Elétrons em um potencial periódico: o teorema de Bloch. Cap 7 KITTEL Cap 8 ASHCROFT- MERMIN Cap 5 IVAN

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1 Elétos em um poteal peódo: o teoema de Bloh Cap 7 ITTEL Cap 8 ASHCOFT- MEMIN Cap 5 IVAN

2 Modelo de Dude: gás s lásso de elétos Até agoa 1 mv 3 B T Modelo de Sommefeld: gás s de elétos uâto h m ψ εψ ( ) ( ) A pat de agoa Elétos a peseça a de um poteal peódo h m do ψ ( ) + U( ) ψ( ) εψ( )

3 Elétos a peseça a de um poteal peódo h m ψ ( ) + U( ) ψ( ) εψ( ) Cstal pefeto: U ( ) U( + ) ede de Bavas Poteal efetvo vsto pelos elétos

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5 Outos efetos: mpuezas, defetos, vbações témas petubação poblema de elétos um sóldo poblema de mutos opos may-body poblem H H eléto ío+ Heléto eléto +... apoxmação do eléto-depedete : poteal mooeletôo efetvo U( ) h Hψ εψ om H + U m ( ) ( ) elétos de Bloh U + U( )

6 Teoema de Bloh H h m + U ( ) om U ( + ) U( ) ede de Bavas Hψ εψ ψ. ( ) e u ( ) om u ( + ) u ( ), íde de bada Note ue, euvaletemete, ψ ( ). + e ψ ( )

7 1ª demostação do Teoema de Bloh: Opeado taslação H T h m Hψ + U ( ) T f( ) f( ) + ( ) H( + ) ψ( + ) H( ) ψ( + ) HTψ T H é peódo T Hψ HT ψ T H [ T, ] 0 HT ou H

8 H é peódo T H HT [ T, ] H 0 T T ( ) T T ( ) ( ) T ( ) ψ ψ + + ψ ψ + T T T T T + [ T, ] 0 T {, T, }: H ojuto de opeadoes ue omutam ete s

9 Teoema fudametal da meâa uâta: os auto-estados de H podem se esolhdos smultaeamete omo auto-estados de TODOS os T Hψ εψ ( ψ )ψ, T T

10 Aaloga Átomo de Hdogêo H p m + V ( ) omo V ( ) V ( ) temos [ H, J ] 0 [ H, ] J z ojuto de opeadoes ue omutam ete s m ψ ( ) ( ) ( θ, ϕ) Y l

11 Teoema fudametal da meâa uâta: os auto-estados de H podem se esolhdos smultaeamete omo auto-estados de TODOS os T Hψ εψ ( ψ )ψ T T, T T Tψ ( ) Tψ T ψ ( ) ψ ( ) ) T ( ) ( ) ψ ( ) ( ψ ( ) ( ) ( ) + + ( + ) ( ) ( )

12 ( ) ( ) ( ) + { } a 3 vetoes pmtvos da ede de Bavas ( ) x a e π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x e e e a a a π π π ( ) ( ) x x x e + + π Fazedo uma esolha oveete paa x temos a a a + + Paa um veto da ede de Bavas

13 ( ) ( x + x + x ) e π Lembado da defção da ede eípoa { b } 3 vetoes pmtvos da ede eípoa b. πδ a j j om xb 1 1+ xb+ x3b3 ( ). e T ψ ψ QED ( ). + e ψ( )

14 CONDIÇÕES DE CONTONO DE BON-vo AMAN Teoa de Sommefeld (gás de elétos) ( x + L, y, z) ψ( x, y, z) ( x, y+ L, z) ψ( x, y, z) ψ ψ ( x, y, z+ L) ψ( x, y, z) ψ O paa ede úba L Na { a }: ψ ( + Na ) ψ( ) 1,, 3 vetoes pmtvos aso + geal N N1. N. N3 total de élulas pmtvas o stal N. a teoema de Bloh ψ ( Na ) e ψ ( ) + 1,, 3 N e. a 1 1,,3

15 N e. a 1 se xb 1 1+ xb+ x3b3 N x e π 1 1,,3 x m N m teo Foma geal paa os vetoes de oda de Bloh 3 1 m N b m teo eupeamos esultado da ede úba paa L N a

16 3 1 m N b m teo volume po poto o espaço b N b N b N b ( ) ( ) 3 π / v ( π) b b N N volume da élula pmtva da ede eípoa O NÚMEO DE VETOES DE ONDA PEMITIDOS NUMA CÉLULA PIMITIVA DA EDE ECÍPOCA É IGUAL AO NUMEO N DE SÍTIOS NO CISTAL. V 3

17 ( π) 3 N / v volume da élula pmtva da ede deta ( π) 3 V / volume do stal Mesmo esultado ue o obtdo paa elétos lves ( F) V ( π) 3 df ( )

18 ª demostação do Teoema de Bloh: ψ( ) Mas o apítulo 9 satsfaz odções de otoo de Bo-vo ama Podemos expad ualue fução obedeedo às odções de otoo de Bo-vo ama em odas plaas satsfazedo às CC ψ e. ( ) om 3 1 m b N, m teo

19 U( ) peoddade da ede U ( + ) U( ) U. ( ) U e ede eípoa Ode os oefetes de Foue são dados po 1. U de U ( ) v élula

20 U 1 du v ( ) 0 0 defe ogem da eega poteal U ( ) * éeal U U Assumdo smeta de vesão (paa esolha oveete de ogem) U ( ) U( ) U eal U U U *

21 Vamos substtu ψ. e ( ) U. ( ) U e a euação de Shödge m h + U ψ ( ) εψ A otbução da eega éta os dá: h h. ψ e m m

22 e e U U.. ψ ( ) e U e U '.,., + + e C U U., ψ 0 '. + U m e h ε A otbução da eega poteal os dá: A euação de Shödge fa:

23 ( ) V V e d,. δ 0 + U m h ε PAA TODOS OS VETOES DE ONDA PEMITIDOS +, 1ª Zoa de Bllou ( ) + 0 U m h ε ( ) 0 + U m h ε 1ª ZB { } otogoal ojuto e :.

24 N poblemas depedetes paa ada fxo a 1ª Z.B. ψ ψ ( e )... ( ) e e u( )peóda TEOEMA DE BLOCH!! fxo 1ª Z.B., G, ; vaável ede eípoa, 1 G G3... euações om ógtas ε ( ) 1,,3,..., ídede bada

25 Teoema de Bloh ( ) ( ) u e. ψ ( ) ( ) u u om +, ( ) ( ) e ψ ψ. + ou

26 (1) OBSEVAÇÕES veto de oda p p h h h ( e u ( ) ).. ψ ψ hψ + e u ( ) [ H, p ] 0 h ψ h NÃO É UMA AUTOFUNÇÃO DO OPEADO MOMENTUM! : ystal mometum do eléto : uâto aateísto da smeta de taslação do poteal peódo

27 () Ambgudade a defção de o teoema de Bloh pode se osdeado sempe a 1ª zoa de Bllou + G om G. e 1 a ( 3) Dado 1 ZB Hψ ε ( ). ( ) e u ( ) Exste um ojuto de autofuções e autovaloes assoados a ε Faxa ou bada de eega

28 Fee-eleto eegy bad stutue the edued-zoe sheme fo a f latte

29 GaAs

30 (4) Teoa de petubação paa fxo Velodade méda dos elétos o ível om veto de oda v 1 ( ) ε( ) h Ve apêde E

31 (5) Estado fudametal ε ε F Nível de Fem 1 ε ) ε F ( Defe uma supefíe o espaço : supefíe de Fem

32 Metal ε ε F 1

33 Isolate ou semoduto ε 1 Gap de eega 0 0 B T amb >> B T amb semoduto solate

34 Deve de asa: Ashoft apítulo 8 LE TODO!! Poblema 1 Moste ue o teoema de Bloh ψ. ψ ( ) + e ( ) Moste ue ( + ) e ψ ( ) ψ. Teoema de Bloh