Cinemática dos Corpos Rígidos

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1 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 inemátic dos opos Rígidos Neste cpítulo seão considedos pens moimentos plnos dos copos ou conjuntos de copos ígidos. Os moimentos clssificm-se em: tnslção, otção e moimento plno gel. Tnslção O moimento de tnslção de um copo ígido ssemelh-se o moimento d ptícul. cd instnte, todos os pontos do copo (tods s ptículs que o constituem) têm os ectoes de deslocmento, elocidde e celeção exctmente iguis. ect que lig dois pontos bitáios e (dus ptículs e que petencem o conjunto de ptículs que constituem esse copo) do copo ígido mntem-se plel em cd instnte dunte o moimento e po isso s tjectóis de todos os pontos mntêm-se tmbém plels. tjectói pecoid pelo copo pode se ect ou cu, ou sej tnslção denomin-se ectilíne (figu bixo à esqued- s tjectóis são ects) ou cuilíne (figu bixo à dieit- s tjectóis são cus). Qulque ponto do copo pode ccteiz o moimento de tnslção de mnei inequíoc e igul. Sej / o ecto que lig dois pontos bitáios e do copo ígido. Sendo este ecto constnte o logo do tempo, tods s deids segundo o tempo são nuls e po isso: / /

2 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 O ecto do deslocmento que é o ecto que lig posição inicil de um ponto com su posição finl num ddo instnte de tempo, pode escee-se como: u Neste cso designou o ecto de posição do ponto n su no posição, ou sej. Ds elções cim ê-se que: / / ou sej os ectoes de deslocmento são iguis u u s deduções pesentds compom s definições dits cim. Rotção Dunte o moimento de otção, cd ptícul que constitui o copo fz o moimento cicul, ou sej tjectói d ptícul é um cicunfeênci com o io definido pel distânci dest ptícul o cento de otção. Neste cso usm-se tl como n cinemátic d ptícul, gndezs ngules, ou sej: o ângulo pecoido d, elocidde ngul d/s e celeção ngul d/s. Se distânci ente e fo o cminho pecoido coincide com o co s, intensidde d elocidde line é e diecção do ecto coespondente é tngente à tjectói no sentido de pogessão do moimento. intensidde d celeção tngencil é e diecção do ecto coespondente t é tngente à tjectói no sentido de pogessão do moimento qundo cele e no sentido oposto qundo descele. Existe ind componente noml d celeção cuj intensidde é, tngente) com o sentido diecciondo p o cento d otção, independente do sentido do n e diecção do ecto coespondente é noml à tjectói (pependicul à ecto t. t t celedo desceledo P distingui clmente s dus elociddes, us-se às ezes o djectio line, ou sej elocidde com unidde [m/s] pode se chmd, elocidde line. Neste contexto pl line não tem nd e com lgum função line, pens epesent o ecto, tl como po exemplo o temo, mol line. O ecto neste sentido não limit o moimento p o ectilíneo.

3 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 Moimento plno gel O moimento plno gel pode cd instnte sep-se em tnslção e otção. Est sepção pode plic-se o moimento finito ou infinitesiml e plic-se os deslocmentos, elociddes e celeções. P defini est sepção utiliz-se definição do moimento eltio, ou sej: u u u / / / Ests equções podem se utilizds pens estitmente no seu sentido ectoil. s equções é fácil de deco, imginndo que equção plic-se os índices e que / epesent substção, depois os índices dizem: =+-. O significdo físico diz que o deslocmento ( elocidde, celeção) do ponto pode se obtid usndo o deslocmento ( elocidde, celeção) do ponto mis o deslocmento ( elocidde, celeção) eltio de eltimente o. No moimento plno gel qundo os dois pontos petencem o mesmo copo (ou epesentm o mesmo moimento plno gel) o moimento eltio é epesentdo pel otção, o que fcilit utilizção ds equções cim. Ou sej, o temo do moimento eltio epesent otção do ponto em tono do ponto, ou sej, o moimento em que o ponto está cicul e o ponto pemnece fixo e epesent o cento de otção. O ponto pode se designdo o ponto de efeênci, e o ponto, cujs componentes s equções cim deteminm, pode se chmdo o ponto de inteesse. omo já deduzido p os deslocmentos no cpítulo PTV, os pontos de efeênci difeentes está ssocid componente de tnslção difeente, ms componente de otção seá sempe igul. Visto elocidde se tngente à tjectói, o IR detemindo p definição dos deslocmentos elementes seiá tmbém p definição de elociddes, poque s elociddes induzem em tempo infinitesiml os deslocmentos infinitesimis ns mesms diecções e sentidos. Po isso o IR pode-se defini como o ponto de elocidde nul e est definição i design o mesmo IR que foi utilizdo no cpítulo PTV. Ns figus bixo epesentm-se áios csos de sepções dos moimentos. figu cim epesent o moimento d b encostd às dus supefícies. su posição inicil é zul, e finl é ede. Escolhendo o IR como o ponto de efeênci, o moimento pode se epesentdo pens como um otção em tono do IR. Not-se que o IR mud su posição cd instnte, e po isso o moimento finito tem que se constuído como som dos

4 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 moimentos infinitesimis. No entnto bitndo qulque outo ponto como de efeênci, o moimento sep-se nomente em tnslção e otção. set que coesponde o deslocmento de tnslção é difeente p pontos de efeênci difeentes, ms contibuição d otção pemnece igul. O moimento epesentdo não pecis de se infinitesiml, ms pode se finito. O mesmo eific-se p s esfes, ods ou discos em moimento de olmento sem escoegmento. O moimento epesentdo n figu cim pode-se sep em tnslção e otção, o ponto de efeênci que se costum us mis fequentemente é o ponto. Tnslção Rotção

5 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 Poblems que enolm pens s elociddes s s bs ou os conjuntos de bs em pincípio fomm s estutus eticulds. omo justificdo cim, os poblems que enolm pens s elociddes esolem-se d mnei explicd no cpítulo PTV. difeenç bsei-se em dois pontos: (i) estutu do enuncido seá já um mecnismo, ou sej, não se i intoduzi nenhum libetção como no cpítulo PTV; (ii) o objectio do cálculo seá o cmpo de elociddes, e po isso 1 lo seá ddo e com su implementção os estntes loes seão clculdos. Isso é álido p mecnismos com 1 GDL, poque, em nlogi, o cmpo de deslocmentos infinitesimis de um mecnismo com 1 GDL é definido i 1 pâmeto. Se estutu nlisd fosse um mecnismo com mis GDL, mis ddos tem que se definidos p se pode esole o poblem em cus. P descobi o cmpo de elociddes, pode tç-se o cmpo de deslocmentos infinitesimis e substitui os deslocmentos pels elociddes linees e os ângulos de otção pels elociddes ngules. Poblem Sbendo que b tem elocidde ngul 3d/s no sentido nti-hoáio, detemine s elociddes ngules ds bs 150 D e DE. Resolução: 1. Sepção em copos e deteminção dos IRs opo I: b opo II: b D opo III: b DE Os poios fixos coespondem os IRs bsolutos o que define IR 1 e IR 3 Rótuls intens coespondem os IRs eltios o que define IR 1 e IR 3 O pimeio teoem pemite tç ects (emelhs tcejds) que deteminm posição 150 do IR. O IR está posiciondo n intesecção dests ects. Visto s ects seem plels, o IR está posiciondo no infinito n diecção ds ects.. O cmpo de elociddes st estbelece s elções ente s elociddes ngules em semelhnç com os deslocmentos ituis, onde o objectio e estbelece s elções ente os ângulos de otção. IR 1 IR IR IR IR, IR 3 IR 3 DE D

6 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 O cmpo de elociddes pode se epesentdo n figu ou em pojecção. No entnto este poblem é tão simples que isulizção de cmpo de elociddes podeá se feit diectmente n figu. Pode-se deduzi que: D DE 1 DE 1,5d/s (hoáio) 0 (copo em tnslção) D Not-se que o cálculo é feito n fom escl e sem sinis. O sentido ds elociddes detemin-se de codo com o esboço. É impotnte elç que o cálculo efee-se pens um ddo instnte de tempo, em que s bs encontm-se n posição mostd. nçndo o moimento, posição ds bs (que tei de se detemind pels egs de moimento finito e não infinitesiml) seá difeente e cetmente o IR d b D não i continu no infinito, e po isso b teá lgum elocidde ngul. deteminção dest elocidde já não sei tão fácil como no cálculo nteio. Not-se no entnto que os IRs ds outs bs, e DE pemneceão inltedos. Neste contexto fz sentido distingui os IRs bsolutos fixos e móeis. O IR bsoluto fixo é hbitulmente quele que foi detemindo n posição de poio fixo, não mud su posição o longo do moimento finito e po isso lém de te s popieddes do IR, coincide tmbém com o cento do moimento de otção do copo que petence. O IR bsoluto móel é hbitulmente detemindo n intesecção de lgums ects e po isso mud su posição cd instnte. No poblem nteio deteminm-se s elociddes ngules ds bs. Se foem solicitds lgums elociddes linees, ests deteminm-se do mesmo modo como os deslocmentos n pte de PTV. No poblem nteio isso foi plicdo no cálculo ds elociddes e D. Rods (Discos, Esfes) Os pincipis moimentos ds ods são o moimento de otção e o moimento de olmento. Qundo o olmento ocoe sem o escoegmento, isso signific que s supefícies cujos pontos entm em contcto nçm de tl modo que o compimento pecoido, s, é igul. Isso signific que não há moimento eltio ente esses pontos e po isso elocidde do ponto de contcto tem que se igul. Se od ol sobe um supefície em epouso, elocidde do ponto de contcto é nul e p os efeitos de nálise de moimento, este ponto coincidiá com o IR (bsoluto). Se od ol sobe um supefície em moimento, ou sobe out od em moimento, elocidde do ponto de contcto é difeente de zeo e p os efeitos de nálise de moimento, este ponto coincidiá com o IR eltio. É necessáio distingui o ponto de contcto, do ponto comum. O ponto comum, po exemplo um ótul inten, hbitulmente petence dois copos e po isso eific s egs do moimento de cd um dos copos e os seus ectoes de deslocmento, elocidde e celeção são únicos. O ponto de contcto em pincípio epesent pontos distintos, e cd um petence um copo

7 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 difeente. Qundo não há escoegmento no lug de contcto, s componentes tngenciis do deslocmento infinitesiml, d elocidde e d celeção são iguis. No cso do deslocmento infinitesiml e d elocidde, não existem outs componentes do que s tngenciis, e po isso pode-se dize que o deslocmento infinitesiml e elocidde no ponto de contcto são iguis. P s celeções isso já não é edde, componente noml de celeção dos dois pontos que entm em contcto, em gel, seá sempe difeente. Este fcto é bstnte impotnte e seá ind efeido n pte ds celeções. Dois pontos de elociddes conhecids D teoi pesentd no cpítulo PTV, ton-se óbio que sbendo s elociddes de dois pontos que petencem o mesmo copo, é possíel detemin posição do IR tl como se isuliz n figu o ldo. No entnto eific-se que neste cso s intensiddes de elociddes são dependentes, poque tem que eific: IR IR Qundo os ectoes de elociddes são plelos, o copo sofe um tnslção e os ectoes têm que te mesm intensidde, poque o IR coespondente está no infinito, n diecção pependicul às diecções ds elociddes (figu bixo, à esqued). pens qundo se eific que os pontos e estão colocdos n mesm ect pependicul os ectoes de elociddes, s intensiddes de elociddes podem se difeentes (figu bixo, à dieit) e elocidde ngul eific: IR IR P complet, pode-se dize que sbendo elocidde no ponto e elocidde ngul, o IR pode se fcilmente encontdo n ect pependicul à elocidde, à distânci d eific IR O mesmo é álido p os deslocmentos infinitesimis. IR que

8 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 Poblem O bço gi com um elocidde ngul de no sentido hoáio. s ods e, de ios e olm sem escoeg sobe si. Detemine elocidde ngul d od p qul: ) elocidde ngul d od é de no sentido ntihoáio; b) o moimento d od é um tnslção cuilíne. Resolução O mecnismo d figu é composto po 3 copos, dus ods e um b. od está poid, e po isso fz o moimento de otção em tono do poio, que coincide com o seu IR bsoluto. Este ponto coincide tmbém com o ponto em tono do qul od b, é po isso tmbém o IR d b. O cento d od, onde há ligção ente od e b, é o ponto comum dois copos, ou sej o IR eltio, e po isso elocidde neste ponto pode se elciond que à od, que à b. Finlmente o ponto de contcto é o IR eltio ds dus ods. O esboço dos moimentos foi fstdo d figu ds ods p não se confundi. Neste cso não foi pojectdo p lgum ect pticul, poque sbendo os ios ds ods, não é ntjoso isuliz o esboço em pojecção com compimentos pojectdos. Po isso, tmbém s elociddes isulizm-se nos seus loes eis e não pojectdos. posição defomd d od está epesentd pel ect emelh. Est ect de fcto coesponde à posição defomd do io d od ssumindo um moimento infinitesiml inicido qundo este io est linhdo com b. Igulmente od, epesentd pel ect ede, coesponde à posição defomd do io d od. b está epesentd pel ect zul. O esboço eific s mesms elociddes no ponto, ente od e b (ects ede e zul), e no ponto, ente od e od (ects emelh e ede). Polongndo ect ede, encont-se o ponto d elocidde nul d od. Ou sej, o IR d od foi encontdo d mnei explicd nteiomente e efee-se dois pontos de elociddes conhecids. Os declies ds ects epesentm s elociddes ngules. P se elcion elocidde ngul mis fcilmente, foi intoduzid um ect plel à bse do esboço. Not-se que elocidde ngul intoduzid, od no sentido nti-hoáio, tl como exige líne ). Po est zão é possíel elcion os loes pens d fom escl. Do esboço lê-se diectmente: ou sej IR IR IR, IR,

9 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 Este esultdo coesponde à líne ). b) Um tnslção cuilíne signific que od não sofe de otção, ou sej 0 e po isso Poblem O bço gi em tono do ponto com elocidde ngul de 40d/s no sentido nti-hoáio. Dois discos de tito e estão pindos em seus centos o bço do modo mostdo n figu. Sbendo que os discos olm sem escoeg ns supefícies de contcto, detemine elocidde ngul: ) do disco ; b) do disco. 30mm 48mm Resolução Sej D o ponto de contcto ente os dois discos, E o ponto de contcto do disco com cidde, e F out extemidde do disco. N figu o ldo isuliz-se fom defomd do conjunto. esolução começ po epesent b cuj elocidde ngul é dd. Fz-se su otção em tono do no sentido nti-hoáio (ect zul). O Ponto coesponde o IR d b. Est defomd define s elociddes dos centos dos dois discos. Visto que o ponto E tem elocidde nul, coincide com o IR do disco cuj elocidde ngul é d/s (hoáio) 30 F IR IR b elocidde ngul do disco pemite detemin elocidde do ponto do contcto D com o disco. Visto que elocidde do cento do disco é definid pel otção d b, o disco possui dois pontos de elociddes conhecids. Tl como explicdo nteiomente, o IR do disco está posiciondo n intesecção d ect emelh com hoizontl. O declie coesponde à elocidde ngul. P fcilit o cálculo, é possíel imgin s ects emelhs tcejds e clcul D D E IR

10 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 D DE d/s (nti-hoáio) 1 Poblems que enolm s elociddes e s celeções Em pimeio lug é necessáio elç, que em gel é sempe necessáio esole o cmpo de elociddes ntes de começ lid com o cmpo de celeções, poque s elociddes definem s componentes nomis de celeção. pens se o moimento de todos os copos se inicisse do epouso, o cmpo de elociddes sei nulo e consequentemente pode-se-i começ com s celeções. s Depois de detemin os IRs ds bs n pte de elociddes, é possíel sep os IRs em fixos e móeis. Os IRs fixos definem os centos de otção. s bs com IRs fixos fzem o moimento de otção (cd ptícul que constitui b fz moimento cicul) e po isso s componentes noml e tngencil ds sus celeções são bem definids (conhecem-se numeicmente, ou é possíel expimi-ls usndo gndezs incógnits). Qundo o IR fixo está posiciondo no infinito, como po exemplo qundo b tem o poio exteno n fom de encstmento desliznte, celeção ngul d b é nul. Qundo existe um poio móel exteno, ou s condições de moimento implicm tnslção de um ds extemiddes d b, o cálculo pode se juddo pelo fcto de que neste lug é conhecid diecção d celeção totl. Rods (Discos, Esfes) Moimento de otção Dunte o moimento de otção o cento d otção está fixo. s tjectóis de todos os pontos são conhecids e fomds pels cicunfeêncis. O ponto fixo não tem elocidde nem celeção e coesponde o IR fixo. s celeções e s elociddes deteminm-se tl como explicdo nteiomente. Rolmento sem o escoegmento sobe um supefície ect Dunte o olmento sem o escoegmento sobe um supefície ect, o cento d od é o único ponto d od que se moe sobe um tjectói ect. Est tjectói é plel à supefície. Po isso o ecto d elocidde é tmbém plelo à supefície e o ecto d celeção tem pens componente tngencil, tmbém plel à supefície. Neste cso costum-se intepet o moimento d od como o moimento do cento d od, ou sej qundo se diz que od moe-se com um cet elocidde (celeção), ssume-se que o cento d od moe-se com est elocidde (celeção). Ntulmente outos pontos têm elociddes (celeções) difeentes e dependentes d posição d od num ddo instnte do tempo. O ponto de contcto com supefície (somente nesse instnte) tem que eific s condições de contcto sem o escoegmento, ou sej s condições de moimento eltio nulo, ou sej os

11 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 pontos de contcto d od e d supefície têm que te s componentes de elociddes iguis e s componentes de celeção tngenciis iguis. Ms como os pontos petencem os difeentes copos, podem te celeções nomis difeentes. Relç-se que pode-se design componente d celeção como tngencil ou noml, pens qundo tjectói é conhecid. Supefície hoizontl em epouso O ponto de contcto tem elocidde nul e po isso coesponde o IR (móel). s elociddes deteminm-se definindo pimeio elocidde ngul e depois us-se o mesmo pocedimento como n deteminção dos deslocmentos infinitesimis. IR Relç-se que o ecto de elocidde é pependicul à ect e po isso não é pependicul à supefície d od, poque supefície d od não epesent tjectói do ponto. ( supefície d od coesponde à tjectói dos pontos de supefície pens dunte o moimento de otção em que o cento d od coincide com o cento de otção). Usndo o conceito ds pojecções, é possíel detemin elocidde do ponto diectmente em componentes, hoizontl e eticl. P componente hoizontl bst imgin elocidde do ponto posiciondo n ect hoizontl que pss pelo ponto, que é o mis póximo do. Po outs pls, todos os pontos posiciondos n ect hoizontl que pss pelo ponto têm mesm componente hoizontl de elocidde. P componente eticl bst imgin elocidde do ponto n ect eticl que pss pelo ponto, que é o mis póximo do. Po outs pls todos os pontos posiciondos n ect eticl que pss pelo ponto têm mesm componente eticl d elocidde. IR x, 1cos IR IR y, sin

12 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 ou sej 1 cos e sin 1 cos sin 1cos Sublinh-se que este conceito de pojecção podi se genelizdo, ou sej todos os pontos posiciondos sobe um ect têm componente de elocidde n diecção dest ect igul. Este lo equile à multiplicção de com distânci dest ect o IR. Este conceito já foi utilizdo no cpítulo PTV. ind é possíel us o cálculo ectoil 1cos 1cos i j k 0 0 sin sin sin 1 cos Not-se que foi intoduzido como negtio, poque tibuição do ecto us eg de mão dieit. O cálculo podei se efectudo diectmente usndo simplificção que eduz o esultdo p D e em que pimei multiplicção com elocidde ngul (cujo sinl foi intoduzido de codo com eg de mão dieit) us segund componente do ecto com o sinl ineso e segund multiplicção pimei componente. 1 cos sin sin 1 cos 1 cos 1 cos sin sin Not-se que o cálculo nteio podi justific-se i popgção de elociddes com o ponto de efeênci, ou sej / /. É ind possíel us popgção de elociddes com o ponto de efeênci coincidente com o cento d od : cos sin sin 1 cos /,0 0 cos 0 sin celeção do ponto do contcto Sbe-se que o ponto do contcto tem componente tngencil de celeção nul. Usndo popgção de celeções: 0 / n, 0

13 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 Neste cso simples usm-se diectmente s componentes de celeção noml e tngencil ns posições ds componentes, eticl e hoizontl. n,, fixo N pimei figu isulizm-se s celeções conhecids, ou sej sbe-se celeção do cento e celeção tngencil do ponto de contcto. Pode he celeção noml no ponto, ms o seu lo n, ind é desconhecido. O moimento sep-se em tnslção com e otção em tono do. tnslção isuliz-se n segund figu, todos os ponto inclusie e têm mesm celeção do, ou sej. otção isuliz-se n tecei figu. O ponto está fixo e o ponto fz o moimento de otção. omo o moimento é de otção, sbe-se tjectói e podem-se us s componentes d celeção n fom tngencil e noml tl como definidos p o moimento cicul. P isso é peciso sbe elocidde ngul, que tee que se detemind n pte de elociddes. Flt ind celeção ngul, e po isso intoduz-se como um lo desconhecido e bit-se o seu sentido. Veific-se que s componentes no ponto são epesentds n equção cim. equção é ectoil e tem dus incógnits, esolendo em: / e n,. Pode-se ssim conclui que, sbendo s componentes de celeção totl em pontos distintos que petencem o mesmo copo (fzem o mesmo moimento), pode-se detemin celeção ngul do modo semelhnte como se costum detemin elocidde ngul. P s celeções é necessáio us s componentes que são pependicules à ect que une estes dois pontos. celeção ngul coesponde o ângulo ssim definido. celeção do ponto Deteminção gáfic i popgção de celeções: sepção em tnslção com e otção em tono do, costum se sepção mis ntjos, poque o moimento de otção depois coincide com o moimento de otção em tono do cento d od, em que s componentes de celeção são bem conhecids.?, fixo cos sin 1 cos sin / 0 sin cos sin cos

14 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 O cálculo ectoil segue o mesmo ciocínio sin sin / 0 0 cos cos cos sin 1 cos sin 0 sin cos sin cos Velociddes Supefície hoizontl em moimento dmite-se que um od ole sem escoeg sobe um supefície que tmbém está em moimento. od moese com elocidde p dieit e cele pelo. / / supefície moe-se n mesm diecção com elocidde / e descele pelo /. Petende-se detemin elocidde e celeção no ponto d od. O ponto de contcto não tem elocidde nul, po isso é necessáio detemin o IR (móel) usndo o pocedimento definido p pontos de elociddes conhecids. s elociddes deteminm-se definindo pimeio elocidde ngul e depois us-se o mesmo pocedimento como n deteminção dos deslocmentos infinitesimis. IR / posição do IR foi detemind usndo semelhnç dos tiângulos. Relç-se nomente que o ecto de elocidde é pependicul à ect IR e po isso não é pependicul à supefície d od poque est não epesent tjectói do ponto. Usndo o conceito ds pojecções, é possíel detemin elocidde do ponto diectmente em componentes, hoizontl e eticl. P componente hoizontl bst imgin elocidde do ponto posiciondo n ect hoizontl que pss pelo ponto, que é o mis póximo do IR. Po outs pls, todos os pontos posiciondos n ect hoizontl que pss pelo ponto têm mesm componente hoizontl de elocidde. P componente eticl bst imgin elocidde do ponto n ect eticl que pss pelo ponto, que é o mis póximo do IR. Po outs pls, todos os pontos posiciondos n ect eticl que pss pelo ponto têm mesm componente eticl d elocidde. Ou sej IR IR

15 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 cos e sin cos sin 5 4cos IR ind é possíel us o cálculo ectoil, que neste cso coesponde popgção de elociddes com o ponto de efeênci igul o IR : i j k cos IR 0 0 sin sin cos 0 0 O cálculo podei se efectudo diectmente usndo simplificção que eduz o esultdo p D: sin cos IR cos sin implementndo sin IR cos É ind possíel us popgção de elocidde, po exemplo, com o ponto de efeênci coincidente com o cento d od: sin cos / 0 0 cos sin Tmbém pode se utilizdo outo ponto de efeênci, po exemplo o ponto : / sin cos / cos sin celeção do ponto do contcto Sbe-se que o ponto do contcto tem componente tngencil de celeção definid. Usndo popgção de celeções: / / n, 0 Neste cso simples usm-se diectmente s componentes de celeção noml e tngencil ns posições ds componentes, eticl e hoizontl. / n,, fixo

16 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 N pimei figu isulizm-se s celeções conhecids, ou sej, sbe-se celeção do cento e celeção tngencil do ponto de contcto. Pode he celeção noml no ponto, ms o seu lo n, ind é desconhecido. O moimento sep-se em tnslção com e otção em tono do. tnslção isuliz-se n segund figu, todos os pontos, inclusie e têm mesm celeção do, ou sej. otção isuliz-se n tecei figu. O ponto está fixo e o ponto fz moimento de otção. omo o moimento é de otção, sbe-se tjectói e podem us-se s componentes d celeção n fom tngencil e noml, tl como definidos p o moimento cicul. P isso tem que sbe-se elocidde ngul, que tee que se detemind n pte de elociddes. Flt ind celeção ngul, e po isso intoduz-se como lo desconhecido e bit-se o seu sentido. Veific-se que s componentes no ponto são epesentds n equção cim. equção é ectoil e tem dus incógnits, esolendo em: 1,5 / e n,. Ou sej, celeção ngul deteminou-se usndo dus componentes de celeção conhecids, que ctum n diecção pependicul à ect que une os pontos e, tl como se isuliz n figu o ldo. celeção do ponto Deteminção gáfic i popgção de celeções: sepção em tnslção com e otção em tono do, costum se sepção mis ntjos, poque o moimento de otção depois coincide com o moimento de otção em tono do cento d od, em que s componentes de celeção são bem conhecids. / n,?, fixo, 5 cos sin 5 cos sin 4 cos sin / 3 0 sin cos 1, 5sin cos sin cos 4 Foi utilizdo que e 1,5 /. O cálculo ectoil em pincípio segue o mesmo ciocínio

17 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 cos sin sin sin sin / 0 0 cos cos 0 cos,5 co cos sin s sin 5 4 cos sin 3 0 sin cos 1, 5sin cos sin cos 4 Supefície inclind em moimento dmite-se que um od ole sem escoeg sobe um supefície inclind que tmbém está em moimento. od moe-se com elocidde p bixo e cele pelo /. supefície moe-se n diecção opost com elocidde / e descele pelo. Detemine elocidde e celeção no ponto d od. / / Resolução Velociddes O ponto de contcto não tem elocidde nul e po isso é necessáio detemin o IR (móel) usndo o pocedimento definido p pontos de elociddes conhecids. s elociddes deteminm-se definindo pimeio elocidde ngul e depois us-se o mesmo pocedimento como n deteminção dos deslocmentos infinitesimis. 3 IR posição do IR foi detemind usndo semelhnç dos tiângulos. Relç-se nomente que o ecto de elocidde / IR é pependicul à ect IR e po isso não é pependicul à supefície d od poque est não epesent tjectói do ponto. Usndo o conceito ds pojecções, é possíel detemin elocidde do ponto diectmente em componentes; neste cso seá mis ntjoso detemin s componentes n diecção plel e pependicul à supefície. P componente plel à supefície bst imgin elocidde do ponto posiciondo n ect plel que pss pelo ponto, que é o mis póximo do IR. Po outs pls, todos os pontos posiciondos n ect plel que pss pelo ponto têm mesm componente plel à supefície de elocidde. P componente pependicul à supefície bst imgin elocidde do ponto n ect pependicul à supefície que pss pelo ponto, que é o mis póximo do IR. Po outs pls, todos os / IR efeencil usdo

18 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 pontos posiciondos n ect pependicul que pss pelo ponto têm mesm componente pependicul à supefície d elocidde. Ou sej / 3 cos e sin 13 4 cos sin cos IR ind é possíel us o cálculo ectoil i j k / 3 cos IR 0 0 sin sin / 3 cos 0 0 O cálculo podei se efectudo diectmente usndo simplificção que eduz o esultdo p D (este cálculo coesponde à popgção de elociddes com o ponto de efeênci coincidente com o IR ): sin / 3cos IR / 3 cos sin É ind possíel us popgção de elociddes, po exemplo, com o ponto de efeênci coincidente com o cento d od: sin cos / 3cos / 0 0 cos 0 sin sin N elção nteio foi substituído / 3. Pode se utilizdo qulque outo ponto de efeênci, po exemplo o ponto : / / sin / 3cos / cos sin celeção do ponto do contcto Sbe-se que o ponto do contcto tem componente tngencil de celeção definid. Usndo popgção de celeções: / / n, 0 n /, / /, fixo N pimei figu isulizm-se s celeções conhecids, ou sej, sbe-se celeção do cento e celeção tngencil do ponto de contcto. Pode he celeção noml no ponto

19 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016, ms o seu lo n, ind é desconhecido. O moimento sep-se em tnslção com e otção em tono do. tnslção isuliz-se n segund figu, todos os pontos, inclusie e têm mesm celeção do, ou sej /. otção isuliz-se n tecei figu. O ponto está fixo e o ponto fz moimento de otção. omo o moimento é de otção, sbe-se tjectói e podem-se us s componentes d celeção n fom tngencil e noml, tl como definidos p o moimento cicul. P isso é necessáio sbe elocidde ngul, que tee que se detemind n pte de elociddes. Flt ind celeção ngul, e po isso intoduz-se como lo desconhecido e bit-se o seu sentido. Veific-se que s componentes no ponto são epesentds n equção cim. equção é ectoil e tem dus incógnits, esolendo em: / e n,. Ou sej, celeção ngul deteminou-se usndo dus componentes de celeção conhecids, que ctum n diecção pependicul à ect que une os pontos e, tl como se isuliz n figu o ldo. celeção do ponto Deteminção gáfic i popgção de celeções: sepção em tnslção com e otção em tono do costum se sepção mis ntjos, poque o moimento de otção depois coincide com o moimento de otção em tono do cento d od, em que s componentes de celeção são bem conhecids. go ton-se mis ntjoso us s componentes, hoizontl e eticl. /, n? / / /, fixo 1 cos 1 cos 1 cos / 1 sin 9 sin sin 4 Foi utilizdo que e. 3 O cálculo ectoil em pincípio segue o mesmo ciocínio

20 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, cos cos 0 0 / 1 1 sin sin 1 cos cos cos 1 0 sin sin 9 sin 4 Pode conclui-se que em todos os csos componente de celeção pependicul à supefície no ponto de contcto foi de. Os csos difeentes difeim ente si pelos loes de e, em função de elocidde ou celeção do cento d od, usndo o io d od. P deteminção dos loes ngules e, foi utilizdo um conceito que pode se genelizdo. Dois pontos de elociddes conhecids Já foi efeido o cso d figu o ldo à esqued, de onde segue: N equção cim s elociddes entm com su intensidde. subtcção (ou som) fz se de codo com ctução el que tmbém define o sentido de elocidde ngul. onsidendo lgum pojecção pelo ângulo, tl como n out figu à dieit, pode-se conclui: cos cos cos d, p, p Ou sej p detemin elocidde ngul é suficiente conhece componentes plels de elociddes de pontos do mesmo copo. Depois difeenç escl de intensiddes ds pojecções (ou som no cso d ctução opost) diide-se pel distânci de ects que definem diecção dests componentes e pssm pelos pontos considedos. Dois pontos de celeções conhecids o contáio dos deslocmentos infinitesimis e ds elociddes, s celeções em pontos do mesmo copo podem te sentidos e intensiddes quse bitáis. Existe pens um condição que seá definid em seguid.

21 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 P esole celeção ngul e elocidde ngul, ton-se mis ntjoso us o efeencil especificdo n figu o ldo. Usndo popgção de celeções e bitndo no sentido ntihoáio:, x, x /, y, y ou sej, y, y, x, x e Po outs pls, bst poject s celeções n diecção pependicul à ect que une os dois pontos e eti celeção ngul como o ângulo infinitesiml. Relç-se no entnto que isso não signific que ests componentes pojectds são s componentes tngenciis, ou sej, s tjectóis destes dois pontos não são n diecção pependicul à ect que une os dois pontos. P deteminção d elocidde ngul, pojecção fz-se à ect que une os dois pontos. Visto que equção define o quddo d elocidde ngul, subtcção tem que se positi, o que em temos geométicos signific que s componentes não podem lg ect que une esses dois pontos. Ou sej imginndo que s pojecções epesentm os deslocmentos dos pontos, o compimento noo não pode se mio. Este conceito é o mis simples e não é possíel fze genelizção como no cso ds elociddes. s com elociddes e celeções dds Váios poblems que considem s estutus eticulds começm po defini elocidde ngul e celeção ngul de um ds bs. É conselháel pecebe que um ddo p elociddes e um ddo p celeções tem que se definido p mecnismos com 1GDL. Os loes ngules são os mis fáceis poque su definição é completmente bitái e não pode ent em contdição. Ms pode-se-i defini um elocidde de 1 ponto e um celeção de 1 ponto (difeente ou igul). Estes loes já não são bitáios e têm que obedece às leis de cinemátic. onside-se um b com poio fixo e out com encstmento desliznte. Recod-se que estes poios etim GDL e po isso definem exctmente posição do IR d especti b (não dão pens um indicção d posição do IR, como po exemplo o poio móel). Po isso ests bs podem se consideds como um mecnismo único ou como um pte de mecnismo. De qulque mnei discussão que se most em seguid é lid p mbos os csos.

22 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 Velocidde (1) Único moimento que b o ldo pode fze é otção em tono do poio. elocidde tem que se plel à ect que une o ponto em que elocidde ctu e o IR (sentido foi bitdo, podi se oposto). () Único moimento que b o ldo pode fze é tnslção n diecção d libetção no poio, po isso o ecto de elocidde tem que ctu n mesm diecção, poque é diecção de tjectói de cd ponto d b (sentido foi bitdo, podi se oposto). IR IR IR, IR, 0 celeção (1) Único moimento que b o ldo pode fze é otção em tono do poio. O IR é fixo e po isso epesent o cento de otção. O ecto d celeção (emelho) tem que est desido p o cento de otção, poque depois de o decompo n su componente tngencil (zul) e noml (ede), o sentido d componente noml tem que se diecciondo p o cento. intensidde depende d elocidde e no limite pode se nul. () Único moimento que b o ldo pode fze é tnslção n diecção d libetção no poio, po isso o ecto de celeção tem que ctu n mesm diecção. celeção ngul é nul. t n, t n, 0 t Poblem Sbendo que b tem elocidde ngul 3d/s no sentido nti-hoáio, e celeção ngul d/s no sentido hoáio, detemine s celeções ngules ds bs D e DE. 150 Resolução: 1. O cmpo de elociddes já foi detemindo num poblem nteio. P s celeções é impotnte esumi s elociddes ngules (sentidos são go indifeentes) 1,5d/s, 0 DE D 150 DE D

23 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016. P s celeções, é impotnte defini pimeio os copos com moimentos bem definidos, que são hbitulmente os copos com poios extenos que indicm o tipo de moimento. s bs e DE têm um poio fixo, ou sej IR fixo, ou sej, o cento de otção, e é possíel detemin s componentes nomis e tngenciis de celeção ns ótuls que ligm ests bs à b D. No totl há incógnits, D e DE. P ests incógnits é possíel escee um equção ectoil de popgção de celeções que coesponde dus equções escles. D D/, onde D / equile às componentes de otção do ponto D em tono do ponto, como se isuliz o ldo. equção pode se epesentd ssim:, fixo D DE DE DE DE DE DE DE N elidde s pojecções podem se deteminds diectmente usndo o mesmo conceito como nteiomente, ou sej Substituindo os loes numéicos e compndo s componentes eticis ,33d/s D D D 4 e hoizontis ,06d/s DE D DE oncluiu-se que D 0 pes de D 0. Isso poque tnslção d b D só se eific nquele mesmo instnte. Tmbém pode-se conclui que D 0 do fcto que o IR d b D é móel, o que po que p s celeções não é possíel us o conceito igul o ds elociddes bsedo em IRs. equção ectoil usd no cálculo tmbém pode se epesentd d seguinte mnei D D/ DE DE DE DE DE DE D D D D D D D fom cim diz que, seguindo estutu de um ldo p o outo, celeção do ponto de inteesse seguinte (D) equile à celeção do ponto nteio () mis celeção que epesent otção do toço D, em que o ponto nteio é fixo e o ponto de inteesse od. D 0

24 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 ssim cheg-se às celeções do ponto D de dois ldos, ms os loes ntulmente têm que se os mesmos, poque epesentm celeção do único ponto. Gficmente e possíel sep estutu no ponto D. D D DE DE DE DE ompndo s componentes no ponto em que estutu foi sepd, e usndo nomente o conceito ds pojecções p componente inclind, obtêm-se s equções cim. ind existe possibilidde de efectu cálculos ectoiis, ms neste cso simples não se justific. Poblem N posição mostd, b tem um elocidde ngul de 4d/s no sentido hoáio e celeção ngul nul. Detemine s elociddes ngules e s celeções ngules ds bs D e DE. Resolução 1. Velociddes esolução pode se uxilid i implementção dos IRs. D semelhnç dos tiângulos: 500 h e 800 h x x Resolendo: h 615,38mm x 9,31mm s elociddes ngules são possíeis esole usndo s pojecções, p eticl ou p hoizontl. Relç-se que s elções ente s elociddes ngules mntém-se iguis, no entnto elocidde isulizd, é ntulmente pojecção d elocidde ou sej especti componente. IR 1 IR I IR 3 h II x III

25 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 ssim no esboço o ldo isuliz-se componente hoizontl ds elociddes dos pontos e D, que é igul, e no esboço em bixo, s componentes eticis ds elociddes dos pontos e D que são difeentes. ssim: 800 h 500 D DE ou nlogmente: e D 400 x Resolendo: 5, d/s, 6,4d/s D DE DE D x IR 1 IR I IR 3 h II x III D DE, x D, x. celeções s bs e DE têm o IR fixo que epesent o cento de otção, o que pemite detemin s celeções i componentes nomis e tngenciis. plicse popgção de celeções de p D e estutu sep-se no ponto D. Ou sej: D D D D Em componentes Ou sej compndo s componentes hoizontis , , 4 400,304d/s (nti-hoáio) e eticis D D D D DE DE , , ,75d/s (nti-hoáio) D DE DE DE DE DE DE DE DE 500 y, D D DE Dy, D D D DE D DE DE D DE DE Resolução usndo o cálculo ectoil (p o efeencil 0xy n posição hbitul, onde posição d oigem é indifeente) , 800 D 0, 400 ED 500

26 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 Recod-se que s celeções ngules fom bitds nos sentidos positios e po isso p o cálculo ectoil simplificdo bst toc s componentes do espectio ecto e mud o sinl d componente que está depois n pimei posição , D DE DE D D/ D D ou sej D D DE DE D 5, DE 6, Veific-se que o sistem ds equções é igul o nteio e po isso i d mesm solução. Ns expessões foi utilizd já efeid simplificção do poduto exteno, n fom i j k 0 0,,0 t y x Ou sej diectmente: y t x x y 0 O conceito ds pojecções O conceito ds pojecções foi efeido áis ezes neste cpítulo e tmbém no cpítulo PTV. Este conceito simplific de mnei significti todos os cálculos dest pte d mtéi e em ez de fze cálculos ectoiis pemite fze um cálculo bsedo em esboços n fom escl, em que mio pte dos sinis é deduzid dos esboços. É conselháel esumi este conceito mis um ez. O conceito pode se explicdo diectmente tés de figus ou do cálculo ectoil Foi definido que, po exemplo, O d y, dx, onde O dx, d y, x dy e, y d Isso signific que p defini componente hoizontl de elocidde, tç-se um ect hoizontl pelo ponto onde elocidde ctu e detect-se distânci dest ect o ponto em tono do que se efectu otção (cento de otção, IR); o sentido detemin-se no esboço. x y O d x x, y,. Ou sej d y x

27 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 D figu ê-se que: d y, x sin Osin O dy O o que nomente confim elção deduzid. nlogmente, p componente de elocidde eticl tç-se um ect eticl pelo ponto onde elocidde ctu e detect-se distânci dest ect o ponto em tono do que se efectu otção; o sentido detemin-se no esboço. D figu ê-se que: x, y cos Ocos O d dx O o que nomente confim elção deduzid. Em consequênci, todos os pontos posiciondos num ect têm componente de elocidde n diecção dest ect igul, poque distânci d ect usd p o cálculo não se lte p difeentes pontos posiciondos ness ect. Este pocedimento pode se igulmente utilizdo p deslocmentos ituis (multiplicção pelo ângulo de otção) e componentes de celeção tngencil (multiplicção pel celeção ngul). y O D Dx, D x, x, d y x x, P complet, ecod-se que s componentes nomis de celeção podem poject-se do modo mis simples, como se ê n figu. De qulque mnei, isto s componentes tngenciis e nomis seem pependicules, distânci usd p pojecção d componente noml é sempe opost à que foi usd p componente tngencil, ou sej us-se diectmente componente do ecto O n diecção d componente x n, x n cos cos d O O O dx O d y n, y n sin Osin O dy O Um eificção ápid i poduto inteno confim que os ectoes são otogonis: T d x d y n t 0 x y x y d y dx d d d d y d x n, x n n, y d y x Ângulos finitos e infinitesimis N esolução dos poblems é necessáio te cuiddo p não mistu ângulos finitos e infinitesimis. Os ângulos finitos usm-se p o cálculo dos pâmetos geométicos d estutu e ssim su implementção é hbitulmente i funções tigonométics. Os ângulos

28 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 infinitesimis epesentm os ângulos de otção infinitesimis, elociddes ngules ou celeções ngules que nunc fzem gumentos de um função tigonométic. O conceito ds pojecções pemite tnsfei o ângulo infinitesiml como se fz p os ângulos finitos, ou sej os ângulos delimitdos pels semi-ects mutumente otogonis são iguis. N pimei figu o ldo isuliz-se um b com toço eticl e hoizontl (cinzent) e su posição defomd (emelh). N out figu most-se mesm b (cinzent) com su posição defomd (emelh), ms neste cso posição não defomd tem um otção finit definid pelo ângulo. Sets edes epesentm os deslocmentos totis, linhs edes judm defini os ângulos ectos. Sets pets definem diectmente s componentes dos deslocmentos infinitesimis. hcos hsin sos em que celeção ngul de um copo do mecnismo considedo é nul celeção ngul é nul qundo o copo efectu tnslção ectilíne ou cuilíne. indicção deste moimento não se pode defini nlisndo pens um ddo instnte, ms o moimento completo. Ou sej, qundo o IR de lgum copo que petence o conjunto de copos estie posiciondo no infinito num ddo instnte, isso não ssegu o moimento de tnslção e consequentemente celeção ngul nul. O IR dquele copo tem que est no infinito o longo do moimento. O IR posiciondo no infinito n mesm diecção eific-se po exemplo no cso d b com encstmento desliznte. Neste cso tnslção é ectilíne. h h d h d hcos hsin hcos dsin hsin dcos IR, IR,,,

29 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitooá, DE/FT/UNL, 016 Qundo o longo do moimento o IR estie posiciondo no infinito ms mud su diecção, tnslção é cuilíne. Isso eific-se po exemplo no cso do copo ligdo dus bs otulds de mesmo compimento, tl como se compo n figu bixo. h I IR, L II instnte ddo h III h 1 h h 1 h L h h 0 h I IR, L II outo instnte h III h 1 h 1 h h L h h 0 De qulque mnei é necessáio elç que não é indispensáel deco os csos menciondos, poque o cálculo ds celeções, usndo s egs explicds nteiomente, pemite pidmente obte mesm conclusão. Not finl Foi elçdo áis ezes que não é possíel utiliz os IRs p deteminção ds celeções. Isso foi justificdo pelo fcto, que no IR bsoluto móel celeção não é nul, e po isso não se eificm s popieddes dos IRs tl como p deslocmentos infinitesimis e elociddes. No entnto, tmbém não existe lgum outo ponto pticul, que fcilit deteminção ds celeções. Nos csos pticules, em que num ddo instnte s elociddes ngules são nuls, o moimento está detemindo pels componentes tngenciis que obedecem s mesms egs de deteminção como os deslocmentos infinitesimis e elociddes. Neste cso (e somente neste cso) deteminção de celeções pode se judd pelos IRs.