comportamento Metálico

Transcrição

1 Teoia de Dude paa o compotamento Metálico

2 Paul Kal Ludwig Dude, Dude, Annalen de Physik 1, 566 e 3, 369 (1900)

3 Sólidos Rede cistalina O que ea conhecido na época Taité de cistallogaphie, JJ Thompson descobe o eléton 1900 Planck: sugee que a adiação é quantizada

4 stutua da matéia Depois de Dude 1905 instein: quantum de luz se compota como patícula 1913 Boh: Modelo de átomo estável 1919 Ruthefod: pimeia evidência de um póton

5 stutua da matéia 194 L. De Boglie: popiedades ondulatóias da matéia 195 Pauli: pincípio pio de exclusão paa elétons em um átomo 196 Schodinge: desenvolve a equação de onda paa sistemas quânticos Bon intepeta pobabilisticamente a função de onda 197 Heisenbeg fomula o pincípio pio da inceteza

6 Modelo de Dude Dude aplicou teoia cinética dos gases paa um metal: gás de elétons elétons de condução (com massa m) que se movem num backgound de íons imóveis (caga positiva)

7 ÁTOMO ISOLADO ez a : núcleo Z a númeo atômico ( Z Z) elétonsdocaoço e a caoço ez : elétons devalência + Metal: Na Z 11 a Z 1 1s s p 6 3s 1

8 Metal

9 Densidade de elétons (n) Na Massa atômica A3g Númeo de Avogado N av 6,0 X 10 3 Densidade ρ1,01g/cm 3 Densidade de elétons: N n av Z A ρ n,65 X10 elétons tons/cm a 10 elétons de condução/ cm

10 Densidade de elétons (n) n(na),65 X10 elétons tons/cm 3 Valoes típicos t (300K, 1 atm) a 10 elétons de condução/ cm Gases clássicos 3 6,0 10 moléculas n,7 10,4l 19 moléculas/ cm n ~(10 a10 ) n gás clássico

11 Númeo de potadoes Númeo de potadoes Gases clássicos 3 6,0 10 moléculas n,4l, moléculas/ cm 3 Kittel

12 V N 4 π 3 s 3 1 n s aio da esfea cuo volume é igual ao volume po eléton de condução. 3 s 4πn 1 3 aio de Boh h a A 1A 10 me 8 cm s Nos metais a 6 a 0

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14 Hipóteses do Modelo de Dude (1) nte duas colisões: apoximação de elétons independentes (despeza a inteação coulombiana ente os elétons) Apoximação de elétons lives (despeza a inteação eléton-caoço) Na pesença de campos extenos (, B), movimento de acodo com as leis de Newton

15 () Colisões: algum mecanismo de colisão apenas com o caoço difeente da Teoia Cinética dos Gases colisões instântaneas modificam aleatoiamente v Cuidado com a figua!

16 (3) Taxa de colisão: pobabilidade de colisão po unidade de tempo 1 τ τ tempo de elaxação, tempo de colisão, tempo médio live (mean fee time) tempo médio ente colisões sucessivas de um eléton l live caminho médio v τ l τ~ s T ambiente

17 (4) Após cada colisão: V final independe de v inicial equilíbio témico atavés das colisões 1 mv 3 k T B quipatição clássica da enegia

18 Resultados do Modelo de Dude (a) Condutividade elética DC (b) feito Hall e magnetoesistência (c) Condutividade elética AC (d) Condutividade témica

19 (a) Condutividade elética DC ρ σ Lei de Ohm σ : : 1 ρ campo elético densidade de coente ρ: σ: VRI esistividade condutivid ade

20 Na ausência de campo elético: 0 v 0 Na pesença a de campo elético: 0 a v v 0 e m e m t v e m τ

21 substituindo ρ em V L temos I V ρ A L I A l A I lei de Ohm V RI L R ρ A

22 Considee n elétons po unidade de volume com velocidadev seá paalelo à tempo dt elétons pecoem dl vdt na dieção de v v A dl v n de elétons que atavessam a áea A em um intevalo de tempo dt nadl navdt nev

23 nev e v τ m ne τ m σ 1, σ, σ ρ ne τ m esistividade ~ linea à tempeatua ambiente condutividade elética esistividade elética ( µωcm) ρ ( ρ ) / T 373K 77K 73K 373K ( ρ/ T) 73K Li Cu Mg Fe Al ρ ~ T T >> θ 5 ρ ~ T T << θ D D 5 (Bloch T law)

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25 τ m ρne Tamb τ~10 14 a s l : live caminho médio ( mean fee path ) lvτ distância média que um eléton caminha ente colisões 1 3 mv kbt v ~10 7 cm/ s tempeatua ambiente lvτ l 1 a o 10A compatível com a idéia de Dude : elétons X íons

26 MAS... ( veemos nas póximas aulas) v ~10 8 cm/ + s independente da tempeatua v ~ m F T 0 ~ 80 K τ é uma odem de gandeza maio que à T amb l pode se da odem de 10 3 A ou mais com amostas à tempeatuas bastante baixas e cuidadosamente pepaadas l ~ cm ( 10 8 espaçamento ente íons) fote evidência que a idéia de Dude de elétons colidindo em íons está eada!

27 quação de movimento dos elétons de Dude nte colisões dp dt i f(t) i pi ( t+ dt) pi( t) fi( t) dt Paa cada um dos N elétons m um intevalo de tempo dt N n N c N Ndt τ N c N(1 dt τ ) Vão colidi Não vão colidi

28 dt dt p ( t + dt) 1 + τ τ [ () () ( )] [ () ( )] pt + f t dt+ Odt + f t dt Odt Não colidiam colidiam Despezando os temos O(dt ) dp dt f( t) p( t) τ O efeito das colisões é intoduzi um amotecimento popocional ao momento

29 Deve de casa: Ashcoft capítulo 1 Poblemas 1 e

30 (b) feito Hall e magnetoesistência. F. Hall, Am. J. Math., 87 (1879) F e v c H Campos aplicados xˆ i H Hzˆ k Campo induzido ou campo Hall y <0 e < 0 sinal dos potadoes

31 m equilíbio o campo tansveso (ou campo de Hall) y contabalançaá a foça de Loentz e o fluxo de coente seá na dieção x. ( ) ρ H x x magnetoesistência R H x y H coeficiente de Hall

32 Cálculo do coeficiente de Hall e magnetoesistência: + H c v e f f τ p dt p d + Regime estacionáio 0 τ p dt dp + H c v e

33 dp dt v e H c Movimento cicula unifome vh ω eh mω e e H ω ωc c c mc Fequência de cícloton

34 No caso estacionáio, as coentes são independentes do tempo: 0 e x 0 e y ω p c y + ω p c x px τ p τ y com Fequência de cícloton ω c eh mc neτ x po e usando m nev e p α m ne α σ 0 σ 0 ωτ + y x ωτ + c c y x x y com σ 0 neτ m

35 Reaumando x ρ0 x+ 0 ρ ωτ y ρ 0ωτ c x+ ρ0 c y y com σ neτ 0 0 σ0 m ω c eh mc ρ 1 t ρ ρ0 ρ0ωτ c ρ0ωτ ρ0 c

36 O campo de Hall é obtido consideando que não existe coente tansvesa y 0 y ωτ c σ 0 x H nec x xσ0 x R H ( ) x ρ H y H x x 1 R H nec 1 ρ ( H) σ 0 Coeficiente Hall Só depende da densidade de potadoes magnetoesistência independente de H

37 T baixa, amosta pepaada c/ cuidado H 4 10 G R H pode se positivo!

38 R H τ dependem da tempeatua e das condições da amosta baixas tempeatuas, amostas puas, H alto R H se apoxima de um valo limite (paa muitos metais: limite Dude)

39 esultado de Dude paa magnetoesistência ρ( H) não depende de H ρ 1 σ 0 com σ 0 neτ m expeimento mosta que ρ ρ( H) teoia quântica é necessáia

40 não é paalelo a σ 0 x x y tg φ ωτ c x σ ωτ 0 y c x ωτ << φ φ ωτ Paa c 1, tg ~ ~ c << 1 e φ é o ângulo Hall são quase paalelos quando ω c τ << 1 ω c τ <<1 equivale a τ <<T (peíodo de evolução) elétons completam uma pequena pate da evolução antes de seem espalhados

41 FITO HALL QUÂNTICO K. von Klitzing, G. Doda, and M. Peppe, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980) H. L. Stöme and D. C. Tsui, Science 0, 141 (1983) B. I. Halpein, Scient. Am. 54, 5 (1986) T ~ 1.5 K; H ~ 15 T; Si - MOSFT 1985 Nobel de Física K. von Klitzing

42 1 α (15) h 4e ± Ω

43 y x B. I. Halpein, Scient. Am. 54, 5 (1986) R H x y H ( ) ρ H x x x x h 4e ± Ω α (15)

44 Continuamos na póxima aula

45 (c) Condutividade elética AC coente induzida em um metal po um ( ) ( ) iωt t Re ( ω) e campo elético dependente do tempo dp dt p τ e solução estacionáia da foma p ( ) ( ) i t t pω e p ne ; m ω iωt ( t) ( ω) e

46 substituindo p i t ( t) p( ω) e ω temos iωp ( ω) p τ ( ω) e ( ) ω ( ω) ne p( ω) m ne m 1 iω τ ( ω) Lembando que ( ω) σ( ω) ( ω) σ ( ω) Temos σ0 1 iωτ σ com 0 neτ m

47 σ ( ω) σ0 1 iωτ como Temos então σ σ σ R + iσ I ( ω) σ( ω) ( ω) R ( ωt) + iσ sen( ωt) 0cos I 0 σ σ R I σ0 (1+ ω τ ) σ0ωτ (1+ ω τ ) Casos limite (a) ω 0 σ R σ 0 σ I 0 σ 00cos σ0 Limite DC ( ωt) (b) ω σ >> σ I R Resposta defasada

48 (a) (b) aplicação : popagação de adiação M em um metal O que deixamos de foa paa chega em H temo adicional na foça : e p H mc ~ 1A/ mm (,ω) fato v/c meno que temo em v < 0.1cm/ ~ s σ ( ω) σ0 1 iωτ campos também vaiam no espaço H ~10 10 OK! λ~10 l 3 o,10 4 ~10A,10 o A luz visível o T ambiente A λ campo >>l OK!

49 ( ) ( ) ( ) ω ω σ ω,, l >> λ t c c H t H c H ; 1 ; 0. ; 0. π dependencia tempoal t i e ω ( ) ( ) H c i ω. c i c c i ω σ ω 4π i c + ω ω 4πσ 1 ( ) 0 + c ω ε ω ρ 0, po enquanto

50 com ε( ω) ( ω) 4πσ i 1+ função dielética ω σ ( ω) σ 1 iωτ 0, σ 0 neτ m Limite de altas feqûencias ω p ωτ >>1 ε( ω) 1 ω com 4πne ω p m Limite de altas fequências Fequência de plasma Válido paa ω~ω p

51 ω + c ε ( ω) 0 ε ω p ( ω) 1 ω (a) ω<ω p Duas possibilidades egião de atenuação Quando ε é eal e negativo as soluções da equação de onda sofem decaimento exponencial no espaço, ie, a adiação não se popaga. (b) ω>ω p egião de popagação Quando ε é positivo, as soluções são oscilatóias, a adiação se popaga e o metal se tona tanspaente.

52 λ p c ν p πc ω p 0.6 a s 0 3/ 10 3 o Α Os metais alcalinos mostam o compotamento pevisto pela teoia de Dude. m outos metais, outas contibuições paa a constante dielética competem com o temo de Dude.

53 aplicação: oscilações da densidade de caga no gás de elétons equação da continuidade Lei de Gauss ρ. + 0 t. 4πρ. ( ω) iωρ( ω). ( ω) 4πρ( ω) Lembando que ( ω) σ( ω) ( ω) temos. ( ω) σ( ω) 4πρ( ω) Solução : ( ω) πσ( ω) ρ( ω) iωρ 4 ( ω) 4πiσ 1 + ω 0 ε ( ω) 0 Popagação de oscilações na densidade de caga (PLASMON) ωτ >>1 ω ωp (feq. plasmon)

54 PLASMON: quantum das flutuações longitudinais da densidade eletônica de caga dos elétons de valência ou condução num sólido. Gás de elétons em backgound de caga positiva d u 4 πσ 4π nu e Ashcoft e Memin (1976) Kittel (1976) Nm d u dt Ne 4πnNe u

55 0 4 + u m ne dt u d π 0 + u dt u d ω P m ne P / 4 π ω feq. do plasmon ( ) 1 ω ω ω ε p D ( ) p p p i ω ω δ ω ω δ α ω ω ε + ~ 1 ~ 1 1 ~Im 1 Im p ω ω ε 1 Im

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57 elétons passando atavés de um filme metálico (ou semiconduto) eflexão de elétons ou fótons po um filme XCITAÇÃO DO PLASMON

58 Obsevação expeimental de plasmons

59 Deve de casa: Ashcoft capítulo 1 Poblemas 5: Suface plasmons

60 (d) Condutividade témica Lei de Wiedemann-Fanz (1853) ; empíica k σt c te n de Loenz k condutividade témica condutividade elética σ

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62 Modelo de Dude: Coente témica caegada pelos elétons de condução T1 T T q T 1> T densidade témica de coente (veto paalelo ao fluxo de q : calo, igual à enegia témica po unidade de áea po unidade de tempo) Lei de Fouie q k T

63 Modelo unidimensional x T T 1 T elétons chegando em x pelo lado com tempeatua T 1 tiveam última colisão em x vτ T [ ( )] enegia témica εt x vτ

64 n/ elétons po unidade de volume vindos de cada lado Velocidade v Densidade témica de coente nv q + { ε[ T( x vτ) ] ε[ T( x vτ) ]} T vaia pouco em l vτ q nv dε dt dt dx { vτ vτ} q nv dε dt τ dt dx

65 m 3D v v v x y z 1 v 3 dε N dε 1 d n dt V dt V dt c V q nv dε dt τ dt dx q 1 3 v τc V T Lei de Fouie q k T k 1 3 v τ c V

66 No modelo de Dude : k 1 3 v τ c V k σ 1 3 vτc τ ne m V 1 3 c V ne mv teoia cinética clássica 3 c V nk B mv 3 k B T 1.11 K k σ 3 kb e 1443 T Lei de Wiedemann-Fanz 8 10 ωω/ metade do valo expeimental típico paa metais

67 3n F T ambiente : ( cv) ~ ( cv) eal Dude c V π 3 k B T g ( ) F (elétons) v eal ~100 v Dude c V γ T+ βt 3 elétons fonons

68 CAMPO TRMOLÉTRICO (FITO SBCK) T T1 T q T 1> T Não é só a enegia témica que é difeente em egioões com difeentes T: a velocidade também deve se difeente mv 3 k B T v Q 1 { v( x vτ) v( x+ vτ) } τv dv dx d τ dx v Acumulo de caga

69 v Q d τ dx v vx 1 v 3 v Q m 3D τ dv 6 dt T v e τ m v v + Q m equilíbio 0 Q T Q <0 themopowe 1 d Q 3e dt 3 c V nk B mv cv 3ne expt ~ 100 vezes meno! k e Q B c V ~ c eal 100 volt/k VDude

70 Deve de casa: Ashcoft capítulo 1 LR TODO!! Poblemas 1, e 5