Mestrado em Gestão de Empresas/UNIFAL. Área de Especialização em Finanças Empresariais. Publicação Didática no âmbito da disciplina de

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1 ublcação Ddátca no âmbto da dscplna de AÁLISE DE CARTEIRAS Mestado em Gestão de Empesas/UIFAL Áea de Especalzação em Fnanças Empesaas ISABEL VIEIRA Unvesdade de Évoa / UIFAL Maceó (Basl) Dezembo 003

2 Rendmento e Rsco É muto ao enconta um nvestdo que aplque toda a sua lqudez num únco tpo de actvo. A azão paa que tal aconteça é que os nvestdoes são nomalmente avessos ao sco. Há tês tpos de pefl face ao sco: - Avesão ao sco: um nvestdo avesso ao sco é aquele que, quando tem que escole ente dos nvestmentos com o mesmo endmento espeado, escole aquele que é menos ascado. - eutaldade face ao sco: um nvestdo neuto em elação ao sco não tem em consdeação o sco quando toma decsões em temos de nvestmento. Dados dos nvestmentos com o mesmo endmento espeado mas scos dfeentes, ele é ndfeente ente eles. - Gosto pelo sco: um nvestdo amante do sco é aquele que gosta de coe scos. Dados dos nvestmentos que ofeecem o mesmo endmento espeado mas scos dfeentes ele va escole aquele que tve o sco mas elevado. Isto poque á póteses de v a te um endmento mas elevado, anda que também exstam póteses de ecebe um endmento desastoso. A azão pela qual a maoa dos nvestdoes é avessa ao sco é o facto de a utldade magnal da queza se abtualmente decescente. Este fenómeno está assocado a funções de utldade que são côncavas em elação à queza.

3 este exemplo, a utldade da queza aumenta com a pópa queza. Isto é, à medda que a queza aumenta, também aumenta a utldade, ou a satsfação que se eta dessa queza. o entanto, esse aumento de satsfação acontece a uma taxa decescente elatvamente aos acéscmos de queza. Este facto tem uma consequênca muto mpotante: paa qualque nível de queza, uma peda povoca mao queba de utldade, do que um gano da mesma dmensão povoca um acéscmo de utldade. (Ve também os casos de neutaldade e de avesão face ao sco) 3

4 Até aqu dscutmos a avesão ao sco em temos da utldade da queza e da utldade espeada da queza. o entanto, nem a utldade, nem a utldade espeada são concetos objectvamente mensuáves. É mpossível compaa decta e objectvamente a utldade de um nvestdo com a utldade de outo. É assm necessáo enconta outa manea de avala a escola, ou a elação de toca, ente endmento e sco. Uma foma possível é atavés da Expansão de Taylo da função de utldade espeada. ão utlzamos uma função de utldade defnda em temos da queza nvestda numa catea, mas antes defnmos a função em temos do endmento de uma catea com sco. Isto é, em função do valo da queza da catea no fm do peíodo de nvestmento menos o seu valo no níco. Segue-se a expansão de Taylo de segunda odem da função do endmento em tono do endmento espeado: U [ ( )] u E U ( ) + U '( )( ) + U ''( )( ) E U ( ) + U '( ) E( ) + U ''( ) E( ) U ( ) + U ''( ) Esta expessão mosta que podemos desenvolve uma apoxmação da utldade espeada que depende do endmento espeado da catea e da vaânca da mesma: U U (, ). Este esultado é muto útl, uma vez que o endmento espeado e a vaânca são mas fáces de med do que a utldade espeada. Além dsto, a vaânca coesponde ao sco da catea. Cuvas de ndfeença assocadas a esta função de utldade: Ao longo da mesma cuva de ndfeença, po defnção, a utldade é constante. Assm: d U du 0, ou seja, o dfeencal total tem que se nulo. U ' ( ) d + U '''( ) d + U ''( ) d 0 4

5 Assumndo que '''( ) 0 du ( ) ( ) U e eaanjando a expessão vem: U '' d + d p, onde U ' ao sco. U '' U' ( ) RA ( ), e RA é o coefcente de avesão odemos também defn R como o coefcente de toleânca ao sco: R T T. R A du d R d 0. Integando vem, A U R U + R ou U +. Esta expessão epesenta cuvas de ndfeença com ntesecto R T A A vetcal em U e declve gual R A ou. A cada nível de U coesponde uma cuva R T de ndfeença dfeente. Uma vez que a utldade magnal é postva ( U 'f 0 ) e decescente ( U '' p 0 ), R A é postvo. O tamano de R A é detemnado pelo tamano de U. Quando a função de 5

6 utldade é muto côncava (gande avesão ao sco), U va se muto gande em temos absolutos e R A va se muto alto (mplca cuvas de ndfeença muto nclnadas). Quanto meno fo a avesão ao sco, meno seá R A. As cuvas de ndfeença medem a elação de toca ente endmento e sco que pemte ao nvestdo atng o mesmo nível de satsfação. Se R A é muto elevado á gande avesão ao sco é necessáo um gande acéscmo no endmento espeado paa compensa uma undade adconal de sco. odemos pensa nos nvestdoes como consumdoes de sco e endmento, e nas suas cateas como podutoas de endmento e sco. O endmento de uma catea de actvos é a méda pondeada do endmento dos actvos ndvduas que a consttuem: θ. Em temos de endmento espeado vem: θ, onde E( ) e E( ). O sco da catea é: E ( ) E θ ( ) θ θ j j j j θ θ j j ρ j O desvo padão da catea ( ), que é uma medda altenatva do sco da catea, e que é smplesmente a az quadada da vaânca, tem a vantagem de se meddo nas mesmas undades que o endmento espeado. 6

7 Exemplo: Uma catea contém dos actvos - X e X - nas seguntes popoções: θ 0. 4 e θ Os dos actvos geam os seguntes valoes: 0.0 (0%) e 0.6 (6%) ; 0.75 (75%) e 0.50 (50%) ; ρ 0.6( 60%). Com esta nfomação podemos calcula o endmento espeado e o sco da catea: θ θ * (6.83%) 0.4 * * (7.6%) θ + θ + θ θ ρ * *0.4*0.6*0.75*0.5* ( 0.6) Como se pode ve neste exemplo, o endmento e o sco da catea dependem de dos tpos de factoes: - o endmento e sco dos actvos que consttuem a catea e - as popoções dos actvos na catea. O nvestdo não tem contolo sobe os pmeos, mas tem sobe os segundos. Estes dependem do gau de avesão ao sco. O endmento e o sco dos actvos ndvduas nfluencam o gau de dvesfcação dsponível. Dvesfca é o pocesso de combna actvos numa catea, com o objectvo de eduz o sco total sem compomete o endmento da catea. o exemplo acma o endmento espeado da catea ea de 7.6% e o sco (meddo pelo desvo padão) ea 6.83%. Se os endmentos tveem uma dstbução nomal, 7

8 sso sgnfca que á uma pobabldade de 95% de o endmento que va se obtdo se stua ente dos desvos padão do endmento espeado. O exemplo mosta claamente que a dvesfcação ajuda a dmnu o sco da catea: sco de 6.83% paa a catea, mas de 75% e 50% paa cada um dos títulos que a consttuem. O endmento espeado, se bem que não tão alto como o de X é supeo ao de X. A explcação está na coelação ente actvos. A coelação vaa ente e ρ j negatva e postva pefetas. 0 é a ausênca de coelação. j. e são valoes extemos: coelação j Coelação ostva efeta: Consdeemos o exemplo acma, mas com ρ. Isto sgnfca que os dos endmentos evoluem sempe da mesma manea pemanece gual, mas a vaânca muda: ( ) θ + θ + θ θ ρ θ + θ θ + θ 0.4* * (ea 0.683)., Quando ρ o endmento espeado e o sco da catea estão lneamente elaconados. o gáfco abaxo epesentamos o conjunto de possíves cateas paa os dfeentes valoes de θ e θ. 8

9 Em A: θ ; em B: θ e em : θ Quando ρ o conjunto é lnea e não á vantagens povenentes da dvesfcação. ão é possível dmnu o sco sem dmnu também o endmento. Coelação egatva efeta: Quando ρ os dos endmentos evoluem sempe em decções opostas. O endmento da catea é o mesmo, mas o sco agoa é: ( θ θ ) θ + θ θ θ ρ θ θ 0.4* *0.5 0 A catea sem sco obtém-se quando ρ e θ e θ + +. Outas cateas, paa outos valoes de θ e θ com ρ são: 9

10 Em A: θ ; em B: θ e em : θ Cateas com θ ente e 0.4 estão em A. Cateas com θ < 0.4 estão em B. Ao camna de B paa dmnu o sco e aumenta a entabldade espeada. A catea domna todas em B. Ao camna de A paa dmnu o sco e dmnu a entabldade espeada. o entanto, a taxa à qual o sco dmnu neste caso é mas alta quando ρ do que quando ρ (A é menos nclnada que AB). Compaando com ˆ vemos claamente os benefícos da dvesfcação quando os actvos são negatvamente coelaconados. Coelação ula: ρ é um caso extemo e po sso pouco povável na ealdade. o entanto, á benefícos que podem se obtdos atavés da dvesfcação das cateas quando os actvos estão negatvamente coelaconados (mesmo que não pefetamente), e mesmo quando não á elação ente eles. este caso θ + θ e 0

11 θ θ. o nosso exemplo ncal, mas mao do que os scos de cada actvo a título ndvdual., que é mao do que o valo Em θ 0. 4 e θ não é a catea com desvo padão mínmo. Esta é H e enconta-se dfeencando em odem a θ e gualando a zeo. Vem θ +. e θ + Até agoa vmos o caso de cateas com apenas dos actvos, mas os benefícos da dvesfcação podem se aumentados se aumentamos o númeo de actvos com endmentos não coelaconados. A análse que fo feta até aqu pode se epetda paa actvos. o entanto só nos vão nteessa algumas zonas dos conjuntos possíves. Só os pontos cujo desvo padão é mínmo, paa o mesmo nível de endmento e, de ente estes, só aqueles que não contêm cateas nefcentes, sto é, domnadas. A este conjunto cama-se Conjunto Efcente.

12 Modelos de Avalação de Actvos Fnanceos A análse que fo feta paa dos actvos pode se epetda paa. Os benefícos da dvesfcação podem se aumentados se aumentamos o númeo de actvos da catea, desde que eles não sejam postvamente coelaconados. Vamos desenvolve uma análse onde são consdeados todos os actvos exstentes numa dada economa actvos. Estamos nteessados na consttução de cateas que contenam uma pate ou a totaldade desses actvos. Uma catea pode conte,,... até actvos. ode também te o mesmo númeo e até o mesmo tpo de actvos que outa catea, mas esta pode se consttuída com pesos dfeentes. O conjunto de todas as cateas que é possível constu numa detemnada economa é o Conjunto das Opotundades de Investmento. Este é o conjunto das opotundades de nvestmento numa stuação em que as expectatvas são omogéneas todos têm as mesmas expectatvas elatvamente ao endmento e ao sco dos dfeentes actvos. O conjunto tem uma foma convexa poque é consttuído po cateas que contêm actvos não pefetamente coelaconados. em todas as cateas que petencem a este conjunto têm nteesse do ponto de vsta analítco. o exemplo, as cateas domnadas ou nefcentes (cateas que, paa o mesmo endmento espeado têm mas sco) não têm nteesse. Uma catea domnante tem meno sco paa o mesmo endmento espeado.

13 Todas as cateas no nteo do conjunto das opotundades de nvestmento são domnadas pela fontea que fca do lado esquedo: AHB. A fontea efcente, ou conjunto efcente é a pate de AHB que não contem cateas nefcentes. Todas as cateas ente HB são nefcentes poque são domnadas pelas cateas stuadas ao longo de AH. AH Conjunto Efcente ou Fontea Efcente Uma foma de calcula o conjunto efcente utlza técncas de pogamação quadátca e é conecda como: * Modelo de Makowtz Vamos supo que petendíamos enconta a catea * que está stuada no conjunto efcente. Esta é a catea que tem o sco mas baxo de ente todas as que têm este endmento espeado. O nosso objectvo é enconta as popoções θ que mnmzam o desvo padão da catea com a entabldade p. A função objectvo é o sco queemos mnmza o sco. As estções são duas: - entabldade gual a p - θ Mnmza p θ θ j j em odem a θ, sujeto a: j θ * p e 3

14 θ A solução deste poblema dá-nos as popoções θ da catea *. Se alteamos o endmento espeado conjunto efcente. * p encontamos todas as dfeentes cateas que petencem ao Um dos poblemas do método de Makowtz é o númeo enome de coefcentes que é necessáo paa calcula o desvo padão (ou sco da catea). o exemplo, se consdeamos um cenáo de 500 actvos numa dada economa, pecsamos de 5000 (500 /) covaancas paa calcula o sco da catea. Um modelo mas smples fo fomulado po Sape (963) e seá analsado mas à fente é o modelo CAM. Até aqu calculámos o conjunto efcente consdeando que as cateas são consttuídas apenas po actvos com sco. Vamos agoa ve o que acontece quando exste também um actvo sem sco que pode se empestado ou tomado de empéstmo podemos nvest no actvo ou ped-lo empestado a uma dada taxa de juo fxa (conecda e sem sco). Incalmente vamos consdea que exstem apenas um actvo com sco (X) e um actvo sem sco (Xf). O endmento espeado de uma catea consttuída apenas po estes dos actvos é: () θ + θ f, onde f é a taxa de endmento do actvo sem sco, e θ θ. O desvo padão da catea é: () θ, poque f 0. 4

15 () e () fazem com que o conjunto das opotundades de nvestmento seja lnea. (Demonsta) Em C o nvestdo consttu toda a sua catea apenas com o actvo sem sco. O endmento é Rf e o sco é nulo. Em M o nvestdo nveste tudo em X. Tem endmento R e sco. Em G pate é nvestda no actvo com sco ( 0p θ p ) e o esto é nvestdo no actvo sem sco (é empestado à taxa sem sco). Em L o nvestdo nveste mas do que a sua queza no actvo com sco. Consegue fazê-lo poque pede empestado à taxa sem sco paa nvest no actvo com sco. O nvestdo utlzou a alavancagem paa aumenta, que o endmento, que o sco. Juntamos agoa o actvo sem sco com todos os actvos com sco de uma economa: 5

16 o exemplo, quando o actvo sem sco é combnado com a catea com sco K, o conjunto das opotundades de nvestmento esultante é CK. Se o juntamos com a catea A, o conjunto das opotundades de nvestmento esultante é CAJ. CAJ domna CK poque todas as cateas em CAJ têm endmento espeado mas alto que em CK, paa o mesmo desvo padão. O conjunto das opotundades de nvestmento que não é domnado po nenum outo é o que esulta da combnação do actvo sem sco com a catea M CML (Captal Maket Lne ou ecta do mecado de captas). As cateas que se stuam ao longo da ecta do mecado de captas são consttuídas empestando e pedndo empestado à taxa de endmento sem sco. O declve da ecta do mecado de captas mosta a elação de toca ente endmento e sco. Até aqu dscutmos o sco e o endmento do ponto de vsta do consumo. Segundo esta pespectva o declve das cuvas de ndfeença dz-nos a taxa à qual o nvestdo deseja toca sco po endmento. Dscutmos também sco e endmento do ponto de vsta da podução. este caso o declve da ecta do mecado de captas dz-nos a taxa 6

17 à qual o nvestdo é capaz de toca sco po endmento no mecado. odemos agoa junta as duas pespectvas: A fgua mosta o conjunto efcente de cateas com sco: AMB, e a ecta do mecado de captas: CML. Mosta também cuvas de ndfeença de dos consumdoes avessos ao sco: Investdo : U0 e U; Investdo : V0 e V. O nvestdo é mas avesso ao sco do que o nvestdo. Tem cuvas de ndfeença mas nclnadas pecsa de mao aumento de endmento espeado paa o compensa de um dado aumento do sco. Sem te a possbldade de empesta e ped empestado, o nvestdo a maxmza a sua utldade ao seleccona a catea u0, dada pelo ponto de tangênca ente as cuvas de ndfeença do nvestdo e o conjunto das possbldades de nvestmento. Da mesma foma, nestas condções, o consumdo a escole a catea v0. 7

18 A possbldade de empesta e ped empestado pemte meloa a utldade dos nvestdoes. Agoa o conjunto efcente é a ecta do mecado de captas (poque esta domna todas as cateas do anteo conjunto, à excepção da catea M). O nvestdo aumenta a sua utldade de U0 paa U, ao escole a catea u em vez da catea u0. O nvestdo aumenta a sua utldade de V0 paa V, ao escole a catea v em vez de v0. Sejam quas foem as pefeêncas do nvestdo face ao sco, desde que exsta omogenedade de expectatvas elatvamente ao endmento e ao sco, todos os nvestdoes vão dete a catea M em conjunto com um cédto ou um empéstmo à taxa de juo sem sco. Esta catea M tem um sgnfcado mpotante em temos de análse de cateas: é conecda como a catea de mecado de actvos com sco. Catea de Mecado catea que contem todos os actvos que exstem na economa, com peso gual aos espectvos valoes de mecado. O actvo tem o segunte peso na catea de mecado: θ valo de mecado do actvo valo de mecado detodos os actvos da economa O equlíbo de mecado eque duas condções: - que a taxa de juo sem sco seja tal que o montante de fundos empestado seja gual ao montante de fundos tomados de empéstmo; - que todos os nvestdoes detenam a catea de mecado, uma vez que esta é a únca catea paa a qual todos os actvos com sco estão smultaneamente em equlíbo. Desde que tenamos dados sobe a catea de mecado e a taxa de juo sem sco, podemos calcula o peço de equlíbo do sco, ou o peço de mecado do sco: 8

19 m f m, onde m é a entabldade espeada da catea de mecado, f é a taxa de juo sem sco, e m é o desvo padão (ou o sco) da catea de mecado. A equação da ecta do mecado de captas é: m f f +, onde m são o endmento espeado e o sco de uma catea stuada sobe a ecta de mecado de captas. A devada do endmento em odem ao sco é o peço do sco: e é também a taxa magnal de tansfomação ente sco e endmento. e m m f Desde que as expectatvas sejam omogéneas todos os nvestdoes estaão de acodo quanto ao peço de mecado do sco. Isto é, a taxa de endmento exgda a uma catea com sco é. aa cada nvestdo a catea óptma seá fomada po uma combnação da catea de mecado e do actvo sem sco. A popoção exacta depende do gau de avesão ao sco. aa um gau de avesão elevado aveá uma quantdade postva de actvo sem sco. aa um gau de avesão baxo aveá uma quantdade negatva de actvo sem sco. Mas paa todos os nvestdoes a catea óptma é detemnada pelo ponto onde a cuva de ndfeença é tangente à ecta do mecado de captas. este ponto de tangênca o declve da cuva de ndfeença, que mede a taxa magnal de substtução ente sco e endmento, é gual ao declve da ecta do mecado de captas, que mede a taxa magnal de tansfomação de sco em endmento. Em equlíbo, as cateas efcentes que se encontam ao longo da ecta do mecado de captas (sto é, combnações da catea de mecado e do actvo sem sco) têm o seu peço estabelecdo de acodo com detemnado po: θ. m m m f f + e o seu sco m, A questão que se coloca agoa é: como são valozadas as cateas nefcentes? Anda que nenum nvestdo aconal e avesso ao sco quea essas cateas, elas têm que te um peço. De que foma é que o peço de uma catea nefcente depende do desvo padão do endmento da catea? aa esponde a estas 9

20 questões temos que analsa o sco total da catea, de foma detalada, e decompôlo nas suas pates consttuntes. Assocámos o sco de uma catea ao seu desvo padão e vmos como é que a dvesfcação pode eduz o desvo padão de uma catea de actvos, po compaação com os actvos consdeados soladamente, desde que estes não tenam coelação postva. Vmos também que, mesmo quando uma catea contem um conjunto dvesfcado de actvos, é possível que uma catea anda mas dvesfcada domne a pmea, po te um desvo padão meno paa um mesmo endmento espeado. A catea mas dvesfcada de todas é a catea de mecado e esta domna todas as outas. Assm, vamos começa po decompo o sco total em duas pates: sco dvesfcável e sco não dvesfcável. o muto dvesfcada que uma catea esteja, á sempe um nível de sco que não pode se anulado. Uma pate do sco é dvesfcável e outa não é. Quando aumentamos o númeo de actvos numa catea vemos que nomalmente o desvo padão dmnu, mas a uma taxa decescente. Quanto mas dvesfcadas estão as cateas, mas coelaconadas estão com o mecado. O sco não dvesfcável está dectamente lgado ao sco sstemátco da economa. Este sco não dvesfcável é também conecdo como sco de mecado. Uma vez que o andamento da bolsa é uma boa poxy da conjuntua económca ela costuma anunca altos e baxos. O modelo de mecado de Sape defne uma elação lnea ente o endmento de um título e o endmento do mecado, e pode se usado paa decompo o sco total em sco dvesfcável e não dvesfcável., t γ + β m, t + ε, t, onde:, é o endmento total do actvo no ano t (gano de captal mas juos); t, é m t o endmento total do mecado no ano t; ε, t é o eo ndependente e aleatóo, e γ e β são os coefcentes de ntesecto e de declve. Esta equação é mutas vezes desgnada como lna caacteístca do actvo. Tem todas as caacteístcas de uma equação de egessão: 0

21 - Tem uma componente sstemátca γ + β m, t, e sto dz que o endmento do actvo é sstematcamente explcado pelo andamento do mecado; - Tem uma componente não sstemátca, também efeda como dossncátca ou específca ε. É a componente do endmento do actvo que não é explcada pelo mecado., t Esta componente não sstemátca do sco, ou seja, o eo da equação caacteístca, tem as seguntes popedades: méda nula, vaânca constante, covaânca nula (ou coelação nula) com o endmento do mecado e com a componente não sstemátca do endmento de qualque outo título. Como a ecta ou lna caacteístca do actvo é uma equação de egessão, sabemos como calcula os coefcentes de ntesecto e de declve: (, t, m, t ), ( ) cov m β e γ β m. va m, t m Temos então a segunte decomposção do sco total: ou Rsco total sco não dvesfcável + sco dvesfcável Rsco total sco de mecado + sco específco. É bom que a maoa do sco total de um título seja dvesfcável, poque o sco dvesfcável pode se quase totalmente elmnado medante dvesfcação elatvamente baata. O esultado de combna um gande númeo de títulos numa catea dvesfcada é que as componentes aleatóas dos seus endmentos anulam-se ente s. Isto dexa

22 apenas o sco não dvesfcável como medda mpotante do sco com a qual o nvestdo tem que se peocupa. Quando uma catea é efcente, sto é, quando está coectamente dvesfcada, a medda apopada do sco é o desvo padão ou a vaânca do seu endmento, sto é, é o sco total. este caso o sco total é gual ao sco não dvesfcável. o constução, uma catea efcente não tem sco específco. o entanto, a medda do sco total não é apopada paa cateas nefcentes ou paa actvos ndvduas (que são um exemplo de catea nefcente). Cateas nefcentes não estão coectamente dvesfcadas. Uma vez que a dvesfcação é uma foma baata de eduz o sco total, apenas a componente do sco total que não pode se dvesfcada é apopada paa avala cateas não dvesfcadas ou nefcentes. O sco das cateas nefcentes e dos actvos ndvduas depende apenas do sco não dvesfcável que les é neente. Até aqu analsámos cateas e actvos, efcentes e nefcentes. Todas as cateas efcentes estão stuadas ao longo da ecta do mecado de captas e, assm, são todas pefetamente coelaconadas com a catea de mecado, que é a catea mas dvesfcada que é possível concebe. As cateas efcentes não contêm pos sco dvesfcável. Ao longo da ecta do mecado de captas o sco total é gual ao sco não dvesfcável. Todas as cateas nefcentes contêm, po defnção, algum sco dvesfcável. Em equlíbo a componente dvesfcável do sco das cateas nefcentes não é avalada não tem peço poque esse sco pode se dvesfcado a um custo elatvamente baxo. nguém que paga um sco que pode se elmnado a baxo custo. A análse que fzemos até aqu e que consste em detemna o peço ou o endmento de equlíbo de uma catea, pode se usada paa actvos ndvduas. É esta análse que va se feta a segu.

23 * Modelo CAM CAM Captal Asset cng Model desenvolvdo po Sape (963) e Lntne (965). É um modelo váldo paa todos os tpos de actvos, nclundo actvos e obgações. É um modelo de equlíbo que se basea explctamente na maxmzação da utldade dos nvestdoes e num detemnado conjunto de opotundades de nvestmento. Os peços de equlíbo são detemnados de foma a que fcam em amona a pocua e a ofeta de actvos. Exstem nvestdoes:,,..., H, actvos com sco:,,...,, sendo a dívda sem sco o actvo +. w... w... w H w... w... wh w... w... wh w... w... wh w,... w +,... w + +, H Em coluna epesentam-se os H nvestdoes e em lna os e + títulos. H A soma das lnas é: w θ + θ θ +... θ + 0 estção de equlíbo de mecado paa títulos ndvduas: θ é a popoção do título no total do mecado. + A soma das colunas é: w ϕ ϕ +... ϕ H estção oçamental dos nvestdoes: ϕ é a popoção da queza do nvestdo no total da queza. 3

24 H + w w é a popoção do mecado que é nvestdo pela pessoa no actvo. w, + é a popoção do total do mecado que é tomada pela pessoa de empéstmo na dívda sem sco. A soma total de dívda sem sco paa o total dos nvestdoes tem que se zeo. Dedução do modelo: Supo que cada nvestdo ndvdual,, tem a segunte função de utldade: () u u ( ), p, p onde p w ϕ w n+, f é o endmento espeado elatvo à catea e: () ϕ p j w w j j é a vaânca do endmento da catea. A estção oçamental do nvestdo é: 4

25 5 (3), + w w ϕ. O objectvo do nvestdo é maxmza a utldade, sujeta à estção oçamental. As condções de pmea odem paa um máxmo são (onde λ é o multplcado de Lagange do nvestdo ): (4) 0, j j p p p p p p w u u w u w u ϕ λ ϕ ϕ ϕ λ,...,, e: (5) 0.,, f p p p p u w u w u ϕ λ ϕ ϕ λ Se substtumos (5) em (4) podemos elmna λ : (6) ( ).,..., 0, w u u j j j p f p + ϕ A equação (6) é uma elação de equlíbo que tem que se vefca paa todos os nvestdoes,,...,h, e paa todos os título,,...,. Uma vez que (6) se vefca paa todos os títulos, também se vefca paa paes de títulos. aa os títulos e k temos:

26 6 (7) ( ) ( ) j kj j p j j j p f k p f p w u w u u u ϕ ϕ, que pode se smplfcado paa: (8) j kj j f k j j j f w w. Quando á equlíbo de mecado, tem que se vefca a segunte elação paa todos os títulos: (9) H j j j w...., θ Somando a expessão (8) paa todos os nvestdoes,...,, e aplcando (9) dá: (0) π θ θ j kj j f k j j j f, onde π é um áco comum a todos os títulos. Multplcando o numeado e o denomnado de (0) po k θ e somando paa todos os títulos k,...,, dá: () ( ) π θ θ θ θ m f m k j kj j k k k f k k,

27 onde m é o endmento espeado da catea de mecado e m é a vaânca do endmento da catea de mecado. A equação () ndca que, se somamos paa todos os nvestdoes e paa todos os títulos, e mpusemos as condções de equlíbo de mecado, acabamos, tal como sea de espea, com a catea de mecado. Substtundo () em (0) e eaanjando temos o CAM: m f m () f +, ou m m + β, (3) f ( m f ) onde θ é a covaânca do endmento do título em elação ao m j j j m endmento do mecado, e β é o beta do título. m As equações () e (3) podem se esctas do segunte modo: Re ndmento espeado do actvo eço do tempo + ( eço do sco * Quantdade de sco) Uma dfeença ente as duas fomalzações é que a pmea expessa o sco em undades do sco total, enquanto que a segunda utlza o peço absoluto do sco. Outa dfeença é que as medas de sco dfeem lgeamente: a pmea equação usa a covaânca ente o actvo e o mecado, elatvamente ao sco total do mecado, sendo este meddo pelo desvo padão do mecado. A segunda equação usa a covaânca ente o actvo e o 7

28 mecado, elatvamente ao sco total do mecado, sendo este meddo pela vaânca do mecado. Esta últma medda é conecda como o β do actvo, poque é defndo exactamente como os βs das equações de egessão. O β da catea é pua e smplesmente a méda pondeada dos βs dos actvos da catea: β θ β. p O mpotante é que ambas as meddas defnem a quantdade de sco da mesma manea: como o montante de sco sstemátco, não dvesfcável ou de mecado. Em equlíbo é este o únco sco que conta. Os nvestdoes não são compensados pelo sco que pode se fácl e pouco dspendosamente anulado. Em equlíbo é apenas o sco de mecado que é avalado. Isto pode se vsto de uma foma mas evdente se compaamos a ecta do mecado de captas (ecta que mosta a elação ente endmento espeado e sco total) com a ecta de mecado do actvo (tem o endmento espeado em função do sco de mecado, ou do β). 8

29 Em equlíbo todos os títulos têm um peço tal que faz com que eles estejam na lna caacteístca, ou SML. Em equlíbo todas as cateas efcentes têm um valo (peço ou endmento) que faz com que elas estejam na ecta do mecado de captas, ou CML. As cateas nefcentes não vão esta na CML, mas vão te um peço de equlíbo que eflecte apenas o sco não dvesfcável que contêm. Exemplo: as cateas A, B e C têm gual endmento espeado e scos totas dfeentes. Como têm a mesma entabldade espeada, em equlíbo têm que te o mesmo nível de sco não dvesfcável (β A ). O facto de as tês cateas teem scos dfeentes é elevante paa a detemnação dos seus endmentos ou peços de equlíbo. O sco total contem uma componente dvesfcável que não é avalada em equlíbo. O β da catea de mecado é gual a. odemos então compaa os actvos, a título ndvdual, com o β de mecado: - Se um actvo tem um b>, dz-se que é um actvo agessvo. O seu peço é mas volátl que o mecado sobe mas que o mecado numa fase bull e desce mas numa fase bea. Os actvos agessvos têm mas sco 9

30 não dvesfcável que o mecado. Têm uma taxa de entabldade mas elevada. - Se um actvo tem um b<, dz-se que é um actvo defensvo. O seu peço é menos volátl que o mecado sobe menos numa fase bull e desce menos numa fase bea. Têm menos sco não dvesfcável que o mecado e po sso equeem menos endmento. * Modelo de Avalação po Abtagem (ou modelo de abtagem AM ou AT) Ross (976) em altenatva ao CAM Em mecados concoencas, as pátcas de abtagem de actvos fnanceos fazem com que pevaleça a le do peço únco os actvos com a mesma entabldade espeada teão o mesmo sco. Hpóteses do modelo (efeênca é o CAM): - ão é necessáo fomula suposções elatvas à dstbução de pobabldade dos endmentos dos actvos, nem às funções de utldade dos nvestdoes; - ão é necessáo admt que a catea de mecado desempena um papel patcula, nem exg a sua efcênca; - A entabldade de um actvo fnanceo é função de dvesos factoes. A teoa não fonece qualque ndcação quanto à defnção destes factoes explcatvos. Este poblema de dentfcação petence ao âmbto das análses empícas (nflação, podução ndustal, desejo de sco, taxa de juo). Assm, a entabldade de um actvo fnanceo é função da sua entabldade espeada e da sua sensbldade a dvesos outa vaáves. 30

31 + m K β k f k + ε onde: é a entabldade espeada do actvo ; β k é a sensbldade do actvo ao facto k; f k é o valo do facto K; ε é a vaável aleatóa que epesenta o sco específco e que é ndependente de todos os outos factoes. ncípos do modelo: em equlíbo, qualque catea composta po actvos fnanceos, que não envolva sco, nem utlze queza, deve te uma entabldade espeada nula. As cateas com estas caacteístcas são cateas de abtagem. Cateas de abtagem são fomadas vendendo cetos actvos com o objectvo de compa outos o que pemte não utlza queza. aa que não contenam sco, é pecso que estejam bem dvesfcadas e que os βs se anulem. Fomalmente, as condções necessáas à obtenção de uma catea de abtagem são: n w ) 0 ausênca de utlzação de queza; 3

32 ) n é gande paa pemt a elmnação do sco específco; n w 3) β 0 paa cada facto k, a soma pondeada das componentes do sco k sstemátco de um título é gual a zeo. Rentabldade de uma catea de abtagem: n w + n k k n w β f w β f w β m f n m com k,...,m. n tem que se sufcentemente gande paa elmna o temo eo. n Como w β k 0 w 0 em equlíbo a entabldade de uma catea de abtagem é nula. n O vecto das entabldades espeadas deve se uma combnação lnea do vecto constante e dos vectoes dos coefcentes: deve exst um conjunto de coefcentes λ k tal que: n 0 + λk β k k λ. Quando exste um actvo sem sco, de entabldade f, gual a f. Daqu se deduz que: m n k λ β. k k β ok é gual a zeo e λ 0 é Se exste um únco facto k, o modelo de abtagem é gual ao CAM. Com efeto, em equlíbo, os actvos devem stua-se todos numa únca ecta ecta de abtagem e λ k pode consdea-se como um pémo de sco pémo de sco paa o facto de odem k. 3

33 o analoga, podemos esceve: f + λk β k ou f + ( d k f ) β k, em que λ d. k k f d k é a entabldade espeada de uma catea de sensbldade ao facto de odem k e de sensbldade zeo a todos os outos factoes. Recta de abtagem paa o caso de um únco facto: + λ β. este caso o f k k modelo concde com o CAM. f m ( d k f ) k β k ( ) Cov, d k ecta de egessão múltpla: β k. dk 33

34 O CAM é um caso patcula do modelo de abtagem Efcênca dos Mecados Fnanceos - Efcênca na afectação de ecusos: O papel dos mecados fnanceos em economas concoencas é assegua que os ecusos escassos sejam afectados da foma mas podutva possível. Isto sgnfca que quem mas valoza os ecusos, e po sso está dsposto a paga mas po eles, é que fca com a sua posse. Quando sto acontece, dzemos que exste efcênca na afectação de ecusos. A função dos mecados fnanceos é afecta os ecusos de nvestmento de foma efcente. - Efcênca Opeaconal: O mecado é efcente do ponto de vsta opeaconal quando os custos de tansacção decoentes da patcpação no mecado (po exemplo os speads paa os bancos e as comssões dos bokes) são detemnados de foma compettva. Dto de outa foma, um mecado está a funcona de foma opeatvamente efcente quando os agentes que nele ntevêm obtêm lucos nomas (e não lucos de monopolstas). A defnção estta eque que os lucos económcos sejam nulos. - Efcênca Infomatva: Um mecado é efcente do ponto de vsta nfomatvo se os peços actuas eflectem de foma completa e nstantânea toda a nfomação elevante dsponível. Mecado efcente ou pefetamente efcente é aquele que é smultaneamente efcente do ponto de vsta da afectação, da opeaconaldade e da nfomação. Os tês aspectos estão ntelgados, no entanto, ao longo da nossa análse vamos assum que os mecados de actvos fnanceos são efcentes do ponto de vsta da afectação e opeaconal, e vamos concenta-nos na análse da efcênca nfomatva. 34

35 Assm, e de agoa em dante, quando falamos de efcênca estamos a efe-nos à efcênca nfomatva. É este o pocedmento nomalmente adoptado na bblogafa fnancea. A pótese dos mecados efcentes, jogo justo e passeo aleatóo A pótese da efcênca dos mecados fnanceos dz que os peços de mecado eflectem de foma completa e nstantânea toda a nfomação elevante dsponível. Se esta pótese se vefca, os peços dos títulos seão sempe o eflexo do seu justo valo. ão aveá dfeenças sstemátcas ente o endmento espeado e o endmento vefcado na ealdade. (, t+ Ωt ), ε, t+ E + t+ onde, t+ é o endmento do actvo no momento t+, E( Ω ), t+ t é o valo espeado de, t+, dada a nfomação dsponível no momento t (contda em Ω t ), e ε, t+ é o eo de pevsão. aa que o mecado seja efcente, é necessáo que o eo de pevsão seja não sstemátco. Isto é: consstente, ndependente e efcente. Um eo com estas caacteístcas é um uído banco. O Ruído Banco não tem qualque padão ou estutua e caacteza-se po te méda nula, vaânca constante e valoes não coelaconados. 35

36 As expectatvas elatvas a, t+ são fomadas com base em Ωt conjunto de nfomação elevante conecda no momento t. Em equlíbo o endmento do título está elaconado com o seu valo fundamental. Só uma nova nfomação elevante, que é po natueza mpevsível, podeá altea o valo fundamental de um título. Espea-se que os endmentos dos títulos vaem em esposta a notícas ou nfomações elevantes, mas num montante e numa decção que são ambos mpevsíves. E ( Ω ), t+ t, t, t+, t + ε, t+ asseo Aleatóo Hpótese dos Mecados Efcentes e Infomação Segundo Fama as expectatvas podem se baseadas em tês conjuntos de nfomação: conjunto de nfomação foma faca, conjunto de nfomação foma semfote e conjunto de nfomação foma fote. Coespondendo a estes tês conjuntos podemos defn tês tpos de efcênca nfomatva: efcênca nfomatva foma faca, efcênca nfomatva foma sem-fote e efcênca nfomatva foma fote. Testes Empícos - evdênca favoável: 36

37 efcênca nfomatva foma faca: fltos; efcênca nfomatva foma sem-fote: notícas contdas nos elatóos das empesas; tansacções de gandes blocos de títulos; anúncos dos bancos centas; títulos que se antecpam e atasam elatvamente ao cclo económco. efcênca nfomatva foma fote: nvestmento em nfomação. Testes Empícos - evdênca desfavoável: efcênca nfomatva foma faca: médas móves; egas de compa/venda; efcênca nfomatva foma sem-fote: anomalas níco do ano, fm do mês, ª fea, fnal do da, da feado, etc. efcênca nfomatva foma fote: nsdes, analstas fnanceos. As funções do gesto de cateas Um gesto de cateas é um ndvíduo, ou uma empesa, que gee uma catea de nvestmentos (ou um fundo de nvestmentos) que petence a um clente. O gesto pode se um empegado do clente ou se uma oganzação ndependente que fo contatada pelo clente. As suas funções são: - Consttução e análse da catea - com base na função de utldade do clente é estutuada uma catea óptma e depos analsa-se o endmento espeado e o sco; 37

38 - Ajustamento da catea - selecção de actvos a compa e a vende à medda que as ccunstâncas mudam; 3 - Avalação do desempeno da catea - medda do desempeno da catea, dentfcação das azões do desempeno e compaação deste com o de uma catea padão. Vamos examna em pmeo luga as funções de consttução e ajustamento. A função de medda de desempeno, que mutas vezes é desempenada po uma oganzação ndependente do gesto de catea é analsada posteomente. Há dos tpos pncpas de clentes: - O pmeo é o clente com lucos, com dneo paa nvest que deseja te uma catea de nvestmentos compatível com o seu pefl de sco: este é um nvestdo buto. - O segundo é um clente sem dneo pópo, mas que pocua uma catea de actvos que concda com as suas esponsabldades contngentes e que está peocupado com a combnação de actvos e passvos, especalmente com a coodenação de matudades. Este é o camado nvestdo líqudo. Há uma sée de estlos de gestão que um gesto de fundos pode segu. O mas apopado depende da dmensão e das pefeêncas do clente e também da sua pópa dmensão e pefeêncas. Clentes com cateas pequenas (po exemplo, pequenos fundos de pensões) podem decd entega a gestão destas a companas de seguos. o vezes os fundos são agupados. Isto 38

39 aumenta a dvesfcação, mas não é dada atenção patcula à catea de cada clente: cada membo do gupo tem o mesmo conjunto de nvestmentos e obtém o mesmo endmento. Também pode acontece que os fundos sejam dvddos e que fundos dfeentes tenam nvestmentos dfeentes. O estlo de gestão mas comum é a gestão equlbada. este caso o gesto é esponsável pelo tpo de actvos que são escoldos: acções, obgações, nvestmentos do mecado monetáo; e também pelos títulos que são ealmente adqudos: acções da empesa x, títulos de médo pazo, etc.. A pmea decsão é conecda como decsão de afectação de actvos. A segunda cama-se decsão de selecção de títulos. Há duas componentes a consdea na afectação de actvos: - Afectação estatégca, que detemna a combnação global de longo pazo de acções, obgações e lqudez, com base na avalação do endmento espeado e dos scos a longo pazo que é feta pelo gesto do fundo; - Afectação táctca, que envolve ajustamentos tempoáos da combnação de actvos (defnda na afectação estatégca), com base nas pevsões de cuto pazo que o gesto faz paa o desempeno das acções, títulos ou mecados monetáos. A afectação táctca também é conecda como tmng do mecado. O poblema dos gestoes equlbados (ou genealstas) é que eles não podem se especalstas em todos os mecados, pncpalmente em temos globas. Uma solução é te gestoes especalstas em cada secto que tomam a decsão de selecção dos títulos. Acma deles aveá um gesto de afectação de actvos. Outa solução é te fundos sepaados. Contatam-se váos gestoes equlbados que concoem uns conta os outos. Contudo, coe-se o sco de estes ealzaem mutas opeações de eajustamento de catea, o que pode faze com que se tenam custos de tansacção excessvos. este caso teá 39

40 que ave um gesto de scos que está acma dos gestoes ndvduas e que assegua o contolo geal do sco. Há dos tpos pncpas de estatéga de gestão de cateas: actvo e passvo. A gestão passva de cateas consste numa estatéga de compa e mante uma catea de títulos duante um peíodo de tempo longo, apenas com ajustamentos pequenos e pouco fequentes ao longo do tempo. A gestão passva é consstente com a exstênca de duas condções: efcênca dos mecados fnanceos e omogenedade das expectatvas. Se os mecados fnanceos foem efcentes, sso sgnfca que os actvos teão sempe o seu peço justo. ão aveá títulos sub ou sobevalozados e, potanto, não aveá ncentvo à sua compa ou venda. Da mesma foma, se os nvestdoes tveem expectatvas omogéneas em elação ao sco e endmento dos títulos, pelo que á consenso quanto à catea de mecado e quanto à lna ou ecta do mecado, então também não aveá ncentvo paa a compa e venda de novos actvos. O típco nvestdo passvo fcaá satsfeto com uma combnação lnea do actvo sem sco e da catea de mecado. Investdoes com pefeêncas que sejam dfeentes das do nvestdo médo teão cateas adaptadas ao seu pefl, mas um nvestdo passvo nunca tenta bate o mecado. A gestão actva de cateas envolve ajustamentos fequentes e mutas vezes substancas da catea de nvestmentos. Os gestoes actvos não acedtam que os mecados de actvos sejam sempe efcentes. Acedtam mesmo que os títulos não estejam coectamente valozados, pelo que a sua negocação pode leva à obtenção de endmentos anomas (mesmo tendo em conta o sco e os custos de tansacção). Em altenatva estes gestoes acedtam que á expectatvas eteogéneas (dvegentes) do sco e endmento dos títulos e que as suas estmatvas do vedadeo sco e endmentos são meloes do 40

41 que as do esto do mundo. Em esumo, o objectvo dos gestoes actvos é bate o mecado. A catea de mecado é uma méda pondeada de todos os títulos da economa. Já fo vsto que todas as cateas óptmas podem se fomadas como uma combnação lnea da catea de mecado e do actvo sem sco. o entanto, a composção de cateas, na vda eal, é muto mas complcada. Mesmo com cateas passvas, a consttução de uma catea é mutas vezes dvdda em váas etapas. o exemplo, nomalmente decde-se dvd a catea em categoas geas de actvos, como acções e obgações. A catea de acções sea geda em sepaado e cada catea pode se geda actva ou passvamente. Da mesma foma, na vda eal á nomalmente mas do que um únco actvo sem sco. É possível mante cateas apenas com nstumentos do mecado monetáo, e a gestão destes é conecda como gestão de cateas de tesouaa (mas também como gestão de tesouaa ou de dneo). Detemnação do efl do Clente omalmente é muto dfícl detemna com alguma pecsão a função de utldade de um clente. o entanto, é muto mpotante que o gesto de catea tena uma boa dea da foma dessa função, pelo menos po tês azões: - oque é um pé-equsto paa a consttução de uma catea; - oque ela nfluenca os tpos de ajustamento que podem se fetos; 3 - Como afecta a estutua ncal da catea, obvamente também nfluenca o seu desempeno futuo. aa estutua a catea de um clente, o gesto deve te conecmento e leva em conta as pncpas caacteístcas deste: estatuto fscal, necessdades de 4

42 lqudez, ozonte tempoal (. e. peíodo ao longo do qual os objectvos do nvestmento devem se atngdos), avesão ao sco (ou toleânca face ao sco), actvos e esponsabldades, pefeêncas (po exemplo po obgações com gande endmento, ou po títulos do secto fnanceo) e estções (elatvamente a acções de detemnadas empesas, ou estções legas). Todos estes factoes afectam a catea ncal, os ajustamentos que esta sofe e o seu desempeno. É mpotante que, que o clente, que o gesto estejam conscentes dsto desde o níco. odemos agoa tenta nfe funções de utldade de dos tpos pncpas de clentes: - O clente nvestdo buto, que está nteessado em maxmza a utldade espeada do endmento de uma catea; - O clente nvestdo líqudo, que está nteessado em mnmza o desenconto ente actvos e passvos. aa o pmeo, a caacteístca mas mpotante que tem que se dentfcada é o gau de avesão, ou de toleânca, ao sco. Quanto mas baxo fo o gau de avesão ao sco, mao é o sco (e mao o endmento espeado) que uma catea pode te. Um pocedmento nomal paa nfe o nível de toleânca face ao sco é ped ao clente que seleccone a sua combnação pefeda de actvos: po exemplo, a sua combnação pefeda de acções e obgações. Ve casos concetos. O outo tpo de clente cuja catea um gesto pode esta a ge é aquele que petende mnmza o desenconto ente actvos e passvos (. e. o nvestdo 4

43 líqudo). o outas palavas, este tpo de clente que que o valo dos actvos (ou, o que é o mesmo, que o endmento dos actvos) da catea nunca seja nfeo ao valo do passvo (ou ao pagamento das suas esponsabldades). Este tpo de compotamento é conecdo como safety-fst beavou. Obvamente que num mundo sem cetezas nunca seá possível gaant que o endmento dos actvos nunca seá meno que o sevço das esponsabldades. Em vez dsso o gesto de cateas tentaá mnmza a pobabldade de o endmento dos actvos se meno que o sevço dos passvos: mn ( p < l ), onde p é a taxa de endmento da catea de actvos e l é a taxa de despesas com os passvos. Se os endmentos da catea foem nomalmente dstbuídos, então a catea óptma seá aquela em que o endmento espeado, p, seja o máxmo de desvos padão afastada de l. Uma vez que o númeo de desvos padão ente p e l é dado po ( ) gual a: p l / p, a condção de mnmzação atás enuncada é max ( ) /. p l p Estatégas de Gestão de Cateas: Há dos tpos báscos de abodagem à gestão de nvestmentos: uma abodagem passva e uma abodagem actva. Antgamente dza-se que o gesto passvo segua um índce de mecado e o gesto actvo faza outa cosa qualque. Actualmente as dstnções não são tão smples, poque á mutas estatégas mstas, mas á quem popona faze a dstnção pelo uso, ou não, de acções tomadas com base em pevsões. Vamos analsa ambas as pespectvas com algum detale. 43

44 Gestão passva paa nvestdoes maxmzadoes da utldade Este tpo de clente peocupa-se apenas com o sco e o endmento dos nvestmentos. Em temos técncos, quem segue um tpo de gestão passva enquada-se num mundo tpo CAM - esta é a justfcação teóca paa este tpo de estatéga. Aceta-se que um detemnado índce é uma poxy adequada da catea de mecado de actvos com sco. A justfcação pátca está no facto de nos últmos 0 anos índces como o S& teem batdo mas de 80% dos gestoes actvos. A foma mas smples de gestão passva é a adopção de um índce. Depos constó-se uma catea de nvestmentos que tena po objectvo eplca o índce de mecado. A éplca exacta é a técnca mas smples de constução de uma catea de índce. Depos de escoldo o índce de efeênca, a catea passa a conte cada título na popoção exacta em que ele enta no índce. oblemas da éplca exacta: á sempe uma elação de toca ente exactdão da éplca e os custos de tansacção. Motvos: - A ndexação exacta é muto caa; - Os índces mudam a sua composção com alguma fequênca e os ajustamentos da catea, paa acompana estas alteações, não são tdos em conta no índce; - aa um índce de obgações a estatéga anda fca mas caa. A matudade méda começa a dmnu, a não se que sejam compaadas novas obgações paa substtu as que atngem a matudade ou as que saem do índce. O que nomalmente se faz é: 44

45 - Amostagem estatfcada - a catea é constuída com base numa amosta de títulos do índce. ode dvd-se o índce em sectoes, ou estatos, po exemplo com base na ndústa, se se tata de acções, ou com base na matudade, se se tata de obgações. Escole-se depos uma pecentagem dos títulos que tenam mao coelação com o índce. - Selecção com base em factoes de sco - não se escole a pat de um únco facto, como a ndústa ou a matudade. A selecção basea-se em váos factoes. Exemplos: com base no ß (sco sstemátco); com base no padão de dvdendos, tamano das empesas, estutua fnancea, etc. - Compa de undades de patcpação num fundo de nvestmento - especalmente apopado paa pequenos clentes. Estabelece um compomsso acetável ente os custos de tansacção da ndexação completa e a possbldade de fala o andamento do índce, que acontece na estatfcação. É muto dfícl acompana um índce de peto. Há sempe váos poblemas que têm que se enfentados, paa além dos custos de tansacção: - agamento dos endmentos - o índce assume que os endmentos butos dos títulos são envestdos a custo zeo no pópo índce no da em que vencem. o entanto, na pátca, os dvdendos ou os cupões podem não fca dsponíves logo na data de vencmento, são pagos líqudos de mpostos, á custos quando se pocede ao envestmento, e os endmentos vão esta constantemente a vence, pelo que não á gesto de catea que envsta pequenas quantas no da em que as ecebe. Em esultado de tudo sto a catea va começa a dveg do índce e tem que se eajustada. 45

46 - Alteações do índce - quando é anuncada uma alteação, o peço do título que enta sobe, enquanto que o peço do que sa ca. Isto pode povoca dvegêncas ente a catea e o índce. Apesa de todos estes poblemas a gestão passva tem gano em mpotânca. O motvo paa que tal aconteça é o facto de ela da consstentemente meloes esultados que a gestão actva. Gestão assva paa Clentes com Responsabldades Futuas Mutos gestoes de catea têm a seu cago fundos povenentes de clentes que têm obgações futuas (ecoda que o objectvo destes clentes é mnmza a pobabldade de o valo actual do actvo se nfeo ao valo actual do passvo). Exemplos: Fundos de pensões ou companas de seguos. estes casos, paa toma decsões em temos de nvestmentos, o fluxo de esponsabldades tem que se tdo em atenção. Isto acontece po azões legas e contablístcas. o exemplo, a obgação de valoza o actvo e o passvo ao custo de opotundade e não ao custo stóco. Estes clentes têm a estção de o valo actual da catea te que esta muto póxmo do valo actual das esponsabldades. omalmente, paa atng este objectvo patca-se aqulo a que se cama: gestão de actvo/passvo. Esta consegue-se, pncpalmente, atavés de duas técncas: Imunzação e Coodenação de Fluxos. Imunzação: estatéga que consste em estutua uma catea de obgações que tena endmento gaantdo num dado ozonte tempoal. o caso dos fundos de pensões, po exemplo, podemos te que gaant que o valo actual dos actvos é sempe pelo menos gual ao valo actual das 46

47 esponsabldades. Isto é, a catea tem que esta munzada em elação a vaações das taxas de juo. Uma catea de obgações munzada é estutuada paa te a mesma duação e, pelo menos, a mesma convexdade das esponsabldades. Duação e convexdade são meddas do sco de juo (sco de o peço das obgações ca, se as taxas de juo do mecado subem este é o pncpal tpo de sco das obgações de cupão fxo). A duação é uma medda de pmea odem do sco: mede o declve do pefl de valo actual. É a méda pondeada (pelos cas-flows elatvos descontados) da matudade de uma obgação. Dz, em méda, quanto temos que espea até ecebe algum dneo. A convexdade é uma medda de segunda odem do sco. Mede a cuvatua do pefl do valo actual. (efl do valo actual: actualza é, gosso modo, dvd po + taxa de juo. Quanto mao fo a taxa de juo, meno é o valo actual.) uma catea munzada, ndependentemente do que acontece às taxas de juo, o valo actual das esponsabldades seá sempe meno ou gual ao valo actual dos actvos. Imunzação Clássca em temos de Valoes Actuas 47

48 Quando a taxa de juo do mecado aumenta, o valo actual da catea dmnu, mas o etono do envestmento dos cupões aumenta. Uma catea munzada conjuga estes efetos contáos e contabalança o que á de negatvo no pmeo com que á de postvo no segundo. Se estutuamos a catea de obgações de foma a que a duação seja gual a um detemnado ozonte de nvestmento, que o endmento da catea, que o valo da catea, estaão munzados conta vaações das taxas de juo. Exemplo: Obgação com as seguntes caacteístcas: - 5 anos até à matudade (t); - eço coente 4.8 (); - Valo na data de matudade 00 (B); - Cupão anual 3.77 (d); 48

49 - Rendmento até à matudade 0% (). Duação: D d t+ ( + ) ( + ) t B t + t t ( + ) ( + ) * * Se mantvemos a obgação duante 4 anos e depos a vendemos, o seu valo dento de 4 anos seá sempe o mesmo, ndependentemente do que acontece às taxas de juo. Ano Cas-flow Taxa de envestmento 9% 0% % * * * * *. 3.77* * *. 3.77* * * *. - 49

50 Valo no ano Isto acontece poque, à medda que a taxa de juo vaa, a alteação na componente de endmento é contabalançada pela alteação na componente de captal. Se a avalação fo feta no ano ndcado pela duação, o equlíbo ente os dos efetos é exacto. Seja o que fo que aconteça às taxas de juo, e logo às taxas de envestmento, o valo do nvestmento na obgação é sempe o mesmo no ano 4. oquê? oque, à medda que a taxa de juo vaa, á vaações de snal contáo na componente de endmento e na componente de captal da obgação. Ambos são exactamente contabalançados quando a avalação é feta no ano da duação. Rendmento: ª s quato lnas Captal: 3.77 (+) - elo facto de o valo da obgação no ano 4 se ndependente da taxa de juo, também o endmento de mante a obgação tem que se constante, ndependentemente do que acontece à taxa de juo, se o peíodo de manutenção fo gual à duação da obgação. Custo ncal 4.8 Valo à data da duação 67.3 Taxa de endmento em 4 anos: (+) 4 50