UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 UNIERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA MATRIZ DE LINHA DE TRANSMISSÃO TRIDIMENSIONAL SCN-TD E FD CONTRIBUIÇÃO AO DESENOLIMENTO DE FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS PARA CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS JOÃO ANTONIO ASSAD DE SOUZA ORIENTADOR: PLÍNIO RICARDO GANIME ALES DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA PUBLICAÇÃO: 6/6 BRASÍLIA/DF: DE JUNHO DE 6

2 UNIERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA MATRIZ DE LINHA DE TRANSMISSÃO TRIDIMENSIONAL SCN-TD E FD CONTRIBUIÇÃO AO DESENOLIMENTO DE FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS PARA CAMPOS ELETROMAGNÉTICO JOÃO ANTONIO ASSAD DE SOUZA DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE. APROADA POR: PLÍNIO RICARDO GANIME ALES DOUTOR ENE/UnB ORIENTADOR CÁSSIO GONÇALES DO REGO DOUTOR UFMG/MG EXAMINADOR EXTERNO LEONARDO R.A.X. DE MENEZES EXAMINADOR INTERNO BRASÍLIA/DF DE JUNHO DE 6

3 FICHA CATALOGRÁFICA SOUZA JOÃO ANTONIO ASSAD DE Mat de Lnha de Tansmssão Tdmensonal SCN Contbução ao Desenvolvmento de Feamentas Computaconas paa Campos Eletomagnétcos Elaboação e Testes paa os Códgos SCN-TD e SCN-FD Xp. 97 mm ENE/FT/Unb Meste Engenhaa Elétca 6. Dssetação de Mestado Unvesdade de Basíla. Faculdade de Tecnologa. Depatamento de Engenhaa Elétca.. Smulação. Métodos Numécos. Mat de Lnha de Tansmssão TLM 4. Dspostvos de Mcoondas 5. Ccutos Eletôncos 6. Lnhas de Tansmssão 7. Eletomagnetsmo REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA SOUZA. J.A.A. 6. Mat de Lnha de Tansmssão Tdmensonal SCN Contbução ao Desenvolvmento de Feamentas Computaconas paa Campos Eletomagnétcos Elaboação e Testes paa os Códgos SCN-TD e SCN-FD. Dssetação de Mestado em Engenhaa Elétca Publcação PPGENE.DM-7ª/99 Depatamento de Engenhaa Elétca Unvesdade de Basíla DF p. CESSÃO DE DIREITOS AUTOR: João Antono Assad de Soua TÍTULO: Mat de Lnha de Tansmssão Tdmensonal SCN Contbução ao Desenvolvmento de Feamentas Computaconas paa Campos Eletomagnétcos Elaboação e Testes paa os Códgos SCN-TD e SCN-FD GRAU: Meste ANO: 6 É concedda à Unvesdade de Basíla pemssão paa epodu cópas desta dssetação de mestado e paa empesta ou vende tas cópas somente paa popóstos acadêmcos e centífcos. O auto eseva outos detos de publcação e nenhuma pate dessa dssetação de mestado pode se epoduda sem autoação po escta do auto. João Antono Assad de Soua QRSW 5 BLOCO B4 AP SUDOESTE Basíla DF - Basl

4 Dedcado à mnha esposa Mase À mnha flha Patíca Aos meus Pas Manoel e ctóa E ao Pofesso Plíno v

5 RESUMO MATRIZ DE LINHA DE TRANSMISSÃO TRIDIMENSIONAL SCN-TD E FD. CONTRIBUIÇÃO AO DESENOLIMENTO DE FERRAMENTAS COMPUTA- CIONAIS PARA CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS O pesente tabalho tata da modelagem de Cavdade Ressonante po Mat de Lnha de Tansmssão TLM usando os concetos de Nó Condensado Smétco SCN nos domínos do tempo TD e da feqüênca FD paa smula o compotamento de campos eletomagnétcos no dspostvo. O tabalho começa com a modelagem do nó SCN que é composto po doe lnhas de tansmssão e doe potas. Estabelece a chamada Mat de Espalhamento que dta as condções de popagação de um snal no nó de acodo com as Equações de Mawell[]. A segu váos nós SCN são conectados paa foma uma malha ou Mat de Lnha de Tansmssão TLM tdmensonal com o objetvo de estuda a tansmssão de um snal de um nó paa o outo no domíno do tempo []. No domíno do tempo há uma condção de estado tansente compeenddo desde a ectação da malha po pulso de tensão em uma antena de entada até a obtenção de pulso de tensão em uma antena de saída. Ente a ectação e a tensão de saída tanscoe ceto númeo de teações ou ntevalos de tempo necessáos paa que todos os nós sejam ectados e pulsos na antena de saída sejam sgnfcatvos. Estabelecdo o mecansmo de popagação do pulso uma cavdade essonante é modelada po TLM SCN no domíno do tempo e um algotmo é desenvolvdo paa calcula as feqüêncas de essonânca da cavdade. O algoítmo é mplementado em lnguagem FORTRAN e o esultado é compaado com o obtdo po cálculo lteal. Após os esultados obtdos no domíno do tempo o tabalho passa a enfoca TLM SCN no domíno da feqüênca [4]. A Mat de Espalhamento e a Coneão ente os nós ocoem de manea semelhante ao do domíno do tempo poém as tensões na malha estão em egme de estado pemanente. Potanto no domíno da feqüênca as tensões já estão estabelecdas em todas as potas de todos os nós da malha e não há mas consdeações de tempo e sm de espaço. Em conseqüênca equações que elaconam as tensões fontes ectação com as tensões ncdentes nos nós são obtdas em consonânca com as Equações de Mawell paa o egme pemanente. O sstema de equações é posteomente escto na foma matcal e um algotmo computaconal é desenvolvdo v

6 paa calcula as tensões em cada nó. A solução do sstema de equações é obtda pelos Métodos de Jacob e do Gadente Conjugado. Uma compaação de velocdade de convegênca ente os dos métodos é ealada. Os esultados obtdos paa uma cavdade essonante peenchda com mateal delétco com um alto ε são mostados em gáfcos. Po fm um comentáo sobe os esultados é ealado e são apesentadas sugestões paa tabalhos futuos. v

7 ABSTRACT THREE-DIMENSIONAL TRANSMISSION LINE MATRIX SCN-TD AND FD. A CONTRIBUTION TO THE DEELOPMENT OF COMPUTATIONAL TOOLS FOR ELECTROMAGNETIC FIELDS. Ths wok efes to the Tansmsson Lne Mat TLM modelng method b usng concepts of Smmetcal Condensed Node SCN n the Tme Doman TD and n the Fequenc Doman FD to smulate electomagnetc felds n the devce. The wok begns b modelng the SCN node whch s composed of twelve tansmsson lnes and twelve pots. It establshes the so called Scatteng Mat whch defnes the condtons of sgnal popagaton nto the node and accodng to the Mawell Equatons []. Followng that seveal SCN nodes ae all connected to ceate a net o a thee-dmensonal Tansmsson Lne Mat TLM wth the pupose of studng the popagaton of the sgnal fom node to node n the tme doman []. In the tme doman thee s a tansent state condton statng the ectaton of the net b a pulse of voltage n the nput antenna up to the acquston of pulses n the output antenna. Unde such condtons a cetan amount of teatons o tme fames must be pefomed untl the full ectaton of the complete set of nodes and the acquston of sgnfcant pulses at the output antenna. Once establshed the pulse popagaton mechansm a esonant cavt s modeled b TLM SCN n the tme doman and an algothm s developed to calculate the fequences of the esonant cavt. The algothm s mplemented n FORTRAN and ts esult s compaed wth the one obtaned va lteal calculus. Afte that the analss s moved to the TLM-SCN n the fequenc doman [456]. The Scatteng Mat and the Connecton among nodes occu n a smla wa as n the tme doman howeve the voltages n the net ae n pemanent stead state condton. Theefoe n the fequenc doman the voltages ae all establshed n all pots of all nodes n the net and thee ae onl consdeatons fo space nstead of tme. Consequentl the equatons ceatng elatonshps between the souce voltages ectatons and the ncdent voltages n the nodes ae all calculated accodng to the Mawell Equatons fo the stead state. Afte that a sstem of equatons s wtten n a mat shape and a compute algothm s developed to calculate the voltages n each node whch s the soluton of the sstem. The soluton of the sstem of equatons s obtaned va the Jacob and the Conjugated Gadent Methods. A v

8 compason of the speed of convegence between the two methods s pefomed. The esults fo a esonant cavt flled wth hgh ε delectc mateal ae hghlghted n gaphcs. Fnall an analss of esults and suggestons fo futue TLM SCN eseaches ae pesented. v

9 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... REISÃO DA LITERATURA...4 O NÓ SCN PROPRIEDADES DE ESPALHAMENTO.... MATRIZ ESPALHAMENTO.... PROPAGAÇÃO EM UMA MALHA SCN REGULAR CONCLUSÃO IMPLEMENTAÇÃO DE UM CÓDIGO SCN ANTENAS DE ENTRADA E DE SAÍDA EXCITAÇÃO DA MALHA PROPAGAÇÃO DAS TENSÕES NO NÓ PROPAGAÇÃO PARA OS NÓS IZINHOS LÓGICA COMPUTACIONAL RESULTADOS OBTIDOS CONCLUSÃO NÓ SIMÉTRICO CONDENSADO NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA IDENTIFICAÇÃO DOS NÓS PROPAGAÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA OBTENÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES CONCLUSÃO IMPLEMENTAÇÃO DE UM CÓDIGO SCN FD ALGORITMO DE JACOBI O MÉTODO DO GRADIENTE-CONJUGADO O MÉTODO DO GRADIENTE CONJUGADO EM EQUAÇÕES NOR- MAIS CÁLCULO DE PARÂMETROS DE UMA CAIDADE RESSONANTE...5

10 6.4. Resultados obtdos MÉTODO DO GRADIENTE CONJUGADO PARA EQUAÇÕES NOR- MAIS Obtenção da Mat Hemtana da Mat A Fluogama CGNE mplementado Resultados Obtdos CONCLUSÃO APLICAÇÃO À UM PROBLEMA PRÁTICO E RESULTADOS INTRODUÇÃO CIRCUITOS DE RF EOLUÇÃO DA MINIATURIZAÇÃO OBTENÇÃO DO COMPORTAMENTO ESPACIAL DO CAMPO ELÉ- TRICO PÓS-PROCESSAMENTO NO SCN-FD CONCLUSÃO CONCLUSÕES...6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...64 APÊNDICES A REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DE MALHA SCN COM 6 SEIS NÓS...68 B ALGORITMO DO SCN NO DOMÍNIO DO TEMPO...69 C CONJUNTO DE EQUAÇÕES...76 D COEFICIENTES DAS EQUAÇÕES DO APÊNDICE C...8 E MATRIZ A...8 F ALGORITMO OBTENÇÃO DOS ELEMENTOS DA MATRIZ A...8 G TESTE DO ALGORITMO DE JACOBI...84 H TESTE DO ALGORITMO GRADIENTE CONJUGADO...87 I TESTE DO ALGORITMO CGNE...9 J ALGORITMO JACOBI CAIDADE RESSONANTE...97 L ARQUIO DE ENTRADA DO PROGRAMA SCN FD...99 M ARQUIO INTERMEDIÁRIO GERADO PELO PROGRAMA INDICATI-

11 O DA FORMAÇÃO DA MALHA SCN FD... N MATRIZ HERMITIANA... O ALGORITMO OBTENÇÃO HERMITIANA... P ALGORITMO CGNE...

12 LISTA DE TABELAS Tabela. Coneões ente as potas de nós vnhos. Tabela. - Tabela mat de espalhamento. Tabela 6. - Resultado essoado celula mat dstânca /5 de λ g / Tabela 6. - Resultado essoado celula mat dstânca /4 de λ g / Tabela 6. - Resultado essoado celula mat dstânca / de λ g /

13 LISTA DE FIGURAS Fgua. Ilustação gáfca do nó SCN com as suas doe potes Fgua. Lnhas de Tansmssão no plano XY Fgua. Lnhas de Tansmssão no plano YZ Fgua.4 Lnhas de Tansmssão no plano XZ Fgua.5 Conjunto de cubos epesentando nós SCN Fgua 4. Poblema aplcatvo Fgua 4.4. Resultados Obtdos Fgua 4.4. Resultados Obtdos Fgua 4.4. Resultados Obtdos Fgua 5. Dos nós vnhos da malha Fgua 5. Numeação dos nós Fgua 5. Malha com ses nós Fgua 7. Dagama de Bloco de um Tanscepto Supehetodno Fgua 7. Dagama de Bloco de um Tanscepto de Convesão Deta Fgua 7. - Dagama de Bloco do Tanscepto de Convesão Deta Offset Fgua 7.4 Evolução da mnatuação dos fltos delétcos e antenas dupleadoas Fgua 7.5 Resultado obtdo pelo método CGNE Fgua 7.6 Resultado obtdo pelo método CGNE Fgua 7.7 Resultado obtdo pelo Jacob Fgua 7.8 Resultado obtdo pelo Jacob Fgua 7.9 Resultados obtdos pelo Jacob Fgua 7. Resultados obtdos pelo CGNE APÊNDICE A Repesentação esquemátca de malha SCN com 6 ses malhas

14 INTRODUÇÃO Devdo à necessdade de analsa poblemas compleos em dfeentes áeas do sabe humano os centstas buscam substtu a fomulação contínua po modelo dsceto. O objetvo é obte solução de poblemas po uso de ecusos computaconas que de outa foma tona-se-a tabalhosa dfícl e até mesmo mpossível. Na áea de engenhaa elétca nos depaamos constantemente com poblemas deste tpo e a busca po modelos dscetos que pemtam o uso de ecusos computaconas em mutos casos tona-se desejável mpotante e até mesmo vtal. Especfcamente no caso de popagação de ondas eletomagnétcas foam desenvolvdos métodos numécos paa se obte soluções computaconas às equações de Mawell e de popagação de ondas eletomagnétcas. Dente eles podemos cta o Método dos Elementos Fntos Fnte Element Methods - FEM o Método da Dfeença Fnta no Domíno do Tempo Fnte- Dffeence Tme-Doman FDTD e a Mat de Lnha de Tansmssão Tansmsson Lne Mat - TLM. TLM é um método numéco utlado paa o cálculo da ntensdade de campos elétcos e magnétcos em dspostvos de mcoondas e componentes eletôncos. Os métodos ctados usam as equações de Mawell na foma domíno do tempo ou na foma hamônca o conceto de hamôncos não é aplcável em estados tansentes. O método FEM utla as equações de Mawell hamôncas no tempo mplcando que o método fca confnado à sstemas lneaes. Os métodos FDTD e TLM são baseados nas equações de Mawell no domíno do tempo. No domíno do tempo os componentes E e H são os campos tansentes que são função do tempo e po causa dsso elementos não lneaes e delétcos podem se ncopoados em ambos os métodos que são gualmente vesátes. Posteomente o método TLM fo desenvolvdo também paa o domíno da feqüênca. A Mat de Lnhas de Tansmssão fundamenta-se nas equações de Mawell a pat das quas são obtdos os modelos que dão ogem ao método. Em TLM o poblema do campo é tansfomado em um poblema de malha de lnhas de tansmssão nteconectadas. Paa o método FDTD a solução apomada paa o poblema do campo é obtda aplcando-se opeadoes de dfeença fnta às equações de Mawell no domíno do tempo sem te que convete o poblema paa outa foma. A pesqusa que ealamos fo motvada po nteesse do Depatamento de Engenhaa Elétca em desenvolve feamentas de método numéco destnadas a seem utladas paa a ealação de cálculos e smulações de ntensdade de deção e de fase de campos elétcos e

15 magnétcos em dspostvos de mcoondas e componentes eletôncos ou anda seem aplcadas onde houve a necessdade de estma a ntensdade de tas campos em stuações nas quas o método possa se aplcado. Incamos as nvestgações tabalhando o método no domíno do tempo com o desenvolvmento de softwae e estudos de caso e vefcando as lmtações e a necessdade do uso do método. Obsevamos anda a necessdade de nvestgamos a modelagem em Mat de Lnhas de Tansmssão no Domíno da Feqüênca Tansmsson Lne Mat Fequenc Doman TLM/FD também com o desenvolvmento de softwaes e estudos de casos. A nvestgação tem po objetvo estabelece os pncípos que noteam o método no domíno da feqüênca e desenvolve algotmos paa o cálculo de campos elétcos e magnétcos em dspostvos eletôncos e de mcoondas. Além dsso vsa dvulga o tema nos meos acadêmcos e despeta o nteesse pelo assunto nesta nsttução de ensno e possegu as nvestgações em outas áeas do conhecmento humano. O modelo TLM faclta a análse em poblemas de enega elétca devdo ao uso de ecusos computaconas. O objetvo desta dssetação é smula as condções de popagação de ondas eletomagnétcas em essoado do tpo usado em ccuto de sntona de telefone celula. No caso do celula há um compomsso com o tamanho do essoado que ege a obtenção do padão do campo e a escolha de paâmetos caacteístcos do essoado. As pncpas contbuções deste tabalho são pemt a análse de essoadoes com geometa lve pemt a análse de essoadoes não-homogêneos e nclu as pedas na análse de essoadoes. São elaboados algotmos e softwaes nos domínos do tempo e da feqüênca esctos em lnguagem FORTRAN paa platafoma Wndows. No domíno do tempo obtemos as feqüêncas de essonânca paa os dvesos modos TE TM e TEM enquanto que no domíno da feqüênca obtemos os valoes de campo paa uma únca feqüênca. Paa uma análse em ampla faa de feqüêncas necesstamos eecuta a otna de cálculo tantas vees quantas foem as quantdades de feqüêncas que queemos analsa. A técnca no domíno do tempo é adequada paa a smulação do compotamento de tansente em tês dmensões. Entetanto em alguns casos o modelado necessta soluções em estado pemanente senodal e a técnca de TLM-TD pode tona-se nefcente em todos os tansentes calculados. O método TLM TD necessta que os pulsos que se espalham ao longo das lnhas de tansmssão sejam snconados. Conseqüentemente paa vaa localmente as caacteístcas elétcas e gadea a densdade da malha estubes devem se conectados ao nó que tem o efeto de altea a dspesão na

16 mat. Se os tamanhos das células foem dfeentes a técnca pode eg um pequeno ntevalo de tempo paa establa e um númeo muto gande de teações no tempo paa que o estado pemanente seja alcançado. O modelo de FD pemte ao modelado vaa detamente as popedades elétcas e gadea a densdade da malha sem o uso de estubes o que smplfca o uso de ecusos computaconas. O Estudo seá apesentado ao longo de oto capítulos. No capítulo o estado da ate do método é mostado e uma apesentação de tabalhos mpotantes sobe TLM. No capítulo é feta uma apesentação teóca da técnca abodando-se o nó SCN no domíno do tempo seus fundamentos teócos e são acescentados os desenhos e a base teóca estudadas. No capítulo 4 é feta uma mplementação de um códgo SCN no domíno do tempo e sua aplcação à análse de uma cavdade essonante. No capítulo 5 abodamos o nó SCN no domíno da feqüênca enfatando o que se petende com o nó SCN FD e eplcando que este facldade de muda as caacteístcas do meo. No capítulo 6 é abodada a mplementação de um códgo SCN FD com o estudo de caso smples aplcação evdencando dfculdades de mplementação e descevendo o algotmo de Jacob e do algotmo do Gadente-Conjugado CGNE e suas patculadades em elação à mplementação TLM. No capítulo 7 abodamos a aplcação a um esultado pátco e a análse dos esultados obtdos em um essoado. O essoado é do tpo utlado em ccuto de sntona de telefone celula essaltando a questão do tamanho do essoado e os paâmetos caacteístcos do essoado tas como λ g. É feta análse dos esultados obtdos e a evdênca das vantagens de se utla TLM como po eemplo a facldade de tata geometas não convenconas com a possbldade de uso de mateas não homogêneos e consdeação das pedas. No capítulo 8 faemos conclusões e apesentamos poposta de contnudade do tabalho em outas áeas da físca onde estam equações de mesma gafa das de Mawell.

17 - REISÃO DA LITERATURA O modelo de Mat de Lnha de Tansmssão fo desenvolvdo no níco da década de 97 e o atgo de Johns e Beule [7] contém a maoa dos concetos necessáos paa o entendmento do método. Fo utlado pmeo paa a nvestgação de popagação de ondas eletomagnétcas [8] e posteomente paa outos poblemas eletôncos [9]. Tem sdo aplcado a uma ampla vaedade de poblemas de popagação de ondas eletomagnétcas em meos homogêneos e não homogêneos nclundo estudos de compatbldade eletomagnétcas de moto de veículos [] smulação de blndagem de gabnetes ccutos ntegados e a modelagem de lases semcondutoes []. O método TLM tem também sdo aplcado a acústca [] e na modelagem de condutoes ou semcondutoes bem como aplcado no desenvolvmento de um modelo físco de canal conduto de um tanssto MESFET. Ou seja desde a sua modelagem no níco da década de 97 a técnca TLM tem sdo empegada amplamente em cálculo numéco na solução de poblemas no campo do eletomagnetsmo tas como o cálculo da ntensdade da deção e da fase de campos elétcos e magnétcos. O método tem sdo empegado em outas áeas da físca onde equações com a mesma foma das equações de Mawell podem se modeladas de modo semelhante pemtndo o uso de ecusos computaconas po uso de cálculos numécos. Podemos destaca as pncpas contbuções sobe TLM que afetaam detamente o tabalho. Em [] é apesentado o desenvolvmento de um novo nó denomnado Nó Condensado Smétco SCN paa a análse de ondas eletomagnétcas pelo método de análse numéca TLM. Este nó tem a vantagem de concenta os componentes de campo em um ponto no nó e eta a desvantagem da assmeta dos nós condensados estentes. Em [45 6] encontamos a teoa paa o método de solução numéca de poblemas eletomagnétcos em estado pemanente TLM SCN FD. Em [9] são apesentados esultados numécos da aplcação de TLM SCN na pedção de coentes supefcas em uma aeonave F devdo a ncdênca de onda plana. Os esultados estão de acodo com outos métodos e meddas. Em [4 5] encontamos a teoa dos métodos de Jacob e do Gadente Conjugado utlados na solução dos sstemas de equações obtdos a pat da modelagem TLM SCN FD. Em [678] encontamos nfomações elatvas a mnatuação de ccutos de RF e de mateas delétcos de alta pemtvdade. Os demas atgos lstados mostam outos tabalhos mpotantes onde o método TLM é 4

18 aplcado. É vasta a lteatua sobe TLM e a sua aplcação nos amos da cênca onde equações semelhantes em foma às de Mawell podem se encontadas. Em odem de ctação ao longo do teto mostamos os pncpas eventos ocodos desde a elaboação do método de Mat de Lnhas de Tansmssão. [] P.B.Johns "New smmetcal condensed node fo thee-dmensonal soluton of electomagnetc-wave poblems b TLM" Elctonc Lettes [] P. B. Johns "A smmetcal condensed node fo the TLM method" IEEE Tans. MTT 987 ol. 5 No. 4 pp [] D.P. Johns A. J. Wlodack A. Mallk and C.Chstopoulos New TLM Technque fo Stead-State Feld Solutons n Thee Dmensons Electoncs Lettes ol 8 n 8 August 99 [4] Davd Johns Chstos Chstopoulos A New Fequenc-Doman TLM Method fo the Numecal Soluton of Stead-State Electomagnetc Poblems Mach 99 [5] Davd Johns Chstos Chstopoulos A New Fequenc-Doman TLM Method fo the Numecal Soluton of Stead-State Electomagnetc Poblems IEE Poc.-Sc. Meas. Technol. ol 4 N 4 Jul 994 [6] Hang Jn The Fequenc-Doman Tansmsson Lne Mat Method A New Concept IEEE Tansactons on Mcowave Theo and Technques ol 4 N DECEMBER 99 [7] P.B. Johns R.L. Beule "Numecal Soluton of -Dmensonal Scatteng Poblems Usng a Tanmsson-Lne Mat" Poc. IEE Sept 97 [8] S. Akhtaad P.B. Johns "The Soluton of Mawell's Equatons n Space Dmensons and Tme b the TLM Method of Numecal Analss" Poc. IEE ol. 975 pp 44-8 [9] R. Allen A. MAllk P.B.Johns "Numecal Results fo the Smmetcal Condensed TLM Node" IEEE Tansactons ol. MTT-5 No. 4 Apl 987 [] C. Chstopoulos P.B. Johns A. Mallk P. Nalo "The Use of Numecal Modellng Technques fo EMC studes n ehcles" 6th Int. Conf. Automotve Electoncs 987 [] A.J. Lowe "New Dnamc Semconducto Lase ModelBased on the Tansmssonlne Modeelng Method" Poc. IEE ol. 4 Pat J No. 5 Oct 987 pp

19 [] E.A. Ome P.B. Johns J.M. Anold "A hbd modellng technque fo undewate acoustc scatteng" Int.Jou.Numecal methods Eng Elcton Dev Netwoks Felds ol. 988 pp 89-6 [] S.C. Pomeo H.R. Wllams P. Blanchfled "Evaluaton of ultasonc nspecton and magng sstems fo obotcs usng TLM modellng" Robotca olume 9 pp [4] Gene H. Golub Chales F. an Loan Mat Computatons. The Johns Hopkns Unvest Pess. Baltmoe and London ª Edção 996. [5] Jonathan Rchad Shewchuk An Intoduton to the Conjugate Gadent Method Wthout the Agonng Pan School of Compute Scence Conege Mellon Unvest Pttsbug. [6] Tou Yamada Tosho Ishak and Makoto Sakakua Mnatuaton Technolog of RF Devces fo Moble Communcatons [7] Cente fo Delectc Studes Hgh Pemttvt Low Loss Delectc Mateals fo Mcowave Applcatons Octobe [8] Cente fo Delectc Studes Slve Tantalum Nobate Tunable Thn Flms Octobe [9] C. Chstopoulos The Tansmsson-Lne Modelng Method IEEE Inc Ofod Unvest Pess Chapte [] W.J.R. Hoefe The Tansmsson-lne Mat Method Theo and Applcatons IEEE Tans. Mcowave Theo Tech. ol MTT- pp Octube 985. [] K.S.Yee Numecal Soluton of Intal Bounda alue Poblems Involvng Mawell s Equatons n Isotopc Meda IEEE Tans Antennas Popagat. ol AP-4 N pp. -7 Ma 996. []. Tenkc C. Chstopoulos and T. M. Benson "Theo of the smmetcal supecondensed node fo the TLM method" IEEE Tans. MTT 995 ol. 4 No. 6. []. Tenkc C. Chstopoulos and T. M. Benson "Effcent computaton algothms fo TLM" st Intenatonal TLM Wokshop - August 995 ctoa B. C. Canada pp [4] J. L. Heng and C. Chstopoulos "The use of gaded and multgd technques n tansmsson-lne modellng" nd Intenatonal Confeence on Computaton n Electomagnetcs -4 Apl 994 Nottngham UK IEE Conf. Publ. 84 pp

20 [5]. Tenkc C. Chstopoulos and T. M. Benson "New developments n the numecal smulaton of RF and mcowave ccuts usng the TLM method" st Confeence n Moden Satellte and Cable Sstems TELSIKS Ns Yugoslava Oct. 99 pp [6] J. L. Heng and C. Chstopoulos "The applcaton of dffeent meshng technques to EMC poblems" Poc. 9th Annual Revew of Pogess n Appled Computatonal Electomagnetcs ACES -6 Mach 99 Montee CA USA pp [7] P. Nalo and R. A. Desa "New thee dmensonal smmetcal condensed loss node fo soluton of electomagnetc wave poblems b TLM" Electoncs Lettes 99 ol. 6 pp [8] F. J. Geman G. K. Gothad and L. S. Rggs "Modellng of mateals wth electc and magnetc losses wth the smmetcal condensed TLM method" Electoncs Lettes 99 ol. 6 pp 7-8. [9] P. Nalo and R. At-Sad "Smple method fo detemnng -D TLM nodal scatteng n nonscala poblems" Electoncs Lettes 99 ol. 8 pp [] R. A. Scaamua and A. J. Lowe "Hbd smmetcal condensed node fo TLM method" Electoncs Lettes 99 ol. 6 pp [] W.J.R. Hoefe "The Tansmsson Lne Mat TLM Method" Numecal Technques fo Mcowave & Mllmete-wave passve stuctues" Ed. T. Itoh Ch 8 Pages Wle New Yok 989 [] P.B. Johns "The at of modellng" Elctoncs and Powe

21 O NÓ SCN A mat de lnhas de tansmssão paa a modelagem de ondas eletomagnétcas tdmensonas fo desenvolvda pela nteconeão de dos nós b-dmensonas paalelos e sées [8]. Este um etado de meo ntevalo de tempo ente esses nós e po esta aão a ede é denomnada ede de nó epanddo. A ede em nó epanddo fo usada po mutos anos paa uma vaedade de aplcações [9]; é smla ao método de dfeença fnta poposto po Yee. A vantagem numéca do TLM sobe o método de Yee [] que aboda dfeenças fntas no domíno do tempo po eemplo é que tês dos ses componentes de campo estão dsponíves em cada nó ao nvés de um assm tonando a delmtação da fontea mas pecsa e pestando mas nfomação em cada nó. Também TLM é um método de um passo enquanto a otna de dfeença fnta é um método de dos passos. Concetualmente TLM tem a vantagem de se um modelo físco com uma solução computaconal eata. O nó condensado smétco SCN não necessta de estubes paa vaa as suas popedades elétcas e está mostado na Fg Fgua. Ilustação gáfca do Nó SCN com as suas potas 8

22 As fguas.. e.4 são a epesentação no plano da fgua.. A déa de lnhas de tansmssão de dos condutoes é pesevada e estes são mostados po convenênca nas lateas do que podemos magna como dutos de seções quadadas fetos de mateal so- Fgua. Lnhas de Tansmssão no plano XY Fgua. Lnhas de Tansmssão no plano YZ Fgua.4 Lnhas de Tansmssão no plano XZ lante. A topologa da ede é smplesmente uma malha catesana tdmensonal com duas lnhas coespondendo a duas polaações em cada baço. As fguas.. e.4 epesentam lnhas de dos condutoes dspostas espectvamente nos planos XY YZ e XZ. São mostadas desta foma paa faclta a vsualação das lnhas de tansmssão e dos 9

23 mecansmos de popagação dos pulsos de tensão nas lnhas e espectvas potas. As lnhas fomam um nó condensado smétco sem estubes. É uma estutua que petende combna a melho caacteístca e mnma as desvantagens dos nós epanddos e condensados assmétcos. Essa estutua fo descta pmeamente po Johns em 986 [] e é mostado na fgua.. Consste de doe potas paa epesenta duas polaações em cada deção de coodenada. Os pulsos de tensão coespondendo a duas polaações são condudos nos paes de lnhas de tansmssão mostados esquematcamente na lnha chea. As duas lnhas tas como as 8 e 9 que no nó epanddo são sepaadas no espaço não acoplam detamente com cada outa lnha. Este nó é denomnado Nó Smétco Condensado SCN.. PROPRIEDADES DE ESPALHAMENTO A topologa do SCN mostada na fgua. não pemte um tatamento usando os ccutos equvalentes de Thévenn. Ao nvés dsso as popedades de espalhamento são obtdas dos pncípos de consevação de enega e caga. O nó pode se vsualado quando juntamos as tês estutuas mostadas nas fguas.. e.4 cada uma epesentando lnhas nos tês planos coodenados XY YZ e XZ espectvamente. As lnhas de tansmssão dos planos XY YZ e XZ não se lgam detamente po contato ao nvés dsso o acoplamento é feto eletomagnetcamente. A mat de espalhamento [S] que elacona as tensões efletdas [ ] às tensões ncdentes [ ] é uma mat. Qualque pulso ncdente em uma pota pode em geal acopla a todas as outas potas. Assm a pmea taefa é descob quas os camnhos onde são possíves acoplamentos e estabelece uma analoga ente ccuto e quantdades de campo. Os elementos da mat de espalhamento seão então calculados. amos consdea um pulso de tensão ncdente na pota um do SCN. Uma ve que este pulso está na deção é assocado com coente I como mostado na fgua. está também assocado com de Mawell que elaconam E e H são E e desde que contbu paa a H. As equações H H E ε. t

24 E E H µ.. t A equação. mplca que em pncípo pode acopla na pota sto é efletda nas potas e 9 uma ve que estão assocados com E e H e pota assocada com E e H. Smlamente a equação. mplca que além dsso deve acopla às potas e uma ve que são assocados com E e H. Uma abodagem mas ntutva pode se adotada estabelecendo este acoplamento como mostam as fguas. e.4. Seja o pulso ncdente na pota gual a um volt. Então uma quantdade a pode se efletda e uma quantdade b pode se acoplada as potas e 9 como mostado. A smeta mpõe que as potas e 9 acoplem de modo dêntco a pota. De foma smla uma quantdade c á popaga detamente atavés da junção paa acopla a pota. O veto campo pode sofe otação quando enconta a junção paa acopla na pota d e pota -d. O snal menos é devdo à poladade do pulso que acopla a pota. Os elementos da pmea coluna da mat de espalhamento são dentfcados agoa. Este pocedmento pode se aplcado a todas as potas paa dentfca todos os elementos não nulos. Paa achamos a Mat Espalhamento S completa mostamos as lnhas de tansmssão nos planos XY YZ e XZ. A Mat de Lnha de Tansmssão TLM é modelada a pat das equações de Mawell no modo dfeencal. Da equação. e das fguas.. e.4 obsevamos de E/ E que a componente do campo E se popaga na deção. Obsevamos também da pacela E/ que o campo E se popaga na deção E. Da pacela H/ obsevamos que H se popaga na deção e assm po dante. Analsando as equações acma vefcamos da equação. que a componente H do campo H se popaga na deção ou seja paa as potas e a componente H se popaga na deção paa as potas e 9; o campo E apaece nas potas e 9. Da equação. E se popaga na deção paa as potas e E se popaga na deção paa as potas e e da pacela H/ t a componente H apaece nas potas e assm po dante. As fguas.. e.4 lustam como ocoe a popagação das ondas no conjunto de lnhas de tansmssão no modelo TLM. Suponha que um pulso de tensão de ampltude untáa é ncdente na pota da estutua da Fgua.. O pulso segue um cuso paa a junção e tem assocado a ele as componentes de campo E e H. A equação. envolve o acoplamento ente esses dos

25 campos. Esta equação ege que o pulso ncdente na pota espalhe paa as potas 9 e uma ve que E e H estão também assocados com a pota na lnha de deção e E e H estão assocados com as potas e 9 nas lnhas de deção. Sejam espectvamente a e c as ampltudes dos pulsos espalhados nas potas e. Se este um nó smétco então os pulsos espalhados paa as potas e 9 devem se guas e a vaável b é assnalada paa sso. A outa equação de Mawell equação. envolve E e H. Isto sgnfca que os pulsos são também espalhados nas potas e e se este o nó smétco estes seão guas e de snas opostos. A vaável d é assnalada paa o pulso espalhado paa a pota e d paa o pulso entando na pota. Se o mesmo pocedmento é aplcado paa todas as potas então a mat de espalhamento S pode se escta como a d b d b c d a b b c d a d b c b d b d a d c b b a d d c b b d a b c d c d b a b d b d c b a d b c d d a b d c b b a d b d c d a b c d b d b a S. e o poblema agoa é detemna os valoes a b c e d.. MATRIZ ESPALHAMENTO amos epesenta o nó como um bloco paalelepípedo do espaço de dmensões u v e w e seja C a capactânca total assocada com as lnhas de tansmssão 9 e onde u wv C ε..4 Sejam os campos assocados com essas lnhas

26 E u.5 I H v.6 H I..7 w onde é um pulso de tensão atavés da lnha de tansmssão na deção. I e I são as coentes que cculam nas lnhas de tansmssão nas deções e espectvamente e são coentes de malha ou coentes comum. Sejam I I I9 e I as coentes que entam nas potas 9 e espectvamente. Então a foma dsceta de. tona-se I I wv I + + I + 9 wv C u.8 wv t u sto é I + I + I 9 + I C..9 t A equação.8 ndca que a únca coente que enta nas quato potas deve ocoe devdo a taa de mudança da tensão atavés da capactânca das lnhas de tansmssão e não deve have peda de coente no nó. A mat de espalhamento podea se epessa em temos de tensão coentes quantdade de campos ou uma combnação destas. Hstocamente a tensão tem sdo usada e é convenente contnua com esta convenção. Assm em temos de pulsos de tensão nas lnhas de lgação de gual mpedânca caacteístca a consevação de coente no nó ege que a b + c.. Refendo novamente as fguas.. e.4 a ndutânca assocada com as lnhas de tansmssão e é L onde

27 uv L µ. w e os campos assocados são E u. E v. e I H w..4 Aqu I é coente de malha ou coente comum assocada com as quato lnhas de tansmssão confome mosta a fgua.. Obseve que o método de solução da estutua de lnha de tansmssão usa pulsos sto gea coentes em cada um dos dos condutoes ndvduas de cada lnha de tansmssão. As coentes são de mesma ntensdade mas de sentdos opostos o que fa com que a coente de malha seja nula. Sejam e as tensões atavés das potas e espectvamente. Então a foma dsceta de é uv uv L w uv t I w..5 Isto é I A + L.6 t A equação.6 ndca que a únca peda de tensão atavés das quato potas deve se devdo a vaação da mudança da coente na ndutânca das lnhas de tansmssão e não deve have pedas de tensão no nó. Então + a d + c..7 4

28 Paa popagação de ondas lve de pedas o nó deve conseva enega sob todas as combnações de pulsos ncdentes de ectação e sto condu a egênca de que a mat de espalhamento deve se untáa sto é [S] T [S] [I].8 Assm S nts ns ts.9 e S nsns t s. as quas dão as seguntes equações a + b + c + d. ab + bc. ad cd. ac + b d..4 É nteessante descob que as equações de. a.4 levam a uma solução e esta solução também satsfa as equações de.9 a. que é a ; c ; b ; d. A mat espalhamento tona-se 5

29 6 ` ] [S.5 que é um esultado smples e satsfatóo.. - PROPAGAÇÃO EM UMA MALHA SCN REGULAR Seja nv nó pv p.6 onde é ncdente p é pota nó é nó de efeênca é efletda pv é a pota do nó vnho adjacente à pota p do nó de efeênca. Seja o espalhamento defndo po ] ][ [ ] [ nv S nv pv mn p.7 onde S é uma mat com elementos S mn na m-ésma lnha e n-ésma coluna. amos consdea um sstema efeencal de coodenadas. amos consdea a popagação de uma onda plana na deção com o campo elétco polaado na deção. Isto ege a ectação da pota em todos os nós no plano YZ. A fgua.5 mosta um gupo de nós SCN epesentados po cubos. Foam epesentados 7 sete cubos sendo um cental e 6 ses adjacentes denomnados de

30 nós vnhos que se conectam com o nó cental po suas potas. A tabela. mosta a coneão das potas. A pota se conecta com a pota a pota 9 se conecta com a pota Tabela. Coneões ente as potas de nós vnhos Eo Pota P. Y Z 9 X Z 4 8 Y 5 7 X 6 e assm po dante. ê-se claamente tas coneões de potas na fgua.5. Ectando-se somente a pota em cada um destes nós nó onde k é o númeo de teações k teemos pulsos popagados confome a mat de espalhamento da tabela.. Tabela. Tabela mat de espalhamento P P P P4 P5 P6 P7 P8 P9 P P P P - P - P - P4 - P5 - S.5 P6 - P7 - P8 - P9 - P - P - P - Daí nó k 4 nó k 8 nó k nó k 5..8 Todos os outos pulsos espalhados seão nulos como pode se faclmente confmado a pat da mat de espalhamento. Isto sgnfca que nenhuma enega é efletda de volta 7

31 nó k e nenhuma enega é tansmtda nó k nó k. No pómo ntevalo de tempo as tensões ncdentes no nó de coodenadas estaão chegando dos nós vnhos. A pota do nó de coodenadas ecebeá o pulso efletdo da pota do nó de coodenadas - no passo anteo confome a mat de coneão de pota da tabela.. k + k k + 8 k 5. 8 k + 4 k + 5. k + k Todas as outas tensões ncdentes no nó no níco da teação k+ são nulas. Todas as tensões efletdas em cada pota do nó podem então se obtdas faclmente a pat da mat de espalhamento S e são todas nulas eceto paa k + que é gual a. Então a onda se popaga sem dspesão e leva duas teações paa cob a dstânca l. A escolha da dscetação do espaço e do tempo devem se tal que: l u. t onde u é a velocdade de popagação do meo. A fgua.5 lusta um conjunto de nós epesentados po cubos onde estão epesentados somente 7 sete nós: o nó cental de coodenadas e os que lhes são adjacentes paa faclta a vsualação da popagação das tensões na malha SCN egula. 8

32 Uma das vantagens do TLM é que o coação do algotmo é muto deto. Cada teação pode se dvdda em dos pocessos: espalha e conecta. Duante o espalhamento pulsos ncdentes no nó são espalhados paa podu um novo conjunto de pulsos de tensões de saída. Duante a coneão pulsos de tensão são tansfedos paa nós adjacentes. É possível combná-los mas é mas smples consdeá-los sepaadamente. Fg.5 Conjunto de cubos epesentando nós SCN.4 CONCLUSÃO A modelagem po Mat de Lnha de Tansmssão TLM fonece um modelo concetual que podu uma técnca numéca no domíno do tempo paa a solução de ccutos e campos. Campos eletomagnétcos são modelados a pat das equações de Mawell peenchendo-se o espaço do campo com uma ede de lnhas de tansmssão. Este 9

33 pocedmento podu o poblema dsceto no tempo e no espaço desde que os pulsos lançados na ede se espalhem de ponto paa ponto no espaço em ntevalos de tempo fos. As duas polaações em qualque deção de popagação são condudas sobe dos paes de lnhas de tansmssão que não se acoplam uma com a outa po contato. Essas duas lnhas de tansmssão são totalmente sepaadas no espaço. As lnhas de tansmssão têm a mesma mpedânca caacteístca do espaço lve Zo. Essas lnhas unem a malha Catesana de nós e são denomnadas lnhas de tansmssão de lgação. Doe pulsos nas lnhas de tansmssão de lgação ncdentes no nó poduem espalhamento em doe pulsos efletdos. Os pulsos ncdentes e efletdos apaecem nos temnas das lnhas de tansmssão nas potas que são numeadas e oentadas de acodo com as tensões mostadas nas fguas... e.4. Os nós são conectados po suas potas confome mosta esquematcamente a fgua.5. As tensões efletdas nas potas do nó tonam-se tensões ncdentes na pota que lhe é vnha no nó vnho. Novamente a tensão ncdente se popaga agoa no nó vnho confome estabelece a Mat de Espalhamento. O cclo se epete po númeas teações e desta foma o pulso se popaga pela malha.

34 4 IMPLEMENTAÇÃO DE UM CÓDIGO SCN Neste capítulo vamos fae uma análse da cavdade essonante usando o método TLM. A cavdade essonante seá um gua etangula de compmento 4 mm altua mm e lagua mm. A fgua 4. lusta o gua modelado po TLM SCN Dmensões do gua etangula compmento: 4 mm altua: mm lagua: mm TLM - TD e FD 4. Poblema aplcatvo amos acha a feqüênca de essonânca paa o modo TE. A feqüênca a se encontada deveá se de 66 GH. Os dados encontam-se desctos na fgua 4. que lusta o poblema a se analsado. Paa faclta a elaboação do desenho e a compeensão do poblema os nós foam epesentados po cubos ao nvés da epesentação da fgua.. No sentdo postvo do eo a dmensão do gua fo dvdda em nós no sentdo postvo de a dmensão fo dvdda em nós e no sentdo postvo de em 4 nós. Potanto cada nó tem aesta de mm. Os pulsos se popagam na malha confome os eos e. Obsevamos no desenho da fgua 4. como funconam os mecansmos de popagação na malha. Paa faclta a vsualação do mecansmo de popagação os cubos não foam epesentados mas somente suas potas de foma esquemátca pelas setas vemelhas. As setas foam desenhadas nas paedes paa não enche o desenho. Pode-se magna tas epesentações po todo o espaço do gua. Femos a nossa obsevação

35 pmeamente no eo dos onde vemos dos nós vnhos epesentados po setas obsevamos que as potas e são vnhas às potas e 6 espectvamente ou seja e se conectam as e 6 espectvamente e os pulsos de tensão passam de uma pota paa a outa vnha do cubo vnho. Dento do cubo a popagação ocoe confome a mat de espalhamento. Paa fns ddátcos vamos consdea que cada cubo possu fonteas como o cubo possu ses faces teemos ses fonteas. Cada cubo podeá te fontea com outo cubo com paede elétca com paede magnétca ou com paede casada. No poblema as paedes do gua são elétcas. No sentdo de teemos duas paedes. Da mesma foma faemos as mesmas obsevações nos eos e. 4. ANTENAS DE ENTRADA E DE SAÍDA Nesta seção vamos aboda o conceto de antena de entada e de antena de saída. O nó TLM como vmos anteomente é fomado po lnhas de tansmssão confome lustam as fguas... e.4. Os desenhos são bastante sugestvos assemelhandose as lnhas de tansmssão do nó a antenas dpolo. Ao aplca-se tensão nas potas do nó á sug coente na lnha de tansmssão. A tensão e a coente cculando nas lnhas faão sug campos elétcos e magnétcos que ão se popaga pela malha. O nó se compota como uma antena daí o nome antena de entada e antena de saída. Na antena de entada emos aplca as tensões de ectação da malha e na antena de saída emos coleta as tensões. A antena pode se fomada po um únco nó ou po váos nós. 4. EXCITAÇÃO DA MALHA Paa começamos o nosso estudo vamos consdea a antena de entada consttuída po um únco nó de coodenadas etangulaes. A pat do nó de coodenadas o pulso de tensão á se popaga na malha. Seá necessáa uma quantdade de teações paa que o pulso se popague em toda a malha. A tensão de ectação da malha pode se estabelecda a pat das equações abao.

36 amos consdea o Campo ectado como a componente H do campo H. Logo paa esta polaação as potas ectadas no cento do nó são as potas. confome as equações E 4.. Consdeamos que a ectação ocoe na teação eo. 4. PROPAGAÇÃO DAS TENSÕES NO NÓ. Na teação segunte após a ectação os pulsos se popagam paa as outas potas do nó ndo paa as fonteas do pópo nó na mesma teação confome a mat de espalhamento S. O pulso popaga paa as outas potas confome descto a segu. Devdo a ectação da pota / H Z E + / H Z E / H Z E / 4 H Z E + / 5 H Z E / 6 H Z E + / 7 H Z E + / 8 H Z E / 9 H Z E + / H Z E / H Z E + / H Z E

37 Devdo a ectação da pota Devdo a ectação da pota Devdo a ectação da pota Cada tensão de ectação se subdvdu em quato tensões de ampltudes menoes paa quato bodas do nó po tensão de ectação. A segu ocoe a popagação paa os nós vnhos. 4.4 PROPAGAÇÃO PARA OS NÓS IZINHOS As tensões popagadas efletdas paa as bodas do pópo nó tonam-se na teação segunte ncdentes na boda do nó vnho confome descto a segu. 4

38 Devdo a equação 4. Confome a fgua 4. a pota tem po vnha a pota 9 potanto a pota conecta-se com a pota 9 do nó vnho logo a tensão efletda na pota passa a se a tensão ncdente na pota 9 do nó vnho. Desta foma temos a segunte epessão: 9 k + + k 5 k 4.9 onde k é a teação anteo tempo passado. No nó ocoeam os eventos no tempo passado. A póma teação é a k+ tempo pesente. O nó + é vnho fa fontea ao nó. Mantendo a mesma lnha de acocíno teemos a seqüênca de equações a segu. Devdo a equação 4. k + k 5 k 4. Devdo a equação k + + k 5 k 4. Devdo a equação 4.5 k + + k 5 k 4. Devdo a equação 4.6 k + k 5 k 4. Devdo a equação k + k 5 k 4.4 5

39 6 Devdo a equação k k k Devdo a equação k k k Devdo a equação 4. 5 k k k Devdo a equação k k k Devdo a equação k k k Devdo a equação 4. 5 k k k Devdo a equação k k k Devdo a equação k k k + 4.4

40 7 Devdo a equação k k k Devdo a equação k k k Quando ocoe que a fontea do nó é uma paede elétca magnétca casada a paede pode se consdeada paa fns ddátcos como um espelho. É como se o nó o vsse sua magem efletda no espelho. Ddatcamente podeíamos de que o nó vnho sea a magem do nó consdeado. Desta foma ao enconta uma paede a epessão paa a ncdente na paede a pat da efletda na pota sea a segunte: 5 k k k As tensões desctas pelas equações de 4.8 até 4.44 se popagam da boda do nó vnho até o cento do mesmo nó vnho onde novamente aplcando a mat de espalhamento as tensões são efletdas nas potas do nó popagando-se até a boda do pópo nó. Daí po dante o cclo va se epetndo até a últma teação. Ao temna a últma teação a tensão é colhda no nó de nteesse ou seja na antena de saída. O estudo acma patu da ectação de uma pota. Poém va ocoe que a pat de detemnado númeo de teação outas tensões ão apaece em todas as potas do nó. Po sso podemos esceve as equações de 4.8 a 4.44 em uma foma genéca as quas descevem as potas que contbuem paa a composção das tensões efletdas. ] 5[ ] 5[ ] 5[ [ ] 4.49 As equações de 4.46 a 4.49 ecaem nas equações 4.5 a 4.8 na teação.

41 De foma genéca podemos esceve as equações das efletdas na foma matcal da segunte foma: [ p ] [ S][ p ] 4.5 onde sgnfca efletda p sgnfca pota da efletda sgnfca ncdente e p sgnfca pota da ncdente com p assumndo valoes de até. Po este mecansmo os pulsos de tensão se popagam po toda a malha e após a últma teação são colhdos na antena de saída escolhda. Paa obte os campos elétcos e magnétcos é necessáa a utlação de uma sub-otna FFT Fast Foue Tansfom. A pat das consdeações fetas nos capítulo e 4 podemos estabelece a segunte lógca computaconal paa uma malha SCN no domíno do tempo: 4.5 LÓGICA COMPUTACIONAL Paa uma malha TLM SCN no domíno do tempo podemos estabelece a segunte lógca computaconal. Condções ncas Estabelece eo em todas as potas dos nós. Nas condções ncas estabelecemos a tensão eo em todas as potas dos nós paa evtamos o apaecmento de esultados ndesejáves. Ectação teação eo Este pocesso defne todas as tensões ncdentes na malha no níco da smulação k. Ectamos a malha mpondo tensões em nós convenentes. Espalhamento teação k As tensões efletdas em cada nó são obtdas a pat das tensões ncdentes usando-se a mat de espalhamento. S 4 Coneão teação k+ Obtenção das tensões ncdentes na póma teação em todas as potas e nós do poblema a pat das tensões espalhadas efletdas. Tatamento específco dos nós que são adjacentes à fonteas condutoas casadas ou ccuto abeto. 8

42 5 Obtenção das tensões de espalhamento Com as tensões ncdentes na teação k+ as tensões de espalhamento podem se obtdas em k + a pat da equação S seguda po posteoes etapas de coneões e espalhamentos quantas foem necessáas. No apêndce B descevemos o algotmo mplementado paa o SCN no domíno do tempo tomando po base as consdeações teócas estabelecdas até o momento. Os esultados obtdos estão desctos na póma seção. 4.6 RESULTADOS OBTIDOS No nosso poblema as coodenadas da antena de entada são 9 e 9 e. O códgo fo escto em Lnguagem FORTRAN que oda em platafoma Wndows. Os dados foam obtdos paa dvesas posções da antena de entada e em váas posções da antena de saída. A pat dos dados obtdos foam geados os gáfcos da Fgua e 4.6 usando-se o Ecel. Nos gáfcos podemos ve claamente a feqüênca de essonânca paa o modo TE em 66 GH. Ressalta à vsta que podemos obte feqüêncas de essonânca paa outos modos po nspeção do gáfco sem a necessdade de te que eecuta o pogama paa outas feqüêncas e modos. Na fgua 4.4. temos o gáfco do snal colhdo na antena de saída paa uma cavdade essonante com dmensões mm po mm po 4 mm. A cavdade é peenchda com mateal delétco a. A ectação da malha ocoe no nó de coodenada e e o snal fo colhdo no nó de coodenadas 9 5 e. A feqüênca de essonânca paa o modo TE é de 66 GH. A ampltude do snal na feqüênca de essonânca é pouco supeo a. Os demas pcos que apaecem no gáfco são efeentes às feqüêncas de essonânca paa os outos modos. 9

43 TE 86 GH Taefa Gua 6 Retangula Jul 4 - Gua 4 Ret - 4 Paede Elétca Paede elétca - E5 It - 5 Iteações TE 58 GH E+ E+ E+ 4E+ Entada: ; Saída:9 5 Fgua 4.4. Resultados Obtdos

44 Na fgua 4.4. temos o gáfco do snal colhdo na antena de saída paa uma cavdade essonante com dmensões mm po mm po 4 mm. A cavdade é peenchda com mateal delétco a. A ectação da malha ocoe no nó de coodenada e e o snal fo colhdo no nó de coodenadas 9 5 e A feqüênca de essonânca paa o modo TE é de 66 GH. A ampltude do snal na feqüênca de essonânca está compeendda ente e 5. Os demas pcos que apaecem no gáfco são efeentes às feqüêncas de essonânca paa os outos modos.

45 TE 86 GH Gua Retangula 4 Paede Elétca Taefa 6 Jul 4 - Gua Ret - 4 Paede elétca - E5 Iteações - TE 58 GH E+ E+ E+ 4E+ Entada: ; Saída:9 5 Fgua 4.4. Resultados obtdos

46 Na fgua 4.4. temos o gáfco do snal colhdo na antena de saída paa uma cavdade essonante com dmensões mm po mm po 4 mm. A cavdade é peenchda com mateal delétco a. A ectação da malha ocoe no nó de coodenada e e o snal fo colhdo no nó de coodenadas 9 5 e 7 A feqüênca de essonânca paa o modo TE é de 66 GH. A ampltude do snal na feqüênca de essonânca está póma a. Os demas pcos que apaecem no gáfco são efeentes às feqüêncas de essonânca paa os outos modos. Dos tês gáfcos obsevamos que vaando a antena de saída a ampltude do snal obtdo também vaa.

47 TE 86 GH Gua Taefa Retangula 6 Jul 4-4 Gua Ret - 4 Paede Paede Elétca elétca - E5 It - 5 Iteações TE 58 GH E+ E+ E+ 4E+ Entada: ; Saída:9 57 Fgua 4.4. Resultados Obtdos 4

48 4.8 CONCLUSÃO Neste capítulo modelamos um gua etangula usando TLM SCN no domíno do tempo. Fo estabelecdo o algotmo de popagação de um pulso de tensão desde a ectação da antena de entada até a obtenção das tensões na antena de saída e conseqüentes feqüêncas de essonânca paa dvesos modos do Gua Retangula. Os esultados paa tês antenas de saída fo mostado em gáfcos e concodaam com os obtdos po cálculo lteal paa os modos TE e TE. No pómo capítulo estudaemos o SCN no domíno da feqüênca. 5

49 5 SCN NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA No método do domíno do tempo tabalhamos com a malha em estado tansente. No domíno da feqüênca [456] a malha estaá em estado pemanente. As tensões estaão pesentes em todos os nós. Neste caso supõem-se vaações hamôncas no tempo e potanto somente é necessáa a dscetação no espaço. Em uma lnha de tansmssão temnada po sua mpedânca caacteístca a ampltude da tensão e da coente decescem eponencalmente po um fato e -α e ocoe Fgua 5. Dos nós vnhos da malha também uma defasagem po um fato e -jβ a medda que se afastam da fonte. Onde α é a constante de atenuação e β é a constante de fase. γ α + jβ é a constante de popagação. γ τ j ω µ ε j. 5. ω 6

50 7 No caso da cavdade essonante temos que consdea também as paedes que delmtam a cavdade. Consdeamos as paedes como condutoas deas não havendo potanto pedas na paede. Consdeamos então que ocoe efleão total nas paedes da cavdade essonante. A mat de espalhamento paa o método SCN-FD é obtda segundo-se os mesmos pocedmentos do método SCN-TD. O esultado obtdo paa a mat de espalhamento é dêntco ao SCN-TD. Os acoplamentos possíves podem se obtdos a pat das equações de Mawell da mesma foma como foam obtdos paa o domíno do tempo. Potanto a mat espalhamento assume a foma abao: ` S. 5. Do que vmos podemos afma que o método SCN no domíno da feqüênca pemte a vaação das popedades elétcas do nó sem o uso de estubes bem como vaa a densdade da malha modfcando-se a constante de popagação alteando a constante de fase do nó ou a constante de atenuação se o meo apesenta pedas ou ambas. O espalhamento e a coneão ente as potas ocoem de foma semelhante. Ondas de tensão ncdentes em cada pota são espalhadas paa acopla em outas potas. O pocedmento está descto no atgo da efeênca [9]. Tabalhamos no domíno da feqüênca com um sstema de equações que pode se escto da segunte foma: