Teoria clássica das vibrações. Cap 22 ASHCROFT- MERMIN Cap 4 KITTEL

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1 Teoia clássica das vibações Cap ASHCOFT- MEMIN Cap 4 KITTEL

2 Hoje: Falhas do modelo da ede estática tica Teoia clássica do cistal hamônico Calo específico de um cistal clássico Lei de Dulong-Petit Teoia clássica de vibações na ede Póxima aula: Teoia quântica do cistal hamônico Fônons. Calo específico. Modelos de Debye e Einstein

3 FALHAS DO MODELO DA EDE ESTÁTICA GÁS DE ELÉTONS EDE ESTÁTICA VIBAÇÕES DA EDE FALHAS DO MODELO DA EDE ESTÁTICA :. POPIEDADES DE EQUILÍBIO. POPIEDADES DE TANSPOTE 3. INTEAÇÃO DA ADIAÇÃO COM O SÓLIDO

4 EQUILÍBIO CALO ESPECÍFICO 3 c γ T + βt, T << v T OOM elétons fonons DENSIDADE DE EQUILÍBIO E ENEGIAS DE COESÃO vibação de ponto zeo EXPANSÃO TÉMICA Gaus de libedade iônicos desempenham papel fundamental FUSÃO T amplitude das vibações

5 TANSPOTE (τ) Dependência com a T do tempo de elaxação espalhamento desvios da ede devido a vibações impuezas Falha na lei de Wiedemann-Fanz T alta (tempeatua ambiente) T baixa (poucos o cte K ) tempeatuas intemediáias? espalhamento σ k T Supecondutividade inteação e-e mediada po fônons Condutividade Témica de Isolantes pedominantemente devida a vibações da ede Tansmissão de Som

6 INTEAÇÃO COM A ADIAÇÃO efletividade de cistais iônicos picos na efletividade paa Espalhamento Inelástico da Luz Espalhamento Billouin (fonon acústico) Espalhamento aman (fonon ótico) Espalhamento de aios-x amplitude dos picos de Bagg backgound em dieções que não satisfazem a condição de Bagg Espalhamento de Nêutons hω <<E gap

7 TEOIA CLÁSSICA DO CISTAL HAMÔNICO Hipóteses : () posição média de cada íon sítio de uma ede de Bavais () deslocamentos << espaçamento inteatômico ( ) + u( ) posição de equilíbio desvio ede estática

8 TEOIA CLÁSSICA DO CISTAL HAMÔNICO ( ) φ potencial inteatômico (tipo Lennad - Jones) U enegia potencial total do cistal ( ) ( ) 0, N U φ φ ede estática consideando vibações : ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] +,, u u U φ φ

9 U M P H + )] ( [ Expansão de Taylo : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).... 3! f a f a f a f a f ( ) ( ) ( ) + + ]. [ ) (, 0 u u N U φ φ { } ( ) ( ) 3, )]. ( ) ( [ 4 Ou u u + φ coeficiente de ( ) u ( ) φ - foça no átomo (em equilíbio) zeo

10 APOXIMAÇÃO HAMÔNICA ( ) constante equil n U φ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 4, ', u u u u U ham ν ν µυ µ µ φ ν µ ( ) ( ) ν µν φ φ u z y x,,, µ ν ( ) ( ) ( ),, u D u U ham ν µν µ ν µ matiz dinâmica (3Nx3N) ( ) ( ) ( ), D µν µν µν φ φ δ com ham equil U U U

11 ω k + k k k q m m p H clássica ) ( ω 3... N m D ω ω ω equipatição Fequências nomais de vibação T nk u B 3

12 APOXIMAÇÃO ADIABÁTICA vf 0 8 cm/s Velocidade eletônica vi 0 5 cm/s Velocidade dos íons v i << v F Em todos os instantes ps elétons estão no estado fundamental paa uma cada configuação iônica

13 CALO ESPECÍFICO DE UM CISTAL CLÁSSICO LEI DE DULONG-PETIT média em todas as configuações : u V d Γe d Γe βh d Γ du βh H ( dp ) ( ) u V β, mecânica estatística β ln [ P( )] M d Γe k B T βh equil H + U + u u equil +3nk B T u densidade de enegia U ham com n N V

14 u cv 3nk T LEI DE DULONG-PETIT n, v B c v mola 5.96 cal/mole-k () c 0, T 0 v C v D P c v () T c não pecisamente v D P c v Xe, K, A T (K)

15 Paa tempeatuas baixas : apoximação hamônica é boa mecânica estatística clássica é falha teoia quântica de dinâmica de ede é NECESSÁIA!! Paa tempeatuas altas : apoximação hamônica NÃO é boa!

16 TEOIA CLÁSSICA DE VIBAÇÕES DE EDE. ede de Bavais monoatômica (D). ede de Bavais + base (D) 3. ede de Bavais monoatômica (3D) 4. ede de Bavais + base (3D) MODOS NOMAIS DE VIBAÇÃO DE UMA EDE DE BAVAIS MONOATÔMICA UNIDIMENSIONAL K a na u( na) U ham [ u( na) u( [ n ] a) ] K + n

17 ( ) ( ) com K φ a, φ x constante de foça " enegia de inteação ente dois íons sepaados po x hipótese : somente pimeios vizinhos inteagem ham U Mu&& ( na) K + u( na) [ u( na) u( [ n ] a) u( [ n ] a) ] condições peiódicas (condições de BON-VON KAMAN) : 0 ; u( a) u( [ N + ] a) ( ) ( Na) u u equação paa equação paa u u ( Na) ( a) ([ N + ] a) u u( 0)

18 0 u( a) u( [ N + ] a) ( ) ( Na) u u

19 na, t αe ( ) i( knaωt ) Soluções da foma : u ikna condições peiódicas e ( 0) ( Na) u u π n k, n inteio a N ( N valoes distintos ) π a k π a ω ( ) [ ] knaωt ika ika i( knaωt ) i M e K e e e ( ) i( kna ω kae t ) K cos

20 ω ( k) K ( coska) M elação de dispesão ou ( ) ωk K M sen ka N modos nomais de vibação u ( na, t)α cos sen ( kna ωt) ( kna ωt) N valoes distintos de k N soluções independentes N posições iniciais, N velocidades iniciais

21 soluções são ondas se popagando ao longo da cadeia unidimensional com k π << a ( λ >>a) velocidade de fase velocidade de gupo ω a K M k c ω k v ω k k π ± a ω v 0 k

22 MODOS NOMAIS DE VIBAÇÃO DE UMA EDE UNIDIMENSIONAL COM UMA BASE a d K G átomos idênticos U ham n d a K G K G + [ u( na) u( na) ] + [ u( na) u( [ n ] a) ] n u ( na ): deslocamento do átomo que oscila em tono de na u ( na ): deslocamento do átomo que oscila em tono de na + d

23 ham U Mu&& ( na) Ku u Mu&& [ ( na) u ( na) ] Gu [ ( na) u ([ n ] a) ] ( na) ham U ( na) Ku u [ ( na) u ( na) ] Gu [ ( na) u ([ n ] a) ] + ( na) solução : ε,ε i( knaωt ) ( na) ε e i( knaωt ) ( ) u π n k, a N u na ε e n inteio especificam amplitude e fase elativa da vibação dos átomos em cada célula pimitiva [ ] ( ika Mω ε + K + Ge ) ε 0 ( K + G) ( ) [ ( )] ika K + Ge ε + Mω K + G ε 0

24 solução não tivial det (coef.) 0 [ M + ] ω ( K G) K + Ge ika [ ] ika K + Ge M ω ( K + G) 0 [ ( )] ika Mω K + G K + Ge K + G + KGcoska K + G ω ± K + G + KGcoska, ω > 0 M M ε ε m K K + Ge + Ge ika ika N valoes de k N modos nomais de vibação (N gaus de libedade) ( átomos em cada uma de N cél. pim.)

25 AMO ÓTICO AMO ACÚSTICO π k << AMO ACÚSTICO: dispesão paa a tem a foma ω ck, caacteística de ondas de som. AMO ÓTICO: inteage com adiação eletomagnética

26 CASO k << π a cos ka ( ka) ε m ε ω 0 ( K + G) M ( ) Oka ε ε A ω KG M ( ) ( ka) K + G ε + ε ACÚSTICO ÓTICO k 0 MOVIMENTOS EM CÉLULAS VIZINHAS ESTÃO EM FASE; NOS DOIS CASOS O MOVIMENTO DE CADA CÉL. PIM. É IDÊNTICO

27 CASO k π a O K ω M A G ω M ε ε ε ε k π a MOVIMENTO EM CÉLULAS VIZINHAS É 80 FOA DE FASE ACÚSTICO ÓTICO

28 CASO 3 K >>G o ω K M + O G K ε ε A ω G M sen ka + O G K ε ε ω 0 em ª odem independente de k, molécula diatômica ligada po K ω A átomos de massa M facamente ligados po G CASO 4 K G ede monoatômica com paâmeto de ede a/ Poblema 3

29 MODOS NOMAIS DE VIBAÇÃO DE UMA EDE DE BAVAIS TIDIMENSIONAL 0 Hz mev cm x 0 Hz

30 0 Hz mev Hz Bockhouse et al Phys. ev. 8, 099 (96) Pb, FCC

31 mev cm x 0 Hz Al

32 MODOS NOMAIS DE VIBAÇÃO DE UMA EDE TIDIMENSIONAL COM UMA BASE EDE + BASE ( ÍONS) AMOS ÓTICOS AMOS ACÚSTICOS Cada valo de k 3p modos nomais p nº de íons na base 3 acústicos 3(p-) óticos GAUS DE LIBEDADE : tanslacionais 3 vibacionais 3(p-)

33 D. L. Pice et al, PB 9, 573 (973) Si

34 Deve de casa: Capítulo poblemas e 3