FLUXO E DIVERGENTE DE UM CAMPO VETORIAL

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1 ISTITUTO DE FÍSIC D UFB DEPRTMETO DE FÍSIC DO ESTDO SÓLIDO DISCIPLI: FÍSIC ERL E EXPERIMETL I FIS 4 FLUXO E DIERETE DE UM CMPO ETORIL Os concetos de dvegente e otaconal estão elaconados aos de fluo e de cculação espectvamente. esta e na póma secção, faemos uma defnção pecsa destes concetos e os assocaemos com alguns fenômenos físcos conhecdos.. FLUXO a. Fluo atavés de uma supefíce abeta plana Suponha ncalmente uma supefíce plana de áea dento de um campo de velocdades v. Este campo pode se, po eemplo, um o, um fluo de gás dento de uma tubulação, etc. De qualque foma, haveá nesse campo um fludo onde a cada ponto assocaemos um veto velocdade v. este pmeo enfoque vamos supo que o campo é unfome ou sea, a velocdade é a mesma paa todos os pontos desse espaço e a deção e sentdo se mantem constante e que a supefíce estea pependcula ao campo. Defnmos então [ Quantdade de fludo que atavessa a supefíce no tempo t ] [ FLUXO ] Φ sup. abeta [ undade de tempo] Podemos epessa esta defnção em temos de v e de com a segunte consdeação: num tempo t, cada patícula do t fludo pecoe uma dstânca v t. ssm, se constumos um paalelepípedo de base e compmento v t, notaemos que toda a patícula que estve dento desta "caa" atavessa a supefíce no tempo t. s patículas que estveem foa não conseguão, neste tempo, atavessa a supefíce. ssm, a θ θ quantdade de fludo que atavessa a supefíce no tempo t seá smplesmente o volume dessa "caa" e vale v t. O fluo seá então v Φ t t v

2 Suponha agoa que a supefíce estea nclnada de um ângulo θ, como mosta a fgua. Obseve que a quantdade de fludo que atavessa no tempo t é a mesma que atavessa ' que é a poeção de em um plano pependcula às lnhas de campo. ssm Φ Φ ' v '. Como ' cos θ, logo Φ v cos θ Podemos smplfca esta elação, usando o veto áea, que é defndo como: módulo : áea deção : pependcula `a supefíce sentdo : é tal que θ 90 o Desta foma, podemos esceve o fluo de um campo vetoal unfome v paa uma supefíce plana como sendo: v Φ b. Fluo atavés de uma supefíce fechada Σ Sea Σ uma supefíce fechada dento de um campo vetoal v. Defnmos: [ Quantdade de fludo que sa [ Quantdade de fludo que enta ] de Σ no tempo t ] em Σ no tempo t [ FLUXO ] - sup. fechada [ undade de tempo] [ undade de tempo] plquemos esta defnção paa o caso de uma supefce fechada, consttuda pela unção de váas supefíces planas, dento de um campo vetoal v unfome vea fgua: Paa calculamos o fluo, defnemos um veto tal que: módulo : deção : sentdo : áea pependcula `a supefíce aponta sempe paa foa da supefce 4 De acodo com o eemplo da fgua acma, notamos que o fludo sa atavés de e e enta po, 4 e 5. Usando a elação e a defnção de fluo, teemos:

3 5 ΦΣ v. v. v. v.4 v.5 v. 5 Obseve que nas supefíces, 4 e 5 o veto foma com v um ângulo θ, tal que 90 o < θ <70 o, de sote que v. v cos θ é negatvo neste caso. Podemos geneala estas consdeações, supondo agoa uma supefíce fechada consttuda po supefíces planas. Mas anda: podemos supo que o campo não sea mas unfome, mas que possa vaa de egão paa egão, com a condção de que assuma um valo constante v na supefíce. O fluo seá potanto: Φ Σ fechada v. 6. ITERL DE SUPERFÍCIE Suponha agoa que uma supefíce fechada Σ, de fomato qualque, sea nseda em um campo vetoal não unfome. Paa defnmos o fluo, S tomaemos o segunte pocedmento : a. Dvdmos a supefíce em pequenas supefíces de áea de foma que: Σ - sea apomadamente plana - O campo nessa supefíce sea apomamente constante b. Defnmos o veto de acodo com a defnção 4 c. O fluo no elemento de áea seá Φ. d. O fluo total atavés de Σ seá apomadamente Φ. e. Paa encontamos o valo eato do fluo, faemos 0. Defnmos então ntegal de supefíce ao lmte : Φ. d lm 0. f. atualmente podemos defn a ntegal de supefíce paa uma supefíce abeta também. O pocedmento é o mesmo, com duas pequenas modfcações. pmea delas se efee à defnção do veto elemento de áea. este caso, este veto é defndo de acodo com a defnção ao nvés de 4. Em segundo luga, há uma modfcação na notação, de foma que:

4 ΦΣ abeta. d lm 0. g. O fluo de um campo vetoal atavés de uma supefíce fechada Σ tem o segunte sgnfcado físco: [ Quantdade de... que sa [ Quantdade de... que enta ] de Σ no tempo t ] em Σ no tempo t [ FLUXO ] - sup. fechada [ undade de tempo] [ undade de tempo] onde... é uma palava que depende de qual sea o campo consdeado. ssm, se v campo de velocdades,... fludo J densdade de coente,... caga S veto de Pontng,... enega eletomagnétca o caso de E campo elétco ou B campo magnétco, o fluo seá uma quantdade tal que: Φ α [ númeo de lnhas de campo que saem de Σ] - [ númeo de lnhas de campo que entam em Σ]. O DIERETE Do estudo pecedente é fácl vefca que se Φ 0, haveá dvegênca ou convegênca dvegênca negatva do campo em elação à supefíce fechada Σ. Mas agoa, ao nvés de concentamos no fluo em uma egão do espaço, deseamos fae este estudo em elação a um ponto e em suas vnhanças. déa cental, potanto, é fae a supefíce tende a eo e calcula o fluo nesse lmte. Contudo, se dmnumos a supefíce, o fluo também á dmnu, até se anula no lmte 0. Poém, se calculamos a aão ente o fluo atavés de pelo volume, obsevaemos que ela tendeá a um valo lmte quando 0. É ustamente esta popedade que estamos buscando. Defnmos então, o dvegente de uma função vetoal à gandea:. d dv lm 0 a. Teoema de auss Sea uma supefíce fechada Σ dento de um campo vetoal. o dvdmos a supefíce em duas supefíces fechadas Σ e Σ, Σ d d veemos que a soma dos fluos atavés destas duas supefíces epoduá o fluo ognal, uma ve que os vetoes d e d, que descevem a nteface ente Σ e Σ, têm mesmo módulo e deção, Σ mas sentdos opostos. ssm, devemos te Φ Φ Φ 4

5 Se dvdmos a supefíce Σ em supefíces fechadas, a soma dos fluos atavés de todas essas supefíces epoduá o fluo ognal, sto é:. d. d Obseve que podemos eesceve esta epessão na foma: d d... o passamos ao lmte de 0, a quantdade ente os paênteses é o pópo dvegente de e a somatóa, po defnção, é a ntegal de volume. ssm.d dv d b. O dvegente em coodenadas catesanas Sea um veto, epesso em temos das coodenadas catesanas :,,,,,, k Sea também um volume consttuído po uma caa etangula de lados, e. amos calcula o fluo atavés desta caa: Φ.d, dvd-lo pelo volume e fae o lmte 0. ote que Φ pode se calculado somando-se os fluos atavés de cada face da caa. o entanto, como estamos supondo que a caa tem,, dmensões pequenas é aoável supo que, em cada 5 4 face, o campo é apomadamente constante e gual ao valo calculado em seu cento. ssm, o valo do fluo paa cada face, seá : Φ. Podemos ve na fgua que os vetoes em cada face são: k 6 k 5

6 6 O fluo na face deveá se então Φ. ote que é a componente do campo no cento da face. Qual é a elação ente e a componente do campo no cento da caa,,? Escevendo como:,, obtemos do cálculo dfeencal:,,,, ε onde ε ε ε lm e,, Logo: ε Φ onde,, Escevendo,, e,,, chegamos ao fluo das demas faces da caa: ε Φ ε Φ ε Φ 4 4 ε Φ 5 5 ε Φ 6 6 O fluo atavés da caa seá potanto: Φ Φ 6 ε ε ε Como e dv lm Φ 0, então: dv Se ntodumos o opeado vetoal dfeencal nabla k teemos:

7 dv. BIBLIORFI. Pucell E.M., Cuso de Físca de Bekele - vol., Ed. Edgad Bluche, 97, São Paulo.. Fenmam R., Lectues on Phscs - vol., Fondo Educatvo Inteamecano, 97, Bogotá. Hsu, H.P., nálse vetoal, Lvos Técncos e Centífcos, 97, Ro de Janeo. 7