Distribuições Discretas. Estatística. 6 - Distribuição de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Discretas UNESP FEG DPD

Transcrição

1 Estatístca 6 - Dstbução de Pobabldade de Vaáves Aleatóas Dscetas 06-1

2 Como ocoe na modelagem de fenômenos detemnístcos em que algumas funções têm papel mpotante tas como: função lnea, quadátca exponencal, tgonométca etc., na modelagem estocástca (não detemnístca) algumas dstbuções de pobabldade sugem feqüentemente: (ente outas) Dstbução Equpovável Dstbução de Benoull Dstbução Bnomal Dstbução de Posson Dstbução Geométca Dstbução de Pascal Dstbução Hpegeométca Dstbução Multnomal V. A. Dsceta Dstbução Unfome Dstbução Exponencal Dstbução Nomal Dstbução Beta Dstbução Log Nomal Dstbução Gama V. A. Contínua 06-2

3 Dstbução Equpovável Todos os possíves valoes da vaável tenham todos a mesma pobabldade. n valoes ( x) PX = = 1 n Paa valoes equespaçados (a dfeença ente os valoes é constante e gual a h) EX () = x 1 + x 2 n 2 2 () X hn ( 1) σ 2 =

4 Dstbução de Benoull Expemento sucesso facasso Paa vaável aleatóa X os possíves esultados são: X = 1 se o esultado fo um sucesso X = 0 se o esultado fo um facasso p: pobabldade de ocoe um sucesso q: pobabldade de não ocoe um sucesso (facasso) P(X) = q = 1-p paa x = 0; p paa x = 1; 0 paa x 0 ou x 1. E(X) = p σ 2 (X) = pq 06-4

5 Dstbução Bnomal Condções do expemento: -te n epetções ndependentes (númeo de epetções/expemento é fxo!!!) - cada epetção tem dstbução sucesso facasso - te pobabldade p de sucesso constante Consdeando-se X: vaável aleatóa Bnomal n: númeo de epetções k: númeo de sucessos 1: sucesso 0: facasso P(X=k): pobabldade de k sucessos em n epetções 06-5

6 Dstbução Bnomal Tem-se 1, 1, 1, 1, 1,...,1 0, 0, 0, 0,...,0 k n-k P = p k.q n-k e também 0, 0, 0, 0,...,0 1, 1, 1, 1, 1,...,1 0, 1, 0, 0,...,0 1, 1, 1, 1, 1,..., obs.: Númeo de odens é a combnação de elementos k a k C nk, n n! = k = kn! k! ( ) 06-6

7 Dstbução Bnomal n P( X = k) = k pq k E (x) = np σ 2 (x) = npq n k Exemplo: Lançamento de 4 moedas vcadas. Pobabldade de sa caa (k) é 0,8. Deseja-se calcula a pobabldade de sa 2 caas (k) e 2 cooas (c). 1 modo: cccc ccck cckk kkkc kkkk cckc ckck kkck ckcc kcck kckk S = kccc kkcc ckkk kckc ckkc 06-7

8 Dstbução Bnomal P(kkcc) = ppqq = (0,8)(0,8)(0,2)(0,2) = 0,0256 P(kckc) = pqpq = (0,8)(0,2)(0,8)(0,2) = 0, Paa 6 casos tem-se: P(2k e 2c) = 6 (0,0256) = 0,1536 obs: Não usa a ega pátca ( P(e) = númeo de eventos favoáves/númeo de esultados possíves e equpováves) pos as moedas são vcadas!! 2 modo: Consdeando-se sucesso: sa caa n = 4 p = 0,8 P(X=2) = p k q n-k 4! = (0,8) 2 (0,2) 2 2!2! = 0,

9 Dstbução de Posson Númeo de sucessos em um ntevalo contínuo (tempo, compmento, supefíce etc). Exemplo: Númeo de pessoas que chegam na odováa no peíodo de 1 h. Condções do expemento: -eventos defndos em ntevalos não sobepostos são ndependentes; -em ntevalos de mesmo compmento, são guas as pobabldades de ocoênca de um mesmo númeo de sucessos; -em ntevalos muto pequenos, a pobabldade de mas de um sucesso é despezível; -em ntevalos muto pequenos, a pobabldade de um sucesso é popoconal ao compmento do ntevalo. 06-9

10 Dstbução de Posson P(X = k) = p k (1-p) n-k P = λt n P(X = k) = n lm n k λt n k 1 λt n n k P( x = k) = e λt k! ( λt) k onde k = 0, 1, 2,... e = 2, (númeo de Eule) λ : feqüenca médas de sucessos e µ k µ P( X = k) =, µ = λ t k! 06-10

11 Dstbução de Posson ( λ ) E X k e λt ( ) = t = k! k = 0 k λt σ 2 2 ( X) ( k λt) k = 0 ( λt) λt e = = k! k λt Exemplo: Num pocesso de fabcação de alumíno apaecem em méda uma falha a cada 400 m (0,0025 falhas/m = λ). Qual a pobabldade de ocoe 3 falhas em 1000 m? E(x) = λt = 0,0025 falhas/m 1000 m = 2,5 falhas k = 3 e µ, µ 3 e , 3 P( X = 3) = = = 3! 3! 0,

12 Dstbução Geométca Repetção de um expemento com dstbução de Benoull (sucesso ou facasso) até obtenção do pmeo sucesso. Condções do expemento: - povas ndependentes - mesma pobabldade de sucesso p k 1 PX ( = k) = pq, k= 123,,... ( ) k 1 E( X) = x P X = kpq = k = 1 1 p ( ) ( ) σ 2 2 k= 1 2 k 1 = 1 X = [ x EX] Px ( ). = k. pq p q p

13 Dstbução de Pascal Repetção de um expemento com dstbução de Benoull (sucesso ou facasso) até o -ésmo sucesso. Condções do expemento: - povas ndependentes -mesma pobabldade de sucesso p -ésmo sucesso ocoe na k-ésma tentatva k-1 tentatvas anteoes houve -1 sucessos Daí P( X = k) = p k 1 1 p q ( ) ( ) 1 k 1 1 k 1 P X k pq k ( = ) =, k=, + 1, + 2,

14 Dstbução de Pascal E X x P( x ) k k 1 k ( ) = =. pq =... = 1 k= p [ ] ( ) X = x E X P x = ( ) ( ) σ 2 2 = k k= p 2 k 1 k.. pq =... = 1 q 2 p 06-14

15 Dstbução Hpegeométca Dfee da dstbução bnomal somente poque as extações do expemento são fetas sem eposção. Seja N: conjunto de elementos : subconjunto de N com ceta caacteístca n: elementos extaídos com a efeda caacteístca k P ( X = k ) = N n k N n N k n k n E( X) = k. =... = = k N N n np N k n k ( ) ( ) =... = npq. N k N N n σ 2 2 X = k np n

16 Dstbução Polnomal ou Multnomal Hpóteses do expemento: - n povas ndependentes - cada pova admte um únco esultado dente possíves - a pobabldade de ocoe um detemnado esultado é constante vaáves aleatóas (X 1, X 2, X 3,..., X ), ndca o númeo de vezes que ocoeu o coespondente esultado em n povas. PX ( = k; X = k;... X = k) = n! k k k p k...!!...! p k onde = 1 k = n p = 1 =