Antonio Roberto Balbo Departamento de Matemática, FC, UNESP , Bauru, SP

Transcrição

1 O étodo pevso-coeto pal-dual de pontos nteoes baea logaítca clássca/odfcada co estatégas de passo longo e convegênca global aplcado ao poblea de FPOR. Rcado Bento Noguea Pnheo* Gealdo Robeto Matns da Costa Depataento de Engenhaa Elétca EESC USP São Calos SP E-al: bnpnheo@usp.b Gealdo@sc.usp.b Antono Robeto Balbo Depataento de Mateátca FC UNESP Bauu SP E-al: abalbo@fc.unesp.b Resuo: Neste tabalho apesentaos o étodo pevso-coeto pal-dual de pontos nteoes co baea logaítca clássca/odfcada co estatégas de passo longo e de convegênca global. As pncpas caacteístcas do étodo poposto são: aplcação ntegada dos étodos de baea logaítca clássca e odfcada; poposta de ua estatéga de atualzação genealzada dos estadoes dos ultplcadoes de Lagange; detenação de soluções ótas tas que se petencee à fontea da egão de vabldade pal então essas são detenadas de odo nãoassntótco; aplcação de ua vaante da atualzação dos taanhos dos passos pal e dual; odfcação de tajetóa coeção do condconaento da atz hessana da função lagangana e convegênca global são obtdas atavés de ua técnca vaante a de Levenbeg-Maquadt e; utlzação do paâeto de baea no cálculo das deções de busca pal e dual no pocedento pevso. Aplcaos o étodo aos seguntes pobleas de fluxo de potênca óto eatvo co taps constantes: sstea elétco 3 9 IEEE-4 IEEE-3 IEEE-57 IEEE-8 IEEE-62 e IEEE-3 baas. Os esultados obtdos pelo étodo osta que este é obusto e efcente paa a solução destes pobleas. O étodo pevso-coeto pal-dual de pontos nteoes co baea logaítca clássca/odfcada co estatégas de passo longo e de convegênca global. Nesta seção apesentaos o étodo pevso-coeto pal-dual de pontos nteoes co baea logaítca clássca/odfcada co estatégas de passo longo e de convegênca global (MPIBLC/M-PLCG o qual é ua vaante do étodo pal-dual apesentado e (Pnheo 22. Esse fo desenvolvdo paa pobleas de pogaação não-lnea e não convexa paa posteo aplcação e pobleas de fluxo de potenca óto eatvo (FPOR. Seja o poblea de otzação não-lnea co estções de gualdade e de desgualdade de acodo co (: Mn f ( x ( s. a : gt ( x = ; h ( x < t =... < n; =... e que: = ( x x j xn n X R f ( x é a função objetvo x é u veto de u conjunto copacto gt ( x = t =... é ua estção de gualdade e h ( x < =... é ua estção de 2 desgualdade. Consdeaos que f g t e h são funções de classe C e a condção de qualfcação de estções são de Mangasaan-Foovtz (976. Ao acescentaos as coponentes do veto de vaáves de folga z ( = z z z R sobe cada estção de desgualdade de ( teos: 593

2 Mn f ( x s. a : gt ( x = ; h ( x z = ; z < t =... < n; =... Utlzaos a função baea logaítca clássca/odfcada Ψ (. co estadoes dos ultplcadoes de Lagange sobe as vaáves de folga e aplcaos o poblea lagangano sobe as estções de gualdade de (2. Ass o poblea ( é tansfoado e u poblea estto equvalente defndo pela função lagangana auentada nteo baea logaítca clássca/odfcada co estadoes dos ultplcadoes de Lagange L( ω poposta e (3. e que * µ Mn L f µ δ z λ t λ t n ω = ( xz λ λ R R R R ( ω = ( x Ψ ( t t = t = = = δ δ δ R é o paâeto de baea; as coponentes do veto δ ( R são estadoes dos ultplcadoes de Lagange; g t ( x é ua coponente do veto t = g( x = ( g ( x... gt ( x... g ( x ; h ( x z é ua coponente do veto ( t = ( h( x z = ( ( h ( x z... ( h (... ( ( x z h x z ; λ ( = λ... λ de ultplcadoes de Lagange efeente à estção de gualdade t = ; λ (... R é o veto = λ λ R é o veto de ultplcadoes de Lagange efeente às estções de gualdade t = e; dado o paâeto * de poxdade à fontea da egão de vabldade pal ognal do poblea (2 τ R defnos: Ψ ( z = ln ( z se z > τ e que ( z Ψ ( z 2 função (. ψ ( z =. Ψ 2 ( z ln (( µ z µ se z = τ Ψ é a função baea logaítca clássca a qual fo defnda po (Fsch 955 e é a função baea logaítca odfcada a qual fo defnda po (Polya 992 logo a Ψ está defnda e seu doíno D( Ψ = { z R; z > ou µ < z } As condções de KK são obtdas ao aplcaos a condção necessáa de otaldade ω =. Essas condções são apesentadas e (5: L( e que: = ( ( { L ω = = ; t = ; t = ; Z λ µ δ = } (5 ω x z λ λ ; = f ( ( ( x g x λ h x λ é o veto esdual da condção de ( g... g n vabldade dual; g ( x = ( x ( x R e ( ( ( 2. ( h... h n h x = x x R são espectvaente as atzes jacobanas dos funconas ( = ( g (... gt (... g ( ( = ( h (... h (... h ( h x x x x ; e a coponente dagonal da atz ( µ z se z τ. g x x x x e Z é z se z > τ ou Desceveos o étodo pevso-coeto pal-dual baea logaítca clássca/odfcada (MPIBLC/M a pat da lneazação de cada equação do sstea (5 po u polnôo de aylo de pea ode e detenaos o veto ncógnta de deções de busca ω = ( x z λ λ d d d d d. O (2 (3 (4 4 Neste tabalho defnos τ = fxo. 2 Defnos po egão de vabldade pal elaxada ao conjunto { z } ; µ < z R. 594

3 MPIBLC/M é u étodo que gea ua sequênca de pontos ω vável ao poblea (3 3. Consdeando obteos o sstea lnea expesso e (6: e que: ω N a pat de u ponto ncal ω e a lneazação po aylo do sstea L( ω = A d = b (6 ω f ( x λ g ( ( ( ( t t λ h x x g x h x t= = A ( = g x h( x I Λ Z é a atz jacobana do sstea (5; ; ω = ( x z λ λ d d d d d e e que: I é a atz dentdade de ode e Λ = dag ( λ... λ... λ b é o veto esdual defndo po: ( Z µ Dz λ b = t t λ δ d (7 z ( z z z D = dag d... d... d. (8 Paa a defnção do pocedento pevso despezaos o esíduo não-lnea D z d λ sto é a po defnos esse esíduo coo nulo pos desconheceos essas deções de busca e consdeaos µ no cálculo das deções de busca pal e dual ass este étodo é ua vaante dos étodos apesentados e (Mehota 992 e (Wu et al Ua vez calculadas as deções de busca pas e duas atavés da expessão (9 as deções de busca são cogdas agoa consdeando o esíduo d coo não-nulo utlzando-se tabé (9. Ass co pocedentos algébcos D z λ defnos a segu as equações que defne o cálculo das deções pas e duas do pocedento pevso e coeto: onde: ( ( ( θ ( θ ( f ( µ θ ( f ( µ ( ( ; ( ; ( d = g x g x g x x c φ t λ λ d = x c φ g x λ d x λ d = h x d t z x d = Z Λ d µ Z δ λ υ λ z ( ( ( ( ( t θ = f x λ g x λ h x h x Z Λ h x ( t t= = é a atz hessana da função lagangana L( c ω ; R se o pocedento pevso está e opeação υ = Z D se o pocedento coeto está e opeação z dλ h( x Z Λ t se o pocedento pevso está e opeação = Z Λ h x t Z D dλ se o pocedento coeto está e opeação ( ( z (9 ( (2 3 Note que a egão de vabldade pal elaxada ( x < z < µ é nteessante pos pete-nos escolhas h µ pncpalente se há utas estções não-lneaes e não-convexas. x tas que 595

4 ( ( Z φ = h x δ (3. Defnos po: d ω d x dz d λ dλ o veto de deções de busca obtdas pelo pocedento = coeto do MPIBLC/M. A estatéga de passo longo (PL apesentada e (4 é defnda pelo cálculo do taanho do passo longo pal α p e do taanho do passo longo dual α d aplcados sobe a deção d ω. A PL é ua vaante da estatéga apesentada e (Ganvlle 994 a qual é descta e (Pnheo 22. z λ α p = 5 n n d 5 n n. e α = e (4 z > dz < d z λ > e d d λ < λ ( Destacaos que o valo epíco 5 é ao que o valo 9995 defndo pela aoa dos autoes que utlza o étodo pal-dual e seus tabalhos pos estes autoes tabalha soente co função baea logaítca clássca. Poé o valo 5 pete ao MPIBLC/M-PL exploa pontos µ < z sto é pontos z que estão na egão de vabldade pal elaxada. Atualzaos o veto ω da segunte anea: ( x z λ λ ( ( α p α p α d ω = x z λ λ = x z λ λ d d d d. (5 A atualzação dos estadoes dos ultplcadoes de Lagange genealzação da ega poposta e (Polya 992 dada e (6: ( ( z δ é adotada coo ua δ = δ µ µ (6 e é apesentada de acodo co (Pnheo 22 e (7: δ = λ (7 e que λ está defndo e (5. A atualzação apesentada e (7 pete que a aplcação ntegada ente Ψ ( z e ( z Ψ seja estável e obusto pos 2 δ conté nfoações as quas contepla as estções de gualdade e de desgualdade de (. O paâeto de baea µ é atualzado confoe a segunte heuístca: µ = 25µ (8 Após essa atualzação ealzaos o segunte teste: se z µ =... então a heuístca (8 peanece; caso contáo µ ecebe a atualzação ostada e (9: ( ( µ = 25 n z (9 O snal " '' e (9 é devdo ao fato de o snal de D Ψ. A estatéga de convegênca global (CG poposta é baseada e ua vaante daquelas apesentadas e (Benson et al. 2 e (Bazaaa et al. 26. Esta estatéga consste nos seguntes pocedentos: Pocedento : Após a constução da atz θ dada e ( utlzaos (2 paa faze ua petubação dagonal sobe esta atz: θ θ β In (2 e que β > é denonado de paâeto de aotecento do étodo de Levenbeg-Maquadt (Levenbeg 944 (Maquadt 963. U valo β > ncal sufcenteente pequeno deve se fonecdo. Pocedento 2: A atz θ é subetda à Decoposção de Cholesy (DC paa ao cálculo da atz tangula nfeo G de odo que θ = G G. Duante o pocesso de DC enquanto pelo 2 enos u dos eleentos ( θ ( ( j o= z não petence a ( G j j = j j G j o ; j = n não fo u núeo eal 596

5 atualzaos β confoe heuístca descta e (2 e e seguda atualzaos a atz θ confoe (2: ( 2 2 β β (2 De acodo co (Pnheo 22 o paâeto β nfluenca tanto na deção quanto no taanho do passo sto é na tajetóa dos pontos ω e tabé nfee detaente sobe o condconaento de θ tonando o étodo as estável duante os cclos teatvos e/ou se algu z. Paa a ncalzação de u novo cclo do MPIBLC/M-PLCG atualzaos β confoe estatéga adaptada de (Bazaaa et al. 26 descta a segu. Se L( L( < 25 ω ω então β é atualzado pela heuístca poposta e (22: Se L( L( > 75 2 ( ( 2 β = 4 β ω ω então β é atualzado pela heuístca (23: Se L( L( ( 2 2 β = β ; 25 ω ω 75 então β = β. O MPIBLC/M-PLCG aplcado ao FPOR e Resultados O odelo na vaável x = ( V γ de nzação das pedas de potênca atva na tansssão paa o FPOR é defndo po: NL 2 2 Mn f ( x = g ( V 2 cos( V VV γ = esp sa : P = P V V ( G cos( γ B sen ( γ = Κ esp Q = Q V V ( G sen ( γ B cos( γ = (24 Κ n ax Q V V ( G sen ( γ B cos( γ Q Κ 95 V No poblea (24 a equação P = é detenada paa todas as baas co exceção da baa de efeênca; a equação Q = é detenada paa as baas de caga as estções de desgualdade canalzada é detenada paa as baas co tensão contolável; NL é o núeo de esp esp aos da tansssão; g é a condutânca do ao que conecta as baas e ; P Q são espectvaente as potêncas atva e eatva líqudas especfcadas paa a baa ; Κ é o conjunto das baas vznhas à baa nclundo-se a pópa baa e G B são espectvaente as pates eal e agnáa do eleento Y da atz adtânca de baa. O MPIBLC/M-PLCG fo pleentado e MALAB 6. e fo aplcado aos ssteas elétcos de 3 9 IEEE-4 IEEE-3 IEEE-57 IEEE-8 IEEE-62 e IEEE-3 4 baas. E todos os casos estudados defnos V = ; γ = ; µ = 5 ; β = δ = =... ; os ltantes paa o contole de eatvos são ognas do banco de dados e o ctéo de paada paa o étodo fo de b paa todos os ssteas elétcos exceto paa o sstea IEEE-3 o qual utlzaos b 8. Medos o condconaento da atz θ antes da DC (CADC e depos da DC (CDDC e apesentaos os esultados apenas da últa teação. Paa a aplcação do étodo poposto os taps (22 (23 4 O tansfoado defasado elaconado ao ao fo substtuído po u tansfoado e fase. 597

6 dos tansfoadoes foa consdeados constantes. A abela nos apesenta os pncpas esultados obtdos: abela - Solução Geal do FPOR e pncpas esultados obtdos pelo MPIBLC/M-PLCG. Sstea Elétco Iteações µ fnal 3 baas 9 baas IEEE-4 IEEE-3 IEEE-57 IEEE-8 IEEE-62 IEEE e-7.973e e e-7.539e-7.544e e e-9 b fnal CADC CDDC e e-2.469e e-.3926e-2.443e e-.695e-9.322e e e8 8.64e e9.547e.362e e24.25e6.2785e e8 6.5e e9.4768e.328e 2.869e4 Pedas Megawatts Conclusões Neste tabalho apesentaos o étodo pevso-coeto pal-dual de pontos nteoes baea logaítca clássca/odfcada co estatégas de passo longo e de convegênca global (MPIBLMC/M-PLGC o qual fo aplcado ao poblea de fluxo de potênca óto eatvo (FPOR co taps dos tansfoadoes constantes. Neste tabalho foa apesentadas as pncpas caacteístcas do étodo poposto tas coo: é vaante dos tadconas étodos pevso-coeto pal-dual de pontos nteoes; o étodo popõe ua obusta aplcação ntegada ente os étodos de baea clássca e baea odfcada; nova poposta de atualzação dos estadoes dos ultplcadoes de Lagange a qual contepla nfoações de estções de gualdade e de desgualdade; a aplcação das estatégas de passo longo coeção de tajetóa auento do condconaento da atz hessana e de convegênca global e ua heuístca de atualzação do paâeto de baea contbuía sgnfcatvaente no fotalecento do étodo possbltando a esse a esolução de pobleas de pogaação não-lnea e doíno não-convexo tas coo o FPOR. Os esultados quanttatvos ostaa que o étodo é obusto pos fo capaz de obte solução óta pal e dual e todos os ssteas elétcos estudados co u núeo elatvaente baxo de teações e co alta pecsão de acodo co a abela apesentada. Bblogafa Bazaaa M. S. Sheal H. D. and Shetty C. M. Nonlnea Pogeng: heoy and Algoths. - New Jesey : Wley Intescence Benson H. Y. Shanno D. F. and Vandebe R. J. Inteo-Pont Methods fo noncovex nonlnea pogang: Jang and copaatve nuecal testeng // Opeatons Reseach and Fnancal Engneeng / ed. ORFE--2 Pnceton Unvesty Fsch K. R. he Logathc Potental Method fo Convex Pogang. - Oslo : Unpublshed Manuscpt Insttute of Econocs Unvesty of Oslo 955. Ganvlle S. Optal Reactve Dspatch hough Inteo Pont Methods // IEEE ansactons on Powe Systes Vol pp Levenbeg K. A Method fo the Soluton of Cetan Non-Lnea Pobles n Least Squaes // Quately of Appled Matheatcs pp Mangasaan O. L. and Foovtz S. he Ftz-John necessay optalty condtons n the Pesence of Equalty and Inequalty Constants // Jounal of atheatcal analyss and applcatons Vol pp Maquadt D. An Algoth fo Least-Squaes Estaton of Nonlnea Paaetes // SIAM Jounal on Appled Matheatcs pp Mehota S. On pleentaton of a pal-dual nteo pont ethod // SIAM Jounal on Optzaton Vol pp Pnheo R. B. N. U étodo pevso-coeto pal-dual de pontos nteoes baea logaítca odfcada co estatégas de global e de ajuste cúbco paa pobleas de pogaação não-lnea e não-convexa. - Bauu : Pogaa de Pós-Gaduação e Engenhaa Elétca (Dssetação de Mestado FEB/UNESP 22. Polya R.A. Modfed bae functons // Matheatcal Pogang : Vol. v pp Wu Y. Debs A. S. and Masten R. E. A Dect Nonlnea Pedcto- Coecto Pal-Dual Inteo Pont Algoth fo Optal Powe Flow [Jounal] // IEEE ansactons on Powe Systes Vol pp