Rede recíproca. Cap 2 KITTEL Cap 5 ASHCROFT- MERMIN Cap 4 IVAN

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1 Rede ecípoc Cp KITTEL Cp 5 ASHCROFT- MERMIN Cp 4 IVAN

2 Algums definições Definição ede ecípoc Plnos de Bgg Zons de Billouin Plnos de ede; índices de Mille

3 Rede ecípoc difção em cistis cálculo de estutus de nds de enegi leis de consevção de momentum Funções com peiodicidde d ede etc...

4 Definição Considee um conjunto de pontos R constituindo um ede de Bvis. O conjunto de todos os vetoes de ond K que dão oigem à onds plns ik. e com peiodicidde d espectiv ede de Bvis é conhecido como ede ecípoc (d ede de Bvis). e ik. ( R ) ik. e e ik R., R

5 ( ) ( ) ( )... { },, Rede de Bvis (ede diet) Rede ecípoc { },,

6 k k k K ij i j δ. j i j i ij 0 δ onde (delt de Konecke) n n n R. R ik e, R def. ede ecípoc R n n k n k n k KR, ) (.,, k k k inteios quisque inteio

7 A ede ecípoc é um ede de Bvis! G, { }, n n n : vetoes pimitivos d ede ecípoc A ede ecípoc d ede ecípoc é ede diet oiginl.( e ig K. ), G, etc... { K} { R} Most Cp5 Polem

8 Exemplos Rede ecípoc p ede cúic simples (SC) x, y, ( ) z x, y,. z SC Rede ecípoc é cúic simples com pâmeto de ede v ( ) / e V V ( ) / v Most Cp5 Polem

9 ( ) ( ) ( ) z y x y x z x z y,, ( ) ( ) ( ) y x z x z y,, Célul cúic : FCC 4 ( ). v ( ) 4 4. V ( ) v V Rede ecípoc p ede BCC Célul cúic : BCC Rede ecípoc p ede BCC é ede FCC

10 ( ) ( ) ( ) y x z x z y,, Célul cúic : FCC ( ) ( ) ( ) z y x y x z x z y,, Célul cúic : BCC 4 ( ) v V Rede ecípoc p ede FCC ( ) 4. v ( ) 4. V Rede ecípoc p ede FCC é ede BCC

11 Rede ecípoc p ede D qudd x, y ede qudd, x, y ede qudd, Rede ecípoc p ede D x x

12 cz y x x,, z c y y x, 4, ede hexgonl, c, 4 Rede ecípoc p ede hexgonl, c Most Cp5 Polem ede hexgonl com eixo x gido de 0º

13 PLANO DE BRAGG K espço ecípoco Plno pependicul linh issetiz que lig oigem um ponto d ede ecípoc K

14 ZONAS DE BRILLOUIN A célul pimitiv de Wigne-Seitz d ede ecípoc é chmd de PRIMEIRA ZONA DE BRILLOUIN PRIMEIRA ZONA DE BRILLOUIN de um ede de Bvis no espço dieto célul de Wigne-Seitz d ede ecípoc espectiv ª Zon de Billouin : conjunto de pontos no espço ecípoco que pode se lcnçdo d oigem sem cuz nenhum plno de Bgg.

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16 Rede unidimensionl Rede diet k 0 k Rede ecípoc ª zon de Billouin

17 Rede qudd Rede cúic: ª zon de Billouin tmém é cúic, de ldo

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19 Rede BCC Rede diet: BCC Rede ecípoc: FCC 4 ª zon de Billoun: homic dodecehedon Vetoes que ligm oigem o cento ds fces: ( vetoes) ( ± x ± y ), ( ± x ± z ), ( ± y ± z )

20 Rede FCC Rede diet: FCC Rede ecípoc: BCC 4 ª zon de Billoun: octedo tuncdo Vetoes que ligm oigem o cento ds fces: ( ± x), ( ± y), ( ± z), ( ± x ± y ± z )

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24 Zons de Billouin Espço ecípoco: dinâmic dos elétons n ede ttd no espço dos momentos Um veto de ond É equivlente todos os vetoes k k K n ª ZB onde K É um veto d ede ecípoc De mnei equivlente: um veto de ond k fo d ª ZB Pode se etido p ª ZB sutindo-se o K popido

25 Esfe de Femi e ª zon de Billouin Zons de Billouin p um ede qudd e esfe de Femi ª zon de Billouin e supefície de Femi no esquem eduzido k F ( n) V ZB Depende pens de n Depende pens d geometi

26 Esfe de Femi e ª zon de Billouin

27 PLANOS DE REDE Fmíli de plnos de ede: conjunto de plnos de ede, plelos, igulmente espçdos que contém todos os pontos d ede de Bvis. P cd fmíli de plnos de ede, sepdos pel distânci d, existem vetoes d ede ecípoc pependicules os plnos, sendo o de meno tmnho de compimento. d P cd veto d ede ecípoc, existe um fmíli de plnos de ede nomis à K e sepdos pel distânci d, onde é o compimento do meno veto d ede ecípoc // K. d

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29 ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS DE REDE Um plno com índices de Mille (h k l) é noml o veto d ede ecípoc h k l Note que os índices de Mille dependem d escolh pticul dos vetoes pimitivos. Índices de Mille : conjunto de inteios sem ftoes comuns, invesmente popocionis às intesecções do plno cistlino com os eixos,, do cistl. h : k: l x : x : x N pátic, somente n descição de cistis não cúicos é que se deve lem que os índices de Mille são s coodends d noml no sistem ddo pel ede ecípoc e não pel ede diet.

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31 Fces do cuo p um cistl cúico : ( 00)(, 00)(, 00, )( 00, )( 00, )( 00) { 00} (equivlentes po simeti) DIREÇÃO NO ESPAÇO REAL : [ n ] [ 00][, 00, ][ 00, ][ 00, ][ 00, ][ 00] 00 n n R n n n Em cistis cúicos dieção [ ] h kl ( ) é o plno hkl tendo os mesmos índices; isto não é, em gel, vedde p outos sistems.

32 Deve de cs: Ashcoft cpítulo 5 LER TODO!! Polems, e

33 Deteminção d estutu cistlin po difção de ios-x Cp 4- MARDER Cp 6 ASHCROFT- MERMIN Apêndice A- IVAN Semináio: difção de ios-x, difção de neutons, difção de elétons (LEED - low enegy electon diffction) (RHEED- eflection high enegy electon diffction)