Capítulo 4 Variáveis Aleatórias Discretas. Prof. Fabrício Maciel Gomes

Transcrição

1 Capítulo 4 Vaiáveis Aleatóias Discetas Pof. Fabício Maciel Gomes

2 Picipais Distibuições de Pobabilidade Discetas Equipovável Beoulli Biomial Poisso Geomética Pascal Hipegeomética

3 Distibuição Equipovável Todos os possíveis valoes da Vaiável Aleatóia tem a mesma Pobabilidade de ocoe valoes P X xi 1 Paa valoes equi-espaçados (a difeeça ete os valoes é costate e igual a h), tem-se:

4 Distibuição Equipovável E( X) x x 1 2 Va( X ) h 2 ( 2 1) 12

5 Distibuição de Beoulli Expeimeto sucesso facasso Seja X: vaiável aleatóia com possíveis esultados: X = 1 se o esultado fo um sucesso X = 0 se o esultado fo um facasso

6 Distibuição de Beoulli p: pobabilidade de ocoe sucesso q: pobabilidade de ão ocoe sucesso (facasso) q = 1- p paa X = 0; P(X) = p paa X = 1; 0 paa X 0 ou X 1 E(X) = p Va(X) = p.q

7 Distibuição Biomial Codições do expeimeto: (1) úmeo fixo de epetições idepedetes : (2) cada epetição tem Distibuição Beoulli: sucesso ou facasso (3) Pobabilidade p de sucesso é costate

8 Distibuição Biomial P(Y=): Pobabilidade de sucessos as pimeias epetições de um total de epetições 1, 1, 1, 1, 1,...,1 0, 0, 0, 0,...,0 - P(Y=) = p.q - Cosideado todas as combiações de elemetos a tem-se:

9 Distibuição Biomial Seja: X: vaiável aleatóia Biomial : úmeo de epetições : úmeo de sucessos P(X=): Pobabilidade de sucessos em epetições P( X ) p q!!! E (x) =.p Va (x) =.p.q

10 Distibuição Biomial Exemplo: Laçameto de 4 moedas viciadas. Pobabilidade de sai caa () é 0,8 e cooa (c) é 0,2. Seja X: úmeo de caas Logo: p=0,8 e q=0,2. Calcula a pobabilidade de sai 2 caas: P(X=2)=?

11 Distibuição de Poisso X: Númeo de sucessos em um detemiado itevalo cotíuo (tempo, compimeto, supefície, volume, etc). Exemplos: Númeo de pessoas que chegam a odoviáia o peíodo de 1 h. Númeo de defeitos em baas de aço 5 m. Númeo de focos de icêdio po hectae.

12 Distibuição de Poisso Hipóteses: 1. O úmeo de sucessos em itevalos ão sobepostos costituem vaiáveis aleatóias idepedetes. 2. A pobabilidade do úmeo de sucessos em qualque itevalo depede apeas da sua dimesão. Po outas palavas, em itevalos de mesma dimesão são iguais as pobabilidades de ocoêcia de um mesmo úmeo de sucessos. 3. A pobabilidade de obte dois ou mais sucessos em um itevalo suficietemete pequeo é despezível.

13 Distibuição de Poisso Seja t: compimeto total do itevalo : úmeo de pates da divisão do itevalo, tal que o máximo um sucesso em cada pate t/: compimeto de cada pate do itevalo Potato: P( X ) p q Ode : úmeo de sucessos em epatições p: pobabilidade de sucesso em cada pate

14 Distibuição de Poisso Seja : taxa de ocoêcia de sucessos (Ex.: chegadas/ hoa; defeitos /meto) Etão: t t X 1 ) P( t p t t X 1 lim ) P( Cosideado ifiito ( POISSON )! ) ( ) P( t t e X

15 Distibuição de Poisso E( X) t e t! 0 t Va 0 X t 2 e t! t t Exemplo: Num pocesso de fabicação de alumíio apaecem em média uma falha a cada 400 m (taxa de falha: = 0,0025 falhas/m ). Qual a pobabilidade de ocoe 3 falhas em 1000m?

16 Distibuição Geomética Repetição de um expeimeto com distibuição de Beoulli (sucesso ou facasso) até obteção do pimeio sucesso. Codições do expeimeto: epetições idepedetes mesma pobabilidade de sucesso p P( X ) p q 1, 1,2,3...

17 Distibuição Geomética E( X ) i x i P X x i 1 p q 1 1 p Va X x EX 2 i PX x i i 1 1 p 2 p q 1 q p 2 Exemplo: Um ceto expeimeto é epetido até que um detemiado esultado seja obtido. As povas são idepedetes e o custo de executa um expeimeto é de $ Etetato, se o esultado a alcaça (Sucesso) ão fo atigido, um custo de $ é ecessáio paa o setup da póxima pova. Supoha que se teha somete $ paa ivesti o expeimeto. Qual a pobabilidade do custo ultapassa essa quatia se a pobabilidade do expeimeto de ceto é de 0,25?

18 Distibuição de Pascal Repetição de um expeimeto com distibuição de Beoulli (sucesso ou facasso) até obteção do -ésimo sucesso. Codições do expeimeto: povas idepedetes mesma pobabilidade de sucesso p -ésimo sucesso ocoe a -ésima tetativa -1 tetativas ateioes houve sucessos Daí P( ) X p p q 1 1

19 Distibuição de Pascal q p X 1 1 ) P( 2 ) ( p q X Va p X E ) ( Exemplo: A pobabilidade de um bem sucedido laçameto de foguete é igual a 0,8. Supoha que tetativas de laçameto sejam feitas até que teham ocoido 3 laçametos bem sucedidos. Qual a pobabilidade de que exatamete 6 tetativas sejam ecessáias?

20 Distibuição Hipegeomética Difee da Distibuição Biomial somete poque as epetições do expeimeto são feitas sem eposição. Seja: N: cojuto de elemetos : subcojuto com detemiada caacteística : elemetos são extaídos sem eposição X: úmeo de elemetos com tal caacteística N N P(X )

21 Distibuição Hipegeomética p N N N X E... ) ( N N q p N N p X Va ) (

22 Distibuição Hipegeomética Exemplo: Pequeos motoes eléticos são expedidos em lotes de 50 uidades. Ates que uma emessa seja apovada, um ispeto escolhe 5 desses motoes e os ispecioa. Se ehum dos motoes ispecioados fo defeituoso, o lote é apovado. Se um ou mais foem veificados defeituosos, todos os motoes da emessa são ispecioados. Supoha que existam, de fato, tês motoes defeituosos o lote. Qual a pobabilidade de que a ispeção 100% seja ecessáia?