4. Potencial Elétrico (baseado no Halliday, 4a edição)
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- Mirella Caldas Teixeira
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1 4. Potencal létco 4. Potencal létco (baseado no Hallday, 4a edção) Gavtação, letostátca e nega Potencal Mutos poblemas podem se tatados atavés de semelhanças. x.: a Le de Coulomb e a Le da Gavtação de Newton Objeto de estudo Campo vetoal Foça sobe um objeto de estudo Foça ente dos objetos Gavtação m g F g / m 0 F g m g F g G m 1 m / letostátca tca F / 0 F F 1 / m 0 m 0 g 0 0 Uma massa em um campo gavtaconal possu enega de posção/conguação (enega potencal) e soe um tabalho deste campo paa movmentá-la. O mesmo acocíno se aplca a uma caga elétca em um campo elétco. Quando um sstema é consevatvo (Δ 0 J) o movmento de um copo em ueda lve ( ), seja uma massa m 0 em um campo gavtaconal (na ausênca de oças dsspatvas) ou uma caga 0 em um campo elétco, ambas soem a tansomação de enega potencal em cnétca (ΔK ΔU). (ve a evsão de Sstemas Consevatvos slde 7, Capítulo ) [Cstóvão R M Rncos] p. 001
2 4. Potencal létco Podemos elacona a enega potencal de um sstema consevatvo com o tabalho, atavés o teoema tabalho-enega ΔK K K W como ΔU ΔK, então ΔU U U W. Como o sstema é consevatvo (nenhuma oça dsspatva está pesente): O tabalho ndepende da tajetóa. U A oça nestes casos é dta se consevatva, sto é, F S. s Analsando o caso eletostátco, vemos ue o sstema é consevatvo pos a oça eletostátca é consevatva. Ao deslocamos uma caga de teste de um ponto paa outo num campo elétco, vemos ue a deença de enega potencal elétca da caga de teste ente estes pontos é o negatvo do tabalho ealzado pela oça eletostátca, devdo ao campo elétco sobe a caga, duante o seu movmento. sto pode se entenddo como: tabalho exteno (negatvo) ealzado conta o campo elétco. Como a oça eletostátca é consevatva, este tabalho ndepende da tajetóa. [Cstóvão R M Rncos] p. 00
3 4. Potencal létco nega Potencal em Um Ponto Assm como todo tpo de enega, a deença de enega é ue é elevante, po sto, a enega potencal em um ponto é o esultado de: a) scolhemos um sstema de eeênca (uma vez ue enega potencal está assocada a um ponto/posção) cuja localzação especcamos. b) Atbuímos um valo abtáo paa a enega neste ponto. Quando azemos a escolha da eeênca e da enega de eeênca, estamos elmnando a enega de eeênca ( enega de undo ) do poblema, pos somente a deença de enega é ue tem sgncado ísco: nega de undo 0J x.: U 0 J, U 100 J não têm sgncado ísco, mas U U ΔU tem sgncado. Consdeemos U 0 J paa e U U então ΔU U. W A enega potencal U de uma caga de teste 0 em ualue ponto é gual ao negatvo do tabalho W ealzado sobe a caga de teste pelo campo elétco (tabalho contáo ao campo), uando a caga se move do nnto ( ) até o ponto em uestão (). [Cstóvão R M Rncos] p. 003
4 4. Potencal létco Potencal létco A enega potencal de uma caga puntome, num campo elétco, depende não só do campo, mas também do módulo da caga: ΔU ΔU 0 W F d s d s F d s d s Mas a enega potencal po undade de caga tem um valo únco em ualue ponto do campo elétco. Logo U / 0 é ndependente de 0, consttundo uma caacteístca exclusva do campo elétco Potencal létco (V) ou Potencal m ualue ponto temos uma popedade ue não depende da caga elétca ΔU/ 0, então paa ualue ponto V U 0 A deença de potencal (d. d. p.) ente dos pontos (, ) uasue ΔV V V U U ΔU [Cstóvão R M Rncos] p. 004
5 4. Potencal létco usando ΔU U U W, temos a denção de Deença de Potencal: ΔV V V W 0 Como W 0 ΔV: O tabalho ealzado paa desloca a caga 0, com velocdade constante, do ponto paa o ponto, é gual a 0 ΔV. Ou seja, é gual em módulo e contáo ao tabalho ealzado pelo campo elétco duante o movmento. Fazendo a escolha da eeênca e da enega de eeênca: U 0 J paa e U U, então V 0 undades de tensão e V V U / 0 ΔV V W 0 W tabalho ealzado pelo campo elétco sobe a caga de teste duante o seu movmento desde o nnto ( ), até o ponto em uestão () Undade (V): a) [V] [W] / [] no S. I. J / C ecebe o nome de Volt (V). [Cstóvão R M Rncos] p. 005
6 4. Potencal létco b) Valo untáo 1 J 1 V 1 C nega Potencal létca: enega assocada a um objeto caegado num campo elétco exteno. Depende da caga elétca e do campo elétco. Potencal létco: popedade do campo elétco popamente dto, estando ou não pesente, um objeto caegado. Depende somente do campo elétco, e não da caga elétca. Redenndo Algumas Undades 1) Redenção da undade de campo elétco (undade usual): 1 N 1 J 1 1V a) [] no S. I. V / m. 1C 1 m 1 C 1 m b) Valo untáo V 1V 1 m 1 m [Cstóvão R M Rncos] p. 006
7 4. Potencal létco ) Redenção da undade de enega: a) No S. I.1 ev (1, C) (1 J / 1 C) 1, J. b) Valo untáo 1 ev 1, J Um eléton-volt (1 ev) é uma enega gual ao tabalho necessáo paa desloca uma únca caga elementa e, tal como a caga do eléton ou do póton, atavés de uma deença de potencal de 1 V. x.: 1 ev, 1 MeV, 1 GeV, etc. Supeíces upotencas Conceto: luga geométco dos pontos ue possuem o mesmo potencal elétco. Uma amíla de supeíces eupotencas, cada uma com um valo totalmente deente de potencal, pode se usada paa epesenta o campo elétco numa ceta egão. [Cstóvão R M Rncos] p. 007
8 4. Potencal létco I II III IV V 1 V V 1, V, V 3 e V 4 amíla de supeíces eupotencas. I, II, III e IV tajetóas da caga de teste 0. Tajetóas I e II W 0 J, pos ΔV 0 V. V 3 Tajetóas III e IV W,III W,IV, pos ΔV III ΔV IV (o tabalho ndepende da tajetóa). V 4 Relação nte Campo létco e Supeíce upotencal Consdee a supeíce eupotencal e o campo elétco abaxo: 0 θ d s 1) Se o campo elétco possu componentes paalela à supeíce, então, W 0 J e ΔV 0V, potanto não sea uma supeíce eupotencal. ) ntão as lnhas de campo e o campo elétco devem se pependculaes à supeíce eupotencal. [Cstóvão R M Rncos] p. 008
9 4. Potencal létco 0 Algumas omas de supeíces eupotencas: 1) Uma dstbução puntome ou esecamente smétca, consttuem uma amíla de supeíces eupotencas esécas concêntcas. ) Paa um campo unome, as supeíces eupotencas consttuem uma amíla de planos pependculaes às lnhas de campo. Cálculo do Potencal a Pat do Campo létco Podemos calcula a d. d. p. ente dos pontos ( e ) num campo elétco, a pat do conhecmento do campo elétco em todos os pontos ao longo de uma tajetóa lgando os pontos. d s lnhas de campo W do campo elétco ΔV calculamos ΔV a pat de W. 0 d s 0 oça eletostátca, em ualue ponto ente e, ue atua sobe 0. peueno deslocamento na tajetóa. dw F d s tabalho ealzado sobe 0 na tajetóa d s. 0 W 1 ΔV V V d s [Cstóvão R M Rncos] p. 009
10 4. Potencal létco ΔV V V d s A Deença de Potencal: 1) ndepende da caga de teste ou de ualue outa caga, sendo uma popedade exclusva do campo elétco; ) é uma ntegal de lnha ente dos pontos uasue (, ) num campo elétco; 3) ndepende da tajetóa (uma vez ue o tabalho ndepende da tajetóa) e 4) se escolhemos o eeencal e a enega de eeênca, V 0 V paa e V V ΔV V d s Aplcações do Potencal létco Dstbuções Dscetas de Cagas létcas 1 o Caso) Potencal létco Cado po uma Caga Puntome Caacteístcas: caga elétca puntome postva e solada. [Cstóvão R M Rncos] p. 010
11 4. Potencal létco caga puntome postva e solada. 0 caga de teste ue move-se do nnto ( ) até P (). módulo do campo elétco geado pela caga elétca no ponto onde está 0. ds módulo do elemento de deslocamento de paa. Como a tajetóa não mpota, escolhemos uma lnha adal ndo da caga até o nnto (uma vez ue começamos a med as dstâncas a pat de ). P dstânca ualue, descevendo 0 sando do e chegando em P. V(P) potencal em P ue está a uma dstânca da caga. d s d 0 Adotando V 0 V paa, e V V(P), temos ue esolve ΔV V ( P) d s 1 (θ ) d s ds cosθ ds ( d') d' ' [Cstóvão R M Rncos] p. 011
12 4. Potencal létco ΔV A ntegal é tabelada como Δ V V ( P) V ( P) m 1 m u u du m ' 0 d' ' ou Δ V V ( P). O potencal geado po uma caga puntome postva deve se postvo, o potencal geado po uma caga puntome negatva deve se negatvo. o Caso) Potencal létco Cado po um Gupo Caga Puntome Caacteístcas: N cagas elétcas puntomes e soladas. Podemos calcula o potencal líudo, num ponto ualue, como sendo a supeposção dos potencas: 1 o ) calculamos sepaadamente as contbuções de cada caga elétca no ponto consdeado e o ) azemos a supeposção dos esultados (somatóo). [Cstóvão R M Rncos] p. 01
13 4. Potencal létco ΔV V ( P) N 1 V N 1 Obs.: o somatóo é algébco e não vetoal. sta é a vantagem do cálculo do potencal sobe o cálculo de. 3 o Caso) Potencal létco Cado po um Dpolo létco A d z θ B Caacteístcas: potencal elétco cado po um dpolo elétco, em ualue ponto P a uma dstânca do dpolo. As cagas, estão sepaadas po uma dstânca d. P gea V em P a uma dstânca. gea V em P a uma dstânca. z exo do dpolo (ou dpola). d dstânca dpola. dstânca do dpolo ao ponto P. p d θ momento de dpolo elétco. ângulo ente e o exo do dpolo elétco. C Fazendo a supeposção dos potencas em P [Cstóvão R M Rncos] p. 013
14 4. Potencal l 4. Potencal létco tco Cap tulo 04 [Cstóvão R M Rncos] p. 014 Δ V V V P V V 1 ) ( V V Δ P V V 1 1 ) ( Nomalmente temos ue paa >> d (ex.: molécula de água, átomos numa antena, etc.), cos ) ( d P V V θ Δ ou. cos d θ cos ) ( p P V V θ Δ Análse do esultado: 1) Se mantemos e θ constantes, o potencal em P não se altea. ) Paa θ 90 0 plano euatoal do dpolo, V(P) 0 V, pos e, potanto V V 0 V. 3) Paa θ 0 0 V(P) tem o seu valo máxmo (). 4) Paa θ V(P) tem o seu valo mínmo ().
15 4. Potencal létco 5) O potencal depende somente de p (momento de dpolo elétco) e não de (caga elétca) e d (dstânca dpola) sepaadamente. Análse Quanto à Poladade 1) Mutas moléculas possuem momento de dpolo pemanente: Moléculas (ou átomos) polaes x.: moléculas de água (centos de caga não concdem p 0 Cm). ) Mutas moléculas (átomos) são não-polaes: Moléculas (ou átomos) apolaes os centos de caga concdem (p 0 Cm) Se colocamos uma molécula (ou átomo) não-pola num campo elétco exteno, podemos nduz a omação de um Momento de Dpolo nduzdo nuvem eletônca núcleo Átomo neuto Átomo num campo elétco exteno a) Foma dpolo pela deomação da nuvem eletônca. b) O momento de dpolo é dto nduzdo, e a molécula (átomo) é dta polazada pelo campo. x.: antenas de ádo e TV (dpolo nduzdo osclantes, sto é, o momento de dpolo é uma unção peódca do tempo). [Cstóvão R M Rncos] p. 015
16 4. Potencal létco Dstbuções Contínuas de Cagas létcas Assm como zemos com o campo elétco, podemos aze paa o potencal elétco (ve a segu). Método paa esolve o poblema 1 o Passo) Tomamos uma peuena poção do objeto caegado com caga d. d P dv o Passo) A caga d gea no ponto P, ue está a uma dstânca desta caga, um potencal elétco dv. 3 o Passo) ncontamos o potencal V(P) po ntegação de dv. dados. Canddatos a d: a) d pode se tão peueno uanto se uea caga puntome. b) podemos te dados auxlaes usamos estes [Cstóvão R M Rncos] p. 016
17 4. Potencal létco y P d O x 1 o Caso) Potencal létco Cado po uma Lnha de Caga Caacteístcas: baa na (lnha) solante (plástco) de compmento L e caga elétca postva, de densdade lnea unome (λ Cte). dx, d L x caga postva unomemente dstbuída na baa. L compmento da baa. d dstânca da baa ao ponto P. dx elemento de compmento da baa. d elemento de caga da baa. x dstânca de O até dx. Como não temos nenhum cálculo auxla paa nos ajuda, vamos utlza apoxmação de caga puntome dv d d λ Cte ou d λ dx L dx x d dv λ dx ( x d ) 1/ então L λ dx V ( P) λ dv 0 1/ x d ( ) ( x L dx 0 1/ d ) [Cstóvão R M Rncos] p. 017
18 4. Potencal létco dx Da tabela de ntegas ln x x a 1/. ( x a ) V ( P) L λ ln x x d λ ln L L d ln d 0 L V ( P) λ ln ( L d ) d 1/ Análse do esultado: 1) Como V(P) é postvo (pos a caga elétca, é postva), esta euação pecsa da um valo postvo, sto é, o agumento do logatmo deve se mao ue 1 paa ue V(P) seja postvo. ) Se L >> d ln( L / d) e L / d > 1 sempe. 3) Se d >> L ln((ld) / d) e (Ld) / d > 1 sempe. 4) ntão ln[ ] onde [ ] > 1 paa todos os casos e potanto, V(P) > 0. [Cstóvão R M Rncos] p. 018
19 4. Potencal létco d,d dv o Caso) Potencal létco Cado po um Dsco Caegado Caacteístcas: enconta o potencal elétco em um ponto P, de um dsco solante de ao R unomemente caegado com caga na ace supeo (σ Cte), a uma altua z do cento do dsco. P z z d dv R σ R Rao do dsco solante. z dstânca do cento do dsco ao ponto P. ao do anel de caga d. d elemento de lagua do anel de ao e caga d. dv potencal elétco geado pela caga d no ponto P. dstânca de d até o ponto P. A Novamente, vamos utlza apoxmação de caga puntome (não temos cálculo auxla paa o potencal elétco) d da Cte ou d σ da da ( π ') d ' e z ' com dv σ (π ( z ' ') d ' ) 1/ então R σ (π ') d ' V ( P) π dv σ 0 1/ z ( ' ) ( z R ' d ' 0 1/ ' ) [Cstóvão R M Rncos] p. 019
20 4. Potencal létco m 1 m u A ntegal é da oma u du. m 1 u z ' m 1 du ' d ' ΔV V ( P) ( z ' σ π 1/ 1/ ) R 0 onde 1/ ΔV V ( P) σ π [( z R ) z] Ou de acodo com o Hallday, 4 a ed. ΔV σ V ( P) ε 0 [( z R ) z] 1/ Cálculo do Campo a Pat do Potencal Antes Agoa detemnamos o potencal elétco a pat do campo elétco. detemnaemos o campo elétco a pat do potencal elétco. [Cstóvão R M Rncos] p. 00
21 4. Potencal létco Pocedmento Gáco 1) Caso se conheça o potencal V em todos os pontos póxmos de um conjunto de cagas elétcas, podemos desenha a amíla de eupotencas. ) As lnhas de campo elétco são taçadas pependculamente a estas supeíces (estas supeíces taduzem a vaação do campo elétco). P 0 Pocedmento Matemátco a) Repesentação de seções tansvesas ao campo elétco de uma amíla de supeíces θ eupotencas. d s deção s supeíces eupotencas b) A d. d. p. ente cada pa de supeíces adjacentes é gual a dv. c) O campo em ualue ponto P é pependcula à supeíce eupotencal ue passa po P. 0 caga de teste. campo elétco no ponto P. d s deslocamento sodo pela caga 0 ndo de uma supeíce eupotencal paa outa adjacente. [Cstóvão R M Rncos] p. 01
22 4. Potencal létco dv Lembando ue ΔV V e d s dv d d s d V d s ds cosθ ou ( cos θ ) ds dv, cos θ. d s d V s d s Temos nntas deções s ente e, ue podemos adota, mas estamos nteessados numa deção especíca s, despezando as demas, logo s V s s componente do campo elétco na deção s. V / s devada pacal de V(s). O componente de em ualue deção é o negatvo da taxa de vaação do potencal elétco, com a dstânca, nauela deção. devada deconal x.: se tomamos s, sucessvamente, como os exos x, y e z x V ( x, y, z), x y V ( x, y, z), y z V ( x, y, z) z [Cstóvão R M Rncos] p. 0
23 4. Potencal létco De oma mas sntétca V gad V onde: é o opeado nabla ou del. V é chamado de gadente do potencal elétco (devada deconal de V). x ˆ y ˆj z ˆ nega Potencal létca de um Sstema de Cagas Puntomes Paa apoxmamos dos copos caegados com cagas de mesmo snal, é pecso ealzamos tabalho. A enega é amazenada, devdo ao tabalho, sob a oma de enega potencal no sstema das duas cagas elétcas. Se lbeamos as cagas, podemos ecupea a enega amazenada sob a oma de enega cnétca. A enega potencal elétca de um sstema de cagas puntomes xas é gual ao tabalho ue deve se ealzado po um agente exteno paa un o sstema, tazendo cada uma das cagas de uma dstânca nnta. [Cstóvão R M Rncos] p. 03
24 4. Potencal létco 1 P 1, cagas puntomes em epouso tanto em uanto em. a) stas cagas podem se postvas ou negatvas. b) Começamos com ambas no nnto e em epouso. dstânca nal ente 1 e. Quando tazemos 1 do nnto () até o ponto, não ealzamos tabalho (F 0N, não temos cagas elétcas, anda). Quando tazemos do nnto () até o ponto, ealzamos tabalho, pos temos oça eletostátca de 1 sobe duante toda a tajetóa. ΔV V ( P) W 0 como 0 V ( P) V ΔU U W ( V1 ) U U ou Δ. [Cstóvão R M Rncos] p. 04
25 4. Potencal létco Obs.: 1) se as cagas tveem o mesmo snal, teemos de ealza um tabalho postvo paa apoxmá-las (conta a epulsão mútua ente elas) enega potencal postva. ) se as cagas tveem snas opostos, teemos de ealza um tabalho negatvo paa apoxmá-las (conta a oça de atação) enega potencal negatva. Um Conduto Caegado e Isolado 1 o Caso) Conduto Caegado e Isolado com Gande Smeta Vmos anteomente ue 0 N/C paa todos os pontos no nteo de um conduto caegado e solado, então usamos a Le de Gauss paa pova: Ao se atngdo o estado de eulíbo, ualue excesso de caga colocado num conduto solado, seá encontado nteamente sobe a sua supeíce. Isto é vedadeo mesmo ue o conduto tenha uma cavdade ntena, vaza. [Cstóvão R M Rncos] p. 05
26 4. Potencal létco Agoa vamos usa 0 N/C paa todos os pontos no nteo de um conduto solado, paa pova ue: Um excesso de cagas colocado num conduto solado se dstbuá po sua supeíce até ue todos os pontos do conduto no nteo e na supeíce atnjam o mesmo potencal. Isto é vedade ndependentemente do conduto possu ou não, uma cavdade ntena. Usando ΔV V V d s, como 0 N/C em todos os pontos dento do conduto, ΔV V V 0 V e V V paa todos os paes de pontos (, ) do conduto. V (V) 10 V Cte V α 1/ xemplo: casca eséca de ao R 1,0 m, caegada com uma caga 1,0 μc. dstânca adal do cento da casca eséca até a boda. Paa > R, Δ V V ( ) caga puntome (m) Paa R, uando apoxmamos a caga de teste, desde a supeíce da casca até o cento, não ealzamos tabalho nenhum (F 0 N) então o potencal em todos os pontos, no nteo da casca, é gual ao da supeíce. [Cstóvão R M Rncos] p. 06
27 4. Potencal létco (V/m) α 1/ 0 N/C (m) Vaação do campo elétco paa a mesma casca (R 1,0 m e 1,0 μc). Paa 0 R, 0 N/C. Paa > R, ( ) caga puntome. 1) A cuva () pode se obtda, de V(), devando pacalmente V() em elação a : V ( ) ) A cuva V() pode se obtda, de (), ntegando () em elação a : V ( ) d o Caso) Conduto Caegado e Isolado com Smeta Qualue [Cstóvão R M Rncos] p. 07
28 4. Potencal létco xclundo condutoes esécos, a caga de um conduto não se dstbu unomemente sobe a supeíce. x.: em pontas ou unas, a densdade supecal pode alcança valoes muto elevados (bem como o campo elétco) eeto coona. eto Coona O a ao edo de uma ponta tona-se onzado, poduzndo a descaga coona. A descaga coona, o eçamento do cabelo, são euentemente os pecusoes de um elâmpago, em tas ccunstâncas, é pudente esta no abgo de uma casca condutoa onde o campo elétco é gaantdamente nulo. x.: o cao é um luga seguo, uase deal (cao de estutua e pntua metálcas, não de ba de vdo). 3 o Caso) Conduto Isolado num Campo létco xteno Quando um conduto solado é colocado em um campo elétco exteno, todos os pontos do conduto cam com o mesmo potencal elétco, tendo ou não, cagas em excesso. 1) Os elétons lves no conduto, se dstbuem sobe a supeíce de tal manea ue o campo elétco poduzdo po eles nos pontos nteoes, cancelam o campo elétco exteno. [Cstóvão R M Rncos] p. 08
29 4. Potencal létco ) A dstbução dos elétons az com ue o campo elétco esultante em todos os pontos sobe a supeíce sejam pependculaes à supeíce do conduto. A Sepaação de Cagas no Conduto Neuto a) sepaação de cagas po ndução. 0 b) 0 0 N/C. c) upotencal: o campo elétco exteno petuba a eupotencal, logo o conduto se polaza nvesamente paa gea um potencal contáo com a naldade de estaua o eulíbo V 0 V. [Cstóvão R M Rncos] p. 09
30 4. Potencal létco Lsta de xecícos Complementa 4 6) pág. 8 7) pág. 8 11P) pág. 83 4P) pág P) pág ) pág P) pág P) pág. 86 5) pág ) pág P) pág P) pág. 88 [Cstóvão R M Rncos] p. 030
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