MODELAÇÃO ESTOCÁSTICA DE ESCOAMENTOS EM AQUÍFEROS. SIMULAÇÕES DE MONTE-CARLO CONDICIONADAS

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1 MODELAÇÃO ESTOCÁSTICA DE ESCOAMENTOS EM AQUÍFEROS. SIMULAÇÕES DE MONTE-CARLO CONDICIONADAS Manuel M. PACHECO FIGUEIREDO (1), Luís RIBEIRO (2) e José M. P. FERREIRA LEMOS (3) RESUMO Na sequênca do desenvolvmento e teste de pogamas paa a smulação estocástca de escoamentos em aquífeos poosos egonas pelo Método dos Elementos Fntos têm sdo esolvdos váos exemplos de aplcação. Os esultados efeentes a alguns desses poblemas são aqu oganzados e apesentados. Em patcula, analsa-se o mpacto esultante de se admt que o logaítmo da tansmssvdade se compota como uma função aleatóa estaconáa, egódca e multvaada nomal. A dstbução eal da tansmssvdade é amostada aleatoamente num conjunto de pontos do aquífeo. A pat da amosta são geadas ealzações condconadas da tansmssvdade que pemtem a esolução dos exemplos po smulações de Monte-Calo. Da mesma amosta também se eta o valo da tansmssvdade efectva, assm como uma estmatva do compotamento espacal da tansmssvdade po kgagem. Os esultados obtdos pelas smulações de Monte-Calo condconadas são compaados com os poduzdos pelas smulações coespondentes à dstbução eal da tansmssvdade e às estmatvas desta po kgagem e po valo efectvo. Palavas-chave: Aquífeos, Modelação Estocástca, Smulações de Monte-Calo, Elementos Fntos. (1) Assstente da FEUP (2) Pofesso Auxla do IST (3) Pofesso Assocado c/ Agegação da FEUP

2 1 - INTRODUÇÃO A gestão de um aquífeo, ou sstema aquífeo, exge o desenvolvmento e utlzação de modelos que smulem adequadamente os escoamentos em meos poosos e/ou factuados. Atendendo à heteogenedade do meo natual, os modelos de smulação devem te em conta a nceteza assocada à avalação das ecagas e extacções, dos paâmetos hdogeológcos e das condções fontea, tatando-os como funções aleatóas ou pocessos estocástcos, estatstcamente caactezáves. Assm, a equação dfeencal que ege o escoamento tansfoma-se numa equação dfeencal estocástca, cuja vaável dependente (caga hdáulca) é também um pocesso estocástco estatstcamente caactezável. Po outas palavas, a esolução da equação dfeencal estocástca devea conduz à função de dstbução de pobabldade conjunta da vaável dependente. Na pátca já se consdea acetável a detemnação, paa cada ponto do domíno e paa cada nstante, do valo espeado (méda) e de uma medda da nceteza (vaânca). Neste tabalho apesentam-se e compaam-se, de uma foma sucnta, váos modos altenatvos de modela o escoamento, tendo em consdeação a nceteza elatva à quantfcação da tansmssvdade: - elaboa um modelo matemátco que elacone os valoes espeados das vaáves em jogo à custa da utlzação da desgnada tansmssvdade efectva ; - smula o escoamento com base numa estmatva do compotamento espacal da tansmssvdade obtda po kgagem; - gea um númeo adequado de ealzações condconadas da tansmssvdade e esolve a equação dfeencal paa cada uma destas, pocedendo posteomente a um tatamento estatístco dos esultados obtdos (smulações de Monte-Calo). Os esultados obtdos são compaados ente s e com os coespondentes à smulação do escoamento paa uma dstbução espacal da tansmssvdade eleta como eal, popoconando assm uma avalação do mpacto poduzdo nos esultados pelas dfeentes abodagens ao tatamento da nceteza assocada à estmação da tansmssvdade. A dstbução eal de T é amostada em 55 pontos escolhdos aleatoamente. A pat da amosta são extaídas as nfomações estatístcas necessáas à caactezação da tansmssvdade pelo valo efectvo, po kgagem ou po ealzações estocástcas condconadas. Esta popedade do aquífeo, T, é tatada como uma função aleatóa das coodenadas espacas. Em patcula, admte-se que a sua tansfomada, = ln( T), é uma função aleatóa estaconáa, egódca e multvaada nomal. A nceteza esultante da vaabldade espacal de T eflecte-se na gandeza da vaânca. Com o objectvo de avala o mpacto desta nos esultados, o poblema apesentado é esolvdo paa duas dstbuções dfeentes da tansmssvdade, coespondentes a dstntos valoes da vaânca, emboa com médas e dstâncas ntegas dêntcas. Os exemplos de aplcação foam concebdos paa um domíno (aquífeo) ectangula com m 2, dscetzado po elementos fntos sopaamétcos de oto nós de 2

3 m 2. Os esultados apesentados coespondem ao egme pemanente obtdo após establzação das smulações numécas ncadas paa um valo constante da caga hdáulca em todo o domíno (100 m). Admtu-se a tansmssvdade constante ao longo do tempo e um valo pequeno paa S (ou ω d ) (0.004) de modo a acelea o estabelecmento do egme pemanente petenddo. Assm, os esultados obtdos são váldos, em egme pemanente, tanto paa aquífeos confnados como paa não confnados desde que se admta que a espessua do aquífeo é gande quando compaada com a vaação de H. 2 - AQUÍFEROS REGIONAIS. FORMULAÇÃO DIRECTA Aquífeos egonas confnados. Fomulação matemátca O escoamento em fomações poosas confnadas é govenado pela segunte equação dfeencal: dv H t ([ T] gad H) = S + R + Q δ( x x ) N = 1 (1) sendo H a caga hdáulca ou nível pezométco (m), T a matz de tansmssvdade (m 2 /d), S o coefcente de amazenamento (m/m), R as ecagas ou pedas po undade de supefíce (m/d) e Q as ecagas ou extacções pontuas (m 3 /d). Os elementos da matz de tansmssvdade não dependem de H, uma vez que a espessua do aquífeo é detemnada pelos estatos confnantes Aquífeos egonas não confnados. Fomulação matemátca O escoamento em fomações poosas não confnadas é govenado pela segunte equação dfeencal: N H dv( [ T] gad H) = ωd + R + Q δ( x x ) (2) t sendo ω d a poosdade denável. A fontea supeo do aquífeo coesponde ao nível feátco, vaável no espaço e no tempo, pelo que a tansmssvdade depende da solução do poblema, sto é de H, uma vez que é calculada pela ntegação da conductvdade hdáulca segundo a vetcal: H = 1 T = Kdz (3) zo Contudo, se a vaação do nível pezométco não fô sgnfcatva elatvamente à espessua do aquífeo pode-se-á despeza a efeda dependênca Condção ncal e condções fontea A aplcação destas equações dfeencas a um detemnado domíno (aquífeo) e a espectva esolução equeem a péva defnção das condções ncas, sto é, do valo de H 3

4 no nstante ncal do peíodo de tempo a estuda. É também necessáo conhece, ao longo do tempo, as condções do escoamento na fontea do domíno, as quas podem se de tês tpos: - condção fontea pncpal (Dchlet): o valo de H é mposto; - condção fontea secundáa (Neumann): o fluxo atavés da fontea = T gad H é mposto; q n ([ ] ) n - condção fontea msta (Cauchy): é mposta uma elação lnea ente os dos pmeos tpos de condção, sto é, o fluxo atavés da fontea vaa lneamente com o valo de H na fontea: H + a T gad H n + b = (4) ([ ] ) Tansmssvdade. Caactezação estatístca Ao defn a tansmssvdade como vaável ou função aleatóa, os modelos detemnstcos acma apesentados são tansfomados em modelos estocástcos. Em patcula, admte-se que T tem um compotamento logaítmco-nomal, sto é, que a sua tansfomada, = ln( T), tem uma função de dstbução de pobabldade unvaada nomal. E também se admte que ( x ) é uma função aleatóa estaconáa, egódca e multvaada nomal, pelo que a espectva estutua pobablístca é completamente defnda po quato paâmetos (a méda 2 m, a vaânca σ, o efeto pepta w e a dstânca ntegal I ) e pelo tpo de semvaogama (esféco, exponencal ou Gaussano). 3 - ESTIMAÇÃO DA TRANSMISSIVIDADE Tansmssvdade efectva (T ef ) Tendo em vsta a detemnação dos valoes espeados da caga hdáulca, H( x, t), e do fluxo, q ( x, t), as equações aplcáves ao fenómeno são eesctas com a tansmssvdade defnda pelo seu valo efectvo, T ef, constante em todo o domíno. DAGAN (1989) admte que este seja apoxmadamente gual à méda geométca, T G : T ef G ( m ) T = exp (5) A esolução, po um método numéco, das equações dfeencas e o posteo pocessamento dos esultados obtdos pemte quantfca os valoes espeados (médos) de H e q, tendo em conta a vaabldade espacal da tansmssvdade. Tata-se de uma abodagem smples, uma vez que apenas exge o conhecmento da méda geométca da tansmssvdade. Contudo, não pemte a avalação da nceteza dos esultados obtdos, po exemplo, atavés da quantfcação da vaânca de H ou q. 4

5 3.2 - Tansmssvdade estmada po kgagem odnáa (T kg ) A pat de uma amosta de valoes da tansmssvdade, espacalmente dstbuídos de uma foma aleatóa, é possível estma o valo da tansfomada = ln( T) em qualque ponto do domíno po combnação lnea dos N valoes conhecdos: * N = λ ( x) ( x) (6) sendo os coefcentes da combnação lnea função do ponto onde se petende estma o valo de. O vecto {λ 1, λ 2,..., λ N } é detemnado esolvendo o sstema de N+1 equações N N λ γ ( x x ) µ = γ ( x x) j 1,..., N j = λ = 0 que consttu a base da kgagem odnáa. A vaânca do eo de estmação, calculada po: σ 2 kg Va N * ( ) λ ( )+ (7) σ 2 kg, é Tal como na abodagem anteo, a esolução das equações dfeencas pemte q, tendo em conta a vaabldade espacal da kgagem. E contnua a não se possível avala a nceteza dos q. tansmssvdade ( smcc A smulação ln( T) ( { y ) ( ) } x Ω, = 1, 2,... = é o pocesso de gea dfeentes, (9) Estas ealzações tomam a desgnação de condconadas se espetaam os dados conhecdos { 1, 2,..., N }: y x = x, (10) ( ) ( ) ( ) Caso não os espetem desgnam-se po não condconadas. As ealzações, condconadas ou não, deveão epoduz detemnados paâmetos estatístcos e de coelação espacal (a méda m, a vaânca σ 2, o efeto pepta w, a dstânca ntegal I e o tpo de semvaogama). Nos exemplos em análse neste tabalho as 5

6 smulações condconadas foam geadas pelo algoítmo sequêncal gaussano poposto em DEUTSCH e JOURNEL (1992). 4 - TRANSMISSIVIDADE REAL As duas dstbuções da tansmssvdade adoptadas como eas foam poduzdas a pat de uma ealzação de uma função aleatóa, geada po ecozmento smulado paa os seguntes paâmetos estatístcos: m X = 0, σ 2 X = 1, w = 0 e I X = 2000m (semvaogama exponencal). Multplcando os valoes de X pelo desvo padão petenddo paa e centando os novos valoes em tono de m = ln ( 2000), obtveam-se duas dstbuções de = ln T cujas magens são apesentadas nas Fguas 2 e 3. ( ) Os valoes da tansmssvdade nos 55 pontos assnalados consttuem as amostas que pemtem estma o compotamento de T, nas abodagens altenatvas já desctas. Os espectvos hstogamas e semvaogamas expementas são apesentados na Fgua 1. Nos gáfcos dos semvaogamas encontam-se epesentados os modelos teócos adoptados paa gea as tansmssvdades eas e a estmação po kgagem. Fgua 1: Tansmssvdade eal (=lnt). Hstogamas e Semvaogamas expementas. 6

7 Fgua 2: Tansmssvdade eal I (=lnt) Fgua 3: Tansmssvdade eal II (=lnt) 5 - ESTIMAÇÃO DA TRANSMISSIVIDADE A PARTIR DAS AMOSTRAS Tansmssvdade efectva (T ef ) Os valoes efectvos da tansmssvdade detemnaam-se a pat das duas amostas (Quado 1). Quado 1 Valoes efectvos da tansmssvdade Tansmssvdade m T ef = T G (m 2 /d) I II Tansmssvdade obtda po kgagem (T kg ) Paa estma a tansmssvdade, po kgagem odnáa, utlzaam-se os dados da amosta localzados na vznhança de cada ponto a estma. Desta vznhança, móvel, foam selecconados os dados mas póxmos do ponto a calcula (no mínmo 4 e no máxmo 16), contdos num ao de 2000 metos. Nas Fguas 4 e 5 apesentam-se a dstbução estmada de = ln( T) e a vaânca do espectvo eo. Os paâmetos estatístcos consdeados paa a = ln T são os do Quado 2. kgagem de ( ) Quado 2 Kgagem. Semvaogamas teócos. 2 Tansmssvdade Semvaogama σ w I (m) I Exponencal II Exponencal

8 Fgua 4: Tansmssvdade I - Kgagem de = lnt; Vaânca do eo de estmação. Fgua 5: Tansmssvdade II - Kgagem de = lnt; Vaânca do eo de estmação Realzações condconadas da tansmssvdade (T smcc ) Fgua 6: Tansm. I (=lnt). Realzação 100. Fgua 7: Tansm. II (=lnt). Realzação

9 As smulações de Monte-Calo foam poduzdas com base em 300 ealzações condconadas da tansmssvdade. O algoítmo sequêncal gaussano tansfoma T numa vaável nomal padão (m = 0, σ 2 = 1), à custa da função de dstbução de pobabldade expemental obtda a pat dos valoes da amosta odenados po odem cescente. Paa o semvaogama teóco desta nova vaável adoptou-se o mesmo tpo (exponencal) e a mesma dstânca ntegal (I = 2000m) da kgagem. Nas Fguas 6 e 7 são apesentadas, a título exemplfcatvo, uma ealzação condconada de cada tansmssvdade. 6 - EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Nos poblemas aqu apesentados o escoamento é detemnado pela mposção da caga hdáulca em duas fonteas opostas (100 m em Γ 1 e 94 m em Γ 3 ) e po uma ecaga supefcal (2 mm/d). As outas duas fonteas (Γ 2 e Γ 4 ) são consdeadas mpemeáves. O ensaos ES760 e ES770 coespondem, espectvamente, às tansmssvdades I e II. Γ 4 Γ 1 Γ 3 X Γ 2 Fgua 8: Geometa do domíno (aquífeo) Ensao ES760 As Fguas 9 a 11 pemtem vsualza o valo espeado (médo) de H paa cada uma das abodagens anteomente desctas. Na Fgua 12 apesenta-se o valo eal da caga hdáulca. As Fguas 13 e 14 apesentam a dfeença ente os esultados obtdos po kgagem e smulações de Monte-Calo, po um lado, e os valoes eas de H, po outo. Na Fgua 15 obseva-se a dfeença ente os valoes da caga hdáulca estmados po kgagem e smulações de Monte-Calo. Fnalmente, na Fgua 16, egsta-se a vaânca de H, também estmada po este últmo método. No Quado 3 compaam-se os caudas totas espeados (médos) nas fonteas pemeáves, onde se fxou o valo de H. Quado 3 ES760 Caudas totas médos nas fonteas Γ 1 e Γ 3. Desvo elatvamente a T eal. desvo Desvo desvo T eal T kg T (%) smcc T (%) ef (%) Q (m 3 /d) T T Γ 1 Q (m 3 /d) Γ 3 9

10 Fgua 9: T ef Valo médo de H (m). Fgua 10: T kg Valo médo de H (m). Fgua 11: T smcc Valo médo de H (m). Fgua 12: T eal Valo eal de H (m). Fgua 13: H kg H eal (m). Fgua 14: H smcc H eal (m). 10

11 Fgua 15: H H (m). Fgua 16: T smcc Vaânca de H (m 2 ). kg smcc Ensao ES770 Quado 4 ES770 Caudas totas médos nas fonteas Γ 1 e Γ 3. Desvo elatvamente a T eal. desvo Desvo desvo T eal T kg T (%) smcc T (%) ef (%) Q (m 3 /d) T T Γ 1 Q (m 3 /d) Γ 3 Fgua 17: T ef Valo médo de H (m). Fgua 18: T kg Valo médo de H (m). 11

12 Fgua 19: T smcc Valo médo de H (m). Fgua 20: T eal Valo eal de H (m). Fgua 21: H kg H eal (m). Fgua 22: H smcc H eal (m). Fgua 23: H H (m). Fgua 24: T smcc Vaânca de H (m 2 ). kg smcc 12

13 As Fguas 17 a 24 e o Quado 4 popoconam análses dêntcas às efedas paa o ensao ES ANÁLISE DOS RESULTADOS A obsevação dos esultados obtdos com a tansmssvdade efectva (T ef ), a tansmssvdade estmada po kgagem (T kg ) e as smulações de Monte-Calo efectuadas com base em ealzações condconadas da tansmssvdade (T smcc ), e a espectva compaação com os valoes coespondentes à dstbução eal pemtem alguns comentáos: a) A smulação do escoamento com base na tansmssvdade efectva não popocona uma boa apoxmação à solução eal do poblema, tanto paa a caga hdáulca como paa os caudas totas nas fonteas. Uma compaação vsual ente as Fguas 9 e 12 (ensao ES760) ou ente as Fguas 17 e 20 (ensao ES770) compova-o no que espeta à caga hdáulca. O mesmo se conclu quanto aos caudas totas nas fonteas da análse dos Quados 3 (ensao ES760) e 4 (ensao ES770). O mesmo se podea conclu quanto à utlzação de smulações de Monte-Calo condconadas, uma vez que os esultados seam dêntcos. b) A modelação com base na tansmssvdade obtda po kgagem e as smulações de Monte-Calo apesentam, face à solução eal, um compotamento azoável no que espeta aos valoes estmados paa H e Q T. Também se obseva que a dstbução espacal das dfeenças (postvas e negatvas) é análoga paa as duas abodagens. É anda de salenta o facto de, compaando as Fguas 13 e 14 (ensao ES760) ou as Fguas 21 e 22 (ensao ES770), se constata que H apesenta menoes dfeenças paa eal kg H do que a caga hdáulca estmada po smulações de Monte-Calo, H. smcc 2 c) O compotamento da vaânca de H, σ H, calculada a pat das smulações de Monte- Calo, é condconado pela poxmdade às fonteas. Naquelas onde H é mposto anula-se, e tende a aumenta lgeamente junto às fonteas mpemeáves. Ao contáo do que sucede em smulações não condconadas, não é muto evdente a nfluênca do gadente hdáulco na gandeza da vaânca. Esta apaenta se mas nfluencada po patculadades locas da tansmssvdade, paa além da já efeda poxmdade às fonteas. 2 d) Não é possível detecta uma elação evdente ente a gandeza de σ H e as dfeenças H smcc H eal (ou H kg H eal ), mesmo quando se analsa o módulo do desvo elatvo, H smcc H eal H eal 100 %, e se compaa com σ 2 H (Fguas 25 e 26). De facto, é possível obseva dfeenças maoes onde a vaânca é pequena e vce-vesa. 13

14 Fgua 25: ES760 H H H 100 % vs. vaânca de H (m 2 ). smcc eal eal Fgua 26: ES770 H H H 100 % vs. vaânca de H (m 2 ). smcc eal eal 8 - CONCLUSÕES Tendo sdo os objectvos deste tabalho expo váos modos de modela o escoamento, tomando em consdeação a vaabldade espacal da tansmssvdade, e pocede a uma compaação com os esultados de uma smulação eal, mpota eta algumas conclusões. A pmea consste em consdea nconvenente a modelação do escoamento com base no desgnado valo efectvo da tansmssvdade quando exstem dados geogafcamente localzados. De facto, uma adequada análse estutual dos dados pemtá uma estmatva da tansmssvdade po kgagem, com base na qual se podeá smula numecamente o escoamento e obte melhoes esultados. Caso se petenda estma as vaáves em jogo e, smultaneamente, avala a nceteza assocada deve-se-á opta pelas smulações de Monte-Calo condconadas aos dados dsponíves. Este método, apesa de um exg um gande esfoço computaconal, tem a 14

15 vantagem de se conceptualmente smples e vesátl, na medda em que econhece automatcamente as caacteístcas dos poblemas, tas com a geometa do domíno e as condções fontea. Fnalmente, mpota efe que as amostas de tansmssvdades utlzadas nestes exemplos apesentam uma boa cobetua do domíno, que em númeo de dados que na dstbução espacal destes. Contudo, questões como a dmnução da dstânca ntegal da tansmssvdade paa os mesmos pontos amostados ou a edução do númeo de dados e as coespondentes mplcações na peda de qualdade dos esultados não são aqu tatadas. Também não é analsada a nceteza dos paâmetos estatístcos obtdos ou adoptados a pat das amostas ( m, σ 2, w, I ) e a consequente mplcação na nceteza dos esultados obtdos. BIBLIOGRAFIA DAGAN, G. - Statstcal Theoy of Goundwate Flow and Tanspot: Poe to Laboatoy, Laboatoy to Fomaton and Fomaton to Regonal Scale, Wate Resouces Reseach, 22, 120S-135S, DAGAN, G. - Flow and Tanspot n Poous Fomatons. Spnge-Velag, Belm, DEUTSCH, C. V., JOURNEL, A. G. - GSLIB. Geostatstcal Softwae Lbay and Use s Gude, New ok, Oxfod Unvesty Pess, FIGUEIREDO, M. M. P. - Escoamentos Tanstóos em Meos Poosos. Uma Análse pelo Método dos Elementos Fntos. Relatóo paa povas de Aptdão Pedagógca e Capacdade Centífca (at. 58º do ECDU), Poto, FEUP, GELHAR, L. W. - Stochastc Subsuface Hydology. Pentce-Hall, Englewood Clffs, New Jesey, MARSIL, G. - Quanttatve Hydogeology. Goundwate Hydology fo Engnees, San Dego, Academc Pess, SAMPER, F. J., CARRERA, J., Geoestadístca: Aplcacones a la Hdogeologa Subteánea. Cento Intenaconal de Métodos Numécos en Ingenea, Bacelona, Unvestat Poltècnca de Catalunya, ZIENKIEWICS, O. C., MORGAN, K., Fnte Elements and Appoxmaton, New ok, John Wley and Sons,