes mcoscópcos e potanto a necessdade de se compeende a dnâmca de opeação envolvda nestes componentes. Domna este tpo de tecnologa mosta-se fundamental paa qualque empesáo que deseje aumenta sua patcpação no mecado mcotecnológco. Tubos caplaes (ou os efetos caplaes pesentes nestes) possuem aplcações em áeas bastante dfeentes como a mcoeletônca e a ndústa petoquímca. Também são usados em bombas caplaes de uso aeoespacal. Já na exploação de petóleo a sua extação é fotemente nfluencada po efetos caplaes no nteo dos esevatóos. A necessdade de se entende as dvesas aplcações de tubos caplaes na ndústa modena e a adeênca de fludos em supefíces paa que se faça possível o seu bom funconamento nos leva ao estudo dos fenômenos de molhamento de supefíces sóldas po fludos e seu compotamento em caplaes dealzados que apesa de cetas smplfcações anda epesentam bem o modelo eal. Paa tal valdação do modelo compaaemos os esultados analítcos encontados na lteatua com os esultados obtdos atavés de smulações numécas. No entanto pmeo enfocaemos o escoamento lamna completamente desenvolvdo ente placas planas paalelas nfntas estaconáas também conhecdo como escoamento de Hagen-Poseulle. Emboa este seja monofásco entendeemos melho o compotamento do fludo em escoamento. Neste tpo de escoamento exstem duas placas paalelas sepaadas de uma dstânca a que seão consdeadas nfntas na deção x sem vaação de qualque popedade nesta deção. Um fludo newtonano é foçado a escoa ente estas placas até que se obtenha em egme lamna um pefl de velocdades paabólco. Devdo à condção de não deslzamento junto às placas a velocdade nestas seá nula. A velocdade máxma se enconta num plano medano às placas no ponto de máxmo valo da velocdade. Também se admte que o escoamento é pemanente e ncompessível. Paa um escoamento ncompessível a consevação da massa exge que a velocdade no plano cental aumente com a dstânca em elação à entada. Longe da entada do tubo a camada-lmte em desenvolvmento nas paedes das placas atnge o seu plano cental e o

4 escoamento tona-se nteamente vscoso. A pat do momento em que a foma do pefl de velocdade não se modfca mas e este se apesenta paabólco e o escoamento é consdeado completamente desenvolvdo paa egme lamna. Fg. 1. Exos coodenados consdeados. Uma vez que o escoamento fo completamente desenvolvdo a velocdade não vaaá mas com x sendo dependente apenas de y de modo que u = u(y). Além dsso não há componentes de velocdades na deção y ou na deção z. Fox & McDonald[4] nos fonece uma equação paa o pefl de velocdades de Poseulle baseada nas equações de Nave-Stokes. Devando esta equação solando sua devada pacal e substtundo este esultado na pmea temos então uma equação dependente apenas de y mostada a segu. 4u max u = ( ) ay y (1) a Entando com a velocdade máxma encontada em cada smulação podemos compaa os pefs obtdos da equação (1) com os obtdos numecamente. Passamos agoa ao poblema da nvasão capla objetvo pncpal deste tabalho. Usualmente a descção do fluxo de fludos mscíves é feta a pat de um balanço de massa e quantdade de movmento em tono da nteface despezando-se a sua lagua. Desse modo além das popedades de cada fludo há apenas um paâmeto adconal a tensão ntefacal. Quando estes fludos estão em contato com uma supefíce sólda a dfculdade na descção aumenta sensvelmente. Nomalmente a caactezação é feta utlzando-se um ângulo de contato ente a nteface e a supefíce. Paa a descção se mas completa entetanto é necessáo que se conheça não somente o valo do ângulo no equlíbo mas também a foma como este ângulo vaa com a velocdade tanto num pocesso de embebção quanto num pocesso de denagem. Além da dfculdade em se obte ou peve a foma de vaação do ângulo há a dfculdade na obtenção do ângulo de contato mesmo quando a nteface se enconta em equlíbo

5 pos o ângulo pode se afetado po mpuezas pela posção da nteface com elação à foça de gavdade e também devdo às ugosdades na supefíce[1]. De um ponto de vsta mcoscópco a nteface é o esultado de foças atatvas de longa dstânca agndo no nteo de cada fludo. Neste caso a tensão ntefacal eflete o alcance e a ntensdade das foças envolvdas. Da mesma foma também o ângulo de contato passa a se uma conseqüênca de nteações que ocoem em nível mcoscópco. No caso o ângulo depende das nteações de cada fludo com a supefíce sólda além das nteações dos fludos ente s. Assm a caactezação dos fludos e das ntefaces passa a se feta a pat de paâmetos mcoscópcos como foças de longa dstânca e potencas de atação fludo-sóldo. Uma abodagem desse tpo pode se adequada quando se petende smula pocessos nos quas o fenômeno da capladade tem um papel sgnfcatvo pos os efetos dnâmcos no ângulo de contato não pecsam se conhecdos a po. Estes efetos devem sug como uma conseqüênca da dnâmca do modelo. A dnâmca da ascensão capla fo descta pela pmea vez po Lucas e Washbun em 191 onde consdeaam-na como um balanço ente foças caplaes vscosas e gavtaconas e um pefl de velocdades paabólco. Emboa dados expementas atestem sua valdade paa escoamentos lamnaes esta equação falha po não consdea efetos necas[]. Com base neste estudo Bosanquet popôs em 193 uma equação altenatva paa a de Lucas-Washbun. Assm como no modelo numéco utlzado a equação de Bosanquet não consdea os efetos de entada do fludo em escoamento. Após edeva a equação de Bosanquet consdeando dos fludos com mesma vscosdade e densdade Santos et al[3]. encontou a segunte equação paa a altua do mensco d h( t) ( D 1) μ dh( t) ( D 1) σ cosθ gh( t) + = dt dt H H () onde D = em duas dmensões (placas paalelas) e D = 3 paa um capla clíndco. Os outos paâmetos da equação () σ θ g e H são espectvamente tensão ntefacal ângulo de contato aceleação da gavdade e compmento do capla. Aqu obsevaemos o compotamento do ângulo de contato em caplaes lsos e ugosos nos pocessos de denagem e embebção sendo este o ângulo fomado pela nteface fludo-fludo e pelo sóldo como mostado na Fg.. O ângulo de contato

6 epesenta uma medda da molhabldade dos fludos envolvdos e pode se meddo geometcamente como mostado na Fg. 3. Fg.. Paâmetos paa medção do ângulo de contato θ. h d -h D x C θ B -d R 90-x θ φ A Fg. 3. Paâmetos paa medção do ângulo de contato θ. Igualando a soma dos ângulos do tângulo ABC a 180º da Fg. 3 povamos que x = φ. Aplcando a defnção de seno neste tângulo encontamos a segunte equação: senϕ = ( d) + ( h R d h) Outa elação de fácl pecepção é = Rcosθ. Como povamos que x = φ podemos aplca a defnção de seno também do tângulo de BCD e substtuí-lo na últma equação esultando em: ( h ) ( d) ( h h) d h + d = ( d) + ( h h) cosθ d Reaanjando-a encontamos a equação abaxo que nos foneceá o ângulo de contato detamente dos dados smulados[3].

7 ( hd h) cosθ = (3) ( d) + ( h h) d Uma caacteístca bastante nteessante e que seá analsada após as smulações é a dfeença ente os ângulos de contato nos pocessos de embebção e de denagem. Denomnada hsteese de ângulo de contato esta dfeença pode se gande supeando com facldade os 10º paa supefíces não especalmente pepaadas. Esta hsteese gealmente é causada pela ugosdade supefcal po contamnantes pesentes na supefíce ou solutos pesentes no líqudo como sufactantes ou polímeos mas pode se causada smplesmente po foças caplaes ou pela pessão necessáa ao movmento do fludo em sentdo nomal ou contáo ao de nvasão espontânea do capla.

8 3. Método de Lattce Boltzmann O Modelo de Lattce Boltzmann é um método de smulação hdodnâmco baseado na teoa cnétca dos gases muto adequado à esolução dos poblemas de molhamento e nvasão capla aqu consdeados. Este método sugu no fnal da década de otenta como uma extensão dos modelos de gás em ede (Lattce Gas Automata) exstndo atualmente algumas vaantes dele. Ente estes métodos enconta-se o Modelo de Lattce Boltzmann paa escoamentos mscíves baseado em medadoes de campo[56] desenvolvdo no Laboatóo de Meos Poosos e Popedades Temofíscas (LMPT/UFSC) e este modelo específco fo empegado paa a obtenção dos dados numécos Lattce Boltzmann paa escoamentos monofáscos. Podemos magna o método de Lattce Boltzmann como uma dscetzação da equação de Boltzmann utlzando um espaço dsceto (os vétces de uma ede egula) e tempos dscetos (atualzação smultânea de todos os pontos da ede). Atavés de uma função dstbução ( T ) epesenta-se o fludo onde é ndcado o valo espeado N do númeo de patículas em uma posção (um dos vétces da ede) no tempo T (númeo de passos de tempo). A função dstbução é atualzada pela segunte equação N ( + c T + 1) = N ( T ) + Ω ( T ) (4) onde c epesenta a dstânca ente dos sítos na ede e Ω é o opeado de colsão descto a segu. A nteação ente as patículas que compõe o fludo é epesentada pelo opeado de colsão. Consdeando que em um escoamento monofásco o pncpal efeto das colsões é leva a dstbução N paa uma dstbução de equlíbo eq N (que pode se descta po paâmetos macoscópcos como densdade e velocdade do fludo) podemos utlza um opeado de colsão tpo BGK: eq N N Ω = (5) τ onde τ é o tempo de elaxação elaconado com a vscosdade do fludo que se quea smula.

9 As vaáves macoscópcas densdade e quantdade de movmento u são defndas como momentos da função dstbução: = N (6) u = N c (7) A dstbução de equlíbo pode se deduzda a pat de consdeações mcoscópcas como a consevação da massa e da quantdade de movmento no pocesso de colsão e também a pat da foma das equações macoscópcas que se eq deseja smula. Uma escolha adequada de N leva a um compotamento macoscópco (das vaáves e u ) que pode se descto pelas equações: t ( ) + ( u ) = 0 (8) α α ( ( u ) + ( u )) t ( uα ) + β ( uαuβ ) = α ( p) + v β β α α β (9) onde p é a pessão (no caso popoconal à densdade) e a vscosdade v é função do tempo de elaxação. 3.. Lattce Boltzmann paa escoamentos bfáscos A sepaação ente fases tal como ocoe em fludos mscíves é esultado de nteações de longa dstânca ente as patículas que compõe cada fludo. Paa ntoduz no modelo estas nteações foam utlzados medadoes de campo[56]. Estes têm a função de leva atavés da ede as nfomações sobe a concentação de cada fludo. Tendo esta nfomação é possível modfca o pocesso de colsão smulando o efeto da nteação de longa dstânca. Isto é feto com a sepaação do opeado de colsão em dos temos um temo sendo esponsável pelas nteações ente patículas de um mesmo tpo (patículas de um mesmo fludo) e o outo temo sendo devdo às nteações ente patículas de tpos dfeentes. As nteações de longa dstânca são ncluídas no segundo temo pos somente quando há ocoênca de mas de um fludo é que as nteações de longa dstânca são mpotantes com exceção dos pocessos de tansção de fase não abodados neste tabalho. Paa coloca de um modo mas fomal as nfomações do paágafo anteo seão utlzadas quato funções dstbução epesentando os dos tpos de patículas e ψ ψ os espectvos medadoes: ( T ) e ( T ) onde ψ = b epesenta o tpo de N M

10 fludo. Os medadoes como fo dto levam a nfomação sobe as concentações. Sendo assm sua dnâmca pode se epesentada pela equação: ) ( ) ( ) ( 1) ( T T T T c M b ψ ψ + = + + (10) A velocdade dos medadoes m u é defnda como sendo: ) ( ) ( ) ( T M T M T u b m = (11) Lembando que as nteações de longa dstânca manfestam-se po alteações nas velocdades das patículas defnmos velocdades modfcadas pela ação dos medadoes: m m u u A u v = (1) m m b b u u A u v = (13) onde o paâmeto A está elaconado com a ntensdade da nteação e conseqüentemente com a tensão ntefacal. A dnâmca das patículas pode então se colocada na foma: ) ( ) ( ) ( 1) ( T T T N T c N b b ψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψ Ω + + Ω + + = + + (14) onde o opeado de colsão monofásco ψψ Ω (epesentando colsões ente patículas do mesmo tpo) é o mesmo utlzado no modelo monofásco dado pela equação (5). O opeado de colsão bfásco ψψ Ω também pode se escto na foma dada pela equação (5) entetanto a dstbução de equlíbo utlzada deve se calculada utlzando as velocdades modfcadas de acodo com as equações (1) e (13). A utlzação de tempos de elaxação dfeentes paa os dos fludos pemte que se smule fludos com vscosdades dfeentes.

11 4. Pocedmentos e smulações 4.1. Smulação paa o escoamento de Hagen-Poseulle e seus esultados Foam smulados dvesos casos utlzando o modelo paa escoamentos monofáscos descto acma vaando o tempo de elaxação τ e mantendo A = 04 paa uma ede D3Q19. Tatando-se de uma smulação em duas dmensões uma pojeção desta ede cúbca com nove deções de popagação no plano xy é consdeada. Nas supefíces sóldas é aplcada a condção de bounce-back ou seja a patícula ao bate na paede volta na mesma deção mas em sentdo contáo gaantndo assm que a velocdade na paede seja nula. Também fo aplcada a condção peódca epoduzndo um capla nfnto. Foam consdeadas duas condções de contono em momentos dfeentes deslocamento do fludo po aplcação de uma foça de copo ou po dfeença de pessão. A vscosdade cnemátca elacona-se com o tempo de elaxação τ da segunte manea: 1 1 υ = τ 3 (15) A velocdade méda fo calculada fazendo-se uma méda espacal das velocdades obtdas com o auxílo da equação (1). A velocdade máxma u máx fo etada dos esultados da smulação e juntamente com o tempo de elaxação a velocdade méda e a vscosdade cnemátca fo possível enconta os númeos de Reynolds (Re) e de Mach (M) com o auxílo das fómulas av Re = (16) υ V M = = V 3 (17) Cs onde Cs é a velocdade do som paa a ede utlzada. A Tab. 1 apesenta os esultados obtdos paa algumas das smulações mas elevantes com aplcação de foças de copo. Aumentando o tempo de elaxação τ aumenta-se também a vscosdade do fludo confome espeado. Po sso sua velocdade dmnuu e da mesma foma que os númeos de Reynolds e Mach. Reynolds

12 e Mach mostaam-se sempe muto menoes que 300 e 03 espectvamente caactezando um escoamento lamna e ncompessível. τ υ u máx Re M Tab. 1. Dados das smulações com aplcação de foça de copo. A pat dos gáfcos da Fg. 4 podemos nota a coespondênca dos métodos analítco e computaconal utlzados paa tempos de elaxação baxos (menoes que 0). Entetanto obsevamos a dvegênca dos valoes obtdos pelas smulações nas paedes paa tempos de elaxação mas altos afastando-se um pouco do pefl paabólco. τ = 06 τ = 10 V Vt Lnhas de Rede VVt Lnhas de Rede Vx(teóco) Vx(smulado) Vx(teóco) Vx(smulado) τ = 80 V Vt Lnhas de Rede Vx(teóco) Vx(smulado) Fg. 4. Pefs de velocdades analítco e numéco paa τ = e 80 e foça de copo aplcada. Paa deslocamento do fludo aplcando dfeença de pessão a equação (1) fo substtuída pela equação abaxo pos paa este caso esta se mostou mas apopada aos cálculos analítcos.

13 1 (p p1) u = (ay y ) (18) μ L onde encontou-se a pessão p e a vscosdade μ atavés das equações abaxo sendo 1 e as densdades do fludo na entada e na saída espectvamente. p = cs 1 μ = τ 3 e = 1 + O eo ente as velocdades smulada (v smulada ) e analítca (v teóca ) fo encontado pela equação vsmulada vteóca Eo(%) = 100 (19) v smulada A tabela abaxo apesenta alguns dados analítcos e smulados elevantes. τ p 1 p u máx Re M Eo % % % Tab.. Dados das smulações com aplcação de dfeença de pessão. Tanto paa aplcação de foça de copo quanto paa dfeença de pessão o aumento de τ fez com que houvesse uma queda da velocdade do fludo eduzndo também Mach e Reynolds. Aqu o escoamento apesentou-se sempe lamna e ncompessível e obteve um eo baxo exceto paa smulações de tempos de elaxação mas altos (τ > 0) onde os dados analítcos e numécos dvegem. Esta dvegênca ocoe devdo ao aumento do lve camnho médo das patículas em escoamento ou seja da dstânca na qual as patículas fludas podem se movmenta sem coldem ente s sendo que as poucas colsões que ocoem são nsufcentes paa anula sua velocdade causando o deslzamento apesentado junto às supefíces. 4.. Ângulo de contato em capla lso e ugoso Paa o estudo do ângulo de contato foam ealzadas smulações de embebção e/ou denagem de um fludo molhante em um tubo capla peenchdo com fludo não molhante. Empegando o modelo descto paa escoamento bfásco paa uma ede D3Q19 planfcada ncou-se as obsevações em supefíces lsas fazendo τ = 15 τ bb

14 = 10 e τ b = 10 A = 04 α = 0 e β = 1 e = b = 10. A capladade fo o pncpal efeto envolvdo na embebção sendo que em algumas smulações fo adconada também uma dfeença de pessão postva muto baxa favoecendo o deslocamento com o ntuto de toná-las mas ápdas. Paa efetua a denagem fo aplcada uma dfeença de pessão contáa vencendo as foças caplaes e expulsando o fludo molhante. Foam ealzadas váas smulações vaando-se essa dfeença de pessão obsevando os efetos de molhamento da supefíce e o ângulo de contato apesentado. Com o auxílo da equação (3) podemos enconta os ângulos de contato em qualque ponto do capla onde se enconte a nteface. Fg. 5. Fludo em embebção num capla lso. Fg. 6. Fludo em denagem num capla lso. Note a dfeença do ângulo de contato com a Fg. 5. Foam então ealzadas smulações envolvendo caplaes de supefíce ugosa utlzando os mesmo paâmetos utlzados paa supefíce lsa. Entetanto obteve-se esultados apenas vsuas não fazendo sentdo calcula o ângulo de contato atavés da equação (3) pos a angulação da supefíce muda a cada passo de tempo devdo às ugosdades pesentes e também devdo ao molhamento das supefíces. O tempo de elaxação τ é efeente as nteações exstentes ente patículas do fludo molhante τ bb do fludo não-molhante e τ b ente eles.

15 5. Resultados Pacas A pat das smulações em caplaes de supefíce lsa obtvemos os ângulos mostados na Tab. 3. Como se pode nota o ângulo de contato de denagem dmnu com o aumento da dfeença de pessão aplcada. Já o ângulo paa embebção pemanece constante po não have outos efetos além dos da capladade agndo no deslocamento. Compaando as Fgs. 5 e 6 tona-se evdente a dfeença de angulação nos dos pocessos. Isto ocoe pos ao foça um fludo a escoa este tende a move-se nas camadas mas dstantes das paedes como no escoamento de Poseulle onde exste a condção de não escoegamento na qual o fludo pende-se às paedes tendendo a molhá-la. Δp denagem Δp embebção θ denagem θ embebção Dfe. Pessão º 6908º Dfe. Pessão 0015 (-) º - Dfe. Pessão º 6907º Dfe. Pessão 000 (-) 608º - Tab. 3. Ângulos de contato paa supefíces lsas. Esta dfeença ente os ângulos de contato ou seja a hsteese destes ente os pocessos de embebção e de denagem podem se melho obsevados na Fg. 7. Nela obsevamos dos patamaes onde cada um epesenta um pocesso. No supeo estão os ângulos de embebção enquanto no nfeo os de denagem. As lnhas apoxmadamente vetcas epesentam peíodos de tansção ente os dos pocessos. Fg. 7. Hsteese de ângulo de contato. 1 Os símbolos (-) ndcam que a não smulação da embebção paa detemnado caso.

16 Ângulo de contato Tempo (passos) Fg. 8. Evolução do ângulo de contato no tempo. Na Fg. 8 podemos obseva a evolução do ângulo de contato no tempo também apesentando esses dos patamaes poém smulada paa τ = τ bb = 10 e mantendo os outos paâmetos dêntcos aos escolhdos anteomente. Fg. 9. Invasão capla paa supefíce ugosa em denagem. (b) Os escoamentos em supefíce ugosa efletem melho o que acontece na ealdade já que no mundo físco não exstem supefíces completamente lsas. Paa utlzamos a equação (3) deveíamos enconta a angulação nstantânea de cada ponto (c) da supefíce paa depos encontamos o eal ângulo de contato o que sea de dfícl esolução além de que a não-smeta das paedes confee a nteface uma apaênca também assmétca tonando-se complcado de peve qual fomato á assum no póxmo nstante. Entetanto a avalação vsual mosta-se bastante adequada. Notamos na Fg. 9 o molhamento das paedes duante o pocesso de denagem. Isto é causado pelo excesso de eguladades nesta egão onde o fludo apesenta velocdade extemamente baxa devdo à condção de não-escoegamento fazendo com que fque peso em váos pontos da supefíce assumndo o aspecto de uma paede molhada eal.

17 6. Novos objetvos Neste ponto encontou-se alguns empeclhos em possegu com os tabalhos em nvasão capla devdo a dfculdade de ca um meo de supefíce ugosa tdmensonal paa a ealzação de novas smulações. Decdu-se segu po outos camnhos enquanto não encontava-se uma solução paa este poblema ncando estudos sobe a tensão ntefacal. Mas especfcamente abodou-se a dnâmca das ondas caplaes e seus sstemas de amotecmento. As supefíces fludas tendem a assum uma dstbução de equlíbo devdo às foças gavtaconas e à tensão ntefacal aplcadas ao escoamento. A capladade também exece um efeto mpotante nas ondas gavtaconas de compmentos de onda cutos. A dnâmca apesentada da confguação ncal ao equlíbo pode se epesentada po um sstema de amotecmento como demonstado po Landau & Lfshtz[7] paa alguns casos onde dfeentes tpos de foças são aplcadas. Fg. 10. Sstema de amotecmento de uma nteface fluda. Algumas smulações já foam ealzadas poém anda devem se apmoadas paa elmnação dos efetos da dfusão pesentes no níco de cada smulação po afeta a foma da exponencal que ege o amotecmento da nteface. A Fg. 10. mosta alguns esultados obtdos anda com a pesença de dfusão. Também encontou-se uma manea de se econstu o meo de supefíce ugosa e os dos estudos seão levados em paalelo até a obtenção de esultados satsfatóos.

18 7. Conclusões Neste tabalho popõe-se a utlzação do modelo de Lattce-Boltzmann na smulação de fludos mscíves e em especal de pocessos de nvasão capla. Utlzou-se o modelo com tês tempos de elaxação pos este se mostou bastante adequado e supeo à suas outas vaantes. Com elação ao poblema abodado a pncpal dfculdade envolvendo smulações de nvasão capla são as vaações do ângulo de contato ente a nteface e a supefíce sólda como conseqüênca da dnâmca da nvasão. Assm pevê-se que modelos tpo Lattce Boltzmann podem são capazes de peve vaações de ângulo de contato sendo uma altenatva no estudo destes pocessos. Entetanto emboa os esultados obtdos estejam em concodânca com o que se espeava anda são necessáos numeosos estudos destacando-se a análse das condções de contono utlzadas e compaações com esultados expementas paa se avala as faxas de vaação que o modelo pemte smula e a pecsão que é possível se obte nestas smulações.

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