Rede de Bravais. Cap 1 KITTEL Cap 4 ASHCROFT- MERMIN (todo) Cap 7 ASHCROFT- MERMIN (parte) Cap 4 IVAN

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Thais Guimarães Gameiro
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1 Rede de Bravais Cap 1 KITTEL Cap 4 ASHCROFT- MERMIN (todo) Cap 7 ASHCROFT- MERMIN (parte) Cap 4 IVAN

2 Veremos hoje Rede de Bravais.. Vetores primitivos Redes 2D e 3D Célula unitária primitiva célula primitiva de WIGNER-SEITZ célula unitária convencional Estrutura cristalina: rede + base Alguns exemplos Simetrias

3 Rede de Bravais 1) Arranjo infinito e discreto de pontos tal que a disposição e orientação dos pontos é EXATAMENTE idêntica a partir de qualquer ponto da rede. r a 2) Conjunto de pontos R definidos por Em 3D Em 2D r r, a 1 a2, 3 r R r R = = r na r na r n2a2 + n3a3 r n2a2 VETORES PRIMITIVOS DA REDE (linearmente independentes) r n 1 n2,, n 3 varrem todos os valores inteiros

4 1 os vizinhos: sítios mais próximos Número de coordenação (z) : número de 1 os vizinhos

5 Para uma dada rede de Bravais o conjunto de vetores primitivos não é único na realidade, existem infinitas escolhas.

6 Auguste Bravais Em 1845 enumerou todas as possíveis redes fundamentais 2D 3D 5 redes 14 redes

7 Redes de Bravais 2D oblíqua retangular retangular centrada hexagonal quadrada

8 Redes de Bravais 2D quadrada hexagonal a = b ϕ = 90º a = b ϕ = 120º retangular Retangular centrada a b ϕ = 90º a b ϕ = 90º oblíqua a b ϕ 90º

9 Redes de Bravais 3D P Primitive centering: pontos de rede nos apenas nos cantos da célula I Corpo centrado: um ponto adicional no centro da célula F Face centrada: um ponto adicional no centro de cada face da célula C Centrada em uma única face (A, B ou C): um ponto adicional no centro de um tipo de face

10 P I F C Cúbica SC BCC FCC tetragonal ortorrômbica hexagonal triclínica monoclínica nica Rhomboédrica (trigonal)

11 β a r 1 γ a r 3 CUBIC (3) a1 =a2 = a3 α = β = γ = 90 TETRAGONAL (2) a1 =a2 a3 α = β = γ = 90 ORTHORHOMBIC (4) a1 a2 a3 α = β = γ = 90 MONOCLINIC (2) a1 a2 a3 α = γ = 90 β TRICLINIC (1) a1 a2 a3 α β γ TRIGONAL (1) a1 =a2 = a3 α = β = γ <120, 90 HEXAGONAL (1) a1 =a2 a3 α = β = 90 γ =120 α a r 2

12 Rede cúbica simples r a 1 =(1, 0, 0) a r a 2 =(0,1, 0) a r a =(0, 3 0,1) a z=6 a parâmetro de rede

13 Rede cúbica de corpo centrado - BCC

14 BCC z=8 r a 1 = a(1, 0, 0) r a 2 = a(0,1, 0) Distância entre primeiros vizinhos r a = 3 a 2 (1,1,1) a 3 2

15 a r 1 = a ( 1,1,1) a r 2 = a (1, 1,1) a r 3 = a (1,1, 1) 2 2 2

17 Rede cúbica de face centrada - FCC

18 FCC r a = 1 a (0,1,1) 2 r a = 2 a 2 (1, 0,1) z=12 r a = 3 a 2 (1,1, 0) Distância entre primeiros vizinhos a 2 2

21 CÉLULA UNITÁRIA ou CÉLULA UNITÁRIA CONVENCIONAL Qualquer volume (área) finito que preenche completamente o espaço mediante translações convenientes sem superposições ou faltas 1 t convenientes = subconjunto de todas as possíveis { t } 3 2 t 1 e 3 o subconjunto é todo conjunto { t } 4 2 o subconjunto é um subconjunto de { t } 4 não é célula unitária

22 CÉLULA UNITÁRIA PRIMITIVA A célula unitária primitiva é uma célula unitária de área mínima. Uma célula primitiva deve conter somente um ponto da rede. Não há maneira única de se escolher uma célula primitiva para uma dada rede de Bravais. O volume da célula primitiva é independente da escolha da célula. 2D 3D A V r r 0 = a1 a2 r r r ( a1 a2 ) 3 0 = a

23 Escolhas possíveis de célula unitária primitiva Contém 1 (e apenas 1) ponto da rede

25 n : densidade de pontos na rede nv = 1 v = 1/n volume da célula primitiva r a r a r a Rede FCC a 1 = (0,1,1) a 2 = (1, 0,1) a 3 = (1,1, 0) r r r V = a = 0 ( a a ) a 4 célula unitária convencional (cúbica) V = 4V 0 4 átomos/célula Rede BCC V = 2V 0 2 átomos/célula

26 V = 2V0

27 CÉLULA PRIMITIVA DE WIGNER-SEITZ A célula de Wigner-Seitz em torno de um ponto da rede é a região do espaço que é mais perto deste ponto do que de qualquer outro ponto da rede. A célula de Wigner-Seitz tem a mesma simetria da rede de Bravais. A célula de Wigner-Seitz em torno de um ponto da rede pode ser construída ligando o ponto a todos os outros da rede, passando planos s ao ponto médio de cada linha e tomando o menor poliedro contendo o ponto e limitado por estes planos.

29 Rede com base

30 Rede honeycomb 1) Arranjo infinito e discreto de pontos tal que a disposição e orientação dos pontos é EXATAMENTE idêntica a partir de qualquer ponto da rede. A orientação é idêntica a partir de A e C,, mas não de A e B ou C e B A C B A rede honeycomb não é uma rede fundamental z = 3

31 Rede com base Rede triangular z = 6 Rede fundamental Rede triangular + base base

32 ESTRUTURA CRISTALINA: REDE + BASE

33 ESTRUTURA CRISTALINA: REDE + BASE Para enfatizar a simetria cúbica das redes BCC e FCC BCC rede SC + r a 0, (ˆ x + yˆ + zˆ) 2 base com 2 pontos FCC rede SC + r a a a 0, ( xˆ + yˆ), ( yˆ + zˆ), ( zˆ + xˆ) base com 4 pontos

34 Rede diamante z = 4 Não é uma rede de Bravais FCC + BASE o r a (ˆ x + 4 yˆ + zˆ)

36 Estrutura Zincblende z = 4 Não é uma rede de Bravais Átomos de Zn e S em uma rede diamante o r Zn FCC + BASE a 4 ( xˆ + yˆ + zˆ) S

38 Rede hexagonal é uma rede de Bravais r a r a 3 axˆ, a xˆ 2 = + ayˆ, a = = czˆ

39 Estrutura HCP (hexagonal closed packed) Não é uma rede de Bravais rede de Bravais hexagonal simples + base c a 8 3 ideal = 0 r r a 3 r a r 1 2 a3 2

41 Estrutura do NaCl Na Cl 0 r a (ˆ x + yˆ + zˆ) 2

42 Estrutura do CsCl o r a (ˆ x 2 + yˆ + zˆ) Cs Cl

43 Simetrias do estado cristalino Cap 7 ASHCROFT- MERMIN (parte) Cap 4 IVAN

44 Operações de simetria pontuais Operações que deixam um dado ponto da rede fixo

45 E Identidade: Leva todas as coordenadas nelas mesmas E(x,y,z)=(x,y,z) I Inversão: Todas as coordenadas são invertidas em relação a um ponto I(x,y,z)=(-x,-y,z) C n Rotação: Rotação de 360º/n em torno de um eixo eixo z C 4 (x,y,z)=(y,-x,z) σ h Reflexão em um plano horizontal σ v Reflexão em um plano vertical σ d Reflexão em um plano diagonal S n Rotação imprópria: Rotação de 360º/n seguida por uma reflexão em um plano horizontal Sn= σ h Cn

46 Exemplo Possui os elementos de simetria C 4,, C 42, C 4 3 e C 44 =E Possui os elementos de simetria C 42 e C 44 =E Não possui os elementos de simetria C 4, e C 4 3

47 Grupo de simetria de uma rede de Bravais (1) Translações por vetores da rede de Bravais (2) Operações de simetria pontuais (3) Operações construídas pela aplicação sucessiva de (1) e (2)

48 β a r 1 γ a r 3 Point Groups 7 (seven crystal systems) Space Groups 14 ( 14 Bravais lattices) CUBIC (3) a1 =a2 = a3 α = β = γ = 90 TETRAGONAL (2) a1 =a2 a3 α = β = γ = 90 ORTHORHOMBIC (4) a1 a2 a3 α = β = γ = 90 MONOCLINIC (2) a1 a2 a3 α = γ = 90 β TRICLINIC (1) a1 a2 a3 α β γ TRIGONAL (1) a1 =a2 = a3 α = β = γ <120, 90 HEXAGONAL (1) a1 =a2 a3 α = β = 90 γ =120 α a r 2

49 Grupo de simetria de uma rede de Bravais: grupo espacial Grupo de simetria pontual (subconjunto do grupo de simetria da rede de Bravais)

52 Estrutura cristalina: rede +base

54 Redes óticas

55 COLÓQUIO DO IF-UFRJ 5a-FEIRA, 27 de agosto 11H - SALA 343A Anderson localization of ultra-cold atoms Prof. Alain Aspect Institut d'optique Palaiseau, França.

56 Dever de casa: Ashcroft capítulo 4 LER TODO!! Problemas 1, 2, 3 e 6

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